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第六章 几何图形初步
知识点一 几何图形相关概念
1.
几何图形分类
立体图形：各部分________同一平面内（正方体、长方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱
锥）。
平面图形：各部分______同一平面内（线段、角、三角形、长方形、圆等）。
2.
展开图
立体图形可以展开成平面图形，常见正方体11 种展开图，考试常考相对面、相邻面判断。
3.
截面
用______截几何体，得到的平面图形叫做截面。
知识点二 点、线、面
1.
几何基本构成：图形由 ______、______、______ 构成。
2.
动态形成规律（必考口诀）
点动成______、线动成______、面动成______。
例子：笔尖画线（点动成线）、雨刷扫窗（线动成面）、长方形旋转成圆柱（面动成体）。
3.
特征
点：无______；线：无______；面：无______。
4.
相交关系：面与面相交成线，线与线相交成点。
知识点三 直线、射线、线段
1.
定义与区别
直线：向两方______，____________端点，不可度量______。
射线：向一方无限延伸，______端点，不可度量______。
线段：______端点，有固定______，可以度量、可以比较大小。
2.
表示方法
直线：直线AB、直线𝑙；
射线：射线OA（端点必须写前面）；
线段：线段AB、线段𝑎。
3.
核心公理
① 两点确定一条______（钉木条、站队原理）。
② 两点之间，______最短（路程最短问题必考）。
4.
两点间距离：两点之间线段的长度，叫做两点间的距离。
知识点四 线段的中点
1.
定义：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点。
2.
几何核心公式（必考）
若𝑀是𝐴𝐵中点：
𝐴𝑀=____________ =____________
𝐴𝐵=____________ =____________
3.
延伸：三等分点、四等分点，可分段表示线段长度。
4.
题型特点：线段计算、线段推理、动点线段长度求解。
知识点五 角的有关概念以及表示方法
1.
角的定义
静态：有公共______的两条______组成的图形。
动态：一条______绕端点______形成的图形。
2.
角的三要素：顶点、两条边（射线）。
3.
四种表示方法（规范考试写法）
① 三个大写字母：____________（中间必须是顶点）
② 一个大写字母：____________（顶点处只能有一个角才能用）
③ 数字：____________、____________
④ 希腊字母：____________、____________
4.
角度单位换算
1∘=____________,1′ =____________
60 进制，禁止100 进制换算。
5.
角的分类
____________（0∘∼90∘）
____________（90∘）
____________（90∘∼180∘）
____________（180∘）
____________（360∘）
知识点六 角平分线
1.
定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。
2.
核心几何关系式
若𝑂𝐶平分∠𝐴𝑂𝐵：
∠𝐴𝑂𝐶=____________ =____________
∠𝐴𝑂𝐵=____________ =____________
3.
延伸：角的三等分线、四等分线，对应角度倍数关系。
4.
考点：角度计算、折叠问题、几何推理证明。
知识点七 余角、补角
1.
余角定义
两个角的和等于 90∘（直角），互为____________。
2.
补角定义
两个角的和等于 180∘（平角），互为____________。
3.
重要性质（大题必考）
同角（等角）的余角相等
同角（等角）的补角相等
4.
易错区分：互余、互补只看角度和，与位置无关。
5.
