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期中测试压轴题考点训练（1-3 章）
一、单选题
1．正方形
在数轴上的位置如图所示，点A、B 对应的数分别为
和
，若正方形
绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1 次后，点C 所对应的数为0；则翻
转2022 次后，点C 所对应的数是（ ）
A．2020
B．2021
C．2022
D．2023
【答案】A
【分析】通过前面几次的分析、归纳，发现每4 次一个循环，点C 所对应的数有规律地变
化；翻转
为正整数）次后，点C 所对应的数为
；翻转
次后，点C 所
对应的数为
；翻转
次后，点C 所对应的数为
；翻转
次后，点C 所对
应的数为
；于是令
即可得解．
【详解】解：翻转1 次后，点C 所对应的数为0；
翻转2 次后，点C 所对应的数为0；
翻转3 次后，点C 所对应的数为1；
翻转4 次后，点C 所对应的数为3；
翻转5 次后，点C 所对应的数为4；
翻转6 次后，点C 所对应的数为4；
翻转7 次后，点C 所对应的数为5；
翻转8 次后，点C 所对应的数为7；
翻转9 次后，点C 所对应的数为8；
……
翻转
次后，点C 所对应的数为
；
翻转
次后，点C 所对应的数为
；
翻转
次后，点C 所对应的数为
；
翻转
次后，点C 所对应的数为
；
余2，
令
，
，
翻转2022 次后，点C 所对应的数为2020；
故选：A．
【点睛】此题考查了数轴、图形上点在数轴上所对应的数的变化规律，正确理解题意，准
确找出翻转的次数与点
对应的数字的规律是解答此题的关键．
2．如图，
的面积为1．第一次操作：分别延长
，
，
至点
，
，
，使
，
，
，顺次连接
，
，
，得到△
．第二次操作：
分别延长
，
，
至点
，
，
；使
，
，
，
顺次连接
，
，
，得到△
，
按此规律，要使得到的三角形的面积超过
2021，最少经过 次操作．
A．6
B．5
C．4
D．3
【答案】C
【分析】根据三角形的面积公式可知，若两个三角形等底同高，则它们面积相等，从而推
出
，
，进而得到
，
再以此类推进行求解即可．
【详解】解：连接
，如图所示：
，
，
，
，
，
，
同理：
，
，
，
同理可得，第二次操作后
，
第三次操作后的面积为
，
第四次操作后的面积为
，
按此规律，要使得到的三角形的面积超过2021，至少要经过4 次操作，
故选：C．
【点睛】本题考查三角形面积相关的规律探究，解答此题的关键是找出相邻两次操作之间
三角形面积的关系，再根据此规律求解即可．
3．实验室里，水平桌面上有半径相同的甲、乙、丙三个圆柱形容器(容器足够高)，用两个
相同的管子在容器的
高度处连通(即管子底端离容器底
)．现三个容器中，只有甲
中有水，水位高
，如图所示，若每分钟同时向乙和丙注入相同量的水，开始注水1 分
钟，乙的水位上升
，则开始注入( )分钟的水量后，乙的水位高度比甲的水位高度高
．
A．3
B．6
C．3 或6
D．3 或9.3
【答案】D
【分析】在容器乙中的水未注入容器甲之前，注入的水仅存放在乙、丙容器内；在容器乙
中的水注入容器甲之后，注入容器乙和丙中的水流入到甲容器中，在注入的过程中产生
的高度差．
【详解】解：当容器乙中的水未注入容器甲之前，
由题意，注入单个容器中水位上升的高度与时间的关系为
/分钟， 所以当乙中水位为
时满足条件，所用时间为：
(分钟)；
当容器乙中的水注入容器甲之后，当甲容器中的水位为
，容器乙中的水位为
时，
满足题意，
设注水时间为x，则
，解得
(分钟)，
要使乙中水位高出甲
，则需注水的时间为：
分钟．
故选：D．
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，根据题意分析产生水位差的两种情况是解答本
题的关键点，建立方程时要注意甲容器中原有的水．
4．按如图所示的规律搭正方形：搭一个小正方形需要4 根小棒，搭两个小正方形需要7 根
小棒，搭100 个这样的小正方形需要小棒（ ）根．
A．300
B．301
C．302
