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专题11 圆的最值问题（隐圆模型）
【知识点梳理】隐圆模型汇总
固定线段AB 所对同侧动角∠P=∠C，则A、B、C、P 四点共圆
若P 为动点，但AB=AC=AP，则B、C、P 三点共圆，A 圆心，AB 半径
固定线段AB 所对动角∠C 恒为90°，则A、B、C 三点共圆，AB 为直径
例．如图，在Rt
ABC
△
中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，BC＝2
，△ADC 与△ABC 关于AC
对称，点E、F 分别是边DC、BC 上的任意一点，且DE＝CF，BE、DF 相交于点P，则CP 的
最小值为( )
A．1
B．
C．
D．2
【答案】D
【分析】连接BD，证明△EDB
FCD
△
≌
，可得∠BPD＝120°，由于BD 的长确定，则点P 在以
A 为圆心，AD 为半径的弧BD 上，当点A，P，C 在一条直线上时，CP 有最小值．
【详解】解：连接AD，因为∠ACB＝30°，所以∠BCD＝60°，
因为CB＝CD，所以△CBD 是等边三角形，
所以BD＝DC
因为DE＝CF，∠EDB＝∠FCD＝60°，
所以△EDB
FCD
≌△
，所以∠EBD＝∠FDC，
因为∠FDC＋∠BDF＝60°，
所以∠EBD＋∠BDF＝60°，所以∠BPD＝120°，
所以点P 在以A 为圆心，AD 为半径的弧BD 上，
直角△ABC 中，∠ACB＝30°，BC＝2
，所以AB＝2，AC＝4，
所以AP＝2
当点A，P，C 在一条直线上时，CP 有最小值，
CP 的最小值是AC－AP＝4－2＝2
故选D．
【点睛】求一个动点到定点的最小值，一般先要确定动点在一个确定的圆或圆弧上运动，
当动点与圆心及定点在一条直线上时，取最小值．
【变式训练1】．如图，
是⊙O 的弦，点C 在⊙O 内，
，连接
，若⊙O 的半径是4，则
长的最小值为 ．
【答案】
/
【分析】延长
交圆O 于点D，连接
，过O 点作
交于点E，则
是
等边三角形，再确定点C 在以E 为圆心，
为半径的圆上，则
的最小值为
，
再求解即可．
【详解】解：如图，延长
交圆O 于点D，连接
，过O 点作
交于点E，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
是等边三角形，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴点C 在以E 为圆心，
为半径的圆上，
在
中，
，
∴
，
∴
的最小值为
，
故答案为：
．
【点睛】本题考查圆中的最小距离问题，熟练掌握垂径定理，等边三角形的性质，直角三
角形的勾股定理，根据定角定弦确定点C 的轨迹是解题的关键．
【变式训练2】．如图，正方形
的边长为4，点E 是正方形
内的动点，点P 是
边上的动点，且
．连结
，
，
，
，则
的最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先证明
，即可得点E 在以
为直径的半圆上移动，设
的中点为
O，作正方形
关于直线
对称的正方形
，则点D 的对应点是F，连接
交
于P，交半圆O 于E，根据对称性有：
，则有：
，则线段
的长即为
的长度最小值，问题随之得解．
【详解】解：∵四边形
是正方形，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴点E 在以
为直径的半圆上移动，
如图，设
的中点为O，
作正方形
关于直线
对称的正方形
，
则点D 的对应点是F，
连接
交
于P，交半圆O 于E，
根据对称性有：
，
则有：
，
则线段
的长即为
的长度最小值，E
∵
，
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
故
的长度最小值为
，
故选：A．
【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，正方形的性质，勾股定理，正确的作出辅助
线，得出点E 的运动路线是解题的关键．
