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专题 02 集合与其他知识的交汇
题型脑图·核心考法构建
考法深研·解题技能通关
题型01 与复数的交汇
此类题型核心是复数运算+集合综合应用。首先熟练运用复数加减乘除、乘方运算、共轭复数、复
数模的公式化简复数，确定集合中的元素；若题目结合复平面，可将复数 对应平面直角坐标
系内的点 ，把集合翻译为点的轨迹（直线、圆、区域等）。再结合集合交、并、补、子集、元素
个数等基本运算解题；涉及两集合仅有一个元素时，等价于平面内轨迹图形相切，利用距离公式列方程
求解参数；搭配概率题型时，先列出所有基本事件，结合虚数、纯虚数的判定条件筛选事件，套用概率
公式计算，全程遵守集合元素互异性。
1．（2026·甘肃·二模）集合 （ 为虚数单位），则 （ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【分析】先化简集合 中的两个复数得到确定元素，再根据交集定义取出 中的实数即可得到结果.
【详解】因为 ， ；因此集合 ，根据交集定义可得 .
2．（25-26高三上·浙江温州·阶段检测）已知集合 ， ，则集合 中
元素个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】应用复数的乘方、除法运算化简复数，再由集合的并运算求集合，即可得.
【详解】由 ， ，
所以 ，共有3个元素.
故选：C
3．（2026·陕西西安·模拟预测）已知 ， .若集合 中有
且仅有一个元素，则 的所有取值之积为（ ）
A．4 B． C． D．9
【答案】D
【分析】将复数模的条件转化为复平面上的圆，根据两圆相切的充要条件求出 的所有正取值，再计算乘
积即可.
【详解】由 ，则在复平面内，复数 对应的点到点 的距离为 ，
则集合 表示在复平面内，以 为圆心，半径为 的圆；
由 ，若 ， ，不合题意；
若 ，则 ，即 ，
此时 ，即 ，不合题意；
故 ，则在复平面内，复数 对应的点到点 的距离为 ，即集合 表示在复平面内，以 为圆心，半径为 的圆；
由集合 中有且仅有一个元素，则两圆相切，
若两圆相内切，则有 ，解得 （负值舍去）；
若两圆相外切，则有 ，解得 ；
故 的所有取值之积为 .
4．（2026·上海杨浦·二模）设集合 ， ，若 ，则实数
的取值范围是______.
【答案】
【分析】由 知 到 与 距离相等，其轨迹是这两点的垂直平分线,
表示的轨迹是一个单位圆，两者有交点，等价于原点到直线的距离不大于 ，通过计算可得实数 的取值
范围.
【详解】集合 ，由 ，即 到 与 距离相等，
即 的轨迹为 与 两点连线的垂直平分线，
设 ，所以 ，所以 ，化简得 ，
若 ，等式化为 ，任何 都满足，此时 为整个复平面，满足 ；
若 ，则 ，即 的轨迹为直线 ， 表示的为圆： ，
即直线 与圆 有交点，所以 ，解得 ，所以实数 的取值范围
是 .
5．（2026·重庆永川·模拟预测）在集合 中随机取一个数 ，在集合 中随机取一个数 ，
复数 ，则在 为虚数的条件下 为纯虚数的概率为______【答案】
【详解】复数 为虚数，虚部 ；
为纯虚数，实部 且虚部 .
已知 有3种取法， 有2种取法，要求 为虚数，即 ，
可任选集合 中的数，共 种等可能情况；
其中满足 为纯虚数的情况只有： ，共 种情况.
因此由条件概率公式可得 .
题型02 与函数的交汇
本类题型以函数性质、函数新定义为载体，集合大多表示方程的解、函数定义域/值域、函数图象上
的点。解题第一步：根据函数解析式、分段规则、高斯函数等新定义化简集合，将集合问题转化为方程
根的个数、函数图象交点、区间范围问题。第二步：借助函数单调性、奇偶性、零点、最值、值域等性
质分析，优先使用数形结合，画出函数图象直观判断交点数量、元素范围；遇到含参数问题，结合图象
临界位置列出不等式求解参数范围。同时区分有限集与无限集，有限集注意元素互异性，无限集重点分
析区间边界。
6．（25-26高三下·山东日照·阶段检测）已知集合 ， 表示不超过 的最大整数，集合
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为 ， ，
所以 .
7．（2026·北京海淀·三模）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为
了纪念数学家高斯，我们把函数 称为高斯函数，其中 表示不超过 的最大整数，如
， ，则点集 所表示的平面区域的面积是（ ）A．2 B． C．4 D．6
【答案】C
【分析】根据集合的描述及已知函数新定义有 或 ，进而作出点集表示的对应
区域，即可得答案.
【详解】由 可得 或 ，
即 或 或 或 ，
即 或 或 或 ，
上述不等式组表示的平面区域如图示：
由图可知平面区域由4个边长为1的正方形组成，
所以点集 所表示的平面区域的面积是 .
8．（25-26高三上·山东青岛·开学考试）设函数 ，集合 ，
．记 为集合 中的元素个数，则（ ）
A． B． ，
C． ， D． ，
【答案】AB
【分析】解出集合 、 ，可判断A选项；利用集合包含关系的定义可判断B选项；取 ，可判断C
选项；解方程 ，可判断D选项.【详解】对于A选项，当 时， ，则 ，
，故 ，A对；
对于B选项，对任意的 ，则 ，故 ，
故 ，因此， ， ，B对；
对于C选项，当 时， ，即 ，C错；
对于D选项，由
可得 ，
即 ，
解得 ， ，接下来讨论 ，
若 为方程 的一根，则 ，解得 ，
此时方程 即为 ，解得 ，此时 ；
若 为方程 的一根，
则 ，解得 ，
此时方程 为 ，解得 ，
此时 ，即 ，
对于方程 ，若 ，
即 （不合乎题意）或 （不合乎题意），
故不存在 ， ，D错误.
故选：AB.
9．（2026·北京·模拟预测）设函数 定义域为 ，值域为 ．对 ，都满足．若集合 可取得 中所有值，则实数 最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】运用换元法，把定义域 上任意 的函数值，都等价于区间 关于 的函数值，再根
据临界验证求实数 最小值．
【详解】对 ， ，记 ，
由 则 ，故 ，
则定义域 上任意 的函数值，都等价于区间 关于 的函数值，
已知 就能满足全部值域 ，
对任意 ，需满足
已知 ，解得 ，
该条件对所有 成立，则必有 ，
当 ，任意 ， ，落在 内，满足条件；
若 ，可取 ，此时 ， 与 超出 ，不满足值域；
故实数 最小值为 ．
10．（2026·北京西城·二模）设函数 ，集合 ，其中 .若
集合M中共有3个元素，则 的取值范围是__________；若集合M中共有4个元素，则这4个元素乘积的
最小值为__________.
