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专题05 二次函数中特殊三角形存在性问题
类型一、等腰三角形存在性问题
例．如图，抛物线
交
轴于点
、
(点
在点
的左侧)，与
轴交于点
，点
、
的坐
标分别为
，
，对称轴
交
轴于
，点
为抛物线顶点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点
是直线
下方的抛物线上一点，且
．求
的坐标；
(3)
为抛物线对称轴上一点，是否存在以
、
、
为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请求出点
的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
，
(3)
或
或
或
【分析】（1）由点
、点
的坐标和对称轴的值列出方程组，即可求出抛物线解析式．
（2）由抛物线解析式可求出顶点
的坐标，进而求出
和
的面积，由面积可推出
的
边上的高，求出到
距离等于的直线解析式，联立直线解析式和抛物线解析式，即可求出点
的
坐标．
（3）若
是等腰三角形，通过作图画两圆一线来确定点
的位置，再根据半径的长度及勾股定
理求出点
的坐标．
【详解】（1）解：将点
，点
代入抛物线解析式，由对称轴
，
得
，解得，
，
抛物线解析式为：
．
（2）将
代入抛物线解析式得：
，
顶点
，
，
设直线
解析式为：
，
将点
，点
代入，得
，解得，
直线
的解析式为：
如图，设直线
与对称轴的交点为
，将
代入
点
，
，
，
设
中
边上的高为，则
，
如图，设在直线
下方的
轴上有一点
到
的距离为
，且
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
点
在过点
与直线
平行的直线上，
即将直线
向下平移个单位长度即可得到直线
，
直线
的解析式为：
联立
，解得：
或
点
的坐标为
，
．
（3）
点
与点
关于对称轴
对称，点
，
点
，
①如图，连接
，以点
为圆心，
的长为半径画圆，与对称轴的交点即为所求点
，此时
，
为等腰三角形．
由图知：点
位于点
上方时，
、
、
三点共线，所以此点舍去；
点
位于点
下方时，点
与点
重合，此时点
的坐标为
．
②如图，以点
为圆心，
的长为半径画圆，与对称轴的交点即为所求点
，此时
，
为等腰三角形．
在
中，
，
，
此时点
的坐标为
或
．
③如图，作线段
的垂直平分线，与
交于点
，与
轴交于点
，与对称轴的交点即为所求点
，
此时
，
为等腰三角形．
连接
，
为线段
的垂直平分线，
，点
为
中点，
，
，
由中点坐标公式得点
设
，则
，
在
中，由勾股定理得：
，解得：
，
点
设直线
的解析式为：
，将
，
代入解析式，得
，解得
，
直线
解析式为：
，将
代入直线
解析式得：
，
此时点
．
综上所述：点Ｍ的坐标为
或
或
或
．
【点睛】本题主要考查求二次函数解析式、二次函数因动点产生的三角形面积问题、因动点产生的等腰三
角形问题，求出到底边的距离等于高的直线解析式，利用画“两圆一线”构造等腰三角形是解题的关键．
【变式训练1】．如图，已知直线
与
轴交于点
，与
轴交于点
，抛物线
经
过
两点，且与
轴的另一个交点为
，对称轴为直线
．
(1)求抛物线的表达式；
(2)
是第二象限内抛物线上的动点，设点
的横坐标为
，求四边形
面积S 的最大值及此时D 点
的坐标；
(3)若点P 在抛物线对称轴上，是否存在点P，使以点B，C，P 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请
直接写出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)四边形
面积S 的最大值是
，此时点
的坐标是
；
(3)存在，点
的坐标为
或
或
或
【分析】（1）由抛物线的对称轴可得
，即
，由直线
得出
，将
代入抛物线可得
，解方程组即可得到答案；
（2）作
轴于点
，交
于点
，则
，进而得到
，则当
时，
，此时
；
（3）先求得
，设点
的坐标为
，分五种情况讨论：设直线
与
轴交于点
，则
，此题
是等腰三角形
；延长
交直线
于点
，此时
，但
三点在同一条直线上，因此不存在以
三点为顶点的等腰三角形；
，且点
在
轴上方，由
，列方程得
，求得
