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微专题11 导数解答题之极最值问题
【秒杀总结】
1、利用导数求函数的极最值问题．解题方法是利用导函数与单调性关系确定单调区间，从而求得极
最值．只是对含有参数的极最值问题，需要对导函数进行二次讨论，对导函数或其中部分函数再一次求导，
确定单调性，零点的存在性及唯一性等，由于零点的存在性与参数有关，因此对函数的极最值又需引入新
函数，对新函数再用导数进行求值、证明等操作．
【典型例题】
例1．（2024·山东济南·一模）已知函数
.
(1)当
时，求
的单调区间；
(2)讨论
极值点的个数.
【解析】（1）当
时，
定义域为
，
又
，
所以
，
由
，解得
，此时
单调递增；
由
，解得
，此时
单调递减，
所以
的单调递增区间为
，单调递减区间为
.
（2）函数
的定义域为
，
由题意知，
，
当
时，
，所以
在
上单调递增，
即
极值点的个数为个；
当
时，易知
，
故解关于的方程
得，
，
，
所以
，
又
，
，
所以当
时，
，即
在
上单调递增，
当
时，
，即
在
上单调递减，
即
极值点的个数为个.
综上，当
时，
极值点的个数为个；当
时，
极值点的个数为个.
例2．（2024·湖南邵阳·二模）设函数
.
1
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(1)求
的极值；
(2)若对任意
，有
恒成立，求
的最大值.
【解析】（1）
.
令
，得
，令
，得
.
故
在
单调递减，在
单调递增.
在
处取得极小值
，无极大值.
（2）
对
恒成立，即
对
恒成立.
令
，则只需
即可.
.
易知
均在
上单调递增，
故
在
上单调递增且
.
当
时，
单调递减；
当
时，
单调递增.
.故
，故
的最大值为
.
例3．（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数
，其中
．
(1)当
时，求曲线
在
处的切线方程；
(2)求证：
的极大值恒为正数．
【解析】（1）
，
当
时，
，
，
又
，故曲线
在
处的切线方程为
；
（2）
，
解得知
，
，
若
，当
或
时，
，当
时，
，
2
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所以
在
，
递减，
递增，
故极大值为
；
若
，则
，
所以函数单调递减，无极大值；
若
，当
或
时，
，当
时，
，
所以
在
，
递减，
递增，
故极大值
，
综上，
的极大值恒为正数．
例4．（2024·辽宁·一模）已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线的方程；
(2)讨论
的极值.
【解析】（1）当
时，
，求导得
，则
，而
，
所以的方程为
，即
.
（2）函数
的定义域为
，求导得
，
而
，则当
时，
，当
时，
，
因此
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以当
时，
取得极大值
，无极小值.
例5．（2024·浙江金华·模拟预测）已知函数
．
(1)求函数
在
处的切线方程；
(2)当
时，求函数
的最小值．
【解析】（1）由
，
得
，
所以
，
，
3
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函数
在
处的切线方程
（2）
令
，
当
时，
，则
，
所以
，所以
，
所以
在
单调递减；
当
时，
，则
，
此时
，
所以
在
单调递增，
所以当
时，函数
取得最小值；
所以当
时，函数
的最小值为
例6．（2024·高三·浙江·阶段练习）已知函数
，其中
.
(1)若曲线
在
处的切线在两坐标轴上的截距相等，求
的值;
(2)是否存在实数
，使得
在
上的最大值是
?若存在，求出
的值;若不存在，说明理由.
【解析】（1）
，则
，
故曲线
在
处的切线为
，
即
，
当
时，此时切线为
，不符合要求
当
时，令
，有
，
令
，有
，故
，即
，故
（2）
，
①当
时，
在
上单调递增，
4
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的最大值是
，解得
，舍去;
②当
时，由
，得
，
当
，即
时，
时，
时，
，
的单调递增区间是
，单调递减区间是
，
又
在
上的最大值为
;
当
，即
时，
在
上单调递增，
，
解得
，舍去.