D．400
【答案】B
【分析】通过归纳与总结得出规律：每增加1 个正方形，火柴棒的数量增加3 根，由此求
出第n 个图形时需要火柴的根数的代数式，然后代入求值即可．
【详解】解：搭2 个正方形需要4+3×1＝7 根火柴棒；搭3 个正方形需要4+3×2＝10 根火柴
棒；…，搭n 个这样的正方形需要4+3（n
1
﹣）＝3n+1 根火柴棒；
∴搭100 个这样的正方形需要3×100+1＝301 根火柴棒；
故选B．
【点睛】本题考查了图形规律型：图形的变化．解题的关键是发现各个图形的联系，找出
其中的规律，有一定难度，要细心观察总结．
5．若
，则
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】解：∵
，
∴
，
，
解得：
，
．
故
=
．
故选A．
【点睛】本题考查了非负数的性质和有理数的运算，几个非负数的和为0，则每个非负数
都为0．
6．把所有正偶数从小到大排列，并按如下规律分组，（2），（4，6，8），（10，12，
14，16，18），（20，22，24，26，28，30，32）…，若AM＝（i，j）表示正偶数M 是第
i 组第j 个数（从左往右数），若A8＝（2，3），则A2022＝（ ）
A．（32，27）
B．（32，50）
C．（45，41）
D．（45，49）
【答案】B
【分析】先计算出2022 是第1011 个数，然后判断1011 在第几组，再计算是这一组的第几
个数即可．
【详解】解：2022 是第1011 个数，
设2022 在第
组，
则
，
当
时，
，
当
时，
，
故第1011 个数在第32 组，
第32 组的第一个数为
，
则2022 是第
个数，
故
，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了数字的变化规律，找出数字之间排列的规律，得出数字的运算规
律是解决问题的关键．
7．如图所示：把两个正方形放置在周长为m 的长方形ABCD 内，两个正方形的重叠部分的
周长为n（图中阴影部分所示），则这两个正方形的周长和可用代数式表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】正方形AKIE 的周长表示为AK+KJ+JI+IH+HE+EM+MA，正方形FCLG 的周长表示为
GJ+JF+FC+CL+LH+HG，再利用线段的和差，求解即可．
【详解】解：∵长方形ABCD 的周长为m，阴影部分的周长为n，
AB+BC
∴
，JI+HI=
，
延长FG 交AD 于M，
正方形AKIE 的周长为：AK+KJ+JI+IH+HE+EM+MA，
正方形FCLG 的周长为：GJ+JF+FC+CL+LH+HG，
AK+JF=AB
∵
，KJ+FC=BC，
AK+JF+KJ+FC= AB+BC=
∴
，
AM+GL=AD=BC
∵
，
AM+GL+LC=BC+AB-DL=
∴
-DL，
GJ+JI+EI+ME=GJ+JI+HI+EH+GH= GJ+JI+HI+GH+EH=2(GJ+JI)+EH=n+EH
∴
，
EH=DL
∵
，
∴正方形AKIE 的周长+正方形FCLG 的周长=
+
-DL+ n+EH=m+n．故选：A．
．
【点睛】本题考查了列代数式、正方形的周长、长方形的周长，利用数形结合的思想解答
是解答本题的关键．
8．2018 年电影《我不是药神》反映了进口药用药贵的事实，从而引起了社会的广泛关注.
国家针对部分药品进行改革，看病贵将成为历史.某药厂对售价为m 元的药品进行了降价，
现在有三种方案.
方案一：第一次降价10%，第二次降价30%；
方案二：第一次降价20%，第二次降价15%；
方案三：第一、二次降价均为20%.三种方案哪种降价最多（ ）
A．方案一
B．方案二
C．方案三
D．不能确定
【答案】A
【分析】先用代数式分别表示出三种方案降价前后的价格，然后进行比较即可.
【详解】解：由题意可得：
方案一降价0.1m+m（1-10%）30%=0.37m；
方案二降价0.2m+m（1-20%）15%=0.32m；
方案三降价0.2m+m（1-20%）20%=0.36m；
故答案为A.
