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专题02 立体几何大题综合（天津专用）
一、解答题
1．（2023·天津河西·天津市新华中学校考模拟预测）如图，四边形 是边长为2
的菱形， ，四边形 为矩形， ，且平面 平面 .
(1)求 与平面 所成角的正弦值；
(2)求平面 与平面 夹角大小；
(3)若在线段 上存在点 ，使得 平面 ，求点 到平面 的距离.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，表达出各点的坐标，得出 和平面 的法
向量，即可求出 与平面 所成角的正弦值；
（2）求出平面 与平面 的法向量，即可得到平面 与平面 夹角大小；
（3）设出 ，求出平面 的法向量，得出点 坐标，即可求出点 到平面
的距离.【详解】（1）由题意，
∵平面 平面 ，平面 平面 ，
∴ 平面 ，
∵底面 为菱形，
∴ ，
以 为原点， 所在直线为 轴，过点 作 平行线为 轴建立如图所示空间
直角坐标系：
则 ，
∴ ，
平面 的一个法向量是 ，
设 与平面 所成的角为 ，所以 ，
∴ 与平面 所成的角的正弦值为
（2）由题意及（1）得，
，
设平面 的一个法向量为 ，则 ，即 ，
令 ，则 ，所以 ，
设平面 的一个法向量为 ，则 ，即 ，
令 ，则 ，所以 ，所以 ，
因为 ，
∴平面 与平面 的夹角为 .
（3）由题意，（1）及（2）得，
，
设 ， ，
∵ 平面 ，所以 ，即 ，
解得： ，
∴点 为 中点， ，
∴点 到平面 的距离为： .
2．（2023·天津·校联考二模）如图，在四棱锥 中，底面ABCD是矩形，
， 平面ABCD，E为PD中点.
(1)若 .
（i）求证： 平面PCD；
（ii）求直线BE与平面PCD所成角的正弦值；
(2)若平面BCE与平面CED夹角的正弦值为 ，求PA.【答案】(1)（i）证明见解析；（ii）
(2)2
【分析】（1）根据线线垂直结合线面垂直的判断定理即可求解，或者建立空间直角坐
标系，利用空间向量证明.
（2）利用法向量的夹角求解平面的夹角，结合同角关系即可求解.
【详解】（1）（i）方法一
∵ 平面ABCD， 平面ABCD，∴ ，
∵四边形ABCD为矩形，∴ ，又 ，PA， 平面PAD，∴
面PAD，
∵ 面PAD，∴ ，
在 中， ，E为PD中点，∴
∵ ， 面PCD， 面PCD，∴ 平面PCD.
方法二：以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为 轴， 轴， 轴，建立如图所示
的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ， ，
， ， ，∴ .
在 中， ，E为PD中点，∴ .
∵ ， 面PCD， 面PCD.∴ 平面PCD；
方法三：设平面PCD的一个法向量为 ， ， ，
，
则 ，∴ .
令 ，则 ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ 平面PCD.
（ii）由（i）得： 平面PCD, 平面PCD, ，在 中， ，E为PD中点，
∴ ，∵ ， 面PCD， 面PCD.
∴ 平面PCD，∴ 为平面PCD的一个法向量 ， .
记直线BE与平面PCD所成角为 ，
∴ ，
∴直线BE与平面PCD所成角的正弦值为 ；
（2）设 ，∴ ， ，
设平面BCE的一个法向量为 ，
则 ，∴ ，
令 ，解得 ，∴ ，
设平面CPD的法向量 ，又 ， ，
则 ，∴ ，令 ，解得 ，∴ ，
设平面BCE与平面CED的夹角大小为 ，
则 .
因为 ，所以 ，
即 ，
解得 ，即 .
3．（2023·天津津南·天津市咸水沽第一中学校考模拟预测）如图，在四棱锥
中， 底面ABCD， ， ， ， ，
点E为棱PC的中点．
(1)证明： ；
(2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；
(3)若F为棱PC上一点，满足 ，求平面FAB与平面PAB所成角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2) ；
(3) .
【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用位置关系的向量证明推理判
断 .
（2）利用空间向量求出线面角的正弦作答.
（3）利用空间向量确定点F的位置，再利用空间向量求出面面角的余弦作答.
