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第四章 几何图形初步压轴题考点训练
评卷人
得分
一、单选题
1．如图，A，B 两地相距1200m，小车从A 地出发，以8m/s 的速度向B 地行驶，中途在C
地停靠3 分钟．大货车从B 地出发，以5m/s 的速度向A 地行驶，途经D 地（在A 地与C
地之间）时沿原路返回B 点取货两次，且往返两次速度都保持不变（取货时间不计），取
完两批货后再出发至A 点．已知：
，则直至两车都各自到达终点时，
两车相遇的次数为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】A
【分析】由题意可求出
，
，
，
．再根据题意
结合速度=路程÷时间讨论即可．
【详解】解：由题意可知
．
∵
，
∴
，
，
∴
，
．
当大货车第一次到达D 地时，用时
，
∴此时小车行驶路程为
．
∵
，
∴此过程两车不相遇；
当大货车第一次由D 地返回B 地，且到达C 地的过程中，
∵
，
∴大货车到达C 地用时
．
假设此过程中两车相遇，且又经过t 秒相遇，
则
，
解得：
，即说明大货车到达C 地之前没相遇；
当大货车继续由C 地返回B 地时，
∵
，
∴大货车到达B 地用时
．
此时大货车共行驶
．
∵小车到达C 地用时
，
∴当大货车到达B 地时，小车已经到达C 地停靠
．
∵小车中途在C 地停靠3 分钟，即
，
∴当大货车到达B 地时，小车在C 地还需停靠
．
当大货车又从B 地出发前往D 地时，用时
，
∴当大货车到达D 地时小车还在停靠，即此时第一次相遇，
∴此时小车剩余停靠时间
，
∴当小车出发时，大货车第二次从D 地前往B 地行驶了
．
假设大货车到达B 地前小车能追上大货车，且用时为
，
则
，
解得：
，即说明大货车到达B 地前小车没追上大货车，
∴此过程两车没相遇．
当大货车最后由B 地前往A 地时，小车正在向B 地行驶，
∴两车此过程必相遇．
综上可知，两车相遇的次数为2 次．
故选A．
【点睛】本题考查线段的n 等分点，线段的和与差，一元一次方程的实际应用．读懂题意，
列出算式或方程是解题关键．
2．如果线段AB=3cm，BC=1cm，那么A、C 两点的距离d 的长度为（ ）
A．4cm
B．2cm
C．4cm 或2cm
D．小于或等于4cm，
且大于或等于2cm
【答案】D
【详解】试题分析：①当A，B，C 三点在一条直线上时，分点B 在A、C 之间和点C 在
A、B 之间两种情况讨论；
②当A，B，C 三点不在一条直线上时，根据三角形三边关系讨论.
解：当点A、B、C 在同一条直线上时，①点B 在A、C 之间时：AC=AB+BC=3+1=4；②点
C 在A、B 之间时：AC=AB-BC=3-1=2，
当点A、B、C 不在同一条直线上时，A、B、C 三点组成三角形，根据三角形的三边关系
AB-BC ＜AC＜AB+BC，即2＜AC＜4，综上所述，选D.
故选D.
点睛：本题主要考查点与线段的位置关系..利用分类思想得出所有情况的图形是解题的关键，
3．用折纸的方法，可以直接剪出一个正五边形(如图)．方法是：拿一张长方形纸对折，折
痕为AB，以AB 的中点O 为顶点将平角五等分，并沿五等分的线折叠，再沿CD 剪开，使展
开后的图形为正五边形，则∠OCD 等于( )
A．108°
B．90°
C．72°
D．60°
【答案】B
【分析】根据折叠可知∠DOC 为36°，根据正五边形内角为108°可知∠ODC 为54°，由三角
形内角和为180°即可得.
【详解】由折叠可知周角被平分为10 份，所以∠DOC 为36°，
由正五边形一个内角为108°，所以∠ODC 为
108°=54°，
所以∠OCD=180°-54°-36°=90°，
故选B.
【点睛】此题考查了折叠的性质和三角形内角和定理，熟练掌握折叠性质是解本题关键.
4．如图，点
、
、
在同一直线上，
为
的中点，
为
的中点，
为
的中
点，则下列说法：
，其中正确的
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据线段中点的定义和线段的和差分别计算
即可.
