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第二章 有理数的运算
知识点一 有理数的加法
1.
加法法则
① 同号两数相加：符号不变，绝对值相加；
② 异号两数相加：绝对值不等，取绝对值较大数的符号，用大绝对值减小绝对值；绝对值相等和
为 0；
③ 一个数加 0，仍等于这个数。
2.
运算律
加法交换律：𝑎+ 𝑏= 𝑏+ 𝑎
加法结合律：(𝑎+ 𝑏) + 𝑐= 𝑎+(𝑏+ 𝑐)
3.
解题思路：先判断符号，再计算绝对值，可分组凑整简化计算。
知识点二 有理数的减法
1.
统一转化为加法：𝐚― 𝐛= 𝐚+ ( ― 𝐛)
2.
两步变形：减号变加号，减数变为自身相反数；
3.
转化完成后，直接套用有理数加法法则计算。
知识点三 有理数的乘法
1.
两数相乘法则：同号得正，异号得负，绝对值相乘；任何数乘 0 得 0。
2.
多个有理数相乘：负因数个数为偶数，积为正；负因数个数奇数，积为负；含 0 则乘积为 0。
3.
运算律：交换律、结合律、乘法分配律 𝑎(𝑏+ 𝑐) = 𝑎𝑏+ 𝑎𝑐。
知识点四 有理数的除法
1.
除法转化乘法：除以一个不为 0 的数，等于乘这个数的倒数；
2.
符号规则：同号相除得正，异号相除得负；0 除以任意非 0 有理数结果为 0；
3.
硬性规定：0 不能作为除数，无意义。
知识点五 有理数的乘方
1.
概念：𝑎𝑛 表示 𝑛 个 𝑎 连续相乘，𝑎 底数，𝑛 指数，结果叫幂；
2.
符号判定：
正数任意次幂都是正数；
负数偶数次幂为正，奇数次幂为负；
0 的正整数次幂等于 0；
3.
混合运算优先级：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号内。
知识点六 科学记数法与近似数
（1）科学记数法
标准形式：𝑎× 10𝑛，要求 1 ≤|𝑎| < 10
- 大于 10 的大数：𝑛= 整数位数 ― 1；
- 小于 1 的正小数：𝑛 是负整数，绝对值等于第一个非零数字前面所有 0 的个数。
（2）近似数
1.
精确度两种表述：精确到某一位、保留 𝑘 位小数；
2.
有效数字：从左边第一个不为 0 的数字开始，到末尾全部数字都是有效数字；
3.
题型：根据精确度取近似值、判断近似数精确位数、统计有效数字个数。
易错点1 含乘方的有理数的混合运算问题
易错提醒
一、核心易错点
1. 混淆
n
a
-
与(
)n
a
-
：误以为两者结果一致，实际
n
a
-
是 a 的 n 次方的相反数，(
)n
a
-
是整体负数乘
方。
2. 乘方、乘除、加减运算顺序混乱：随意颠倒顺序，优先算加减、后算乘方，违背运算法则。
3. 负数、分数的乘方漏加括号：如
2
1
2
æ
ö
-ç
÷
è
ø
错误计算为1
4 ，忽略负号不参与乘方。
4. 多层符号化简出错，奇偶次幂符号判断失误，负数奇次幂为负、偶次幂为正记混。
二、解题注意事项
1. 牢记运算优先级：先乘方→再乘除→最后加减，有括号先算括号内。
2. 严格区分有无括号：单独数字无括号，乘方只作用于数字；带括号则整体参与乘方。
3. 先定符号，再算数值：所有乘方运算，先判断正负，再计算绝对值，避免符号丢分。
4. 分数、负数乘方必须加括号，杜绝书写不规范导致的计算错误。
【对点训练】1．计算：
(1)
3
2
4
1
1
2
3
2
æ
ö
-
+ -
¸ -
- -
ç
÷
è
ø
(2)
2
48
6
5
4
2
-
¸ - -
´ -
+ -
(3)
3
2
1
2
3
6
3
æ
ö
-
´ -
- -
¸ -
ç
÷
è
ø
【答案】(1)6
(2) 24
-
(3) 90
-
【详解】（1）解：
3
2
4
1
1
2
3
2
æ
ö
-
+ -
¸ -
- -
ç
÷
è
ø
1
1
8
9
2
=
æ
ö
- + -
¸ -
-
ç
÷
è
ø
1 16
9
= - +
-
6
=
（2）解：
2
48
6
5
4
2
-
¸ - -
´ -
+ -
8
20
4
= - -
+
24
= -
（3）解：
3
2
1
2
3
6
3
æ
ö
-
´ -
- -
¸ -
ç
÷
è
ø
8
9
6
3
= -
´ - -
´ -
72 18
= -
-
90
= -
易错点2 程序流程图与有理数的混合运算
易错提醒
一、核心易错点
1. 看错流程图分支条件，混淆“满足条件走哪条路、不满足走哪条路”。
2. 循环运算漏次数、多次数，未按照流程反复代入计算，直接一步得出结果。
3. 代入数值计算时，忽略符号、运算顺序，混合运算步骤出错。
4. 终止条件判断错误，未达到终止值就停止运算，或超出终止条件继续计算。
二、解题注意事项
1. 解题第一步：逐字读懂流程，标注判断条件、运算公式、终止条件。