【详解】（1）在四棱锥 中， 底面ABCD， ，以点 为原点建立空间直角坐标系，如图，
依题意， ， 的中点 ，
向量 ， ，则 ，所以 .
（2）向量 ，设 为平面 的法向量，
则 ，令 ，得 ，
于是有 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
（3） ，
由点 在棱 上，得 ，
由 ，得 ，解得 ，即 ，
设 为平面 的法向量，则 ，令 ，得
，
显然 为平面 的一个法向量，则
，显然平面FAB与平面PAB所成角是锐角，
所以平面FAB与平面PAB所成角的余弦值这 ．
4．（2023·天津河北·统考二模）如图，在直三棱柱 中， 是以BC为
斜边的等腰直角三角形， ，D，E分别为BC， 上的点，且
.
(1)若 ，求证： 平面 ；
(2)若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值；
(3)若平面 与平面ACD的夹角为 ，求实数t的值.
【答案】(1)证明见解析；
(2) ；
(3)
【分析】（1）由 ，得到点D，E分别为 的中点，易得四边形 为平
行四边形，四边形 是平行四边形，进而得到 ，再利用线面平行的判定
定理证明；
（2）以 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系 ，求得直线的方向向量和平面的法向量，根据线面角的空间向量的求法即可求解；
（3）设平面 的一个法向量为 ，再由平面 的一个法向量为
，根据二面角 的大小为 ，由 求解．
【详解】（1）
当 时， ，即点D，E分别为 的中点，
在直三棱柱 中， ，
所以四边形 为平行四边形，
连接 ，则 ，
所以 ，
所以四边形 是平行四边形，
所以 ．
又因为 平面 平面 ，
所以 平面 ．
（2）平面 ，又 ，
以 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系 ，
则点 ，
当 时， ，即点D，E分别为 的中点，则 ，
所以 ，
设平面 的一个法向量 ，
则 ，即 ，令 ，则 ，
所以平面 的一个法向量 ，
则 ，
令直线 与平面 所成角为 ，则 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
（3）由（2）可得 ，
所以 ，
所以 ．
设平面 的一个法向量为 ，
则 即 ，取 ，
又平面 的一个法向量为 ，
因为平面 与平面ACD的夹角为 ，
所以 ，即 ，得 ，
又因为 ，所以 ．
5．（2023·天津南开·南开中学校考模拟预测）在四棱锥 中， 底面
，且 ，四边形 是直角梯形，且 ， ， ，
， 为 中点， 在线段 上，且 .
(1)求证： 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值；
(3)求点 到平面 的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）（2）（3）根据题意，以 为坐标原点， 为 轴， 为 轴，
为 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得；
【详解】（1）证明：以 为坐标原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴建立空间
直角坐标系，则 ， ， ， ， ， ， ，
，
易知平面 的一个法向量为 ，故 ，
则 ，
又 平面 ，故 平面 ．
（2）易知平面 的一个法向量为 ，
设平面 的法向量为 ，
且 ， ，
则 ，令 ，则 ， ， ，
设平面 与平面 夹角为 ，易知 为锐角，
所以 ，即平面 与平面 夹角的余弦值为 ．
（3）设平面 的法向量为 ，且 ，
则 ，令 ，则 ， ，故 ，
设点 到平面 距离为 ， ．
6．（2023·天津红桥·统考二模）如图，在底面是矩形的四棱锥 中， 平
面 ， ， ， 是PD的中点.(1)求证：平面 平面PAD；
(2)求平面EAC与平面ACD夹角的余弦值；
(3)求B点到平面EAC的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据已知条件建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，利用两向量的
数量积的坐标表示及线面垂直的判定定理，结合面面垂直的判定定理即可求解；
（2）求出平面EAC与平面ACD的法向量，利用向量的夹角公式及面面角的定义即可
求解；
（3）根据（2）得出平面EAC的法向量，利用点到平面的距离公式即可求解.
【详解】（1）由题可知，以 为原点，建立空间直角坐标系 ，如图所示
则
所以
所以 即 ,
所以 即 ,又 , 平面PAD,所以 平面PAD,
又 平面 ，所以平面 平面PAD.
（2）设平面 的法向量为 ，则
，即 ，
令 ，则 ，所以 ，
由题意知， 平面 ，平面ACD的法向量为 ,
设平面EAC与平面ACD夹角的 ，则
，
所以平面EAC与平面ACD夹角的余弦值为 .
