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专题12 圆与几何综合的两种考法
类型一、切线问题
例1．（连圆心，证半径）如图，
内接于
，
是
的直径，
平分
交
于点E，过点E 作
，交
的延长线于点F．
(1)求证：
与
相切；
(2)若
，
，过点E 作
于点M，交
于点G，交
于点N，求
的长．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】（1）连接
，由
是
的直径可得
，进而可得
，再根据圆周角定理可得
，进而可证
，
，即可证明
与
相切；
（2）连接
，
，先证
是等边三角形，推出
，再
根据圆周角定理证明
，进而可得
，再根据弧长公式即
可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接
，
是
的直径，
，
平分
交
于点E，
，
，
，
，
，
是
的半径，
与
相切；
（2）解：如图，连接
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
是
的直径，
，
．即
的长为
．
【点睛】本题考查切线的判定，圆周角定理，弧长公式，等边三角形的判定与性质等，熟
练应用圆周角定理是解题的关键．
例2（连半径，证垂直）．如图，
中，
，
过B、C 两点，且
是
的切线，连接
交劣弧
于点P．
(1)证明：
是
的切线；
(2)若
，
，求
的半径．
【答案】(1)见解析；(2)6
【分析】（1）利用全等三角形的判定与性质和圆的切线的性质定理得到
，
再利用圆的切线的判定定理解答即可得出结论；
（2）设
的半径为r，则
，
．在
中，利用勾股定理列出方程，
解方程即可得出结论．
【详解】（1）∵
是
的切线，
∴
，
∴
．
在
和
中，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
为
的半径，
∴
是
的切线；
（2）设
的半径为r，则
，
．
在
中，
∵
，
∴
，
解得：
．
∴
的半径为6．
【点睛】本题考查了圆的切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练
掌握圆的有关性质是解题的关键．
【变式训练1】．如图，
内接于
是
的直径，
的切线
交
的延长
线于点
交
于点
，交
于点
，连接
．
(1)判断直线
与
的位置关系，并说明理由；
(2)若
的半径为
，求阴影部分的面积．
【答案】(1)相切，理由见解析；(2)
【分析】（1）连接
，证明
，由全等三角形的判定与性质得出
，由切线的判定可得出结论；
（2）证明
是等边三角形，求出
，
，由三角形面积公式和扇形的
面积公式可得出答案．
【详解】（1）解：直线
与
相切．
理由如下：连接
，
为圆
切线，
，
，
，
，
，
，
，
，
在
和
中，
，
，
，
，
又
为圆
的半径，
为圆
的切线；
（2）
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
阴影部分的面积为
．
【点睛】此题是圆的综合题，考查了切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行
线的性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，三角形的面积求法，等边三角形的判定与
性质，扇形的面积公式，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．
【变式训练1】．如图，
为
的直径，
是圆的切线，切点为
，
平行于弦
．
(1)求证：
是
的切线；
(2)直线
与
交于点
，且
，
，求
的半径．
【答案】(1)见解析；(2)
【分析】（1）连接
，根据切线的性质得到
，根据平行线的性质可得
，
，根据等边对等角可得
，推得
，根据全等三角形的判定和性质可得
，即可根据切
线的判定定理证明结论；
（2）设
的半径为r，根据勾股定理列出方程，解方程求出
的半径．
【详解】（1）证明：连接
，
∵
是
的切线，
∴
，
∵
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
在
和
中，
，∴
，
∴
，∴
，
∵
是
的半径，∴DC 是
的切线；
（2）解：设
的半径为r，
在
中，
，即
，
解得：