综上所述，存在
符合题意，此时
例7．（2024·北京·模拟预测）已知函数
.
(1)求
的图象在点
处的切线方程；
(2)讨论
的单调区间；
(3)若对任意
，都有
，求
的最大值.（参考数据：
）
【解析】（1）
，
，又
，
，
故
的图象在点
处的切线方程为
，即
.
（2）
，又
，
，
则
时，当
，
，
单调递增；当
，
，
单调递减；
时，当
，
，
单调递减；当
，
，
单调递增；
当
，
，
单调递减；
时，当
，
，
在
单调递减；
时，当
，
，
单调递减；当
，
，
单调递增；
当
，
，
单调递减.
5
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综上所述：当
，
的单调增区间为
，单调减区间为
；
当
，
的单调减区间为
，单调增区间为
；
当
，
的单调减区间为
，没有单调增区间；
当
，
的单调减区间为
，单调增区间为
.
（3）若对任意
，都有
，则
在
上的最大值
；
由（2）可知，当
，
在
单调递增，在
单调递减，
故
；
令
，则
，
故
在
单调递增，又
，则
；
故当
时，
，
也即当
时，对任意
，都有
.
故
的最大值为
.
例8．（2024·天津河东·一模）已知函数
．
(1)求函数
在点
处的切线方程；
(2)求函数
的最小值；
(3)函数
，证明：
．
【解析】（1）
，
，切线斜率为
故切线方程为
，即
.
（2）
，令
，可得
，
当
，
；
，
，
故
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，
故函数
的最小值
.
（3）
，由
①
6
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欲证明
，只需要
，
令
，
令
在区间
上单调递增，则
，故
；
则
在区间
上单调递增，只需证明
，
由①可知
，
由（2）可知
，
只需证明
，
化简为：
成立即可，令
，
则
在区间
上单调递增，
故
，所以
得证.
例9．（2024·北京石景山·一模）已知函数
．
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)求
在区间
上的最大值与最小值；
(3)当
时，求证：
．
【解析】（1）
，
，
，
所以曲线
在点
处的切线方程为
；
（2）
，
当
时，
在区间
上恒成立，
在区间
上单调递增，
7
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所以函数
的最小值为
，最大值为
，
当
时，
，得
，
在区间
小于0，函数
单调递减，
在区间
大于0，函数
单调递增，
所以函数
的最小值为
，
，
，显然
，所以函数
的最大值为
，
综上可知，当
时，函数
的最小值为
，最大值为
，
当
时，函数
的最小值为
，最大值为
；
（3）当
时，
，即证明不等式
，
设
，
，
，
设
，
，
，
所以
在
单调递增，并且
，
，
所以函数
在
上存在唯一零点
，使
，
即
，则在区间
，
，
单调递减，
在区间
，
，
单调递增，
所以
的最小值为
，
由
，得
，且
，
所以
，
所以
，即
.
【过关测试】
1．（2024·广东汕头·一模）已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
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(2)若
既存在极大值，又存在极小值，求实数
的取值范围.
【解析】（1）当
时，函数
，求导得
，则
，而
，
所以曲线
在点
处的切线方程为
，即
.
（2）函数
的定义域为
，
求导得
，
当
时，
，由
，得
，由
，得
，
则函数
在
上递增，在
上递减，函数
只有极大值
，不合题意；
当
时，由
，得
或
，
①若
，即
，由
，得
或
，由
，得
，
则函数
在
上递增，在
上递减，
因此函数
的极大值为
，极小值为
，符合题意；
②若
，即
，由
，得
或
，由
，得
，
则函数
在
上递增，在
上递减，
因此函数
的极大值为
，极小值为
，符合题意；
③若
，即
，由
在
上恒成立，得
在
上递增，
函数
无极值，不合题意，
所以
的取值范围为
.
2．（2024·高三·江苏苏州·阶段练习）已知函数
有极值，与函数
的极值点相同，其中是自然对数的底数.
(1)直接写出当
时，函数
在
处的切线方程；
(2)通过计算用
表示
；
(3)当
时，若函数
的最小值为
，证明：
.