2. 循环类流程必须分步列式，一步一计算，不跳步，避免次数错误。
3. 每次代入新数值，严格遵循有理数混合运算顺序，重点核对符号、乘方。
4. 最终结果必须验证：确认满足终止条件后再输出答案。
【对点训练】2．沫沫同学在学习了“设计自己的运算程序”综合与实践课后，设计了如图所示的运算程序，
若开始输入n 的值为3，则最后输出的结果y 是（ ）
A．63
B．3
C．64
D．8
【答案】A
【详解】解：输入n 的值为3，
23
1
8
9
- =
<
，
输入n 的值为8，
28
1
63
9
- =
>
，输出y．
易错点3 有理数的加减混合运算中的实际应用问题
易错提醒
一、核心易错点
1. 正负意义理解错误：混淆题目规定的正方向、负方向，正负号乱用。
2. 审题不全，漏加初始数值：如水位、库存、海拔问题，忘记加上初始基数。
3. 多段变化问题漏算、错算某一次变化量，加减符号写反。
4. 混淆“最终位置”和“总变化量”两个概念，答题答非所问。
二、解题注意事项
1. 解题先定规则：先圈出题目规定的正、负代表意义，统一标准。
2. 列式规范：初始量 + 所有变化量（变化量严格按正负代入）。
3. 区分两类问题：求最终状态用总和，求总变化量用绝对值之和。
4. 结果必须带实际意义作答，不可只写数字。
【对点训练】3．在货物运输过程中常希望付出的总运输成本最小，以下问题中单价均为每吨货物运输1km
需100 元．运输成本可由公式：“运输成本=货物量´距离´单价”进行计算，总运输成本为所有运输成本之
和．
（1）如图1，若有三个货运站L，M，N，初始货物量分别为L :1吨，M:10吨，
:1
N
吨，运输距离
4km
LM =
，
4km
MN =
，从M 处分别运3 吨货物至L 与N，此货运过程中总运输成本为________元．
（2）如图2，现有五个货运站A，B，C，D，E，它们的初始货物量分别为A : 2 吨，B:8 吨，C:3吨，D : 2
吨，E :5 吨，每两个货运站之间的运输距离分别为
5km
AB =
，
2km
BD =
，
5km
CD =
，
2km
AC =
，
3km
AE =
，
1km
BE =
，
4km
CE =
，
3km
DE =
，运输时仅能通过图中所示的边，若想经过若干次运输使各
货运站的货物量相等，则最小总运输成本为________元．
【答案】
2400
1600
【分析】（1）根据题意进行计算即可；
（2）先计算各货运站的货物量相等时的货物量，再按照就近原则，将货物数量多余平均值的运往货物数量
低于平均值的货运站即可．
【详解】解：（1）根据题意可得：100 3 4 100 3 4
2400
´ ´ +
´ ´
=
（元），
（2）
2
8
3
2
5
5
4
+ + +
+
¸
=
，
∵初始货物量分别为A : 2 吨，B:8 吨，C:3吨，D : 2吨，E :5 吨，
∴从B 运2 吨到D，费用2 2 100
400
´ ´
=
元，
∵B 到A 距离为5，B 先到E 再到A 距离为3 1
4
5
+ =
<
，
∴从B 运2 吨到E，费用为2 1 100
200
´ ´
=
元，
从E 运2 吨到A，费用为2 3 100
600
´ ´
=
元，
从E 运1 吨到C，费用为1 4 100
400
´ ´
=
元，
400
200
600
400
1600
+
+
+
=
元．
易错点4 有理数的混合运算中的新定义型问题
易错提醒
一、核心易错点
1. 看不懂新定义运算规则，直接套用常规加减乘除计算，完全偏离题意。
2. 代入数据错位，混淆前后数字对应的定义公式位置。
3. 多层新定义运算，未遵循“先括号内、后括号外”，运算顺序混乱。
4. 定义运算中包含乘方、负数，忽略符号和运算优先级，计算失误。
二、解题注意事项
1. 核心原则：严格照题做题，不凭固有经验计算，新定义是什么公式就用什么。
2. 先拆解公式，标注清楚前数、后数对应位置，再代入数值。
3. 多层运算从内到外逐层计算，每一层计算都遵循有理数运算法则。
4. 计算完毕回头核对：公式套用、数值代入、符号正负三步检查。
【对点训练】4．定义新运算：对于任意有理数a，b，都有
1
a
b
a a
b
Å
=
-
+ ，等式右边是通常的加法、减
法及乘法运算，比如，数字2 和5 在该新运算下结果为-5，计算如下：
2
5
2
2
5
1
Å
=
´
-
+
2
3
1
=
´ -
+
6 1
= - +
=
5
-
(1)求
2
3
-
Å 的值；
(2)对于有理数a，b，若定义运算：
a
b
a
b
a
b
-
Ä
=
+
，计算
4
3
-
Ä 的值等于____________；
(3)请你定义一种新运算，使得数字4
- 和6 在你定义的新运算下结果为20，写出你定义的新运算．
【答案】(1)11
