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1.
假设AD 到BC 的距离为，则
，
，
，
米。
故正确答案为D。
2.
方法一：设三个正方形的边长分别为
、、
，则面积分别
为
、、
；根据题干条件，
，
，联立方程组可得
，即
，
；根据
，可得
；代
入
，可得
，
，由于为整数且不为0，故共有
10 组。
方法二：根据平方和等于最大数的平方，联想到满足勾股定理的
整数组，勾股数。常见的勾股数只有（3，4，5）及其倍数是满
足等差关系的，即，，，
，解得
，
故共有10 组。
故正确答案为D。
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3.
根据题意，沿着两边的中点连线剪掉一个角后，则剪掉的角展开
后是一个边长为
的正方形。
平方厘
米。则
平方厘米。
故正确答案为D。
4.
方法一：设1～4 月份的降水量分别为a、b、c、d，这四个点恰
好是平行四边形的四个顶点，则a 与d、b 与c 恰好是两组相对
顶点。因为平行四边形相对顶点的纵坐标和相等，即
。
已知1～4 月份降水总量为200，所以
。要想4 月
份降水量最高，则1 月份降水量尽可能低。1 月份与2 月份相差
10 毫米，则2 月份降水量也要尽可能低。又已知2、3 月份降水
量相差40，则有
，解得
，因此a 最低为
，
。所以4 月份降水量最高为80 毫米。
方法二：根据条件，1、2 月份的降水量相差10 毫米，因平行四
边形对边平行且相等，则3、4 月份也应相差10 毫米，同时2、
3 月份的降水量相差40 毫米。
设1～4 月份的降水量分别为a、b、c、d。要想4 月份降水量最
高，则1 月份降水量尽可能低，2 月份降水量也要尽可能低。可
列方程得：
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，
，
，
。
因求最高为多少，从最大开始代入。
当
时，解得
，
，
。
，
满足要求。
故正确答案为D。
5.
如图1 所示，蘑菇菌盖半径3 厘米，高10 厘米，菌盖沿着与水
平面成45 度角的方向向下喷射孢子，故落在土壤上的形状是一
个以O 为圆心，OA 为半径的孢子圆，且
厘米。
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如图2 所示，第一次完整的生长周期会形成一个以O 为圆心，
OA 为半径的孢子圆。考虑A 点的新孢子，第二次完整的生长周
期会形成一个以A 为圆心，AB 为半径的孢子圆。由于
厘米，故
厘米。而长方形花盆对角线为
厘米，
则
厘米，所以OB OC，说明孢子圆已经将C 点覆盖在
内。
而C 是离中心O 最远的点，当C 点也被第二个孢子圆覆盖时，
说明孢子已经布满了整个花盆。此时已经过
天，故
只需要再经过7 天，整个花盆的新孢子都成长为蘑菇，即可使得
蘑菇布满整个花盆。所以总共需要
天。
备注：本题据以上分析，答案应该是27 天，但没有这个选项，
故粉笔将答案设置为与27 天最接近的30 天。
故正确答案为A。
6.
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根据题意，四人的位置关系如下图所示：
因为丙在乙北偏西
方向，且乙与甲、丙的距离均为2 公里，所
以甲乙丙三人的位置构成等边三角形，则甲到丙的距离为2 公
里。丁在甲北偏西
方向，则丁-甲-丙构成的角度为
，且丁与甲、丙的距离相等，则甲丁丙三人
的位置构成等腰直角三角形，因此所求的距离为
公里。
故正确答案为B。
7.
