文档文本内容
第六章 几何图形初步
知识点一 几何图形相关概念
1.
几何图形分类
立体图形：各部分不都在同一平面内（正方体、长方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥）。
平面图形：各部分都在同一平面内（线段、角、三角形、长方形、圆等）。
2.
展开图
立体图形可以展开成平面图形，常见正方体11 种展开图，考试常考相对面、相邻面判断。
3.
截面
用平面截几何体，得到的平面图形叫做截面。
知识点二 点、线、面
1.
几何基本构成：图形由 点、线、面 构成。
2.
动态形成规律（必考口诀）
点动成线、线动成面、面动成体。
例子：笔尖画线（点动成线）、雨刷扫窗（线动成面）、长方形旋转成圆柱（面动成体）。
3.
特征
点：无大小；线：无粗细；面：无厚薄。
4.
相交关系：面与面相交成线，线与线相交成点。
知识点三 直线、射线、线段
1.
定义与区别
直线：向两方无限延伸，无端点，不可度量长度。
射线：向一方无限延伸，1 个端点，不可度量长度。
线段：两个端点，有固定长度，可以度量、可以比较大小。
2.
表示方法
直线：直线AB、直线𝑙；
射线：射线OA（端点必须写前面）；
线段：线段AB、线段𝑎。
3.
核心公理
① 两点确定一条直线（钉木条、站队原理）。
② 两点之间，线段最短（路程最短问题必考）。
4.
两点间距离：两点之间线段的长度，叫做两点间的距离。
知识点四 线段的中点
1.
定义：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点。
2.
几何核心公式（必考）
若𝑀是𝐴𝐵中点：
𝐴𝑀= 𝐵𝑀= 1
2 𝐴𝐵
𝐴𝐵= 2𝐴𝑀= 2𝐵𝑀
3.
延伸：三等分点、四等分点，可分段表示线段长度。
4.
题型特点：线段计算、线段推理、动点线段长度求解。
知识点五 角的有关概念以及表示方法
1.
角的定义
静态：有公共端点的两条射线组成的图形。
动态：一条射线绕端点旋转形成的图形。
2.
角的三要素：顶点、两条边（射线）。
3.
四种表示方法（规范考试写法）
① 三个大写字母：∠𝐴𝑂𝐵（中间必须是顶点）
② 一个大写字母：∠𝑂（顶点处只能有一个角才能用）
③ 数字：∠1、∠2
④ 希腊字母：∠𝛼、∠𝛽
4.
角度单位换算
1∘= 60′,1′ = 60″
60 进制，禁止100 进制换算。
5.
角的分类
锐角（0∘∼90∘）
直角（90∘）
钝角（90∘∼180∘）
平角（180∘）
周角（360∘）
知识点六 角平分线
1.
定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。
2.
核心几何关系式
若𝑂𝐶平分∠𝐴𝑂𝐵：
∠𝐴𝑂𝐶= ∠𝐵𝑂𝐶= 1
2 ∠𝐴𝑂𝐵
∠𝐴𝑂𝐵= 2∠𝐴𝑂𝐶= 2∠𝐵𝑂𝐶
3.
延伸：角的三等分线、四等分线，对应角度倍数关系。
4.
考点：角度计算、折叠问题、几何推理证明。
知识点七 余角、补角
1.
余角定义
两个角的和等于 90∘（直角），互为余角。
2.
补角定义
两个角的和等于 180∘（平角），互为补角。
3.
重要性质（大题必考）
同角（等角）的余角相等
同角（等角）的补角相等
4.
易错区分：互余、互补只看角度和，与位置无关。
5.
公式：若∠𝛼余角=90∘―∠𝛼，补角=180∘―∠𝛼
易错点1 正方形的展开图问题
易错提醒
易错点总结
1. 无法判断不能折叠成正方体的图形，经常选错“田字形、凹字形”展开图。
2. 找错相对面、相邻面，折叠后位置判断颠倒。
3. 混淆立体图形截面与展开图，概念混乱。
4. 不会快速排除错误展开图，做题慢、正确率低。
注意事项总结
1. 正方体展开图禁忌口诀：无田、无凹、无长一线四连两头。
2. 相对面判断：隔一个是对面、Z 字两端是对面。
3. 相邻面折叠后永远相邻，不可能相对。
4. 牢记：正方体只有11 种合法展开图，出现田字、凹字直接排除。
【对点训练】1．如图，是一个正方体，它的展开图是下列四个展开图中的（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据平面图形的折叠及正方体的表面展开图的特点，即可求解．
【详解】解：由原正方体的特征可知，含有4，6，8 数字的三个面相交于一点，所在的平面不可能是对面，
A、折叠后，含有4，6，8 数字的三个面相交于一点，故选项符合题意；
B、折叠后，含有4，8 数字的两个面是对面，故选项不符合题意；
C、折叠后，含有6，8 数字的两个面是对面，故选项不符合题意；
D、折叠后，含有6，8 数字的两个面是对面，故选项不符合题意．
易错点2 线段的和差倍分相关计算
易错提醒
易错点总结
1. 没有画图，凭想象计算，点的位置判断错误导致全程错。
2. 中点公式乱用，分不清 𝐴𝑀= 1
2𝐴𝐵 和 𝐴𝐵= 2𝐴𝑀。
3. 点在线段上、点在线段延长线上不会分类讨论，漏解严重。
4. 多线段叠加时，重复计算、漏算小段。
注意事项总结
1. 线段计算题必须先画图，不画图不做题。
2. 中点万能公式：小线段=大线段一半，大线段=小线段两倍。
3. 题干无图必分类：点在线段上 / 点在延长线上两种情况。
4. 计算顺序：先标已知长度，再推未知线段，步步推导。
【对点训练】2．如图，点B 是线段AC 上一点，且
21cm
AB =
，
1
3
BC
AB
=
．
(1)试求出线段AC 的长；
(2)如果点O 是线段AC 的中点，请求线段OB 的长．
【答案】(1)28cm
(2)7cm
【分析】（1）由点B 在线段AC 上可知AC
AB
BC
=
+
，由
21cm
AB =
，
1
3
BC
AB
=
可得BC ，代入计算后即
可得到答案；
（2）根据O 是线段AC 的中点及AC 的长可求出OC 的长，由OB
OC
BC
=
-
即可得出答案．
【详解】（1）解：∵
21cm
AB =
，
∴
1
7 cm
3
BC
AB
=
=
，
∴
21 7
28 cm
AC
AB
BC
=
+
=
+
=
；
（2）解：由（1）知：
28cm
AC =
，
7cm
BC =
，
∵点O 是线段AC 的中点，
∴
1
1
28
14 cm
2
2
OC
AC
=
=
´
=
，
∴
14
7