公式：若∠𝛼余角=90∘―∠𝛼，补角=180∘―∠𝛼
易错点1 正方形的展开图问题
易错提醒
易错点总结
1. 无法判断不能折叠成正方体的图形，经常选错“田字形、凹字形”展开图。
2. 找错相对面、相邻面，折叠后位置判断颠倒。
3. 混淆立体图形截面与展开图，概念混乱。
4. 不会快速排除错误展开图，做题慢、正确率低。
注意事项总结
1. 正方体展开图禁忌口诀：无田、无凹、无长一线四连两头。
2. 相对面判断：隔一个是对面、Z 字两端是对面。
3. 相邻面折叠后永远相邻，不可能相对。
4. 牢记：正方体只有11 种合法展开图，出现田字、凹字直接排除。
【对点训练】1．如图，是一个正方体，它的展开图是下列四个展开图中的（ ）
A．
B．
C．
D．
易错点2 线段的和差倍分相关计算
易错提醒
易错点总结
1. 没有画图，凭想象计算，点的位置判断错误导致全程错。
2. 中点公式乱用，分不清 𝐴𝑀= 1
2𝐴𝐵 和 𝐴𝐵= 2𝐴𝑀。
3. 点在线段上、点在线段延长线上不会分类讨论，漏解严重。
4. 多线段叠加时，重复计算、漏算小段。
注意事项总结
1. 线段计算题必须先画图，不画图不做题。
2. 中点万能公式：小线段=大线段一半，大线段=小线段两倍。
3. 题干无图必分类：点在线段上 / 点在延长线上两种情况。
4. 计算顺序：先标已知长度，再推未知线段，步步推导。
【对点训练】2．如图，点B 是线段AC 上一点，且
21cm
AB =
，
1
3
BC
AB
=
．
(1)试求出线段AC 的长；
(2)如果点O 是线段AC 的中点，请求线段OB 的长．
易错点3 角度的和差倍分相关计算
易错提醒
易错点总结
1. 度分秒60 进制记错，当成100 进制换算，计算全部出错。
2. 角度加减不借位、不进位，小数角度不会转化分秒。
3. 分不清角的和差关系，看错公共角、重叠角。
4. 余角补角公式混用，90°、180°搞反。
注意事项总结
1. 角度换算铁律：1°=60′，1′=60″，坚决不用十进制。
2. 大减小、缺则借位，满60 进1。
3. 角度计算先找公共角、重叠角，找准和差关系。
4. 余角找90°关系，补角找180°关系，绝不混用。
【对点训练】3．如图，
AOC
Ð
与
BOC
Ð
的度数比为5: 2 ，OD 平分
AOB
Ð
．
(1)若
20
BOC
Ð
=
，求
BOD
Ð
的度数；
(2)若
12
COD
Ð
=
，求
AOB
Ð
的度数．
易错点4 角平分线的相关计算
易错提醒
易错点总结
1. 角平分线只会正向计算，不会反向推导。
2. 多个角平分线叠加，倍数关系混乱，分不清二倍、一半。
3. 折叠题型中，看不出折叠前后角度相等，丢条件。
4. 无图题不分类，射线在角内、角外漏解。
注意事项总结
1. 角平分线核心：平分=两个小角相等=大角一半。
2. 多层角平分线，从最小角向外逐层推导。
3. 图形折叠：折叠前后对应角相等，是隐藏等量条件。
4. 射线位置不确定，必须分：内部射线、外部射线两种讨论。
【对点训练】4．如图，直线AB 、CD相交于点O ，OE 平分
BOD
Ð
，OF 平分
COE
Ð
，且
1:
2
1: 4
Ð
Ð =
，
求
BOF
Ð
的度数．
易错点5 动点问题
易错提醒
易错点总结
1. 不会用“初始位置±速度×时间”表示动点位置。
2. 运动方向判断错误，左右移动符号写反。
3. 不会用绝对值表示线段距离，漏解、错解。
4. 不分类讨论动点在起点前、线段上、终点后，导致答案不全。
注意事项总结
1. 动点万能公式：位置=初始位置±速度×时间（右加左减）。
2. 两点距离必须加绝对值，避免位置判断错误。
3. 动点题三步走：表示位置→列距离方程→分类讨论阶段。
4. 一定要检验取值范围，舍去不合理解。
【对点训练】5．如图，点A、B、C 在数轴上，点A 在点C 的左侧，点B 在点C 的右侧，线段
36
AB =
，
且
2
CA
CB
=