(2)7
(3)
1
a
b
a b
= -
-
★
．
【分析】此题主要考查了定义新运算，以及有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺
序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做
括号内的运算．
（1）根据Å的含义，以及有理数的混合运算的运算方法，求出
2
3
-
Å 的值是多少即可；
（2）根据Ä的含义，以及有理数的混合运算的运算方法，求出
4
3
-
Ä 的值是多少即可；
（3）根据4 5
20
´
=
，由4
- 构造出4，由6 构造出5，写出定义的新运算即可．
【详解】（1）解：∵
1
a
b
a a
b
Å
=
-
+ ，
∴
2
3
2
2
3
1
é
ù
-
Å
= -
´
-
-
+
ë
û
2
5
1
= -
´ -
+
10 1
=
+
11
=
；
（2）解：∵
a
b
a
b
a
b
-
Ä
=
+
，
∴
4
3
7
4
3
7
4
3
1
-
-
-
-
Ä
=
=
=
-
+
-
；
故答案为：7；
（3）解：要使得数字4
- 和6 在你定义的新运算下运算的结果为20，
我定义的新运算为：
1
a
b
a b
= -
-
★
，
∴
4
6
4
6 1
4 5
20
-
= - -
´
-
=
´
=
★
，符合题意．
易错点5 有理数的混合运算中规律探究问题
易错提醒
一、核心易错点
1. 只看表面数字，找错数列、算式的变化规律。
2. 符号规律判断失误，忽略正负交替、奇偶项符号差异。
3. 归纳通项公式时，项数、指数、系数对应错误。
4. 规律总结后，未代回原式验证，答案不符合已知算式。
5. 简便运算规律不会用，依旧硬算，步骤繁琐导致计算错误。
二、解题注意事项
1. 探究规律分两步：先看符号、再看数字，分开总结规律。
2. 标注项数，对比第 1、2、3 项的变化，锁定通项特征。
3. 总结出规律后，代入前 2–3 项验证，无误再使用。
4. 灵活运用裂项、抵消、分组等简便规律，简化混合运算。
【对点训练】5．我国著名数学家华罗庚先生说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”，数形结合的思想
方法在数学中应用极为广泛．
【规律探索】请观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：
（1）在⑤后面的横线上写出相应的等式：
①
2
1
1
=
；②
2
1 3
2
+
=
；③
2
1 3
5
3
+ +
=
；④
2
1 3
5
7
4
+ +
+
=
；⑤___________；
【规律归纳】
（2）1 3
5
7
9
17
+ +
+
+
+¼+
_
=
__________；
（3）试用含有n 的式子表示这一规律：1
3
5
7
9
+
+
+
+
+¼+ ___________=
2
n （n 为正整数）；
【规律应用】
（4）请用上述规律计算：
①1 3
5
89
+ +
+
+
L
； ②101 103 105
299
+
+
+
+
L
．
【答案】（1）
2
1 3
5
7
9
5
+ +
+
+
=
；（2）
2
9 ；（3）2
1
n - ；（4）①2025 ，②20000
【分析】考查了图形的变化类问题，有理数的混合运算；
（1）根据图形结合规律直接写出答案即可；
（2）由等式可知左边是连续奇数的和，右边是数的个数的平方，由此规律解答即可；
（3）由（1）的结论可知是 n 个连续奇数的和，得出结果；
（4）①1 3
5
99
+ + +¼+
是连续50个奇数的和，直接得出结果；
②101 103 105
299
+
+
+
+
L
是连续100个奇数的和，根据结论计算得出结果
【详解】解：（1）由图片知：
第1 个图案所代表的算式为：
2
1
1
=
，
第 2 个图案所代表的算式为：
2
1 3
4
2
+
=
=
；
第3 个图案所代表的算式为：
2
1 3
5
9
3
+ +
=
=
；
第4 个图案所代表的算式为：
2
1 3
5
7
16
4
+ + +
=
=
；
依此类推：第5 个图案所代表的算式为：
2
1 3
5
7
9
5
+ +
+
+
=
故答案为：
2
1 3
5
7
9
5
+ +
+
+
=
．
（2）依此类推：第n 个图案所代表的算式为： 1 3
+ +
2
5
(2
1)
n
n
+¼+
-
=
；
当
3
n =
、4 时分别为：
2
1 3
5
7
4
+ +
+
=
、
2
1 3
5
7
9
5
+ +
+
+
=
；
故当 2
1
17
n - =
，
即
9
n =
时，
2
1 3
5
17
9
+ + +¼+
=