7 cm
OB
OC
BC
=
-
=
-
=
．
易错点3 角度的和差倍分相关计算
易错提醒
易错点总结
1. 度分秒60 进制记错，当成100 进制换算，计算全部出错。
2. 角度加减不借位、不进位，小数角度不会转化分秒。
3. 分不清角的和差关系，看错公共角、重叠角。
4. 余角补角公式混用，90°、180°搞反。
注意事项总结
1. 角度换算铁律：1°=60′，1′=60″，坚决不用十进制。
2. 大减小、缺则借位，满60 进1。
3. 角度计算先找公共角、重叠角，找准和差关系。
4. 余角找90°关系，补角找180°关系，绝不混用。
【对点训练】3．如图，
AOC
Ð
与
BOC
Ð
的度数比为5: 2 ，OD 平分
AOB
Ð
．
(1)若
20
BOC
Ð
=
，求
BOD
Ð
的度数；
(2)若
12
COD
Ð
=
，求
AOB
Ð
的度数．
【答案】(1)35
(2)56
【分析】（1）由
AOC
Ð
与
BOC
Ð
的度数比为5: 2 ，求出
50
AOC
Ð
=
，再求出
AOB
Ð
的度数，再结合角平分
线的定义计算即可得出结果；
（2）设
5
AOC
x
Ð
=
，则
2
BOC
x
Ð
=
，
7
AOB
x
Ð
=
，由角平分线的定义可得
1
7
2
2
BOD
AOB
x
æ
ö
Ð
=
Ð
=
ç
÷
è
ø ；
求出
3
2 x
COD
æ
ö
=
ç
÷
è
ø
Ð
，可得3
12
2 x =
，求解即可．
【详解】（1）解：∵
AOC
Ð
与
BOC
Ð
的度数比为5: 2 ，
20
BOC
Ð
=
，
∴
5
50
2
AOC
BOC
Ð
=
Ð
=
，
∴
70
AOB
AOC
BOC
Ð
= Ð
+ Ð
=
，
∵OD 平分
AOB
Ð
，
∴
1
35
2
BOD
AOB
Ð
=
Ð
=
；
（2）解：∵
AOC
Ð
与
BOC
Ð
的度数比为5: 2 ，
∴设
5
AOC
x
Ð
=
，则
2
BOC
x
Ð
=
，
∴
7
AOB
AOC
BOC
x
Ð
= Ð
+ Ð
=
，
∵OD 平分
AOB
Ð
，
∴
1
7
2
2
BOD
AOB
x
æ
ö
Ð
=
Ð
=
ç
÷
è
ø ；
∵
7
3
2
2
2
COD
BOD
BOC
x
x
x
æ
ö
æ
ö
=
-
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
Ð
- Ð
ø
Ð
=
，
∴3
12
2 x =
，
∴
8
x =
，
7 8
56
AOB
\Ð
=
´
=
．
易错点4 角平分线的相关计算
易错提醒
易错点总结
1. 角平分线只会正向计算，不会反向推导。
2. 多个角平分线叠加，倍数关系混乱，分不清二倍、一半。
3. 折叠题型中，看不出折叠前后角度相等，丢条件。
4. 无图题不分类，射线在角内、角外漏解。
注意事项总结
1. 角平分线核心：平分=两个小角相等=大角一半。
2. 多层角平分线，从最小角向外逐层推导。
3. 图形折叠：折叠前后对应角相等，是隐藏等量条件。
4. 射线位置不确定，必须分：内部射线、外部射线两种讨论。
【对点训练】4．如图，直线AB 、CD相交于点O ，OE 平分
BOD
Ð
，OF 平分
COE
Ð
，且
1:
2
1: 4
Ð
Ð =
，
求
BOF
Ð
的度数．
【答案】45
【分析】首先根据OE 平分
BOD
Ð
，可得
1
DOE
Ð = Ð
，再根据
1:
2
1: 4
Ð
Ð =
，计算出
DOE
Ð
和
BOC
Ð
的度
数，然后计算出
COE
Ð
的度数，再根据角平分线的定义可得
75
EOF
Ð
=
，最后根据
1
BOF
EOF
Ð
= Ð
- Ð 求
解即可．
【详解】解：∵OE 平分
BOD
Ð
，
∴
1
DOE
Ð = Ð
，
∵
1:
2
1: 4
Ð
Ð =
，
1
180
DOE
AOD
Ð + Ð
+ Ð
=
，
∴
1
1
180
30
1 1
4
DOE
Ð = Ð
=
´
=
+ +
，
2
180
2 30
120
BOC
Ð
= Ð =
- ´
=
，
∴
1
120
30
150
COE
COB
Ð
= Ð
+ Ð =
+
=
，
∵OF 平分
COE
Ð
，
∴
1
1 150
75
2
2
EOF
COE
Ð
=
Ð
=
´
=
．
∴
1
75
30
45
BOF
EOF
Ð
= Ð
- Ð =
-
=
．
易错点5 动点问题
易错提醒
易错点总结
1. 不会用“初始位置±速度×时间”表示动点位置。
2. 运动方向判断错误，左右移动符号写反。
3. 不会用绝对值表示线段距离，漏解、错解。
4. 不分类讨论动点在起点前、线段上、终点后，导致答案不全。
注意事项总结
1. 动点万能公式：位置=初始位置±速度×时间（右加左减）。
2. 两点距离必须加绝对值，避免位置判断错误。
3. 动点题三步走：表示位置→列距离方程→分类讨论阶段。
4. 一定要检验取值范围，舍去不合理解。
【对点训练】5．如图，点A、B、C 在数轴上，点A 在点C 的左侧，点B 在点C 的右侧，线段
36
AB =
，
且
2
CA
CB
=
．动点P 从点B 出发以每秒4 个单位长度的速度沿数轴负方向运动，同时动点Q 从点C 出发
以每秒1 个单位长度的速度沿数轴负方向向终点A 运动，设点P 运动时间为t 秒：
(1) AC = ______，BC = ______；
(2)经过______秒，点P、Q 到点A 的距离相等；
(3)若动点P 到达点A 后立即以原速返回，到达点C 时停止运动，
①点P 从点A 返回过程中，当t = ____________时，PQ 相距5 个单位长度；
②点P 从点A 返回过程中，当t = ____________时，
3
AQ
PQ
=
．
【答案】(1)24，12
(2)4 或12
(3)①
11
t =
或
13
t =
；②
78
7
t =
或
51
4
t =
【分析】（1）根据线段的和差关系以及数量关系，进行求解即可；
（2）分
,
P Q 两点重合，以及
,
P Q 在点A 的两侧，两种情况进行讨论求解即可；
（3）求出点P 到达点A 时，所用时间，进而求出此时AQ 的长，再分
,
P Q 两点相遇前和相遇后，两种情况
进行讨论对①②进行求解即可.