，
∴
的半径为．
【点睛】本题考查的是切线的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行线的性质，等
边对等角，勾股定理，熟记经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的
关键．
【变式训练2】．如图，以线段
为直径作
，交射线
于点C，
平分
交
于点D，过点D 作直线
于点E，交
的延长线于点F．连接
并延长交
于点M．
(1)求证：直线
是
的切线；
(2)求证：
；
【答案】(1)见解析；(2)见解析
【分析】（1）连接
，根据等腰三角形的性质得到
，根据角平分线的定
义得到
，证明
，根据平行线的性质得到
，根据切线的判
定定理证明即可；
（2）根据题意证得
，再根据等边对等角即可证明．
【详解】（1）解：证明：连接
，
，
，
平分
，
，
，
，
，
，
是
的半径，
直线
是
的切线；
（2）
线段
是
的直径，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查的是切线的判定和性质、圆周角定理、直角三角形的性质，掌握经过半
径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．
【变式训练3】．如图，在
中，
，
平分
交
于点D，O 为
上一点，经过点A，D 的
分别交
，
于点E，F．
(1)求证：
是
的切线；
(2)若
，
，求
的半径．
【答案】(1)见解析；(2)
的半径为5．
【分析】（1）连接
，可得
，根据等边对等角，以及角平分线的定义，可得
，根据“内错角相等，两直线平行”可得
，根据平行线的性质，
可得
，再根据切线的判定方法，即可判定；
（2）过点O 作
，交
于点G，根据垂径定理可得
，
故
，根据矩形的判定和性质，即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接
，则
，
，
是
的平分线，
，
，
，
，
为
的半径，点D 在
上，
∴
是
的切线；
（2）解：过点O 作
，交
于点G，如图，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形
是矩形，
，
的半径为5．
【点睛】本题考查了圆的切线的判定、圆的垂径定理，矩形的判定和性质、等腰三角形的
性质、角平分线的定义、平行线的判定和性质，解题的关键是准确作出辅助线．
类型二、求长度
例．如图，已知
是
的外接圆，
是
的直径，D 是
延长线的一点，
交
的延长线于E，
于F，且
．
(1)求证：
是
的切线；
(2)若
，求
的长．
【答案】(1)证明见解析；(2)
【分析】（1）要证
是
的切线，只要连接
，再证
即可；
（2）由切线的性质及勾股定理可得
的长，再根据三角形面积公式及勾股定理可得
的长，最后由全等三角形的判定与性质可得答案．
【详解】（1）证明：连接
；
∵
，又
，
∴
．
∵
，
∴
，
∴
．
∴
．
∴
．
又
是
的半径，
∴
是
的切线．
（2）解：∵
，
∴
，
，
∵
，
即
，
∴
，
∴
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
，
∴
．
【点睛】本题考查了切线的判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质．要证某线是圆的
切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
【变式训练1】．如图，在
中，
，点D 在边
上，点E 在边
上．
以点D 为圆心，
为半径作
与
相切于点F，已知
．
(1)求证：
；
(2)连接
，若
，求线段
的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接
，根据
与
相切于点F 得到
，结合
，即可
得到
，结合
，
，得到
，
即可得到证明；
（2）根据
，
得到
，即可得到
，即
可得到
，即可得到答案；
【详解】（1）证明：连接
，
∵
与
相切于点F，
∴
，
∴
，又
，
，
∴
，
∴
；
（2）解：在
和
中，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
由（1）
，
∴
，
∴
；
【点睛】本题考查圆的切线的性质，三角形全等的性质与判定，解题的关键是根据三角形
