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专题04 二次函数实际应用的四种考法 类型一、销售利润问题 例．某商场主营玩具销售，经市场调查发现，某种玩具的月销量 （件）是售价 （元/件）的一次函数， 该玩具的月销售总利润 售价－成本 月销量，三者有如下数据： 售价 （元/件） 月销量 （件） 月销售总利润 （元） (1)试求 关于 的函数关系式 的取值范围不必写出）； (2)玩具的成本为______元，当玩具售价 ______元时，月销售总利润有最大值______元； (3)由于原材料下降，从本月起，该玩具成本下降 元/件 ，且物价局规定该玩具售价最高不得 超过 元/件．若月销量 与售价 仍满足（1）中的关系，预计本月总利润 最高为 元，请你求出 的值． 【答案】(1) (2) ， (3) 【分析】（1）设y 关于x 的函数解析式为 ，用待定系数法求解即可； （2）根据销售利润的关系式求解即可； （3）根据题意列出二次函数，在根据二次函数的性质求解即可； 【详解】（1）设y 关于 的函数解析式为 ，则， ，解得 ， ∴ 关于 的函数解析式为 ； （2）设成本为 元， 由题意可得: ，解得 （元）， 则 ∵ ，则 有最大值， 当 时， ， 故答案为： ， ； （3）由题意得 ，函数图象的对称轴为 . 由题意得 且 ， ∴当 时，最大利润 ， 解得 ． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键． 【变式训练1】某水果批发商销售每箱进价为40 元的苹果，市场调查发现，若每箱以50 元的价格调查， 平均每天销售90 箱，价格每提高1 元，平均每天少销售3 箱． (1)求平均每天销售量 （箱）与销售价 （元/箱）之间的函数关系式； (2)求该批发商平均每天的销售利润 （元）与销售价 （元/箱）之间的函数关系式； (3)当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？ (4)若物价部门规定每箱售价不得高于55 元，则每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？ 【答案】(1) (2) (3)当每箱苹果销售价为 元时，可获得最大利润，为 元 (4)每箱苹果销售价为 元时，可获最大利润 【分析】（1）销售价 （元/箱）时，则每天减小 箱，根据平均每天销售量等于原平均每天销售 数量减去每天减小的箱数，列出平均每天销售量 （箱）与销售价 （元/箱）之间的函数关系式； （2）根据销售利润 销售量（售价﹣进价），列出平均每天的销售利润 （元）与销售价 （元/箱）之 间的函数关系式； （3）根据二次函数的最值求得最大利润； （4）根据自变量 取值范围和函数增减性可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意得，售价为 元/箱，则提高了 元，销售量减少了 箱， ． （2）由（1）得销售量为 箱， ． （3）由（2）知 ， 当 时， 有最大值 ． 答：当每箱苹果销售价为 元时，可获得最大利润，为 元． （4）由（3）可知， ， 则抛物线开口向下，对称轴为直线 ， ∴当 时， 随 增大而增大， ∵ ， ∴当 时， 有最大值． 答：每箱苹果销售价为 元时，可获最大利润． 【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答， 我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量 的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在 时取得． 【变式训练2】某大型超市购进一款热销的消毒洗衣液，由于原材料价格上涨，今年每瓶洗衣液的进价比 去年每瓶洗衣液的进价上涨4 元，今年用1440 元购进这款洗衣液的数量与去年用1200 元购进这款洗衣液 的数量相同．当每瓶洗衣液的现售价为36 元时，每周可卖出600 瓶，为了能薄利多销．