；
，且点
在
轴下方，设
直线
与
轴交于点
，则
，得到
；
，则
，列得方
程
，可得
．
【详解】（1）解：
抛物线
的对称轴为直线
，
，
，
直线
，当
时，
，
当
时，
，
解得
，
，
抛物线
经过点
，
，
解得：
，
抛物线的解析式为：
；
（2）解：对于
，
当
时，
，解得：
，
∴点B 的坐标为
，
又∵
，
∴
，
∴
，
如图2，作
轴于点
，交
于点
，
点
的横坐标为
，
，
，
，
，
当
时，
，即
，此时
，
∴四边形
面积S 的最大值是
，此时点
的坐标是
；
（3）解：存在，
设点
的坐标为
，
则
，
解得
，
，
，
设点
的坐标为
，
如图3，设直线
与
轴交于点
，
点
点
关于
轴对称，
，
此题
是等腰三角形，
，
延长
交直线
于点
，
，
，
，
，
，
，
三点在同一条直线上，
不存在以
三点为顶点的等腰三角形，
如图4，
，且点
在
轴上方，
，
，
解得：
，
,
，
如图4，
，且点
在
轴下方，
设直线
与
轴交于点
，
，
，
，
如图4，
，
，
，解得：
，
，
综上所述，点
的坐标为
或
或
或
．
【点睛】本题主要考查一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式、两
点之间线段最短、勾股定理、等腰三角形的判定、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此
题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
【变式训练2】．如图，已知二次函数
的图象交
轴于点
，交y 轴于
点C．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)点
是直线
下方抛物线上的一动点，求
面积的最大值；
(3)直线
（不经过点
）分别交直线
和抛物线于点
，当
是等腰三角形时，直接写出
的值．
【答案】(1)
(2)
的面积最大值为8
(3)
的值为2 或1 或
或
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）由题意得
，设直线
的解析式为
，求出直线
的解析式，过点
作
轴交
直线
于点
、交
于点
，设
，则
，得到
，利用
，建立关于t 的关系
式，根据二次函数的性质即可求解；
（3）依题意
，
，利用勾股定理得到
，
，
，分情况讨论，当
时，
，当
时，
，当
时，
，分别求解即可．
【详解】（1）解：将点
代入
，
，
解得
，
；,
（2）解：令
，则
，
，
设直线
的解析式为
，
，
解得
，
，
过点
作
轴交直线
于点
、交
于点
，
设
，则
，
，
，
，
当
时，
的面积最大值为8；
（3）解：依题意
，
，
，
，
，
当
时，
，
解得
（舍）或
；
当
时，
，
解得
；
当
时，
，
解得
；
综上所述：
的值为2 或1 或
或
．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了求函数的解析式，二次函数的性质、轴对称的性质、勾股定
理的运用，等腰三角形的性质等知识，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用面积的和差得
出二次函数，又利用了二次函数的性质，解（3）的关键是利用等腰三角形的定义得出关于m 的方程，要
分类讨论，以防遗漏．
【变式训练3】．如图，已知二次函数图象的顶点坐标为
，直线
与该二次函数的图象交
于
两点，与二次函数图象的对称轴交于点
，其中
点的坐标为
，
点在
轴上．
(1)求
的值及这个二次函数的关系式：
(2)求
的面积；
(3)在该二次函数的对称轴上是否存在点
，使得以
为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接
写出符合条件的
点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
，
(2)3
(3)存在，点
的坐标为
或
或
或
或
【分析】
将点
坐标代入解析式可求
的值，利用待定系数法可求抛物线解析式；
先求出
，然后根据三角形的面积公式即可得到结论；
分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和两点距离公式可求解.
