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第十三章 轴对称压轴题考点训练
评卷人
得分
一、单选题
1．如图所示，把腰长为1 的等腰直角三角形折叠两次后，得到的一个小三角形的周长是（
）
A．1+
B．1+
C．2-
D．
-1
【答案】B
【详解】第一次折叠后，等腰三角形的底边长为1，腰长为
；
第一次折叠后，等腰三角形的底边长为
，腰长为
，所以周长为
.
故答案为B.
2．已知点M(2,2)，且OM=2
，在坐标轴上求作一点P，使△OMP 为等腰三角形，则点P
的坐标不可能是（ ）
A．(2
,0)
B．(0,4)
C．(4,0)
D．(0,8
)
【答案】D
【分析】分类讨论：OM=OP；MO=MP；PM=PO，分别计算出相应的P 点，从而得出答案．
【详解】∵M(2,2),且OM=2
,且点P 在坐标轴上
当
时
P 点坐标为：
，A 满足；
当
时：
P 点坐标为：
，B 满足；
当
时：
P 点坐标为：
，C 满足
故答案选：D
【点睛】本题考查动点问题构成等腰三角形，利用等腰三角形的性质分类讨论是解题关键．
3．如图，△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D 在线段BC 上，∠EDB＝
∠ACB，
BE⊥DE，DE 与AB 相交于点F，若BE＝4，则DF＝（ ）
A．6
B．8
C．10
D．12
【答案】B
【分析】过点D 作AC 的平行线交BE 的延长线于H，交AB 于G，则可得DB=DH，从而
BH=2BE，又可证明△HGB≌△FGD， 则DF=BH，从而可求得DF 的长．
【详解】过点D 作AC 的平行线交BE 的延长线于H，交AB 于G，如图所示
∵DH∥AC
∴∠BDH=∠ACB
∵∠EDB＝
∠ACB
∴∠EDB＝
∠BDH
∴∠EDB=∠EDH
∵BE⊥DE
∴∠DEB=∠DEH
∴∠DBE=∠DHE
∴DB=DH
即△DBH 是等腰三角形
∴BH=2BE=2×4=8
∵AB=AC，∠BAC=90°
∴∠ACB=∠ABC=45°
∴∠EDB=∠EDH=
∠ACB=22.5°
∵BE⊥DE
∴∠EBD=90°-∠EDB=67.5°
∴∠HBG=∠EBD-∠ABC=22.5°
∴∠HBG=∠EDH
∵∠BDH=∠ACB=∠ABC=45°
∴GB=GD，∠BGD=90°
在Rt△HGB 和Rt△FGD 中
∴△HGB≌△FGD
∴DF=BH=8
故选：B．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，构造辅助
线得到全等三角形是问题的关键．
4．在坐标平面上有一个轴对称图形，其中A（3，﹣
）和B（3，﹣
）是图形上的一对
对称点，若此图形上另有一点C（﹣2，﹣9），则C 点对称点的坐标是（ ）
A．（﹣2，1）
B．（﹣2，﹣
）
C．（﹣
，﹣9）
D．（﹣2，﹣1）
【答案】A
【分析】先利用点A 和点B 的坐标特征可判断图形的对称轴为直线y=-4，然后写出点C 关
于直线y=-4 的对称点即可．
【详解】解：∵A（3，﹣
）和B（3，﹣
）是图形上的一对对称点，
∴点A 与点B 关于直线y＝﹣4 对称，
∴点C（﹣2，﹣9）关于直线y＝﹣4 的对称点的坐标为（﹣2，1）．
故选：A．
【点睛】本题考查了坐标与图形的变化，需要注意关于直线对称：关于直线x=m 对称，则
两点的纵坐标相同，横坐标和为2m；关于直线y=n 对称，则两点的横坐标相同，纵坐标和
为2n．
5．如图，
的角平分线与
的垂直平分线
交于点
，垂足
分别为
，若
，则
的周长为（ ）
A．19
B．28
C．29
D．38
【答案】B
【分析】连接BD、DC，证△BDE
CDF
≌△
，可得CF=BE，根据角平分线性质可知AE=AF，即可
求周长．
【详解】解：连接BD、DC，
AD
∵
平分∠ BAC，
，
DE=DF
∴
，
AD=AD
∵
，
Rt
ADE Rt
ADF
∴
△
△
≌
，
AE=AF=9
∴
，
DG
∵
垂直平分BC，
BD=DC
∴
，
Rt
BDE Rt
CDF
∴
△
△
≌
，
BE=CF
∴
，
的周长=AB+AC+BC=AF-CF+AE+BE+BC=2AF+BC=28，
故选：B．
【点睛】本题考查了角平分线的性质、垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质，解
题关键是依据已知条件，恰当作辅助线，构造全等三角形．
6．如图，等边
中，
、
分别为
、
边上的点，
，连接
、
交
于点
，
、
的平分线交于
边上的点
，
与
交于点
，连接
下列说法：
；
；
；
；其
中正确的说法有（ ）