（3）依此类推：第n 个图案所代表的算式为：
2
1 3
5
(2
1)
n
n
-
+ + +¼+
=
；
（4）①
2
1 3
5
89
45
2025
+ + +¼+
=
=
；
②101 103 105 107
297
299
+
+
+
+¼+
+
(1 3
299)
(1 3
99)
=
+ +¼+
-
+ +¼+
2
2
150
50
=
-
20000
=
一、单选题
1．下列说法正确的是（ ）
A．0.318 精确到百分位
B．3.6 万精确到个位
C．
3
5.07 10
´
精确到十位
D．3000 精确到千位
【答案】C
【分析】本题考查近似数精确位数的判断，只需确定最后一位有效数字在原数中的位置，得到对应精确位
数后逐个判断选项即可．
【详解】解：Q近似数的精确位数由最后一位有效数字在原数中的位置决定，逐个判断选项：
A.0.318的最后一位在千分位，因此精确到千分位，原说法错误，
B.3.6万
36000
=
，6 在千位，因此精确到千位，原说法错误，
C.
3
5.07 10
5070
´
=
，7 在十位，因此精确到十位，原说法正确，
D.近似数3000的精确数位具有不确定性，故原说法错误．
2．下列各式运用运算律不正确的是（ ）
A．
4
8
8
4
-
´ = ´ -
B．
3
2
5
3
2
5
é
ù
é
ù
-
´
´ -
= -
´
´ -
ë
û
ë
û
C．
1
1
4
6
4
6
2
2
é
ù
é
ù
æ
ö
æ
ö
-
´ -
´ -
= -
´
-
´ -
ç
÷
ç
÷
ê
ú
ê
ú
è
ø
è
ø
ë
û
ë
û
D．
1
1
1
1
6
6
2
3
2
3
é
ù
æ
ö
æ
ö
-
´
+ -
= -
´
+ -
ç
÷
ç
÷
ê
ú
è
ø
è
ø
ë
û
【答案】D
【分析】根据有理数的乘法运算律进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、
4
8
8
4
-
´ = ´ -
，应用乘法交换律正确，故该选项不符合题意；
B、
3
2
5
3
2
5
é
ù
é
ù
-
´
´ -
= -
´
´ -
ë
û
ë
û ，应用乘法结合律正确，故该选项不符合题意；
C、
1
1
4
6
4
6
2
2
é
ù
é
ù
æ
ö
æ
ö
-
´ -
´ -
= -
´
-
´ -
ç
÷
ç
÷
ê
ú
ê
ú
è
ø
è
ø
ë
û
ë
û
，应用乘法结合律正确，故该选项不符合题意；
D、
1
1
1
1
6
6
2
3
2
3
é
ù
æ
ö
æ
ö
-
´
+ -
= -
´
+ -
ç
÷
ç
÷
ê
ú
è
ø
è
ø
ë
û
，该等式应用乘法分配律错误，
1
3
æ
ö
-
ç
÷
è
ø 漏乘
6
-
，故该选项符合题意．
3．如表，张老师把教室里的白板密码设置成了数学问题，某同学看到图表后思索了片刻，之后输入密码，
顺利地进入了白板页面，那么他输入的密码是（ ）
账号：wenxinzhijia
5*3*6
301848
wen
wen
Å
=
2*6*7
144256
xin
xin
Å
=
6*6*6
jia Å
= 密码
A．
666666
jia
B．
363672
jia
C．
123648
jia
D．
723672
jia
【答案】B
【分析】本题主要考查了有理数的运算，熟练掌握以上知识是解题的关键．
根据前两组运算规律，对于输入* *
a b c ，输出由a c
b c
´
´
、
及它们的和组成，组合成六位数字．
【详解】解：∵对于
5*3*6
wen Å
：5 6
30 3 6
18 30 18
48
´
=
´
=
+
=
，
，
，组成301848；
对于
2*6*7
xin Å
：2 7
14 6 7
4214
42
56
´
=
´
=
+
=
，
，
，组成144256；
∴对于
6*6*6
jia Å
：6 6
36 6 6
36 36
36
72
´
=
´
=
+
=
，
，
，组成363672；
∴密码为
363672
jia
，
故选：B．
4．在“□2□4□6□8□10□12□14□16”的“□”中填上“ + ”或“ - ”号，若运算结果为n ，则称数n 是“可被表示的
数”．例如，2
4
6
8 10 12 14 16
16
- +
+
+ +
-
-
+
=
，则称16是“可被表示的数”．下列各数中是“可被表示的数”
的是（ ）
A．30
-
B．10
-
C．30
D．60
【答案】D
【分析】本题考查了有理数的加减运算，整除．先计算所有数的总和，再根据符号变化对结果的影响，推
导可被表示的数的特征，进而判断选项．
【详解】解：∵2
4
6
8 10 12 14 16
72
+
+
+ +
+
+
+