【点睛】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意、列出相应的代数式并进行比较..
9．当
时，多项式
.那么当
时，它的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】首先根据
时，多项式
，找到a、b 之间的关系，再代入
求
值即可.
【详解】当
时，
当
时，原式=
故选A.
【点睛】本题考查代数式求值问题，难度较大，解题关键是找到a、b 之间的关系.
10．有理数
在数轴上的对应点如图所示，则化简代数式
的结果是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，
去括号合并同类项即可得到结果.
【详解】解：由数轴可得a<0，b<0，c>0，且
a-b<0
∴
，a+b<0，b-c<0
∴
=
=
=
故选C
【点睛】本题考查整式的加减、数轴、绝对值、有理数的大小比较，解答此题的关键是明
确它们各自的计算方法，利用数形结合的思想解答.
11．按下面的程序计算：
如果n 值为非负整数，最后输出的结果为2343，则开始输入的n 值可能有 （ ）．
A．2 种
B．3 种
C．4 种
D．5 种
【答案】D
【分析】根据最后的结果2343 倒推，解出方程，再根据方程求出满足条件的值．
【详解】由最后的结果可列出方程：
，解得：
再由
，解得：
，解得：
，解得：
，解得：
由
值为非负整数可知
值可能为0,3,18,93,468 这5 种情况.
故答案为D.
【点睛】解题的关键是先把代数式进行变形，然后把满足条件的字母代入计算得到对应的
值．
二、填空题
12．已知（x+1）
2021＝a0+a1x1+a2x2+a3x3+…+a2021x2021，则a2+a4+…+a2018+a2020＝ ．
【答案】22020
1
﹣
【分析】先令x＝1，再令x＝﹣1 得出a0+a2+a4…+a2020=22021÷2，最后令x＝0，a0＝1 计算即
可
【详解】解：令x＝1，a0+a1x1+a2x2+a3x3+…+a2021x2021＝a0+a1+a2+a3+…+a2021＝22021；①
令x＝﹣1，a0+a1x1+a2x2+a3x3+…+a2021x2021＝a0﹣a1+a2﹣a3+…+a2020﹣a2021＝0；②
①+②
∴
得：a0+a1+a2+a3+…+a2021+a0﹣a1+a2﹣a3+…+a2020﹣a2021=22021
2（a0+a2+a4…+a2020）=22021
a0+a2+a4…+a2020=22021÷2
令x＝0，
∴a0＝1；
∴a2+a4+…+a2018+a2020＝22021÷2
1
﹣＝22020
1
﹣，
故答案为：22020
1
﹣．
【点睛】本题考查赋值法求二项式系数和的问题，正确使用赋值法是解题关键
13．若
是不为1 的有理数，我们把
称为
的差倒数，如2 的差倒数是
．已
知
，
是
的差倒数，
是
的差倒数，
是
的差倒数，依此类推，则
．
【答案】4
【分析】根据差倒数的定义分别计算出a1，a2，a3，a4…则得到从a1开始每3 个值就循环，
而2019÷3=673，所以
．
【详解】解：∵
，
，
…
∴这列数以
三个数依次不断循环出现；
2019÷3=673
∵
，
∴
故答案为:4
【点睛】此题考查了数字的变化规律，通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按
规律变化的因素，然后推广到一般情况．
14．如图，数轴上点A 的初始位置表示的数为1，现点A 做如下移动：第1 次点A 向左移
动3 个单位长度至点
，第2 次从点
向右移动6 个单位长度至点
，第3 次从点
向左
移动9 个单位长度至点
按照这种移动方式进行下去，则
在数轴上表示的数为
．如果点
与原点的距离不小于20，那么n 的最小值是 ．
【答案】 7 13
【分析】序号为奇数的点在点A 的左边，各点所表示的数依次减少3，序号为偶数的点在
点A 的右侧，各点所表示的数依次增加3，于是可得到A13表示的数为-17-3=-20，A12表示的
