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第 36 讲 排列组合核心解题策略
【典型例题】
例1．（2024·高三·辽宁沈阳·阶段练习）我们称 元有序实数组 为 维向量，
为该向量的范数.已知 维向量 ，其中 ，记范数为
奇数的 的个数为 ，则 ； （用含 的式子表示， ）.
例2．（2024·上海杨浦·一模）我国古代数学著作《九章算术》中研究过一种叫“鳖（biē）臑（nào）”的
几何体，它指的是由四个直角三角形围成的四面体，那么在一个长方体的八个顶点中任取四个，所组成的
四面体中“鳖臑”的个数是 .
例3．（2024·高三·江苏·阶段练习）第19届杭州亚运会的吉祥物是一组名为“江南忆”的机器人：“琮
琮”代表世界遗产良渚古城遗址，“莲莲”代表世界遗产西湖，“宸宸”代表世界遗产京杭大运河.现有6
个不同的吉祥物，其中“琮琮”､“莲莲”和“宸宸”各2个，将这6个吉祥物排成前后两排，每排3个，
且每排相邻两个吉祥物名称不同，则排法种数共有 .（用数字作答）
例4．（2024·高三·云南昆明·开学考试）现将6本不同的书籍分发给甲乙丙3人，每人至少分得1本，已知
书籍 分发给了甲，则不同的分发方式种数是 .（用数字作答）
例5．（2024·高三·全国·专题练习）某校王老师带着2名女生和3名男生去参加数学建模比赛，比赛结束
要进行拍照留念，若王老师不站在两端，2名女生相邻，则不同的站法共有（ ）
A．120种 B．144种 C．158种 D．186种
例6．（2024·全国·模拟预测）为了配合社区做好新冠肺炎疫情防控工作，某校要派四名教师到甲、乙两个
社区开展志愿者服务，若每个教师只去一个社区，且两个社区都有教师去，则不同的安排方法有（ ）
A．14种 B．20种 C．10种 D．7种
例7．（2024·广东·一模）已知集合 ，若 且互不相等，则使得指数函数
，对数函数 ，幂函数 中至少有两个函数在 上单调递增的有序数对 的个
数是（ ）
A．16 B．24 C．32 D．48
例8．（2024·全国·模拟预测）某电影院中有如图所示A至J共10个座位，现有一对夫妇带领2个孩子
（一男孩和一女孩）观看电影《八角笼中》，要求妈妈和女儿不坐在同一行也不坐在同一列，爸爸和儿子不坐在同一行也不坐在同一列，则不同的就座方法总数为（ ）
A B C D E
F G H I J
A．480 B．960 C．1040 D．1120
例9．（2024·福建厦门·二模）设集合 ， ，那么集合
中满足 的元素的个数为（ ）
A．60 B．100 C．120 D．130
例10．（2024·山东临沂·一模）将1到30这30个正整数分成甲､乙两组，每组各15个数，使得甲组的中
位数比乙组的中位数小2，则不同的分组方法数是（ ）
A． B． C． D．
例11．（2024·全国·模拟预测） 年高考考场的规格为每场 名考生，分为 排 列，依照下图所示的
方式进行座位号的编排．为了确保考试的公平性，考生的试题卷分为 卷和 卷，座位号为奇数的考生使
用 卷，座位号为偶数的考生使用 卷．已知甲、乙、丙三名考生在同一考场参加高考，且三人使用的试
卷类型相同，三名考生中任意两人不得安排在同一行或同一列，则甲、乙、丙三名考生的座位安排方案共
有（ ）
第四 第一
第五列 第三列 第二列
列 列
25 24 13 12 01 第一排
26 23 14 11 02 第二排
27 22 15 10 03 第三排
28 21 16 09 04 第四排
29 20 17 08 05 第五排
30 19 18 07 06 第六排
A． 种 B． 种 C． 种 D． 种
【过关测试】
一、单选题
1．（2024·高三·河南·阶段练习）甲、乙等6人去 三个不同的景区游览，每个人去一个景区，每个景区都有人游览，若甲、乙两人不去同一景区游览，则不同的游览方法的种数为（ ）
A．342 B．390 C．402 D．462
2．（2024·高三·江苏南京·开学考试）有5个人到南京、镇江、扬州的三所学校去应聘，若每人至多被一个
学校录用，每个学校至少录用其中一人，则不同的录用情况种数是（ ）
A．300 B．360 C．390 D．420
3．（2024·浙江·模拟预测）某羽毛球俱乐部，安排男女选手各6名参加三场双打表演赛（一场为男双，一
场为女双，一场为男女混双），每名选手只参加1场表演赛，则所有不同的安排方法有（ ）
A．2025种 B．4050种 C．8100种 D．16200种
4．（2024·云南·一模）一个信息设备装有一排六只发光电子元件，每个电子元件被点亮时可发出红色光､
蓝色光､绿色光中的一种光.若每次恰有三个电子元件被点亮，但相邻的两个电子元件不能同时被点亮，根
据这三个被点亮的电子元件的不同位置以及发出的不同颜色的光来表示不同的信息，则这排电子元件能表
示的信息种数共有（ ）
A．60种 B．68种 C．82种 D．108种