【详解】① ∵H 是
的中点，
∵
分别是
的中点，
.
∴①正确.
② 由①知
∴②错误.
③
∴③正确.
④
∴④正确.
综上，①③④正确.
故选：D
【点睛】本题主要考查了线段中点的定义，线段的和差.根据线段的和差进行求解是解题的
关键.
5．如图1，线段
表示一条拉直的细线，
、
两点在线段
上，且
，
.若先固定
点，将
折向
，使得
重叠在
上；如图2，再从图2 的
点及与
点重叠处一起剪开，使得细线分成三段，则此三段细线由小到大的长度比是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设OB=3x，依次表示出BP、OA、AP、AB 的长度，折叠后从点B 处剪开得到AB 段
为2x，OB=3x，BP=5x，即可得到比值.
【详解】设OB=3x，则BP=7x，
OP=OB+BP=10x
∴
，
∵
，
OA=4x
∴
，AP=6x，
AB=OA-OB=x
∴
，
将
折向
，使得
重叠在
上，再从点
重叠处一起剪开，
得到的三段分别为：2x、3x、5x，
故选：D.
【点睛】此题考查线段的和差计算，设未知数分别表示各段的长度使分析更加简单，注意
折叠后AB 段的长度应是原AB 段的2 倍，由此计算即可.
6．一个正方体锯掉一个角后，顶点的个数是（ ）
A．7 个 或8 个
B．8 个或9 个
C．7 个或8 个或9 个
D．7 个或8 个或9 个或10 个
【答案】D
【详解】如下图，一个正方体锯掉一个角，存在以下四种不同的情形，新的几何体的顶点
个数分别为：7 个、8 个、9 个或10 个.
故选D.
评卷人
得分
二、填空题
7．已知∠AOB＝80°，射线OC 在∠AOB 内部，且∠AOC＝20°，∠COD＝50°，射线OE、
OF 分别平分∠BOC、∠COD，则∠EOF 的度数是 ．
【答案】
或
【分析】先根据题意画出图形，再分OD 在
内和OD 在
外，根据角的和差关
系、角平分线的定义可求
的度数．
【详解】（1）如图1，OD 在
内，
，
,
，
射线OE 平分
，
，
射线OF 平分
，
，
，
；
（2）如图2，OD 在
外，
，
,
，
射线OE 平分
，
，
射线OF 平分
，
，
，
.
则
的度数是
或
.
故答案为：
或
.
【点睛】本题考查了角的和差关系、角平分线的定义， OD 在
外的情形易被忽略，
从而出现漏解是本题的难点．
8．已知一条射线OA 由点O 引射线OB，OC，∠AOB=72°，∠BOC=36°，则∠AOC 等于 ．
【答案】36°或108°
【详解】根据题意画图，可知：当OC 在∠AOB 的外部时，
∠AOC= AOB+ BOC=72+36°=108°
∠
∠
；当OC 在∠AOB 的内部，∠AOC= AOB- BOC=72-
∠
∠
36°=36°.
故答案为36°或108°.
