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第二章 有理数的运算全章高频重点题型突破
基础拿分：高频题型归纳
题型1 有理数加减混合运算（凑整巧算）
题型2 有理数乘除符号判定与同级运算
题型3 乘方概念辨析（基础头号易错）
题型4 基础有理数混合运算
题型5 乘法分配律基础巧算
题型6 科学记数法与近似数
核心提升·重难题型归纳
题型1 乘法分配律高阶巧算（培优难点）
题型2 数轴+有理数运算综合压轴（数形结合）
题型3 新定义运算（必考创新压轴）
题型4 有理数规律探究（期末压轴大题）
题型5 复杂实际应用题（解答题压轴）
综合攻坚·知能拔高
◆题型1 有理数加减混合运算（凑整巧算）
1．（24-25 七年级上·福建龙岩·阶段检测）计算∶
(1)
6
8
5
+ -
- -
；
(2) 3
2
2
1
5
5
4
5
3
5
3
æ
ö
æ
ö
+ -
+
+ -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
2．（25-26 七年级上·广西崇左·期末）解答题：
(1)
27 15
23
35
-
- -
+ -
．
(2)
3
0.25
3
14
-
+ -
- -
．
(3) 1
3
5
1
1
2
4
6
2
4
æ
ö
æ
ö
+ -
+
+ -
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
．
(4)
2
3
1
1
3
2
6
2
æ
ö
æ
ö
-
- -
+
+ -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø ．
3．（25-26 七年级上·安徽芜湖·期末）先阅读理解第（1）小题的计算方法，再计算第（2）小题．
（1）计算：
3
2
1
205
400
( 204 )
( 1 )
4
3
2
-
+
+ -
+ -
解：原式
3
2
1
205
(400
)
( 204
)
( 1
)
4
3
2
= -
+
+
+ -
-
+ - -
3
2
1
205
400
( 204)
(
)
( 1)
(
)
4
3
2
= -
+
+
+ -
+ -
+ -
+ -
3
2
1
[ 205
400
( 204)
( 1)]
(
)
(
)
4
3
2
é
ù
= -
+
+ -
+ -
+
+ -
+ -
ê
ú
ë
û
5
10
(
)
12
= -
+ -
5
1012
= -
上面的计算方法叫做拆项法．
（2）请用拆项法计算：
5
2
3
1
1
5
24
3
6
3
4
2
æ
ö
æ
ö
-
+ -
+
+ -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø．
4．（23-24 七年级上·四川眉山·阶段检测）计算（能简算的要简算）：
(1) 1
2
4
1
1
2
3
5
2
3
æ
ö
æ
ö
æ
ö
+ -
+
+ -
+ -
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø ；
(2)
43
77
27
43
+ -
+
+ -
；
(3)
1
3
3
1.25
1
2
4
4
æ
ö
æ
ö
æ
ö
+
+ -
+ -
+ +
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø ．
(4)
5
2
2
1
2000
1999
4000
1
6
3
3
2
æ
ö
æ
ö
æ
ö
-
+ -
+
+ -
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø ．
◆题型2 有理数乘除符号判定与同级运算
5．（26-27 七年级·全国·暑假作业）计算：
1
6 2
3
æ
ö
- ´ ¸ -
ç
÷
è
ø
6．（26-27 六年级·上海·小升初衔接）计算：
1
1
1
5
2
1
3
4
2
æ
ö æ
ö
æ
ö
-
´ -
¸ -
ç
÷ ç
÷
ç
÷
è
ø è
ø
è
ø ．
7．（24-25 七年级上·福建龙岩·阶段检测）计算：
(1)
1
1
3
1.25
5
2
æ
ö
æ
ö
-
´ +
¸ -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
(2)
1
1
5
5
5
5
æ
ö
-
´ ¸ -
´ -
ç
÷
è
ø
8．（2026·河北邢台·一模）阅读下面解题过程：
计算：
1
40
1
20
8
3
3
æ
ö
-
¸ -
´
¸
ç
÷
è
ø
解：原式
5
20
3
3
æ
ö
= -
¸ -
´
ç
÷
è
ø
…………①
20
5
= -
¸ -
…………②
4
= - …………③
(1)上面解题过程中有两处错误，第一处是第_____步，第二处是第_____步；
(2)请你写出这道题的正确解答过程．
◆题型3 乘方概念辨析（基础头号易错）
9．（24-25 七年级下·河北保定·期中）
4
5
4
4
4
5 5
5
m
n
+
+ ××× +
=
´ ´×××´
644744
8
14243
个
个
（）
A．4
5n
m
B．4
5
m
n
C．
4
5
m
n
D．
5
4m
n
10．（25-26 六年级上·上海·阶段检测）关于
