文档文本内容
第 35 讲 立体几何中的动态问题
【典型例题】
例1．（2024·高三·天津南开·阶段练习）如图，四棱台 中，上、下底面均是正方形，且侧
面是全等的等腰梯形， ，E，F分别为DC，BC的中点，上下底面中心的连线 垂直于上
下底面，且 与侧棱所在直线所成的角为45°．
(1)求证： 平面 ；
(2)求点 到平面 的距离；
(3)边BC上是否存在点M，使得直线 与平面 所成的角的正弦值为 ，若存在，求出线段BM
的长；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）证明： 由题设可得四棱台为正四棱台，故可建立如图所示空间直角坐标系：
则 ，
所有 ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即 ，
令 ，则 ，所以 ，
因为 ，且 平面 ，
所以 平面 ；
（2）易知 ，则 ，所以点 到平面 的距离为 ；
（3）假设在边BC上存在点M，设 ，
则 ，
因为直线 与平面 所成的角的正弦值为 ，
所以 ，
即 ，解得 或 （舍去），
则 ，此时 .
例2．（2024·高三·湖南·阶段练习）如图，在四棱锥 中， ， ， ， ，
，平面 平面 ， .
(1)证明： 平面 ；
(2)若点Q是线段 的中点，M是直线 上的一点，N是直线 上的一点，是否存在点M，N使得
?请说明理由.
【解析】（1）如图，取 的中点O，因为 ，则 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，
所以 ，又 ， 平面 ， 平面 ， ，
所以 平面 .（2）因为 ，O为 的中点， ，所以 ，
过点O作 交 于点E，则由 平面 , 平面 ,可得 ，
则以O为原点， ， ， 分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ，
所以 ， ， ，
设与 ， 都重直的向量为 ，
则 得
令 ，则 ，
设直线 与直线 的距离为d，
则 ，
则不存在点M和N使得 .
例3．（2024·高三·上海黄浦·阶段练习）如图，在四棱锥 中，底面 为矩形，平面
平面 ， ， ，E为AD的中点．
(1)求证： ；
(2)在线段PC上是否存在点M，使得 平面PEB？请说明理由
【解析】（1）因为 为 中点，所以 ，又因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，
因此 ．
（2）存在 为 中点时， 平面 ，理由如下：
取 中点为 ，连接 ，
因为 为 中点， ，且 ．
在矩形 中， 为 中点，所以 ，且 ．
所以 ，且 ，所以四边形 为平行四边形，
因此 ，又因为 面 面 ，
所以 面 ．
例4．（2024·高三·安徽池州·期末）如图，在五面体 中，四边形 是矩形，平面 平面
．
(1)求该五面体的体积；
(2)请判断在棱 上是否存在一点G，使得 与平面 所成角的正弦值为 ?若存在，求 的长；
若不存在，请说明理由．
【解析】（1）因为底面 是矩形，所以 ，又因为 平面 ，
平面 ，所以 平面 ，
又因过 的平面 平面 ，所以 ，
分别取 与 的中点M，N，连接 ，
则平面 将五面体分割成两部分，几何体 和棱锥 ，
故 ，
取 中点为O，
，
，为 中点， ，
平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
平面 ，
又因为 ，所以 ，则几何体 为棱柱，
取 的中点 ，连接 ，可得 ，
则四边形 为平行四边形，则 ，
由 平面 ，可得 平面 ，则 为棱锥 的高，
由 可得 ，
则 ，
又 ， 平面 ，平面 平面 ，
平面 平面 ，所以 平面 ，
所以 为棱柱 的高，
，
；
（2）取 中点Q，连接 ，易得 ，
结合（1）可知 两两垂直，
以O为坐标原点， 为x轴， 为y轴， 为z轴建立如图所示的空间直角坐标系；
则 ，
， ，
设平面 的法向量 ，
可得 则 ，得 ，令 得 ，
解得平面 的一个法向量 ，
在 上，设 ， ，
，则 ，
设直线 与平面 所成角为 ，，
或 （舍去），
，
故存在G点，当 ，即G与F重合时，
与平面 所成角的正弦值为 ．
例5．（2024·高三·云南楚雄·期末）已知四棱锥 的底面 是边长为2的正方形，E是 的
中点，且 ， ， .