【详解】（1）
直线
过点
，
，
，
，
设二次函数解析式为
，
得：
解得：
，
抛物线的解析式为
；
（2）由（1）知，直线
的解析式为
，
直线
与二次函数图象的对称轴交于点
，
顶点标为
∴对称轴为
，
设点
，
，
∴
；
（3）存在,
∵顶点坐标为
∴对称轴为
，
∴设点
又∵
, 点
，
，
,
当
时，则
，
∴点
坐标为(
或
当
时, 则
，
∴点
坐标为(
或
当
时, 则
，
∴点
坐标为
，
综上所述：点
的坐标为
或
或
或
或
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，等腰三角形的性质，两点距离公式等知识，利用分
类讨论思想解决问题是解题的关键.
【变式训练4】．如图，已知抛物线
的对称轴为直线
，且经过
，
两点，与x 轴的另一个交点为B．
(1)若直线
经过B，C 两点，求直线
和抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴
上找一点M 使三角形
的周长最小，求点M 的坐标；
(3)设点P 为抛物线的对称轴
上的一个动点，求使
为等腰三角形的点P 的坐标．
【答案】(1)
，
(2)
(3)
，
，
【分析】（1）将已知点坐标代入解析式，结合已知对称轴构建三元一次方程组求解；将点B，C 坐标代入
直线解析求解得参数值，进而得解析式；
（2）由对称轴知，
，得
；当
取最小值时，
周长
最小．
，当
三点共线时，
取最小值
，相应的
周长最小．进而求
得
；
（3）设点P 的坐标为
，则
，
，分情况讨论①若
，
②若
，③若
，分别构建方程求解．
【详解】（1）解：根据题意，得，
，解得
∴抛物线解析式为
令
，解得
，∴
．
由直线
经过
两点，得
，解得
∴直线解析式为
．
（2）解：如图，
∵
是抛物线的对称轴，
∴点
关于直线
对称．
∴
．
∴
．
当
取最小值时，
周长最小．
如图，
，
当
三点共线时，
取最小值
，相应的
周长最小．
时，
．
∴
（3）解：设点P 的坐标为
，则
，
，
①若
，则
，解得
，∴
点的坐标为
．
②若
，则
，解得
或
．∴
点的坐标为
．
③若
，则
，解得
或
∴
点的坐标为
综上，
点的坐标为
，
，
．
【点睛】本题考查待定系数法求解函数解析式，二次函数的性质，两点之间线段最短，等腰三角形的性质；
根据几何图形的性质构建方程是解题的关键．
类型二、直角三角形存在性问题
例．如图，已知抛物线
经过点
，
，其对称轴为直线
，
为y 轴
上一点，直线
与抛物线交于另一点D．
(1)求抛物线的解析式；
(2)直接写出直线
的解析式和点D 坐标；
(3)在线段
下方的抛物线上求一点E，使得
的面积最大，并求出最大面积；
(4)在抛物线的对称轴上是否存在点F，使得
是直角三角形？如果存在，直接写出点F 的坐标；如果
不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
，
(3)
，
(4)存在，
或
或
或
【分析】（1）利用待定系数法，构建方程组解决问题；
（2）设直线
的解析式为
，把
和
代入解得，然后与抛物线的解析式组成新的方
程，即可作答；
（3）过点E 作
轴交
于点P，连接
．构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题；
（4）利用勾股定理分三种情形，分别构建方程解决问题．
【详解】（1）解：把点
，
，对称轴为直线
分别代入
，
得
，
解得
，
所以抛物线的解析式
；
（2）解：设直线
的解析式为
，把
和
代入
得
，
解得
，
直线
的解析式为
，
因为直线
：
与抛物线：
于另一点D，
所以
，去分母得
，
解得
或
，
因为点
，
把
代入
，
解得
，
所以
；
（3）解：过点E 作
轴交
于点P，连接
，如图所示：
设
，其中
，则
，
所以
，
所以
，
因为
，开口向下，
所以
有最大值，最大值为
，
把
代入
中，得
，
此时
；
（4）解：存在，如图
设
，
因为
，
，
所以
，
，
，
则当
，
，
则
，
解得
，此时
，
则当
，
，
，
解得
，此时
，
则当
，
，
，
解得
，此时
或
，
综上所述：满足条件的点F 坐标有
或
或
或
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，一次函数的性质，勾股定理等
知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会有分类讨论的射线思考问题．