4
2
-
的说法正确的是（ ）
A．指数是2
-
B．结果是8
-
C．表示4 个2
- 相加
D．表示4 个2
- 相乘
11．（25-26 七年级上·四川宜宾·期中）下列各式的计算结果与
32
-
相等的是（ ）
A．
3
2
-
B．
32
C．
23
D．
2
3
-
´
12．（24-25 六年级上·上海·阶段检测）下列算式中，正确的是（ ）
A．
2
2
4
- -
=
B．
2
2
4
-
=
C．
2
2
4
-
-
=
D．
3
2
8
-
= -
13．（25-26 七年级上·江苏无锡·阶段检测）把足够大的一张厚度为0.1mm 的纸连续对折，要使对折后的整叠
纸总厚度超过20 mm ，至少要对折（ ）
A．6 次
B．7 次
C．8 次
D．9次
◆题型4 基础有理数混合运算
14．计算：
2
1
3
1 4
2
3
-
-
´
¸ -
15．计算：
2021
1
1
4
1
3
3
æ
ö
-
-
+
-
´
ç
÷
è
ø
16．（24-25 七年级上·广东茂名·期末）计算：
2
1
2
2
2
3
2
3
æ
ö
æ
ö
-
-
¸ -
+ ´ -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø ．
17．（25-26 七年级上·广东揭阳·期末）计算：
2
3
1
1
(
2)
7
3
(
3)
4
9
æ
ö
-
- -
- ¸ -
+ -
´
ç
÷
è
ø
．
18．计算：
(1)
2
3
1
8
2
2
( 3)
(
)
4
27
-
´
+ -
´ -
(2)
2
1
1
1 0.5
2
3
3
é
ù
æ
ö
é
ù
-
-
´
´
- -
ç
÷
ê
ú
ë
û
è
ø
ë
û
．
◆题型5 乘法分配律基础巧算
19．计算：
1
2
1
12
2
3
6
æ
ö
-
-
´ -
ç
÷
è
ø
．
20．（25-26 七年级上·四川乐山·阶段检测）计算：
3
5
7
36
4
6
12
æ
ö
-
+
´ -
ç
÷
è
ø
．
21．（25-26 七年级上·陕西汉中·期中）用简便方法计算：1
2
3
( 20)
4
5
10
æ
ö
-
+
´ -
ç
÷
è
ø
．
22．（25-26 七年级上·湖南娄底·期末）计算并按要求填空：
3
2
91
7
13
æ
ö
-
´
-
ç
÷
è
ø
3
2
91
7
13
é
ù
æ
ö
= -
´
+ -
ç
÷
ê
ú
è
ø
ë
û
目的是：_______
3
2
91
91
7
13
æ
ö
= -
´
+ -
´ -
ç
÷
è
ø依据是：________
= _____ 14
+
法则是：___________
= _____．理由是：____________
◆题型6 科学记数法与近似数
23．（25-26 七年级下·河北石家庄·期末）据不完全统计，2026 年石家庄市中考报名人数大约147000 人，数
据147000 用科学记数法可以表示为（ ）
A．
5
14.7 10
´
B．
6
14.7 10
´
C．
5
1.47 10
´
D．
6
1.47 10
´
24．（25-26 七年级下·河南周口·期中）北斗卫星导航系统是中国自主研发的全球卫星导航系统，其定位精度
达到米级甚至厘米级．其中一种信号的传输速度约为
8
3 10
´
米/秒，还原原数表示为（ ）
A．30000000
B．300000000
C．0.00000003
D．0.000000003
25．（25-26 七年级下·云南曲靖·期末）2026 年某市常住人口约为
6
3.05 10
´
人，该数据精确到（ ）
A．个位
B．十位
C．百位
D．万位
26．（24-25 七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）近似数8.40所表示的准确数a 的范围是（ ）
A．8.395
8.405
a
£
<
B．8.30
8.50
a
£
£
C．8.395
8.405
a
£
£
D．8.400
8.405
a
£
<
◆题型1 乘法分配律高阶巧算（培优难点）
1．（26-27 七年级·全国·暑假作业）计算：
97
98
2
98 ´ -
2．（25-26 七年级上·陕西渭南·期中）用简便方法计算：1
2
3
1
4
5
8
40
æ
ö
æ
ö
-
+
¸ -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø．
3．（25-26 七年级上·重庆·自主招生）计算：
13
13
13
13
13
9
5
8
6
7
7
6
8
5
9
55
55
55
55
55
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
-
´
+
-
´
+
-
´
+
-
´
+
-
´
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
4．（25-26 九年级下·河北衡水·期中）黑板上有一道题：计算
15
71
8
16 ´ -
，嘉嘉和淇淇给出了两种不同的解
法．
嘉嘉：
原式
15
71
8
16
æ
ö
=
+
´ -
ç
÷
è
ø
15
71
8
8
16
=
´ -
+
´ -
15
568
2
= -
-
1
575 2
= -
淇淇：
原式
1
72
8
16
æ