=
，
设被改为“ - ”号的数的和为k ，则运算结果
72
2
n
k
=
-
，
∵所有数均为偶数，偶数的和为偶数，即k 为偶数，
∴2k 是4 的倍数，又72 是4 的倍数，
∴
72
2
n
k
=
-
必为4 的倍数，
A．30
-
不是4 的倍数，不符合要求，
B．10
-
不是4 的倍数，不符合要求，
C．30不是4 的倍数，不符合要求，
D．60 是4 的倍数，符合条件，
故选：D．
5．按如图所示的程序运算，若输入x 的值是15，第1次输出的结果是18，则第2026 次输出的结果是（ ）
A．3
B．4
C．6
D．10
【答案】B
【分析】本题考查程序流程图与有理数的计算，数字类规律探究．关键是按照流程图正确的列出算式进行
计算；计算出前几次的输出结果，概括出数字规律，作答即可．
【详解】解：输入x 的值是15，第1次输出的结果是18；
第2 次输出的结果是1 18 1
10
2 ´
+ =
；
第3次输出的结果是1 10 1
6
2 ´
+ =
；
第4 次输出的结果是1
6 1
4
2 ´ + =
；
第5次输出的结果是1
4 1
3
2 ´ + =
；
第6 次输出的结果是3
3
6
+
=
；
第7 次输出的结果是1
6 1
4
2 ´ + =
；
第8次输出的结果是1
4 1
3
2 ´ + =
；
……
由此可见，从第3次起，分别为：6,4,3，6,4,3,……，三个一循环，
∵2026
2
674
2
3
-
=
¼¼ ，
∴余数为2 ，
∴第2026 次输出的结果和循环中的第二个数相同为：4 ．
故选：B．
6．计算
2025
2024
0.25
4
-
´ -
的结果是（ ）．
A．
1
4
-
B．1
4
C．4
-
D．4
【答案】A
【分析】本题考查有理数乘方的意义，通过拆分指数将原式转化为可利用乘方意义进行计算的形式，进而
简便计算．
【详解】解：∵
2025
2024
0.25
0.25
0.25
-
= -
´ -
，
∴原式
2024
2024
0.25
0.25
4
= -
´ -
´ -
2024
0.25
0.25
4
é
ù
= -
´
-
´ -
ë
û
2024
0.25
1
= -
´
0.25
1
= -
´
1
4
= -
，
故选：A．
二、填空题
7．
7.7
7.97
7.997
7.9997
7.99997
M =
+
+
+
+
，则M 的整数部分是(
)，M 的小数部分是(
)．
【答案】
39
0.66667
【分析】将原式转化为
5 8
0.33333
M = ´ -
，进行计算即可．
【详解】解：Q
7.7
7.97
7.997
7.9997
7.99997
M =
+
+
+
+
，
8
0.3
8
0.03
8
0.003
8
0.0003
8
0.00003
M =
-
+
-
+
-
+
-
+
-
5 8
0.33333
39.66667
M = ´ -
=
，
\M 的整数部分为39，小数部分为0.66667 ．
8．从一张长2109 毫米，宽627 毫米的长方形纸片上，剪下一个边长尽可能大的正方形，如果剩下的部分
不是正方形，那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正方形，按照上面的过程，不断地重复，最
后剪得的正方形的边长是_______毫米．
【答案】57
【详解】解：依据题意可知，2109
627 3
228
=
´ +
，
627
228 2 171
=
´
+
，
228
171 1 57
=
´ +
，
171
57 3
=
´ ．
故最后剪得的正方形的边长是57 毫米．
9．程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．如图所示的程序框图，当
输入x 的值是1
- 时，根据程序，第1 次计算输出的结果是1，第2 次计算输出的结果是2
- ,…，这样计算下
去，第7 次计算输出的结果是_____．
【答案】1
【分析】分别计算出前几次输出的结果，再根据规律可得答案．
【详解】解：当输入1
- 时，第1 次输出的结果是
2
2
( 1)
1
x
-
=
= ；
第2 次输出的结果是
3
1 3
2
x -
= -
= - ；
第3 次输出的结果是
2
2
( 2)
4
x = -
=
；
第4 次输出的结果是
3
4
3
1
x -
=
-
= ；
第5 次输出的结果是
3
1 3
2
x -
= -
= - ；
第6 次输出的结果是
2
2
( 2)
4
x = -
=
；
第7 次输出的结果是
3
4
3
1
x -
=
-
= ．
10．一个四位正整数N ，各个数位上的数字互不相等且均不为零，若千位与十位上的数字之和等于百位与