【变式训练1】．如图，直线
与抛物线
相交于
和
，点
是线
段
上异于
的动点，过点
作
于点
，交抛物线于点
．
(1)求抛物线的解析式；
(2)是否存在这样的点
，使线段
的长有最大值？求这个最大值；
(3)是否存在这样的点
，使
为直角三形，若存在，求出点
的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的解析式为
．
(2)线段
最大且为
，
．
(3)
为直角三角形时，点P 得坐标为
或
．
【分析】（1）已知
在直线
上，求得c 的值，抛物线图象上的A、B 两点坐标，通过待定系
数法即可求得解析式；
（2）设出P 点横坐标，根据直线
和抛物线的解析式表示出P、C 的纵坐标，可得到关于
的长度与P
点横坐标的函数关系式，再化成顶点式即可；
（3）当
为直角三角形时，根据直角顶点的不同，有三种情形，需要分类讨论，分别求解即可．
【详解】（1）解：∵
在直线
上，
∴
，
∴
，
∵
、
在抛物线
上，
∴
，解得
，
∴抛物线的解析式为
．
（2）设动点P 得坐标为
，则C 点得坐标为
，
∴
，
∵
，
∴当
时，即
，线段
最大且为
．
（3）∵
为直角三角形，
①若点P 为直角顶点，
．由题意易知，
轴，
，因为此种情形不存在；
②若点A 为直角顶点，则
．
如图1，过点
作
于点N，则
，
．过点A 作
，交x 轴于点
M，则由题意易知，
为等腰直角三角形，
∴
，
∴
，
∴
．
设直线
得解析式为
，则：
，解得
，
∴直线
得解析式为：
①
又抛物线得解析式为：
②
联立①②式，解得：
或
（与点A 重合，舍去）
∴
，即点C、M 点重合．当
时，
，
∴
；
③若点C 为直角顶点，则
．
∵
，
∴抛物线的对称轴为直线
．
如图2，作点
关于对称轴
得对称点C，则点C 在抛物线上，且
，当
时，
．
∵点
、
均在线段
上，
∴综上所述，
为直角三角形时，点P 得坐标为
或
．
【点睛】考查了二次函数解析式的确定、二次函数最值的应用以及直角三角形的判定、函数图象交点坐标
的求法等知识，解题关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
【变式训练2】．如图，在平面直角坐标系中，抛物线
与x 轴交于点
，
，与
y 轴交于点C．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)如图1，点D 与点C 关于抛物线的对称轴对称，连接BD 交y 轴于点G，作直线OD，点P 为线段BD 上
方的抛物线上任意一点，过点P 作
轴交BD 于点E，过点P 作
直线OD 于点F．当
为最大时，求这个最大值及此时点P 的坐标；
(3)如图2，连接BC、BD，将
绕点O 顺时针旋转
得到
，使得
，将
线段
沿射线
平移得到
，连接
，
，请问在平移过程中，是否存在
是以
为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出
的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
；
(2)
，最大值为
；
(3)
或
【分析】（1）将
两点的坐标代入二次函数解析式求解即可；
（2）求出
的坐标，进而求得
、
直线解析式，设
，过点
作
轴，可
求得
，
，用
表示出线段
、
，利用二次函数的性质求解即可；
（3）根据题意可得当
时，
，过点
作
，交
、
于点
、
，求得
坐标，可得
的直线为
，设
，分
和
两种情况讨论求解．
(1)
解：将
两点代入二次函数解析式可得：
，解得
，
所以，解析式为
，
(2)
连接
，过点
作
轴，如下图：
则：
∴
在
中，由勾股定理可得：
，
∴
在
中，
，∴
由
可得，对称轴为
，
，则
设直线
为：
，则
，解得
，直线解析式为
，
直线
为：
，
设
，则
，
点的纵坐标为
，
∴
则
，
当
时，
最大，此时
即
，最大值为
(3)
由
，
可得
，过点
作
，交
、
于点
、
，如下图：
由题意可得
，
∴
，
∴
，
∴
，
由勾股定理可得，
，
解得
，
∴
，
直线
为
，直线
为
设
，由平移的性质可得：
，
当
时，
，即
，解得
，
则
；
当
时，
，即
，解得
则
；
或
【点睛】此题考查了二次函数的综合应用，涉及了待定系数法求解析式，二次函数的性质，三角函数的定
义，直线的有关性质等，解题的关键是熟练掌握并综合应用有关性质进行求解．
【变式训练3】．如图，抛物线
与
轴交于
，
两点，与
轴交于点
，抛物
线的对称轴与
轴交于点
，顶点坐标为
.
