文档文本内容
根据《义务教育数学课程标准（2022 年版）》编写，多维体现学科素养
（部分展示）
ឿ
·数学文化
Ｐ１
Ｔ２
·几何直观
Ｐ５
Ｔ６
·推理能力
Ｐ１０
Ｔ６
·创新意识
Ｐ１４
Ｔ８
·抽象能力
Ｐ２４
Ｔ７
·运算能力
Ｐ３０
Ｔ１３
·模型观念
Ｐ４０
Ｔ８
·应用意识
Ｐ４９
Ｔ４
·数据观念
Ｐ５１
Ｔ８
·中华优秀传统文化Ｐ５７
Ｔ１８
˟Ꮾ
·开放型试题
Ｐ３
Ｔ４
·新定义试题
Ｐ１４
Ｔ８
·尺规作图
Ｐ２０
Ｔ１７
·过程性学习试题
Ｐ２６
Ｔ１３
·阅读理解试题
Ｐ３２
Ｔ１４
·代数推理
Ｐ３６
Ｔ１２
·实践探究题
Ｐ６２
Ｔ２４
ྺ
ᓬ
·新独家原创
Ｐ３
Ｔ３
·十字模型
Ｐ１１
Ｔ７
·方程思想
Ｐ１５
Ｔ３
·整体思想
Ｐ２４
Ｔ６
·易错题
Ｐ２９
Ｔ７
·教材变式
Ｐ３４
Ｔ１０
·一题多解
Ｐ４２
Ｔ７
·分类讨论思想
Ｐ６４
Ｔ１２
C߮
ሡ
·数学跨物理学科
Ｐ４５
Ｔ４
·数学跨化学学科
Ｐ４７
Ｔ９
·数学跨生物学科
Ｐ５４
Ｔ３
·数学跨语文学科
Ｐ５４
Ｔ４
·数学跨物理学科
Ｐ５９
Ｔ４
·数学跨音乐学科
Ｐ６６
Ｔ７
第一章
特殊平行四边形
１
1 菱形的性质与判定
１
……………………………………………………………………
第１课时 菱形的性质
１
…………………………………………………………………
第２课时 菱形的判定
３
…………………………………………………………………
第３课时 菱形的性质与判定综合
５
……………………………………………………
2 矩形的性质与判定
６
……………………………………………………………………
第１课时 矩形的性质
６
…………………………………………………………………
第２课时 矩形的判定
８
…………………………………………………………………
第３课时 矩形的性质与判定综合
１０
……………………………………………………
3 正方形的性质与判定
１１
…………………………………………………………………
第１课时 正方形的性质
１１
………………………………………………………………
第２课时 正方形的判定
１３
………………………………………………………………
专项素养综合全练（一） 特殊平行四边形的翻折题
１５
…………………………………
专项素养综合全练（二） 与正方形有关的四个常考模型
１６
……………………………
第一章 素养综合检测
１８
……………………………………………………………………
第二章
一元二次方程
２２
1 认识一元二次方程
２２
……………………………………………………………………
第１课时 一元二次方程
２２
………………………………………………………………
第２课时 一元二次方程的解及其估算
２４
………………………………………………
2 用配方法求解一元二次方程
２５
…………………………………………………………
第１课时 用配方法解简单的一元二次方程
２５
…………………………………………
第２课时 用配方法解较复杂的一元二次方程
２７
………………………………………
3 用公式法求解一元二次方程
２９
…………………………………………………………
4 用因式分解法求解一元二次方程
３１
……………………………………………………
专项素养综合全练（三） 一元二次方程的五种解法
３３
…………………………………
5 一元二次方程的根与系数的关系
３５
…………………………………………………
6 应用一元二次方程
３７
……………………………………………………………………
第１课时 一元二次方程的应用（一）
３７
………………………………………………
第２课时 一元二次方程的应用（二）
３９
………………………………………………
专项素养综合全练（四） 新定义型试题
４１
………………………………………………
第二章 素养综合检测
４２
……………………………………………………………………
第三章
概率的进一步认识
４５
1 用树状图或表格求概率
４５
………………………………………………………………
第１课时 用树状图或表格求概率
４５
……………………………………………………
第２课时 利用概率判断游戏的公平性
４８
………………………………………………
第３课时 利用概率玩“配紫色”游戏
４９
………………………………………………
2 用频率估计概率
５０
………………………………………………………………………
专项素养综合全练（五） 概率的综合应用
５２
……………………………………………
专项素养综合全练（六） 概率中的跨学科
５４
……………………………………………
第三章 素养综合检测
５５
……………………………………………………………………
期中素养综合测试
５９
…………………………………………………………………………
·
１
·
第四章
图形的相似
６３
1 成比例线段
６３
……………………………………………………………………………
第１课时 成比例线段及比例的基本性质
６３
……………………………………………
第２课时 比例的其他性质
６５
……………………………………………………………
2 平行线分线段成比例
６６
…………………………………………………………………
3 相似多边形
６８
……………………………………………………………………………
4 探索三角形相似的条件
６９
………………………………………………………………
第１课时 相似三角形的有关概念及判定定理１
６９
……………………………………
第２课时 相似三角形的判定定理２
７１
…………………………………………………
第３课时 相似三角形的判定定理３
７３
…………………………………………………
第４课时 黄金分割
７５
……………………………………………………………………
5 相似三角形判定定理的证明
７６
………………………………………………………
6 利用相似三角形测高
７７