【答案】 140
【分析】将方程根的个数转换成函数图象的交点个数，再结合指对数转换和二次函数性质即可求解.
【详解】方程 根的个数，可转换成函数 图象的交点个数，如下图：
由函数图象可知，当 时，函数 图象共有3个交点，
故若集合M中共有3个元素，则 的取值范围是 ，
若集合M中共有4个元素，由图象可知 的取值范围是 ，
设4个元素由小到大为 ，
则 ，即 ，得 ，
，即 ，得 ，
，即 ，得 ，
，即 ，得 ，
所以 ，
故当 时， 取得最小值140.
11．（2026·上海崇明·二模）已知函数 ， ．定义集合 对任意的 ，都有
.对于所有使得 的函数 ，有以下两个命题：①存在函数 在
处取极小值；②存在函数 图像是连续曲线．下列判断正确的是（ ）
A．①②都真 B．①真②假 C．①假②真 D．①②都假
【答案】A【详解】根据题意可知集合 为函数 的非严格单调递增区间，
不妨令函数 ，易知 ,
因此当 时， ，当 或 时， ，
可知 在 上单调递增，在 和 上单调递减，
此时函数 满足在 上单调递减，满足题意，
即存在函数 在 处取极小值，且是连续曲线，因此①②都真.
12．（25-26高三·全国·一轮复习）已知定义在 上的函数 ，集合 对于任意的
，在使得 的所有 中，下列说法成立的是（ ）
A．存在 是偶函数 B．存在 在 处取到最大值
C．存在 在 上单调递增 D．存在 在 处取到极小值
【答案】B
【分析】A选项利用偶函数的性质找到矛盾即可；B选项找到合适函数即可；C选项由定义得到集合 与
已知条件矛盾；D选项由集合 的定义找到矛盾.
【详解】对于A选项： 时， ，
当 时， ， 任意的 ， 恒成立，
若 是偶函数，此时 矛盾，故A选项错误；
对于B选项：若 的函数图象如下：当 时， ， 时， ，当 ， ，
∴存在 在 处取最大值，故B选项正确；
对于C，若存在 在 上单调递增，则对任意 ，当 时都有 ，则此时 ，
与 矛盾，故C错误；
对于D选项：若存在 在 处取到极小值，则在 的某个左邻域内，有 ，与集合
定义矛盾，故D选项错误．
题型03 与三角函数的交汇
解题围绕三角公式、三角函数图象与性质+集合运算展开。先利用特殊角三角函数值、同角三角函
数关系、三角恒等变换公式化简三角式，再结合三角函数的周期性、单调性、值域、图象求解三角方程
或三角不等式，以此化简集合。后续开展集合交、并、补运算，计算元素个数、子集个数；若判断角所
在象限，结合象限角定义筛选元素；若方程解的个数与参数相关，利用三角函数周期划分区间，结合图
象确定解的分布，列出不等关系求参数。周期是高频考点，需先找出函数最小正周期，再分析一个周期
内的元素，结合区间长度统计整体元素数量。
13．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知集合 ， 是第一象限角 ，则 元素
的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C【详解】集合 ， 是第一象限角 ，
，该角为第一象限角， 为第一象限角， 为第二象限角，
则 ，即 元素的个数为3.
14．（24-25高三上·贵州·阶段检测）已知集合 ， ，则集合 中的
元素个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据正弦函数和余弦函数的定义可知 ，然后利用交集运算即可求解.
【详解】因为 ，集合 ， ，
所以 ，有2个元素.
故选：B
15．（25-26高三上·安徽宣城·期末）已知集合 ，则集合 中
的元素个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】先求出集合 中各元素的值，再求出集合 的补集 ，最后利用交集运算求出 即
可.
【详解】根据特殊三角函数值可知 ，
因为 ，所以 ，且 ；因为 ，所以 ，且 ；
所以集合 .
又因为集合 ，则 或 ；
所以 ，元素个数是 3 个.
故选：C.
16．（2026·云南昭通·模拟预测）设集合 ， ，则 ________.
【答案】
【分析】根据三角函数值的定义解不等式化简集合A，B，进而可得交集.
【详解】由已知可得 ， ，
所以 .
17．（2025·山东·三模）设全集 ，集合 ， ，则集合
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】结合二倍角正弦公式，根据集合的补集、交集和并集的定义即可求解.
【详解】因为集合 ， ，
所以 ，
由 可得， 或 ，
故集合 .
故选：B18．（25-26高三下·安徽·阶段检测）若集合 ，则 的子
集个数为___________．
【答案】
【分析】利用正弦（型）函数的性质解不等式，结合集合交集运算以及集合子集个数的计算即可.
【详解】由 ，则 ，
即： ，
因为 ，
当 时， ，
当 时，得 ，
当 时，得 ，
当 时， ，
所以 ，所以 的子集个数为 个.
19．（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）已知集合 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】 ， ，
所以
20．（2026·河南开封·模拟预测）已知集合 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求M与N集合，再根据集合运算法则及正弦函数的值域即可求解.
【详解】集合 ， ，所以， .
21．（25-26高三下·上海·阶段检测）已知集合 ， ，则 的子集个
数为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】D
【分析】构造函数 ，借助导数计算可得该函数有且仅有一个零点，即可得 中有且仅
有一个元素，即可得 的子集个数.
【详解】令 ，则 ，故 在 上单调递增，
又 ，故 有且仅有一个零点，
即 图象与 图象有且仅有一个交点，
即 中有且仅有一个元素，故 的子集个数为 .
22．（2026·山东淄博·二模）已知 ， ，则集合 的子集个
数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【详解】因为 ，
所以 ，进而 的子集个数为 .
23．（2026·上海·模拟预测）已知集合 ，其中 为实数，则 中元素个数不可能是（ ）
A．644个 B．645个 C．646个 D．647个
【答案】D
【分析】先求解 ，得到其在一个周期内的解的情况，再结合给定区间内求解即可.
【详解】由题意可得 ，可得 ，即 ，
令 ，则 ，因为 ，解得 ，
即 ，方程 在每个周期内有2个解，
因为区间长度为 ，且 ，
所以该区间包含 个完整周期，
通过调整 的取值，区间内的解的个数可能为 个， 个， ，
所以 中元素个数不可能是647.
24．（2026·安徽·三模）已知集合 是第一象限角 ， ，则（ ）
A． B．
C． ， D． ，
【答案】BC
【分析】由题设 ，结合已知判断A、B，应用辅助角公式得
、 ，结合前提描述及正弦函数的性质判断C、D.
【详解】由 是第一象限角 ， ，
所以 间没有包含关系，且 ，A错，B对，由 ，且 ，则 ， ，
所以 ，则 恒成立，C对，
由 且 ，
所以 ，则 ，D错.