【详解】（1）解：由题意
36
AB
AC
BC
=
+
=
，且
2
CA
CB
=
，
∴3
36
BC =
，
∴
12
BC =
，
∴
24
AC =
；
（2）解：当
,
P Q 两点重合时，则：4
12
t
t
= +
，解得
4
t =
；
当
,
P Q 在点A 的两侧时，则4
36
24
t
t
-
=
- ，解得
12
t =
；
综上：经过4 或12 秒，点P、Q 到点A 的距离相等；
（3）解：当点P 到达点A 时，所用时间为36
4
9
¸
=
秒；
此时
24
9
15
AQ
AC
CQ
=
-
=
-
=
；
点P 停止运动时所用时间为
36
24
4
15
+
¸
=
秒；
①当PQ 相距5 个单位长度时，则
4
9
9
5
15
t
t
-
+
-
+
=
或
4
9
9
15
5
t
t
-
+
-
=
+
解得
11
t =
或
13
t =
；
故当
11
t =
或
13
t =
时，PQ 相距5 个单位长度；
②当
3
AQ
PQ
=
时，则
24
3 24
4
9
t
t
t
é
ù
- =
- -
-
ë
û 或
24
3 4
9
24
t
t
t
é
ù
- =
-
-
-
ë
û ，
解得
78
7
t =
或
51
4
t =
；
故当
78
7
t =
或
51
4
t =
时，
3
AQ
PQ
=
．
易错点6 角的动态旋转问题
易错提醒
易错点总结
1. 旋转角度计算错误，分不清顺时针、逆时针的增减关系。
2. 旋转过程不分段，直接列式，漏掉多种情况。
3. 重合、垂直、平分时刻判断不准。
4. 不会用“速度×时间=旋转角度”建立方程。
注意事项总结
1. 旋转角度公式：旋转角度=角速度×时间。
2. 顺时针角度减小、逆时针角度增大，方向绝不搞反。
3. 动态旋转必须分阶段讨论：未重合、刚重合、重合后、超180°。
4. 特殊位置（垂直90°、平角180°、角平分）单独列方程求解。
【对点训练】6．如图1，点O 在直线AB 上，过点O 引一条射线OC ，使
40
AOC
Ð
=
，将一个直角三角尺
的直角顶点放在点O 处，直角边OM 在射线OB 上，另一边ON 在直线AB 的下方．
【操作一】：将图1 中的三角尺绕着点O 以每秒15的速度按顺时针方向旋转，当它完成旋转一周时停止，
设旋转的时间为t 秒．
(1)
BOC
Ð
的度数是__________．
(2)三角尺的边OM 旋转的度数可表示为__________（用含t 的代数式表示）；当t = __________时，
90
COM
Ð
=
．
【操作二】：如图2，射线OE 与射线OC 重合．如图3，在三角尺绕着点O 以每秒15的速度按顺时针方向
旋转的同时，射线OE 绕点O 以每秒5的速度按顺时针方向旋转，当三角尺完成旋转一周时停止，射线OE
也停止旋转，设旋转的时间为t 秒．
(3)当t 为何值时，
90
EOM
Ð
=
，并说明理由？
(4)试探索：在三角尺与射线OE 旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得
3
COE
COM
Ð
= Ð
？若存在，请求
出所有满足题意的t 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)140
(2)15t；10 s
3
或46 s
3
(3)5s 或23s 理由如下：根据题意，得
15
BOM
t
Ð
=
，
5
EOC
t
Ð
=
，
90
BOC
BOM
COE
\Ð
- Ð
+ Ð
=
，
140 15
5
90
t
t
\
-
+
=
，
解得
5 s
t =
；
根据题意，得
15
BOM
t
Ð
=
，
5
EOC
t
Ð
=
，
90
BOM
BOC
COE
\Ð
- Ð
- Ð
=
15
5
140
90
t
t
\
-
-
=
，
解得
23
t
s
=
；
(4)存在；42 s
5
或21s
2
【分析】（1）根据
180
BOC
AOC
Ð
+ Ð
=
，解答即可．
（2）分
90
COM
Ð
=
且OM 在AB 的上方，
90
COM
Ð
=
且OM 在AB 的下方，两种情况求解．
（3）根据题意，得140 15
5
90
t
t
-
+
=
，或15
5
140
90
t
t
-
-
=
，求解即可；
（4）当OM 在OC 的左侧时，此时
COM
AOC
BOM
Ð
= Ð
- Ð
，根据题意，得
3 140 15
5
t
t
-
=
，当OM 在OC
的右侧时，此时
COM
BOM
BOC
-
Ð
= Ð
Ð
，根据题意，得
3 15
140
5
t
t
-
=
，求解即可．
【详解】（1）解：根据题意，得
180
BOC
AOC
Ð
+ Ð
=
，且
40
AOC
Ð
=
，
故
180
140
BOC
AOC
Ð
=
- Ð
=
;
（2）解：三角尺绕着点O 以每秒15的速度按顺时针方向旋转，旋转的时间为t 秒，
故旋转角
15
BOM
t
Ð
=
．
当
90
COM
Ð
=
且OM 在AB 的上方时，
根据题意，得
180
BOM
COM
AOC
Ð
+ Ð
+ Ð
=
，
40
AOC
Ð
=
，
180
50
BOM
COM
AOC
\Ð
=
- Ð
- Ð
=
，
15
50
t
\
=