…………………………………………………………………
7 相似三角形的性质
８０
……………………………………………………………………
第１课时 相似三角形中对应线段的比
８０
………………………………………………
第２课时 相似三角形周长比、面积比的性质
８２
………………………………………
8 图形的位似
８３
……………………………………………………………………………
第１课时 图形的位似
８３
…………………………………………………………………
第２课时 平面直角坐标系中的位似变换
８５
……………………………………………
专项素养综合全练（七） 相似三角形的基本类型
８６
……………………………………
第四章 素养综合检测
８８
…………………………………………………………………
第五章
投影与视图
９２
1 投影
９２
……………………………………………………………………………………
第１课时 中心投影
９２
……………………………………………………………………
第２课时 平行投影
９３
……………………………………………………………………
2 视图
９５
……………………………………………………………………………………
第１课时 认识三视图
９５
…………………………………………………………………
第２课时 三视图的画法
９６
………………………………………………………………
第３课时 由三视图判断几何体的形状
９７
………………………………………………
第五章 素养综合检测
９８
…………………………………………………………………
第六章
反比例函数
１０２
1 反比例函数
１０２
…………………………………………………………………………
2 反比例函数的图象与性质
１０４
…………………………………………………………
第１课时 反比例函数的图象与性质１
１０４
……………………………………………
第２课时 反比例函数的图象与性质２
１０５
……………………………………………
3 反比例函数的应用
１０７
…………………………………………………………………
专项素养综合全练（八） 反比例函数中ｋ的几何意义
１１１
……………………………
专项素养综合全练（九） 反比例函数与一次函数的综合
１１３
…………………………
第六章 素养综合检测
１１４
…………………………………………………………………
专项素养综合全练（十） 跨学科专题
１１８
………………………………………………
期末素养综合测试（一）
１１９
………………………………………………………………
期末素养综合测试（二）
１２３
………………………………………………………………
附录：命题多维细目表
1-8
（部分展示）
ឿ
·数学文化
Ｐ７７
Ｔ２
·运算能力
Ｐ８２
Ｔ７
·应用意识
Ｐ８５
Ｔ６
·中华优秀传统文化Ｐ９８
Ｔ１
·推理能力
Ｐ１０３
Ｔ１１
·抽象能力
Ｐ１０３
Ｔ１２
·几何直观
Ｐ１０６
Ｔ９
·模型观念
Ｐ１１０
Ｔ１４
·现实生活
Ｐ１２０
Ｔ１４
·国防科技
Ｐ１２５
Ｔ２０
˟Ꮾ
·实践探究题
Ｐ７７
Ｔ４
·项目式学习试题
Ｐ７８
Ｔ９
·规律探究题
Ｐ８４
Ｔ９
·规律探究题
Ｐ８５
Ｔ６
·开放型试题
Ｐ１１５
Ｔ１１
·代数推理
Ｐ１１７
Ｔ２２
·尺规作图
Ｐ１２１
Ｔ２０
ྺ
ᓬ
·一线三等角模型
Ｐ７０
Ｔ９
·分类讨论思想
Ｐ７３
Ｔ７
·新独家原创
Ｐ８３
Ｔ５
·易错题
Ｐ８５
Ｔ２
·手拉手模型
Ｐ９１
Ｔ２２
·转化思想
Ｐ１０５
Ｔ６
·教材变式
Ｐ１１３
Ｔ１
·一题多解
Ｐ１２０
Ｔ１２
·十字模型
Ｐ１２４
Ｔ１５
C߮
ሡ
·数学跨美术学科
Ｐ７５
Ｔ２
·数学跨音乐学科
Ｐ７５
Ｔ４
·数学跨物理学科
Ｐ９０
Ｔ２０
·数学跨物理学科
Ｐ１０７
Ｔ２
·数学跨道德与法治学科
Ｐ１１８
Ｔ１
·数学跨物理学科
Ｐ１２３
Ｔ６
·
２
·
出自《5 年中考3 年模拟》初中试卷系列图书，“T3”表示第3 题
章／节
考点
真题
第一章 特殊平行四边形
1
菱形的定义和性质
２０２３广东深圳中考，５，３分，Ｐ１；２０２３浙江嘉兴中考，１９，６分，Ｐ１；２０２３浙江丽水
中考，７，３分，Ｐ１；２０２３山东东营中考，８，３分，Ｐ２；２０２３浙江绍兴中考，１４，５分，
Ｐ２；２０２３山东潍坊中考，６，４分，Ｐ１９；
２０２３湖南湘潭中考，５，３分，第一章素养
基础测试卷－Ｔ５；２０２２四川达州中考，１３，３分，第一章素养基础测试卷－Ｔ１２；２０２２四川
南充中考，１８，８分，第一章素养基础测试卷－Ｔ１８
菱形的判定
２０２３湖南张家界中考，１８，６分，Ｐ３；２０２３黑龙江齐齐哈尔中考，１２，３分，Ｐ３；
２０２３湖南永州中考，２１，８分，Ｐ３
2
矩形的定义和性质
２０２３湖北襄阳中考，８，３分，Ｐ６；２０２３甘肃兰州中考，１２，３分，Ｐ７；２０２３辽宁丹东
中考，９，３分，Ｐ７；２０２３湖北随州中考，１８，８分，Ｐ７；
２０２３浙江台州中考，１４，５
分，第一章素养基础测试卷－Ｔ１６；２０２３内蒙古呼和浩特中考，７，３分，第一章素
养提优测试卷－Ｔ６；２０２３西藏中考，１２，３分，阶段素养综合测试卷（一）－Ｔ６；２０２３
陕西中考，１３，３分，阶段素养综合测试卷（一）－Ｔ１６
直角三角形斜边上的中
线的性质
２０２３湖南株洲中考，５，４分，Ｐ７
矩形的判定
２０２３四川内江中考，１８，８分，Ｐ９；２０２３新疆中考，１８，１０分，Ｐ９；
２０２２湖北恩施州中
考，１１，３分，第一章素养基础测试卷－Ｔ１０
3
正方形的性质
２０２３河北中考，１１，２分，Ｐ１１；２０２３湖北黄石中考，２０，８分，Ｐ１１；２０２３湖南常德中考，７，
３分，Ｐ１２；２０２３四川攀枝花中考，１１，５分，Ｐ１２；２０２３浙江绍兴中考，２２，１２分，Ｐ１２；
２０２２山东青岛中考，７，３分，第一章素养基础测试卷－Ｔ９；２０２３湖南怀化中考，１５，４分，
第一章素养基础测试卷－Ｔ１４；２０２２江苏无锡中考，１６，３分，第一章素养提优测试卷－Ｔ１６