25．（25-26高三上·江苏镇江·开学考试）已知集合 ，非空集合
.
(1)若 是单元素集合且实数 ，求 的值并用区间表示 ；
(2)若函数 有两个零点，求 的取值范围.
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）分 和 两种情况讨论即可求出 ；求出 ，再结合正弦函数图象即
可求出集合 ；
（2）先利用降幂公式化简 ，最后将问题转化为函数图象交点问题即可.
【详解】（1）因 是单元素集合且实数 ，则 ，得 ；
或 ，此方程组无解，综上， ；
，则 ，
故 得 ，得 ，则 .
（2）
因 ，则 ，
因函数 在 上有两个零点，则 在 上有两个根，
则函数 与 的图象在 上有两个交点，
因 ，则 ，得 ，
故 的取值范围为 .
26．（25-26高三上·江苏盐城·阶段检测）已知函数 .
(1)求 的单调递增区间及最小正周期；
(2)设 ，若集合 恰有一个元素，求 的取值范围.【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）根据两角和差的正余弦公式化简函数，利用正弦函数的单调性求解单调区间，代入最小正
周期公式求解周期即可；
（2）由 得 ， ，根据集合恰有一个元素列不等式即可求解.
【详解】（1）由题意
，
令 ， ，解得 ，
所以 的单调递增区间为 ，
的单调递增区间及最小正周期为 ；
（2）由（1）可得 ，
所以 ， ，解得 ， ，
因为 ，且 恰有一个元素，
当 时， ，当 时， ，
所以在 内， 的解为 ，所以 ，即 的取值范围为 .
27．（25-26高三上·上海青浦·期末）对于实数 ，定义集合 ，集合
的元素个数为 ，给出下列说法：
①存在 ，使得 ；
②存在 ，使得 ；
③存在 ，使得 ；
④存在 ，使得 .
其中正确的说法有（ ）个.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据同角三角函数的关系及半角公式，可得 或 ，对m赋值分
析，逐一检验，即可得答案.
【详解】因为 ， ，所以 ，
所以 或 ；
当 时， ，此时 ，
所以存在 ，使得 ，故②正确；
当 时， 或 ，此时 ，
所以存在 ，使得 ，故③正确；当 且 时，不妨取 ，
此时 或 ，
则 或 ，
所以 或 ，此时 ，即存在 ，使得 ，故④正确，
综上，无论m在 上取任何实数， 都不可能只有一个解，故①错误.
故选：C
题型04 与向量的交汇
将向量集合转化为向量坐标、模、线性运算、数量积问题求解。平面向量、空间向量均可先建立坐
标系，用坐标表示向量，结合向量加减、数乘等线性运算化简集合条件；涉及向量共线、垂直、数量积
时，套用对应判定公式与运算公式建立方程或不等式。若集合由多个向量组合而成，分析向量取值、组
合形式，结合集合交集、子集定义确定等量关系；空间向量题型常结合立体几何中点、线、面的位置关
系，分析向量轨迹与范围；求最值问题时，利用数量积几何意义、向量模公式求解，同时结合集合元素
互异性排除重复取值。
28．（2024高三上·江苏·专题练习）已知
是两个向量集合，则 __．
【答案】
【分析】先计算出 ，根据 列方程组，求得 ，进而求得 .
【详解】 ，
由 ，得 ，此时 ，
所以
故答案为：
29．（2024·广东广州·模拟预测）已知向量集合 ，
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】运用交集概念，结合向量的坐标运算计算即可.
【详解】设 ，
，
令 ，解得 .
故
故选：C.
30．（2024·湖南·三模）对集合 ，其中 ，定义向量集合 ，
若对任意 ，存在 ，使得 ，则 ______.
【答案】5或
【分析】取 ,则存在 使得 ，由此可以推出 ，继续取
，则存在 使得 ，由此可得 ，则 ，或 ，则，分类讨论即可求解.
【详解】取 ，则存在 使得 ，从而可得 ，即 ，
所以 一定是一正一负（因为0不属于集合 ），不妨令 ，则 ，
所以 ，所以 ，
取 ，则存在 使得 ，从而可得 ，
若 ，则 矛盾，故 不可能同时大于0，
若 ，则 矛盾，故 不可能同时小于0，
所以 必定有一正一负，
所以有： ，则 ，或 ，则 ，
情况一：当 ， 时， ，
从而 ，或 （舍去，集合元素间互异），或 ，即 （舍去，与 矛
盾），
此时 （这里不考虑具体 与 的对应关系，因为由加法交换律可知，两个加数交
换位置不影响结果），
情况一：当 ， ， ，
从而 ，即 （舍去，集合元素间互异），或 （舍去，集合元素间互异），或 ，
即 ，
此时 （这里不考虑具体 与 的对应关系，因为由加法交换律可知，两个加数交换
位置不影响结果），
综上所述， 或 .故答案为：5或 .
【点睛】关键点点睛：关键在于得到 ，且 ，其中 满足： ， ，或
， ，由此即可顺利得解.
31．（25-26高三上·天津滨海新区·阶段检测）设集合M为满足 ， ，
的空间向量 ， ， 中可能出现的两两共线的向量组数组成的数集，集合
，若 ，当b最小时， 的取值为________，
【答案】 /
【分析】先分析出 ， 或 或 或 或 ，当 时二次函
数 的图象可以最靠下，即 最小，且 ，当对称轴为 时 最小，从而得到不等式，
求出 的最小值及此时 的取值计算求解.
【详解】若空间向量 ， ， 均为非零向量，则空间向量 ， ， 共线或两两互相垂直，
此时三组向量中两两共线的有0组或3组；
若其中一个为零向量，当另外两个向量共线且不为零向量时，
此时三组向量中两两共线的有3组，
若另外两个向量一定不共线，
则 ，
此时零向量和另外两个向量组成两组共线向量，此时两两共线的有2组，
显然，这三组向量中两两共线的不可能有且仅有1组.
则 ，由 得 是 的子集，
令 ，其开口向上，对称轴为 ，顶点坐标为 ，由二次函数的连续性和对称性， 或 或 或 或 ，
当 或 或 或 时，
所得 的取值范围必包含 ；
当 时二次函数 的图象可以最靠下，即b最小，且 ，
由对称性可知，当对称轴为 时 最小，
此时 且 ，则 ，
综上， ， 最小时， 的取值为 ，所以 .
故答案为：
32．（25-26高三上·广东深圳·期末）已知正六边形 的边长为1，集合
，则 中任意两个元素的数量积最大值为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】D
【分析】依据正六边形的对称性和数量积的几何意义，计算可得结果.
