数学 －７９
－ 九年级·下册
九年级数学( 下册)
期中综合检测卷
(考查范围:第二十六章至第二十七章)
考试时间:１２０分钟 满分:１２０分
一、选择题(本大题共１０小题,每小题３分,共３０分．在每小题
中均给出了四个答案,其中有且只有一个正确答案)
１．把一根铁丝截成同样长的几小段,截成的段数和每段的长度
(B )
A．成正比例
B．成反比例
C．不成比例
D．无法确定
２．如果两个相似三角形对应高的比是４∶９,那么它们的面积
比是
(C )
A．
４∶９
B．
２∶３
C．
１６∶８１
D．
９∶４
３．已知反比例函数y＝k
x
(k≠０)的图象经过点P(１,－６),则
下列各点在该反比例函数图象上的是
(B )
A．(２,３)
B．(－２,３)
C．(－３,－２) D．(３,２)
４．如图,直线l１∥l２∥l３,直线a,
b 与l１,
l２,
l３分别交于点A,B,
C 和点D,E,F．若AB∶BC＝２∶３,DF＝１０,则DE 的长是
(A )
A．
４
B．
４．
５
C．
５
D．
６
第４题图
第５题图
第６题图
５．一款便携式音响以锂电池为电源,该电池的电压为定值,工
作时电流I(单位:A)与电阻R(单位:Ω)之间的函数关系如
图所示,则当电阻R 为４Ω 时,电流I 为
(D )
A．
６A
B．
１A
C．２
３A
D．３
２A
６．如图,已知∠ACB＝∠D＝９０°,下列条件中不能判定△ABC
和△BCD 相似的是
(D )
A．
AB∥CD
B．
BC 平分∠ABD
C．∠ABC ＋∠DBC＝９０°
D．
AB∶BC＝BD∶CD
７．如图,一次函数y１＝kx＋b(
k≠０)与反比例函数y２＝m
x
(m≠
０)的图象相交于A(１,２),B(－２,
a)两点,则不等式kx＋b－
m
x＜０的解集是
(A )
A．
x＜－２或０＜x＜１
B．
x＜－２
C．－２＜x＜０或x＞１
D．
x＜１
第７题图
第８题图
第１０题图
８．如图,在▱ABCD 中,点E 在BA 的延长线上,AB＝２AE,
CE 与BD 交于点F．若BD＝１０,则DF 的长为
(B )
A．
３．
５
B．
４
C．
４．
５
D．
５
９．在函数y＝m
２＋１
x
(m 为常数)的图象上有三点(３,y１),(１,y２),
(－２,y３),则y１,y２,y３的大小关系是
(C )
A．
y３＜y２＜y１B．
y１＜y２＜y３
C．
y３＜y１＜y２
D．
y２＜y３＜y１
１０．“如图,在矩形ABCD 中,AB ＝９,BC＝１５,P,Q 分别是
BC,CD 上的点．”张老师要求添加条件后,编制一道题目,
并解决,甲、乙两人的做法如下．
甲:若CQ ＝４,则在BC 上存在２个点P,使△ABP 与
△PCQ 相似;
乙:若AP⊥PQ,则CQ 的最大值为２５
４．
下列判断正确的是
(C )
A．甲、乙都错B．甲、乙都对
C．甲错乙对
D．甲对乙错
二、填空题(本大题共６小题,每小题３分,共１８分)
１１．写出一个图象的一支位于第二象限的反比例函数解析式:
y＝－１
x
(答案不唯一) ．
１２．在比例尺为１∶１０００００的地图上,量得A 地与B 地的距离
约为３１cm,则A 地与B 地的实际距离约为 ３１ km．
１３．若点A(a,
b)在反比例函数y＝３
x的图象上,则代数式ab－
１的值为 ２ ．
１４．如图,在平面直角坐标系中,函数y＝k
x
(x＞０)的图象经过
点A,B,AC⊥x 轴于点C,BD⊥y 轴于点D,连接OA,OB．
若△OAC 与△OBD 的面积之和为２,则k 的值为 ２ ．
第１４题图
第１５题图
第１６题图
１５．如图,正方形ABCD 的边长为６,E 为CD 的中点,G,F 分别为AD,
BC 边上的点．若DG＝２,∠GEF＝９０°,则FG 的长为 ６．
５ ．
１６．如图,在平面直角坐标系中,菱形OBCD 的边OB 在x 轴正半
轴上,反比例函数y＝k
x
(x＞０)的图象经过该菱形对角线的交
点A,且与边BC 交于点F．若点D 的坐标为(３,４),则点F 的
坐标是 (６,４
３) ．
三、解答题(本大题共８小题,共７２分)
１７．(本题满分６分)如图是反比例函数y＝２－３k
x
的图象的一支,
根据图象回答下面的问题:图象的另一支在哪个象限? 常数k
的取值范围是什么?