【解析】（1）当
时，
，
，
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从而
，
，
所以函数
在
处的切线方程为
；
（2）因为
，令
，得
，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
故
是函数
的极小值点；
又因为
，
所以
，
整理得
，
又当
时，
，
若要使得函数
有极值，
则还需
，即
，
综上所述，
，
；
（3）因为
，且由（2）可知
，
所以
，
令
，则
，
令
，得到
，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
所以
，
所以
，
从而令
，得
，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
所以
，
令
，则
，记
，
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则
，
因为
，
所以
，
单调递增，
所以
，即
.
3．（2024·内蒙古赤峰·一模）已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)当
时，求函数
的单调递增区间；
(3)若函数
在区间
上只有一个极值点，求a 的取值范围.
【解析】（1）当
时，
，则
，
所以，
，
，
故当
时，曲线
在点
处的切线方程为
，即
.
（2）当
时，
，该函数的定义域为
，
，
由
，即
，解得
或
，
因此，当
时，函数
的单调递增区间为
，
（3）法Ⅰ：因为
，则
，
令
，因为函数
在
上有且只有一个极值点，
则函数
在
上有一个异号零点，
当
时，对任意的
，
恒成立，无零点，故不符合题意；
当
时，函数
在
上单调递增，
因为
，只需
，故
符合题意；
当
时，函数
的图象开口向下，对称轴为直线
，
因为
，只需
，故
不符合题意，舍去
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综上所述，实数a 的取值范围是
.
法Ⅱ：令
，
则
有根，令
，
设
，
，
又函数对称轴为
，则
时，
单调递增，
所以
，即
，
.
4．（2024·四川成都·二模）已知函数
的导函数为
．
(1)当
时，求
的最小值；
(2)若
存在两个极值点，求a 的取值范围．
【解析】（1）
当
时，
，
，
，
令函数
，
，则有
，
当
时，
，
为减函数；当
时，
，
为增函数，
所以
，即
的最小值为2；
（2）因为
，有
，
令
，有
，
①当
时，因为
，所以
，即
在
上为增函数，
所以至多存在一个
，使得
，故
不存在两个极值点，
②当
时，解
，得
，
故当
时，
，
为减函数，当时
，
，
为增函数，所以
，
（ⅰ）．当
，即
时，
，
在
上为增函数，
故
不存在极值点，
（ⅱ）．当
，即
时，
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又因为
，所以
，
又由第（1）问知
，故
，所以
，
又因为
，又
，
所在
，
使得
，
且
在
，
上为增函数，在
上为减函数，
所以
，
分别是
的极大值点和极小值点，
综上所述，
的取值范围为
．
5．（2024·高三·浙江湖州·期末）已知函数
.
(1)是否存在实数
，使得函数
在定义域内单调递增；
(2)若函数
存在极大值
，极小值
，证明：
.（其中
是自然对数的底数）
【解析】（1）因为
，则
的定义域为
，
进一步化简得：
令
，则
在
上单调递增，
且
，所以
时，
时，
要使得
单调递增，则
在
上恒成立
当
时，
恒成立
当
时，
，当
时，
，不合题意
当
时，
，当
时，
，不合题意
综上：
.
（2）由（1）可得
且
，极值点为
与1，
所以
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令
当
时，
单调递增
当
时，
单调递减，
所以
，即
成立.
6．（2024·云南大理·模拟预测）已知函数
.
(1)讨论函数
的单调性；
(2)设
，且
是
的极值点，证明：
（i）
时，
取得极小值；
（ii）
.
【解析】（1）函数
的定义域为
，求导得
，
当
时，
恒成立，
在
上单调递减，
当
时，由
，得
，由
，得
，
即函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以当
时，函数
在
上单调递减，
当
时，函数
在
上单调递减，在
上单调递增.
（2）函数
的定义域为
，求导得
，
由
是
的极值点，得
，即
，
（i）
，
而
，则当
时，
单调递减，当
时，
单调递增，
所以当
时，
取得极小值.