A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
【答案】A
【分析】根据等边三角形的性质，证明
；即可得①正确；证明
，
，再由
，即可得
②正确；先证
，得
，再证
，即可得
③正确；先证
，得
，再证
，由
，
即可得④正确；
【详解】解：
是等边三角形，
，
在
和
中，
，
，故①正确；
，
，
，
，
，
，
，
的平分线交于
边上的点G，
，
，
，故②正确；
如下图，过点G 作
于T，
于J，
于K，
平分
，
平分
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，故③正确；
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，故④正确；
综上：正确的有4 个；
故选A．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义和性
质，三角形内角和定理，三角形的外角，解题的关键是证三角形全等．
7．如图，C 为线段AE 上一动点（不与点A，E 重合），在AE 同侧分别作等边△ABC 和等
边△ECD，AD 与BE 交于点O，AD 与BC 交于点P，BE 与CD 交于点Q 连接PQ．以下五
个结论正确的是（ ）
①
；②PQ∥AE； ③
；④
；⑤
A．①③⑤
B．①③④⑤
C．①②③⑤
D．①②③④⑤
【答案】C
【分析】①由于△ABC 和△CDE 是等边三角形，可知AC=BC，CD=CE，
∠ACB=∠DCE=60°，从而证出△ACD≌△BCE，可推知AD=BE；②由△ACD≌△BCE 得
∠CBE=∠DAC，加之∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，得到△CQB≌△CPA（ASA），再根据
∠PCQ=60°推出△PCQ 为等边三角形，又由∠PQC=∠DCE，根据内错角相等，两直线平行，
可知②正确；③根据②△CQB≌△CPA（ASA），可知③正确；④根据
∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，∠CDE=60°，可知∠DQE≠∠CDE，可知④错误；⑤利
用等边三角形的性质，BC∥DE，再根据平行线的性质得到∠CBE=∠DEO，于是
∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，可知⑤正确．
【详解】解：∵等边△ABC 和等边△CDE，
∴
，
∴
，即
，
∴
，
∴AD=BE，
∴①正确，
∵
，
∴
，
又∵
，
∴
，即
，
又∵
，
∴
，
∴
，
又∵∠PCQ=60°可知△PCQ 为等边三角形，
∴
，
∴PQ∥AE②正确，
∵△CQB≌△CPA，
∴AP=BQ，③正确，
∵AD=BE，AP=BQ，
∴
，
即DP=QE，
∵
，
∴∠DQE≠∠CDE，
∴DE≠DP，故④错误；
∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCD=60°，
∵等边△DCE，
∠EDC=60°=∠BCD，
∴BC∥DE，
∴∠CBE=∠DEO，
∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，
∴⑤正确．
故选：C．
【点睛】本题综合考查了等边三角形判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判
定与性质等知识点的运用．要求学生具备运用这些定理进行推理的能力，此题的难度较大．
8．如图，已知，点A（0，0）、B（4
，0）、C（0，4），在△ABC 内依次作等边三角
形，使一边在x 轴上，另一个顶点在BC 边上，作出的等边三角形分别是第1 个△AA1B1，第
2 个△B1A2B2，第3 个△B2A3B3，…则第2017 个等边三角形的边长等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】根据锐角三函数的性质，由OB=
，OC=1，可得∠OCB=90°，然后根据等边三
角形的性质，可知∠A1AB=60°，进而可得∠CAA1=30°，∠CA1O=90°，因此可推导出
∠A2A1B=30°，同理得到∠CA2B1= CA
∠
3B2= CA
∠
4B3=90°，∠A2A1B= A
∠
3A2B2= A
∠
4A3B3=30°，故可
得后一个等边三角形的边长等于前一个等边三角形的边长的一半，即OA1=OCcos CAA
∠
1=
，B1A2=
，以此类推，可知第2017 个等边三角形的边长为：
.