解:图象的另一支在第四象限．由２－３k＜０,
得k 的取值范围是k＞２
３．
１８．(本题满分８分)如图,在平面直角坐标系中,△ABC 的顶点都
位于网格点上,按要求完成下列任务．
(１)画出△ABC 关于y 轴对称的△A１B１C１;
(２)以点O 为位似中心,在第一象限中画出△A２B２C２,使得
△A２B２C２与△ABC 位似,且相似比为３．
解:(１)如图,△A１B１C１即为所求．
(２)如图,△A２B２C２即为所求．
１９．(本题满分８分)如图,在△ABC 中,D 是AB 上一点,且∠ACD＝
∠B,已知AD＝８cm,BD＝４cm,求AC 的长．
解:∵∠A＝∠A,∠ACD＝∠B,
∴△ACD∽△ABC．∴AD
AC ＝AC
AB．
∵AD＝８cm,BD＝４cm,∴AB＝１２cm．
∴８
AC＝AC
１２．∴AC＝４６(cm)．
数学 －８０
－ 九年级·下册
２０．(本题满分９分)如图,直立在B 处的标杆AB＝２．
５m,观察
者站在点F 处,人眼E、标杆顶点A、树顶C 在一条直线上,
点F,B,D 也在一条直线上．已知BD＝１０m,FB＝３m,人眼
高EF＝１．
７m,求树高CD(结果保留小数点后一位)．
解:如图,过点E 作EH⊥CD 于点H,交
AB 于点G,则EG＝FB＝３m,GH ＝
BD＝１０m,DH ＝BG＝EF＝１．
７m．
∴AG＝AB－BG＝２．
５－１．
７＝０．
８(m),
EH ＝EG＋GH ＝３＋１０＝１３(m)．
∵AB∥CD,∴△EAG∽△ECH ．
∴AG
CH ＝EG
EH
,即０．
８
CH ＝３
１３
,解得CH ≈３．
４７(m)．
∴CD＝CH ＋DH ＝３．
４７＋１．
７≈５．
２(m)．
答:树高CD 约为５．
２m．
２１．(本题满分９分)如图,已知直线y＝x ＋b 与反比例函数
y＝k
x
(x＞０)的图象交于点A(２,３),与y 轴交于点B,过点B
作x 轴的平行线交反比例函数y＝k
x
(x＞０)的图象于点C．
(１)求直线AB 和反比例函数的解析式;
(２)求△ABC 的面积．
解:(１)因为直线y＝x＋b 与反
比例函数y＝k
x
(x＞０)的图象
交于点A(２,３),所以２＋b＝３,
３＝k
２．
所以b＝１,
k＝６．所以直线AB 的解析式为y＝x＋１,反比
例函数的解析式为y＝６
x．
(２)对于y＝x＋１,令x＝０,则y＝１,所以点B 的坐标为(０,１)．
因为BC∥x 轴,所以点C 的纵坐标为１．
把y＝１代入y＝６
x
,得x＝６,所以点C 的坐标为(６,１)．
所以BC＝６．所以△ABC 的面积＝１
２×６×(３－１)＝６．
２２．(本题满分１０分)如图,在正方形ABCD 中,E 为边AD 的中
点,点F 在边CD 上,且∠BEF＝９０°,延长EF 交BC 的延长线
于点G．
(１)求证:BE
２＝AEBG;
(２)若AB＝６,求CG 的长．
(１)证明:∵四边形ABCD 为正方形,且
∠BEG＝９０°,
∴∠A＝∠ABG＝９０°＝∠BEG．
∴∠ABE ＋∠EBG ＝９０°,∠G ＋∠EBG ＝
９０°,
∴∠ABE＝∠G．∴△ABE∽△EGB．
∴AE
EB ＝BE
GB
,即BE
２＝AEBG．
(２)解:∵四边形ABCD 为正方形,∴AD＝BC＝AB＝６．
又E 为边AD 的中点,∴AE＝１
２AD＝３．
在Rt△ABE 中,BE＝
AB
２＋AE
２＝
６
２＋３
２＝３５．
由(１)知BE