【变式训练3】．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，D 是AC 上一点，且
CD＝3，E 是BC 边上一点，将△DCE 沿DE 折叠，使点C 落在点F 处，连接BF，则BF 的
最小值为 ．
【答案】
/
【分析】先由折叠判断出F 的运动轨迹是为以D 为圆心，CD 的长度为半径的圆，当B、
D、F 共线且F 在B、D 之间时BF 最小，根据勾股定理及圆的性质求出此时BD、BF 的长
度即可．
【详解】解：由折叠知，F 点的运动轨迹为：以D 为圆心，CD 的长度为半径的圆，如图所
示，
可知，当点B、D、F 共线，且F 在B、D 之间时，BF 取最小值，
∵∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，
∴BC=6，
在Rt△BCD 中，由勾股定理得：BD=
，
∴BF=BD－DF=
，
故答案为：
．
【点睛】本题考查了折叠的性质、圆的性质、勾股定理解直角三角形的知识，该题涉及的
最值问题属于中考常考题型，根据折叠确定出F 点运动轨迹是解题关键．
【变式训练4】．如图，四边形
中，
，
，
，
，点
是四边形
内的一个动点，满足
，则
面积的
最小值为 ．
【答案】
【分析】取
的中点
，连接
，过点
作
交
的延长线于点
，过点
作
于
，交
于
，则
，通过计算得出当
三点共线时，
有最小值，求出最小值即可．
【详解】解：如图，
取
的中点
，连接
，过点
作
交
的延长线于点
，过点
作
于
，交
于
，则
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形
为等腰梯形，
，
，
，
，
，
点
在以点
为圆心，2 为半径的圆上，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
当
三点共线时，
有最小值
，
面积的最小值为
．
【点睛】本题考查了解直角三角形、隐圆、直角三角形的性质等知识点，点
位置的确定
是解题关键．
课后训练
1．如图，在Rt△ABC 中，
，
，BC＝2，线段BC 绕点B 旋转到
BD，连AD，E 为AD 的中点，连接CE，则CE 的最大值是 ．
【答案】3
【分析】通过已知求得D 在以B 为圆心，BD 长为半径的圆上运动，∵E 为AD 的中点，
∴E 在以BA 中点为圆心，
长为半径的圆上运动，再运用圆外一定点到圆上动点距离的
最大值=定点与圆心的距离+圆的半径，求得CE 的最大值．
【详解】解：∵BC＝2，线段BC 绕点B 旋转到BD，
∴BD＝2，∴
．
由题意可知，D 在以B 为圆心，BD 长为半径的圆上运动，
∵E 为AD 的中点，
∴E 在以BA 中点为圆心，
长为半径的圆上运动，
CE 的最大值即C 到BA 中点的距离加上
长．
∵
，
，BC＝2，
C
∴到BA 中点的距离即
，
又∵
，
CE
∴
的最大值即
．
故答案为3．
【点睛】本题考查了与圆相关的动点问题，正确识别E 点运动轨迹是解题的关键．
2．如图，在矩形ABCD 中，AB＝2，
，点E 为AB 中点，点F 为AD 边上从A 到D
运动的一个动点，联结EF，将
沿EF 折叠，点A 落在点G 处，在运动的过程中，点
G 运动的路径长为（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】A
【详解】解：∵点E 为AB 中点，点F 为AD 边上从A 到D 运动的一个动点，联结EF，将
沿EF 折叠，∴
，∴G 点在以E 为圆心，AE 长为半径的圆上运动．
当F 与D 点重合时，如图，则G 点运动的路径为
．
∵AB＝2，点E 为AB 中点，∴
，
∵矩形ABCD，∴
，
∵
，
，
，∴
，∴
．
∵将
沿EF 折叠，∴
，∴
，
∵
，∴
．
故选：A．
3．如图，在
中，
，
，
，
是以点
为圆心，3 为半径
的圆上一点，连接
，
是
的中点，则线段
长度的最小值为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】C
【详解】作AB 的中点E，连接EM、CE、AD，则有AD=3，
∵∠ACB=90°，即在
中，
，
∵E 是
斜边AB 上的中点，∴