ö
=
-
´ -
ç
÷
è
ø
= _________________
= _________________
= _________________
(1)请将淇淇的解法补充完整；
(2)计算：
47
49
6
48
-
´ ．
5．（2026·河北邯郸·三模）请你参考下面黑板上老师的板书，计算下列各题．
利用运算律计算：
例1：
98 12
100
2
12
1200
24
1176
´
=
-
´
=
-
=
；
例2：
16 233 17 233
16 17
233
233
-
´
+
´
= -
+
´
=
．
(1)999 12
´
；
(2)
4
3
3
999 118
333
999 18
5
5
5
æ
ö
´
+
´ -
-
´
ç
÷
è
ø
．
6．（25-26 七年级上·吉林长春·期中）简算：
(1)998 14
´
(2)
1
1
1
23
23
23
3
2
6
´
-
´
+
´
7．（25-26 七年级上·全国·期末）计算：
(1)
1
1
3
5
( 24)
2
6
8
12
æ
ö
-
+
-
+
´ -
ç
÷
è
ø
；
(2)
1
1
2
12
6
5
( 196)
5
3
5
3
æ
ö
æ
ö
-
´
+ -
¸ + -
¸
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
．
◆题型2 数轴+有理数运算综合压轴（数形结合）
8．（25-26 七年级上·广东汕头·期末）操作探究：已知在纸面上有一数轴（如图所示）．
左右折叠纸面，折痕所在的直线与数轴的交点为“对折中心点”
操作一：
（1）左右折叠纸面，使2 表示的点与2
- 表示的点重合，则7
- 表示的点与______表示的点重合；
操作二：
（2）左右折叠纸面，使1
- 表示的点与5 表示的点重合，回答以下问题：
①对折中心点所表示的数为______，对折后6 表示的点与数______表示的点重合；
②若数轴上A ，B 两点之间距离为12（A 在B 的左侧），且A ，B 两点经折叠后重合，求A 、B 两点表示的
数是多少？
9．（25-26 七年级上·河南驻马店·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，用数轴上的点表示数对数学的发
展起了重要的作用，以数轴为基础，可以借助图形直观地表示很多与数有关的问题，它是“数形结合”的基
础．小海在草稿纸上画了一条数轴，如图是数轴的一部分（不完整），并利用折叠进行下列的操作探究：
(1)操作一：折叠纸面，若使1 表示的点与1
- 表示的点重合，则6
- 表示的点与_________表示的点重合；2025
-
表示的点与_________表示的点重合；
(2)操作二：折叠纸面，若使5 表示的点与3
- 表示的点重合：
①设折痕处对应的点记为C，则C 点表示的数是_________；
②1
- 表示的点与_________表示的点重合；
③数轴上从左往右有A、B 两点，表示的数分别为a 和b，若折叠后A，B 两点重合，且A，B 两点的距离
为4050，求a，b 的值．
10．（25-26 七年级上·黑龙江伊春·期中）操作与探究．
(1)如图1，写出数轴上点 M，N，P，Q 表示的数，再将这4 个数按从小到大的顺序排列，并用“<”连接．
(2)如图2，点A，B，C 为数轴上的三个点，当点B 为原点时，点A 表示的数是2
- ，点C 表示的数是3．
①若以点C 为原点，则点A 表示的数是 ，点B 表示的数是 ；
②若点 B 表示的数和点 C 表示的数互为相反数，则点 B 表示的数是 ，点A 表示的数是 ．
(3)若将数轴上一点 E 先向右移动2 个单位长度，再向左移动5 个单位长度到达点 F，点F 表示的数是
1
- ．求点 E 表示的数是多少．
11．（25-26 七年级上·天津南开·期中）（1）阅读以下材料，并回答问题．
如图，将一根木棒放在数轴上（数轴的单位长度为1cm），木棒左端与数轴上的点A 重合，右端与数轴上的
点B 重合．
若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B 时，它的右端在数轴上所对应的数为27；若将木
棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点A 时，它的左端在数轴上所对应的数为6．
①请列式求出这根木棒的长；
②填空：图中点A 所表示的数是________，点B 所表示的数是________；
（2）借助上面的方法解决下面的问题：
一天，小明去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要43 年才出生；你若是我现在这么大，
我已经是122 岁啦！”
①请列式求出奶奶和小明的年龄差：
②填空：小明现在的年龄为________（岁），奶奶现在的年龄为________（岁）
12．（25-26 七年级上·江苏常州·阶段检测）已知，等边ABC
V
（三条边都相等的三角形）在数轴上的位置如
图所示．
(1)将ABC
V
从如图所示的位置沿数轴向左滚动一圈（滚动一圈指线段AC 再次落在数轴上），则点A 表示的
数是___________；
(2)将ABC
V
从如图所示的位置沿数轴向右滚动，则数2018 表示的点与点___________重合；
(3)将ABC