9．如图，已知∠AOB＝40°，自O 点引射线OC，若∠AOC：∠COB＝2：3，OC 与∠AOB
的平分线所成的角的度数为 ．
【答案】4°或100°．
【分析】由题意∠AOC：∠COB=2：3，∠AOB=40°，可以求得∠AOC 的度数，OD 是角平分
线，可以求得∠AOD 的度数，∠COD= AOD- AOC
∠
∠
．
【详解】解：若OC 在∠AOB 内部，
AOC
∠
∵
：∠COB＝2：3，
∴设∠AOC＝2x，∠COB＝3x，
AOB
∵∠
＝40°，
2x+3x
∴
＝40°，
得x＝8°，
AOC
∴∠
＝2x＝2×8°＝16°，∠COB＝3x＝3×8°＝24°，
OD
∵
平分∠AOB，
AOD
∴∠
＝20°，
COD
∴∠
＝∠AOD
AOC
∠
﹣
＝20°
16°
﹣
＝4°．
若OC 在∠AOB 外部，
AOC
∵∠
：∠COB＝2：3，
∴设∠AOC＝2x，∠COB＝3x，
AOB
∵∠
＝40°，
3x
2x
∴
﹣
＝40°，
得x＝40°，
AOC
∴∠
＝2x＝2×40°＝80°，∠COB＝3x＝3×40°＝120°，
OD
∵
平分∠AOB，
AOD
∴∠
＝20°，
COD
∴∠
＝∠AOC+ AOD
∠
＝80°+20°＝100°．
OC
∴
与∠AOB 的平分线所成的角的度数为4°或100°．
【点睛】本题考查角的计算，结合角平分线的性质分析，当涉及到角的倍分关系时，一般
通过设未知数，建立方程进行解决．
10．如图，直线AB⊥OC 于点O，∠AOP＝40°，三角形EOF 其中一个顶点与点O 重合，
∠EOF＝100°，OE 平分∠AOP，现将三角形EOF 以每秒6°的速度绕点O 逆时针旋转至三
角形E′OF′，同时直线PQ 也以每秒9°的速度绕点O 顺时针旋转至P′Q′，设运动时间为m 秒
（0≤m≤20），当直线P′Q′平分∠E′OF′时，则∠COP′＝ ．
【答案】
或
【分析】由题意，分两种情况讨论，当
平分
时，当
平分
时作出图
形，分别画出对应图，对比开始时刻的角度，通过角度的加减计算即可．
【详解】
平分
，
，
以每秒
的速度绕点O 逆时针旋转，
以每秒
的速度点O 顺时针旋转，
①如图1 中，当
平分
时，
解得
，
②如图2，当
平分
时，
解得
故答案为：
或
【点睛】本题考查了角度的计算，角平分线的定义，垂直的定义，通过旋转的速度和时间
可得旋转的角度，对比旋转之前的图形是解题的关键．
评卷人
得分
三、解答题
11．如图，
内部有一射线OC，
，
与
的度数比为
，射
线
从
出发，以10 度/秒的速度绕点O 顺时针旋转，同时射线
从
出发以20
度/秒的速度绕点O 顺时针旋转，当射线
与射线
重合后，立即以原速逆时针旋转，
当
与
重合后再次改变方向顺时针向
旋转（即
在
与
之间来回摆动），
当
与
重合时，
与
都停止旋转．旋转过程中设旋转的时间为t 秒．
(1)
时，
；
(2)当t 为何值时，
恰好是
的平分线；
(3)在旋转的过程中，作
的角平分线
，是否存在某个时间段，使得
的度数
保持不变？如果存在，求出
的度数，并写出对应的t 的取值范围；如果不存在，请
说明理由．
【答案】(1)100
(2)3 或7
(3)存在，
时，
的度数保持不变，
；
时，
的度数
保持不变，
【分析】（1）当
时，
，
，故
，
即得
；
（2）
，
与
的度数比为
，知
，
，故
从
旋转到
（或从
旋转到
需要
（秒），
从
旋转到
需要
（秒），当
时，
；当
时，
；当
时，
，解方程可得答案；
（3）当
时，
；当
时，
；当
时，
，即可得到答案．
【详解】（1）解：（1）当
时，
，
，
，
；
故答案为：100；
（2）
，
与
的度数比为
，
，
，
从
旋转到
或从
旋转到
需要
（秒），
从
旋转到
需要
（秒），
当
时，
，
，
恰好是
的平分线，
，
解得
；
当
时，
，
，
恰好是
的平分线，
，
解得
（舍去）；
当
时，
，
，
恰好是
的平分线，
，
解得
；
综上所述，当为3 或7 时，
恰好是
的平分线；
（3）存在某个时间段，使得
的度数保持不变，理由如下：
当
时，
，
，
平分
，
，
，
时，
的度数保持不变，
；
当
时，
，
，
平分
，
，
，
时，
的度数随的改变而改变；
当
时，
，
，
平分
，
，
，
时，
的度数保持不变，
；
综上所述，
时，
的度数保持不变，
；
时，
的度
数保持不变，
．
【点睛】本题考查了角的和差，角平分线的定义，一元一次方程的应用，解题的关键是读
