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2025 年高考数学二轮复习小题基础练04
一、单选题(本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的)
1．（2024·河南·模拟预测）已知集合
，若
，则实
数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·北京·模拟预测）若
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．
3．（2024·四川成都·二模）已知
，
，
，则
，
，的大小
关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2024·全国·模拟预测）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2024·四川·模拟预测）紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品.其中石瓢壶的壶体可
以近似看成一个圆台，如图给出了一个石瓢壶的相关数据（单位：cm），那么该壶的最大
盛水量为（ ）
A．68πcm3
B．152πcm3
C．
D．204πcm3
6．（2024·江西新余·模拟预测）已知
为直线
上一点，
为圆
1
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的直径，则对于
的说法正确的是：（ ）.
A．对于任意固定的
点，
为定值
B．对于任意固定的
，存在
点使
取最大值
C．对于任意固定的
点，存在
使
取最小值
D．对于任意固定的
，当
最小时，
的坐标固定
7．（2023·海南·模拟预测）中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角
形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为
，
，，则三角形的面积
可由公式
求得，其中
为三角形周长的一半，这个公式也被称
为海伦-秦九韶公式.现有一个三角形的边长满足
，
，则此三角形面积的最大值
为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2023·天津和平·三模）下列说法中，正确的个数为（ ）
①样本相关系数的绝对值大小可以反映成对样本数据之间线性相关的程度；
②用不同的模型拟合同一组数据，则残差平方和越小的模型拟合的效果越好；
③随机变量
服从正态分布
，若
，则
；
④随机变量
服从二项分布
，若方差
，则
．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
二、多选题(本大题共3 小题，每小题6 分，共18 分.在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求，全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0
分)
9．（2024·辽宁·模拟预测）已知函数
，则下列说法正确的是（ ）
2
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A．
的极值点为
B．
的极值点为1
C．直线
是曲线
的一条切线
D．
有两个零点
10．（2024·安徽安庆·三模）已知
，
，
，则下列命题正确的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（23-24 高二上·湖北武汉·期中）法国著名数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：
椭圆
或
的任意两条互相垂直的切线的交点
的轨
迹是以坐标原点为圆心，
为半径的圆，这个圆称为蒙日圆.已知椭圆
，
则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆
的蒙日圆方程为
B．矩形
的四边均与椭圆
相切，若
为正方形，则
的边长为
C．若
是椭圆
的蒙日圆上一个动点，过
作椭圆
的两条切线，与该蒙日圆分别
3
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交于
，
两点，则
面积的最大值为
D．若
是直线
上的一点，过点
作椭圆
的两条切线与椭圆相切于
，
两点，
是坐标原点，连接
，当
为直角时，
或
三、填空题(本大题共3 小题，每小题5 分，共15 分，把答案填在题中的横线
上)
12．（24-25 高三上·贵州贵阳·阶段练习）若
的展开式的二项式系数和为32，且
的系数为80，则实数
的值为 ．
13．（2024·北京·三模）已知抛物线
的焦点为
，则
的坐标为 ；过点
的直线交抛物线
于
两点，若
，则
的面积为 ．
14．（23-24 高三上·甘肃白银·开学考试）“康威圆定理”是英国数学家约翰·威廉引以为豪
的研究成果之一，定理的内容如下：如图，
的三条边长分别为
，
，
．延长线段
至点
，使得
，延长线段
至点
，使得
，以
此类推得到点
，
，
，
，那么这六个点共圆，这个圆称为康威圆．已知
，
，
，则由
生成的康威圆的半径为 ．
参考答案：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
A
B
B
D
B
C
BC
ABD
4
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题号
11
答案
ABD
1．D
【分析】先化简集合
及a 的满足的条件，再根据
列出不等式组求解即可.
【详解】由
得
，
由
知
，所以
，
又
，则
，
所以
，解得
，故
.
故选：D.
2．C
【分析】由
可得
，利用复数的除法可得z，结合共轭复数的概念以及模的
计算，即得答案.
【详解】由
，可得
，
所以
，
故
，
故选：C
3．A
【分析】根据对数函数的单调性比较大小.
【详解】因为
，
，
，且
.
所以
.
故选：A
5
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4．B
【分析】由诱导公式及倍角公式可得答案.
【详解】
.
故选：B
5．B
【分析】根据给定条件，可得 圆台上底面半径为4，下底面半径为6，圆台高为6，再利
用台体体积公式计算得答案.
【详解】依题意，上圆台底面半径为4，面积
，
下底面半径为6，面积
，圆台高h 为6，
所以圆台的体积
.
故选：B
6．D
【分析】先利用向量的运算化简得
，通过
和
的变化，讨论
的最值.