全等的性质转换线段关系．
【变式训练2】．如图，在
中，
，O 是边
上的点，以
为半径的圆分
别交边
、
于点D、E，过点D 作
于点F．
(1)求证：直线
是
的切线；
(2)若
，求劣弧
的长．
【答案】(1)详见解析；(2)
【分析】（1）连接
，等边对等角推出
，得到
，进而推出
，即可得证；
（2）平行线的性质，求出
的度数，利用弧长公式进行求解即可．
【详解】（1）解：证明：连接
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，而
于点F，
∴
，
又
是
的半径，
即直线
是
的切线；
（2）解：∵
，
∴
，
∵
，即圆的半径为1，
∴劣弧
的长
．
【点睛】本题考查切线的判定，求弧长．解题的关键是掌握切线的判定定理以及弧长的计
算公式．
【变式训练3】．如图，
是
的直径，点
是
的中点，过点
的切线与
的延
长线交于
，连接
，
．
(1)求证：
；
(2)若
，
，求
的面积．
【答案】(1)见解析；(2)
的面积为
【分析】（1）连接
，根据切线的性质，则
，则
，根据点
是
的中点，等弧所对的圆周角相等可得
，根据平行线的判定和性质，即可；
（2）连接
，根据平行四边形的判定，得四边形
是平行四边形，根据
，
则平行四边形
是菱形，则
是等边三角形，根据等边三角形的性质，得
，
；根据直角三角形中，
所对的直角边是斜边的一边，得
，再根据圆的面积公式，即可．
【详解】（1）证明：连接
，
∵
，
∴
，
∵点
是
的中点，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
（2）解：连接
，
∵
，
，
∴四边形
是平行四边形，
∵
，
∴平行四边形
是菱形，
∴
，
∴
，
∴
是等边三角形，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
的面积为：
．
【点睛】本题考查圆，三角形，菱形的知识，解题的关键是掌握圆的基本性质，圆的切线，
等边三角形的性质，菱形的判定和性质．
【变式训练4】．如图1，在
中，
为
的直径，点
为
上一点，
为
的平分线交
于点
，连接
交
于点E．
(1)求
的度数；
(2)如图2，过点A 作
的切线交
延长线于点
，过点
作
交
于点
．
若
，
，求
的长．
【答案】(1)
；(2)
【分析】（1）根据圆周角定理证得两直线平行，再根据平行线的性质即可得到结论；
（2）由勾股定理得到边的关系，求出线段的长，再利用等面积法求解即可．
【详解】（1）解：
为
的直径，
，
为
的平分线，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：连接
，
设
，
则
，
，
，
为
的直径，
，
在
中，
，
由（1）得，
，
，
，
，
，
，
解得
或
（不合题意舍去），
，
，
是
的切线，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，切线的性质，解一元二次方程，熟练掌握圆
周角定理和勾股定理是解题的关键．
课后训练
1．如图，以
为直径的
经过
的顶点C，
，
分别平分
和
，
的延长线交
于点D，连接
，
.
(1)求证：
：
(2)若
，
，求
的长．
【答案】(1)见解析；(2)
【分析】（1）由角平分线的定义和圆周角定理可知，
，
，可得
即可证明结论；
（2）连接
、
、
，
交
于点
，由题意易知
，进而可知
，结合
，可知
垂直平分
．易证
是等腰直角三角形，
，可得
，可得
．设
，则
，在
和
中，根据
，
可列方程
解出的值，进而完成解答．
【详解】（1）证明：由圆周角定理可得：
，
∵
平分
，
平分
，
∴
，
．
∵
，
，
∴
．
∴
．
（2）解：连接
、
，
交
于点
，
由圆周角定理可得：
，由（1）知
，
∴
．
∴
．
∵
．
∴
垂直平分
．
∵
为直径，
∴
，则
是等腰直角三角形．
∵
，
∴
．
∵
，
，解得：
∴
．
设
，则
，
在
和
中，
，
即：
，解得
，即
，
∴
．
∴
．
【点睛】本题属于圆的综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识点，
证明
是等腰直角三角形是解题关键．
2．如图，在
中，
为直径，
为弦，
为
延长线上的一点，连接
．
(1)若
的长为
，求
的度数．
(2)若
，
，求证：
是
的切线．