，
解得
10 s
3
t =
；
当
90
COM
Ð
=
且OM 在AB 的下方时，
根据题意，得
90
AOM
AOC
COM
Ð
+ Ð
= Ð
=
，
40
AOC
Ð
=
，
90
50
AOM
AOC
\Ð
=
- Ð
=
，
15
180
50
t
\
-
=
，
解得
46
3
t
s
=
；
（3）略
（4）解：根据题意，当OM 在OC 的左侧时，
此时
COM
BOC
BOM
Ð
= Ð
- Ð
，
根据题意，得
3 140 15
5
t
t
-
=
，
整理，得420
45
5
t
t
-
=
，
解得
42
5
t
s
=
；
当OM 在OC 的右侧时，
此时
COM
BOM
BOC
-
Ð
= Ð
Ð
，
根据题意，得
3 15
140
5
t
t
-
=
，
整理，得45
420
5
t
t
-
=
，
解得
21
2
t
s
=
；
故当t 为42 s
5
或21s
2
时，
3
COE
COM
Ð
= Ð
;
一、单选题
1．若A ，B ，C 三点在同一条直线上，线段
12 cm
AB =
，
4 cm
BC =
，点E ，F 分别是线段AB ，BC 的中
点，则线段EF 的长为（ ）
A．8 cm
B．4 cm
C．8 cm 或2 cm
D．8 cm 或4 cm
【答案】D
【分析】由于A ，B ，C 三点共线，但点C 的位置不确定，需分两种情况讨论求解．
【详解】解：∵E 是AB 的中点，
12 cm
AB =
，
∴
1
6 cm
2
EB
AB
=
=
，
∵F 是BC 的中点，
4 cm
BC =
，
∴
1
2 cm
2
BF
BC
=
=
，
分两种情况讨论：
情况1：点C 在AB 的延长线上，即点B 在A ，C 之间，
∴
6
2
8 cm
EF
EB
BF
=
+
=
+
=
；
情况2：点C 在线段AB 上，即点C 在A ，B 之间，
∴
6
2
4 cm
EF
EB
BF
=
-
=
-
=
．
综上，EF 的长为8 cm 或4 cm ．
2．下列图形是正方体的展开图的有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】D
【分析】根据平面图形的折叠及正方体的展开图解题．
【详解】解：一、二、三、四图能折叠成正方体，共4 个．
3．一个正方体切掉一个角后，剩下的几何体顶点的个数是（ ）
A．7 或8
B．8 或9
C．7 或8 或9
D．7 或8 或9 或10
【答案】D
【分析】正方体原有8 个顶点，根据切割面经过原正方体顶点的不同情况分类讨论，即可得到剩下几何体
的顶点个数．
【详解】解：∵正方体原有8 个顶点，切掉一个角可分4 种情况讨论，
①当切割面经过原正方体的3 个顶点时，切掉1 个原顶点，无新增顶点，
∴顶点个数为 8 1
7
- =
；
②当切割面经过被切掉角所在的三条棱中的两个顶点和第三条棱上的一个非顶点时，切掉1 个原顶点，新增1
个顶点，
∴顶点个数为 8 1 1
8
- + =
；
③当切割面经过被切掉角所在的三条棱中的一个顶点和另外两条棱上的两个非顶点时，切掉1 个原顶点，新增
2 个顶点，
∴顶点个数为 8 1
2
9
- +
=
；
④当切割面与被切掉角所在的三条棱相交于三个非顶点时，切掉1 个原顶点，新增3 个顶点，
∴顶点个数为 8 1 3
10
- +
=
；
∴剩下几何体顶点的个数是7 或8 或9 或10，
故选：D．
4．如图，点A 、B 、C 、D 在同一射线上，
12
AB =
，线段CD(点C 在点D 的左边)长度为5，线段CD从点
C 与A 重合开始，沿射线AB 向右运动，其速度为每秒2 个单位长度，运动时间为t 秒．下列说法正确的是
（ ）
①若
7
CB =
，则
2.5
t =
②若点C 和点D 均在线段AB 上，且
:
3: 4
AC BD =
，则
1.5
t =
③若点M 是CD的中点，点N 是AB 的中点，当
1
MN = 时，
1.25
t =
或2.25
④若点C 在AB 延长线上，点E 是AC 的中点，点F 是BD 的中点，EF 为定值
A．①③
B．②④
C．③④
D．②③④
【答案】D
【分析】对于①，需分点C 在线段AB 上和AB 延长线上两种情况，用线段和差表示CB 并列方程，根据解
的个数判断正误；对于②，先根据C 、D 均在线段AB 上确定t 的取值范围，再用t 表示AC 和BD 的长度，
结合比例关系列方程求解并验证解是否符合范围；对于③，利用线段中点的性质分别表示出AN 和AM 的
长度，由
1
MN = 得到绝对值方程，求解方程即可得到t 的值；对于④，先根据点C 在AB 延长线上确定t 的
取值范围，再依次利用中点性质表示出AE 、BD 、BF 、AF 的长度，最后通过线段和差计算EF 的长度，
判断其是否为定值．
【详解】解：对于①，分两种情况：
当点C 在线段AB 上时，
12
2
7
CB
AB
AC
t
=
-
=
-
=
，解得
2.5
t =
；
当点C 在AB 延长线上时，
2
12
7
CB
AC
AB
t
=
-
=
-
=
，解得
9.5
t =
；
故①中t 有两个解，①错误；
对于②，Q点C 、D 均在线段AB 上，
AC
CD
AB
\
+
£
，即2
5
12
t +
£
，解得
3.5
t £