(1)证明：平面 平面 ；
(2)在棱 上是否存在点F（不含端点），使得平面 与平面 的夹角的余弦值为 ？如果存在，
求 的长；如果不存在，请说明理由.
【解析】（1）由 ， ， ，
得 ，所以 ，
又底面 是正方形，所以 ，
因为 ， 面 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，所以平面 平面 ；
（2）过点A在平面 内作 的垂线，以A为坐标原点，以这条垂线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， .
设 ，
因为 ，所以 ，则点P的坐标为 ，
则 ， ， ， .
设平面 的法向量是 ，
由 ，即 ，令 ，得 .
设平面 的法向量是 ，
由 ，即 ，令 ，得 .
所以 ，
所以 ，
整理得 ，解得 或 （舍去），
所以 ，即 .
例6．（2024·广东广州·二模）如图，在三棱柱 中，侧面 是菱形，且与平面 垂直，
， .(1)证明： 平面 ；
(2)棱 上是否存在一点 ，使得直线 与平面 所成角为 ？若存在，请确定点 的位置；若
不存在，请说明理由.
【解析】（1）连接 与 ，
由于四边形 为菱形，故
由于侧面 与平面 垂直，且两平面的交线是 ， 侧面 ，
故 平面 , 平面 ,故 ,
又 ， 平面 ，
故 平面
（2）由（1）知 平面 ， 平面 ,
所以平面 平面 ，且交线为 ,
由于 故三角形 为等边三角形，
取 中点为 ，则 , 平面 ，所以 平面 ，
故建立如图所示的空间直角坐标系，其中 轴与 平行，
,
,
设平面 的法向量为 ，
则 ，取 ，则 ，
设 ，其中 ，,故 ，
故 ，化简得 ，
解得 ，故故存在 ，且 在 的中点.
例7．（2024·高三·重庆·开学考试）在四棱锥 中，已知
， ．
(1)求证：平面 平面 ；
(2)若线段 上存在点 ，满足 ，且平面 与平面 的夹角的余弦值为 ，求实数
的值．
【解析】（1）连接 ，因为 ， ，故 为等边三角形，则 ，
又 ，易知 ，又 ，
故 ，
即 ，有 ，故 ，
又 ， 、 平面 ，且 ，
故 平面 ，又 平面 ，故平面 平面 ；
（2）取 中点 ，连接 与 中点 ，连接 ，
由 ，故 ，又 平面 ，
平面 平面 ，平面 平面 ，
故 平面 ，又 平面 ，故 ，由 ， 、 分别 、 中点，故 ，
即 、 、 两两垂直，故可以 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
由 ， ，故 ，
即有 、 、 、 、 、 ， ，
则 ， ， ， ，
由 ，则 ，即 ，
故 ，
令平面 与平面 的法向量分别为 、 ，
则有 、 ，即 、 ，
令 、 ，则可得 ， ，
则 ，解得 .
【过关测试】
1．（2024·高三·全国·专题练习）如图所示，在四棱锥 中， 底面 ，四边形 中，
， ， ， ．(1)求证：平面 平面 ．
(2)设 ．
①直线 与平面 所成的角为 ，求线段 的长；
②线段 上是否存在一个点 ，使得点 到点 ， ， ， 的距离都相等？说明理由．
【解析】（1） 平面 ， 平面 ，
，
又 ， ， 平面 ，
平面 ，
又 平面 ，
平面 平面 .