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根据上图，矩形ABCD 的面积为
，以A 点为圆心，4
米为半径所画圆弧的面积为
，以E 点为圆心，3 米
为半径所画圆弧的面积为
。代入两集合容斥原理
公式：
总数-都不，即
-都不，即
都不
，因
，
都不
平方米，则
两阴影部分的面积之差为2.69 平方米。
故正确答案为B。
8.根据题意可知，开始最左边重合，当移动距离
时，此时
整个小正方形全部在大正方形中，重叠面积小正方形面积
；
当
时，此时小正方形与大正方形重叠的面积越来越小，且
，D 项符合。
故正确答案为D。
备注：考场上判定出
时，重叠面积为4 不变，即可排除A、
B、C 三项，选出正确答案，不必进行后续分析。
9.如图1 所示，边长为2 的等边三角形，底为2，高为
，面积
为
；边长分别为2、2、
，顶角为
等腰三角形，
底为
，高为1，面积为
。两个三角形有两条边相
等，只有一条边变长，但面积没有发生变化，可知甲的说法错误。
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如图2 所示，将直角三角形其中两条边拉长，使三角形变为钝角
三角形，此时三角形的底与高均未发生变化，则面积依然保持不
变，可知乙的说法错误。
故正确答案为D。
10.（1）两个长方形关于正方形横轴或竖轴对称：共4 种。（先
贴两个
的长方形绿纸横轴或竖轴对称，再贴两个
的正方形
红纸横轴或竖轴对称，有4 种，最后贴黄纸即可。）
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注：因为旋转后重合的图案视为同一种，此处可视作竖轴对称，
也可认为是横轴对称。
（2）两个长方形关于正方形对角线对称但不相邻：共4 种。（先
贴两个
的长方形绿纸关于正方形对角线对称但不相邻，再贴
两个
的正方形红纸对角线对称，有4 种，最后贴黄纸即可。）
（3）两个长方形关于正方形对角线对称且相邻：共2 种。（先
贴两个
的长方形绿纸关于正方形相邻对角线对称，再贴两个
的正方形红纸对角线对称，有2 种，最后贴黄纸即可。）
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一共10 种情况。
故正确答案为B。
11.根据题意画图，并以
、
的中点分别为G、H，连接BEF
与
，
为此正方体的体对角线，过正方体的中心O；E、F 分
别为
、
的中点，EF 为平面EGFH 的对角线，同样过正方体
的中心O。因EF 和
交于点O，故可知EF 和
在同一平面。
如图所示，E、F 分别为
、
的中点，则三角形
的顶点
关于EF 的对称点为B 点，此时
形成一个平面，故平面
截该正方体所得截面为四边形。
故正确答案为B。
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12.
如上图所示。△AOB 与△COB 有公共边BO，两个三角形面积之
比为18:13。三角形底相同，高与面积成正比，则高之比为
。同理△AOD 与△COD 有公共边OD，高分别为
AG 和CH，其底相同，因此面积与高成正比，即
。
，故
亩。
休闲区湖泊面积为12 亩，故休闲区可利用陆地面积为
亩。
故正确答案为C。
13.根据题意，广场的直径为200 米，则
米；最深处为
50 米，则
米，
米。由于
是直角三角形，
则
（OB 为球的半径，可用r 表示），即
，解得
，则该球的直径为
米。
故正确答案为D。
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14.赋值原露出水面的圆锥体人工景观体积为64，则人工湖水深
减少后，露出水面的体积变为
。根据定理“在立体
图形中，体积之比等于相似比的立方”，
，故人工景
观露出水面的高度之比为4：5。原露出水面的高度为3 米，水
深减少
后高度为
米。水深减少
对应
米，
则原人工湖的水深
米。
故正确答案为B。
15.题干要求从正面、左侧面、下面看均为3×3 的正方形，先在
下面平铺一层，共9 个立方体；接下来满足正面和左侧面，需要
10 个立方体即可，如下图所示，共有9+10=19 个立方体。所以
至少需要19 个单位立方体。
故正确答案为B。
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备注：如下图所示，实际可以通过9+6=15 个单位立方体摆出满
足题目要求的图形，但由于选项最小为17，出题人应该不是考
查这种思路，故猜测本题答案为19。
16.一个长方体恰好切成五个小正方体，多出的总面积即新生成
的8 个截面的面积和（一个截面即小正方体一个面），设小正方
体棱长为，
，可得
，一个小正方体的体积为
，那么长方体的体积（即5 个小正方体的体积）
。
故正确答案为A。
17.长方形纸板按AF 折痕折叠后，由图可知AB 与AE 重合，故
，
。而
也为
，所以ABFE 为正
方形，故
。根据勾股定理，
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，故
。
故正确答案为D。
18.根据题意，金皮展开后为长方体，展开图如下图所示。设金
皮的厚度为x 厘米，根据长方体体积公式：
=长×宽×高，
可得金皮的体积为：
，根据体积与重量成正比，
则可列式：
，则
，取3.14，解得
厘
米，即0.25mm。
故正确答案为A。
19.