（1）求抛物线的表达式和顶点
的坐标；
（2）如图1，点
为抛物线上一点，点
不与点
重合，当
时，过点
作
轴，交
抛物线的对称轴于点
，作
轴于点H，得到矩形
，求矩形
的周长的最大值；
（3）如图2，点
为抛物线对称轴上一点，是否存在点
，使以点
、
、
为顶点的三角形是直角三角
形？若存在，求出点
的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
，顶点坐标
；（2）周长的最大值为
；（3）存在，P 的坐标为
，
，
，
.
【分析】（1）把A、B 坐标代入y=-x2+bx+c，解方程组求出b、c 的值即可得答案；（2）设矩形
的
周长为，
，分别讨论-7<x<-3 时和-3<x<-2 时两种情况，用x 表示出矩形的周长，根据二
次函数的性质求出最大值即可得答案；（3）设
分
时，
时，
时，三种情况讨论，利用勾股定理求出m 的值即可得答案.
【详解】（1）把
两点坐标代入
得
，
解得：
，
∴抛物线方程为：
，顶点坐标
，
（2）
如图1，设矩形
的周长为，
，
∴
，
A
∵（-7，0），B（1，0），
∴抛物线对称轴为直线x=-3，
①当
时，
，
，
=
=
=
=
∵
，
∴
时，矩形周长最大，最大值为
.
②当
时
EF=x-(-3)=x+3，
l=
=
.
∴当
时，矩形周长最大，最大值为
∴综上所述，周长的最大值为
（3）存在.如下图
设
（i）当
时，
16+
16
2
m2
解得：
P
∴
1
，P2
（ii）当
时，
49+49+9+(7-m)2=16+m2
∴
140=14m，
m=10，
P
∴
3
，
（iii）当
时，
98+16+m2=9+(7-m)2
49+49+16+m2=9+49-14m+m2
56=-14m
解得：
，
P
∴
4
综上所述：满足条件的点P 的坐标为
，
，
，
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，根据二次函数得
出相关点的坐标和对称轴的解析式是解题的关键．也考查了分类思想的应用.