正方形的判定
２０２３湖北十堰中考，２０，７分，Ｐ１４
第二章 一元二次方程
1
一元二次方程相关概念
２０２３江苏镇江中考，６，２分，Ｐ２４；２０２３山东枣庄中考，１２，３分，Ｐ２４
由实际问题列一元二次
方程
２０２２浙江衢州中考，１４，４分，Ｐ２３；
２０２０浙江衢州中考，７，３分，阶段素养综合
测试卷（一）－Ｔ８
2
用配方法解一元一二次
方程
２０２２黑龙江齐齐哈尔中考，１９，５分，Ｐ２５；２０２３内蒙古赤峰中考，１２，３分，Ｐ２５；
２０２２四川雅安中考，１０，３分，Ｐ２６
3
根的判别式及用公式法
解方程
２０２３河南中考，７，３分，Ｐ２９；２０２３湖北荆州中考，１８，８分，Ｐ２９；２０２３山东聊城中考，４，３
分，Ｐ２９；２０２３四川广安中考，６，３分，Ｐ２９；２０２３浙江杭州中考，１７，６分，Ｐ３０；
２０２１山
东烟台中考，９，３分，阶段素养综合测试卷（一）－Ｔ９
4
用因式分解法解一元一
二次方程
２０２３河南汤阴期中，１３，３分，Ｐ３２；２０２１浙江嘉兴中考，１８，６分，Ｐ３１；２０２１辽宁
丹东中考，５，３分，Ｐ３２
5
根与系数的关系
２０２３天津中考，９，３分，Ｐ３５；２０２３西藏中考，７，３分，Ｐ３５；２０２３四川南充中考，
２０，１０分，Ｐ３５；２０２３四川乐山中考，７，３分，Ｐ３５；２０２３湖北天门中考，２０，７分，Ｐ３６；
２０２２内蒙古呼和浩特中考，８，３分，第二章素养基础测试卷－Ｔ１０
6
一元二次方程的实际
应用
２０２３湖南郴州中考，２２，８分，Ｐ３８；２０２３山东东营中考，２３，８分，Ｐ４０；２０２２贵州
毕节中考，２５，１２分，Ｐ４０；
２０２１四川遂宁中考，１４，４分，第二章素养基础测试
卷－Ｔ１６；２０２３江苏常州中考，２４，８分，阶段素养综合测试卷（二）－Ｔ２１
·
１
·
章／节
考点
真题
第三章 概率的进一步认识
1
用列表法或画树状图法
求概率
２０２３湖南常德中考，４，３分，Ｐ４５；２０２２湖南邵阳中考，５，３分，Ｐ４５；２０２３内蒙古呼和浩
特中考，８，３分，Ｐ４６；
２０２３湖南长沙中考，１０，３分，第三章素养基础测试卷－Ｔ１０；
２０２３青海西宁中考，２２，７分，第三章素养基础测试卷－Ｔ１９；２０２３云南中考，１６，６分，第
三章素养提优测试卷－Ｔ１８
2
用频率估计概率
２０２３湖北恩施州中考，６，３分，Ｐ５０；２０２２辽宁鞍山中考，１０，３分，Ｐ５０；
２０２３江
苏泰州中考，４，３分，期中素养综合测试卷（一）－Ｔ３
第四章 图形的相似
1
比例的性质
２０２３甘肃金昌中考，２，３分，Ｐ６４；２０２３四川甘孜州中考，２１，４分，Ｐ６５
2
平行线分线段成比例的
基本事实及推论
２０２４四川成都郫都期末，３，４分，Ｐ６６
3
相似多边形的性质
２０２３山东威海中考，９，３分，Ｐ６８
4~ 5
相似三角形的判定
２０２３山东东营中考，７，３分，Ｐ７０；２０２３黑龙江大庆中考，１３，３分，Ｐ７０；２０２３湖北
黄冈中考，２３，１１分，Ｐ７６；
２０２３江苏徐州中考，８，３分，第四章素养基础测试卷
－Ｔ１０；２０２２山东泰安中考，２３，１２分，第四章素养提优测试卷－Ｔ２０
6
利用相似三角形测高
２０２４山东济南槐荫期中，４，４分，Ｐ７８
7
相似三角形的性质
２０２２浙江杭州中考，１９，８分，Ｐ８２；
２０２３辽宁抚顺中考，１７，３分，第四章素养
基础测试卷－Ｔ１６
8
位似图形及其性质
２０２３四川遂宁中考，６，３分，Ｐ８４；２０２２山东威海中考，１０，３分，Ｐ８４；２０２３辽宁盘
锦中考，１５，３分，Ｐ８５；２０２３黑龙江绥化中考，１９，３分，Ｐ８５；２０２３山东烟台中考，
１０，３分，Ｐ８５
第五章 投影与视图
1
平行投影与中心投影
２０２４广东清远期末，１，３分，Ｐ９８
2
几何体的三视图
２０２３辽宁沈阳中考，２，２分，Ｐ９５；２０２３山东烟台中考，６，３分，Ｐ９５；２０２３浙江湖州中考，
４，３分，Ｐ９７；２０２３河北中考，１２，２分，Ｐ９７；２０２３黑龙江牡丹江中考，６，３分，Ｐ９７；２０２３山
东潍坊中考，４，４分，Ｐ９８；
２０２３山东济南中考，１，４分，第五章素养基础测试卷－Ｔ１；
２０２３内蒙古包头中考，５，３分，第五章素养基础测试卷－Ｔ４；２０２３云南中考，４，３分，第
五章素养提优测试卷－Ｔ３
第六章 反比例函数
1
反比例函数的概念及反
比例函数表达式的确定
２０２３湖南武冈期中，２０，８分，Ｐ１０３；
２０２３黑龙江牡丹江中考，８，３分，第六章素养基
础测试卷－Ｔ８；２０２３河北中考，１７，２分，第六章素养提优测试卷－Ｔ１４
2
反比例函数图象及性质
２０２３湖北襄阳中考，１０，３分，Ｐ１０４；２０２３湖南邵阳中考，８，３分，Ｐ１０４；
２０２３湖
北武汉中考，６，３分，第六章素养基础测试卷－Ｔ４
反比例函数ｋ的几何
意义
２０２３湖南湘潭中考，６，３分，Ｐ１０５；２０２３山东枣庄中考，１６，３分，Ｐ１０６；
２０２３广西中
考，１２，３分，第六章素养提优测试卷－Ｔ１０
3
反比例函数与一次函数
的综合应用
２０２３内蒙古呼伦贝尔中考，１０，３分，Ｐ１０８；
２０２３江苏淮安中考，８，３分，第六章素养
基础测试卷－Ｔ１０；２０２３湖北鄂州中考，１５，３分，第六章素养基础测试卷－Ｔ１４
利用反比例函数解决实
际问题
２０２３江苏南京中考，４，２分，Ｐ１０７；２０２４河北迁安期末，２３，１０分，Ｐ１１０
·
２
·
新课标内容：理解平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念，以及它们之间的关系；探索并证明矩形、菱形的性
质和判定定理．正方形既是矩形，又是菱形；理解矩形、菱形、正方形之间的包含关系．与旧版新课标相比较，增加了
“理解梯形的概念”；强调矩形、菱形、正方形之间的包含关系，教学时让学生明确他们之间的联系与区别．
１
第一章
特殊平行四边形
编号
单元大概念素养目标
对应新课标内容
对应试题
Ｍ９１０１００１
