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微专题10 端点效应
（先猜后证-必要性探索）在导数中的应用讲义
微专题教学内容
1. 端点效应的定义
恒成立问题中, 我们常常能见到类似的命题: “对于任意的
, 都有
恒成
立”，这里的端点
, 往往是使结论成立的临界条件, 因此, 如果能利用好这两个值, 能
方便解题，比如对于上述的命题,观察
和
的取值，这种观察区间端点值来解决问题
的做法, 我们称之为端点效应
2. 端点效应的核心思想
利用端点处所需满足的必要条件缩小参数的取值范围, 而在很多情况下, 该范围即为所求.
3. 端点效应的解题思路
端点效应问题中，可以通过取所构造函数定义域内的某些特殊的值使不等式成立进而得出恒
成立的一个必要条件，初步获得所求参数的范围再在该范围内讨论，进而缩小了参数的讨论
范围，使问题得以顺利的解决。
利用“端点效应”解决问题的一般步骤可分为以下几步
(1) 利用端点处函数值或导数值满足的条件，初步获得参数的取值范围，这个范围是不等式
恒成立的必要条件
(2) 利用所得出的参数范围判断函数在定义域内是否单调
(3) 若函数在限定参数范围内单调，则必要条件即为充要条件，问题解决.若不单调，则需进
一步讨论，直至得到使不等式恒成立的充要条件
4. 端点效应的类型
1.如果函数
在区间
上,
恒成立,则
或
.
1
2.如果函数
在区问
上,
恒成立,且
(或
),则
或
.
3.如果函数
在区问
上,
恒成立,且
(或
,
则
或
.
典例精讲
【典例1】
己知函数f (x)=e
x−ax
1
−(a>0)。 若f (x)≥0在[0,+∞)上恒成立，则a的取值范围为______
会一题通一类
1.已知函数
(1)当
时，讨论
的单调性；
(2)若
恒成立，求a 的取值范围．
2.已知函数
.
（1）当a=1 时，讨论f（x）的单调性；
（2）当x≥0 时，f（x）≥
x3+1，求a 的取值范围.
3.已知函数f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）为f（x）的导数．
（1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；
2
（2）若x [0
∈
，π]时，f（x）≥ax，求a 的取值范围．
学后测评
1．（24-25 高二下·广东中山·期中）已知
.
(1)若
，求
的极值；
(2)当
时，
，求
的取值范围.
2．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
．
(1)证明：当
，
时，
；
(2)当
时，
恒成立，求实数
的取值范围；
3．（2025·全国·模拟预测）已知函数
．
(1)若
，求
的单调区间；
(2)当
时，
，求
的取值范围．
4．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知函数
（
）.
(1)当
时，讨论
的单调性；
(2)当
时，
恒成立，求a 的取值范围.
5．（25-26 高三上·四川成都·月考）已知函数
.
(1)若
，讨论
的单调性；
(2)若
，当
时，判断
是否存在零点，并说明理由；
(3)当
时，
，求
的取值范围.
3
6．（25-26 高三上·天津武清·月考）已知函数
，
.
(1)若曲线
在
处的切线的斜率为2，求a 的值；
(2)若
在区间
上恒成立，求a 的取值范围.
7．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
．
(1)求
的单调区间；
(2)若
在
时恒成立，求
的取值范围．
8．（2025·湖南长沙·二模）已知函数
.
(1)当
时，讨论
的单调性；
(2)若
与
恰有两个交点，求
的取值范围.
(3)当
时，
，求a 的取值范围.
9．（2025·四川资阳·一模）已知函数
.
(1)若
有3 个极值点
，
，
，且
，
（i）求
的取值范围；
（ii）求证：
；
(2)若
，
，求
的取值范围.
10．（25-26 高三上·江苏镇江·开学考试）已知函数
.
(1)若
，求
的极值；
(2)若
，判断
的零点个数并证明；
(3)若对任意
，求实数
的取值范围.
4
5