【变式训练4】．如图，在平面直角坐标系中，抛物线
与x 轴相交于A，B 两点，与y
轴相交于点C，直线
经过B，C 两点，已知
，
，且
．
(1)求点B 的坐标；
(2)分别求出直线BC 的解析式和抛物线的解析式；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得
是以
为一条直角边的直角三角形？若存在，请直接
写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)（4，0）
(2)
，
(3)存在，（
）或（
）
【分析】（1）由
，
根据勾股定理求得
，即可得出答案；
（2）根据待定系数法即可求出直线和抛物线解析式；
（3）设点P 坐标为（
），当
时，当
时，根据勾股定理求出
的值，即可得
出答案．
【详解】（1）∵点
，即
，
∵
，
在
中，根据勾股定理得
，
即点B 坐标为（4，0）．
（2）把
、
分别代入
中，
得
，解得
．
∴直线
解析式为
；
把
、
、
分别代入
得
，解得
．
∴抛物线的解析式是
．
（3）在抛物线的对称轴上存在点P，使得△BCP 是以BC 为一条直角边的三角形是直角三角形，理由如下：
∵抛物线的解析式是
，
∴抛物线对称轴为直线
．
设点P 坐标为
．
①当
时，有
．
∵
，
，
．
即
，
解得：
．
故点
；
②当
时，有
．
∵
，
，
．
即
，
解得：
．
故点
；
综上所述，使得△BCP 为直角三角形的点P 的坐标为
或
【点睛】本题考查了二次函数的性质、求函数解析式、勾股定理，熟练掌握二次函数的相关性质是解题的
关键．
类型三、等腰直角三角形存在性问题
例．如图，抛物线
与x 轴交于A，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C，已知点
C 关于抛物线对称轴的对称点为P，连接
，
．
（1）点P 的坐标为 ．
（2）若点M 在PC 的垂直平分线上，且在第一象限内，当
是等腰直角三角形时，点M 的坐标为
．
【答案】
【分析】（1）由题意可得点A、B、C 的坐标，然后根据二次函数的对称性可进行求解；
（2）设抛物线的对称轴与
，x 轴分别交于点E，D，由题意易得点M 的横坐标为1，然后可证
，进而问题可求解．
【详解】解：（1）∵抛物线的函数解析式为
，
令
，解得
，
；令
，
，
∴点A 的坐标为
，点B 的坐标为
，点C 的坐标为
．
∵抛物线
的对称轴为直线
，点C 的坐标为
，
∴点P 的坐标为
，
故答案为
；
（2）∵
的垂直平分线为抛物线的对称轴，
∴点M 的横坐标为1．
如图，设抛物线的对称轴与
，x 轴分别交于点E，D，
∴
．
当
是等腰直角三角形时，且只有以点M 为直角顶点时，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴点M 的坐标为
，
故答案为
．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质、全等三角形的判定与性质是解
题的关键．
【变式训练1】．如图①，已知抛物线L：
经过点
，
，过点A 作
轴交抛
物线于点C，
的平分线交线段
于点E，点P 是抛物线上的一个动点．
(1)求抛物线的关系式；
(2)若动点P 在直线
下方的抛物线上，连接
、
，当
面积最大时，求出P 点坐标；
(3)如图②，F 是抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在点P，使
成为以点P 为直角顶点的
等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)点
的坐标为
(3)存在，点
的坐标为
或
或
或
【分析】（1）将
，
的坐标代入解析式，利用待定系数法解答即可；
（2）过点
作
轴，交
于点
，设
，利用
的代数式表示出线段
，再利用
得到关于
的二次函数解析式，利用二次函数的性质即可求得
值，则结论可求；
（3）由
可知点
的横坐标为2，设
，抛物线的对称轴交
轴于
点
，则
，分四种情况：①当点
在对称轴左侧的抛物线上且在
轴的下方时，②当点
在对称轴
左侧的抛物线上且在
轴的上方时，③当点
在对称轴右侧的抛物线上且在
轴的下方时，④当点
在对