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根据题意可知，A、B、C 三个点都位于圆上。因为两点之间线段
最短，所以C 点与A 点的距离最短为线段AC。如图所示，两两
连接A、B、C 构成三角形，BC=2km，圆形水库的半径为1km，
即直径为2km，则BC 为圆形水库的直径，根据几何结论：由圆
上一点和圆的直径连接所构成的三角形一定是直角三角形，可知
为直角三角形。根据勾股定理，直角边AC 的长度
km＞1.6km，在D 项范围内。
故正确答案为D。
20.如图所示：
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假设等边三角形的三个顶点分别为A、B、C，三个圆的圆心分别
为
、、，且圆
与BC 相切于D 点，圆
和圆
相切为E 点，
连接AD、
、
、
、
、
以及CE。因三个圆大小相
同，则
，同时
，故三角形
为等
边三角形，令其中心为o，则三段不含圆切点之间的弧对应的圆
心角均为
。令三个圆的半径为r，故所求距离
。
方法一：O 点即为等边三角形ABC 与等边三角形
共同的中
心，在三角形ABC 中高
，则
（参
考备注）。同理，在三角形
中，其高为
，则
。故
，解
得
，故所求距离
。
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备注：1.等边三角形的中心即为三角形的重心，连接重心与顶点
到对边的线段被重心分成2：1 的比例，而这条边恰好就是等边
三角形的高，于是中心到顶点距离为
，高
，于是中
心到顶点距离为
。
方法二：如图所示：
连接三个顶点与中心O 点，形成三个全等的等腰三角形：△BOC、
△AOB、△COA，圆
、、
分别为它们的内切圆。在△ABC
中高
，则AO=BO=CO
（参考
备注1），则
，
。根据三角形内切圆半径公
式（参考备注2）
（S 为三角形面积，C 为三角形周长）
，故所求距离
。
备注2：
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在任意△ABC 中有内切圆O，令其半径为r，连接三角形顶点与
圆心O 点可将△ABC 分割为三个小三角形，每个小三角形的高
均为内切圆半径。则
，则三角形内切圆半径
。
21.木珠子是球形的，需要从长方体木料的内部进行切割，由于
长方体的高为1.5 厘米，则木珠子的最大直径为长方体的高1.5
厘米，即半径最大。长方体的宽为2 厘米，木珠子的直径为1.5
厘米，制作过程中，要令数量最多，木珠子错落摆放即满足要求。
摆放过程注意不要超出长方体木料的长度，用前两个珠子的摆放
作为演示：
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AC 是两个木珠子球心的连线，长度即为木珠子的直径1.5 厘米，
AC 为斜边做直角三角形ABC，AC 即两个球心间的最短距离。
BC 的长度为长方体的宽-木珠子的半径-B 点距长方体左边的边
长，且AB 垂直BC，可得出B 点距长方体左边的边长即A 点距
长方体边长的距离0.75 厘米，可求BC 长=2-0.75-0.75=0.5 厘米，
在直角三角形ABC 中，利用勾股定理可以求出AB 长为
厘米，
即在AB 所在直线上，相邻两个珠子间距（把珠子看成点）为
厘
米，且第一个和最后一个珠子的球心距长方体木料两端至少为
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0.75 厘米。则制作的珠子数量=段数+1，段数
，
即分为13 段，那么珠子数量最多=13+1=14 个。
故正确答案为C。
22.如图，作BA 与CD 延长线交于E 点。由于
，则
，由于
，则
，从而
为等腰直角
三角形，进一步可知
为等腰直角三角形，则所求四边形面
积
。
故正确答案为D。
23.