【详解】如下图，
由正六边形对称性以及数量积的几何意义可知：
中任意两个元素的数量积最大值为 .故选：D．
33．（25-26高三上·上海宝山·期中）设 、 、 是平面上互不平行的单位向量，记集合
.若存在不同的 ， ，使得 ，则 的最大值为
__________.
【答案】 /
【分析】由集合相等可得 ，取 ，利用向量
的加法、向量模的坐标运算求解即可.
【详解】由 ， ， ，
而 、 、 是平面上互不平行的单位向量，则 ，
故不妨取 ，
此时 ，
故 ，
当且仅当 时，等号成立.
故答案为：
题型05 与数列的交汇
综合考查等差、等比数列、数列周期性、数列求和与集合知识。先根据数列通项公式、递推公式求出数列各项，结合集合元素互异性确定集合的全部元素；若数列具有周期性，先找出周期，分析一个周
期内的元素，再结合项数确定整体集合构成。常考考点：根据子集个数公式计算子集数量、统计集合元
素和、根据元素限制求参数；复杂求和问题使用分组求和、错位相减法、裂项相消法等数列常规求和方
法。部分题目结合数论、取整规则，需先对数列项分类，再结合集合规则筛选元素。
34．（2026·江苏·模拟预测）若正项数列 满足 ，则集合 的所有非空子集中最
小元素之和为_____．
【答案】2036
【详解】 时， ， （舍）或1
时， ，
整理得 ，即 ，
因 是正项数列，故 ，所以 ，
是以1为首项1为公差的等差数列，
，最小元素为1的非空子集有 个，最小元素为2的非空子集有 个， ，最
小元素为10的非空子集有1个，设所求和为 ，
则 ．
35．（2026·湖南长沙·一模）已知正项等比数列{an}的公比不为1， 为其前n项积，若 ，则集合
中的元素个数为（ ）
A．13 B．17 C．18 D．20
【答案】B
【分析】求出 ，结合二次函数对称性求解.
【详解】设等比数列{a}的公比为 且 ，
n，所以 ，
所以 ，
因为 关于直线 对称，所以 ，
所以集合 中的元素个数为 个
36．（2024·四川遂宁·二模）已知等差数列 的公差为 ，集合 有且仅有
两个元素，则这两个元素的积为______.
【答案】 /
【分析】根据给定的等差数列，写出通项公式，再结合余弦型函数的周期及集合只有两个元素分析、推理
作答.
【详解】 ，
则 ，
其周期为 ，而 ，即 最多3个不同取值，
集合 有且仅有两个元素，设 ，
则在 中， 或 ，或
，
又 ，即
一定会有相邻的两项相等，设这两项分别为 ，于是有 ，即有 ，解得 ，
不相等的两项为 ，
故 ， .
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：此题关键是通过周期性分析得到相等的项为相邻的两项，不相等的两项之间隔一项，
从而求得.
37．（25-26高二下·安徽阜阳·阶段检测）已知数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，集合
，则集合 的子集个数为____．
【答案】
【分析】先根据等差数列的公式得到 的通项，再结合正弦型函数的周期，及集合元素的互异性得到集
合 ，进而得到集合 的子集个数．
【详解】由题意得 ，
则 ，所以其周期 ，
又 ，
，
，
，，
，……
结合集合元素的互异性，得 ，
即集合 有 个元素，故集合 的子集个数为 ．
38．（25-26高三下·江苏扬州·阶段检测）设集合 ，若对于满足 的任意k个
元素的集合 ，都存在 ， 使得 ，则k的最小值是______．
【答案】
【分析】设集合 ，对于任意 ， ， ，计算出此时 的最大值即可
得到k的最小值．
【详解】解：根据题意， ，
设集合 ，对于任意 ， ， ，
现计算此时 的最大值，
要使 最大，则数列的增长速度应该尽可能的慢，首先尽可能小，
所以 ，则 应该是满足 的最小整数，故 ，
，
则数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，所以 ， ，即 ，
又 且 ，
的最大值为 ，例如 ，
则k的最小值是 ．
39．（2026·河北唐山·二模）已知欧拉函数 的函数值等于所有不超过正整数 ，且与 互质的
正整数的个数，例如： ；记集合 中元素个数为 ，则数
列 前 项和为__________．
【答案】
【分析】由欧拉函数的定义可求出 ，进而得到 ，可得 ，再根
据错位相减法求和即可.
【详解】因为3为质数，在不超过 的正整数中，所有能被3整除的正整数的个数为 ，
则 ，即 ，
所以集合
当 时，集合为 ，则 ；
当 时，集合为 ，则 ；
当 时， ，则 ，综上所述， ，则 ，
设数列 前 项和为 ，
当 时， ；
当 时， ，
则 ，
两式相减得， ，
则 ,
显然 满足上式，则 .
40．（2026·河南·模拟预测）已知集合 ， ，
，若集合 为有限集合，将集合 中的元素个数记为 .设 ，
数列 的前 项和为 ，则 ______.
【答案】
【详解】由题意知 ， ， ，
所以 ，
所以 .41．（2026·河南许昌·三模）已知 ， ， ， ，若
且 ，则 ____________．
【答案】 或
【分析】已知四个递增数两两之和构成集合 ,根据大小关系可确定最小两数和为6、最小
与第三数和为10、最大两数和为24、第二与最大数和为20,再分第二与第三数和为12或18两种情况,分别
联立前三个和的方程,通过整体代入求出 的两个可能取值.
【详解】由题意知 .
满足 ,因为 .
则必有 .
若 ,联立 ，两式相加得 ，
代入 得 ，解得 .
若 ,联立 ，两式相加得 ，
代入 得 ,解得 .
42．（2026·江西南昌·三模）已知 是8个正整数，记 ，
其中 ，若 ，则这8个正整数中的最大数与最小数的积为_________.
【答案】120
【分析】根据题意表示出集合 的元素，通过整除性求出重复值和总和 ，进而可得答案.
【详解】由题意可知：从8个数中任取7个数的和共有 种不同的值，但是 ， ， ， ， ， ， 只有7个数，
可知必有两种7个数的和相等，设这个和为 ，
令 ，那么，任取7个数的和就等于 ， ， ， ， ，这8个取值和的集合为 ，
且
则 .
因为 为整数，所以 是7的倍数，由 可知， 是7的倍数，
再因为 ，所以 .可知 .
因此， ， ， ， 中最大数为： ，最小数为： ，
因此，他们的积为 .
43．（2026·山东·模拟预测）已知集合 中的最大元素为2，且 ，对任意的
，则集合 中所有元素的和为_____.
【答案】2026
【分析】利用构造等差数列思想，解决任意性问题，从而可求得通项并求和.