数为16+3=19，则可判断点An与原点的距离不小于20 时，n 的最小值是13．
【详解】第一次点A 向左移动3 个单位长度至点A1，则A1表示的数，1-3=-2；
第2 次从点A1向右移动6 个单位长度至点A2，则A2表示的数为-2+6=4；
第3 次从点A2向左移动9 个单位长度至点A3，则A3表示的数为4-9=-5；
第4 次从点A3向右移动12 个单位长度至点A4，则A4表示的数为-5+12=7；
第5 次从点A4向左移动15 个单位长度至点A5，则A5表示的数为7-15=-8；
…；
则A7表示的数为-8-3=-11，A9表示的数为-11-3=-14，A11表示的数为-14-3=-17，A13表示的数
为-17-3=-20，
A6表示的数为7+3=10，A8表示的数为10+3=13，A10表示的数为13+3=16，A12表示的数
16+3=19，
所以点An与原点的距离不小于20，那么n 的最小值是13．
故答案为7；13．
【点睛】此题考查规律型：数字变化类，认真观察、仔细思考，找出点表示的数的变化规
律是解题关键．
15．如图，A 点的初始位置位于数轴上表示1 的点，现对A 点做如下移动：第1 次向左移
动3 个单位长度至B 点，第2 次从B 点向右移动6 个单位长度至C 点，第3 次从C 点向左移
动9 个单位长度至D 点，第4 次从D 点向右移动12 个单位长度至E 点，…，依此类推．这
样第 次移动到的点到原点的距离为2018．
【答案】1345
【分析】根据数轴上点的坐标变化和平移规律（左减右加），分别求出点所对应的数，进
而求出点到原点的距离；然后对奇数项、偶数项分别探究，找出其中的规律（相邻两数都
相差3），写出表达式就可解决问题．
【详解】第1 次点A 向左移动3 个单位长度至点B，则B 表示的数，1
3=
2
﹣
﹣；
第2 次从点B 向右移动6 个单位长度至点C，则C 表示的数为﹣2+6=4；
第3 次从点C 向左移动9 个单位长度至点D，则D 表示的数为4
9=
5
﹣
﹣；
第4 次从点D 向右移动12 个单位长度至点E，则点E 表示的数为﹣5+12=7；
第5 次从点E 向左移动15 个单位长度至点F，则F 表示的数为7
15=
8
﹣
﹣；
…；
由以上数据可知，当移动次数为奇数时，点在数轴上所表示的数满足：﹣
（3n+1），当
移动次数为偶数时，点在数轴上所表示的数满足：
．
故当移动次数为奇数时，﹣
（3n+1）=
2018
﹣
，解得：n=1345，
当移动次数为偶数时，
，n=
（不合题意）．
故答案为1345．
【点睛】本题考查了数轴，以及用正负数可以表示具有相反意义的量，还考查了数轴上点
的坐标变化和平移规律（左减右加），考查了一列数的规律探究．对这列数的奇数项、偶
数项分别进行探究是解决这道题的关键．
16．若
，
，则
．
【答案】-2 或0 或4
【分析】对a 和b，以及
的正负进行分类讨论，然后去绝对值求出对应的值．
【详解】解：①当
，
时，
，
，
原式
；
②当
，
时，
，
，
原式
；
③当
，
，且
时，
，
原式
；
④当
，
，且
时，
，
原式
；
⑤当
，
，且
时，
，
原式
；
⑥当
，
，且
时，
，
原式
．
故答案是：-2 或0 或4．
【点睛】本题考查绝对值的性质，解题的关键是利用分类讨论的思想去化简绝对值．
17．一质点P 从距原点1 个单位的A 点处向原点方向跳动，第一次跳动到OA 的中点
处，
第二次从
点跳动到O
的中点
处，第三次从
点跳动到O
的中点
处，如此不
断跳动下去，则第5 次跳动后，该质点到原点O 的距离为 .
【答案】
【分析】根据题意分析可得：每次跳动后，到原点O 的距离为跳动前的一半．
【详解】解：依题意可知，第n 次跳动后，该质点到原点O 的距离为
，
∴第5 次跳动后，该质点到原点O 的距离为
.
故答案为
．
【点睛】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先
应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
18．关于x 的方程
的解是整数，则整数m= .