故选A.
【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质，属于规律型题目，解题关键是仔细审图，得
出：后一个等边三角形的边长等于前一个等边三角形的边长的一半.
评卷人
得分
二、填空题
9．如图，
中，
垂直
于点
，且
，在直线
上方有一动点
满足
，则点
到
两点距离之和最小时，
度．
【答案】45
【分析】由三角形面积关系得出点
在与
平行，且到
的距离为
的直线上，
作点
关于直线的对称点
，连接
交于点
，则
，
，此时点
到
两点距离之和最小，作
于
，则
，证明
是等腰
直角三角形，得出
，由等腰三角形的性质得出
，从而即可得
到答案．
【详解】解：
，
点
在与
平行，且到
的距离为
的直线上，
，
作点
关于直线的对称点
，连接
交于点
，如图所示，
，
则
，
，此时点
到
两点距离之和最小，
作
于
，则
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
故答案为：45．
【点睛】本题主要考查了两点之间线段最短、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形
的性质、三角形面积等知识，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
10．如图，在平面直角坐标系
中，点A 的坐标为
，点B 为x 轴上一动点，以
为边在直线
的右侧作等边三角形
．若点P 为
的中点，连接
，则
的长的
最小值为 ．
【答案】9
【分析】如图所示，在x 轴上取
，连接
，证明
是等边三角形，得到
，则
，再证明
，得到
，则点C 的运动轨迹为直线（该直线经过点F
且与直线
的夹角为60 度），设点C 的运动轨迹所在的直线交y 轴于H，过点P 作
交直线
于
，当点C 运动到点
时，
的长有最小值，据此求解即可．
【详解】解：如图所示，在x 轴上取
，连接
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
同理可得
，
∴
，
∴
是等边三角形，
∴
，
∴
，
∵
是等边三角形，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴点C 的运动轨迹为直线（该直线经过点F 且与直线
的夹角为60 度），
设点C 的运动轨迹所在的直线交y 轴于H，过点P 作
交直线
于
，
∴当点C 运动到点
时，
的长有最小值，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵点P 为
的中点，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
的最小值为9，
故答案为：9．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判
定，含30 度角的直角三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线构造全等三角形，从而得
到点C 的运动轨迹是直线是解题的关键．
11．如图，
和
都是等腰三角形，且
，O 是
的
中点，若点D 在直线
上运动，连接
，则在点D 运动过程中，线段
的最小值为
．
【答案】2
【分析】取
的中点为点
，连接
，先证得
，得出
，根据点
到直线的距离可知当
时，
最小，然后根据
所对的直角边等于斜边的一半
求得
时的
的值，即可求得线段
的最小值．
【详解】解：取
的中点为点
，连接
，
，
，
即
，
，
为
中点，
，
在
和
中，
，
，
，
点
在直线
上运动，
当
时，
最小，
是等腰三角形，
，
，
，
线段
的最小值是为
．
故答案为：
．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、
所对的直角边等于斜边的一半、三角形全等
的判定和性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加辅助线构建全等三角形，学会
利用垂线段最短解决最值问题．
12．如图，四边形ABCD 中，∠BAC=90°，AB=AC，∠ADC=45°，若△BCD 的面积是18，
则CD 长为 ．
【答案】6
【分析】过点A 作AE AD
⊥
，交DC 延长线于点E，连接BE；可证△ACD≌△ABE，可得BE＝
CD， BE⊥CD，垂足为E，由三角形面积公式可求BE×CD＝36，可求解．
【详解】解：如图，过点A 作AE AD
⊥
，交DC 延长线于点E，连接BE；
AE