【详解】将集合 的元素从小到大排列为： ，
因为对任意的 ，由最大元素为 ，
假设最小元素 不为 ，即 ，
则对任意的 ，则 ，
此时不可能属于 ，所以最小元素为 ，即 ，
设A中最小正元素为d，由题意，任意两个元素差的绝对值仍属于A，
因此A中所有元素都是d的倍数，且所有元素可表为： ，其中最大元素 ，，
此时对任意两个元素的差的绝对值 ，
因为 ，所以必存在 ,满足 ，即 ，符合题
意.
此时所有元素的和为： .
44．（2026·天津滨海新区·三模）已知 是等差数列， 是等比数列，设数列 的前 项和为
．
(1)求 和 的通项公式；
(2)设 ，求 的前 项和 ；
(3)在（2）的条件下，设 ，求集合 中所有元素之和．
【答案】(1)
(2)
(3)集合 中所有元素之和为： .
【分析】（1）通过等比数列、等差数列的通项公式列方程组，求解首项、公差和公比即可求解
（2） 是典型的等差 等比型数列，采用错位相减法求和.
（3）先判断 严格单调递增，明确S中元素构成(含0和非0差值)；再通过错位相减法多次处理求和式，
按 和 分类计算集合S中的所有元素和.【详解】（1）因为 是等差数列，所以 ，即
；
因为 是等比数列，所以 ，代入 得 ，即 .
（2）由题 ，则 ， 得：
，即
.
（3）因为 ，所以 严格单调递增，当 或 时， ，元素仅一个；
当 且 时， ，且这些差值互不相等，此时共有 个元素.
计算所有非零元素的和，不妨设 ， ，则
.
由(2)可得， ，设 ，
则 ，
由 得： ，代入得 ，
则 ，
其中 ， ，
，
，
由 得 ，
令 ，则
，
代回 式得
则 .
综上所述，集合 中所有元素之和为： .
45．（2026·福建福州·三模）以下是面点师拉面中“对折拉伸”过程的简化数学模型：如图，在数轴上截取与
闭区间 对应的线段，对折后（坐标4所对应的点与原点重合）再均匀的拉成4个单位长度的线段，这
一过程称为一次操作（如图2所示：在第一次操作完成后，恰好拉到与4重合的原闭区间上的点的坐标为
2、与2重合的原闭区间上的点的坐标为1、3），不断重复这样的操作．(1)求在第3次操作完成后，恰好拉到与4重合的原闭区间 上（除两个端点外）的点的坐标；
(2)用集合表示在第 次操作完成后（ ），恰好被拉到与4重合的原闭区间 上（除两个端点外）的
点的坐标（此步无需给出严格的推理论证），并记该集合中所有的元素的和为 ，求使得 成立的
的最小值．
【答案】(1) ， ， ， ；
(2)集合为 ， 的最小值为11
【分析】（1）找规律，得到第3次操作完成后，恰好拉到与4重合的点的坐标；
（2）在（1）基础上，得到点的坐标，并由等差数列求和公式得到 ，解不等式，得到答案.
【详解】（1）第一次操作，原来坐标2，即0，4的中点变为4，只有1个；
第二次操作，原来坐标1，3，即0，2的中点以及2，4的中点变为4，有2个；
第三次操作，原来坐标0，1的中点 ，1，2的中点 ，2，3的中点 以及3，4的中点 变为4，共4个；
（2）根据前三次推导，可得第 次操作后，1，2和2，3和3，4，……， 的中点变为4，
故点的集合为 ；
则 ，
故 ，解得 ，又 为正整数，故 的最小值为11．
46．（2026·福建厦门·模拟预测）已知 ， ，…， ，…均为有限实数集，记 中的最大元素为 ，
， ，若 ，则（ ）A．
B．
C． 中所有元素的平均数为191
D． 中所有元素的和为3008
【答案】ACD
【分析】抓住集合构造的递推规律：最大元素 ，直接得到 的等比通项；集合元素个数
，结合元素和的递推关系 ，推导出 的通项，再逐一验证选项即可.
【详解】选项A，已知 ，最大元素 ，
根据定义 ，
则 ，A正确；
选项B，由 的构造， 的最大元素是 ，则 的最大元素是 ，
因此 ，即 是首项为 ，公比为2的等比数列： .
当 时， ，B错误；
设 为 所有元素之和，则 ，因为 ，
所以 .一般地， ，其中 是 的元素个数.
由构造可知， (即每次新增元素与原集合无重复)，因为 ，故 .
结合 ，递推得： ，
等式两边同除以 得 .令 ，则 ，累加法求 ，
则 .
选项C，当 时，均值为 ，C正确；
选项D，当 时， ，D正确.
题型06 与立体几何的交汇
集合元素对应空间几何体的棱长、空间点、空间向量、线段长度等几何量。第一步结合棱柱、棱
锥、球等几何体的结构特征、棱长关系、表面积与体积公式，分析几何量的所有可能取值，确定集合元
素；若集合表示空间内的点集，结合空间中点的轨迹、截面图形、距离公式确定区域范围；涉及空间向
量时，利用向量数量积、模长公式计算最值、范围。将集合运算转化为几何区域重叠、线段相交、长度
取值等几何问题，借助立体图形数形结合分析，计算区域面积、几何体体积、数量积最值等结果。
47．（2026·新疆乌鲁木齐·三模）已知某四棱锥底面为菱形，一条侧棱垂直于底面且八条棱的长度构成集
合 ，则四棱锥的体积可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】根据四棱锥的几何性质，结合已知条件，分情况讨论得出四棱锥体积的所有可能值．
【详解】设四棱锥为 ， 底面 ，已知底面为菱形，设底面棱长为 ，
则 ，设 ，则 ，
，
当 时， ，若 ，
则 ，此时 ，故 ，
，
，故可能为A；
当 时， ，
若 ，则 ，解得 ，
则 ，
，
，故可能为C；
当 时， ，
若 ，则 ，解得 ，则 ，
，
，故可能为B；
当 时， ，无论 或2， 均不在集合中，不满足题意．
48．（24-25高三下·上海虹口·阶段检测）已知正六棱柱 的底面为边长为2，高
为3，则集合 中元素的个数为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】A
【分析】根据空间向量数量积公式及运算律计算求解.
【详解】因为正六棱柱 的底面为边长为2，高为3， 平面 ，所以
，
则 .
故选：A.
49．（25-26高二上·上海浦东新·阶段检测）已知正三棱锥 的六条棱长均为 是 及其内部的点构成的集合．设集合 ，则 表示的区域的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设顶点P在底面上的投影为O，连接 ，求得 的长，结合 ，求出 ，从而确
定Q的轨迹，即可求解 表示的区域的面积.
【详解】设顶点P在底面上的投影为O，连接 ，则O为三角形 的中心，
且 ，故 .