理解矩形、菱形、正方形的
概念
理解平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念【Ｐ６６】
Ｐ１Ｔ１；Ｐ１１Ｔ１
Ｍ９１０１００２
探索并证明矩形、菱形的性
质定理
探索并证明矩形、菱形的性质定理：矩形的四个角都是直角，
对角线相等；菱形的四条边相等，对角线互相垂直【Ｐ６６】
Ｐ１Ｔ４；Ｐ２Ｔ９；Ｐ６Ｔ２；
Ｐ６Ｔ７；Ｐ７Ｔ１０
Ｍ９１０１００３
探索并证明矩形、菱形的判
定定理
探索并证明矩形、菱形的判定定理：三个角是直角的四边形
是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形；四边相等的四边
形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形【Ｐ６６】
Ｐ３Ｔ１；Ｐ３Ｔ４；Ｐ８Ｔ１；
Ｐ８Ｔ２
Ｍ９１０１００４
理解矩形、菱形、正方形之间
的包含关系
正方形既是矩形，又是菱形；理解矩形、菱形、正方形之间的
包含关系【Ｐ６６】
Ｐ１１Ｔ３；
Ｐ１２Ｔ８；
Ｐ１３Ｔ２
Ｍ９１０１００５
探索并掌握直角三角形的性
质定理
探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角
互余，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半【Ｐ６５、Ｐ６６】
Ｐ７Ｔ８；Ｐ７Ｔ１１
1 菱形的性质与判定
第1 课时 菱形的性质
答案P127
1
菱形的定义
全解P216
１．（２０２３广东深圳中考）如图，在
平行四边形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝
４，ＢＣ＝６，将线段ＡＢ水平向
右平移ａ（ａ＜６）个单位长度得到线段ＥＦ，若四边
形ＥＣＤＦ为菱形，则ａ的值为（Ｍ９１０１００１）
（
）
Ａ．１
Ｂ．２
Ｃ．３
Ｄ．４
2
菱形边的性质
全解P216
２．情境题·数学文化
（２０２３陕西
宝鸡凤翔期中）数学家笛卡儿
在《几何》一书中阐述了坐标
几何的思想．在菱形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝２，∠ＤＡＢ＝
１２０°．如图，建立平面直角坐标系ｘＯｙ，使得边
ＡＢ在ｘ轴正半轴上，点Ｄ在ｙ轴正半轴上，则
Ｃ的坐标是
．
３．（２０２３浙江嘉兴中考）如图，在菱形ＡＢＣＤ中，ＡＥ
⊥ＢＣ于点Ｅ，ＡＦ⊥ＣＤ于点Ｆ，连接ＥＦ．
（１）求证：ＡＥ＝ＡＦ．
（２）若∠Ｂ＝６０°，求∠ＡＥＦ的度数．
3
菱形对角线的性质
全解P216
４．（２０２３浙江丽水中考）如图，在
菱形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝１，
∠ＤＡＢ＝６０°，则ＡＣ的长为
（Ｍ９１０１００２）
（
）
Ａ．１
２
Ｂ．１
Ｃ．３
２
Ｄ．３
１
２
５．如图，Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四架战机以菱形编队低空展
示，若前后距离ＡＣ＝３０ｍ，左右距离ＢＤ＝４０ｍ，
则Ａ、Ｂ两架飞机的距离为
．
６．一题多解（２０２４山西晋中昔阳期中）如图，菱形
ＡＢＣＤ中，Ｅ为对角线ＢＤ的延长线上一点．求
证：ＡＥ＝ＣＥ．（Ｍ９１０１００２）
答案P127
７．（２０２３山东东营中考，８，
）如图，在平面直角坐
标系中，菱形ＯＡＢＣ的边长为２６，点Ｂ在ｘ轴的
正半轴上，且∠ＡＯＣ＝６０°，将菱形ＯＡＢＣ绕原点Ｏ
逆时针旋转６０°，得到四边形ＯＡ′Ｂ′Ｃ′（点Ａ′与点Ｃ
重合），则点Ｂ′的坐标是（Ｍ９１０１００２）
（
）
Ａ．（３６，３２）
Ｂ．（３２，３６）
Ｃ．（３２，６２）
Ｄ．（６２，３６）
第７题图
第８题图
８．情境题·活动衣帽架（２０２４江苏南通海门月考，１０，
）如图，一个木制的活动衣帽架由３个全等
的菱形构成．已知菱形的边长为１３ｃｍ，当挂钩
Ｂ、Ｄ间的距离是３０ｃｍ时，挂钩Ａ、Ｃ间的距离
是
ｃｍ．（Ｍ９１０１００２）
９．易错题（２０２３浙江绍兴中考，１４，
）如图，在菱
形ＡＢＣＤ中，∠ＤＡＢ＝４０°，连接ＡＣ，以点Ａ为圆
心，ＡＣ长为半径作弧，交直线ＡＤ于点Ｅ，连接
ＣＥ，则∠ＡＥＣ的度数是
．（Ｍ９１０１００２）
第９题图
第１０题图
１０．（２０２４河南郑州一中月考，１２，
）如图，
在菱形ＡＢＣＤ中，ＡＤ＝６，∠ＡＢＣ＝１２０°，
Ｅ是ＢＣ的中点，Ｐ为对角线ＡＣ上的一个动
点，则ＰＥ＋ＰＢ的最小值为
．（Ｍ９１０１００２）
１１．（２０２３广东汕头潮南期末改编，２３，
）在菱形
ＡＢＣＤ中，Ｅ，Ｆ分别是ＢＣ，ＣＤ上的点．
（１）如图１，若ＣＥ＝ＣＦ，求证：ＡＥ＝ＡＦ．
（２）如图２，若∠Ｂ＝∠ＥＡＦ＝６０°，∠ＢＡＥ＝２０°，
求∠ＣＥＦ的度数．
（３）若ＡＢ＝４，∠ＢＡＤ＝１２０°，点Ｅ，Ｆ在ＢＣ，ＣＤ
上滑动，△ＡＥＦ为等边三角形，则四边形
ＡＥＣＦ的面积和△ＣＥＦ的周长是否发生变
化？如果不变，直接写出这个定值；如果变
化，直接写出最小值．
图１
图２
２
３
第2 课时 菱形的判定
答案P128
1
有一组邻边相等的平行四边形是菱形
全解P217
１．（２０２３河北邯郸三模）依据所标的数据，下列平行
四边形一定为菱形的是（Ｍ９１０１００３）
（
）
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
２．（２０２３湖南张家界中考）如图，已知点Ａ，Ｄ，Ｃ，Ｂ
在同一条直线上，且ＡＤ＝ＢＣ，ＡＥ＝ＢＦ，ＣＥ＝ＤＦ．
（１）求证：ＡＥ∥ＢＦ．
（２）若ＤＦ＝ＦＣ，求证：四边形ＤＥＣＦ是菱形．
３．新独家原创在平行四边形ＡＢＣＤ中，Ｅ、Ｆ分别
是ＣＤ，ＡＢ上的点，且ＡＥ∥ＣＦ．
（１）求证：△ＡＤＥ≌△ＣＢＦ．
（２）若平行四边形ＡＢＣＤ的周长是△ＡＤＥ的周
长的２倍，求证：四边形ＡＥＣＦ为菱形．
2