AD
∵
⊥
，
∴∠DAE＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAE＝∠CAD，
∵∠DAE＝90°，∠ADC＝45°，
AED=
∴∠
∠ADC＝45°，
AE=AD
∴
，
在△BAE 和△CAD 中，
，
∴△BAE≌△CAD（SAS），
∴BE＝CD，∠AEB＝∠ADC=45º，
∵∠AED＝45°，
∴∠BEC=∠AEB+∠AED＝90°，
∴S△BCD＝
BE×CD＝18，
∵BE＝CD，
∴CD2＝36，
CD
∵
＞0
∴CD＝6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线
构造全等三角形是本题的关键．
13．如图，点
是等边
内部一点，以
为边，在
的左边作等边
，
为
的中点，连接
，若
，
，则
的长为 ．
【答案】
【分析】将△ABE 旋转至△ACF 处， 延长EM 至EM=MG，连接CG，通过依次证明
△ABE≌△△AFC、△BME≌△CMG、△EGC≌△ECF 即可得出
．
【详解】解：将△ABE 旋转至△ACF 处， 延长EM 至EM=MG，连接CG
∴△ABE≌△△AFC，
∴AF=AE，∠BAC=∠CAF，∠ABE=∠ACF，
∵△ABC 为等边三角形，
∴∠ACB=∠BAC=60°=∠BAE+∠EAC，
∴∠EAF=∠EAC+∠CAF=60°，
∴△AEF 为等边三角形，
∴AE=EF，
∵M 为BC 的中点，
∴BM=MC，
又∵EM=MG，∠EMB=∠GMC，
∴△BME≌△CMG（SAS），
∴∠EBC=∠BCG，BE=CG
∵∠BEC=120°，
∴∠EBC+∠ECB=60°，
∴∠ECG=60°，∠ACE=∠BCG=∠EBC，
∴∠ECF=∠ACF+∠ACE=∠ABE+∠EBC=60°，
∵CF=BE=CG，∠ECF=∠ECG=60°，EC=EC，
∴△EGC≌△ECF（SAS），
∴
故答案为：
．
【点睛】本题考查等边三角形的性质和判定，旋转综合题，全等三角形的性质和判定，三
角形内角定理等．正确作出辅助，构造全等三角形和等边三角形是解题关键．
14．如图，
为等腰三角形，
，
，
为
的中点，点
在
上，
，
是等腰
腰上的一点，若
是以
为腰的等腰三角形，则
的大小为 ．
【答案】
或
或
或
【分析】根据题意，分为点P 在
上和点P 在
上两种情况，根据等腰三角形的定义，
点P 在
上有两种情况，点P 在
有两种情况，一共四种情况，进行分类讨论，即可求
解．
【详解】解：①当点P 在
上，
时，
∵
，
，
∵
，
∵
，
∴
，
∴
；
②当点P 在
上，
时，
∵
，
，
∵
，
∵
，
∴
，
∴
；
③当点P 在
上，
时，
连接
，过点D 作
于点M，
于点N，
∵
，
，
∵
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
为
的中点，
，
∴
平分
，
∵
，
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
，
∴
，
在四边形
中，
，
∴
，
④当点P 在
上，
时，
由③可得
，
，
∴
，
故答案为：
或
或
或
．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的外角定理，解题的关键是掌握“等
边对等角”，三角形的一个外角等于于它不相邻的两个内角之和，三角形的内角和为
．
15．如图，在
中，
，
和
分别为
和
的角平分线，
若
的周长为
，
，则
的长为 ．
【答案】
【分析】如图（见解析），过点P 作
，交AC 于点D，先根据角平分线的定义、等
腰三角形的性质得出
，从而得出
，再根据平行线的性质、三角形的
外角性质得出
，然后根据角平分线的定义、三角形全等的判定定
理与性质得出
，从而得出
，最后联立求解即可得．
【详解】由题意得：
为
的角平分线，
过点P 作
，交AC 于点D
为
的角平分线
在
和
中，
联立
，解得
即
的长为8
故答案为：8．
【点睛】本题是一道较难的综合题，考查了角平分线的定义、等腰三角形的性质、三角形
全等的判定定理与性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．
16．如图，在△ABC 中，AD⊥BC，点E 在线段AD 上，∠ACE＝45°，∠ABC＝
2∠ECB，若BD﹣CD＝2，AE＝6，则AB＝ ．
【答案】8
【分析】延长BC 至F，使DF＝DB，延长AD 至G，使AG＝AB，连接AF，CG．设∠ECB
＝α，则∠B＝2α，根据题意可求出∠DEC＝90°-α．根据作图结合线段垂直平分线的性质可