该超市决定降价销 售，经市场调查发现，这种洗衣液的售价每降价1 元，每周的销量可增加100 瓶，规定这种消毒洗衣液每 瓶的售价不低于进价． (1)求今年这款消毒洗衣液每瓶进价是多少元； (2)当这款消毒洗衣液每瓶的售价定为多少元时，这款洗衣液每周的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)今年这款消毒洗衣液每瓶进价是24 元； (2)当这款消毒洗衣液每瓶的售价定为33 元时，这款洗衣液每周的销售利润最大，最大利润是8100 元． 【分析】（1）设今年这款消毒洗衣液每瓶进价是x 元，则去年这款消毒洗衣液每瓶进价是 元，根据 题意列出分式方程，解方程即可； （2）设这款消毒洗衣液每瓶的售价定为m 元时，这款洗衣液每周的销售利润w 最大，根据题意得出： ，根据二次函数的性质可得出答案． 【详解】（1）解：设今年这款消毒洗衣液每瓶进价是x 元，则去年这款消毒洗衣液每瓶进价是 元， 根据题意可得： ， 解得： ， 经检验： 是方程的解， 元， 答：今年这款消毒洗衣液每瓶进价是24 元. （2）解：设这款消毒洗衣液每瓶的售价定为m 元时，这款洗衣液每周的销售利润w 最大， 根据题意得出： ， 整理得： ， 根据二次函数的性质得出：当 时，利润最大， 最大利润为： ， 答：当这款消毒洗衣液每瓶的售价定为33 元时，这款洗衣液每周的销售利润最大，最大利润是8100 元． 【点睛】本题考查分式方程的应用，二次函数的应用，正确理解题意列出关系式是解题关键． 【变式训练3】某超市经销A、B 两种商品．商品A 每千克成本为10 元，经试销发现，该种商品每天销售 量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价、销售量的对应值如下表所示： 销售单价x（元/千克） 1 5 20 25 30 销售量y（千克） 3 0 25 20 15 商品B 的成本为3 元/千克，销售单价为6 元/千克，但是每天供货总量只有40 千克，且当天都能销售完． 为了让利消费者，超市开展了“买一送一”活动．即买1 千克商品A，免费送1 千克商品B． (1)求销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数表达式； (2)设两种商品的每天销售总利润为w 元，求出w（元）与x 的函数表达式； (3)当商品A 销售单价定为多少元时，才能使当天的销售总利润最大？最大利润是多少？（总利润 两种商 品的销售总额 两种商品的成本） 【答案】(1) (2) (3)当商品A 的定价为30.5 元时，总利润最大，最大利润是330.25 元 【分析】（1）根据表格中的数据，利用待定系数法，即可求出销售量y（千克）与销售单价x （元/千 克）之间的函数表达式； （2）利用总利润 两种商品的销售总额 两种商品的成本，即可找出w 与x 之间的函数表达； （3）利用二次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设销售量y（千克）与销售单价x （元/千克）之间的函数表达式为 ， 将 ， 代入得： ， 解得： ， ∴销售量y（千克）与销售单价x （元/千克）之间的函数表达式为 ； （2）解：根据题意得： ， 即 ； （3）解：∵ ， ∴ ， ∴当 时，w 取得最大值，最大值为330.25， ∴当商品A 销售单价定为30.5 元时，才能使当天的销售总利润最大，最大利润是330.25 元． 【点睛】本题考查了一次函数以及二次函数的应用，求一次函数解析式等知识点，解题的关键是熟练掌握 一次函数和二次函数的相关性质． 类型二、几何图形运动问题 例．如右图，直线l 的解析式为 ，它与x 轴和y 轴分别相交于A、B 两点，点C 为线段 上一动 点，过点C 作直线l 的平行线m，交y 轴于点D．点C 从原点O 出发，沿 以每秒1 个单位长度的速度向 终点A 运动，运动时间为t 秒，以 为斜边作等腰直角三角形 （E，O 两点分别在CD 两侧）．若 和 的重合部分的面积为S，则S 与t 之间的函数关系图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分类讨论 时，S 与t 之间的函数关系式式即可求解． 