个位上的数字之和，且和均为9，则称N 为“九九数”，此时，规定
99
N
K N =
，例如2475 中
2
7
4
5
9
+
=
+
=
，2475 是“九九数”，
2475
2475
25
99
K
=
=
；又如2375 中3
5
9
+
¹
，2375 不是“九九数”，则：
（1）
6732
K
=______；
（2）对于一个“九九数” N ，且N 为偶数，若
K N 是9的倍数，且N 的千位数字不小于百位数字，则满足
条件的所有“九九数” N 为______．
【答案】
68
7128或5346
【分析】（1）根据定义代入求值，进行判断即可；（2）先设N 千位、百位、十位和个位上的数字依次为
a
b
c
d
、、、，根据N 为“九九数”，推出
9
c
a
=
-
，
9
d
b
=
-
，并求出N 的值为
99 10
1
a
b
+
+
，求出
K N ，
再根据
K N 是9的倍数，推出
1
a
b
+
+ 是9的倍数，根据a
b
、的取值范围推出
1
18
a
b
+
+ =
，然后根据N 为
偶数，推出b 的可能取值为：1,3,5,7 ，最后进行计算结合N 的千位数字不小于百位数字即可求解．
【详解】解：（1）6732 中，6
3
7
2
9
+
=
+
=
，6732 是“九九数”，
6732
6732
68
99
K
=
=
；
（2）设N 千位、百位、十位和个位上的数字依次为a
b
c
d
、、、，
∵N 为“九九数”，
∴
9
a
c
b
d
+
=
+
=
，即
9
c
a
=
-
，
9
d
b
=
-
，
∴
1000
100
10
N
a
b
c
d
=
+
+
+
1000
100
10 9
9
a
b
a
b
=
+
+
-
+
-
1000
100
99 10
a
b
a
b
=
+
+
-
-
990
99
99
a
b
=
+
+
99 10
1
a
b
=
+
+
，
∴
99 10
1
10
1
99
a
b
K N
a
b
+
+
=
=
+
+ ，
∵
K N 是9的倍数，
10
1
9
1
K N
a
b
a
a
b
=
+
+ =
+
+
+
，
∴
1
a
b
+
+ 是9的倍数，
∵各个数位上的数字互不相等且均不为零，
∴0
8
a
<
£
，0
8
b
<
£
，
∴0
1 17
a
b
<
+
+ <
∴
1
9
a
b
+
+ =
，
∴
8
a
b
+
=
，
∵N 为偶数，
∴d 为偶数，
∵
9
d
b
=
-
，
∴b 为奇数，b 的可能取值为：1,3,5,7 ，
∵N 的千位数字不小于百位数字，各个数位上的数字互不相等且均不为零，
∴a
b
>
，
∵
8
a
b
+
=
时，
若
1
b = ，
8 1
7
a =
- =
，符合题意，
9
2
c
a
=
-
=
，
9
8
d
b
=
-
=
，
7128
N =
；
若
3
b =
，
8
3
5
a =
-
=
，符合题意，
9
4
c
a
=
-
=
，
9
6
d
b
=
-
=
，
5346
N =
；
若
5
b =
，
8
5
3
a =
-
=
，不符合题意；
若
7
b =
，
8
7
1
a =
-
= ，不符合题意；
∴综上，满足条件的所有“九九数” N 为7128或5346．
三、解答题
11．计算：
(1)
3
2
1
2
2
( 3)
1
6
2
9
3
æ
ö
-
-
´
-
¸ -
ç
÷
è
ø
；
(2)
3
2
4
1
1
1
2
3
2
3
æ
ö
é
ù
-
-
-
´
-
- -
ç
÷
ë
û
è
ø
【答案】(1)
3
4
-
；
(2)11
6
【详解】（1）解：
3
2
1
2
2
3
1
6
2
9
3
æ
ö
-
-
´
-
¸ -
ç
÷
è
ø
27
2
2
9
6
8
9
3
=
-
´
-
¸
3
9
9
4
=
-
-
3
4
= -
；
（2）解：
3
2
4
1
1
1
2
3
2
3
æ
ö
é
ù
-
-
-
´
-
- -
ç
÷
ë
û
è
ø
1
1
8
9
6
= - -
´ - -
1
1
17
6
= - -
´ -
17
1
6
= - +
11
6
=
．
12．计算：
(1)
2
3
2
1
5
3
6
5
æ
ö
-
´ -
- -
¸ -
ç
÷
è
ø
．
(2)
4
2
1
10
8
3
3
2
2
é
ù
æ
ö
-
+ - ¸ -
-
¸
´
ç
÷
ê
ú
è
ø
ë
û
【答案】(1) 11
2
-
(2)
1
10015 3
【详解】（1）解：
2
3
2
1
5
3
6
5
æ
ö
-
´ -
- -
¸ -
ç
÷
è
ø
1
25
27
6
25
= -
´
- -
¸ -
9
1
2
= - -
11
2
= -
．
（2）解：
4
2
1
10
8
3 3