懂题意，能应用分类讨论思想解决问题．
12．已知：如图1，点A、O、B 依次在直线
上，现将射线
绕点O 按顺时针方向以
每秒
的速度旋转，同时射线
绕点O 按逆时针方向以每秒
的速度旋转，如图2，
设旋转时间为t（0 秒
秒）
（1）用含t 的代数式表示
的度数．
（2）在运动过程中，当
第二次达到
时，求t 的值．
（3）如果让射线
改变方向，绕点O 逆时针方向旋转，在用时不超过30 秒的情况下，
用时多少秒，能使得
，请直接写出t 的值．
【答案】（1）当0≤t≤9 时，∠MOA＝20t，当9＜t≤18 时，∠MOA＝360°-20t，当18＜t≤27
时，∠MOA＝20t-360°，当27＜t≤30 时，∠MOA＝
；（2）5；（3）7.5 或10.5 或
25.5 或28.5
【分析】（1）分四种情况，分别求出∠MOA 的度数，即可；
（2）当∠AOB 第二次达到120°时，射线OB 在OA 的左侧，∠AOM 与∠BON 重叠部分为
∠AOB，故有等量关系∠MOA＋∠NOB−∠AOB＝180°，列方程求解可得t．
（3）OA、OB 都是逆时针旋转，可理解为初始路程差为180°的追及问题：当∠AOB 第一
次达到30°时，即OB 差30°追上OA，路程差为（180−30）°，即40t−20t＝180−30；第二次
达到30°时，即OB 追上OA 且超过30°，路程差为（180＋30）°；第三次达到30°时，OB 再
走一圈差30°追上OA，路程差为（180＋360−30）°；第四次达到30°时，OB 再次追上且超
过30°，路程差为（180＋360＋30）°，此时求出的t 已接近30，故不需再求第五次．
【详解】解：（1）当0≤t≤9 时，∠MOA＝20t，
当9＜t≤18 时，∠MOA＝360°-20t，
当18＜t≤27 时，∠MOA＝20t-360°，
当27＜t≤30 时，∠MOA＝
，
（2）当∠AOB 第二次达到120°时，如图1，得：
∠MOA＋∠NOB−∠AOB＝180°
20
∴
t＋40t−120＝180，解得t＝5；
（3）如图2，当∠AOB 第一次达到30°时，OB 比OA 多转了（180−30）°，得：
40t−20t＝180−30
解得：t＝7.5
如图3，当∠AOB 第二次达到30°时，OB 比OA 多转了（180＋30）°，得：
40t−20t＝180＋30
解得：t＝10.5
当∠AOB 第三次达到30°时，OB 比OA 多转了（180＋360−30）°，得：
40t−20t＝180＋360−30
解得：t＝25.5
当∠AOB 第四次达到30°时，OB 比OA 多转了（180＋360＋30）°，得：
40t−20t＝180＋360＋30
解得：t＝28.5
综上所述，t＝7.5 或10.5 或25.5 或28.5 时，∠AOB＝30°．
【点睛】本题考查了角度计算，一元一次方程的应用．第（3）题转化为追及问题来思考，
可把每次∠AOB 达到30°的分类计算方法更统一且好理解．
13．已知线段
，
(
，
为常数，且
)，线段
在直线
上运动(点
B，M 在点A 的右侧，点N 在点M 的右侧)．P 是线段
的中点，Q 是线段
的中点．
(1)如图①，当点N 与点B 重合时，求线段
的长度(用含a，b 的代数式表示)；
(2)如图②，当线段
运动到点B，M 重合时，求线段
，
之间的数量关系；
(3)当线段
运动至点Q 在点B 的右侧时，请你画图探究线段
，
，
三者之间的
数量关系．
【答案】(1)
(2)
(3)
或
【分析】（1）根据题意表示出
和
的长度，然后即可求出
；
（2）根据题意表示出
和
的长度，再表示出
和
的长度，即可发现
和
之
间的数量关系；
（3）分两种情况讨论：①点M 在点B 的左侧，②点M 在点B 的右侧．表示出
和
，
即可发现
，
，
三者之间的数量关系．
【详解】（1）因为P 是线段
的中点，Q 是线段
的中点，所以
，
，
∴
．
（2）因为P 是线段
的中点，Q 是线段
的中点，所以
，
，
因为
，所以
，
因为
，所以
．
（3）如图①，
当点M 在点B 的左侧时
，
，
所以
；
如图②，当点M 在点B 的右侧时
，
，
所以
．
综上所述，
或
．
【点睛】本题考查了线段的和差问题，动点问题，画好线段图，分类讨论是解题的关键．
14．如图，射线
上有三点
、
、
，满足
，
，
，点
从点
出发，沿
方向以
的速度匀速运动，点
从点
出发在线段
上向点
匀
速运动，两点同时出发，当点
运动到点
时，点
、
停止运动.