称轴右侧的抛物线上且在
轴的上方时，利用等腰直角三角形的性质结合全等三角形分别进行讨论求解即
可．
【详解】（1）解：∵已知抛物线
经过点
，
，
∴
，解得：
，
∴抛物线的解析式为
；
（2）∵
，
，
∴
，
．
过点
作
轴，交
于点
，如图，
设
，
∵
平分
，
，
∴
，
∴
是等腰直角三角形，
∴
，
∴
，
∴直线
的解析式为
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴当
时，
的面积最大，此时
，
∴点
的坐标为
；
（3）存在，点
的坐标为
或
或
或
，理由
如下：
∵
，
∴抛物线
的对称轴为直线：
，
∵
是抛物线的对称轴上的一点，
∴点
的横坐标为2．
设
，抛物线的对称轴交
轴于点
，则
．
①当点
在对称轴左侧的抛物线上且在
轴的下方时，如图，
过点
作
轴于点
，延长
交抛物线的对称轴于点，则
，
，
∴四边形
为矩形，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∵
为等腰直角三角形，则
，
，
∴
，
∵
，
∴
．
∴
，
∴
，
∴
，
解得：
（不合题意，舍去）或
，
当
时，
，
∴点
的坐标为
；
②当点
在对称轴左侧的抛物线上且在
轴的上方时，如图，
过点
作
轴于点
，延长
交抛物线的对称轴于点，则
，
，
∴四边形
为矩形，
∴
，
，
∵
，
∴
，
同上可得
，
∴
，
∴
，
解得：
（不合题意，舍去）或
，
当
时，
，
∴点
的坐标为
；
③当点
在对称轴右侧的抛物线上且在
轴的下方时，如图，
过点
作
轴于点
，过点
作
，交
的延长线于点
，则
，
∴四边形
为矩形，
∴
，
，
∵
为等腰直角三角形，则
，
，
∴
，
∵
，∴
．
∴
，∴
，
∴
，解得：
或
（不合题意，舍去），
当
时，
，
∴点
的坐标为
；
④当点
在对称轴右侧的抛物线上且在
轴的上方时，如图，
过点
作
轴于点
，过点
作
，交
的延长线于点
，则
，
∴四边形
为矩形，
∴
，
，
同上可得
，
∴
，
∴
，
解得：
或
（不合题意，舍去），
当
时，
，
∴点
的坐标为
；
综上，存在，点
的坐标为
或
或
或
．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，二次函数图象上点的坐标的特征，等腰直
角三角形的性质，直角三角形的性质，配方法，全等三角形的判定与性质，配方法，利用点的坐标表示出
相应线段的长度是解题的关键．
【变式训练2】．将抛物线
：
向下平移6 个单位长度得到抛物线
，再将抛物线
向左平移2
个单位长度得到抛物线
．
(1)直接写出抛物线
，
的解析式；
(2)如图，点
在抛物线
上（对称轴右侧），点
在对称轴上，
是以
为斜边的等腰直角三角
形，求点
的坐标．
【答案】(1)
，
(2)点
的坐标为
或
【分析】（1）根据二次函数
的平移规律，上加下减（
值），左加右减（
值），
直接写出平移后的解析式；
（2）过点
作
轴于点
，过点
作
的延长线于点
，设点
的横坐标为
，则纵坐标为
，
，
，再证明
，可得
，进而得到关于
的
方程，求解即可．
【详解】（1）解：
抛物线
：
向下平移6 个单位长度得到抛物线
，
，
将抛物线
向左平移2 个单位长度得到抛物线
，
；
（2）解：如图，过点
作
轴于点
，过点
作
的延长线于点
，
设点
，则
，
，
是以
为斜边的等腰直角三角形，
，
，
，
，
解得：
或
或
或
，
由图象可知，
，
或
不符合题意，
点
的坐标为
或
．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握知识
点并灵活运用是解题的关键．
【变式训练3】．如图1，抛物线与
轴交于
、
两点，与
轴交于点
，且
、直线
与抛物线交于
、
两点，与
轴交于点
，点
是抛物线的顶点．
(1)求该抛物线的解析式及顶点
的坐标．
(2)连结
，判断线段
与线段
有何关系，请说明理由．
(3)如图2．若点
是直线
上方的抛物线上的一动点，设点
的横坐标为
．
①连结
、
，当
为何值时，
．
②在直线
上是否存在一点
使
为等腰直角三角形，若存在请求出
的值，不存在请说明理由．
【答案】(1)
，
(2)
，理由见解析