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根据题意可得上图，因为甲乙两地距离
千米，甲丙两地距
离
千米，乙丙两地距离
千米，可知三角形ABC 三边
比例为
，这三边满足勾股定理，所以三角形ABC
为直角三角形，
。M 为甲乙两地中点，汽车从M 向正北
出发经过甲丙两地连线AC 时交于N 点，故
千米。在
直角三角形AMN 中，
。根据两直角三角形都有公共角
可推出
，根据相似三角形对应边成比例可列式
，代入数据
，解得
千米，那么
千米，在C 项范围内，当选。
故正确答案为C。
24.设每块正方形草皮的边长为a 米，则小石子带的总长度即为
下图所示红色线条的总长度，即大正方形周长+白色小正方形周
长=3a×4+a×4=16a=48 米，解得a=3 米，则
平方米。
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故正确答案为B。
备注：本题小石子带的宽度忽略不计，否则无法求解。
25.如图所示，要想使得鱼池总面积最大，可先挖一个最大的正
方形，即边长为100 米；在剩余的空地上，先预留1 米的走道，
然后继续挖最大的正方形，此时边长最大为
米，因
宽为100 米，则这样的正方形个数为5 个，中间有4 个过道，
加上至少4 米，最后还剩
米，因要挖边长大于1 米
的正方形鱼池，且相邻鱼池之间要预留至少1 米的走道，因此最
后1 米不能再挖新的鱼池。则所求总面积
平方米。
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故正确答案为D。
26.由“一个深为3 米容积为48 立方米的水池”，可计算出水池底
面面积为
平方米。若要此水池造价最低，根据几何最值规
律：在面积一定的长方形中，正方形的周长最小。则此底面为正
方形，即边长为
米，池壁总面积为
平方米。则这
个无盖贮水池最低造价是
元。
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故正确答案为C。
27.两种卷的方式如下图所示，由于两种大小的蛋卷在相连接处
均重叠了1cm 的蛋皮，因此A、B 方式的底面周长分别为6、9cm，
则底面半径分别为
、
，故A、B 方式两个蛋卷形成的
圆柱底面积分别为
、
。根据圆柱体积公式：
，则10cm 长的蛋卷与7cm 长的蛋卷的体积比为
。
故正确答案为C。
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28.该二维码的面积为
。投入1500 个点有800 个在
黑色部分，那么黑色部分占总面积之比为
，则黑色部分
的面积为
。
故正确答案为B。
29.边长4 厘米的正方体的表面积为
平方厘米。中心位
置一个直径2厘米、高2厘米的圆柱体
平
方厘米，一个直径1 厘米、高1 厘米的小圆柱体
平方厘米。那么，该模具的表面积约为
平方厘米。
注：挖掉的大小圆柱体底面的面积，可以叠加还原成最上层的表
面，故不需要单独计算圆柱体底面积，只需要计算侧面积即可。
故正确答案为C。
30.根据题意库房高度应包装盒总高度，即库房高度的最小值应
该等于包装盒总高度。已知包装盒棱长30cm，因此每层的高度
是0.3 米，即总的高度一定是0.3 的整数倍。根据题意正方体包
装盒每层数量从上到下分别为1、3、6、10、15、21、28、36、
45······ ，规律为
。结合选项分别为8、9、10、11
层，8 层共需要
，因此120 个包装盒
恰好可以构成8 层，即高度
米。
故正确答案为A。
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31.赋值圆的半径为2，则BD=BE=EF=EC=1，扇形ABC 的面积
为
，正方形BDFE 的面积为
，三角形EFC 的面
积为
，因此只接种1 剂次所占面积=扇形ABC 的面积-
正方形BDFE 的面积-三角形EFC 的面积
，所以只
接种1 剂次的人数占比为
，即超过50%
但不到60%。
故正确答案为C。
32.如下图所示，假设圆盘形零件的圆心为B，半径为10，浸水
速度为1。在开始浸入到浸入半个圆盘过程中，假设浸入时间为
，
，则浸入深度
，
，在直角三角形BOD
中，
，