因为 ，故 ，
故Q在以O为圆心，2为半径的圆及其内部，
而三角形 内切圆的圆心为O，半径为 ，而 ，
故 表示的区域为以O为圆心，2为半径的圆在 内（包含边界）的部分，
设该圆与 交于 两点，则 ,
即 为正三角形，则弧 所在的弓形的面积为 ，
故 表示的区域的面积为 ，
故选：B50．（2025·上海闵行·二模）设 为正整数，空间中 个单位向量构成集合 ，若存在实数
，满足对任意 ，都有 ，则当 取得最大值时， 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件可得集合 中所有向量共起点时，终点在球面上，再利用数量积的运算律求出 的
最大值，进而求出 值.
【详解】令集合 的各向量起点为 ，对应终点依次为 ，
由向量 为单位向量，则点 在以 为球心，1为半径的球面上，
由 ，得点 中任意三点不共线，
由 ，得 ，则 ，
由 ，同理得 ，而点 不共线，
于是点 不共面，点 为球 内接正四面体的4个顶点，
若 ，不妨取 ，同理得 ， 平面 ，
又 ，由过一点有且只有一个平面垂直于已知直线，得点 平面 ，
与点 不共面矛盾，因此 ，设正四面体 的棱长为 ，
则正 的外接圆半径为 ，正四面体的高为 ，
球心到平面 的距离为 ，因此 ，解得 ，
所以 .故选：C
51．（2025·山东聊城·模拟预测）在棱长为8的正方体 中， ，设集合 是底面
ABCD内（含边界）所有的点构成的集合，集合 ，则集合 所表示的区域面积为
（ ）
A．24 B．20 C．16 D．28
【答案】A
【分析】设点 在底面 内的射影为 ，连接 ，得到 ，画出正方体底面 的平
面图，连接DE，取DE的中点 ，作 ，交DC于点 ，交DA于点 ，证得点 在DA的延长线
上，设GK与AB交于点 ，求得 ，结合面积公式，即可求解.
【详解】设点 在底面 内的射影为 ，连接 ，
则 ，
当 时，可得 ，
画出正方体 底面 的平面图，如图所示，
连接DE，取DE的中点 ，过点 作 ，交DC于点 ，交DA（或DA的延长线）于点 ，
可得 ，
所以 ，则 ，
因为 ，所以 ，所以点 在DA的延长线上，
设GK与AB交于点 ，由相似的性质可得 ，所以 ，若点 在梯形 内，则 ，
所以集合 所表示的区域面积为 .
故选：A.
题型07 与平面解析几何的交汇
此类题目中集合基本都表示平面点集，对应直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线。两个集合的
交集等价于两条曲线的交点，交集元素个数就是曲线交点个数。解题核心：联立曲线方程，结合直线与
圆、直线与圆锥曲线的位置关系判定方法，利用点到直线距离公式、一元二次方程判别式 判断相切、
相交、相离，进而确定交点数量。利用曲线对称性简化运算，根据交点个数列出不等式求解参数取值范
围；同时掌握子集、补集与图形区域的对应关系，把集合包含关系转化为图形内含、区域包含关系，再
结合解析几何公式计算。
52．（2026·河北邢台·一模）已知集合 ， ．若集合
仅有1个元素，则 （ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【详解】集合A中的元素表示直线 上的点，
集合B中的元素表示圆 上的点，
中有且仅有一个元素，表示直线和圆相切，
故圆心 到直线 的距离等于圆的半径1，即 ，解得 .
53．（25-26高二上·全国·课后作业）已知集合 ，集合 ，则
的子集个数为（ ）
A．8 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】集合 都是点集，根据圆心到直线的距离与圆的半径的关系得到直线与圆相切，所以有一个
交点，有 个子集．
【详解】集合A表示直线 上的所有点的集合，
集合B表示圆 上所有点的集合，
因为圆心 到直线 的距离为 即为圆的半径，故直线与圆相切，
故 中只有一个元素，故 的子集个数为 ．
故选：C．
54．（25-26高二上·北京·期中）集合 ，集合 ，若
中有8个元素，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意可知曲线 与圆 有8个交点，结合对称性可知曲线 与圆
在第一象限内有2个交点，联立方程结合二次函数的零点分别运算求解.
【详解】若 中有8个元素，即曲线 与圆 有8个交点，
对于曲线 ，
用 替换 ，方程不变，可得曲线 关于y轴对称；用 替换 ，方程不变，可得曲线 关于x轴对称；
圆 的圆心为 ，半径 ，且关于x、y轴对称，
可知曲线 与圆 在第一象限内有2个交点，
若 ，曲线 即为 ，
联立方程 ，消去y可得 ，
构建 ，则 的图象开口向上，对称轴为 ，
可知 在 内有两个零点，注意到 ，
则 ，解得 ，
可得 ， ，
原题意等价于 在 内有两个零点，
且 ，
可知 符合题意，所以a的取值范围是 .
故选：A.
55．（2026·广东广州·一模）已知曲线 的方程为 ，集合 ，若对任意的
，都存在 ，使得 成立，则称曲线 为 曲线．下列方程所表示的曲
线为 曲线的是（ ）
A． B． C． D．【答案】ABD
【分析】令 ， ，问题化为过定点 且与直线 平行或重合的直线与曲线
有交点 ，结合各项对应曲线的图形分析是否满足题设.