(3)①0 或1；②0
【分析】（1）利用待定系数法将A，B，C 三点的坐标代入即可求解；
（2）过点Q 作
与点G，过点C 作
于点M，利用点的坐标以及等腰等腰三角形的性质可
求
，即可得出结论；
（3）①直线
与抛物线解析式联立即可求出D 的坐标，则可求
的面积，过P 作
于点R，
交直线
于点K，过点D 作
于点F，设
，则
，利用已知条件列出
方程，解方程即可求得结论；
②利用分类讨论的思想分三种情况解答，设点
，点
，当
时，过点P
作
轴，分别交过点Q、H 的平行于x 轴的直线于点G，M，通过证明
得
，
，即可求得m；当
时，利用已知条件可得
轴，同理可得m 的值；当
时，点P 在
的下方，与题意不符．
【详解】（1）解：∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
，
∴
，
，
设抛物线解析式为
，
∴
，
解得
，
∴抛物线解析式为
，
∵
，
∴顶点
；
（2）解：过点Q 作
与点G，过点C 作
于点M，交
于点N，
则
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
又
，
∴
，
对于
，令
，则
，
∴
，
又
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
；
（3）解：①联立方程组
，
解得
或
，
∴
，
过P 作
于点R，交直线
于点K，过点D 作
于点F
则
，
设
，则
，
∴
，
当
时，
则
，
解得
或1；
②存在，理由如下：
设点
，点
，
Ⅰ、当
时，
过点P 作
轴，分别交过点Q 和H 的平行于x 的直线于点G，M，
∵
，
，
∴
，
又
，
，
∴
，
∴
，
，
∴
，
，
解得
或
（舍去）；
Ⅱ、当
时，如图，
当
时，则点P、H 关于抛物线的对称轴对称，
即
垂直于抛物线的对称轴，
∴
轴，
∴
，
同Ⅰ可得
或
（舍去）；
Ⅲ、当
时，点P 在
的下方，与题意不符．
综上，m 的值为0．
【点睛】本题考查了待定系数法确定函数的解析式，抛物线上点的坐标的特征，一次函数图象上点的坐标
特征，平行线的判定与性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，利用点的坐标表示出相
应线段的长度是解题的关键．
【变式训练4】．如图，抛物线
的图象与
轴交于点
、
（
在
左侧），与
轴交于
点
，
，点
为抛物线的顶点．
(1)求抛物线解析式；
(2)点
是抛物线上一动点，且满足
，求
点坐标；
(3)
是对称轴左侧抛物线上一动点，以
为斜边作等腰直角三角形，直角顶点
正好落在对称轴上，画
出图形并求出
点坐标．
【答案】(1)
；
(2)点
的坐标为
或
或
或
；
(3)
或
．
【分析】（1）由题意求出点C 的坐标，把点C 坐标代入抛物线解析式即可得出答案；
（2）设点Q 的纵坐标为n，根据面积关系得出
，求出n 值，则可求出答案；
（3）①点P 在第三象限时，证明
，由全等三角形的性质得出
，设
，求出
，代入抛物线的解析式
求出m 的值即可得出答案；②当点P 在第二象限时，同①的方法得，
．
【详解】（1）解：∵抛物线
的图象与
轴交于点
，
，
，
∵
，
，
，
代入抛物线的解析式
得，
，
，
抛物线解析式为
；
（2）解：∵抛物线
的图象与
轴交于点
、
在
左侧，
时，
，
解得
或
，
，
，
设点
的纵坐标为
，
∵
，
∴
，
，
，
当
时，
，解得
，
∴
或
；
当
时，
，解得
，
∴
或
；
综上所述，点
的坐标为
或
或
或
；
（3）解：如图，
点
在第三象限时，
抛物线
的对称轴为直线
，
∴
，
过点
作
于
，
∴
，
，
∵
，
∴
，∴
，
在
和
中，
，
∴
，∴
，
，
设
，∴
，
∴
，
，∴
，
点
在抛物线
上，∴
，
或
舍，
．
当点
在第二象限时，同
的方法得，
；
综上所述，点
的坐标为
或
．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式，
三角形的面积公式，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，会利用数形结合的思想及方程的
思想方法解决数学问题是关键．