【详解】解：①当 时，如图所示： 可知： ②当 时，如图所示： 此时， ， ， ，综上： 显然只有C 选项符合题意，故选：C 【点睛】本题考查二次函数的实际应用．根据题意找到S 与t 之间的函数关系式是解题关键． 【变式训练1】如图，矩形 中， ， ，动点P 从点A 出发，以 的速度沿线 段 向点B 运动，动点Q 同时从点A 出发，以 的速度沿折线 向点B 运动，当一个 点停止时另一个点也随之停止．设点P 的运动时间是 时， 的面积是 ，则能够表示y 与x 之间函数关系的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别讨论点 在 上运动的情况即可求解． 【详解】解：①当点 在 上运动时，即 ： ； ②当点 在 上运动时，即 ： ； ③当点 在 上运动时，即 ： ； 综上分析可知，选项A 中的函数图象符合题意， 故选：A． 【点睛】本题考查函数图象与面积问题．分类讨论是解决本题的思路． 【变式训练2】如图1，在矩形 （ ）中，动点Q 从点D 出发，沿 以每秒1 个单位长 度的速度做匀速运动，到达点A 后停止运动，动点P 从点B 出发，沿 以与点Q 同样的速度做匀速运 动，到达点A 后也停止运动．已知点P，Q 同时开始运动，设点Q 的运动时间为x 秒， 的面积是y， 其中y 关于x 的函数图像如图2 所示，则 的值是（ ） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【答案】C 【分析】设 ，分 和 ，结合矩形的性质，表示三角形的面积，构造函数，结合 图像，确定m，n 的值计算即可． 【详解】解：设 ， 当 时， ， 根据图像，得当 时，y 取得最大值5，此时 ， 当 时， ，此时 ； 当 时，P 停止运动， ， 根据图像，当 时，此时 ， 故 ， 故选：C． 【点睛】本题考查了数形结合思想，二次函数的最值，一次函数的性质，熟练掌握二次函数的最值，一次 函数的性质是解题的关键． 【变式训练3】如图，在 中， ．动点 从点 出发，沿线段 以1 单位 长度/秒的速度运动，当点 与点 重合时，整个运动停止．以 为一边向上作正方形 ，若设运动 时间为 秒 ，正方形 与 重合部分的面积为 ，则下列能大致反映 与 的函数关系 的图象是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题目所给条件，分当 时和当 时，建立函数关系式，利用二次函数的性质， 即可得到答案． 【详解】解；当 时，正方形 与 重合部分的面积为正方形 的面积， ∴ ， ∴此时函数图象为顶点在原点，开口向上的抛物线； 当 时，设 与 相交于 ， 与 相交于 ， ， 此时正方形 与 重合部分的面积为正方形 的面积减去三角形 的面积，∵ 是 等腰直角三角形， ， ， ， ∴ ， ∵ ，∴二次函数的图象为开口向下的抛物线， 故选：D． 【点睛】本题主要考查二次函数的解析式与图象的关系，正确列出函数关系式和判断二次函数的开口方向 是解题的关键． 类型三、拱桥问题 例．一座拱桥的示意图如图所示，当水面宽为 米时，桥洞顶部离水面 米．已知桥洞的拱桥是抛物线， 请尝试解决以下问题： (1)【问题1】建立合适的平面直角坐标系，求该抛物线的表达式． (2)【问题2】由于暴雨导致水位上涨了米，求此时水面的宽度． (3)【问题3】已知一艘货船的高为 米，宽为 米，其截面如图所示．为保证这艘货船可以安全通过拱 桥，水面在正常水位的基础上最多能上升多少米？ 【答案】(1) (2) 米 (3) 米 【分析】（1）以 的中点为平面直角坐标系的原点 ， 所在线为 轴，过点 作 的垂线为 轴建 立平面直角坐标系；因此，抛物线的顶点坐标为 ，可设抛物线的函数表达式为 ，再将 点 的坐标 代入即可求解； （2）根据题（1）的结果，令 求出 的两个值，从而可得水面上升 后的水面宽度； （3）将 代入，得出 的值，进而减去货船的高度，即可求解． 【详解】（1）以 的中点为平面直角坐标系的原点 ， 所在线为 轴，过点 作 的垂线为 轴， 建立的平面直角坐标系如下： 根据所建立的平面直角坐标系可知， 点的坐标为 ，抛物线的顶点坐标为 因此设抛物线的函数表达式为 ， 将 代入得： ， 解得： ， 则所求的抛物线的函数表达式为 ； （2）由题意，令 得 ， 解得： ， 则水面上升1m 后的水面宽度为： （米）， （3）由题意，当 时， ， ∵一艘货船的高为 米， ∴水面在正常水位的基础上最多能上升 （米）． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，根据建立的平面直角坐标系求出函数的表达式是解题关键． 【变式训练1】如图①，是一座抛物线型拱桥，小星学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物造型， 它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在 处，对称轴 与水平线 垂直， ，点 在抛物线上，且点 到对称轴的距离 ，点 在抛物线上，点 到对称轴的距离是1． (1)求抛物线的表达式； (2)如图②，为更加稳固，小星想在 上找一点 ，加装拉杆 ，同时使拉杆的长度之和最短，请你 帮小星找到点 的位置并求出坐标； (3)为了造型更加美观，小星重新设计抛物线，其表达式为 ，当 时，函数 的值总大于等于9．求 的取值范围． 【答案】(1) (2)点 的坐标为 (3) 【分析】（1）设抛物线的解析式为 ，将 ， 代入即可求解； （2）点B 关于y 轴的对称点 ，则 ，求出直线 与y 轴的交点坐标即可； （3）分 和 两种情况，根据最小值大于等于9 列不等式，即可求解． 【详解】（1）解： 抛物线的对称轴与y 轴重合， 设抛物线的解析式为 ， ， ， ， ， 将 ， 代入 ，得： ， 解得 ， 抛物线的解析式为 ； （2）解： 抛物线的解析式为 ，点 到对称轴的距离是1， 当 时， ， ， 作点B 关于y 轴的对称点 ， 则 ， ， ， 当 ， ，A 共线时，拉杆 长度之和最短， 设直线 的解析式为 ， 将 ， 代入，得 ， 解得 ， 直线 的解析式为 ， 当 时， ， 点 的坐标为 ，位置如下图所示： （3）解： 中 ， 抛物线开口向下， 当 时， 在 范围内，当 时，y 取最小值，最小值为： 则 ， 解得 ， ； 当 时， 在 范围内，当 时，y 取最小值，最小值为： 则 ， 解得 ， ； 综上可知， 或 ， 的取值范围为 ． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用，涉及求二次函数解析式，求一次函数解析式，根据对称性求线段 的最值，抛物线的增减性等知识点，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质，第3 问注意分情况讨 论． 【变式训练2】．某公司生产A 型活动板房的成本是每个3500 元．图1 表示A 型活动板房的一面墙，它由 长方形和抛物线构成，长方形的长 ，宽 ，抛物线的最高点E 到 的距离为 ． (1)按图1 中所示的平面直角坐标系，求该抛物线的函数表达式； (2)现将A 型活动板房改造成为B 型活动板房．如图2，在抛物线与 之间的区域内加装一扇长方形窗户 ，点G、M 在 上，点F、N 在抛物线上，窗户的成本为150 元/ ．已知 ，求每个B 型活动板房的成本．（每个B 型活动板房的成本＝每个A 型活动板房的成本＋一扇窗户 的成本） 【答案】(1) (2)每个B 型活动板房的成本为3725 元 【分析】（1）根据题意得出 ，设该抛物线的函数表达式为 ，利用待定系数法求 解即可； （2）根据题意得出 ，继而求出矩形 的面积，列式求解即可． 【详解】（1）∵长方形的长 ，宽 ，抛物线的最高点E 到 的距离为 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 设该抛物线的函数表达式为 ， 把 代入，得 ， 解得 ， ∴该抛物线的函数表达式为 ； （2）∵ ， ∴ ， 当 时， ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ （元）， 所以，每个B 型活动板房的成本为3725 元． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，准确理解题意，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【变式训练3】随着乡村振兴战略的不断推进，为了让自己的土地实现更大价值，某农户在屋侧的菜地上 搭建一蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在离地面高1 米的墙体A 处，另一端固定在 离地面高2 米的墙体B 处，现对其横截面建立如图所示的平面直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度 y（米）与其离墙体A 的水平距离x（米）之间的关系满足 ，现测得A，B 两墙体之间的水 平距离为6 米． (1)求y 与x 之间的函数关系式； (2)该农户计划在大棚内搭建高为3 米的竹竿支架，已在抛物线对称轴左侧搭建了一根竹竿 ，需在对称 轴右侧处再搭建一根同样高的竹竿 （点D、F 均在x 轴上，点C、E 均在抛物线上， 轴）， 求这两根竹竿之间的水平距离 ． 【答案】(1) ；(2)1 米 【分析】（1）用待定系数法求出和式关系式即可； （2）结合（1）令 ，求出x 的值，可得D，E 的横坐标，即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意知，点A 的坐标为 ，点B 的坐标为 ， 把 ， 代入 得： ， 解得 ， ∴y 与x 之间的函数关系式为 ； （2）解：由题意知，点C、D 的纵坐标均为3， ∴ 解得 或 ， ∴ ， ， ∴ ， ∴这两根竹竿之间的水平距离 为1 米． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，掌握待定系数法求出函数关系式． 类型四、投掷铅球问题 例．小红为了研究抛出的弹跳球落在斜面上反弹后的距离．如图，用计算机编程模拟显示，当弹跳球以某 种特定的角度和初速度从坐标为 的点 处抛出后，弹跳球的运动轨迹是抛物线，其最高点的坐标为 ．弹跳球落到倾斜角为 的斜面上反弹后，弹跳球的运动轨迹是抛物线 ，且开口大小和方向均不 变，但最大高度只是抛物线的 ． (1)求抛物线的解析式； (2)若斜面被坐标平面截得的截图与 轴的交点 的坐标为 ，求抛物线 的对称轴． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设抛物线的解析式为 ，由题意得，该抛物线的顶点坐标是 ， 抛物线经过点 ，待定系数法求解析式即可求解． （2）由题意，设 解析式为 ，将点 代入，得出解析式为 ，联立抛物线的解析式 得出反弹点的坐标为 ，依题意，设抛物线 的解析式为 ，将 代入抛物线 的解 析式，即可求解． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为 ． 由题意得，该抛物线的顶点坐标是 ， ． 该抛物线经过点 ， 解之，得 ． （2）由题意，设 解析式为 ，将点 代入， ， 解得： , ∴ 令 ， 解之，得 舍去， 反弹点的坐标为 ． 由题意，设抛物线 的解析式为 将 代入抛物线 的解析式，得 舍去或 即抛物线 的对称轴为直线 【点睛】本题考查了二次函数的应用，掌握待定系数法求解析式是解题的关键． 【变式训练1】2022 北京冬奥会自由式滑雪空中技巧比赛中，某运动员比赛过程的空中剪影近似看作一条 抛物线，跳台高度 为4 米，以起跳点正下方跳台底端 为原点，水平方向为横轴，竖直方向为纵轴， 建立如图所示平面直角坐标系．已知抛物线最高点 的坐标为 ，着陆坡顶端 与落地点 的距离为 米， ．求： (1)点 的坐标； (2)该抛物线的函数表达式； (3)起跳点 与着陆坡顶端 之间的水平距离 的长． 【答案】(1) (2) (3) 米 【分析】（1）由抛物线的图象可直接得出结论； （2）由抛物线的顶点可设出抛物线的顶点式，将点 的坐标代入即可得出结论； （3）根据勾股定理可得出 和 的长，进而得出点 的坐标，由 的长为点 的横坐标减去 的 长可得出结论． 【详解】（1）解： 米，且点 在 轴正半轴， ． （2） 抛物线最高点 的坐标为 ， 设抛物线的解析式为： ， ， ，解得 ． 抛物线的解析式为： ． （3）在 中， ， 米， 米， 米． 点 的纵坐标为 ， 令 ，解得， ， 在对称轴右侧， ， ． 