V
从如图所示的位置沿数轴滚动，向右滚动的圈数记为正数，向左滚动的圈数记为负数，依次运
动情况记录如下：2
1
3
4
2
-
+
-
-
,
,
,
,
．
①第___________次滚动后，点A 离原点最远；
②当ABC
V
结束滚动时，点C 表示的数是___________．
◆题型3 新定义运算（必考创新压轴）
13．（25-26 七年级下·贵州安顺·阶段检测）对于有理数a 、b ，定义运算：
2
2
a
b
ab
a
b
Å
=
-
-
．
(1)计算：3
4
Å
的值；
(2)计算：
2
6
3
-
Å
Å
é
ù
ë
û
的值．
14．（25-26 七年级上·辽宁大连·阶段检测）定义：
x 表示不超过x 的最大整数．
(1)求
2
4
3.6
2.9
3
é
ù - -
+
ê
ú
ë
û
的值；
(2)求
1
2.8
1
5
3
é
ù
- -
+ -
ê
ú
ë
û
的值．
15．（25-26 七年级上·辽宁大连·阶段检测）定义新运算 “V ”，根据运算规律完成作答：
4
6
10
+
+
= +
V
，
7
2
9
-
-
= +
V
，
5
8
13
-
+
=
V
-
，
6
3
9
+
-
=
V
- ，
0
5
5
+
=
V
，
9
0
9
-
=
V
．
(1)归纳 “V ” 运算法则：两数进行V 运算时，_________；任何数与0 进行V 运算时，___________．
(2)计算：
4
3
2
é
ù
-
+
-
ë
û
V
V
；
(3)判断交换律、结合律在该运算中是否适用．
16．（25-26 七年级下·安徽宿州·期末）如果10b
n
=
，那么b 为n 的“劳格数”，记为
b
d n
=
．例如：
1
10
10
=
，
1
10
d
=
，
2
10
100
=
，
2
100
d
=
，
3
10
1000
=
，
3
1000
d
=
．
(1)根据定义，填空：
10000
d
= ________，
1
100
d æ
ö =
ç
÷
è
ø
________．
(2)“劳格数”有如下运算性质：
若m，n 为正数，则
d mn
d m
d n
=
+
，
m
d
d m
d n
n
æ
ö =
-
ç
÷
è
ø
．
①根据运算性质，填空：
100
1000
d æ
ö =
ç
÷
è
ø
________；
②若
2
0.301
d
=
，分别计算
4
d
，
8
d
．
17．（24-25 七年级上·云南昆明·期末）探究规律，完成相关题目．
定义“*”运算：
2
2
( 2) ( 4)
2
4
+
* +
= +
+
；
2
2
( 4) ( 7)
( 4)
( 7)
é
ù
-
* -
= +
-
+ -
ë
û ；
2
2
( 2) ( 4)
( 2)
( 4)
é
ù
-
* +
= -
-
+ +
ë
û ；
2
2
( 5) ( 7)
( 5)
( 7)
é
ù
+
* -
= -
+
+ -
ë
û ；
2
0 ( 5)
( 5) 0
( 5)
* -
= -
*
= -
；
2
( 3) 0
0 ( 3)
( 3)
+
*
=
* +
= +
．
2
2
0 0
0
0
0
*
=
+
=
．
(1)( 5) ( 2)
-
* -
= ______；
(2)已知：( 1) [0
]
17
a
+
*
*
=
，其中，a 为负数，求a 的值；
(3)是否存在有理数m，n，使得(
1) (
2)
0
m
n
-
*
+
=
，若存在，求出m，n 的值，若不存在，说明理由．
18．（25-26 七年级上·山东济南·阶段检测）综合与探究：
【概念学习】现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如
2
2
2,
3
3
3
3
¸
¸
-
¸ -
¸ -
¸ -
等，类比有理数的乘方，我们把2
2
2
¸
¸ 写作2③，读作“2 的圈3 次方”，
3
3
3
3
-
¸ -
¸ -
¸ -
写作
3
-
④，读作“
3
-
的圈4 次方”．
一般地
0
n
a
a
a
a
a a
¸
¸
¸
¸
¹
n L
个
写作aⓝ，读作“ a 的圈n 次方”．
(1)【初步探究】直接写出计算结果：2
=
③
_______；
1
2
æ
ö
-
=
ç
÷
è
ø
③
_______．
【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，则有理
数的除方运算也可以按如图所示的方式转化为乘法运算．
(2)【探究应用】试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成幂的形式：( 3)
-
=
⑧
______，1
5
æ
ö
=
ç
÷
è
ø
⑨
______；
(3)算一算：
2
3
1
1
12
2
3
3
3
æ
ö
æ
ö
¸ -
´
-
¸
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
④
⑤
⑥
．
19．（2026·湖北十堰·二模）综合实践
活动目
标
认识进位制，理解不同进位制的数之间的转换
材料1
进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是
二进制，也就是说“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．