（ii）设
，求导得
，
当
时，
，当
时，
，则函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
因此
，所以
.
7．（2024·高三·北京昌平·期末）已知函数
．
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(1)求曲线
在
处的切线方程；
(2)设函数
，求
的单调区间；
(3)判断
极值点的个数，并说明理由．
【解析】（1）由题意知
，定义域为
，所以
，
所以直线的斜率
，
，
所以切线方程为
，即
.
（2）由（1）知
，所以
，
令
，即
，解得
或
，
当
，
，
当
，
，
当
，
，
所以
在
，
单调递增，在
单调递减.
（3）
个极值点，理由如下：
由（2）知当
时，
在区间
上单调递增，
，
，
所以存在唯一
，使
；
当
时，
在区间
上单调递减，
，
，
所以存在唯一
，使
；
当
时，
，
，所以
所以
在区间
无零点；
综上，当
，
，
当
，
，
当
，
，
所以当
时，
取到极小值；当
时，
取到极大值；
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故
有
个极值点.
8．（2024·高三·北京房山·期末）已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)当
时，求函数
的单调递增区间；
(3)若函数
在区间
上只有一个极值点，求
的取值范围.
【解析】（1）当
时，
，则
，所以，
，
，
故当
时，曲线
在点
处的切线方程为
，即
.
（2）当
时，
，该函数的定义域为
，
，
由
，即
，解得
或
，
因此，当
时，函数
的单调递增区间为
、
.
（3）因为
，则
，
令
，因为函数
在
上有且只有一个极值点，
则函数
在
上有一个异号零点，
当
时，对任意的
，
，不合乎题意；
当
时，函数
在
上单调递增，
因为
，只需
，合乎题意；
当
时，函数
的图象开口向下，对称轴为直线
，
因为
，只需
，不合乎题意，舍去.
综上所述，实数
的取值范围是
.
9．（2024·高三·全国·专题练习）已知
，
，
(1)若
在
处取得极值，试求的值和
的单调增区间；
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(2)如图所示，若函数
的图象在
连续光滑，试猜想拉格朗日中值定理：即一定存在
，
使得
，利用这条性质证明：函数
图象上任意两点的连线斜率不小于
．
【解析】（1）因为
，则
，
依题意，有
，即
．
所以
，
，
令
，得
或
，
令
，得
，
所以
在
和
上单调递增，在
上单调递减，
所以
满足题意，同时，
的单调增区间为
和
；
（2）猜想如下：
因为
表示的
两端点连线的斜率，
而由题可知，
上必然存在点
，使得其切线的斜率为
，即
，
所以一定定存在
，使得
；
证明如下：
因为
，
则
．
由猜想可知，对于函数
图象上任意两点
，
在
之间一定存在一点
，使得
，
又
，故有
.
10．（2024·高二·浙江温州·阶段练习）已知函数
有两个极值点为
，
.
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(1)当
时，求
的值；
(2)若
（为自然对数的底数），求
的最大值.
【解析】（1）易知函数
的定义域为
，
则
，
当
时可得，
，
因此可知当
或
时，
；当
时，
；
所以
在
和
上单调递增，在
上单调递减；
可得
和
是函数
的两个极值点，又
，所以
；
所以可得
，
即当
时，
；
（2）易知
，
又
，所以
是方程
的两个实数根，
由韦达定理可得
，
所以
，
设
，由
可得
，令
，
则
，所以
在
上单调递减，
可得
，
故可知
的最大值为
.