（2）①以 为坐标原点，建立空间直角坐标系 （如图），
在平面 内，作 交于点 ，
则
在 中， ，
设 ，则 ， ，
由 ，得 ，
所以 ， ， ,
，
设平面 的法向量为 ，
由 ， ，得 ，
取 得平面 的一个法向量为 ，
又 ，
故由直线 与平面 所成的角为 得 ，
即
解得 或 （舍去，因为 ），所以 ；②解法一：如图所示，假设线段 上存在一个点 ，使得点 到点 ， ， ， 的距离都相等．
设 ，则 ， ， ．
因此由 ，得 ，即 ，
又由 ，得 ，
联立两式，消去 并化简，得 ，由
∵方程 没有实数根，
∴在线段 上不存在一个点 ，使得点 到点 ， ， ， 的距离都相等．
解法二：假设在线段 上存在一个点 到 、 、 、 的距离都相等，
由 ，得 ，
从而 ，即 ，
所以 ，
设 ，则 ， ，
在 中，
，
这与 矛盾，
所以在线段 上不存在一个点 ，使得点 到 、 、 的距离都相等，
从而，在线段 上不存在一个点 ，使得点 到点 、 、 、 的距离都相等．
2．（2024·高三·重庆·阶段练习）如图甲，菱形 的边长为 ， ，将 沿 向上翻折，
得到如图乙所示的三棱锥 .(1)证明： ；
(2)若 ，在线段 上是否存在点 ，使得平面 与平面 所成角的余弦值为 ？若存在，
求出 ；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）取 中点 ，连接 ，
菱形 中， ，
所以 ，
又因为 ， 平面 ，
平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，所以 .
（2） 中，因为 ，所以 ，
由余弦定理得 ，解得 ；
在 中， ，
所以 .
在平面 中，作 ，交 于点 ，
则以 为坐标原点，分别以 方向为 轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，
则 ，又 ，
假设在线段 上存在符合要求的点 .
设平面 的法向量 ，
由 ，则 ，取 .
由题可取平面 的法向量 ，
所以 .
当 时， ；当 时， .
所以当 或 时，平面 与平面 所成角的余弦值为 .
3．（2024·高三·湖南长沙·阶段练习）如图，在四棱锥 中， 平面
.
(1)求证：平面 平面 ；
(2)若点 为 的中点，线段 上是否存在点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 .若存
在，求 的值；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）设 的中点为 ，因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 三点共线，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
因为 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以平面 平面 .（2）以 所在的直线为 轴和 轴，过 点作平行于 的直线为 轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，则 ，
因为 为 的中点，所以 ，
设 ，所以 ，
所以 ，
由（1）知 平面 ，所以平面 的一个法向量为 ，
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ，
即当 或 时，直线 与平面 所成角的正弦值为 .
4．（2024·陕西咸阳·二模）在几何体中，底面 是边长为2的正三角形． 平面 ，若
．
(1)求证：平面 平面 ；(2)是否在线段 上存在一点 ，使得二面角 的大小为 ．若存在，求出 的长度，若不存在，
请说明理由．
【解析】（1）证明：如图，设 分别为 边的中点，连接 ，
因为 平面 ，
所以 ， ,进而 ，
即四边形 为平行四边形，可得 ，
在底面正三角形 中， 为 边的中点，则 ，
又 平面 ，且 平面 ，所以 ．
由于 ，且 平面 ，所以 平面 ．
因为 平面 ，则 平面 ，
又 平面 ，则平面 平面 ．
（2）如图，以点 为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则 ．
设点 ，则 ．
设平面 的法向量为 ，平面 的法向量为 ．
由题意知 即
令 ，则 ，即 ，即 取 ，则 ，
由 ，
，解得： ，由于点 为线段 上一点，故 ，所以 ，
当 时，二面角 所成角为锐角，即存在点 满足，此时 ．
5．（2024·全国·一模）如图，棱柱 的所有棱长都等于2，且 ，平面
平面 ．
(1)求平面 与平面 所成角的余弦值；
(2)在棱 所在直线上是否存在点P，使得 平面 ．若存在，求出点P的位置；若不存在，说明
理由．
【解析】（1）如图：
取 中点 ，连接 ， ， .
因为各棱长均为2，且 ，所以 是等边三角形.
所以 .
又因为 ， ，所以 是等边三角形.