证明AB＝AF，∠BAD＝∠FAD，∠B＝∠F＝2α．由三角形外角性质可求出∠DAC＝45°-
α．由∠DAF＝90°-2α，从而得出∠CAF＝45°-α，即证明∠DAC＝∠FAC，从而易证
△GAC≌△FAC（SAS），得出∠G＝∠F＝2α，GC＝CF＝2．再根据∠GCE＝180°-∠G-
∠DEC，即可求出∠GCE=90°-α，即得出∠GCE＝∠GEC，从而得出GC＝GE＝2，即可求
出AG＝AB＝8．
【详解】解：延长BC 至F，使DF＝DB，延长AD 至G，使AG＝AB，连接AF，CG．
设∠ECB＝α，则∠B＝2α，
∵AD⊥BC，∴∠DEC＝90°-α，
∵BD＝DF，∴AB＝AF，∠BAD＝∠FAD，∴∠B＝∠F＝2α，
∵∠DEC＝90°-α，∠ACE＝45°，∴∠DAC＝90°-α-45°＝45°-α，
∵∠DAF＝90°-∠F＝90°-2α，∴∠CAF＝90°-2α-(45°-α)＝45°-α，∴∠DAC＝∠FAC，
在△△GAC 和△FAC 中，
，∴△GAC≌△FAC（SAS），
∴∠G＝∠F＝2α，GC＝CF＝DF-CD＝BD-CD＝2，
∵∠GCE＝180°-∠G-∠DEC＝180°-2α- (90°-α)＝90°-α，∴∠GCE＝∠GEC，
∴GC＝GE＝2，∴AG＝AF=AB＝2+6=8．
故答案为：8．
【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形外角性质，等腰三角形的判定和性质，
三角形内角和定理以及三角形全等的判定和性质．正确的作出辅助线是解题的关键．
评卷人
得分
三、解答题
17．如图1，
是等边三角形
内一点，
，连结
．
（1）证明
．
（2）如图2，以
为斜边在
外作等腰直角
，连结
．请判断
的形状，
并说明理由．
（3）在（2）的条件下，若
，求点
到
的距离．
【答案】（1）证明见解析；（2）等腰三角形，证明见解析；（3）
．
【分析】（1）依据题意先求出
，得出
，即可求出；
（2）先求出
，得到
是等边三角形，求出
，即可判断三角
形的形状；
（3）过
作
于点
，过
作
于点
，延长
交
于点
，由题意
得
由
得
再根据△
是等边三角形、
和
是等腰直角三角形，得
，从而求得
，
再根据等积法即可求得EH．
【详解】
是等边三角形，
，
在
和
中，
，
．
，
是等腰直角三角形，
是以
为斜边的等腰直角三角形，
，
是等边三角形，
，
，
是等边三角形，
由
得
，
，
是等腰三角形．
是等腰直角三角形，
是等腰三角形，
，
由
得
，
如图，过
作
于点
，过
作
于点
，延长
交
于点
是等边三角形，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
解得
，
点
到
的距离为
．
【点睛】此题考查等边三角形及等腰三角形的性质和判定，熟记概念是解题的关键，重点
是辅助线的正确添加．
18．已知在等腰
中，
，点D 在
的延长线上，过点C 作
于点E
与
交于点F．
(1)如图1，若
，求证：
；
(2)在（1）的条件下，如图2，点G 为
内一点，
，
，若
，求证：
．
【答案】(1)见解析；(2)见解析
【分析】（1）如图1，过点A 作AH⊥CD 于H，先根据三角形的内角和定理得
，
由等腰三角形三线合一的性质得
，由8 字 形可知∠BAH＝∠DCF，由三角
形的外角的性质和角和和可得：∠CAF=∠AFC，由等腰三 角形的判定可得结论；
（2）如图2，连接FG 并延长交CD 于P，连接AP ，证明△ABG≅△CFG 和
△AGP≅△CGB， 并得△BGH 是等腰直角三角形，由三角形的中位线定理知：BP＝BD，
最后由等腰三角形的三线合一的性质可得结论．
【详解】（1）证明：如图1，过点A 作AH⊥CD 于H，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，AH⊥CD，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
；
（2）如图2，连接FG 并延长，交CD 于P，连接AP，AG 与CF 交于点N，
∵∠AEC＝∠AGC＝90°，∠ANE=∠CNG，
∴∠BAN＝∠GCF，
∵AB=CF，AG=CG，
∴△ABG≅△CFG(SAS)，
∴FG=BG，∠CFG=∠ABG,，
∴∠BGF＝∠BEF＝90°，
∴∠BGP＝90°，
∵AB=AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠CBG+∠ABG=∠BCG+∠ACG，
∵∠ABG＝∠BCG，