十进制数
3
2
1
1024
1 10
0 10
2 10
4
= ´
+ ´
+ ´
+
，记作：
10
1024
八进制数
3
2
1
1024
1 8
0 8
2 8
4
= ´
+ ´
+ ´
+
，记作：
8
1024
二进制数
3
2
1
1011
1 2
0 2
1 2
1
= ´
+ ´
+ ´
+ ，记作：
2
1011
n （
2
n ³
，且n 为整数）进制数转化成与其相等的十进制数，只需要将n 进制数的每个数字，
依次乘n 的相应次幂相加，就可得到与它相等的十进制数．如：二进制数
2
10010
转十进制数
为：
4
3
2
1
0
2
10010
1 2
0 2
0 2
1 2
0 2
16
0
0
2
0
18
= ´
+ ´
+ ´
+ ´
+ ´
=
+
+
+
+
=
．
材料2
十进制整数转化为二进制整数通常采用除二取余法，即用2 连续除十进制数，直到商为0，逆
序排列余数即可得到二进制数，简称除二取余法．同样的，十进制数转化为八进制数可用除八
取余法．例如：
8
532
1024
=
2
46
101110
=
解决问题：
(1)十进制数89，转二进制数得_____；
(2)十进制数89，转八进制数得_____；
(3)二进制数
2
10111
转十进制数得_____
(4)二进制只有0 和1 两个数字，这正好和电路的断和通两种状态相对应，因此，在计算机内部使用二进制，
计算机在进行运算时都是以二进制数进行运算，二进制运算就是逢二进一，再把运算结果转化为十进制数，
并输出结果、请根据二进制运算法则：数位对齐，逢二进一，完成下面运算．
2
2
10010
111
+
= _____（结果用二进制表示）．
◆题型4 有理数规律探究（期末压轴大题）
20．（25-26 七年级上·湖南长沙·自主招生）计算．
1
1
1
1
1
1 2
2 3
3 4
4 5
2021 2022
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
2022
+
+
+
+
+
´
´
´
´
´
æ
öæ
öæ
öæ
ö
æ
ö
-
-
-
-
-
ç
֍
֍
֍
÷
ç
÷
è
øè
øè
øè
ø
è
ø
L
L
21．（25-26 七年级上·四川达州·阶段检测）观察下列等式：
第1 个等式：
1
1
1
1
1
1 4
3
1
4
a
æ
ö
=
=
´
-
ç
÷
´
è
ø ；
第2 个等式：
2
1
1
1
1
4 7
3
4
7
a
æ
ö
=
=
´
-
ç
÷
´
è
ø ；
第3 个等式：
3
1
1
1
1
7 10
3
7
10
a
æ
ö
=
=
´
-
ç
÷
´
è
ø ；
第4 个等式：
4
1
1
1
1
10 13
3
10
13
a
æ
ö
=
=
´
-
ç
÷
´
è
ø ；
⋯
请解答下列问题：
(1)按以上规律列出第5 个等式：
5a = ___________=___________；
第n （n 为正整数）个等式：
na = __________=___________；
(2)求
1
2
3
4
2025
a
a
a
a
a
+
+
+
+
+
L
的值．
22．（25-26 七年级上·湖南湘西·阶段检测）阅读下列材料，计算：1
1
1
1
24
3
4
12
æ
ö
¸
-
+
ç
÷
è
ø ．
解法一：原式
1
1
1
1
1
1
24
3
24
4
24
12
=
¸
-
¸
+
¸
1
1
1
3
4
12
24
24
24
=
´ -
´ +
´
11
24
=
．
解法二：原式的倒数为1
1
1
1
3
4
12
24
æ
ö
-
+
¸
ç
÷
è
ø
1
1
1
24
3
4
12
æ
ö
=
-
+
´
ç
÷
è
ø
1
1
1
24
24
24
3
4
12
=
´
-
´
+
´
4
=
．
所以，原式
1
4
=
．
(1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法_____错误．
(2)请你根据对上述材料的理解，使用上述正确的方法计算：
1
1
1
7
3
42
3
6
14
7
æ
ö
-
¸
+
-
-
ç
÷
è
ø．
23．（25-26 七年级上·广东惠州·期中）（1）观察并补全下面的算式：
1
1
2
3
-
= ___________；1
1
3
4
-
= ___________；1
1
9
10
-
= ___________；
1
2 3 =
´
___________；
1
3 4 =
´
___________；
1
9 10 =
´
___________．
（2）算式
1
1
1
1
1 2
2
3
3 4
9 10
+
+
+ ×××+
=
´
´
´
´
___________．
（3）计算：
1
1
1
1
3 7
7 11
11 15
55 59
+
+
+×××+
´
´
´
´
．
24．（25-26 七年级上·四川达州·期中）如何计算1
1
1
1
1 2
2 3
3 4
19 20
+
+
+¼+
´
´
´
´
呢？数学兴趣小组通过探索完
成了这道题的计算．他们的探究思路如下：
解：小红发现：1
1
1
1 2
2
= -
´
，
1
1
1
2 3
2
3
=
-
´
，
1
1
1
3 4
3
4
=
-
´
，……
于是有：原式
1
1
1