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
全解P217
４．新考向·开放型试题（２０２３黑龙江齐齐哈尔中考）
如图，在四边形ＡＢＣＤ中，ＡＤ＝ＢＣ，ＡＣ⊥ＢＤ于
点Ｏ．请添加一个条件：
，使四边形ＡＢＣＤ成为菱形．（Ｍ９１０１００３）
５．教材变式·P6 例2 （２０２３湖南永州中考）如图，已
知四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，其对角线相交
于点Ｏ，ＯＡ＝３，ＢＤ＝８，ＡＢ＝５．（Ｍ９１０１００３）
（１）△ＡＯＢ是直角三角形吗？请说明理由．
（２）求证：四边形ＡＢＣＤ是菱形．
3
四边相等的四边形是菱形
全解P217
６．（２０２４贵州六盘水水城期中）如图所示，已知
△ＡＢＣ，ＡＢ＝ＡＣ，将△ＡＢＣ沿边ＢＣ翻转，得到的
△ＤＢＣ与原△ＡＢＣ拼成四边形ＡＢＤＣ，则能直接判
定四边形ＡＢＤＣ是菱形的依据是（Ｍ９１０１００３）
（
）
Ａ．一组邻边相等的平行四边形是菱形
Ｂ．四边相等的四边形是菱形
Ｃ．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
Ｄ．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
３
@@0@
４
７．如图，ＡＣ＝８，分别以点Ａ，Ｃ为圆心，以５为半径
作弧，两条弧分别相交于点Ｂ和点Ｄ．依次连接
点Ｄ，Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，连接ＢＤ、ＡＣ，交于点Ｏ．
（Ｍ９１０１００３）
（１）判断四边形ＡＢＣＤ的形状，并说明理由．
（２）求ＢＤ的长．
８．新独家原创如图，Ｏ是菱形ＡＢＣＤ内任意一点，
连接ＯＡ、ＯＢ、ＯＣ、ＯＤ，点Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ分别是ＯＡ、
ＯＢ、ＯＣ、ＯＤ的中点，求证：四边形ＥＦＧＨ是菱
形．（Ｍ９１０１００３）
答案P129
９．新考向·尺规作图（２０２３上海奉贤模拟，５，
）用
尺规在一个平行四边形内作菱形ＡＢＣＤ，下列作
法中错误的是（Ｍ９１０１００３）
（
）
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
１０．（２０２３湖南湘西州中考，２２，
）如图，四边形
ＡＢＣＤ是平行四边形，ＢＭ∥ＤＮ，且分别交对角
线ＡＣ于点Ｍ，Ｎ，连接ＭＤ，ＢＮ．（Ｍ９１０１００３）
（１）求证：∠ＤＭＮ＝∠ＢＮＭ．
（２）若∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＣ．求证：四边形ＢＭＤＮ是
菱形．
１１．（２０２４河南郑州一中月考，２２，
）如
图１，△ＡＢＣ为等腰三角形，ＡＢ＝ＡＣ＝
ａ，Ｐ是底边ＢＣ上的一个动点，ＰＤ∥ＡＣ，ＰＥ∥
ＡＢ．（Ｍ９１０１００３）
（１）用ａ表示四边形ＡＤＰＥ的周长为 ．
（２）点Ｐ运动到什么位置时，四边形ＡＤＰＥ是
菱形？请说明理由．
（３）如果△ＡＢＣ不是等腰三角形（如图２），其
他条件不变，点Ｐ运动到什么位置时，四
边形ＡＤＰＥ是菱形（不必说明理由）？
图１
图２
４
５
第3 课时 菱形的性质与判定综合
答案P129
1
菱形的面积
全解P218
１．教材变式·P9T3 如图，四边形ＡＢＣＤ是菱形，对
角线ＡＣ＝８ｃｍ，ＢＤ＝６ｃｍ，ＤＨ⊥ＡＢ于点Ｈ，则
ＤＨ＝
（
）
Ａ．１２
５ｃｍ
Ｂ．１８
５ｃｍ
Ｃ．２４
５ｃｍ
Ｄ．２８
５ｃｍ
第１题图
第２题图
２．新独家原创如图，在菱形ＡＢＣＤ中，过Ｃ作ＣＥ
⊥ＡＢ于Ｅ，交对角线ＢＤ于Ｏ，若菱形ＡＢＣＤ的
边长为６，ＯＣ＝３，△ＯＢＣ的面积为６，则菱形
ＡＢＣＤ的面积为
．
2
菱形的性质与判定综合
３．新考向·尺规作图
（２０２３内
蒙古霍林郭勒二模）如图，在
∠ＭＯＮ的边上分别截取
ＯＡ、ＯＢ，使ＯＡ＝ＯＢ；分别以点Ａ、Ｂ为圆心，ＯＡ
长为半径作弧，两弧交于点Ｃ；连接ＡＣ、ＢＣ、
ＡＢ、ＯＣ．若ＡＢ＝３ｃｍ，四边形ＡＯＢＣ的面积为１２
ｃｍ
２，则ＯＣ的长为（Ｍ９１０１００３）
（
）
Ａ．５ｃｍ
Ｂ．８ｃｍ
Ｃ．１０ｃｍ
Ｄ．４ｃｍ
答案P129
４．（２０２２山东德州中考，１８，
）如图，线段ＡＢ，ＣＤ
端点的坐标分别为Ａ（－１，２），Ｂ（３，－１），Ｃ（３，
２），Ｄ（－１，５），将ＣＤ平移至第一象限内，得到
Ｃ′Ｄ′（Ｃ′，Ｄ′均在格点上）．若四边形ＡＢＣ′Ｄ′是菱
形，则所有满足条件的点Ｄ′ 的坐标为
．
５．（２０２４陕西汉中城固期中，２５，
）如图，▱ＡＢＣＤ
的对角线ＡＣ，ＢＤ相交于点Ｏ，且ＢＤ＝２ＡＢ，ＡＥ
∥ＢＤ，ＯＥ∥ＡＢ．
（１）求证：四边形ＡＢＯＥ是菱形．
（２）若ＡＯ＝４，四边形ＡＢＯＥ的面积是１２３，求
ＢＤ的长．
答案P130
６．几何直观
新考向·实践探究题某校综合
实践活动中，每个学生持有两张宽为
６ｃｍ，长足够的长方形纸条．探究两张纸条叠放
在一起，重叠部分的形状和面积．如图１所示，一
张纸条水平放置不动，另一张纸条与它形成４５°
的角，将该纸条从右往左平移．（Ｍ９１０１００３）
（１）写出平移过程中重叠部分可能出现的形状．
（２）当重叠部分的形状为如图２所示的四边形
ＡＢＣＤ时．
①求证：四边形ＡＢＣＤ是菱形；
②求菱形ＡＢＣＤ的面积．
图１
图２
５
６
2 矩形的性质与判定
第1 课时 矩形的性质
答案P130
1
矩形的定义
全解P218
１．新考向·开放型试题（２０２２甘肃中考）如图，在四边形
ＡＢＣＤ中，ＡＢ∥ＤＣ，ＡＤ∥ＢＣ，在不添加任何辅助线的
前提下，要使四边形ＡＢＣＤ成为一个矩形，只需添加
的一个条件是
．
2
矩形边、角的性质
全解P219
２．如图，在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＣ＝４，ＡＢ＝２，则ＡＤ的
长是（Ｍ９１０１００２）