所以 ，又平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 ，
所以 平面 .
由 ，所以可以以 为原点，建立如图空间直角坐标系.那么： ， ， ， .
设平面 的法向量为 ，则
，取 ；
因为 平面 ，可取平面 的法向量 .
则 ，即为平面 与平面 所求角的余弦值.
（2）因为 ，
设 ，因为 在 上，可设 ，
则 ，
可得 .
设平面 的法向量为 ，
则 ，
取 .
由 .
所以存在点P，使得 平面 ，此时点P在 的延长线，且 .
6．（2024·高三·重庆·阶段练习）如图， 是以 为直径的圆 上异于 ， 的点，平面 平面
， ， ， ， 分别是 ， 的中点，记平面 与平面 的交线为直线
.
(1)求证：直线 平面 ；
(2)直线 上是否存在点 ，使直线 分别与平面 ，直线 所成的角互余？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）∵ ， 分别是 ， 的中点，∴ ，
又 平面 ， 平面 ，∴ 平面 ，
又 平面 ，平面 平面 ，∴ ，
又 ，平面 平面 ，平面 平面 ，
∴ 平面 ，则 平面 ；
（2）取 中点 ，连接 ，∵ ，∴ ，
∵平面 平面 ，平面 平面 ，
又∵ 平面 ，∴ 平面 ，
又∵ 是以 为直径的圆 上异于 ， 的点，∴ ，
∵点 ， 分别是 ， 中点，
连接 ，则 ，
分别以线段 ， ， 所在的直线为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系 ，
则 ， ， ， ， ， ，
∴ ， ，
设 ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，取 ，得 ，
所以 ，
，
依题意，得 ，
即 ，解得 ，即 ，
∴ ，
∴直线 上存在点 ，使直线 分别与平面 、直线 所成的角互余，且 ．7．（2024·天津河东·一模）在正方体 中（如图所示），边长为2，连接
(1)证明： 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值；
(3)底面正方形 的内切圆上是否存在点 使得 与平面 所成角的正弦值为 ，若存在求
长度，若不存在说明理由．
【解析】（1）
以 为原点， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴，建立空间直角坐标系，
则 ．
平面 的法向量为 ，
，令 ，则 ，
，平面 ；
（2）平面 的法向量为 ，
，令 ，则 ，
平面 与平面 夹角为 ，
；
（3）设 ，且 ，
与平面 所成角为 ，
，
即 ，
解得 或 ，故 或 ，
所以 .
8．（2024·四川成都·模拟预测）在四棱锥 中，已知 ， ，
， ， ， 是线段 上的点．
(1)求证： 底面 ；
(2)是否存在点 使得 与平面 所成角的余弦值为 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理
由．
【解析】（1）在 中， ，
所以 ．
在 中， ，由余弦定理有： ，
所以， ，所以 ，
所以 ，
又因为 ， ， 、 平面 ，所以， 平面 ，
因为 平面 ，所以， ，
在 中： ，则 ，
所以， ，
因为 ， 、 平面 ，
所以 面 ．
（2）因为 平面 ，以点A为坐标原点，
、 、 的方向分别为 、 、 轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，
则有 、 、 、 、 ，
设 ，其中 ，
则 ，
设 为面 的法向量，则有 ，
取 ，则 ，
所以，平面 的一个法向量为 ，
设 与平面 所成的角为
，
由题意可得 ，
可得 ，因为 ，所以 ．因此，存在点 使得 与平面 所成角的余弦值为 ，且 ．
9．（2024·高三·全国·专题练习）如图，已知直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直，
∠AEB＝ ，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2CD＝2BC.
(1)求证：AB⊥DE.
(2)求证：AE⊥平面BCE.
(3)线段EA上是否存在点F，使EC∥平面FBD？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）证明：如图，取AB的中点O，连接EO，DO.
由△ABE为等腰直角三角形及∠AEB＝
可得EB＝EA，所以EO⊥AB.
因为四边形ABCD为直角梯形，AB＝2CD＝2BC，AB⊥BC，
所以四边形OBCD为正方形，故AB⊥OD.