1
1
1
1
1
19
1
1
2
2
3
3
4
19
20
20
20
= -
+
-
+
-
+¼+
-
= -
=
．
(1)①兴趣小组的同学发现此类算式有一个规律，请你帮忙写出来：
1
1
n n
=
+
；
②兴趣小组的同学根据这一规律，发现：
1
1
1
1
1 2
2 3
3 4
1
n n
+
+
+¼+
=
´
´
´
+
；
(2)兴趣小组的同学继续探索算式1
1
1
1
1 3
3 5
5 7
21 23
+
+
+¼+
´
´
´
´
，发现：1
1
1 3
3
=
´
，
1
2
1
3
3
-
=
，则1
1 3
´
和
1
1
3
-
之间的数量关系为：1
1
1
1
1 3
2
3
æ
ö
=
´
-
ç
÷
´
è
ø ，请你利用同学们的发现，结合（1）中的计算方法，帮助兴趣小组计
算出1
1
1
1
1 3
3 5
5 7
21 23
+
+
+¼+
´
´
´
´
的结果；
(3)请利用前面的思想方法计算：1
1
1
1
1 5
5 9
9 13
2025 2029
+
+
+¼+
´
´
´
´
．
25．（25-26 七年级上·江苏盐城·期中）类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，
得出它们在其他特征上也可能相似的结论．比如在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分
子相加减，例如：1
1
3
2
3
2
1
2
3
2 3
3 2
6
6
-
-
=
-
=
=
´
´
，我们将上述计算过程倒过来，得到1
1
1
1
6
2 3
2
3
=
=
-
´
，这一
恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于
1
4 6
´
可以用裂项的方法变形为：
1
1 1
1
4
6
2 4
6
æ
ö
=
-
ç
÷
´
è
ø．类比上
述方法，解决以下问题．
【猜想结论】（1）用含字母n 的式子表示裂项的结果：
1
1
n n
=
+
；
【类比计算】（2）计算：
1
1
1
1
1
1 3
3 5
5 7
7 9
2025 2027
+
+
+
+
+
- ´
- ´
- ´
- ´
-
´
L
；
【类比推理】（3）我们知道：
2
1 2 3
1
6
´ ´
=
；
2
2
2 3 5
1
2
6
´ ´
+
=
；
2
2
2
3 4 7
1
2
3
6
´ ´
+
+
=
；
2
2
2
2
4 5 9
1
2
3
4
6
´ ´
+
+
+
=
；…
①用一个含有n（n 为正整数）的等式表示上述规律为：
2
2
2
2
1
2
3
n
+
+
+
+
=
L
②根据你发现的规律，计算下面这个算式的值：
2
2
2
2
2
4
6
8
10
36
+
+
+
+
+
L
．
◆题型5 复杂实际应用题（解答题压轴）
26．（25-26 七年级上·广东佛山·期中）根据背景素材，探索解决问题．
周末小明打算去露营基地野餐
素材1
路线图：家→炸鸡店→面包店→水果店→奶茶店→露营基地；
素材2
这条路线近似看成东西走向．如果规定向东为正，向西为负，他这天行车里程（单位：km ）
如下：3
- ，5
+ ，2
+ ，4
- ，11
-
；
素材3
滴滴车价目表：起步价（不超过3km 时）车费8 元；超过3km 的部分，按2 元/千米收费，消
费满10 元赠送一张8 折优惠券和一张7 折优惠券（每人限赠一次，优惠券在下一订单生效，
且每笔订单仅限使用一张优惠券）．
问题解决
任务1
求露营基地在家的哪个方向，并求出与家的距离；
任务2
计算炸鸡店到面包店所用的车费；
任务3
该路线如何正确使用优惠券，能使总车费最低？最低总车费是多少？（假设小明每到一个地点
都会下车购物，然后换乘另一辆滴滴车前往下一个地点．）
27．（25-26 七年级上·江苏盐城·期中）综合实践：根据背景素材，探索解决问题．
爷爷的生日快到了，小丽打算先去几家店铺购买一些生日礼物，然后到饭店为爷爷庆生．
素材1
准备计划路线图：家→礼品店→蛋糕店→水果店→饮料店→饭店；
素材2
这条路线近似看成东西走向．如果规定向东为正，向西为负，她这天行车里程（单
位：km ）如下：3
- ，6
+ ，2.5
+
，4
- ，10
-
；
素材3
出租车价目表：
起步价（不超过3km 时）车费8 元，
超过3km 时，超过部分每千米收费2 元．
问题解决
任务1
问饭店在小丽家的哪个方向，并求出与家的距离；
任务2
计算打车从礼品店到蛋糕店所用的车费；
任务3
现在打车有优惠，实际付费满10 元即将获赠一张8 折优惠券和一张7 折优惠券（每
种优惠券只能在以后打车时每次只能使用一张）．说说小丽在该路线如何正确使用优
惠券，使总车费最低，并求出最低总车费．
28．（25-26 七年级上·江苏盐城·期中）密室闯关
小明一行人国庆假期去益智密室闯关，在最后的环节遇见了一个9 颗亮红灯的密码箱（这9 颗灯的材质完
全相同，如图1），密码箱边上有一张解码规则说明
【数学抽象】聪明的小伙伴们打算用数学知识解决问题，他们记每次同时切换m 颗灯的颜色，9 颗灯分别记
为A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，H ，I （如图2），探究得出可以用“ 1
+ ”和“ 1