∴∠CBG＝∠ACG＝45° ，
∴∠CBG＝∠D，
∴AD BG
∥
，
∵△BGP 是等腰直角三角形，
∴BG＝GP，
∴FG＝GP，
∴BD＝BP，
∵∠BGP＝∠AGC＝90° ，
∴∠BGC＝∠AGP，
∵AG＝CG，BG＝GP，
∴△AGP≅△CGB(SAS)，
∴∠APG=∠CBG=45°，
∴∠APB＝90°，
∴AP⊥BC，
∵AB=AC，
∴BC＝2BP，
∴BC＝2BD．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的 判定和性质等知识，解题的关
键是正确作出辅助线，利用三角形全等解决问题．
19．如图，点
，且a，b 满足
．若P 为x 轴上异于原点O
和点A 的一个动点，连接
，以线段
为边构造等腰直角
（P 为顶点），连接
．
(1)如图1，直接写出点A 的坐标为___________，点B 的坐标为___________；
(2)如图2，当点P 在点O，A 之间时，连接
，
，证明
；
(3)如图3，点P 在x 轴上运动过程中，若
所在直线与y 轴交于点F，请直接写出F 点的
坐标为___________，当
的值最小时，请直接写出此时
与
之间的数量关系
___________．
【答案】(1)
，
(2)见解析
(3)
，
【分析】（1）根据非负数的性质得到
，
，得到
，
，于是得到结果；
（2）过点
作
轴于
，证明
，由全等三角形的性质得出
，
，由等腰直角三角形的性质得出
，证出
，则可得出结论；
（3）由直角三角形的性质证出
，则可得出
；取点
，连接
，
，
与
关于直线
对称，连接
交
于
，连接
，则
，根据三角形
的面积关系可得出
．
【详解】（1）解：
，
，
，
，
，
、
，
故答案为：
，
；
（2）证明：过点
作
轴于
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
又
，
，
，
，
，
，
，
又
，
，
，
，
，
，
；
（3）
，
，
，
，
，
，
，
，
；
取点
，连接
，
，
，
，
与
关于直线
对称，连接
交
于
，连接
，则
，
此时
最小，
，
到
，
的距离相等，
，
，
，
，
．
故答案为：
，
．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，坐标与图形的性质，，
等腰直角三角形的判定与性质，三角形的面积等知识点，正确的作出辅助线是解题的关键．
20．如图，在△ABC 中，AC=BC，∠ACB=90°，点D 为△ABC 内一点，且BD=AD，
（1）求证：CD AB
⊥
；
（2）∠CAD=15°，E 为AD 延长线上的一点，且CE=CA，
①求证：DE 平分∠BDC；
②若点M 在DE 上，且DC=DM，请判断ME、BD 的数量关系，并给出证明；
③若N 为直线AE 上一点，且△CEN 为等腰三角形，直接写出∠CNE 的度数．
【答案】（1）详见解析；（2）①详见解析；②：ME=BD，证明详见解析；③∠CNE 的度
数为7.5°、15°、82.5°、150°．
【分析】（1）根据中垂线的判定定理“与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的
垂直平分线上”可得出结论.
（2）①由∠CAD=15°，BD=AD 与直角等腰三角形的性质可知，∠DBA=∠DAB=30°，则可
得∠BDE=30°+30°=60°，又根据SSS 可证△ADC≌△BDC，则∠ACD=∠BCD=45°，可知
∠CDE=∠ACD+∠CAD=45°+15°=60°，故DE 平分∠BDC.
②连接MC，由DC=DM，∠CDE=60°，可知△MCD 为等边三角形，∠ECM=∠CMD-
∠CAD=45°则根据SAS 可证△BDC≌△EMC，得出结论ME=BD.
③根据题意可知，分类：当EN=EC 时；当EN=CN 时；当CE=CN 时三种情况求出∠CNE
的度数.
【详解】（1）证明：∵CB=CA，DB=DA，
∴CD 垂直平分线段AB，
∴CD⊥AB，
故答案为CD⊥AB.
（2）①证明：∵AC=BC，
∴∠CBA=∠CAB，
又∵∠ACB=90°，
∴∠CBA=∠CAB=45°，
又∵在△ADC 和△BDC 中，
，
∴△ADC≌△BDC（SSS），
∴∠CAD=∠CBD=15°，
∴∠DBA=∠DAB=30°，
∴∠BDE=30°+30°=60°，
∵∠ACB=90°，∠ACD=∠BCD，
∴∠ACD=∠BCD=45°，
∴∠CDE=∠ACD+∠CAD=45°+15°=60°，
∵∠CDE=∠BDE=60°，
∴DE 平分∠BDC；
故答案为DE 平分∠BDC.