，
，
，
，
，可知
CD 与AO 并非线性关系，排除C 项与D 项。
当
时，
；当
时，
；当
时，
；
当
时，
；当
时，
······
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观察可得随着越来越大，
的数值越来越小，根号下数值越来
越小，且下降速度逐渐变缓。即随着AO 长度变大，CD 长度变
大的速度逐渐变缓，排除B 项。
当
时，CD 取得最大值为
，为圆盘的直径。当大
于10 时，CD 长度逐渐变小，图形与前半部分对称。
故正确答案为A。
33.根据扇形面积公式：
，直角扇形的圆心角为
，故直角
扇形的面积为
。由三个半径不同的圆弧构成，对各部分分别
计算：
（1）圆弧半径为1 米的阴影部分面积：
平方米；
（2）圆弧半径为1 米和圆弧半径为2 米间的阴影部分面积：
平方米；
（3）圆弧半径为2 米和圆弧半径为3 米间的阴影部分面积：
平方米；
故阴影部分总面积
平方米。
故正确答案为C。
34.货物与拱门接触时承载层数最多，此时如图所示，记拱门圆
心为O 点。A 点为货车与拱门接触点，过A 点作地面的垂线，
垂足为C 点，则三角形OAC 为直角三角形。
，
米。根据勾股定理得
米。那么货
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物最高为
米。最多可承载层数
，因
此最多可载层数为10。
故正确答案为B。
35.由题意可知，所求体积
。
四棱锥：由题干可知四棱锥的底面为正方形，且边长
分
米，高
分米，那么
立方分米。
圆柱：由题干可知四棱柱侧面均为等腰三角形，即三角形ABC
为等腰三角形，又从A 点垂直底面切开，所以AO 既是垂线也是
平分线，那么
分米，又因为三角形DBE
与三角形ABO 是相似三角形，所以
，所以
，则圆柱底面半径
，那么
立方分米。则题干所求
立方
分米。
故正确答案为B。
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备注：考试过程中由于选项后半部分都是
，故算出四棱锥的
体积后即可选择B 项。
36.如下图所示，圆形底面上的内接正方形的对角线即为圆的直
径，则该圆柱体的底面直径
，半径
。要想得到棱
长为1 的正方体，则需要分别沿
、
、
、
切割4 次，且切去的4 个部分完全相同。切去部分的表
面积包括圆柱体的侧面积、圆柱体的2 个底面积扣除内接正方形
的部分、正方体的4 个侧面。故切去部分的总表面积
。
故正确答案为C。
37.设长方形花坛长为，宽为，则花坛周长为
米，解
得
米。
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根据图形可知，增加的面积
平方米。
故正确答案为D。
38.根据图示，谷堆的体积恰好是四分之一圆锥，则圆锥的底面
圆周长为
米。根据周长公式，
，
米。经过一夜
之后，底部弧长变为8 米，则新的四分之一圆锥底部圆的半径为
米。谷堆为四分之一圆锥，体积
。谷堆的谷量
不变，有
，整理得
米。
故正确答案为A。
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39.由题意可知，大圆锥体积剩余体积钻掉体积，要使模具剩
余部分体积最少，钻头钻掉体积要最大，最大的情况为钻掉部分
的高和圆锥的高相同。如切面图所示：
钻掉部分分为两部分：一部分是高为厘米、底面半径为2 厘米
的小圆锥A，另一部分是高为厘米、半径为2 厘米的圆柱B。
大圆锥体积为
，可知
。
切面图中，钻掉的小圆锥A 的三角形与大圆锥的三角形相似，根
据相似三角形对应边成比例的性质，
，即
，因
，
可知
；钻掉小圆锥A 的体积
；钻掉部分圆柱B 的体积
。
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因此，剩余部分体积大圆锥体积小圆锥体积圆柱体积
。
故正确答案为D。
40.已知三角形三边长度之比为
，因
，说明此三
角形为直角三角形。设此三角形三边长度分别为米，
米，
米，则三角形面积
平方米，解得
，即
。三
角形周长为
米。
故正确答案为B。
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