【详解】令 ， ， ，
等价于过定点 且与直线 平行或重合的直线与曲线 有交点 ，
对于A： 如下图， ，
如图示，其中任意点 在曲线上运动，都存在一点 ，使直线 平行或重合，满足题设，
对于B： 如下图，且 ，
如图示，其中任意点 在曲线上运动，都存在一点 ，使直线 平行或重合，满足题设，
对于C： 如下图， ， ，则 ，
若 与曲线相切且 为切点，则 ，故 ，此时
令 ，则 ，即 ，故 ，即有 与 相切于 ，如图示，此时不存在一点 ，使直线 平行或重合，不满足，
对于D： 如下图， ， ，
如图示，其中任意点 在曲线上运动，都存在一点 ，使直线 平行或重合，满足题设，
题型08 与概率统计的交汇
以集合元素选取、子集构造为背景，考查古典概型、条件概率、计数原理。首先利用集合性质确定
全集、子集的构成，借助排列组合、分类加法/分步乘法计数原理统计基本事件总数；再根据题干限制条
件（和为定值、构成数列、函数性质、余数特征等）筛选出符合要求的事件，统计目标事件个数。区分
普通古典概型与条件概率，严格套用对应概率公式计算；遇到元素分组问题，可按照余数、正负、大小
关系对集合元素分类，简化计数过程；子集计数问题牢记子集个数公式，分类讨论避免重复或漏算。
56．（2026·广西贵港·三模）从集合 中任取三个不同的数，当三数之和为3的倍数时，这三个
数可构成等差数列的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设出事件，分别计算出两事件的基本事件数，利用条件概率公式进行求解
【详解】设三数之和为3的倍数为事件 ，三个数可构成等差数列为事件 ，中，除以3余数为0的有 ，
除以3余数为1的有 ，除以3余数为2的有 ，
要想三数之和为3的倍数，可以从 中任选3个；
或 中任选3个；或 中任选3个；
或 中选1个， 中选1个， 中选1个；
故 ，
若三个数构成等差数列，不妨设为 ， ，
则 ， ，所以三个数的和一定为3的倍数，
设公差为 ，则 且 为正整数，则 ，
又 ，故 ，所以 且 为正整数，
当 时， 为 ，共16种情况，
当 时， 为 ，共14种情况，
当 时， 为 ，共12种情况，
当 时， 为 ，共10种情况，
当 时， 为 ，共8种情况，
当 时， 为 ，共6种情况
当 时， 为 ，共4种情况，
当 时， 为 ，共2种情况，
所以 ，
故 .57．（2026·江苏·模拟预测）在集合 中随机取一个数 ，在集合 中随机取一个数 ，复
数 ，则在 为虚数的条件下 为纯虚数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设事件 为虚数为 ，事件 为纯虚数为 ，
由题知，满足 为虚数的 的可能情况有 共 种，即 ，
满足 为纯虚数的 的可能情况有 共 种，故 ，
所以 ，
所以在 为虚数的条件下 为纯虚数的概率为 .
58．（25-26高二下·江苏无锡·期中）集合 ， ，从两个集合中各取一个元素作为
点的横、纵坐标，则在第二象限内的点的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【分析】根据第二象限坐标特征分类结合分类加法原理计算求解.
【详解】第二象限内的点的横坐标是负数，纵坐标是正数．
若集合M提供横坐标，集合N提供纵坐标，则符合题意的点有 ， ，共2个；
若集合M提供纵坐标，集合N提供横坐标，
则符合题意的点有 ， ， ， ，共4个．
综上，在第二象限内的点的个数为 ．
59．（2026·上海金山·二模）已知全集 是一个六元集合，任取 的两个子集 、 （ 、 可以相等），
记事件 ；记事件 ．则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】分析基本事件空间所含基本事件的个数，事件 及 所含基本事件个数，再由和事件的
概率公式求解.
【详解】因为全集 是一个六元集合，所以任取 的两个子集 、 ，能形成 对集合 ，
即基本事件总数为 .
中任一元素 ，满足事件 ，有以下三种情况， 且 ；所以
所含基本事件个数 ;
中任一元素 满足事件 ，有以下三种情况，
且 ；所以 所含基本事件个数为 ，
事件 表示 且 同时成立，所以 ，此时 可以是 的任意子集，有 个，即事件
所含基本事件有 个，
所以 .
60．（2025高三·全国·专题练习）集合A，B的并集 ，当 时， 与 视为不
同的对，则这样的 对的个数是（ ）
A．8 B．9 C．80 D．27
【答案】C
【分析】应用分类讨论集合 中元素个数，确定对应集合 ，结合题设确定 对的个数即可.
【详解】当 时， ，则 对有1个；
当 中只有一个元素时，如 时， 、 ，则 对有2个，同理 、 、 均有2个，共有8个；
当 中只有两个元素时，如 时， 、 、 、 ，则 对有4个，
同理 、 、 、 、 均有4个，共有24个；
当 中只有三个元素时，如 时， 、 、 、 、 、 、 、
，则 对有8个，
同理 、 、 均有8个，共有32个；
当 时，因为 不等于 ，则 共有15种情况，则 对有15个；
所以 对共有80个.
故选：C
61．（25-26高三上·上海·期中）已知集合 ， ，若 ，
则满足条件的集合 个数为（ ）
A．408 B．409 C．410 D．411
【答案】C
【分析】由题意得 除以3的余数相同，按照除以3所得余数进行分类讨论，结合组合数求解即可.
【详解】 ， 且
能被3整除， ∴ 除以3的余数相同，
集合 的元素中，
能被3整除的整数有 ，
被3除余1的整数有 ，被3除余2的整数有 ，
当 都被3整除时，则 从被3整除的5个数中选取3个，
或 可从被3整除的5个数中选取2个， 从其余11个数中选择，
∴ 的个数为 ，
当 被3除余1时，则 从被3除余1的6个数中选取3个，
或 可从被3除余1的6个数中选取2个， 从其余10个数中选择，
∴ 的个数为 ，
当 被3除余2时，则 从被3除余2的5个数中选取3个，或 可从被3除余2的5个数中选
取2个， 从其余11个数中选择，
∴ 的个数为 ，
∴满足条件的集合 共有 个．
故选：C.
62．（2026·吉林·三模）已知集合 ，集合 ，且 ， .记事件 “函数
是幂函数”，事件 “函数 在 上单调递增”，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据幂函数的定义和性质结合古典概型求 ， ，代入条件概率公式运算求解.
【详解】设样本空间为 ，则 ，
对于事件 “函数 是幂函数”，可知 ，则 ，可得 ，
对于事件 “幂函数 在 上单调递增”，则 ，
则 ，可得 ，
所以 .
63．（2025·天津南开·模拟预测）“……《春天的21840种可能》，但这比起你们的未来，都还远远不及，因
为你们未来的可能是无穷尽．”这是毕业典礼上老师送给同学们的一段寄语，H老师借“21840”与“无穷尽”命
题如下：设集合 ， ， 为数列 的前 项和，若 取 中每个数字的
概率相同．记 为事件“ 等于奇数”的概率，当 趋近于无穷大时， 的近似值为 ，则（ ）．
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】A
【分析】集合A中有1个奇数和4个偶数，因此每次选择奇数的概率为 ，选择偶数的概率为 ，利用马
尔科夫链可以建立起 的递推公式，即可得到答案.
【详解】 中只有一个奇数，其余四个均为偶数。取到奇数的概率为 ，取到偶数的概率为 ，
的奇偶性取决于奇数项的数量，因为偶数项的和不改变奇偶性.
设 ， ，有 ；
考虑递推关系：
代入 ， ，，
当 时， ，为奇数的概率为 ，故 .
所以 是以 为首项， 为公比的等比数列；
所以 ，
当 时， ，
当 时， .