（
）
Ａ．８
Ｂ．４３
Ｃ．２３
Ｄ．６
３．（２０２４陕西宝鸡陈仓期中）如图，在矩形ＡＢＣＤ中，
点Ｅ，Ｆ分别在ＡＢ，ＣＤ边上，ＡＦ＝ＣＥ．求证：ＡＥ＝
ＣＦ．（Ｍ９１０１００２）
４．如图，在矩形ＡＢＣＤ中，点Ｍ在边ＤＣ上，ＡＭ＝
ＡＢ，且ＢＮ⊥ＡＭ，垂足为点Ｎ．（Ｍ９１０１０００２）
（１）求证：ＡＮ＝ＤＭ．
（２）若ＡＤ＝３，ＡＮ＝４，求矩形ＡＢＣＤ的面积．
3
矩形对角线的性质
全解P219
５．（２０２３湖北襄阳中考）如图，矩形ＡＢＣＤ的对角线
相交于点Ｏ，下列结论一定正确的是（Ｍ９１０１００２）
（
）
Ａ．ＡＣ平分∠ＢＡＤ
Ｂ．ＡＢ＝ＢＣ
Ｃ．ＡＣ＝ＢＤ
Ｄ．ＡＣ⊥ＢＤ
第５题图
第６题图
６．教材变式·P13 例1 （２０２４河南郑州嵩阳中学月考）
如图，在矩形ＡＢＣＤ中，对角线ＡＣ、ＢＤ相交于
点Ｏ，Ｅ、Ｆ分别是ＡＯ、ＡＤ的中点，若ＡＢ＝６ｃｍ，
ＢＣ＝８ｃｍ，则△ＡＥＦ的周长＝
ｃｍ．（Ｍ９１０１００２）
７．（２０２２湖北鄂州中考）如图，在矩形ＡＢＣＤ中，对
角线ＡＣ、ＢＤ相交于点Ｏ，且∠ＣＤＦ＝∠ＢＤＣ，
∠ＤＣＦ＝∠ＡＣＤ．（Ｍ９１０１００２）
（１）求证：ＤＦ＝ＣＦ．
（２）若∠ＣＤＦ＝６０°，ＤＦ＝６，求矩形ＡＢＣＤ的
面积．
６
７
4
直角三角形斜边上的中线的性质
全解P219
８．新考法·刻度尺与直角三角形（２０２３湖南株洲中考）
一技术人员用刻度尺（单位：ｃｍ）测量某三角形
部件的尺寸．如图所示，已知∠ＡＣＢ＝９０°，Ｄ为
边ＡＢ的中点，点Ａ、Ｂ对应的刻度为１、７，则
ＣＤ＝（Ｍ９１０１００５）
（
）
Ａ．３．５ｃｍ
Ｂ．３ｃｍ
Ｃ．４．５ｃｍ
Ｄ．６ｃｍ
９．（２０２３甘肃兰州中考）如图，在矩形ＡＢＣＤ中，Ｅ为
ＢＡ延长线上一点，Ｆ为ＣＥ的中点，以Ｂ为圆
心，ＢＦ长为半径的圆弧过ＡＤ与ＣＥ的交点Ｇ，
连接ＢＧ．若ＡＢ＝４，ＣＥ＝１０，则ＡＧ＝（Ｍ９１０１００２）
（
）
Ａ．２
Ｂ．２．５
Ｃ．３
Ｄ．３．５
答案P131
１０．（２０２３辽宁丹东中考，９，
）如图，在矩形ＡＢＣＤ
中，对角线ＡＣ与ＢＤ相交于点Ｏ，∠ＡＢＤ＝６０°，
ＡＥ⊥ＢＤ，垂足为点Ｅ，Ｆ是ＯＣ的中点，连接ＥＦ，
若ＥＦ＝２３，则矩形ＡＢＣＤ的周长是（Ｍ９１０１００２）
（
）
Ａ．１６３
Ｂ．８３＋４
Ｃ．４３＋８
Ｄ．８３＋８
第１０题图
第１１题图
１１．（２０２４河南郑州一中月考，１５，
）如图，
∠ＭＥＮ＝９０°，矩形ＡＢＣＤ的顶点Ｂ，Ｃ分别是
∠ＭＥＮ两边上的动点，已知ＢＣ＝１０，ＣＤ＝５，
则点Ｄ，Ｅ之间距离的最大值是
．
（Ｍ９１０１００５）
１２．（２０２４山西太原三十六中月考，１７，
）如图，将
矩形ＡＢＣＤ沿对角线ＡＣ折叠，点Ｂ的对应点
为点Ｅ，ＡＥ与ＣＤ交于点Ｆ．（Ｍ９１０１００２）
（１）求证：△ＤＡＦ≌△ＥＣＦ．
（２）若∠ＦＣＥ＝４０°，求∠ＣＡＢ的度数．
１３．（２０２３湖北随州中考，１８，
）如图，矩形
ＡＢＣＤ的对角线ＡＣ，ＢＤ相交于点Ｏ，
ＤＥ∥ＡＣ，ＣＥ∥ＢＤ．
（１）求证：四边形ＯＣＥＤ是菱形．
（２）若ＢＣ＝３，ＤＣ＝２，求四边形ＯＣＥＤ的面积．
７
８
第2 课时 矩形的判定
答案P131
1
有一个角是直角的平行四边形是矩形
全解P220
１．如图，在▱ＡＢＣＤ中，Ｅ，Ｆ为ＢＣ上两点，且ＢＥ＝
ＣＦ，ＡＦ＝ＤＥ．求证：四边形ＡＢＣＤ是矩形．
（Ｍ９１０１００３）
2
对角线相等的平行四边形是矩形
全解P220
２．（２０２４辽宁沈阳实验学校期中）如图，四边形ＡＢＣＤ
的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么下列
选项中可以添加的条件是（Ｍ９１０１００３）
（
）
Ａ．ＡＢ＝ＢＣ
Ｂ．ＡＣ⊥ＢＤ
Ｃ．∠ＢＡＤ＝∠ＢＣＤ
Ｄ．ＡＣ＝ＢＤ
３．（２０２４福建诏安期中）如图，四边形ＡＢＣＤ的对角
线相交于点Ｏ，ＡＢ＝ＣＤ，ＡＢ∥ＣＤ．若四边形
ＡＥＢＯ是菱形．求证：四边形ＡＢＣＤ是矩形．
（Ｍ９１０１００３）
（答案见答案册１３１页）
3
有三个角是直角的四边形是矩形
全解P220
４．（２０２４辽宁沈阳于洪期中）在数学活动课上，老师
让同学们判断一个由四根木条组成的四边形是
不是矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其
中正确的方案是（Ｍ９１０１００３）
（
）
Ａ．测量四边形的三个角是不是直角
Ｂ．测量四边形的两组对边是否相等
Ｃ．测量四边形的对角线是否互相平分
Ｄ．测量四边形的其中一组邻边是否相等
５．（２０２４广东深圳月考）如图，四边形ＡＢＣＤ中，ＡＣ
和ＢＤ是对角线，依据图中的标注，下列四边形
不一定为矩形的是（Ｍ９１０１００３）
（
）
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
６．（２０２４陕西渭南临渭期中）如图，在▱ＡＢＣＤ中，ＣＥ
⊥ＡＢ，ＡＦ⊥ＣＤ．垂足分别为Ｅ，Ｆ，求证：四边形
ＡＥＣＦ是矩形．（Ｍ９１０１００３）
８
@@0@
９
答案P131
７．易错题（２０２４广东揭阳期中，１５，
）如图，在平
行四边形ＡＢＣＤ中，对角线ＡＣ，ＢＤ相交于点Ｏ，
动点Ｅ以每秒１个单位长度的速度从点Ａ出发
沿ＡＣ方向运动，同时点Ｆ以每秒１个单位长度
的速度从点Ｃ出发沿ＣＡ方向运动，若ＡＣ＝１２，
ＢＤ＝８，则经过
秒时，四边形ＢＥＤＦ是
矩形．（Ｍ９１０１００３）
８．（２０２４河南郑州二中期中，１９，
）如图，已知四边
形ＡＢＣＤ是平行四边形，ＣＥ∥ＢＤ交ＡＤ的延长
线于点Ｅ，ＣＥ＝ＡＣ．（Ｍ９１０１００３）
（１）求证：四边形ＡＢＣＤ是矩形．
（２）若ＡＢ＝４，ＡＤ＝３，求四边形ＢＣＥＤ的周长．
９．（２０２３四川内江中考，１８，
）如图，在△ＡＢＣ中，
Ｄ是ＢＣ的中点，Ｅ是ＡＤ的中点，过点Ａ作ＡＦ
∥ＢＣ交ＣＥ的延长线于点Ｆ．（Ｍ９１０１００３）
（１）求证：ＦＡ＝ＢＤ．
（２）连接ＢＦ，若ＡＢ＝ＡＣ，求证：四边形ＡＤＢＦ是
矩形．