，
∵M 是BD 的中点，E 是AB 的中点，∴
，
∴在
中，
，即
；
当C、M、E 三点共线时有
或者
；即
，
∴CM 最小值为5，故选：C．
4．如图，矩形
，
，
，E 为
中点，F 为直线
上动点，B、G 关于
对称，连接
，点P 为平面上的动点，满足
，则
的最小值
．
【答案】
【分析】由题意可知，
，可得
，可知点
在以
为弦，
圆周角
的圆上，（要使
最小，则点
要靠近蒂点
，即点
在
的右侧），
设圆心为
，连接
，
，
，
，
，过点
作
，可知
为等腰
直角三角形，求得
，
，
，
，再由三角形三边关系可得：
，当
点
在线段
上时去等号，即可求得
的最小值．
【详解】解：∵B、G 关于
对称，
∴
，且
∵E 为
中点，则
为
的中位线，
∴
，
∴
，
∵
，即
，
∴点
在以
为弦，圆周角
的圆上，（要使
最小，则点
要靠近蒂点
，
即点
在
的右侧）
设圆心为
，连接
，
，
，
，
，过点
作
，
则
，
∵
，
∴
，则
为等腰直角三角形，
∴
，
又∵
为
中点，
∴
，
，
又∵四边形
是矩形，
∴
，
，
∴四边形
是正方形，
∴
，
，
∴
，
由三角形三边关系可得：
，当点
在线段
上时去等号，
∴
的最小值为
，
故答案为：
．
【点睛】本题考查轴对称的性质，矩形的性质，隐形圆，三角形三边关系，正方形的判定
及性质，等腰直角三角形的判定及性质，根据
得知点
在以
为弦，
圆周角
的圆上是解决问题的关键．
5．如图，在锐角△ABC 中，AB＝2，AC＝
，∠ABC＝60°．D 是平面内一动点，且
∠ADB＝30°，则CD 的最小值是
【答案】
/
【分析】作AH⊥BC 于H，证明△ACH 为等腰直角三角形，求得BC=
+1，在BC 上截取
BO=AB=2，则△OAB 为等边三角形，以O 为圆心，2 为半径作⊙O，根据∠ADB=30°，可得
点D 在⊙O 上运动，当DB 经过圆心O 时，CD 最小，其最小值为⊙O 的直径减去BC 的长．
【详解】解：如图，作AH⊥BC 于H，
∵AB=2，AC=
，∠ABC=60°，
∴BH=
AB=1，
∴AH=
，
CH=
，
∴△ACH 为等腰直角三角形，
∴∠ACB=45°，
BC=CH+BH=
+1，
在BC 上截取BO=AB=2，则△OAB 为等边三角形，
以O 为圆心，2 为半径作⊙O，
∵∠ADB=30°，
∴点D 在⊙O 上运动，
当DB 经过圆心O 时，CD 最小，
最小值为4-（
+1）=3-
．
故答案为：
．
【点睛】本题考查了勾股定理，含30 度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定和
性质，圆周角定理．解题的关键是得出点D 在⊙O 上运动．
6．如图，⊙O 的半径为2，弦AB＝2，点P 为优弧AB 上一动点，AC⊥AP 交直线PB 于点
C，则△ABC 的最大面积是 ．
【答案】
【分析】连接OA、OB，如图1，由OA=OB=AB=2 可判断△OAB 为等边三角形，则
∠AOB=60°，根据圆周角定理得∠APB=
∠AOB=30°，由于AC⊥AP，所以∠C=60°，因为
AB=2，则要使△ABC 的最大面积，点C 到AB 的距离要最大；由∠ACB=60°，可根据圆周
角定理判断点C 在⊙D 上，且∠ADB=120°，如图2，于是当点C 优弧AB 的中点时，点C
到AB 的距离最大，此时△ABC 为等边三角形，从而得到△ABC 的最大面积．
【详解】解：连接OA、OB，如图1，
∵OA=OB=2，AB=2，∴△OAB 为等边三角形，
∴∠AOB=60°，∴∠APB=
∠AOB=30°，
∵AC⊥AP，∴∠C=60°，
∵AB=2，要使△ABC 的最大面积，则点C 到AB 的距离最大，
作△ABC 的外接圆D，
∵∠ACB=60°，点C 在⊙D 上，∴∠ADB=120°，如图2，
当点C 优弧AB 的中点时，点C 到AB 的距离最大，此时△ABC 为等边三角形，且面积为
AB2=
，
∴△ABC 的最大面积为
．
故答案为：
．
【点睛】本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理和等边三角形的判断与性质；记住
等边三角形的面积公式．