又OD∩OE＝O，OD，OE 平面ODE，
所以AB⊥平面ODE.又ED 平面ODE，所以AB⊥ED.
⊂
⊂
（2）证明：因为平面ABE⊥平面ABCD，平面ABE∩平面ABCD＝AB，
又AB⊥BC，BC 平面ABCD，
所以BC⊥平面ABE.
⊂
因为AE 平面ABE，所以BC⊥AE.
因为EA⊥EB，BC∩BE＝B，BC，BE 平面BCE，
⊂
所以AE⊥平面BCE.
⊂
（3）存在点F，且
＝
时，EC∥平面FBD.理由如下：如图，连接AC交BD于点M，连FM.
因为四边形ABCD为直角梯形，AB＝2CD＝2BC，
所以
＝
＝
.
此时
＝
＝
，所以EC∥FM.
又FM 平面FBD，EC⊄平面FBD，所以EC∥平面FBD.
10．（⊂2024·宁夏吴忠·模拟预测）如图，在四棱锥 中，底面 是边长为2的正方形，
底面 ， ，点 在棱 上， 平面 .
(1)试确定点 的位置，并说明理由；
(2)是否存在实数 ，使三棱锥 体积为 ，若存在，请求出具体值，若不存在，请说明理由.
【解析】（1）点 是 的中点，理由如下：连接 ，交 于点 ，连结 ，
底面 是正方形， 、 相交于点 ，
是 的中点，
平面 ， 含于平面 ，平面 平面 ，
， 中， 是 的中点，
是 的中点.
（2） 为 中点，
.
若 ，则
底面 ， ，
，解得 .
存在 ，使三棱锥 体积为 .
11．（2024·陕西西安·一模）如图，在三棱锥 中，侧面 是边长为1的正三角形，
分别为 的中点，平面 与底面 的交线为 ．
(1)证明： 平面 ；
(2)若三棱锥 的体积为 ，试问在直线 上是否存在点 ，使得直线 与平面 所成的角为 ，异面直线 与 所成的角为 ，且满足 .若存在，求出线段 的长度；若不存在，请说明理
由.
【解析】（1）因为 分别为 的中点，
所以 .
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
又 平面 ，平面 与底面 的交线为 ，所以 .
从而 .
而 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
（2）取 的中点记为 ，连接 ，
因为 是边长为 的正三角形，所以 ， .
由（1）可知，在底面 内过点 作 的平行线，即平面 与底面 的交线 .
由题意可得 ，即 ，
所以 的面积 .
设点 到平面 的距离为 ，
则由已知可得 ，于是 .
因为 ，所以 平面 ，
取 的中点记为 ，连接 ，则 .
因为 ，所以 .
以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴､ 轴､ 轴，如图建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ， ，设 .于是 ， ， .
设平面 的一个法向量为 ，
则 ， 即 ，
取 ，则 ， ，即 是平面 的一个法向量，
所以 .
又直线 与平面 所成角为 ，
于是 .
又 ，
而异面直线 所成角为 ，于是 .
假设存在点 满足题设 ，则 ，
即 ，所以 .
当 时， ，此时有 ；
当 时， ，此时有 .
综上所述，这样的点 存在，且有 .
12．（2024·贵州黔东南·二模）如图，在多面体 中，四边形 为菱形， 平面 ，
， ， ， .(1)证明：平面 平面 ；
(2)试问线段 上是否存在一点 ，使得平面 与平面 夹角的余弦值为 ？若存在，请判断点
的位置；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）证明：因为四边形 为菱形，所以 .
因为 平面 平面 ，所以 .
又因为 ，且 平面 ，所以 平面 .
因为 平面 ，所以平面 平面 .
（2）设 ，以 为坐标原点， 的方向分别为
轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则
设 ，则
设平面 的法向量为 ，因为 ，
所以 令 ，则 .
设平面 的法向量为 ，因为 ，
所以 令 ，则 .