- ”分别表示一颗灯“亮红光”
和“亮绿光”，计算这9 颗灯分别表示的数的乘积，则上述问题的目标是将乘积从
9
1
+
变为
9
1
-
．
【初步探究】
（1）当
3
m =
时，最少经过___________次操作后，所有的灯都能亮绿光；
（2）当
4
m =
时，经过一次操作后，有4 颗灯切换颜色，可以用算式
9
4
1
1
1
+
´ -
= 表示，因为
9
1
1
¹ -
，
所以经过一次操作后不能使所有的灯都亮绿光，因此解码失败；如果经过两次操作，能否使所有的灯都亮
绿光？请仿照上述说理过程，列出算式说明；
（3）当
4
m =
时，经过多次操作后，能否使所有的灯都亮绿光？若能，最少需要几次操作？若不能，请说
明理由；
【深入思考】
（4）当
5
m =
时，经过多次操作后，可以使所有的灯都亮绿光．小明他们判断出了最少的操作次数，并写
出了第一次的操作过程：“第一次：切换A ，B ，C ，D ，E 的颜色”，请参照小明的书写格式
．．．．、写全他们剩
下的操作步骤．
29．（25-26 七年级上·广西南宁·阶段检测）综合实践
怎样邮寄沃柑更经济?南宁武鸣沃柑是全国名特优新农产品，皮薄易剥，汁多味甜．小南家的沃柑
每年通过网络进行包邮销售，因此需要较多快递费的支出．
素
材
1
一客户在小南家定了10 箱沃柑，每箱以10 千克为标准，超过的千克数记为正数不足的千克数记为
负数，记录如表所示：
与标准质量的差值（单
位：千克）
0.3
0.1
0.1
-
0.2
-
箱数
1
4
3
2
素
材
2
据调查，某快递公司收费标准如下：首重1 千克以内8 元（含1 千克），续重（超过1 千克的部分）
2 元/千克，不足1 千克按1 千克计，超过20 千克的需要额外支付包装费30 元．
素
材
3
据小南家常年的邮寄经验，包裹越大，沃柑受损率越高．一个包裹在20 千克以内，沃柑几乎无受损
（受损忽略不计）；一个包裹质量在80 千克至120 千克之间，沃柑的受损率估计为5%，破损部分
由小南家按售价进行赔偿，返还给顾客相应现金．
任
务
1
计算这10 箱沃柑的总质量．
任
务
2
方案一：分10 箱邮寄，每箱一个包裹；
方案二：10 箱打成一个大包裹邮寄，
请通过计算说明，选哪种方案邮寄，小南家支付的邮费更省?省多少钱?
任
务
3
今年沃柑的成本价为3 元/千克，售价为8 元/千克．结合任务2，邮寄10 箱沃柑哪种方案利润更
高?
30．（25-26 七年级上·湖北襄阳·阶段检测）如图，在一张纸上画出一条水平的数轴，在数轴上放置一枚黑棋、
一枚白棋，黑棋和白棋在数轴上的位置所对应的数分别是5
- ，5，甲、乙两人做沿数轴移动棋子的游戏（甲
移动黑棋，乙移动白棋）．
两人先同时出示“石头、剪刀、布”三种手势中的一种，再根据获胜或平局的结果进行移动（石头胜剪刀，剪
刀胜布，布胜石头；若手势相同，则结果为平局），移动规则如下：
①若甲赢，则甲将黑棋向右移动2 个单位长度，同时乙将白棋向右移动1 个单位长度；
②若乙赢，则甲将黑棋向左移动1 个单位长度，同时乙将白棋向左移动2 个单位长度；
③若平局，则甲将黑棋向右移动1 个单位长度，同时乙将白棋向左移动1 个单位长度．
前四局的部分情况如下表所示．
局次
第一局
第二局
第三局
第四局
甲的手势
石头
剪刀
布
布
乙的手势
石头
布
石头
(1)从起始位置开始，第一局后黑棋所对应的数是_____，白棋在数轴上的位置所对应的数是_____；
(2)规定每局结束时，若黑棋的位置离原点更近，则甲获胜，若白棋的位置离原点更近，则乙获胜，那么第
三局结束时获胜的是谁？请说明理由．
(3)若第四局结束后，黑棋和白棋在数轴上的位置相距5 个单位长度，请通过分析回答：乙第四局的手势是
什么？
一、单选题
1．（25-26 七年级上·广东东莞·期中）据新华社北京2025 年1 月7 日电，2024 年我国知识产权量质齐升，国
内发明专利有效量达4756000 件．将数据4756000 用科学记数法表示应为（ ）
A．
7
0.4756 10
´
B．
6
4.756 10
´
C．
2
47.56 10
´
D．
2
4.756 10
´
2．（25-26 七年级上·宁夏中卫·期中）根据如图所示的程序，当输入x 的值为1 时，输出的y 值为（ ）
A．2
-
B．3
C．4
D．8
3．（25-26 七年级上·福建漳州·期中）如图，某种细菌在适宜环境下，细胞每过30 分钟便会由1 个分裂成2
个，经过4 小时，1 个细胞能分裂成（ ）
A．
7
2 个
B．
28 个
C．
4
2 个
D．
82 个
4．（25-26 七年级上·四川眉山·期中）已知x、y 为有理数，如果规定一种新运算
2
2
x x
y
x
y
x
y
x
y
ì-
£
ï
Å
= í
+
>
ïî
，则
3
2
4
Å - Å
= （ ）
A．5
-
B．5
C．8
D．13
5．（25-26 七年级上·天津河东·期末）已知a，b 是有理数，在数轴上的位置如图所示，则下列结论：①
0
b a
b
+
<
；②b
a
< - ；③
1
b
a
a
b
b
a
b
a
-
-
+
-
=
-
；④若
6
a
b
-
=
，c 是有理数，且满足
2
b
c
-
=
，则
8
a
c
-
=
．其中正确的是（ ）
A．①②③
B．②③④
C．①②④
D．①③④
二、填空题
6．（25-26 七年级上·福建漳州·期中）古希腊以来黄金分割就被视为最美丽的几何学比例，它的值约为