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11．（2024·高三·河南周口·阶段练习）已知函数
．
(1)当
时，证明：函数
在
上单调递增；
(2)若
是函数
的极大值点，求实数
的取值范围．
【解析】（1）因为
，所以
，且知
，
要证函数
单调递增，即证
在
上恒成立，
设
，则
，注意
，
在
上均为增函数，故
在
上单调递增，且
，于是
在
上单调递减，在
上单调递增，
，即
，
因此函数
在
上单调递增；
（2）由
，有
，
令
，所以
，
①当
时，
在
上恒成立，
因此
在
上单调递减，
注意到
，故函数
的增区间为
，减区间为
，
此时
是函数
的极大值点；
②当
时，
与
在
上均为单调增函数，
故
在
上单调递增，注意到
，
若
，即
时，此时存在
，使
，
因此
在
上单调递减，在
上单调递增，
又知
，则
在
上单调递增，在
上单调递减，
此时
为函数
的极大值点，
若
，即
时，此时存在
，使
，因此
在
上单调递减，在
上单
调递增，又知
，则
在
上单调递减，在
上单调递增，此时
为函数
的极小值
点．
当
时，由（1）可知
单调递增，因此
非极大值点，
综上所述，实数
的取值范围为
．
12．（2024·高三·辽宁朝阳·阶段练习）已知函数
.
19
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(1)若
，求函数
的单调区间；
(2)若对
，
，且
在
处取得极小值，求
的取值范围.
【解析】（1）当
时，
，定义域为
.
，
令
，可得
，
当
变化时，
和
的变化情况如下：
0
-
-
0
+
单调递减
单调递
减
单调递增
故函数
的单调递减区间为
，
；单调递增区间为
.
（2）因为
对
恒成立，所以
对
恒成立，
显然
不恒成立，不合题意，则
，解得
.
令
，可得
或
，
当
时，
，
因为
，（当且仅当
时，
）
所以函数
在
上单调递增，无极值，不满足题意；
当
时，
，
和
的变化情况如下：
0
20
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+
0
-
0
+
单调递增
单调递减
单调递增
函数
在
处取得极小值，满足题意；
当
时，
，
和
的变化情况如下：
0
+
0
-
0
+
单调递增
单调递减
单调递增
函数
在
处取得极大值，不满足题意.
综上，实数
的取值范围为
.
13．（2024·海南·模拟预测）已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)当
时，若函数
有最小值2，求
的值.
【解析】（1）当
时，
的定义域为
，
则
，则
，
由于函数
在点
处切线方程为
，即
.
（2）
的定义域为
，
，
当
时，令
，解得：
；令
，解得：
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以，
，即
则令
，设
，
令
，解得：
；令
，解得：
，
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所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，
所以
，解得：
.
14．（2024·高三·湖南岳阳·开学考试）已知
，函数
，
.
(1)判断函数
在
上的单调性；
(2)是否存在实数
，使曲线
在点
处的切线与
轴垂直？若存在，求出
的值；若
不存在，请说明理由．
【解析】（1）
，
，
①若
，则
，
在
上单调递增；
②若
，当
时，
，函数
在
上单调递减，
当
时，
，函数
在
上单调递增；
③若
，则
，函数
在
上单调递减.
综上，当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增；
当
时，
在
上单调递减；
（2）
，
，
，由（1）易知，
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，
在
上的最小值为
，
即
，
，又
，
，
曲线
在点
处的切线与
轴垂直等价于方程
有实数解，
而
，即方程
无实数解，
22
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故不存在实数
，使曲线
在点
处的切线与
轴垂直.
15．（2024·贵州·三模）已知函数
的图象经过点
，且
是
的极值
点.
(1)求函数
的解析式；
(2)求函数
的单调区间和最值.
【解析】（1）由函数
，可得
，
因为函数
过点
，且
是
的极值点，
可得
，解得
，
所以函数
的解析式为
.
（2）由（1）知
，
令
，解
；令
，解
，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以，当
时，函数
取得最小值，最小值为
，无最大值.
即函数
的增区间为
，减区间为
，最小值为，无最大值.