②结论：ME=BD，
理由：连接MC，
∵DC=DM，∠CDE=60°，
∴△MCD 为等边三角形，
∴CM=CD，∠CMD=60°，
又∵EC=CA，∠CAD=15°，
∴∠ECM=∠CMD-∠CAD=45°,
在△BDC 和△EMC 中，
，
∴△BDC≌△EMC（SAS），
∴ME=BD，
故答案为ME=BD.
③当EN=EC 时，∠ENC=7.5°或82.5°；
当EN=CN 时，∠ENC=150°；
当CE=CN 时，∠CNE=15°，
故答案为∠CNE 的度数为7.5°、15°、82.5°、150°．
【点睛】本题考查了中垂线的判定、等腰三角形的性质、全等三角形的判定、外角的性质
运用及动点问题.（1）熟悉垂直平分线的判定定理是解题关键.（2）灵活运用等腰三角形的
性质与外角的性质是解题关键.如果不确定等腰三角形的腰与底边（顶角与底角）的情况下，
要注意分类讨论.
21．在
中，
，
，
是
的角平分线，
于点
E．
(1)如图1，连接EC，求证：
是等边三角形；
(2)点M 是AC 边上一个动点（不与点D 重合），以BM 为一边，在BM 的下方作
，MG 交射线DE 于点G．请画出完整图形，探究MD，DG 与AD 数量之间的
关系，并说明理由．
【答案】(1)见详解
(2)画图见详解，当分M 点在线段
上时，
；当M 点在线段
上时，
．
【分析】（1）根据含30°角的直角三角形的性质可得
，
，根据
是
的角平分线，可得
，即有可得
是等腰三角形，结合
和
是
的中线，可得
，问题随之得解；
（2）分M 点在线段
上和M 点在线段
上两种情况来补全图形：当分M 点在线段
上时，延长
至N 点，使得
，连接
，先证明
是等边三角形，再
证明
，即可得解；当M 点在线段
上时，延长
至H，使得
，连接
，
与
交于点Q，先证明
是等边三角形，再证明
，即可得解．
【详解】（1）∵在
中，
，
，
∴
，
，
∵
是
的角平分线，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
是等腰三角形，
∵
，
∴
是
的中线，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
是等边三角形；
（2）补全图形如下：（分M 点在线段
上和M 点在线段
上两种情况）
当分M 点在线段
上时，延长
至N 点，使得
，连接
，如图，
在（1）中求得：
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
是等边三角形，
∴
，
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
根据（1）可知
，
，
∴
是线段
的垂直平分线，
∴
，
∵
，
∴
；
当M 点在线段
上时，延长
至H，使得
，连接
，
与
交于点
Q，如图，
∵
，
∴
，
，
∵
，
∴
是等边三角形，
∴
，
，
∵
，
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
；
综上：当分M 点在线段
上时，
；当M 点在线段
上时，
．
【点睛】此题是三角形的综合题，主要考查了等边三角形的判定与性质以及全等三角形的
判定与性质，根据已知正确作出辅助线是解题关键．
22．如图所示，已知B（﹣2，0），C（2，0），A 为y 轴正半轴上的一点，点D 为第二象
限一动点，点E 在BD 的延长线上，CD 交AB 于点F，且∠BDC＝∠BAC．
(1)求证：∠ABD＝∠ACD；
(2)求证：AD 平分∠CDE；
(3)若在D 点运动的过程中，始终有DC＝DA+DB，在此过程中，∠BAC 的度数是否发生变
化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC 的度数．
【答案】(1)证明过程见解析
(2)证明过程见解析
(3)∠BAC=60°，理由见解析
【分析】(1)根据∠BDC=∠BAC，∠DFB=∠AFC，再结合
∠ABD+∠BDC+∠DFB=∠BAC+∠ACD+∠AFC=180°，即可得出结论．
(2)过点A 作AM⊥CD 于点M，作AN⊥BE 于点N．运用“AAS”证明△ACM≌△ABN 得
AM=AN．根据“到角的两边距离相等的点在角的平分线上”得证；
(3)运用截长法在CD 上截取CP=BD，连接AP．证明△ACP≌ABD 得△ADP 为等边三角形，