2
2
é
ù
æ
ö
-
+ - ¸ -
-
¸
´
ç
÷
ê
ú
è
ø
ë
û
10000
16
3 9
2
é
ù
=
+
-
¸
´
ë
û
2
10000
16
3
æ
ö
=
+
-
ç
÷
è
ø
1
10000 15 3
=
+
1
10015 3
=
．
13．背景介绍：
进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．即
“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．
一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式．在十进制中，使用0-9 十个数字进行记数，
基数是10．如十进制数3721 表示为：
3
2
1
0
3 10
7 10
2 10
1 10
´
+ ´
+ ´
+ ´
（规定当
0
a ¹
时，
0
1
a = ）．
某兴趣小组在学完“进位制的认识与探究”后，打算对六进制数开展研究，他们规划了下列研究任务：
说明：为区分六进制数与十进制数的表示，在六进制数的右下角标记6，如六进制数3245 记为
6
3245
．
任务一：六进制数与十进制数的转换
（1）
6
204
转化为十进制数为___________；
（2）7 转化为六进制数为___________；
任务二：六进制数的乘法和除法运算
他们在逢六进一的约定下，设计了“五五乘法表”（以下表中的数都为六进制数）：
1 1 1
´ = ，
1 2
2 2 2
4
´
=
´
=
，
，
1 3
3 2 3
10 3 3
13
´
=
´
=
´
=
，
，
，
1 4
4 2 4
12 3 4
20 4 4
24
´
=
´
=
´
=
´
=
，
，
，
，
1 5
5 2 5
14 3 5
23 4 5
32 5 5
41
´
=
´
=
´
=
´
=
´
=
，
，
，
，
．
根据乘法表，计算：
（1）
6
6
152
12
´
；（2）
6
6
113
3
¸
；
任务三：探究六进制数的整除规律
设n 位六进制数各数位上的数从最高位到个位依次为：
1
2
2
1
-
-
n
n
n
a
a
a
a
a
L
，
，
，，，
（其中
0
2
¹
³
na
n
，
）．试探
究该n 位六进制数能被
6
13
整除所要满足的条件，并说明理由．
【答案】任务一：（1）76；（2）
6
11
任务二：（1）
6
2304
；（2）
6
23
任务三：所要满足的条件是该n 位六进制数最后两位组成的六进制数能被
6
13
整除（或等价于
2
1
6a
a
+
是9
的正整数倍，其中
2a 为从右数第二位数字，
1a 为个位数字）；理由见解析
【分析】本题主要考查了六进制数与十进制数的转化，理解进制数的记数规则是解题的关键．
任务一：根据转换方法进行十进制与六进制的转换即可求解；
任务二：利用“五五乘法表”进行计算即可求解；
任务三：按六进制数的特征即可求解．
【详解】解：任务一：（1）
2
0
6
204
=2 6 +0 6+4 6 =76
´
´
´
．
故答案为：76．
（2）∵7
6=1
1
¸
LL ，
∴
6
7= 11 ．
故答案为：
6
11 ．
任务二：（1）
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
152
12
= 152
10
2
152
10
152
2
1520
344
2304
´
´
+
=
´
+
´
=
+
=
；
（2）
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
113
3
= 100 13
3
100
3
13
3
20
3
23
¸
+
¸
=
¸
+
¸
=
+
=
．
任务三：所要满足的条件是该n 位六进制数最后两位组成的六进制数能被
6
13
整除（或等价于
2
1
6a
a
+
是9
的正整数倍，其中
2a 为从右数第二位数字，
1a 为个位数字）．
理由如下：
由题意得，该n 位六进制数
1
2
3
2
0
1
2
3
2
1
6
6
6
6
6
6
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
-
-
-
-
-
=
´
+
´
+
´
+
+
´
+
´ +
´
L
3
4
1
3
2
1
36
6
6
6
n
n
n
n
a
a
a
a
a
-
-
-
=
´
+
´
+
+
+
+
L
，
∵
0
6
13
1 6
3 6
9
= ´ + ´
=
，
∴该n 位六进制数能被
6
13
整除所要满足的条件是最后两位组成的六进制数能被
6
13
整除（或等价于
2
1
6a