（1）若点
运动速度为
，经过多长时间
、
两点相遇？
（2）当
时，点
运动到的位置恰好是线段
的中点，求点
的运动速度;
（3）设运动时间为
，当点
运动到线段
上时，分别取
和
的中点
、
，则
____________
.
【答案】（1）经过
，
、
两点相遇（2）答案不唯一，具体见解析（3）
【分析】（1）设经过t 秒时间P、Q 两点相遇，根据OP+CQ=OA+AB+AC 列出方程即可解决
问题；
（2）分两种情形求解即可；
（3）用t 表示AP、EF 的长，代入化简即可解决问题；
【详解】（1）设运动时间为，则
，
；所以经过
，
、
两点相遇
（2）当点
在线段
上时，如下图,
AP+PB=60,
AP=40,OP=50,
∴
P
∴用时50s,
Q
∵
是OB 中点,
CQ=50,
∴
点
的运动速度为
；
当点
在线段
的延长线上时，如下图,
AP=2PB,
AP=120,OP=140,
∴
P
∴用时140s,
Q
∵
是OB 中点,
CQ=50,
∴
点
的运动速度为
；
（3）如下图,
由题可知,OC=90,
AP=x-20,
EF=OF-OE=OF-
OP=50-
x,
∴
90-（x-20）-2(50-
x)=10
【点睛】本题考查两点间距离、路程、速度、时间之间的关系等知识，解题的关键是理解
题意，找到等量关系，注意分类讨论是解题关键．
15．如图，线段
，
，点
以
的速度从点
沿线段
向点
运动；同时点
以
从点
出发，在线段
上做来回往返运动（即沿
运动），当点
运动到点
时，点
、
都停止运动，设点
运动的
时间为秒．
(1)当
时，
______
；
(2)当为何值时，点
为线段
的中点？
(3)若点
是线段
的中点，在整个运动过程中，是否存在某个时间段，使
的长度保
持不变？如果存在，求出
的长度；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
或
(3)存在，当
时，
的长度保持不变，此时
的长度为
；当
时，
的长度保持不变，此时
的长度为
【分析】（1）先求出
，再根据速度和时间分别求出
的长，然
后根据线段和差即可得；
（2）先分别求出点
运动到点
所需时间为
，点
第一次运动到点
所需时间为
，
再分①
，②
和③
三种情况，分别利用线段中点的定义建立方程，
解方程即可得；
（3）参照（2）分①
，②
和③
三种情况，先求出
的长，从
而可得
的长，再根据
进行分析即可得出答案．
【详解】（1）解：
，
，
当
时，
，
，
，
故答案为：
．
（2）解：点
运动到点
所需时间为
，点
第一次运动到点
所需时间为
，
则分以下三种情况：
①当
时，则
，
点
为线段
的中点，
，即
，
解得
，符合题设；
②当
时，则
，
点
为线段
的中点，
，即
，
解得
，不符题设，舍去；
③当
时，则
，
点
为线段
的中点，
，即
，
解得
，符合题设，
综上，当
或
时，点
为线段
的中点．
（3）解：①当
时，则
，
点
是线段
的中点，
，
，
即当
时，
的长度保持不变，此时
的长度为
；
②当
时，则
，
点
是线段
的中点，
，
，
此时
的长度随着的变化而变化；
③当
时，则
，
点
是线段
的中点，
，
，
即当
时，
的长度保持不变，此时
的长度为
；
综上，存在这样的时间段，当
时，
的长度保持不变，此时
的长度为
；
当
时，
的长度保持不变，此时
的长度为
．
【点睛】本题考查了与线段中点有关的计算、一元一次方程的应用，较难的是题（2）和
（3），正确分三种情况讨论是解题关键．