【答案】0；或-1；或-2；或-3
【详解】解方程
可得（2m+3）x=12，，因为x、m 都为整数，所以当m=0 时，
x=4，当m=-1 时，x=12，当m=-2 时，x=-12，当m=-3 时，x=-6，所以m 的取值为0，
或-1，或-2，或-3.
点睛：本题考查了一元一次方程解得情况，需要运用分类讨论思想，解答时要分各种情况
解答，要考虑到可能出现的所有情形，不要遗漏，否则讨论的结果就不全面．
19．将9 个数填入幻方的九个格中，使处于同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的三个
数的和相等，如图：将满足条件的另外9 个数中的三个数填入了图二，则这9 个数的和为
．
【答案】54
【分析】根据题意，先分析出第一行第一个数和第三行第一个数，即可进行解答．
【详解】解：设
，
∵
，
∴
，
，
，
．
∵
，
∴
，解得：
，
∴第一列的和为：
，∴这9 个数的和为：
，
故答案为：54．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是根据题意设出未知数求解．
20．一个两位数，若交换其个位数与十位数的位置，则所得的新两位数比原来两位数大
9．这样的两位数共有 个．
【答案】8.
【分析】先设原数十位数字为a，个位数字为b，列出方程后化简得b-a=1，再根据a 与b
值的要求选择确定数代入，求出满足该方程的值，即可解答此题.
【详解】设原数十位数字为a，个位数字为b，
由题意得：10b+a-（10a+b）=9，
解得b-a=1，
a
∵、b 均为大于0 且小于10 的整数，
∴当b=9、8、7、6、5、4、3、2 时，
a=8、7、6、5、4、3、2、1，
∴这样的两位数共有8 个，
故填：8.
【点睛】此题考查方程的简单应用列出方程后根据a、b 的取值确定准确数值是解题的关键.
21．若a 为有理数，则|a
3|+|
﹣
a+4|的最小值是 ，|a+2|
|
﹣a
1|
﹣
的最大值是 ．
【答案】 7 3
【分析】（1）当a＞3 时，当﹣4≤a≤3 时，当a＜﹣4 时，分3 种情况，求出|a
3|+|
﹣
a+4|
的最小值是多少即可；
（2）当a＞1 时，当﹣2≤a≤1 时，当a＜﹣2 时，分3 种情况，求出|a+2|
|
﹣a
1|
﹣
的最大值
是多少即可．
【详解】（1）当a＞3 时，|a
3|+|
﹣
a+4|＝a
3+
﹣
a+4＝2a+1＞7，
当﹣4≤a≤3 时，|a
3|+|
﹣
a+4|＝3﹣a+a+4＝7，
当a＜﹣4 时，|a
3|+|
﹣
a+4|＝﹣a+3﹣a
4
﹣＝﹣2a
1
﹣＞7，
由上可得，当﹣4≤a≤3 时，|a
3|+|
﹣
a+4|有最小值，最小值是7．
（2）当a＞1 时，|a+2|
|
﹣a
1|
﹣
＝a+2﹣a+1＝3，
当﹣2≤a≤1 时，|a+2|
|
﹣a
1|
﹣
＝a+2+a
1
﹣＝2a+1≤3，
当a＜﹣2 时，|a+2|
|
﹣a
1|
﹣
＝﹣a
2+
﹣
a
1
﹣＝﹣3，
由上可得，当a≥1 时，|a+2|
|
﹣a
1|
﹣
有最大值，最大值是3．
故答案为：7、3．
【点睛】此题主要考查绝对值最值的计算，注意分类讨论.
22．绝对值大于1 而小于3.5 的所有整数的和为 ．
【答案】0
【详解】根据已知得出1＜|x|＜3.5，求出符合条件的整数包括±2，±3，即2+（﹣2）+3+
（﹣3）=0．
故答案为0．
点睛：本题考查了对绝对值、相反数的意义的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力．
23．已知
，
，的大小关系如图所示，则下列各式：①
；②
；③
；④
；⑤
.其中正确的是
．（请填写序号）
【答案】②③⑤
【分析】根据数轴先求出a、b 和c 的取值范围，再逐一进行判断即可得出答案.