（3）由（2）知，平面 的法向量为 ，
设B点到平面EAC的距离为 ，则
，
所以B点到平面EAC的距离为 .
7．（2023·天津·校联考模拟预测）如图，在三棱锥 中， 底面 ，
．点 ， ， 分别为棱 ， ， 的中点， 是线段 的中点，
， ．
(1)求证： 平面 ；
(2)求点 到直线 的距离；(3)在线段 上是否存在一点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 ，
若存在，求出线段 的值，若不存在，说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）（2）（3）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算即可.
【详解】（1）因为 底面 ， ，
建立空间直角坐标系如图所示，
则 ，
所以 ，
设 为平面 的法向量，
则 ，即 ，不妨设 ，可得 ，
又 ，
可得 ，因为 平面 ，
所以 平面 ，
（2）因为 ，所以点 到直线 的距离 .
（3）设 ， ，则 ，
设平面 的法向量为 ，
则 令 ，则 ，
所以 ，
即 ，解得 或 （舍去），
所以 .
8．（2023·天津和平·耀华中学校考二模）如图，四棱锥 中，侧面PAD为等
边三角形，线段AD的中点为O且 底面ABCD， ，
，E是PD的中点．
(1)证明： 平面PAB；
(2)点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为 ，求平面MAB与平面ABD
夹角的余弦值；
(3)在（2）的条件下，求点D到平面MAB的距离．【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）首先以点 为原点，建立空间直角坐标系，求平面 的法向量 ，
根据 ，即可证明；
（2）根据线面角的向量公式，求点 的坐标，再根据二面角的向量公式，计算求值；
（3）根据（2）的结果，可知平面 的法向量为 ，代入点面距离的向量公式，即
可求解.
【详解】（1）连接OC，因为 ，所以四边形OABC为平行四边形，
所以 ，所以 ，以OC，OD，OP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标
系，
则 ， ， ， ．
， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，则 ，令 ， ，平面PAB的一个法向量 ，
，则 ，又 平面PAB，所以 平面PAB．
（2） ，设 ，
则 ，
因为点M在棱PC上，所以 ， ，
即 ，
所以 ，所以 ，
平面ABCD的法向量为 ，
因为直线BM与底面ABCD所成角为 ，
所以 ，
，
解得 ，所以 ，
设平面MAB的法向量为 ，
则 ，即 ，
令 ，则 ，
所以 ，所以平面MAB与平面ABD夹角的余弦值 ．
（3） ，点D到平面MAB的距离 ．
9．（2023·天津河西·统考三模）已知直三棱柱 中， ，
， ，D,E分别为 的中点，F为CD的中点.
(1)求证： //平面ABC；
(2)求平面CED与平面 夹角的余弦值；
(3)求点 到平面 的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，证明 垂直平面 的法向量即可；
（2）利用空间向量求出两个平面的法向量，然后用夹角公式计算；
（3）利用点到面距离的向量的公式计算.【详解】（1）
在直三棱柱 中， 平面 ，且 ，
以点B为坐标原点，BC，BA， 所在直线分别为x，y，z轴建立如下图所示的空间
直角坐标系.
则 ， ， ， ， .
易知平面ABC的一个法向量为 ，则 ，故 ，又因为
平面 ，故 //平面
（2） ，
设平面CED的法向量为 ，则 ，
不妨设 ，因为 ，
设平面CED的法向量为 ，则 ，不妨设
则
因此，平面CED与平面 夹角的余弦值为 .
（3）因为 ，根据点到平面的距离公式，
则即点 到平面CED的距离为 .
10．（2023·天津南开·统考一模）如图，四棱锥 中，平面 平面
是 中点，
是 上一点.
(1)当 时，
（i）证明： 平面 ；
（ii）求直线 与平面 所成角的正弦值；
(2)平面 与平面 夹角的余弦值为 ，求 的值.
【答案】(1)（i）证明见解析；（ii）
(2)
【分析】（1）（i）以 为坐标原点， 为 轴， 为 轴，过点 作面 的
垂线为 轴，建立空间直角坐标系，求平面 的法向量 和直线 的方向向量，
证得 ，即可证明 平面 ；（ii）求直线 的方向向量，由线面角
的向量公式代入即可得出答案.