，
此时
2
AC
t
=
，
12
2
5
7
2
BD
AB
AC
CD
t
t
=
-
+
=
-
+
=
-
，
由
:
3: 4
AC BD =
得
4 2
3 7
2
t
t
´
=
-
，
解得
1.5
t =
，符合
3.5
t £
，故②正确；
对于③，
12
AB =
，N 是AB 中点，
6
AN
\
=
，
2
AC
t
=
Q
，
5
CD =
，
2
5
AD
t
\
=
+
，
M
Q
是CD中点，
∴
2.5
CM =
，
2
2.5
AM
AC
CM
t
\
=
+
=
+
，
由
1
MN = 得
6
2
2.5
1
t
-
+
= ，即3.5
2
1
t
-
= ，
当3.5
2
1
t
-
= 时，2
2.5
t =
，解得
1.25
t =
；
当3.5
2
1
t
-
= - 时，2
4.5
t =
，解得
2.25
t =
；
故
1.25
t =
或2.25 ，③正确；
对于④，Q点C 在AB 延长线上，
2
12
t
\
>
，即
6
t >
，
∵E 是AC 中点，
2
2
t
AE
t
\
=
= ，
∵
2
5
AD
AC
CD
t
=
+
=
+ ，
12
AB =
，
∴
2
7
BD
AD
AB
t
=
-
=
-
．
∵F 是BD 中点，
2
7
3.5
2
t
BF
t
-
\
=
= -
，
∴
12
3.5
8.5
AF
AB
BF
t
t
=
+
=
+ -
= +
，
8.5
8.5
EF
AE
AF
t
t
\
=
-
=
+
-
=
，是定值，故④正确；
综上，②③④正确，故选：D．
5．如图，线段AB 表示一根对折以后的绳子，现从P 处把绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段是
8cm ．若
1
2
AP
PB
=
，则这条绳子的原长为（ ）cm ．
A．24 或16
B．16或12
C．24 或12
D．12或32
【答案】C
【分析】本题考查了线段的和与差，分①当PB 的2 倍最长时，即以对折点为B ，②当AP 的2 倍最长时，
即以对折点为A ，两种情况求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：①如图，当PB 的2 倍最长时，即以对折点为B ，得2
8
PB =
，
∴
4
PB =
，
∴
1
2
2
AP
PB
=
=
，
∴
2
4
6 cm
AB
AP
PB
=
+
=
+
=
，
∴这条绳子的原长为
2
2 6
12 cm
AB =
´
=
；
②如图，当AP 的2 倍最长时，即以对折点为A ，得2
8
AP =
，
∴
4
AP =
，
∵
1
2
AP
PB
=
，
∴
2
8cm
PB
AP
=
=
，
∴
4
8
12 cm
AB
AP
PB
=
+
=
+
=
，
∴这条绳子的原长为
2
2 12
24 cm
AB =
´
=
，
综上，这条绳子的原长为12cm 或24cm ，
故选：C ．
二、填空题
6．如图是一些由棱长为1的小正方体木块叠放成的几何体，其中第一个几何体的表面积为6 ，按照图中的
叠放规律，第五个几何体的表面积为______．
【答案】38
【分析】观察图形得到几何体的表面积依次增加8，得到第五个几何体的表面积，进行解答，即可．
【详解】解：第一个几何体的表面积为：6 ；
第二个几何体的表面积为：14；
第三个几何体的表面积为：22 ；
∴几何体的表面积依次增加8；
∴第五个几何体的表面积为：22
8
8
38
+ +
=
．
7．如图，在同一平面内，已知直角三角板一边CD在直线AB 上，另外两边在直线AB 上方，且
60
DCE
Ð
=
，
90
E
Ð
=
．过点C 作射线CF ，使得
1
4
ECF
DCE
Ð
=
Ð
，再过点C 作射线CM
CN
、
，使得
90
FCM
Ð
=
° ，CN 平分
DCM
Ð
，则
BCN
Ð
的度数为______．
【答案】97.5或112.5或157.5或172.5
【分析】根据题意求出
ECF
Ð
的度数，进而得到
DCF
Ð
的度数，再分射线CF 在
DCE
Ð
内部和外部及射线
CM 在直线AB 上方和下方四种情况解答即可．
【详解】解：
60
DCE
Ð
=
Q
，
1
4
ECF
DCE
Ð
=
Ð
，
1
60
15
4
ECF
Ð
\
=
´
=
，
当射线CF 在
DCE
Ð
内部时，则
60
15
45
DCF
DCE
ECF
Ð
Ð
Ð
=
-
=
-
=
，
90
FCM
Ð
=
Q
，
∴分两种情况讨论：①当射线CM 在直线AB 上方时，如图，
则
45
90
135
DCM
DCF
FCM
Ð
Ð
Ð
=
+
=
+
=
，
CN
Q
平分
DCM
Ð
，
1
1 135
67.5
2
2
DCN
DCM
Ð
Ð
\
=
=
´
=
，
180
180
67.5
112.5
BCN
DCN
Ð
Ð
\
=
-
=
-
=
；
②当射线CM 在直线AB 下方时，如图，
则
90
45
45
DCM
FCM
DCF
Ð
Ð
Ð
=
-
=
-
=
，
CN
Q
平分
DCM
Ð
，
1
1
45
22.5
2
2
DCN
DCM
Ð
Ð
\
=
=
´
=
，
180
180
22.5