0.6180339 ……用四舍五入法精确到百分位为_________．
7．（25-26 七年级上·湖南衡阳·期中）计算
2024
2
1
1
3
3
æ
ö
-
+ -
´ -
=
ç
÷
è
ø
_________．
8．（25-26 七年级上·山东德州·期中）在数轴上，M 为表示2
- 的点，N 在M 左面3 个单位长度，Q 为距离N
为5 个单位长度的点，Q 所表示的数是___________．
9．（25-26 七年级上·湖南·期末）观察等式：1
1
1
1 2
2
= -
´
，1
1
1
2 3
2
3
=
-
´
，1
1
1
3 4
3
4
=
-
´
，将这三个等式两边分
别相加得1
1
1
1
1
1
1
1
1
3
1
1
1 2
2 3
3 4
2
2
3
3
4
4
4
+
+
= -
+
-
+
-
= -
=
´
´
´
．
计算1
1
1
1
1 3
3 5
5 7
2029
2031
+
+
+
+
=
´
´
´
´
L
______．
三、解答题
10．（25-26 七年级上·河北石家庄·期末）计算
(1)
3
1
3
1
( 2 )
(
)
( 3 )
( 5 )
4
2
4
2
+
- -
- -
- +
；
(2)
2
2026
3
4
2
2
1
9
3
æ
ö
-
¸
´ -
+ -
ç
÷
è
ø
11．（25-26 七年级上·宁夏吴忠·期末）小李是一名外卖员，某天中午他骑电动车一直在南北方向的文化路上
送外卖．如果向北行驶记作“+”，向南行驶记作“﹣”，这天中午他从集合点出发，行程记录如下（单位：千
米）：
2
- ，3.5
+
，1.8
-
，0.3
+
，1.6
+
，2.6
-
．
(1)小李将最后一份外卖送到目的地时，他在集合点的什么方向？距集合点多远？
(2)小李距集合点最远为______千米．
(3)若小李在出发时电动车显示剩余电量还能行驶12 千米，在中间不充电的情况下，他能否完成上面的行
程？请说明理由．
12．（24-25 七年级上·福建漳州·期中）二进制是计算技术中广泛采用的一种数制，它是用0 和1 两个数码来
表示数，“满二进一”，再将二进制数转化为十进制数供人们阅读，例：二进制数10100 转化为十进制数：
4
3
2
1 2
0 2
1 2
0 2
0
20
´
+ ´
+ ´
+ ´
+
=
，其它进制也有类似的算法．
(1)将二进制数“10010”转化为十进制数是________；
(2)类似的“进制问题”在我国远古时期就有出现，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，在从右
向左依次排列的不同绳子上打结，满七进一．如图1 所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数．
①根据图示，求孩子已经出生的天数．
②按我国传统习俗孩子出生100 天将会为他举办“百日宴”，请你通过计算并在图2 中画出此时母亲所打的
绳结情况．
13．（25-26 七年级上·北京·期末）2025 年10 月12 日，北京大学附属中学建校65 周年主题活动日在本部黄
庄校区圆满举行．六十五载风雨兼程，北大附中牢牢把握“培养什么人、怎样培养人、为谁培养人”这一核心
要义，坚持以北大精神为根脉，以真实世界为课堂，以未来需要为导向，培养了一代代优秀学子．
规定：对于三个有理数
1a ，
2a ，
3a ，先将每两个数都做一次求和，再将这些和的绝对值进行求和，记作
1
2
1
3
2
3
b
a
a
a
a
a
a
=
+
+
+
+
+
，若
65
b =
，则称这组数据为“校庆数组”．例如，对数组32.5
-
，25 ，26 做上
述运算：
32.5
25
32.5
26
25
26
b = -
+
+ -
+
+
+
，且
65
b =
，故数组32.5
-
，25 ，26 为“校庆数组”．
(1)已知数组10
-
，17 ，29 ，则b = ________；
(2)已知数组m ，6.5，32.5为“校庆数组”，写出一个满足要求的整数m 的值______ ；
(3)已知k 为整数，试判断：数组25
-
，k ，2 是否可能为“校庆数组”，并说明理由．
14．（25-26 七年级上·河南南阳·阶段检测）综合与实践
数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，
它是“数形结合”的基础．小锦在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究．
操作一：
（1）折叠纸面，若使表示1 的点与表示1
- 的点重合，则表示5
- 的点与表示______的点重合．
操作二：
（2）折叠纸面，若使表示2 的点与表示6
- 的点重合，解答以下问题．
①表示4 的点与表示______的点重合．
②若数轴上A，B 两点之间的距离为16（点A 在点B 的左侧），且A，B 两点经折叠后重合，则A，B 两点
表示的数分别是______．
操作三：
（3）在数轴上剪下长为8 个单位长度（从3
- 到5）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部
分某处剪一刀得到三条线段（如图）．若这三条线段的长度之比为1:1: 2 ，请直接写出折痕处对应的点可能
表示的数．