（2）设 ，求平面 与平面 的法向量，由二面
角的向量公式可求出 ，即可求出 的值.【详解】（1）解：如图建立空间直角坐标系，以 为坐标原点， 为 轴， 为
轴，过点 作
面 的垂线为 轴，则由题意可得 ，
由 ，及 即 ，
可得 .
（i）设平面 的一个法向量为 ，
则 解得
令 ，得 是平面 的一个法向量.
因为 ，
所以 .又 平面 ，
所以 平面 .
（ii）由（i）可得 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
（2）设 ，
则 ，设 是平面 的一个法向量，
则 ，
取 ，则 是平面 的一个法向量，
则 ，
解得 或 （舍去）.
所以 .
11．（2023·天津·天津市宁河区芦台第一中学校联考模拟预测）已知正三棱柱
中，侧棱长为 ，底面边长为2，D为AB的中点.
(1)证明： ；
(2)求二面角 的大小；
(3)求直线CA与平面 所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
(3)
【分析】（1）由正三棱柱的性质可得 平面 ，再利用线面垂直的判定定理即可证明 平面 ，即可得 ；（2）以 的中点 为坐标原点，建
立空间直角坐标系利用空间向量与二面角的几何关系即可求得二面角 的大
小为 ；（3）根据（2）中结论，利用线面角与空间向量的关系即可得直线CA与平
面 所成角的正弦值为 .
【详解】（1）由 为正三棱柱可知， 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
由底面是边长为2的正三角形，D为AB的中点，所以 ；
又 ， 平面 ，所以 平面 ；
又 平面 ，所以 ；
（2）取线段 的中点分别为 ，连接 ，
易知 两两垂直，以 为坐标原点，分别以 所在直线为 轴
建立空间直角坐标系 ，如下图所示;
由侧棱长为 ，底面边长为2可得，
，
由D为AB的中点可得 ，所以 ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，令 ，可得 ；
即 ；
易得 即为平面 的一个法向量，
所以 ，
设二面角 的平面角为 ，由图可知 为锐角，
所以 ，即 ；
即二面角 的大小为 .
（3）由（2）可知 ，平面 的一个法向量为 ，
设直线CA与平面 所成的角为 ，
所以 ，
即直线CA与平面 所成角的正弦值为 .
12．（2023·天津河北·统考一模）如图，在四棱锥 中，底面 为矩形，
平面 ， ， ，点 在线段 上，且 .(1)求证： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值；
(3)求平面 与平面 的夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据线面垂直的性质可得 ，利用相似三角形的判定与性质可得
，结合线面垂直的判定定理即可得出结果；
（2）（3）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.
【详解】（1）证明： 平面 ， 平面 ， ， ，
．
， ， ， ，所以 ，又
，
所以 ， ，
， ， ， 平面 ， 平面 .
（2） 平面 ， 平面 ， 平面 ，
， ， 为矩形， ，
， ， 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系 ，则 ， ， ， ， ， ，
， ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，令 ，则 ，
设直线 与平面 所成角为 ，则 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
（3）平面 的一个法向量为 ，
设平面 与平面 的夹角为 ，
则 ，
所以平面 与平面 的夹角的余弦值为 .
13．（2023·天津和平·统考二模）如图，在四棱柱 中，底面 是
正方形，平面 平面 ．(1)求证： ；
(2)求直线 与平面 所成角的余弦值；
(3)求平面 与平面 的夹角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2) ；
(3)
【分析】（1）由面面垂直的性质可得 平面 ，再由线面垂直的性质即可得
证；
（2）（3）取 的中点 ，连接 ，以点 为坐标原点， 的方向分别
为 轴， 轴， 轴的正方向，建立空间坐标系，利用空间向量解答.
【详解】（1）证明：因为四边形 为正方形，所以 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，
所以 ；
（2）解：取 的中点 ，连接 ，
因为 为 的中点，所以 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 平面 ，
所以 平面 ，
以点 为坐标原点， 的方向分别为 轴， 轴， 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，
，
设平面 的法向量为 ，
由 ，令 ，
则 ，
设直线 与平面 所成角为 ，
，
则直线 与平面 所成角的余弦值为 ；
（3）解：设平面 的法向量为 ，
由 ，令 ，则 ，
设平面 与平面 的夹角为 ，
，
所以平面 与平面 的夹角的正弦值为 ．14．（2023·天津河西·统考二模）如图，在直三棱柱 中，M为棱 的中
点， ， ．
(1)求证： 平面AMC；
(2)求异面直线AM与 所成角的余弦值；
(3)求平面AMC与平面 的夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，得到各点坐标，确定 ， ，
得到证明.