157.5
BCN
DCN
Ð
Ð
\
=
-
=
-
=
；
当射线CF 在
DCE
Ð
外部时，则
60
15
75
DCF
DCE
ECF
Ð
Ð
Ð
=
+
=
+
=
，
90
FCM
Ð
=
Q
，
∴分两种情况讨论：①当射线CM 在直线AB 上方时，如图，
则
75
90
165
DCM
DCF
FCM
Ð
Ð
Ð
=
+
=
+
=
，
CN
Q
平分
DCM
Ð
，
1
1 165
82.5
2
2
DCN
DCM
Ð
Ð
\
=
=
´
=
，
180
180
82.5
97.5
BCN
DCN
Ð
Ð
\
=
-
=
-
=
；
② 当射线CM 在直线AB 下方时，如图，
则
90
75
15
DCM
FCM
DCF
Ð
Ð
Ð
=
-
=
-
=
，
CN
Q
平分
DCM
Ð
，
1
1 15
7.5
2
2
DCN
DCM
Ð
Ð
\
=
=
´
=
，
180
180
7.5
172.5
BCN
DCN
Ð
Ð
\
=
-
=
-
=
；
综上所述，
BCN
Ð
的度数为97.5或112.5或157.5或172.5．
8．如图，已知
2
AOC
BOC
Ð
= Ð
，
BOC
Ð
比
AOC
Ð
的余角大30o，过点O 作射线OD ，使
4
AOC
AOD
Ð
= Ð
，
则
DOB
Ð
的度数为________．
【答案】100或140
【分析】设
BOC
x
Ð
=
，则
2
AOC
x
Ð
=
，根据题意列方程求出
40
BOC
Ð
=
，然后分两种情况：①当射线OD
在
AOC
Ð
内部；②当射线OD 在
AOC
Ð
外部，分别求出
DOB
Ð
的度数即可．
【详解】解：设
BOC
x
Ð
=
，则
2
AOC
x
Ð
=
，
依题意得：90
2
30
x
x
-
=
-
，
解得
40
x =
，
即
40
BOC
Ð
=
，
∴
2
80
AOC
x
Ð
=
=
，
∴
120
AOB
AOC
BOC
Ð
= Ð
+ Ð
=
，
∵
4
AOC
AOD
Ð
= Ð
，
∴
20
AOD
Ð
=
，
分两种情况讨论：
①当射线OD 在
AOC
Ð
内部时，
120
20
100
BOD
AOB
AOD
Ð
= Ð
- Ð
=
-
=
；
②当射线OD 在
AOC
Ð
外部时，
120
20
140
BOD
AOB
AOD
Ð
= Ð
+ Ð
=
+
=
；
综上所述，
BOD
Ð
的度数为100或140．
9．如图1，C 是线段AB 上一点，
:
3: 4
AC BC =
，现以点C 为对折点，将线段向右对折，得到图2，P 是CB
中点，沿点P 将线段剪断，使得原线段被剪成三条，则这三条线段长度从小到大的比为______．
【答案】1: 2: 4
【分析】设
3 ,
4
AC
x BC
x
=
=
，折叠得到
3
A C
x
¢
=
，中点得到
2
PC
BP
x
=
=
，进而得到A B
x
¢
=
，
x
A P
¢
=
，
剪成3 条，3 条线段的长度分别为
,
,
A P BP BC
¢
的长，即可得出结果．
【详解】解：∵
:
3: 4
AC BC =
，
∴
3 ,
4
AC
x BC
x
=
=
，
∵对折，
∴
3
A C
x
¢
=
，
∵P 是CB 中点，
∴
2
PC
BP
x
=
=
，
∴A B
BC
A C
x
¢
¢
=
-
=
，
∴A P
BP
A B
x
¢
¢
=
-
=
，
由题意，3 条线段从小到大的长度分别为
,
,
A P BP BC
¢
的长，
故这三条线段长度从小到大的比为
: 2 : 4
1: 2: 4
x
x
x =
．
10．将直角三角板的直角顶点O 落在直线AB 上，射线OE 平分
BOC
Ð
．
（1）如图，如果
60 ,
AOC
EOD
=
=
Ð
Ð
__________．
（2）如果
AOC
a
Ð
=
，将三角板绕点O 旋转一周（旋转过程中
AOC
Ð
与
BOC
Ð
度数都是大于0且小于180
的角），
EOD
Ð
的度数为__________．（用含a 的代数式表示）．
【答案】
30
1
2a 或
1
180
2a
-
【分析】本题考查了角平分线的定义、邻补角等知识点，熟练掌握角平分线定义以及分类讨论思想是解题
的关键．
（1）根据补角的定义求出
BOC
Ð
，再根据角平分线的定义求出
COE
Ð
，结合三角板的度数计算即可；
（2）分OC 在AB 上方和下方两种情况，分别运用角平分线的定义以及角的和差即可解答．
【详解】解：（1）由题意可知：
90
COD
Ð
=
，
∵
60
AOC
Ð
=
，
∴
180
120
BOC
AOC
Ð
=
- Ð
=
，
∵射线OE 平分
BOC
Ð
．
∴
1
60
2
COE
BOC
Ð
=
Ð
=
，
∴
30
EOD
COD
COE
= Ð
- Ð
=
Ð
．
故答案为：30．
（2）①如图：当OC 在AB 上方时，同（1）可得：
1
2
EOD
Ð
=
a ；
②如图：当OC 在AB 下方时，
∵
90
COD
Ð
=
，
180
BOC
a
\Ð
=
-
，
∵射线OE 平分
BOC
Ð
．
∴
1
1
90
2
2
COE
BOC
a
Ð
=
Ð
=
-
，
∴
1
1
90
90
90
180
2
2
DOE
COE
Ð
=
+ Ð
=
+
-
=
-
a