因为平面 与平面 夹角的余弦值为 ，
所以 ，
解得 或 （舍去），
所以存在 满足题意，且 为 的中点.
13．（2024·湖南邵阳·二模）如图所示，在四棱台 中，底面 是菱形， 平面.
(1)证明： ；
(2)若 ，棱 上是否存在一点 ，使得平面 与平面 的夹角
余弦值为 .若存在，求线段 的长；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）
证明：连接 ，因为底面 是菱形，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 ；
又 ，所以 平面 .
因为四棱台 中， 、 延长线交于一点，
所以 四点共面，所以 .
（2）由（1）知，建立如图所示空间直角坐标系 ，
则 ，
若存在点 满足题意，则设 .
易知平面 的一个法向量
设平面 的法向量 .
.
则 则
令 ，则 .，解之得 .
故在棱 上存在点 满足题意，此时 或 .
14．（2024·高三·湖北荆州·阶段练习）设四边形 为矩形，点 为平面 外一点，且 平面
，若
(1)求 与平面 所成角的正切值；
(2)在 边上是否存在一点 ，使得点 到平面 的距离为 ，若存在，求出 的值，若不存在，
请说明理由；
【解析】（1）因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
又 平面 ，所以 平面 ，
所以 即为 与平面 所成角的平面角，
在 中， ，则 ，
所以 与平面 所成角的正切值为 ；
（2）假设存在，设 ，
连接 ，作 于点 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
又 平面 ，所以 平面 ，
所以 即为点 到平面 的距离，
由 ，得 ，
由 ，解得 ，
所以存在， .15．（2024·福建·模拟预测）在 中， ， ， 的平分线交AB于点D，
.平面α过直线AB，且与 所在的平面垂直.
(1)求直线CD与平面 所成角的大小；
(2)设点 ，且 ，记E的轨迹为曲线Γ.
（i）判断Γ是什么曲线，并说明理由；
（ii）不与直线AB重合的直线l过点D且交Γ于P，Q两点，试问：在平面α内是否存在定点T，使得无论
l绕点D如何转动，总有 ？若存在，指出点T的位置；若不存在，说明理由.
【解析】（1）因为平面 ，
平面 平面 ，
所以 .
所以直线 在 内的射影为直线 ，
所以直线 与 所成角为 .
过 作 ，垂足为 .
因为 平分 ，
所以 .
又 ，所以 ，所以
又 ，所以 .
因为 ，所以 ，
所以直线 与平面 所成角为 .
（2）（i）曲线 是椭圆,理由如下：
由（1）可知， ，
所以 是 的中点,设 的中点为 ，所以 .
又 ，所以 .
在 内过 作 ，所以
以 为原点， 所在的方向分别为 轴， 轴， 轴的正方向，
建立空间直角坐标系 ，如图所示.
因为 ，所以 ，
设 ，又 ，
则 .
因为 ，又 ，
所以 ，
化简得 ，即 ，
所以曲线 是椭圆.
（ii）方法一：设 .
在平面 内，因为 与 不重合，可设 ，
由 得 ，所以 .
由对称性知，若存在定点 满足条件，
则 必在平面 与 的交线 上，故可设 .
若 ，则 ，
即 ，
因为 ，
所以 ，
当 时，上式恒成立，所以 符合题意；当 时，有 ，
所以 ，
所以 .
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，即 .
因为上式对于任意的 恒成立，所以 .
综上，存在点 满足 ，或 时，符合题意.
方法二：设
在平面 内，因为 与 不重合，可设 ，由 得 ，
所以 .
由对称性知，若存在定点 满足条件，则 必在平面 与 的交线 上，故可设 .
当 与 重合时，因为 ，又 ，
所以 .
所以当 时，符合题意.
当 与 不重合时，过 作 ，
垂足分别为 .连接 ，
则因为 ，所以 .
又 ，所以 平面 ，
所以 ，同理
又 ，所以 ，所以 ，
所以Rt Rt ，所以直线 平分
又 在 轴上，所以在平面 内直线 的倾斜角互补
在平面 内，设直线 的斜率分别为 ，则
，
对于任意的 恒成立，所以 .
