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专题04 相似三角形的基本模型（A 字型）
【模型说明】
“A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应
角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似．
图1 图2 图3
1）“A”字模型
条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC⇔＝＝.
2）反“A”字模型
条件：如图2，∠AED＝∠B；结论：△ADE∽△ACB⇔＝＝.
3）同向双“A”字模型
条件：如图3，EF∥BC；结论：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC⇔
【例题精讲】
例1．（基本模型1）如图，已知D 是BC 的中点，M 是AD 的中点．求
的值．
例2．（基本模型2）（1）如图，在
中，点
、
、
分别在
、
、
上，
且
，
交
于点
，求证：
．
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（2）如图，
中，
，正方形
的四个顶点在
的边上，连结
，
分别交
于
，
两点．
①如图，若
，直接写出
的长；
②如图，求证：
．
例3．（培优综合）如图，在
中，点
是
边上的一点，且
，连接
并取
的中点
，连接
，若
，且
，则
的长为
．
例4．（与函数综合）如图，函数
（
为常数，
）的图象与过原点O 的直线相
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交于A、B 两点，点M 是第一象限内双曲线上的动点（点M 在点A 的左侧），直线AM 分
别交x 轴、y 轴于C、D 两点，连接BM 分别交x 轴、y 轴于点E、F．若
，则
．
例5．（最值问题）如图，矩形 ABCD 中，
，
，AC 为对角线，E、F 分别
为边 AB、CD 上的动点，且
于点 M，连接 AF、CE，求
的最小值是
．
【变式训练1】．如图，P 为
的边
上的一点，E，F 分别为
，
的中点，
，
，
的面积分别为S，S1，S2．若
，则
的值是（ ）
A．24
B．12
C．6
D．10
【变式训练2】．如图，在
中，
，D 是
上一点，点E
在
上，连接
交于点F，若
，则
＝ ．
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【变式训练3】．如图，∠MPN=90°，边长为6 的正方形ABCD 的顶点A、B 分别在边
PM、PN 上移动，连接PC，Q 为PC 上一点，且PQ=2QC，则线段BQ 长度的最小值为
．
【变式训练4】．如图，△ABO 的顶点A 在函数y＝
（x>0）的图象上，∠ABO＝90°，过
AO 边的三等分点M、N 分别作x 轴的平行线交AB 于点P、Q．若△ANQ 的面积为1，则k
的值为（ ）
A．9
B．12
C．15
D．18
【变式训练5】．如图，把边长为
，
且
的平行四边形
对折，
使点
和
重合，求折痕
的长．
课后训练
1．如图，
，
，
分别交
于点G，H，则下列结论中错误的是
（ ）
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A．
B．
C．
D．
2．在矩形ABCD 中，
，
，点E 是AD 上一动点，过点E 作EF∥BD 交AB 于
F，将△AEF 沿EF 折叠，点A 的对应点
落在△BCD 的边上时，AE 的长为 ．
3．如图，在三角形
中，点D 为边
的中点，连接
，将三角形
沿直线
翻
折至三角形
平面内，使得B 点与E 点重合，连接
、
，分别与边
交于点H，
与
交于点O，若
，
，
，则点A 到线段
的距离为
．
4．在平面直角坐标系中，已知
，
，点
是
轴正半轴上一动点，以
为直角边构造直角
，另一直角边交
轴负半轴于点
，
为线段
的中点，则
的最小值为 ．
5．已知，平行四边形
中，点
是
的中点，在直线
上截取
，连接
，
交
于
，则
．
6．如图，正方形
边长为，点
是
上一点，且
，连接
，过
作
，垂足为
，
交对角线
于
，将
沿
翻折得到
，
交对
角线
于
，则
．
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7．一块直角三角形木板的面积为
，一条直角边
为
，怎样才能把它加工成一
个面积最大的正方形桌面？甲、乙两位木匠的加工方法如图所示，请你用学过的知识说明
哪位木匠的方法符合要求（加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留）．
8．如图，在平行四边形ABCD 中，AD＝AC，∠ADC＝α，点E 为射线BA 上一动点，且
AE＜AB，连接DE，将线段DE 所在直线绕点D 顺时针旋转α 交BA 延长线于点H，DE 所
在直线与射线CA 交于点G．
（1）如图1，当α＝60°时，求证：△ADH≌△CDG；
（2）当α≠60°时，
①如图2，连接HG，求证：△ADC∽△HDG；
②若AB＝9，BC＝12，AE＝3，请直接写出EG 的长．
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9．在等腰三角形
中，
，作
交AB 于点M，
交AC 于点
N．
（1）在图1 中，求证：
；
（2）在图2 中的线段CB 上取一动点P，过P 作
交CM 于点E，作
交BN
于点F，
求证：①
；
②
．
10．在矩形
中，
，
，点
是边
上一点，
交
于点
，
点
在射线
上，且
是
和
的比例中项．
（1）如图1，求证：
；
（2）如图2，当点
在线段
之间，联结
，且
与
互相垂直，求
的长；
（3）联结
，如果
与以点
、
、
为顶点所组成的三角形相似，求
的长．
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11．如图，
中，点D 在
边上，且
．
（1）求证：
；
（2）点E 在
边上，连接
交
于点F，且
，
，求
的
度数．
（3）在（2）的条件下，若
，
的周长等于30，求
的长．