a ．
故答案为：1
2a 或
1
180
2a
-
．
三、解答题
11．如图，已知点C 为线段AB 上一点，
12
AC
cm
=
，
8
CB
cm
=
， D 、E 分别是AC 、AB 的中点．
(1)求DE 的长度．
(2)若M 在直线AB 上，且
6
MB
cm
=
，求AM 的长度．
【答案】(1)4cm
(2)14cm或26cm
【分析】（1）根据AC 和CB 的长度计算AB 的长度，再利用D 、E 分别是AC 、AB 的中点计算出AD 和
AE ，再算计DE 即可．
（2）分类讨论点M 的位置，分别计算AM 的长度即可．
【详解】（1）解：∵点C 为线段AB 上的点，
∴AB
AC
CB
=
+
，
∵
12
AC
cm
=
，
8
CB
cm
=
，
∴
12
8
20
AB
cm
=
+
=
，
∵D 、E 分别是AC 、AB 的中点，
∴
1
6
2
AD
AC
cm
=
=
，
1
10
2
AE
AB
cm
=
=
，
∵
=
-
DE
AE
AD ，
∴
10
6
4
DE
cm
=
-
=
．
（2）解：点M 在直线AB 上
①当点M 在点A 、B 之间时，如图，
由（1）可知
20
AB
cm
=
，
6
MB
cm
=
，
∵AB
AM
MB
=
+
，
∴
=
-
AM
AB
MB ，
∴
20
6
14
AM
cm
=
-
=
．
②当点M 在直线AB 延长线上时，如图，
∵
20
AB
cm
=
，
6
MB
cm
=
∴
=
+
AM
AB
MB
∴
20
6
26
AM
cm
=
+
=
．
综上所述，AM 的长度为14cm或26cm ．
12．如图，若干个大小相同的小立方块搭成的几何体．
(1)这个几何体由________个小立方块搭成；
(2)从正面、上面、左面观察该几何体，分别画出你所看到的几何体的形状图．
【答案】(1)5
(2)如图，
【分析】（1）分层数出几何体每层小立方块数量，相加得到总个数．
（2）分别从正面、上面、左面观察几何体，确定每一行每一列正方形的分布，画出对应形状图．
【详解】（1）解：由图可得底层：4 个，第二层：1 个；
故构成这个几何体的小立方块的个数为：4 1
5
+ =
（个）；
（2）略
13．如图，已知
140
AOB
Ð
=
，
COE
Ð
与
EOD
Ð
互余，OE 平分
AOD
Ð
．
(1)若
40
COE
Ð
=
，求
DOE
Ð
和
BOD
Ð
；
(2)设
COE
BOD
a
b
Ð
=
Ð
=
，
，试探究α 与β 之间的数量关系．
【答案】(1)
50
DOE
Ð
=
，
40
BOD
Ð
=
(2)
2
40
b
a
=
-
【分析】（1）由
COE
Ð
与
EOD
Ð
互余求出
DOE
Ð
的度数，由角平分线的定义求出
AOD
Ð
的度数，进而可得
BOD
Ð
的度数；
（2）根据互余的定义，用含α 的式子表示出
EOD
Ð
的度数，再根据角平分线的定义求得
AOD
Ð
的度数，进
而找到α 与β 之间的数量关系．
【详解】（1）解：∵
COE
Ð
与
EOD
Ð
互余，
40
COE
Ð
=
，
∴
90
40
50
EOD
Ð
=
-
=
．
∵OE 平分
AOD
Ð
，
∴
2
100
AOD
EOD
Ð
= Ð
=
，
∵
140
AOB
Ð
=
，
∴
140
100
40
BOD
AOB
AOD
Ð
= Ð
- Ð
=
-
=
．
（2）解：∵
COE
a
Ð
=
，且
COE
Ð
与
EOD
Ð
互余，
∴
90
EOD
a
Ð
=
-
．
∵OE 平分
AOD
Ð
，
∴
2
2 90
AOD
EOD
a
Ð
= Ð
=
-
．
∵
140
AOB
Ð
=
，
∴
140
BOD
AOD
Ð
+ Ð
=
，
∴
2 90
140
b
a
+
-
=
，即
2
40
b
a
=
-
．
∴α 与β 之间的数量关系是
2
40
b
a
=
-
．
14．如图1，
AOB
a
Ð
=
，
COD
b
Ð
=
，OM ，ON 分别是
AOC
Ð
，
BOD
Ð
的角平分线．
(1)若
50
AOB
Ð
=
，
30
COD
Ð
=
，当
COD
Ð
绕着点O 逆时针旋转至射线OB 与OC 重合时（如图2 ），则
MON
Ð
的大小为 ；
(2)在（1）的条件下，继续绕着点O 逆时针旋转
COD
Ð
，当
10
BOC
Ð
=
时（如图3），求
MON
Ð
的大小并
说明理由；
(3)在
COD
Ð
绕点O 逆时针旋转过程中，
MON
Ð
= ．（用含a ，b 的式子表示）．
【答案】(1)40
(2)40，见解析
(3)
2
a
b
+
或180
2
a
b
+
-
【分析】（1）根据角平分线的定义、角的和差关系进行解答即可；
（2）根据角平分线的定义、角的和差关系进行解答即可；
（3）根据题意，分两种情况进行讨论即可．
【详解】（1）解：如图2 ，
∵OM ，ON 分别是
AOC
Ð
，
BOD
Ð
的角平分线，
∴
1
2
BOM
AOB
Ð
=
Ð
，
1
2
BON
BOD
Ð
=
Ð
，
∴
1
1
1 (
)
2
2
2
MON
BOM
BON
AOB
BOD
AOB
BOD
Ð
= Ð
+ Ð
=
Ð
+
Ð
=
Ð
+ Ð
．
又∵
50
AOB
Ð
=
，
30
COD
Ð
=
，即