（2）确定 ， ，根据向量的夹角公式计算得到答案.
（3）确定平面 的法向量和平面 的法向量，根据向量的夹角公式计算得到
答案.
【详解】（1）如图所示：以 为 轴建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ， ，则 ， ， ，
则 ， ；
， .
， 平面 ，故 平面 .
（2） ， ，则 .
故异面直线AM与 所成角的余弦值为 .
（3）设平面 的法向量为 ，则 ，
取 得到 ；
设平面 的法向量为 ，则 ，
取 得到 ；
平面AMC与平面 的夹角的余弦值为 .
15．（2023·天津南开·统考二模）如图，在直三棱柱 中， ，
， 为 的中点， ，垂足为 .(1)求证： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值；
(3)求平面 与平面 的夹角.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面 的一个法向量，由直
线的方向向量与平面的法向量垂直及线面平行的条件得证；
（2）由空间向量法求线面角；
（3）由空间向量法求二面角．
【详解】（1）如图，以A为坐标原点，直线 为 轴， 为 轴， 为 轴建立
空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ，
， ， ，设平面 的一个法向量为 ，
则 解得 ，
令 ，得 .
因为 ，所以 .
又 平面 ，
所以 平面 .
（2）设 ，则 .
因为 ，所以 .
即 ，解得 ，
所以 .
所以 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
（3）设平面 的一个法向量为 ，
则 解得
令 ，得 .
因为 ，所以 .
所以平面 与平面 夹角为 .
16．（2023·天津河西·统考一模）已知四棱锥 中， 平面 ，， ， ， 线段 的中点．
(1)求证：直线 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值；
(3)求平面 与平面 夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据已知条件建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出直线
的方向向量和平面 的法向量，利用线面平行的条件即可求解;
（2）求出直线 的方向向量和平面 的法向量，利用向量的夹角公式，结合线面
角与向量夹角的关系即可求解；
（3）根据（2）的得出平面 的法向量，再求平面 的法向量，利用向量的夹
角公式，结合面面角与向量夹角的关系即可求解.
【详解】（1）以点A为坐标原点，以AB，AD所在直线分别为x，z轴，以与AB垂直
的直线为y轴，建立空间直角坐标系 ，如下图所示，则 ， ， ， ， ， ．
所以 ， .
因为 平面 ，,
所以平面PAB的法向量为 ，
所以 ，
所以 ，由因为 平面PAB，
所以直线 平面PAB．
（2）由题意知， ， ，
设 为平面PCD的法向量,则
，即 ，
令 ，则 ，
所以 ，
因为 ，设直线BE与平面PCD所成角为 ，
则 ，
所以直线BE与平面PCD所成角的正弦值为 ．
（3）由题意知， ，
设平面PAD的法向量为 ，则，即 ，
令 ，则 ，
所以 ，
又因为平面PCD的法向量 ，
设平面PCD与平面PAD的夹角为 ，
则 ．
所以平面PCD与平面PAB夹角的余弦值为 ．
17．（2023·天津和平·耀华中学校考一模）如图，三棱柱 中， ，
， .
(1)证明 ；
(2)若平面 平面 ， ，求直线 与平面 所成角的正弦值；
(3)在（2）的条件下，求平面 与平面 夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析；
(2) ；
(3) .
【分析】（1）取 中点 ，根据给定条件，利用线面垂直的判定、性质推理作答.（2）由已知证得 平面 ，再以O为原点建立空间直角坐标系，利用空间向
量求出线面角的正弦作答.
（3）利用（2）的条件，借助空间向量求出两个平面夹角的余弦作答.
【详解】（1）在三棱柱 中，取 中点 ，连接 ，因为 ，
则 ，
而 ，即 为正三角形，则有 ，
又 平面 ，于是 平面 ，而 平面 ，
所以 .