故选：A
题型09 集合新定义
重点考查阅读理解能力、知识迁移能力，题目会给出全新的集合运算、子集、元素规则。解题第一
步：逐字研读新定义、新运算、新概念，准确理解规则含义，将陌生定义转化为我们学过的常规集合运
算、方程、不等式、计数问题。第二步：按照定义分步计算，涉及集合运算就依次求交、并、补；涉及
计数问题，使用分类讨论、分步计数、隔板法、组合数公式统计元素个数、子集数量；涉及数域、邻
点、累积值等特殊定义，紧扣定义条件逐一验证。分类讨论时做到分类标准统一，保证不重不漏，最后
结合集合基本性质检验结果。
64．（2026·辽宁·三模）定义集合运算： ，设集合 ， ，则
集合 的所有元素之和为（ ）
A．0 B．2 C．3 D．5
【答案】D
【分析】根据定义先求 ，进而求解.
【详解】由题意得： ，所以 .65．（2026·安徽芜湖·二模）已知集合 共有 个三元子集.任意一个三元子集
，定义 .则 __________.
【答案】660
【分析】结合分步乘法计数原理分析可得在三元子集中， 出现的次数为 ，进而求解即可.
【详解】对于集合 中的元素 ，要使 在三元子集 中，
则 可以从1到 这 个元素中任选1个，
可以从 到10这 个元素中任选1个，
根据分步乘法计数原理，
作为三元子集 的中间数出现的次数为
则 .
66．（2026·福建漳州·三模）已知 是集合 的非空子集，若 ，则称 是集合 的“互
斥子集组”，并规定 与 为不同的“互斥子集组”．集合 的不同“互斥子集组”的个数是
___________．（用数字作答）
【答案】50
【分析】解法一利用组合数的性质并分类讨论求解即可，解法二列举出具体集合，再分类讨论求解即可.
【详解】解法一：若 中各含1个元素时，“互斥子集组”有 个，
若 中一个含1个，一个含2个元素时，“互斥子集组”有 个，
若 中一个含1个，一个含3个元素时，“互斥子集组”有 个，
若 中各含2个元素时，“互斥子集组”有 个，
综上，不同“互斥子集组”的个数是50个．解法二：当集合 中有1个元素时，有 ，共4种情况，
集合 是由集合 中去除这个元素后，剩下的3个元素组成的非空子集，
可得这样的“互斥子集组”有 个，
当集合 中有2个元素时，有 ，
共6种情况，而集合 是由集合 中去2个元素后，
剩下的2个元素组成的非空子集，此时“互斥子集组”有 个，
当集合 中有3个元素时，有 ，共4种情况，
而集合 是由集合 中去除3个元素后，剩下的1个元素组成的非空子集，
则此时“互斥子集组”有 个，
综上，不同“互斥子集组”的个数是50个．
67．（25-26高三·全国·一轮复习）已知集合 ， ，设 整除
或 整除 ，令 表示集合 所含元素的个数，则 ________．
【答案】
【分析】分两类讨论：（i） 整除 的有 个；（ii） 整除 ：再分三种情况：① 整除 ；② 整除 ；
③ 整除 ，共有 个，再去掉两类重复的三个可得.
【详解】因为 表示集合 所含元素的个数，其中 ，
（i） 整除 的有 ， ， ， ， 共 个．
（ii） 整除 的有：① 整除 的有 个；② 整除 的有 个；③ 整除 的有
个．
其中重复的有 ， ， 共 个．所以 ．
68．（25-26高三·全国·一轮复习）已知集合 ， ，集合 中所有元素的乘积称为集合
的“累积值”，且规定：当集合 只有一个元素时，其累积值即为该元素的数值，空集的累积值为0．设
集合 的累积值为 ．
（1）若 ，则这样的集合 共有________个；
（2）若 为偶数，则这样的集合 共有________个．
【答案】 2 13
【分析】根据“累积值”的定义，结合间接法与集合子集个数的求法得解即可.
【详解】（1）若 ，据“累积值”的定义得 或 ，这样的集合 共有2个；
（2）集合 的子集共有 个，
其中“累积值”为奇数的子集为 、 、 ，共3个，所以“累积值”为偶数的集合共有13个．
69．（2026·广东深圳·三模）当一个非空数集 满足：如果 ，那么 且当 时，
时，我们称 就是一个数域.有以下关于数域的说法：①0是任何数域的元素；②若数域 有非零元
素，则 ；③集合 是一个数域；④有理数集是一个数域.其中正确的说法是
（ ）.
A．①②④ B．②③④ C．①④ D．①②
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用数域的定义依次判断各个命题即可..
【详解】当 ，且 时， ，因此0是任何数域的元素，①正确；
当 ，且 时，由数域的定义知 ，
因此 ，②正确；
当 时， ，③错误；如果 ，那么 ，且当 时， ，因此有理数集是一个数域，④正确.
70．（25-26高三·全国·一轮复习）定义集合 ，例如：若 ，则
， ， .把集合 中满足条件 的元素组成的集合记
为 ，即 .已知集合 ，则
中的元素个数为______.
【答案】56
【分析】理解集合的新定义，将问题转化为求不定方程正整数解的个数，再应用组合数的定义通过隔板法
计算求解即可.
【详解】定义集合 ，
，
因为集合 ，
所以 中的元素满足 ，且 ，
利用组合数公式，将问题转化为将9个相同的小球放入6个不同的盒子中，
每个盒子中球的个数分别是 ，
因为 ，所以任意 的最大值为 ，
该解集中的 均满足 ，
因此问题可等价转化为方程 的正整数解的个数问题，
应用隔板法，即有 种分法，即 中有56个元素.
71．（2026·山东烟台·二模）设点集 ，若 中的点满足 ，则称 与 互为邻点. 点集 中与点 互为邻点的点的个数为
__________. 在 中定义邻点列 ，其中 与 互为邻点，且 ，
若 ，则 的最大值为__________.
【答案】 6 8
【分析】第一空直接按定义分类讨论即可；第二空需分析出邻点需满足的约束条件，结合不等关系的要求
得到邻点列可能的排列，最后构造出符合条件的邻点列.
【详解】（1）设与 互为邻点的点为 ，则 且 ，
若 ，则 ，解得 ， （舍去）或 ，点为 ；
若 ，则 ，解得 或 ， 或 ，点为 ；
若 ，则 ，解得 （舍去）或 ， ，点为 ，
综上，满足条件的点共有 个；
（2）根据 ，以及点集坐标范围可得 ，记 ，
则该邻点列各点的 依次递减或不变，接下来分析邻点坐标应满足的约束条件，
因为一个整数和它的绝对值的奇偶性相同，所以 和
一样也是偶数，即 为偶数，所以 和 的奇偶性相同，
即邻点列中的点保持横纵坐标之和的奇偶性不变，已知 ，其横纵坐标之和为奇数，
点集 中满足 为奇数的点共有 个，依次为 ，
对应的 值依次为 （依次递减），满足要求的邻点列 只能从这 个点中选择
且按 值递减的顺序排列，假设 个点均可以存在，即有邻点列，可验证相邻点确实均为邻点，所以 的最大值为 .