30
BOD
Ð
=
，
∴
1
1
(
)
(50
30 )
40
2
2
MON
AOB
BOD
Ð
=
Ð
+ Ð
=
´
+
=
．
（2）解：如图3，
∵
10
30
40
BOD
BOC
COD
Ð
= Ð
+ Ð
=
+
=
，ON 平分
BOD
Ð
，
∴
1
1
40
20
2
2
BON
BOD
Ð
=
Ð
=
´
=
．
∵
10
50
60
AOC
BOC
AOB
Ð
= Ð
+ Ð
=
+
=
，OM 平分
AOC
Ð
，
∴
1
1
60
30
2
2
COM
AOC
Ð
=
Ð
=
´
=
，
∴
30
10
20
BOM
COM
BOC
Ð
= Ð
- Ð
=
-
=
．
∴
20
20
40
MON
MOB
BON
Ð
= Ð
+ Ð
=
+
=
．
（3）解：如图1，2 ，3，
∵
AOB
a
Ð
=
，
COD
b
Ð
=
，OM ，ON 分别是
AOC
Ð
，
BOD
Ð
的角平分线，
∴易得
1
1
1 (
)
2
2
2
MON
a
b
a
b
Ð
=
+
=
+
；
同理，当
AOB
Ð
是钝角且
COD
Ð
的两边都不在
AOB
Ð
内部时，
1
180
(
)
2
MON
a
b
Ð
=
-
+
；
故答案是：
2
a
b
+
或180
2
a
b
+
-
．
15．已知直角三角板ABC 中，
60
BAC
Ð
=
，
90
ABC
Ð
=
，将三角板ABC 绕着点A 旋转得到
'
'
AB C
V
，旋转
角记为
a
Ð
．
(1)当旋转方向为逆时针方向，且
75
a
Ð
=
时（如图1），求
'B AC
Ð
和
'
BAC
Ð
的大小；
(2)当旋转方向为逆时针方向，且
90
a
Ð
=
时，在图2 中，画出旋转得到的
'
'
AB C
V
；
(3)当
a
< Ð
<
0
90 时．
①若
'
'
3
BAC
BAB
Ð
= Ð
，求
a
Ð
的度数．
②如图3，当旋转方向为逆时针方向时，点D 为BC 上一点，
'
1
3
CAD
C AC
Ð
=
Ð
，在旋转过程中，若
'
C AD
Ð
与
BAD
Ð
始终满足
'
m C AD
BAD
Ð
- Ð
为定值，求常数m 的值．
【答案】(1)
'
135
BAC
Ð
=
o ，
'
15
B AC
Ð
=
o ；
(2)见解析；
(3)①15o 或30o；②
1
4
-
．
【分析】（1）由旋转的性质可得，
'
75
BAB
a
Ð
=
=
，
'
'
60
B AC
BAC
Ð
= Ð
=
，进而根据角的和差关系即可求
解；
（2）根据题意画出图形即可；
（3）①分逆时针方向旋转和顺时针方向旋转两种情况，分别画出图形解答即可求解；②由旋转的性质得
'
'
C AC
B AB
a
Ð
= Ð
= Ð
，即得
'
1
1
3
3
CAD
C AC
a
Ð
=
Ð
=
Ð
，进而可得
1
60
3
BAD
CAB
CAD
a
Ð
= Ð
- Ð
=
-
Ð
，
'
'
4
3
C AD
C AC
CAD
a
Ð
= Ð
+ Ð
=
Ð
，即得到
4
1
60
3
3
m C AD
BAD
m
a
æ
ö
Ð
- Ð
=
+
Ð
-
ç
÷
è
ø
¢
，即可得4
1
0
3
3
m +
=
，求
出m 的值即可求解．
【详解】（1）解：∵将三角板ABC 绕着点A 旋转得到
'
'
AB C
V
，
'
75
BAB
a
\Ð
=
=
，
'
'
60
B AC
BAC
Ð
= Ð
=
，
'
'
15
B AC
BAB
BAC
\Ð
= Ð
- Ð
=
，
'
'
'
'
135
BAC
BAB
B AC
Ð
= Ð
+ Ð
=
；
（2）解：如图，把AB
AC
，
绕点A 逆时针旋转90，得到
'
AB 和
'
AC ，
连接
'
'
B C ，得到
'
'
AB C
V
，
'
'
AB C
V
即为所求作；
（3）解：①如图，当旋转方向为逆时针方向时，
'
60
BAC
a
Ð
= Ð
+
，
'
BAB
a
Ð
= Ð
，
'
'
3
BAC
BAB
Ð
= Ð
Q
，
60
3
a
a
+
\Ð
= Ð
，
解得
30
a
Ð
=
；
当旋转方向为顺时针方向时，
'
60
BAC
a
=
Ð
- Ð
，
'
BAB
a
Ð
= Ð
，
'
'
3
BAC
BAB
\Ð
= Ð
，
60
3
a
a
\
-
=
Ð
Ð
，
解得
15
a
Ð
=
；
综上，
a
Ð
的度数为15或30；
②由旋转性质可得，
'
'
C AC
B AB
a
Ð
= Ð
= Ð
，
'
1
1
3
3
CAD
C AC
a
Ð
=
Ð
=
Ð
Q
，
60
CAB
Ð
=
，
1
60
3
BAD
CAB
CAD
a
\Ð
= Ð
- Ð
=
-
Ð
，
'
'
1
4
3
3
C AD
C AC
CAD
a
a
a
Ð
= Ð
+ Ð
= Ð
+
Ð
=
Ð
，
4
1
4
1
60
60
3
3
3
3
m C AD
BAD
m
m
a
a
a
æ
ö
\ Ð
- Ð
=
×
Ð
-
+
Ð
=
+
Ð
-
ç
÷ø
¢
è
，
'
C AD
Ð
Q
与
BAD
Ð
始终满足
'
m C AD
BAD
Ð
- Ð
为定值，
4
1
0
3
3
m
\
+
=
，
解得
1
4
m
-
=
，
\常数m 的值为
1 .
4
-