２＝AEBG,∴BG＝１５．
∴CG＝BG－BC＝１５－６＝９．
２３．(本题满分１０分)如图,在平面直角坐标系中,∠AOB＝９０°,
AB∥x 轴,OB＝４,双曲线y＝k
x 经过点B,将△AOB 绕点
B 逆时针旋转,使点O 的对应点D 落在x 轴正半轴上,且
AB 的对应线段CB 恰好经过点O．
(１)求反比例函数的解析式;
(２)小彬通过观察图形得出一个结论:点C 在双曲线y＝k
x
上．请你证明这个结论的正确性．
解:(１)因为AB∥x 轴,所以∠ABO＝∠BOD．
由旋转知∠ABO＝∠CBD,OB＝BD,
所以∠BOD＝∠CBD．所以BD＝OD．
所以OB＝BD＝OD．
所以△BOD 是等边三角形．
所以∠BOD＝６０°,OD＝BD＝OB＝４．
如图,过点B 作BE⊥x 轴于点E,
所以OE＝DE＝１
２OD＝２．
所以BE＝
BD
２－DE
２＝
４
２－２
２＝２３．
所以点B 的坐标为(２,２３)．
因为双曲线y＝k
x 经过点B,所以k＝２×２３＝４３．
所以反比例函数的解析式为y＝４３
x ．
(２)由(１)知∠ABO＝∠BOD＝６０°,且∠AOB＝９０°,
所以∠A＝３０°．所以AB＝２OB．
由旋转知AB＝BC,所以BC＝２OB．所以OC＝OB．
所以易知点C 的坐标为(－２,－２３)．
因为－２×(－２３)＝４３,所以点C 在双曲线y＝４３
x 上．
２４．(本题满分１２分)【问题背景】如图①,在△ABC 中,点D,E 分别
在AC,AB 上,２∠EDB ＋∠BDC＝１８０°,∠DEB＝９０°,求证:
AE＝BE;
【变式迁移】如图②,在四边形DEBC 中,２∠EDB ＋∠BDC＝
１８０°,∠DEB＝９０°,DF∥BE,且DF 分别交CE,BC 于点G,
F,求证:DG＝FG;
【拓展应用】如图③,在四边形DECB 中,２∠DBE ＋∠EBC＝
１８０°,∠EDB＝∠DCB,DB
DC＝１
n
,且n＞１,直接写出BC
BE的值．
【问题背景】证明:∵２∠EDB＋∠BDC＝１８０°,
∠ADB＋∠BDC＝１８０°,∴∠ADB＝２∠EDB．
∴∠ADE＋∠EDB＝２∠EDB．∴∠ADE＝∠EDB．
∵∠DEB＝９０°,∴∠DEA＝∠DEB＝９０°．
在△DEA 和△DEB 中,
∠ADE＝∠BDE,
DE＝DE,
∠DEA＝∠DEB,
{
∴△DEA≌△DEB(ASA)．∴AE＝BE．
【变式迁移】证明:如图②,延长CD,BE 交于点M ,由【问题背景】可知ME＝BE．
∵DF∥BE,
∴△CDG∽△CME,△CFG∽△CBE．
∴DG
ME＝CG
CE
,FG
BE＝CG
CE．∴DG
ME＝FG
BE．
∵ME＝BE,∴DG＝FG．
【拓展应用】解:BC
BE＝n
２－１． 【解析】如图③,在CB 的延长线上截取BP＝BE,连接
DP．由【问题背景】可知∠DBP ＝∠DBE．在△DBE
和△DBP
中,
BE＝BP,
∠DBE＝∠DBP,
BD＝BD,
{
∴△DBE ≌△DBP (SAS)．∴∠EDB ＝∠PDB．∵∠EDB ＝
∠DCB,∴∠PDB＝∠DCB．又∠P＝∠P,∴△DPB∽△CPD．∴DB
CD ＝BP
DP ＝PD
PC ．
∵DB
DC ＝１
n
,∴BP
PD ＝PD
PC ＝１
n ．设BP＝１,则PD＝n,∴１
n ＝n
PC．∴PC＝n
２．∴BC＝
PC－BP＝n
２－１．∴BC
BE＝BC
BP＝n
２－１
１
＝n
２－１．