１０．（２０２３新疆中考，１８，
）如图，ＡＤ和ＢＣ相交于
点Ｏ，∠ＡＢＯ＝∠ＤＣＯ＝９０°，ＯＢ＝ＯＣ，Ｅ、Ｆ分别
是ＡＯ、ＤＯ的中点．（Ｍ９１０１００３）
（１）求证：ＯＥ＝ＯＦ．
（２）当∠Ａ＝３０°时，求证：四边形ＢＥＣＦ是矩形．
答案P132
１１．创新意识
新考法·实际操作与矩形判定
（２０２３浙江丽水中考）某数学兴趣小组，
准备将一张三角形纸片（如图）进行如下操
作，并进行猜想和证明．（Ｍ９１０１００３）
（１）用三角板分别取ＡＢ，ＡＣ的中点Ｄ，Ｅ，连
接ＤＥ，画ＡＦ⊥ＤＥ于点Ｆ．
（２）将（１）中所画的三块图形经过旋转或平移
拼出一个四边形（无缝隙无重叠），并用
三角板画出示意图．
（３）请判断（２）中所拼的四边形的形状，并说
明理由．
９
１０
第3 课时 矩形的性质与判定综合
答案P132
矩形的性质与判定综合
１．（２０２３辽宁庄河期末）下列说法错误的是（Ｍ９１０１００３）
（
）
Ａ．对角线相等的平行四边形是矩形
Ｂ．四条边相等的四边形是菱形
Ｃ．矩形的对角线互相垂直
Ｄ．菱形的对角线互相垂直
２．（２０２４内蒙古包头昆都仑期中）如
图，将矩形ＡＢＣＤ沿直线ＡＥ折
叠，折叠后顶点Ｄ恰好落在边
ＢＣ上的点Ｆ处，若ＡＤ＝５，ＡＢ＝４，则ＥＣ＝
．
（Ｍ９１０１００２）
３．（２０２４山西晋中寿阳月考）如图，▱ＡＢＣＤ中，ＢＥ
平分∠ＡＢＣ，ＣＥ平分∠ＢＣＤ．ＢＦ∥ＣＥ，ＣＦ∥ＢＥ．
（１）求证：四边形ＢＥＣＦ是矩形．
（２）若∠ＡＢＣ＝６０°，ＢＣ＝６，求四边形ＢＥＣＦ的
周长．
答案P132
４．（２０２３台湾省中考，２３，
）如
图，矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝６，
ＡＤ＝８，且有一点Ｐ从Ｂ点沿
ＢＤ往Ｄ点移动，若过Ｐ点作ＡＢ的垂线交ＡＢ
于Ｅ点，过Ｐ点作ＡＤ的垂线交ＡＤ于Ｆ点，则
ＥＦ长的最小值为
（
）
Ａ．１４
５
Ｂ．２４
５
Ｃ．５
Ｄ．７
５．教材变式·P19T2 （２０２４内蒙古包头昆都仑期中，
２０，
）如图，四边形ＡＢＣＤ中，对角线ＡＣ、ＢＤ
相交于点Ｏ，ＡＯ＝ＣＯ，ＢＯ＝ＤＯ，且∠ＡＢＣ＋
∠ＡＤＣ＝１８０°．（Ｍ９１０１００３）
（１）求证：四边形ＡＢＣＤ是矩形．
（２）若ＤＦ⊥ＡＣ，∠ＡＤＦ∶∠ＦＤＣ＝２∶１，则
∠ＢＤＦ的度数是多少？
答案P133
６．推理能力如图，在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝
３ｃｍ，ＢＣ＝６ｃｍ，点Ｐ从点Ｄ出发向点Ａ
运动，运动到点Ａ时，停止运动，同时，点Ｑ从点
Ｂ出发向点Ｃ运动，运动到点Ｃ时，停止运动，
点Ｐ、Ｑ的速度都是１ｃｍ／ｓ，连接ＰＱ、ＡＱ、ＣＰ．设
点Ｐ、Ｑ运动的时间为ｔｓ．
（１）当ｔ为何值时，四边形ＡＢＱＰ是矩形？
（２）当ｔ为何值时，四边形ＡＱＣＰ是菱形？
（３）直接写出（２）中菱形ＡＱＣＰ的周长和面积，
周长是 ｃｍ，面积是 ｃｍ
２．
０
１
１１
3 正方形的性质与判定
第1 课时 正方形的性质
答案P133
1
正方形的定义
全解P221
１．下列条件可以利用定义说明平行四边形ＡＢＣＤ
是正方形的是（Ｍ９１０１００１）
（
）
Ａ．ＡＢ＝ＣＤ，∠Ａ＝９０°
Ｂ．ＡＢ＝ＡＤ，∠Ａ＝９０°
Ｃ．ＡＢ∥ＣＤ，∠Ａ＝９０°
Ｄ．以上均错
２．（２０２１广西玉林中考）一个四边形顺次添加下列
条件中的三个条件便得到正方形：
ａ．两组对边分别相等 ｂ．一组对边平行且相等
ｃ．一组邻边相等 ｄ．一个角是直角
顺次添加的条件：①ａ→ｃ→ｄ；②ｂ→ｄ→ｃ；③ａ→
ｂ→ｃ．则正确的是（Ｍ９１０１００４）
（
）
Ａ．仅①
Ｂ．仅③
Ｃ．①②
Ｄ．②③
2
正方形的性质
全解P222
３．（２０２４福建三明三元期中）如图，在正方形ＡＢＣＤ
的外侧，作等边△ＡＤＥ，则∠ＢＡＥ＝（Ｍ９１０１００４）
（
）
Ａ．１４５°
Ｂ．１５０°
Ｃ．１５５°
Ｄ．１６０°
第３题图
第４题图
４．（２０２３贵州贵阳期中）如图，在平面直角坐标系
中，正方形ＯＡＢＣ的顶点Ｏ，Ｂ的坐标分别是（０，
０），（４，０），则顶点Ｃ的坐标是（Ｍ９１０１００４）
（
）
Ａ．（２，２）
Ｂ．（２，－２）
Ｃ．（－２，２）
Ｄ．（２２，－２）
５．（２０２３河北中考）如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，ＡＢ＝４，Ｍ
是斜边ＢＣ的中点，以ＡＭ为边作正方形ＡＭＥＦ．
若Ｓ正方形ＡＭＥＦ＝１６，则Ｓ△ＡＢＣ＝
（
）
Ａ．４３
Ｂ．８３
Ｃ．１２
Ｄ．１６
６．新独家原创如图，在菱形ＡＢＣＤ中，以ＡＣ为对
角线作正方形ＡＥＣＦ，若∠ＤＡＢ＝６０°，ＡＢ＝４，则
正方形ＡＥＣＦ的面积＝
．
７．十字模型
教材变式·P21 例1 （２０２３湖北黄石中
考）如图，正方形ＡＢＣＤ中，点Ｍ，Ｎ分别在ＡＢ，
ＢＣ上，且ＢＭ＝ＣＮ，ＡＮ与ＤＭ相交于点Ｐ．
（１）求证：△ＡＢＮ≌△ＤＡＭ．
（２）求∠ＡＰＭ的大小．
１
１
１２
８．（２０２２湖北恩施州中考）如图，已知四边形ＡＢＣＤ
是正方形，Ｇ为线段ＡＤ上任意一点，ＣＥ⊥ＢＧ
于点Ｅ，ＤＦ⊥ＣＥ于点Ｆ．求证：ＤＦ＝ＢＥ＋ＥＦ．
（Ｍ９１０１００４）
答案P134
９．（２０２３湖南常德中考，７，
）如图，在正方形
ＡＢＣＤ中，对角线ＡＣ、ＢＤ相交于点Ｏ，Ｅ，Ｆ分别
为ＡＯ，ＤＯ上的点，且ＥＦ∥ＡＤ，连接ＡＦ，ＤＥ．若
∠ＦＡＣ＝１５°，则∠ＡＥＤ的度数为（Ｍ９１０１００４）
（
）
Ａ．８０°
Ｂ．９０°
Ｃ．１０５°
Ｄ．１１５°
１０．（２０２４河南郑州二中期中，９，
）如图，正方形
ＡＢＣＤ的边长为８ｃｍ，Ｍ是对角线ＢＤ上一动
点，点Ｅ在边ＡＤ上，且ＡＥ＝２ｃｍ，则ＡＭ＋ＥＭ
的最小值为
（
）
Ａ．４ｃｍ
Ｂ．６ｃｍ
Ｃ．８ｃｍ
Ｄ．１０ｃｍ
１１．（２０２３四川攀枝花中考，１１，
）如图，已知正方
形ＡＢＣＤ的边长为３，Ｐ是对角线ＢＤ上的一
点，ＰＦ⊥ＡＤ于点Ｆ，ＰＥ⊥ＡＢ于点Ｅ，连接ＰＣ，