．动点P 从点B 出发以每秒4 个单位长度的速度沿数轴负方向运动，同时动点Q 从点C 出发
以每秒1 个单位长度的速度沿数轴负方向向终点A 运动，设点P 运动时间为t 秒：
(1) AC = ______，BC = ______；
(2)经过______秒，点P、Q 到点A 的距离相等；
(3)若动点P 到达点A 后立即以原速返回，到达点C 时停止运动，
①点P 从点A 返回过程中，当t = ____________时，PQ 相距5 个单位长度；
②点P 从点A 返回过程中，当t = ____________时，
3
AQ
PQ
=
．
易错点6 角的动态旋转问题
易错提醒
易错点总结
1. 旋转角度计算错误，分不清顺时针、逆时针的增减关系。
2. 旋转过程不分段，直接列式，漏掉多种情况。
3. 重合、垂直、平分时刻判断不准。
4. 不会用“速度×时间=旋转角度”建立方程。
注意事项总结
1. 旋转角度公式：旋转角度=角速度×时间。
2. 顺时针角度减小、逆时针角度增大，方向绝不搞反。
3. 动态旋转必须分阶段讨论：未重合、刚重合、重合后、超180°。
4. 特殊位置（垂直90°、平角180°、角平分）单独列方程求解。
【对点训练】6．如图1，点O 在直线AB 上，过点O 引一条射线OC ，使
40
AOC
Ð
=
，将一个直角三角尺
的直角顶点放在点O 处，直角边OM 在射线OB 上，另一边ON 在直线AB 的下方．
【操作一】：将图1 中的三角尺绕着点O 以每秒15的速度按顺时针方向旋转，当它完成旋转一周时停止，
设旋转的时间为t 秒．
(1)
BOC
Ð
的度数是__________．
(2)三角尺的边OM 旋转的度数可表示为__________（用含t 的代数式表示）；当t = __________时，
90
COM
Ð
=
．
【操作二】：如图2，射线OE 与射线OC 重合．如图3，在三角尺绕着点O 以每秒15的速度按顺时针方向
旋转的同时，射线OE 绕点O 以每秒5的速度按顺时针方向旋转，当三角尺完成旋转一周时停止，射线OE
也停止旋转，设旋转的时间为t 秒．
(3)当t 为何值时，
90
EOM
Ð
=
，并说明理由？
(4)试探索：在三角尺与射线OE 旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得
3
COE
COM
Ð
= Ð
？若存在，请求
出所有满足题意的t 的值；若不存在，请说明理由．
一、单选题
1．若A ，B ，C 三点在同一条直线上，线段
12 cm
AB =
，
4 cm
BC =
，点E ，F 分别是线段AB ，BC 的中
点，则线段EF 的长为（ ）
A．8 cm
B．4 cm
C．8 cm 或2 cm
D．8 cm 或4 cm
2．下列图形是正方体的展开图的有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
3．一个正方体切掉一个角后，剩下的几何体顶点的个数是（ ）
A．7 或8
B．8 或9
C．7 或8 或9
D．7 或8 或9 或10
4．如图，点A 、B 、C 、D 在同一射线上，
12
AB =
，线段CD(点C 在点D 的左边)长度为5，线段CD从点
C 与A 重合开始，沿射线AB 向右运动，其速度为每秒2 个单位长度，运动时间为t 秒．下列说法正确的是
（ ）
①若
7
CB =
，则
2.5
t =
②若点C 和点D 均在线段AB 上，且
:
3: 4
AC BD =
，则
1.5
t =
③若点M 是CD的中点，点N 是AB 的中点，当
1
MN = 时，
1.25
t =
或2.25
④若点C 在AB 延长线上，点E 是AC 的中点，点F 是BD 的中点，EF 为定值
A．①③
B．②④
C．③④
D．②③④
5．如图，线段AB 表示一根对折以后的绳子，现从P 处把绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段是
8cm ．若