从而求∠BAC 的度数．
【详解】（1）证明：∵∠BDC=∠BAC，∠DFB=∠AFC，
又∵∠ABD+∠BDC+∠DFB=∠BAC+∠ACD+∠AFC=180°，
∴∠ABD=∠ACD；
（2）证明：过点A 作AM⊥CD 于点M，作AN⊥BE 于点N，如下图所示：
则∠AMC=∠ANB=90°．
∵OB=OC，OA⊥BC，
∴AB=AC，
由(1)可知：∠ABD=∠ACD，
∴△ACM≌△ABN (AAS)
∴AM=AN．
∴DA 平分∠CDE．(角的两边距离相等的点在角的平分线上)；
（3）解：∠BAC 的度数为60°，理由如下：
在CD 上截取CP=BD，连接AP，如下图所示：
∵CD=AD+BD，
∴AD=PD．
∵AB=AC，∠ABD=∠ACD，BD=CP，
∴△ABD≌△ACP (SAS) ，
∴AD=AP，∠BAD=∠CAP，
∴AD=AP=PD，即△ADP 是等边三角形，
∴∠DAP=60°．
∴∠BAC=∠BAP+∠CAP=∠BAP+∠BAD=60°．
【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，运用了角平分线的判定定理和“截长补短”
的数学思想方法，综合性较强．
23．已知AB∥CD，且CB⊥AB 于点B，AN⊥DC 于点N，M 是线段NC 上的一点，点P 是CB
延长线上的动点，连接AM，AP，
(1)如图1，若CB=PB，且C、P 两点不重合，∠APB=60°，请用直尺在图中连接一条线段，
使图中存在一个等边三角形，并说明理由．
(2)如图2，若∠NAP=2∠AMN，
①请猜想此时∠APC 与∠NAM 的数量关系，并进行证明．
②若点M 为NC 的中点，且AN=BC，请探究BC、BP、AP 之间的数量关系，并进行证明．
【答案】(1)图见解析，理由见解析
(2)①
，证明见解析；②
，证明见解析
【分析】（1）连接
，先根据等腰三角形的性质可得
，再根据等边三角形的判
定即可得；
（2）①设
，从而可得
，再根据平行线的判定与
性质可得
，然后根据平行线的性质即可得出结论；
②延长
、
，相交于点
，延长
，截取
，连接
，先根据三角形全等
的判定定理证出
，根据三角形全等的性质可得
，从而可得
，再根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质可得
，结合（2）①的结论可得
，从而可得
，然后根据等腰三角形的判定与性质可得
，最后根据线段
和差、等量代换即可得出结论．
【详解】（1）解：如图，连接
，则
是等边三角形．理由如下：
，
，
又
，
是等边三角形．
（2）解：①猜想
，证明如下：
设
，
，
，
，
，
，
，
，
又
，
，
；
②如图，延长
、
，相交于点
，延长
，截取
，连接
，
点
为
的中点，
，
由（2）①已得：
，
，
在
和
中，
，
，
，
，
，
，
，
，
由（2）①已证：
，
，即
，
又
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、等边三角形的判定、等腰三角形的判定与性质
等知识点，较难的是题（2）②，通过作辅助线，构造全等三角形和等腰三角形是解题关键．
24．已知，在平面直角坐标系中，点
的坐标是
，将直角三角尺绕直角顶点
进行旋
转，两条直角边分别与
轴和
轴交于点A、点
．
(1)如图
，当
与原点
重合时，试说明：
；
(2)在旋转的过程中，当两条直角边分别相交于
轴、
轴正半轴时，
这个结论还
成立吗？请说明理由；
(3)在旋转的过程中，设
的坐标是
、
的坐标是
，请用含
的代数式表示
．
【答案】(1)证明见解析
(2)成立，理由见解析
(3)
【分析】
过点
作
轴于点
，知
，由点
坐标可得
，继而可得
，即可得答案；
过点
作
轴于点
，
轴于点
，根据点
坐标可得四边形
为正方
形，从而知
、
，再证
≌
即可；
由
可知
，即
，即可得．
【详解】（1）如图，过点
作
轴于点
，
由题意可知
，
，
，
，
，
；
（2）如图
，当点
在
轴正半轴上时，过点
作
轴于点
，
轴于点
，
，
又
，
四边形
为正方形，
，
，
，
在
和
中，
，
≌
，
；
如图，当点
在
轴负半轴时，与以上同理可得
；
（3）由
知，
，即
，
．
【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，熟练掌
握全等三角形的判定是解题的关键．