【详解】由图可得，b<0，0<a<c
b+a+(-c)<0
∴
，故①错误；-a-b+c>0，故②正确；
，故③正确；
，故④错误；
，故⑤正确；故答案为
②③⑤.
【点睛】本题考查的是数轴、相反数和绝对值的综合应用，难度较大，需要熟练掌握相关
基础知识.
24．观察下列等式：
，
，
，
，
，
，
……，
则
的个位数字是 .
【答案】4
【分析】由题中可以得
，
，
，
，
…
发现其和的末位数字是2，6，4，0…，依次循环，故2019÷4＝504…3．所以可知
的个位数字是4．
【详解】∵
，
，
，
，
，
，
……
∴
=2，末位数字为2；
=6，末位数字为6；
=14，末位数字为4；
=30，末位数字为0；
=62，末位数字为2；
=126，末位数字为6；
=254，末位数字为4；
=510，末位数字为0；
发现其和的末位数字是2，6，4，0…，依次循环∴2019÷4＝504…3，
所以
的个位数字是4，故答案为：4．
【点睛】本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并
应用发现的规律解决问题．解决本题的关键是找到其末位数字的循环规律．
25．已知
，则
的
最大值是 ．最小值是 ．
【答案】
【分析】先讨论∶
、
、
的最小值，根据它们的积是
36，分别得到
、
、
的值， 再讨论x、y、z 的最大最
小值，代入计算出代数式的最大值和最小值．
【详解】解：∵
，
，
，
∴
，
，
，
当
时，x 最小取
，最大取2，
当
时，y 最小取
，最大取2，
当
时，z 最小取
，最大取3
∴
的最大值为∶
，
的最小值为∶
，
故答案为：
；
．
【点睛】本题考查了绝对值的意义，主要运用了分类讨论的思想．根据积得到各个绝对值
的和分别是多少是解决本题的关键．
三、解答题
26．同学们学过有理数减法可以转化为有理数加法来运算，有理数除法可以转化为有理数
乘法来运算．其实这种转化的数学方法，在学习数学时会经常用到，通过转化我们可以把
一个复杂问题转化为一个简单问题来解决．
例如：计算
．
此题我们按照常规的运算方法计算比较复杂，但如果采用下面的方法把乘法转化为减法后
计算就变得非常简单．
分析方法：因为
，
，
，
．
所以，将以上4 个等式两边分别相加即可得到结果，解法如下：
（1）
________；
（2）应用上面的方法计算：
．
（3）类比应用上面的方法探究并计算：
．
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【分析】（1）根据题中式子的计算规律直接计算即可；
（2）根据题目中式子的特点，将各式化为两个数的差，再根据有理数的加减法法则计算；
（3）根据题目中式子的特点，将各式化为两个数的差，再根据有理数的加减法法则计算.
【详解】（1）∵
，
，
，
，
∴
，
故答案为：
＇
（2）
=
=
=
；
（3）
=
=
=
=
.
【点睛】此题考查有理数的混合运算，数字类规律的探究，根据题意得到此题的计算规律
是解题的关键.