米， 的长约为 米． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，涉及待定系数法求函数解析式，抛物线上点的坐标特点等相关内 容，得出点 的坐标是解题关键． 【变式训练2】小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析， 下面是他对击球线路的分析． 如图，在平面直角坐标系中，点A，C 在x 轴上，球网 与y 轴的水平距离 ， ，击球点 P 在y 轴上．若选择扣球，羽毛球的飞行高度 与水平距离 近似满足一次函数关系 ； 若选择吊球，羽毛球的飞行高度 与水平距离 近似满足二次函数关系 ． (1)求点P 的坐标和a 的值． (2)小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到C 点的距离更近，请通过计算判断 应选择哪种击球方式． 【答案】(1) ， ， (2)选择吊球，使球的落地点到C 点的距离更近 【分析】（1）在一次函数上 ，令 ，可求得 ，再代入 即可求 得 的值； （2）由题意可知 ，令 ，分别求得 ， ，即可求得落地点到 点的距离，即可判断谁更近． 【详解】（1）解：在一次函数 ， 令 时， ， ∴ ， 将 代入 中，可得： ， 解得： ； （2）∵ ， ， ∴ ， 选择扣球，则令 ，即： ，解得： ， 即：落地点距离点 距离为 ， ∴落地点到C 点的距离为 ， 选择吊球，则令 ，即： ，解得： （负值舍去）， 即：落地点距离点 距离为 ， ∴落地点到C 点的距离为 ， ∵ ， ∴选择吊球，使球的落地点到C 点的距离更近． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的应用，理解题意，求得函数解析式是解决问题的关键． 【变式训练3】实心球是中考体育项目之一．在掷实心球时，实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物 线的一部分，已知小军在一次掷实心球训练中，第一次投掷时出手点距地面1.8m，实心球运动至最高点时 距地面3.4m，距出手点的水平距离为4m．设实心球掷出后距地面的竖直高度为y（m），实心球距出手点 的水平距离为x（m）．如图，以水平方向为x 轴，出手点所在竖直方向为y 轴建立平面直角坐标系． (1)求第一次掷实心球时运动路线所在抛物线的表达式． (2)若实心球投掷成绩（即出手点与着陆点的水平距离）达到12.4m 为满分，请判断小军第一次投掷实心球 能否得满分． (3)第二次投掷时，实心球运动的竖直高度y 与水平距离x 近似满足函数关系 ．记小军 第一次投掷时出手点与着陆点的水平距离为 ，第二次投掷时出手点与着陆点的水平距离为 ，则 ______ （填“＞”“＜”“＝”）． 【答案】(1) ；(2)不能得满分；(3)＜ 【分析】（1）设抛物线的表达式为 ，将 代入解得a 即可； （2）令 ，解得x，与12.4m 比较即可； （3）令 ，解得x，根据（2）所得即可比较 与 ． 【详解】（1）由题意，可知抛物线最高点的坐标为 ， 设抛物线的表达式为 ， 将 代入 ，得 ，解得 ． ∴第一次掷实心球时运动路线所在抛物线的表达式为 ； （2）令 ，解得 （负值已舍去）， ∴实心球出手点与着陆点的水平距离为 m． ∵ ，即 ，∴ ， ∴小军第一次投掷实心球不能得满分． （3）∵ ， 解得 （负值已舍去）， ， ， ， ，∴ ．故答案为：＜． 【点睛】本题考查二次函数的应用以及待定系数法求解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【变式训练4】鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的运动轨迹，如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系 统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），攻球员位于点 ，守门员位于点 ， 的延长线与球门 线交于点 ，且点 ， 均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线，已知 ， ， 足球飞行的水平速度为 ，水平距离（水平距离 水平速度时间）与离地高度的鹰眼数据如表： (1)假如没有守门员，根据表中数据预测足球落地时， ______ ； (2)求关于的函数解析式； (3)守门员在攻球员射门瞬间就作出防守反应，当守门员位于足球正下方时，足球离地高度不大于守门员的 最大防守高度视为防守成功，已知守门员背对足球向球门前进过程中最大防守高度为 ，若守门员背对 足球向球门前进并成功防守，求此过程守门员的最小速度． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据抛物线的对称轴可直接得出结论； （2）根据抛物线的对称性找到顶点，设出顶点式，再代入 可求出参数，由此可解答； （3）根据路程先算出当足球在守门员正上方时的时间，进而求出对应的，再代入求出，比较即可． 【详解】（1）解：由表格可知， 时和 时，相等， 时， 时，相等， 抛物线关于 对称， 当 时， ， 时， ， 故答案为： ． （2）由（1）知，抛物线关于 对称，设 ， 把 代入上述解析式， ，解得 ， （3）若守门员背对足球向球门前进并成功防守，设守门员的速度为 ，且 时，足球位于守门员正 上方， 则有 ，解得 ， ， 代入上述解析式可得， ， 解得 或 ． 此过程守门员的最小速度为 ． 【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，解答二次函数的应用问题中，读懂题意是关键，同时要注 意自变量的取值范围还必须使实际问题有意义． 课后训练 1．如图①，在正方形 中，点E 是 的中点，点P 是对角线 上一动点，设 ， ，图②是y 关于x 的函数图象，且图象上最低点Q 的坐标为 ，则正方形 的边长 为（ ） A． B． C．4 D．5 【答案】C 【分析】如图，点D 是点B 关于直线 的对称点，连接 交 于点P，则此时y 取得最小值，即 ，即可求解． 【详解】解：如图，点D 是点B 关于直线 的对称点，连接 交 于点P， 根据点的对称性， ，则 为最小， 故 ， 设正方形的边长为a，则 ， 在 中，由勾股定理得： ， 即 ， 解得： （负值已舍去）， 故选：C． 【点睛】本题考查的是动点图象问题，涉及到二次函数、解直角三角形，正方形的性质，利用勾股定理求 线段长是解题的关键． 2．某超市一月份的营业额为 万元，一月、二月、三月的营业额共 万元，如果平均每月增长率为 ， 则根据题意列方程为( ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】可先表示出二月份的营业额，那么二月份的营业额 增长率 三月份的营业额，等量关系为： 一月份的营业额 二月份的营业额 三月份的营业额 ，把相应数值代入即可求解． 【详解】解：二月份的营业额为 ，三月份的营业额在二月份营业额的基础上增加 ， 为 ， 则列出的方程是 ． 故选D． 【点睛】此题考查由实际问题抽象出一元二次方程，掌握求平均变化率的方法是解决问题的关键；注意本 题的等量关系为3 个月的营业额之和． 3．根据福建省统计局数据，福建省 年的地区生产总值为 亿元， 年的地区生产总值为 亿元．设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意可列方程（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程即可求解． 【详解】设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意可列方程 ， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键． 4．为满足市场需求，某超市在2023 年元旦来临前夕，购进一种品牌礼盒，每盒进价是40 元．超市规定每 盒售价不得少于45 元．根据以往销售经验发现：当售价定为每盒45 元时，每天可以卖出700 盒，每盒售 价每提高1 元，每天要少卖出20 盒． (1)试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式； (2)当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？ (3)为稳定物价，物价管理部门限定：这种礼盒的每盒售价不得高于58 元．如果超市想要每天获得不低于 6000 元的利润，那么超市每天至少销售礼盒多少盒？ 【答案】(1) (2)当每盒售价定为60 元时，每天销售的利润P（元）最大，最大利润是8000 元 (3)440 盒 【分析】（1）根据题意即可求解； （2）根据 即可求解； （3）根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：由题意得： （2）解： 时， 即：当每盒售价定为60 元时，每天销售的利润P 最大，最大利润是8000 元． （3）解：令 解得： 抛物线 开口向下 ∴当 时，每天获得的利润不低于6000 元 ∴当 时，每天获得的利润不低于6000 元 在 中， ∴ 随 的增大而减小 故当 时， 即超市每天至少销售粽子440 盒． 【点睛】本题考查了一次函数、二次函数在实际问题中的应用．根据题意建立函数模型是解题关键． 5．某公园有一座漂亮的五孔桥，如图所示建立平面直角坐标系，主桥洞 与两组副桥洞分别位于 轴的 两侧成轴对称摆放，每个桥洞的形状近似的可以看作抛物线，主桥洞 上， 与 近似满足函数关系 ．经测量在主桥洞 上得到 与 的几组数据： (米) (米) 根据以上数据回答下列问题： (1)求主桥洞 的函数表达式； (2)若 的表达式： ， 的表达式： ，求五个桥洞的总跨度 的长． 【答案】(1) (2)五个桥洞的总跨度 的长为 米 【分析】（1）由表可知，抛物线 的顶点坐标为 ，设抛物线 的解析式为 待定系数法求 二次函数解析式即可求解； （2）根据二次函数的平移，分别令 ， ， ，求得每个桥洞的跨度即可求解． 【详解】（1）由表可知，抛物线 的顶点坐标为 ∴抛物线 的解析式为 ∵抛物线过点 ．解得 （2）令 ， 解得： ， ； ∵ 的表达式： ， 的表达式： 由题意抛物线 与抛物线 上 之间的部分重合， 即将 向下移动 当 时， 解得： ， ； 由题意抛物线 与抛物线 上 之间的部分重合， 即将 向下移动 ， 当 时， 解得： ， ∴ ∴五个桥洞的总跨度 的长为 米． 【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用，画二次函数的图像，理解题意，灵活的运用抛物线的对称性 解题是关键． 6．根据以下素材，探索完成任务 如何调整电梯球、落叶球的发球方向 素材1：如图是某足球场的一部分，球门宽 ，高 ．小梅站在A 处向门柱 一侧发球，点A 正对门柱 （即 ）， ，足球运动的路线是抛物线的一部分． 素材2：如图，当足球运动到最高点Q 时，高度为 ，即 ，此时水平距离 ，以点A 为原点，直线 为x 轴，建立平面直角坐标系． (1)求足球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式，此时足球能否入网？ (2)小梅改变发球方向，发球时起点不变，运动路线的形状不变，足球是否能打到远角E 处再入网？（上述 （1），（2）中球落在门柱边线视同球入网） 【答案】(1) ，足球不能进入球网；(2)能 【分析】（1）由题意知抛物线的顶点坐标为 ，设抛物线解析式的顶点式为 ，由 抛物线过原点即可求出a 的值，从而确定抛物线的解析式；求出当 时的函数值，与球门高对比即可 作出判断； （2）原点不变， 所在直线为x 轴，函数解析式不变，求出 的长，计算当 ，对应的函数值并 与 比较，即可判断足球是否入门． 【详解】（1）解：由题得抛物线顶点坐标为 ，设 ∵抛物线经过点A（0，0）， ∴ ， ∴ ， ∴足球运动轨迹抛物线的函数表达式为 ； 当 时， ， ， ∴足球不能进入球网． （2）解：∵足球运动轨迹抛物线形状不变，此时以点A 为原点， 所在直线为x 轴， ∴抛物线的函数表达式仍为 ∵ ， ∴由勾股定理得： ， 当 ， ， ∴能打到远角E 处入网． 【点睛】本题是二次函数的应用问题，考查了求二次函数的解析式，求函数值，勾股定理等知识，正确理 解题意，把实际问题转化为数学问题是解题的关键．