5．（2024·高三·全国·专题练习）三个男生三个女生站成一排，已知其中女生甲不在两端，则有且只有两
个女生相邻的概率是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
6．（2024·高二·全国·课后作业）(多选)把5件不同产品A，B，C，D，E摆成一排，则（ ）
A．A与B相邻有48种摆法
B．A与C相邻有48种摆法
C．A，B相邻又A，C相邻，有12种摆法
D．A与B相邻，且A与C不相邻有24种摆法
7．（2024·高三·重庆沙坪坝·阶段练习）历史上著名的伯努利错排问题指的是：一个人有 封不同的
信，投入n个对应的不同的信箱，他把每封信都投错了信箱，投错的方法数为 .例如两封信都投错有
种方法，三封信都投错有 种方法，通过推理可得： .高等数学给出了泰勒公式：
，则下列说法正确的是（ ）
A． B． 为等比数列
C． D．信封均被投错的概率大于
8．（2024·高二·河北张家口·期末）如图，某高速服务区停车场中有A至H共8个停车位（每个车位只能
停一辆车），现有2辆黑色车和2辆白色车要在该停车场停车，则（ ）
A B C DE F G H
A．4辆车的停车方法共有1680种
B．4辆车恰好停在同一行的概率是
C．2辆黑色车恰好相邻（停在同一行或同一列）的停车方法共有300种
D．相同颜色的车不停在同一行，也不停在同一列的概率是
9．（2024·高二·山西运城·期末）商场某区域的行走路线图可以抽象为一个 的正方体道路网（如图，图
中线段均为可行走的通道），甲、乙两人分别从 ， 两点出发，随机地选择一条最短路径，以相同的速
度同时出发，直到到达 ， 为止，下列说法正确的是（ ）
A．甲从 必须经过 到达 的方法数共有9种
B．甲从 到 的方法数共有180种
C．甲、乙两人在 处相遇的概率为
D．甲、乙两人相遇的概率为
10．（2024·高二·江苏盐城·阶段练习）现将9把椅子排成一排，5位同学随机就座，则下列说法中正确的
是（ ）
A．4个空位全都相邻的坐法有720种
B．4个空位中只有3个相邻的坐法有1800种
C．4个空位均不相邻的坐法有1800种
D．4个空位中至多有2个相邻的坐法有9000种
11．（2024·高三·全国·专题练习）美术馆计划从6幅油画，4幅国画中，选出4幅展出，若某两幅画至少
有一幅参展，则不同的参展方案有多少种？（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
12．（2024·高三·云南·阶段练习）各数位数字之和等于8(数字可以重复) 的四位数个数为 ．
13．（2024·河北沧州·一模）有 位大学生要分配到 三个单位实习，每位学生只能到一个单位实习，每个单位至少要接收一位学生实习，已知这 位学生中的甲同学分配在 单位实习，则这 位学生实习的
不同分配方案有 种．（用数字作答）
14．（2024·高三·全国·专题练习）为落实好乡村振兴计划，某机关工会将李莉，王红等5名工作人员分配
到3个乡村去指导工作，要保证每个乡村至少有一名工作人员做指导，其中李莉和王红必须在同一村指导
工作，则不同的分配方案种数为 （用数字作答）.
15．（2024·全国·模拟预测）2023年“中华情·中国梦”中秋展演系列活动在厦门举办，包含美术书法摄影
民间文艺作品展览、书画笔会、中秋文艺晚会等内容．假如在美术书法摄影民间文艺作品展览中，某区域
有2幅不同的美术作品、3幅不同的书法作品、2幅不同的摄影作品，现将这7幅作品挂在同一面墙上，要
求美术作品不能挂两端、摄影作品不能相邻，则不同的排列方法有 种（用数字作答）．
16．（2024·高三·江苏泰州·阶段练习）将“用一条线段联结两个点”称为一次操作，把操作得到的线段称
为“边”．若单位圆上 个颜色各不相同的点经过 次操作后，从任意一点出发，沿着边可以到达其他任
意点，就称这n个点和k条边所构成的图形满足“条件 ”，并将所有满足“条件 ”的图形个数记为
，则 ．
17．（2024·高三·全国·专题练习）现有6根绳子，共有12个绳头，每个绳头只打一次结，且每个结仅含两
个绳头，所有绳头打结完毕视为结束.则这6根绳子恰好能围成一个圈的概率为 .
18．（2024·高三·内蒙古赤峰·开学考试）小王一次买了两串冰糖葫芦，其中一串有两颗冰糖葫芦，另一串
有三颗冰糖葫芦．若小王每次随机从其中一串吃一颗，则只有两颗冰糖葫芦的这串先吃完的概率为
．
19．（2024·高三·河南南阳·期末）某楼梯共有 个台阶，小明在上楼梯的时候每步可以上 个或者 个台
阶，则小明不同的上楼方法共有 种．（用数字作答）
20．（2024·高三·云南昆明·阶段练习）已知集合 中含有 个元素，集合 是 的非空子集，且
，则不同的集合对 有 个．（用含 的代数式表示）
21．（2024·全国·模拟预测）中秋节假期间，某医院要安排某科室的2名男职工和2名女职工进行3天值班
（分白班和夜班，每班1名职工），其中女职工不值夜班，且每个人至少要值班一次，则不同的安排方法
共有 种（用数字作答）．