27．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某区采用价格调控手段达到节水的目的，
如表是调控后的价目表．
价目表
每月用水量
单价
不超过6 吨的部分
2 元/吨
超出6 吨不超出10 吨的部分
4 元/吨
超出10 吨的部分
8 元/吨
注：水费按月结算．
（1）若该户居民8 月份用水8 吨，则该用户8 月应交水费 元；若该户居民9 月份应
交水费26 元，则该用户9 月份用水量为 吨；
（2）若该户居民10 月份应交水费30 元，求该用户10 月份用水量；
（3）若该户居民11 月、12 月共用水18 吨，共交水费52 元，求11 月、12 月各应交水费
多少元？
【答案】（1）20；9.5；（2）该用户10 月份用水量为10.25 吨；（3）11 月份交16 元，12
月份交36 元或11 月份交36 元，12 月份交16 元．
【分析】（1）因为用水量为8 吨，所以计算单价分为两段，列式计算即可；先计算用水
量为6 吨和10 吨的总价，与26 对比，发现9 月份用水量x 的取值范围，从而列出方程求解；
（2）与（1）类似，由题意得出水费30 元，用水量超过了10 吨，列方程求未知数即可；
（3）设该户居民11 月、12 月共应交的水费为W 元，由题意表示出11 月用水量；分三种
情况进行讨论：当0≤a≤6 时，当6＜a≤8 时，当8＜a＜9 时，列式表示即可．
【详解】解：（1）6×2+（8
6
﹣）×4＝20，
答：该用户8 月应交水费20 元；
设该用户9 月份用水量为x 吨，
2×6＝12，2×6+（10
6
﹣）×4＝28，
12
∵
＜26＜28，
6
∴＜x＜10，
则6×2+4（x
6
﹣）＝26，
x＝9.5，
答：该用户9 月份用水量为9.5 吨；
故答案是：20；9.5；
（2）该用户10 月份用水量为y 吨，则y＞10，
根据题意得：6×2+（10
6
﹣）×4+8（y
10
﹣
）＝30，
y＝10.25；
（3）设11 月份用水x 吨，12 月份用水（18
x
﹣）吨，
①当0≤x≤6 时，18
x
﹣＞10，由题意得：2x+2×6+4×4+8[（18
x
﹣）﹣10]＝52．
即：﹣6x+92＝52，
解得x＝
（舍去），
②当6＜x≤8 时，18
x≥10
﹣
，2×6+4（x
6
﹣）+2×6+4×4+8[（18
x
﹣）﹣10]＝52，
解得x＝7，18
x
﹣＝11．
故11 月份的水费是：6×2+1×4＝16（元）
12 月份的水费是：6×2+4×4+1×8＝36（元）．
同理可得：11 月份交36 元，12 月份交16 元．
答：11 月份交16 元，12 月份交36 元或11 月份交36 元，12 月份交16 元．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，居民交水费问题，明确单价、用水量、总价的
关系；因为单价分三种，较为麻烦，容易出错，因此计算时要耐心细致；首先要弄清每个
单价部分的最大值，这样才能知道某月水费价格与水量之间的关系，尤其是第（3）问，不
但要注意11 月的用水量的范围，还要注意12 月的用水量的范围．
28．已知数轴上两点A、B 所表示的数分别为a 和b，且满足|a＋3|＋(b－9)2018＝0，O 为原
点
(1) 试求a 和b 的值
(2) 点C 从O 点出发向右运动，经过3 秒后点C 到A 点的距离是点C 到B 点距离的3 倍，求
点C 的运动速度？
(3) 点D 以1 个单位每秒的速度从点O 向右运动，同时点P 从点A 出发以5 个单位每秒的速
度向左运动，点Q 从点B 出发，以20 个单位每秒的速度向右运动．在运动过程中，M、N
分别为PD、OQ 的中点，问
的值是否发生变化，请说明理由.
【答案】(1) a＝－3，b＝9；(2)每秒5 个单位或每秒2 个单位；(3)
为定值，
理由见解析
【分析】(1) 根据非负数的和等于零，可得每个非负数同时为零，从而a=-3，b=9；
(2)设C 点对应的数为x，CA=x-(-3)=x+3，由于点C 存在在B 点左侧和右侧两种情况，故CB
的长为|x-9|，根据CA=3CB 列式即可求出x，从而求得运动速度；
(3 设运动时间为t 秒，用含t 的代数式分别表示PQ、OD、MN，然后代入
求值即
可判断.
【详解】(1) a＝－3，b＝9
(2) 设3 秒后，点C 对应的数为x
则CA＝|x＋3|，CB＝|x－9|
CA
∵
＝3CB
|x
∴
＋3|＝3|x－9|＝|3x－27|
当x＋3＝3x－27，解得x＝15，此时点C 的速度为
当x＋3＋3x－27＝0，解得x＝6，此时点C 的速度为
(3) 设运动的时间为t
点D 对应的数为：t
点P 对应的数为：－3－5t
点Q 对应的数为：9＋20t
点M 对应的数为：－1.5－2t
点N 对应的数为：4.5＋10t
则PQ＝25t＋12，OD＝t，MN＝12t＋6
∴
为定值.
故答案为(1) a＝－3，b＝9；(2)每秒5 个单位或每秒2 个单位；(3)
为定值.