a
+
是9 的非负整数倍，其中
2a 为从右数第二位数字，
1a 为个位数字）．
14．探究规律，完成相关题目．
定义“*”运算：
2
2
( 2) ( 4)
2
4
+
* +
= +
+
；
2
2
( 4) ( 7)
( 4)
( 7)
é
ù
-
* -
= +
-
+ -
ë
û ；
2
2
( 2) ( 4)
( 2)
( 4)
é
ù
-
* +
= -
-
+ +
ë
û ；
2
2
( 5) ( 7)
( 5)
( 7)
é
ù
+
* -
= -
+
+ -
ë
û ；
2
0 ( 5)
( 5) 0
( 5)
* -
= -
*
= -
；
2
( 3) 0
0 ( 3)
( 3)
+
*
=
* +
= +
．
2
2
0 0
0
0
0
*
=
+
=
．
(1)( 5) ( 2)
-
* -
= ______；
(2)已知：( 1) [0
]
17
a
+
*
*
=
，其中，a 为负数，求a 的值；
(3)是否存在有理数m，n，使得(
1) (
2)
0
m
n
-
*
+
=
，若存在，求出m，n 的值，若不存在，说明理由．
【答案】(1)29
(2)
2
a = -
(3)存在，
1,
2
m
n
=
= - ，理由见详解
【详解】（1）解：由题意得，
2
2
5
2
5
2
29
é
ù
-
* -
=
-
+ -
=
ë
û
；
（2）解：由题意得，
2
0 a
a
*
=
，
∴
2
2
2
2
2
4
1
1
1
a
a
a
é
ù
+
*
= +
+
=
+
ê
ú
ë
û
，
∴
4
1
17
a
+
=
，
∴
4
16
a =
，
解得
2
a = - 或
2
a =
，
∵a 为负数，
∴
2
a = - ；
（3）解：存在
1,
2
m
n
=
= - ，理由如下，
2
2
1
2
1
2
0
m
n
m
n
é
ù
-
*
+
= ±
-
+
+
=
ë
û
，
∵
2
1
0
m -
³
，
2
2
0
n +
³
，
∴
1
0
m - =
，
2
0
n +
=
，
解得，
1
m = ，
2
n = - ．
15．【概念学习】现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如2
2
2
¸
¸ ，
3
3
3
3
-
¸ -
¸ -
¸ -
等，类比有理数的乘方，我们
3
3
3
3
-
¸ -
¸ -
¸ -
写作
3
-
④，读作“
3
-
的圈4
次方”，一般地把
n
a
a
a
a
a
¸
¸
¸××׸
1442443
个
（
0
a ¹
）写作
，读作“a 的圈n 次方”．
【初步探究】
(1)直接写出计算结果：2
=
②
______；
3
-
=
③
______；
(2)下列关于除方说法中，不正确的是（
）．
A．任何非零数的圈2 次方都等于1；
B．任何非零数的圈3 次方都等于它的倒数；
C．
2
4
-
> -
⑩
⑩
D．1 和1
- 的圈n 次方都等于它本身．
(3)算一算：
1
2022
4
2
2
æ
ö
-
´ -
- -
¸ -
ç
÷
è
ø
④
④
②
【答案】(1)1，
1
3
-
(2)D
(3)12
【详解】（1）解：由题意可得：2
2
2
1
=
¸
=
②
；
1
3
3
3
3
3
-
-
= -
¸ -
¸ -
=
③
（2）A．任何非零数的圈2 次方都等于1，
1
0
n
n
n
n
=
¸
=
¹
②
，故正确；
B．任何非零数的圈3 次方都等于它的倒数，
1
0
n
n
n
n
n
n
=
¸
¸
=
¹
③
，故正确；
C．
8
1
2
2
-
=
-
⑩
，
8
1
4
4
-
=
-
⑩
，且
8
8
4
2
0
-
> -
>
，则
2
4
-
> -
⑩
⑩，故正确；
D．1 1 1 ... 1
1
¸ ¸ ¸
¸ = ，( 1)
( 1)
( 1)
( 1)
1
-
-
¸ -
¸ -
¸
¸ -
=
L
或1，故错误；故选D；
（3）
1
2022
4
2
2
æ
ö
-
´ -
- -
¸ -
ç
÷
è
ø
④
④
②
1
1
1
1
2022
2022
4
2
2
2
2
2
2
2
2
-
é
ù
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
é
ù
=
¸
´
-
¸ -
¸ -
¸ -
- -
¸
-
¸ -
¸ -
¸ -
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ê
ú
ë
û
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
ë
û
1
4
4
4
-
=
- -
¸
4 16
= - +
12
=