【答案】(1)
；(2)证明见解析
【分析】（1）连接
，如图，设
的度数为
，利用弧长公式得到
，
求出n 得到
，然后根据圆周角定理得到
的度数；
（2）连接
，如图，先利用圆周角定理得到
，则利用勾股定理先计算出
，再计算出
，所以
，然后利用勾股定理的逆定理证明
为直
角三角形，
，所以
，从而根据切线的判定定理得到结论．
【详解】（1）解：连接
，如图，设
的度数为
，
∵
的长为
，
为直径，
，
∴
，
解得
，即
，
∴
；
（2）连接
，如图，
∵
为直径， ∴
，
在
中，
，
在
中，
，
∴
，
∵
，
，
，
∴
，
∴
为直角三角形，
，
∴
， 而
为直径，
∴
是
的切线．
【点睛】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
也考查了圆周角定理、弧长公式和勾股定理的逆定理．
3．如图，在
中，A、B，C 三点在
上，点O 在
边上，点E 在
外，
，垂足为F．
(1)若
，求证：
是
的切线；
(2)若
，求
的长．
【答案】(1)详见解析(2)
【分析】（1）连接
和
，四边形
是平行四边形得
，则
，则
，即可得到
，
即可得到
，又由
是
的半径即可得到结论；
（2）过点F 作
交
于点G，四边形
是平行四边形，则
，
，则
，得四边形
为平行四边形，则
，设
的半径为x，则
，由垂径定理可得
，在
中，由
勾股定理可得
则
，解得
即可得到
，
则
，再证
，在
中，
即可得到
的长．
【详解】（1）证明：连接
和
，
∵四边形
是平行四边形，
∴
，
，
∴
，
，
∴
，
是
的半径，
是
的切线
（2）解：过点F 作
交
于点G，
∵四边形
是平行四边形，
∴
，
，
∴
，
∴四边形
为平行四边形，
，
设
的半径为x，则
∴
，
在
中，
∴
，
解得
∴
，
∴
，
∴
，
∴在
中，
∴
．
【点睛】此题考查了切线的判定定理、垂径定理、平行四边形的判定和性质、勾股定理等
知识，熟练掌握切线的判定定理和添加合适的辅助线是解题的关键．
4．如图1，已知
为
的直径，C 为
上一点，
于E，D 为弧
的中点，
连接
，分别交
于点F 和点G．
(1)求证：
；
(2)如图2，若
，连接
，求证：
．
【答案】(1)见解析；(2)见解析
【分析】（1）连接
，根据直径所对的圆周角是直角可得
，从而可得
∠CAG+∠AGC＝90°，根据垂直定义可得
，从而可得
，然
后根据已知可得
，从而可得
，进而可得
，最后根据对
顶角相等可得
，从而可得
进而根据等角对等边即可解答；
（2）连接
，利用（1）的结论，再根据等角的补角相等可得
，然后
根据
证明
，从而可得
，进而可得
，最后根据等
弧所对的圆周角相等可得
，从而可得
，进而利用等腰三角形的三
线合一性质即可解答．
【详解】（1）证明：连接
，
∵
为
的直径，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵D 为弧
的中点，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
；
（2）解：连接
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
．
【点睛】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，根据题目的已知条件并结合图
形添加适当的辅助线是解题的关键．
5．如图，
中两条互相垂直的弦
交于点P，
经过点O，E 是
的中点，连
接
，延长
交
于点F．
(1)若
，
，求
的长；
(2)求证：
．
【答案】(1)
的长为
；(2)见解析
【分析】（1）根据垂径定理可得
垂直平分
，从而可得
，然后
在
中，利用勾股定理求出
的长，进行计算即可解答；
（2）根据垂直定义可得
，从而可得
，然后利用直
角三角形斜边上的中线性质可得
，从而可得
，再利用对顶角相等，以
及同弧所对的圆周角相等可得
，最后利用等量代换可得
，
从而利用三角形内角和定理进行计算可得
，即可解答．
【详解】（1）解：∵E 是
的中点，
∴
垂直平分
，
∴
，
∵
，
∴
，
在
中，
，
∴
，
∴
，
∴
的长为
；
（2）证明：∵
，
∴
，
∴
，
∵E 是
的中点，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，垂径定理，熟练掌握圆周角定理，以及垂径
定理是解题的关键．