1
2
AP
PB
=
，则这条绳子的原长为（ ）cm ．
A．24 或16
B．16或12
C．24 或12
D．12或32
二、填空题
6．如图是一些由棱长为1的小正方体木块叠放成的几何体，其中第一个几何体的表面积为6 ，按照图中的
叠放规律，第五个几何体的表面积为______．
7．如图，在同一平面内，已知直角三角板一边CD在直线AB 上，另外两边在直线AB 上方，且
60
DCE
Ð
=
，
90
E
Ð
=
．过点C 作射线CF ，使得
1
4
ECF
DCE
Ð
=
Ð
，再过点C 作射线CM
CN
、
，使得
90
FCM
Ð
=
° ，CN 平分
DCM
Ð
，则
BCN
Ð
的度数为______．
8．如图，已知
2
AOC
BOC
Ð
= Ð
，
BOC
Ð
比
AOC
Ð
的余角大30o，过点O 作射线OD ，使
4
AOC
AOD
Ð
= Ð
，
则
DOB
Ð
的度数为________．
9．如图1，C 是线段AB 上一点，
:
3: 4
AC BC =
，现以点C 为对折点，将线段向右对折，得到图2，P 是CB
中点，沿点P 将线段剪断，使得原线段被剪成三条，则这三条线段长度从小到大的比为______．
10．将直角三角板的直角顶点O 落在直线AB 上，射线OE 平分
BOC
Ð
．
（1）如图，如果
60 ,
AOC
EOD
=
=
Ð
Ð
__________．
（2）如果
AOC
a
Ð
=
，将三角板绕点O 旋转一周（旋转过程中
AOC
Ð
与
BOC
Ð
度数都是大于0且小于180
的角），
EOD
Ð
的度数为__________．（用含a 的代数式表示）．
三、解答题
11．如图，已知点C 为线段AB 上一点，
12
AC
cm
=
，
8
CB
cm
=
， D 、E 分别是AC 、AB 的中点．
(1)求DE 的长度．
(2)若M 在直线AB 上，且
6
MB
cm
=
，求AM 的长度．
12．如图，若干个大小相同的小立方块搭成的几何体．
(1)这个几何体由________个小立方块搭成；
(2)从正面、上面、左面观察该几何体，分别画出你所看到的几何体的形状图．
13．如图，已知
140
AOB
Ð
=
，
COE
Ð
与
EOD
Ð
互余，OE 平分
AOD
Ð
．
(1)若
40
COE
Ð
=
，求
DOE
Ð
和
BOD
Ð
；
(2)设
COE
BOD
a
b
Ð
=
Ð
=
，
，试探究α 与β 之间的数量关系．
14．如图1，
AOB
a
Ð
=
，
COD
b
Ð
=
，OM ，ON 分别是
AOC
Ð
，
BOD
Ð
的角平分线．
(1)若
50
AOB
Ð
=
，
30
COD
Ð
=
，当
COD
Ð
绕着点O 逆时针旋转至射线OB 与OC 重合时（如图2 ），则
MON
Ð
的大小为 ；
(2)在（1）的条件下，继续绕着点O 逆时针旋转
COD
Ð
，当
10
BOC
Ð
=
时（如图3），求
MON
Ð
的大小并
说明理由；
(3)在
COD
Ð
绕点O 逆时针旋转过程中，
MON
Ð
= ．（用含a ，b 的式子表示）．
15．已知直角三角板ABC 中，
60
BAC
Ð
=
，
90
ABC
Ð
=
，将三角板ABC 绕着点A 旋转得到
'
'
AB C
V
，旋转
角记为
a
Ð
．
(1)当旋转方向为逆时针方向，且
75
a
Ð
=
时（如图1），求
'B AC
Ð
和
'
BAC
Ð
的大小；
(2)当旋转方向为逆时针方向，且
90
a
Ð
=
时，在图2 中，画出旋转得到的
'
'
AB C
V
；
(3)当
a
< Ð
<
0
90 时．
①若
'
'
3
BAC
BAB
Ð
= Ð
，求
a
Ð
的度数．
②如图3，当旋转方向为逆时针方向时，点D 为BC 上一点，
'
1
3
CAD
C AC
Ð
=
Ð
，在旋转过程中，若
'
C AD
Ð
与
BAD
Ð
始终满足
'
m C AD
BAD
Ð
- Ð
为定值，求常数m 的值．