【详解】
为圆
的直径，
，
，
由题可得，
，
对于任意固定的
点，
为定值，而
，
不是定值，也没有最小值，AC 选项错误；
对于任意固定的
，
为定值，
没有最大值，则
没有最大值，B 选项错误；
6
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的最小值即圆心
到直线
距离，此时
最小，
从
往直线
作垂线，垂足即为点
，
直线
斜率为，过
与直线
垂直的直线方程为
，
由
解得
，即
，其坐标固定，D 选项正确.
故选：D.
7．B
【分析】根据题意，将题中的数据代入公式，再结合基本不等式，即可求解.
【详解】由题意可知，三角形的周长为12，则
，
，
因为
，所以
，当且仅当
时等号成立，
所以
的最大值为16，
所以三角形面积的最大值
.
故选：B
8．C
【分析】根据相关系数的性质，二项分布的性质，拟合效果的衡量以及正态分布的性质，
对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】相关系数的绝对值越接近于1，成对样本数据之间线性相关的程度越强，故①正
确；
用不同的模型拟合同一组数据，则残差平方和越小的模型拟合的效果越好，故②正确；
已知随机变量
服从正态分布
，若
，则
，
故③正确；
若随机变量
服从二项分布
，则方差
，所以
，
7
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所以
，所以
或
，故
④错误.
故选：C.
9．BC
【分析】利用导数与函数的极值的关系可判断AB；结合函数的单调性与函数零点的知识可
判断D；利用导数的几何意义求得
在
处的切线方程，从而得以判断．
【详解】对A：因为
，所以
，
令f
' (x)<0，得
；令f
' (x)>0，得
，
所以
在
上单调递减；在(1,+∞)上单调递增.
可知
在
处取得唯一极小值，也是
的最小值，
所以
的极值点为
，故A 错误，B 正确；
对C：因为
，
，
所以
在
处的切线方程为
，
即
，故C 正确．
对D：因为
，
，结合
在
上的单调性，
可知
是
在
上的唯一零点；
当
时，
恒成立，故
恒成立，
所以
在(1,+ ∞)上没有零点；
综上：
只有一个零点，故D 错误．
故选：BC.
8
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10．ABD
【分析】根据条件概率公式，逐一判断即可.
【详解】A 选项：因为
，
，所以
，A 正确；
B 选项：因为
，
，所以
，因此
，B 正确；
C 选项：因为
，所以
，C 错误；
D 选项：因为
，
，所以
，又因为
，所以
，D 正确.
故选：ABD
11．ABD
【分析】利用新定义即可直接求出相关量，判断选项AB，表示出三角形的面积，结合基本
不等式即可判断选项C，结合题意分析出当
为直角时，点
与点
或
重合，即可
判断选项D.
【详解】对于A 选项，由椭圆
的方程知
，
，
故蒙日圆半径为
，则蒙日圆的方程为
，A 正确；
对于B 选项，设椭圆
的蒙日圆为圆
，
9
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由题意知，矩形
为圆
的内接矩形，
当
为正方形时，由圆
的半径为得
的边长为
，B 正确；
对于C 选项，椭圆
的蒙日圆的半径为，
因为
，即
为蒙日圆的直径，所以
，
所以
，
又因为
，
当且仅当
时，等号成立，
所以
面积的最大值为
，C 错误；
对于D 选项，设直线与椭圆
的蒙日圆交于
，
两点，
联立
解得
或
，
不妨令
，
，
所以当点
与点
或
重合时，
为直角，
且
，
，
所以直线
的斜率为
或
，D 正确.
故选：ABD
10
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12．−2
【分析】由二项式系数和先求
，再利用通项
得到
的指数确定值，
由
的系数为
，建立关于
的方程求解可得.
【详解】因为
的展开式的二项式系数和为
，
所以
，解得
.
所以二项式展开式的通项公式为
，
由
，解得
，
所以
的系数为
，解得
.
故答案为：
.
13．
【分析】由给定的抛物线方程直接求出焦点坐标；利用抛物线定义求出点
的纵坐标，再
求出三角形面积.
【详解】抛物线
的焦点为
，准线方程为
，
设
，则
，解得
，于是
，
，
所以
的面积为
.
故答案为：
；
14．
11
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【分析】根据题意得康威圆的圆心为
的内心，再结合
得
的内切圆
的半径
，再计算康威圆的半径即可.
【详解】解：因为
，
，
所以康威圆的圆心在
的平分线上，
同理可知康威圆的圆心在
的平分线上，即康威圆的圆心为
的内心．
因为
，
，
，满足
，
所以
，
所以
的内切圆的半径
，
所以，康威圆的半径
．
故答案为：
12
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13