【点睛】此题考查是列代数式，数轴上两点之间的距离，掌握两地之间的距离求法是解决
问题的关键．
29．阅读理解：
【阅读材料】
在数轴上，通常用“两数的差”来表示“数轴上两点的距离”如图1 中三条线段的
长度可表示为：
,
结论：数轴上任意两
点
表示的数为分别
，则这两个点间的距离为
（即：用较大的数去减较小的
数）
【理解运用】
根据阅读材料完成下列各题：
（1）如图2,
分别表示数
，求线段
的长；
（2）若在直线
上存在点
，使得
，求点
对应的数值.
（3）
两点分别从
同时出发以3 个单位、2 个单位长度的速度沿数轴向右运动，
求当点
重合时，它们运动的时间；
（4）在（3）的条件下，求当
时，它们运动的时间.
【答案】(1) 线段
的长为8;(2)
时，点对应的数值为5 或9;(3)运动时间为秒
时，
重合;(4)运动时间为4 或12 小时，
.
【分析】(1) 由题意，直接观察数轴和定义代入即可求出线段
的长;
(2)根据题意设点
对应的数值为
，分当点
在点
左侧时以及当点
在点
右侧时列方
程求解即可;
(3)根据题意设运动时间为秒时
重合用含t 的代数式表示出M、N 进行分析;
(4)由题意设运动时间为秒时，
,分当点
在点
左侧时以及当点
在点
右
侧时进行分析求解.
【详解】解：（1）由题意得，线段
的长为：
，
答：线段
的长为8.
（2）设点
对应的数值为
（ⅰ）当点
在点
左侧时，
因为
所以
解得
（ⅱ）当点
在点
右侧时
因为
所以
解得
答：
时，点对应的数值为5 或9.
（3）设运动时间为秒时，
重合
点对应数值表示为
，
点对应数值表示为
由题意得
解得
答：运动时间为秒时，
重合.
（4）设运动时间为秒时，
,
（ⅰ）当点
在点
左侧时，
由（3）有
解得：
（ⅱ）当点
在点
右侧时
答：运动时间为4 或12 小时，
.
【点睛】本题考查一元一次方程的实际运用，利用数形结合的思想和数轴上求两点之间距
离的方法解决问题．
30．【阅读】若点
，
在数轴上分别表示有理数
，
，
，
两点之间的距离表示为
，则
，即
表示为5 与3 两数在数轴上所对应的两点之间的距离．
(1)点
，
表示的数分别为
，2，则
_______，
在数轴上可以理解为______；
(2)若
，则
_________，若
，则
________；
【应用】
(3)如图，数轴上表示点
的点位于
和2 之间，求
的值；
(4)由以上的探索猜想，对于任意有理数
，
是否有最小值？如果有，求
出最小值，并写出此时x 的值；如果没有，说明理由．
【答案】(1)9，
与
的距离
(2)
或7.1，
(3)5
(4)有最小值，7
【分析】（1）根据数轴上表示
的点与表示2 的点之间的距离为9，根据两点间距离的定
义将
转化为
即可得到结论；
（2）根据数轴上与3.1 相距4 个单位的点为7.1 或
，数轴上表示
的点和到表示3 的
点距离相等的点所表示的数为
；
（3）根据题意，
表示a 到
的距离加上
到2 的距离，由于
位于
和2 之
间，即
和2 的两点距离之和，即可得到结论；
（4）结合数轴分析，分析出几何意义，即可得到当
时取得最小值，求出具体结果即
可．
【详解】（1）解：数轴上表示
的点与表示2 的点之间的距离为9，
，即可表示为
到
的距离，
故答案为：9；
与
的距离；
（2）解：
，
到3.1 的距离为4，
，
，
，
到
的距离和
到3 的距离相同，
，
故答案为：
或7.1；
；
（3）解：
可表示a 到
的距离加上
到2 的距离且
位于
和2 之间，
原式可看作
与2 之间的距离，
；
（4）解：
可表示为
到
的距离加上
到
的距离加上
到1 的距离，
当
时，该式取得最小值，此时
．
【点睛】本题考查了数轴和绝对值的性质，理解数轴上两点间的距离是解题的关键．