（2）由（1）知， ，又平面 平面 ，且交线为 ，
则平面 内直线 平面 ，
则 两两垂直，以 为坐标原点，射线 的方向分别为 轴的
正方向，建立空间直角坐标系，
令 ，则 , ，
则 ，
设 为平面 的一个法向量，则 ，令 ，得
，
直线 与平面 所成的角为 ，则，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
（3）由（2）知，平面 的法向量 ， ，
令 为平面 的一个法向量，则 ，令 ，
得 ，
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 .
18．（2023·天津津南·天津市咸水沽第一中学校考模拟预测）如图，在三棱柱
中，平面 平面 ， 是 的中点，且
.
(1)证明： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值；
(3)求平面 与平面 所成角的余弦值.
【答案】(1)证明见详解
(2)(3)
【分析】（1）根据线面垂直的判定定理结合面面垂直的性质定理分析证明；
（2）建系，利用空间向量求线面夹角；
（3）建系，利用空间向量求面面夹角
【详解】（1）连接 ，
由题意可知： 为等边三角形，且 是 的中点，
所以 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ， ，
所以 平面 ，
且 平面 ，可得 ，
， 平面 ，
所以 平面 .
（2）取 的中点 ，连接 ，
由题意可知： 为等边三角形，则 ，
因为 ，所以 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
如图，以 为坐标原点原点建立空间直角坐标系，
则 ，
可得 ，设平面 的法向量 ，则 ，
令 ，则 ，即 ，
可得 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
（3）由（1）可知： 平面 ，则 为平面 的法向量，
由（2）可得： ，
所以平面 与平面 所成角的余弦值 .
【点睛】
19．（2023·天津·统考二模）如图，在多面体 中，四边形 为正方形，
平面 ， ， ， .
(1)求证： ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值；
(3)在线段 上是否存在点 ，使得直线 与 所成角的余弦值为 ，若存在，求出点 到平面 的距离，若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
(3)
【分析】(1)建立适当的空间直角坐标系，利用向量垂直证明线段垂直.
(2)求出平面ACF的法向量，以及 的坐标，即可求解.
(3)假设线段DE上存在一点 ，再根据条件求出 ，再利用向量的投影即可求
出点 到平面 的距离.
【详解】（1）依题意，以D为原点，分别以 的方向为x轴，y轴，z轴的
正方向建立空间直角坐标系，可得 , , , , ,
.
依题意， , ,
从而 ,
所以 ，即
（2）依题意， , ,设 为平面ACF的法向量，
则 ，
不妨设 可得 ，
因为 ,
设直线EC与平面ACF所成角为 ，则
，
所以直线EC与平面ACF所成角的正弦值为 .
（3）假设线段DE上存在一点 ，使得直线BG与AD所成角的余弦值为 ，
则 .
依题意 则，
，解得 .
所有存在点 满足条件，
所以可得 ,
由（2）可知平面ACF的一个法向量为 ，
所以点G到平面ACF的距离为20．（2023·天津和平·统考三模）如图，四棱台 中，上､下底面均是正
方形，且侧面是全等的等腰梯形， 分别为 的中点，上下底
面中心的连线 垂直于上下底面，且 与侧棱所在直线所成的角为 .
(1)求证： 平面 ；
(2)求点 到平面 的距离；
(3)边 上是否存在点 ，使得直线 与平面 所成的角的正弦值为 ，若
存在，求出线段 的长；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)详见解析；
(2) ；
(3)存在点 ，此时
【分析】（1）建立空间直角坐标系后，用直线的方向向量和平面的法向量垂直即可证
明线面平行；（2）建立空间直角坐标系后，用点到平面的距离公式即可求解；（3）
假设存在，列出方程求解即可.【详解】（1）
因为 平面 ，以点 为坐标原点， 的方向分别为 轴， 轴，
轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
因为侧棱所在直线与上下底面中心的连线 所成的角为 ，则
， ， ， ， ，
所以 ， ，
设平面 的一个法向量为 ，则
，令 ，则 .
因为 ，所以 ，所以 ，
又因为 平面 ，所以 平面 .
（2）由（1）知， ，
所以点 到平面 的距离为 .
（3）假设边 上存在点 满足条件， ，
则 ，
设直线 与平面 所成角为 ，
由题意可得 ，化简得 ，则 或 （舍去），
即存在点 符合题意，此时 .