16．（2024·高三·云南昆明·阶段练习）已知
，其中
为自然对数
底数．
(1)讨论
的单调性；
(2)已知
有极值，求
的所有极值之和的最大值．
【解析】（1）函数
的定义域为
，
又
，
令
，解得
或
．
①当
时，
，则当
或
时
，当
时
，
所以
在
和
上单调递增，在
上单调递减；
②当
时，
，则
恒成立，所以
在
上单调递增；
③当
时，
，
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则当
或
时
，当
时
，
所以
在
和
上单调递增，在
上单调递减．
综上可得：当
时
在
和
上单调递增，在
上单调递减；
当
时
在
上单调递增；
当
时
在
和
上单调递增，在
上单调递减．
（2）由（1）可得，当
时，
无极值，故舍去；
当
时，
有两个极值，
分别为
，
，
则
，
令
，
，令
，
，
则
，令
，得
，
所以当
或
时
，当
或
时
在
，
上单调递减，
在
，
上单调递增，
当
时，
，
，
，
即
的所有极值之和的最大值为
．
17．（2024·陕西西安·一模）已知函数
.
(1)讨论
的单调性；
(2)若
存在两个极值点
，
，证明：
.
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【解析】（1）函数的定义域为
，则函数的导数
，
设
，注意到
，
①当
时，
恒成立，即
恒成立，此时函数
在
上是减函数；
②当
时，判别式
，
（i）当
时，
，即
，即
恒成立，此时函数
在
上是减函数；
（ii）当
时，令
，得：
，
令
，得：
或
；
所以当
时，
在区间
单调递增，在
，
单调递减；
综上所述，当
时，
在
上是减函数，
当
时，在
，
上是减函数，
在区间
上是增函数.
（2）由（1）知
，
，
，
则
，
则
，则问题转为证明
即可，
即证明
，则
，
即
，即证
在
上恒成立，
设
，
，其中
，
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求导得
，
则
在
上单调递减，
所以
，即
，
故
，则
成立.
18．（2024·河北唐山·一模）已知函数
，
，
(1)求曲线
在点
处的切线方程：
(2)当
时，求
的值域．
【解析】（1）由
得
，所以
，
所以所求切线方程为
，即
（2）
时，
，
，
当
时，
，此时
，故
单调递增，
当
时，
，
接下来证明：当
时，
，
令
又
，
故当
单调递减，
当
单调递增，
故
有最小值
，因此
，即
，
，
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令
，
故
单调递增，即
，
所以
，故
在
单调递增，
综上可得
在
单调递增，
，
当
而
，因此
，
所以
的值域为
19．（2024·四川泸州·二模）已知函数
．
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若在区间
内存在
，
，使得
，求实数
的取值范围．
【解析】（1）因为
，所以
，
又
，所以
，
所以曲线
在点
处的切线方程为
；
（2）因为
，又
，
所以当
时
，当
或
时
，
所以
在
上单调递减，在
，
上单调递增，
则在区间
内存在
，
，使得
，
等价于在区间
内存在
，使得
，
等价于在区间
内存在
，使得
，
等价于在区间
内，
的最大值不小于，
不妨令
，
①当
，即
时，
在
上单调递增，在
上单调递减，
且
，
，
，
所以
，符合题意；
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②当
，即
时，
在
和
上单调递增，在
上单调递减，
显然
在
处取得极小值，此时极小值为
，
而
，
，
，
所以
，
要使
，则必有
，解得
，故
，
综上可得
的取值范围为
.
20．（2024·高三·四川·阶段练习）已知函数
的导函数为
.
(1)当
且
时，求
的最小值；
(2)当
且
时，若
存在两个极值点，求
的取值范围.
【解析】（1）当
且
时，
，可得
，
令函数
，则有
，
当
时，
为减函数；
当
时，
为增函数，
所以
，即
的最小值为2.
（2）当
时，
，可得
，
则
，令
，可得
，
①当
时，因为
，所以
，
即
在
上为增函数，故
不可能存在两个极值点；
②当
时，解
，得
，显然
，
故当
时，
为减函数，
当
时，
为增函数，
所以
，
（i）当
，即
时，
，
在
上为增函数，
故
不存在极值点，
（ii）当
，即
时，
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因为
，所以
，
又由第（1）问知：
，所以
，
则
，所以
，
又因为
，所以
，
因为
，
所以存在
使得
，
且
在
上为增函数，在
上为减函数，
所以
分别是
的极大值点和极小值点，
综上所述，
的取值范围为
.
29