综上，存在点 满足 ，或 时，符合题意.
16．（2024·山西运城·一模）如图，在矩形纸片 中， ， ，沿 将 折起，使点
到达点 的位置，点 在平面 的射影 落在边 上.
(1)求 的长度；
(2)若 是边 上的一个动点，是否存在点 ，使得平面 与平面 的夹角余弦值为 ？若存在，
求 的长度；若不存在，说明理由.
【解析】（1）作 ，垂足为 ，连接 ，如下图所示：
由点 在平面 的射影 落在边 上可得 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
因为 ，且 平面 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
又因为 为矩形， ，可得 ，
由 ， 可得 ，
所以 ， ；由 可得 ，即 ；
即 的长度为1.
（2）根据题意，以点 为坐标原点，以过点 且平行于 的直线为 轴，分别以 所在直线为
轴建立空间直角坐标系，如下图所示：
则 ，并设 ，
可得 ，所以 ；
易知 ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
所以 ，解得 ，取 ，则 ，
即 ，
设平面 的一个法向量为 ，
所以 ，解得 ，取 ，则 ，
即 ，
因此可得 ，整理可得 ，
解得 （舍）或 ；
因此 ，即可得 .
所以 的长度为 .
17．（2024·广东梅州·一模）已知三棱柱 中， ， ，且 ，
，侧面 底面 ， 是 的中点.(1)求证：平面 平面 ；
(2)在棱 上是否存在点 ，使得 与平面 的所成角为60°.如果存在，请求出 ；如果不存在，
请说明理由.
【解析】（1）在 中， ，由余弦定理，
得 ，解得 ，得 .
在 中， ，则 为正三角形，
取BD的中点O，连接 ，则 ，又平面 平面 ，
平面 平面 平面 ，所以 平面 .
取 的中点E，连接OE，则 ，而 ，所以 ，
由 平面 ，所以 ，
以O为原点，以 所在直线为 轴建立如图空间直角坐标系，
则 ，
所以 ，
设平面 和平面 的一个法向量分别为 ，
则 ，
令 ，则 ，
所以 ，所以 ，
故平面 平面 ；
（2）由（1）知， ， ， ， ， ，
由 ，即 ，得 ，所以 ，设 ，
则 ，又 ，
所以 ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，令 ，得 ，
所以 ，
所以 ，
整理，得 ，方程在 上无实数解，
所以在 上不存在点Q，使得 与平面 所成角为 .
18．（2024·四川成都·模拟预测）在四棱锥 中，已知 ，
是线段 上的点.
(1)求证： 底面 ；
(2)是否存在点 使得三棱锥 的体积为 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）证明：在 中， ，所以 .
在 中， ，由余弦定理有：
，
所以 ，所以 ，
所以 ，又因为 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
在 中： ，则 ，
所以 ，因为 平面 ，
所以 面 .
（2）因为 ，
设 ，
，
，
，
因此，存在点 使得三棱锥 的体积为 ，且 .
19．（2024·广东汕头·一模）如图，三棱台 中，侧面四边形 为等腰梯形，底面三角形
为正三角形，且 .设 为棱 上的点.
(1)若 为 的中点，求证： ；
(2)若三棱台 的体积为 ，且侧面 底面 ，试探究是否存在点 ，使直线 与平面 所成角的正弦值为 ？若存在，确定点 的位置；若不存在，说明理由.
【解析】（1）取 中点 ，连结 、 ，则 ，
由 平面 ，得 平面 ，又 平面 ，
所以 .
（2）取 中点 ，连结 ，由（1）得 为二面角平面 的平面角，
由平面 平面 得： ，即 ，
以 为原点，直线 分别为 轴建立空间直角坐标系，
设该棱台的高为 ，由 ，得 ，
则 ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，取 ，得 ，
设 ，则 ，
于是 ，解得 或 (舍去)，所以存在点 满足条件，此时 与 重合.