当ＰＥ∶ＰＦ＝１∶２时，ＰＣ＝（Ｍ９１０１００４）
（
）
Ａ．３
Ｂ．２
Ｃ．５
Ｄ．５
２
第１１题图
第１２题图
１２．（２０２４浙江温州二中月考，９，
）如图，在正方形
ＡＢＣＤ中，点Ｅ，Ｎ，Ｐ，Ｇ分别在边ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ，
ＤＡ上，点Ｍ，Ｆ，Ｑ在对角线ＢＤ上，且四边形
ＭＮＰＱ和四边形ＡＥＦＧ均为正方形，则
Ｓ正方形ＭＮＰＱ
Ｓ正方形ＡＥＦＧ
等于
（
）
Ａ．２
３
Ｂ．３２
４
Ｃ．４
９
Ｄ．８
９
１３．（２０２３浙江绍兴中考，２２，
）如图，在正
方形ＡＢＣＤ中，Ｇ是对角线ＢＤ上的一
点（与点Ｂ，Ｄ不重合），ＧＥ⊥ＣＤ，ＧＦ⊥ＢＣ，Ｅ，Ｆ
分别为垂足．连接ＥＦ，ＡＧ，并延长ＡＧ交ＥＦ于
点Ｈ．
（１）求证：∠ＤＡＧ＝∠ＥＧＨ．
（２）判断ＡＨ与ＥＦ是否垂直，并说明理由．
２
１
１３
第2 课时 正方形的判定
答案P134
3
正方形的判定
全解P223
１．（２０２４福建漳州期中）下列说法正确的是（
）
Ａ．有一组邻角相等的四边形是矩形
Ｂ．对角线互相垂直的四边形是菱形
Ｃ．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
Ｄ．有一组邻边相等的矩形是正方形
２．（２０２４福建三明三元期中）如图，在
矩形ＡＢＣＤ中，对角线ＡＣ、ＢＤ交
于点Ｏ，添加下列一个条件，不能
使矩形ＡＢＣＤ为正方形的是（Ｍ９１０１００４）
（
）
Ａ．ＡＣ⊥ＢＤ
Ｂ．ＡＣ平分∠ＢＡＤ
Ｃ．ＡＢ＝ＢＣ
Ｄ．△ＯＣＤ是等边三角形
３．新独家原创
如图，Ｐ为矩形ＡＢＣＤ内一点，
△ＰＡＢ为正三角形，连接ＰＤ、ＰＣ，∠ＣＰＤ＝
１５０°，求证：四边形ＡＢＣＤ是正方形．
4
正方形的性质与判定综合
４．（２０２３湖南双峰一模）如图，将正方形ＡＢＣＤ的各
边ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ，ＤＡ顺次延长至Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ，且使
ＢＥ＝ＣＦ＝ＤＧ＝ＡＨ，则四边形ＥＦＧＨ是
（
）
Ａ．平行四边形
Ｂ．菱形
Ｃ．矩形
Ｄ．正方形
５．（２０２４广东茂名信宜二中月考）如图，正方形ＡＢＣＤ
的边长是１０ｃｍ，点Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ分别从点Ａ，Ｂ，Ｃ，
Ｄ出发，以２ｃｍ／ｓ的速度同时向点Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ａ运
动．判断在运动的过程中，四边形ＥＦＧＨ的形
状，并说明理由．（Ｍ９１０１００４）
答案P135
６．（２０２３河南洛阳第二外国语学校期中，１０，
）如
图，在正方形ＡＢＣＤ中，点Ｏ是对角线ＡＣ，ＢＤ
的交点，过点Ｏ作射线ＯＭ，ＯＮ分别交ＢＣ，ＣＤ
于点Ｅ，Ｆ，且∠ＥＯＦ＝９０°，ＯＣ，ＥＦ交于点Ｇ．给
出下列结论：①△ＣＯＥ≌△ＤＯＦ；②ＣＦ＝ＢＥ；
③四边形ＣＥＯＦ的面积为正方形ＡＢＣＤ面积的
１
４；④ＤＦ
２＋ＣＦ
２＝２ＯＥ
２．其中正确的是（Ｍ９１０１００４）
（
）
Ａ．①②③④Ｂ．①②③
Ｃ．①②④
Ｄ．③④
３
１
@@0@
１４
７．（２０２３湖北十堰中考，２０，
）如图，▱ＡＢＣＤ的对
角线ＡＣ，ＢＤ交于点Ｏ，分别以点Ｂ，Ｃ为圆心，
１
２ＡＣ，１
２ＢＤ的长为半径画弧，两弧交于点Ｐ，
连接ＢＰ，ＣＰ．
（１）试判断四边形ＢＰＣＯ的形状，并说明理由．
（２）请说明当▱ＡＢＣＤ的对角线满足什么条件
时，四边形ＢＰＣＯ是正方形？
答案P135
８．创新意识
新考向·新定义试题（２０２３江苏
盐城大丰期中）我们将菱形、矩形与正方
形的接近程度称为菱形或矩形的“接近度”．
（１）设菱形相邻两个内角的度数分别为ｍ°，ｎ°，若
我们将菱形的“接近度”定义为｜ｍ－ｎ｜．
①当菱形的一个内角为７５°时，“接近度” ＝
；
②当菱形的“接近度” ＝
时，菱
形为正方形．
（２）设菱形相邻两个内角的度数分别为ｍ°，ｎ°，
若我们将菱形的“ 接近度” 定义为ｍ
ｎ（ｍ≤
ｎ），则：
①当菱形的一个内角为４５°时，“接近度” ＝
；
②当菱形的“接近度” ＝
时，菱
形为正方形．
（３）小军同学给出了如下矩形的“接近度”的定
义：设矩形相邻两边的长分别是ａ和ｂ（ａ≤
ｂ），将矩形的“接近度”定义为ａ
ｂ，于是ａ
ｂ越
小，矩形越接近正方形．
你认为他的定义 （填“合理” 或
“不合理”），并说明理由．
微专题 中点四边形
中点四边形的形状与原四边形的两条对角
线的数量关系和位置关系有关：（１）两条对角
线互相垂直的四边形的中点四边形为矩形，如
图１所示；（２）两条对角线相等的四边形的中
点四边形为菱形，如图２所示；（３）两条对角线
相等且互相垂直的四边形的中点四边形为正方
形，如图３所示．
图１
图２
图３
例题如图，点Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ分别是四边形ＡＢＣＤ
边ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＡ的中点．则下列说法：①若ＡＣ
⊥ＢＤ，则四边形ＥＦＧＨ为矩形；②若ＡＣ＝ＢＤ，
则四边形ＥＦＧＨ为菱形；③若四边形ＥＦＧＨ是
平行四边形，则ＡＣ与ＢＤ互相平分；④若四边
形ＥＦＧＨ是正方形，则ＡＣ与ＢＤ互相垂直且相
等．其中正确说法的个数是
（
）
Ａ．１
Ｂ．２
Ｃ．３
Ｄ．４
４
１
@@0@
１５
专项素养综合全练（一）
特殊平行四边形的翻折题
练方法
答案
Ｐ１３５
类型一 矩形中的翻折
１．（２０２１贵州遵义中考）如图，将矩形纸片ＡＢＣＤ的
两个直角进行折叠，使ＣＢ，ＡＤ恰好落在对角线
ＡＣ上，Ｂ′，Ｄ′分别是Ｂ，Ｄ的对应点，折痕分别为
ＣＦ，ＡＥ．若ＡＢ＝４，ＢＣ＝３，则线段Ｂ′Ｄ′的长是
（Ｍ９１０１００２）
（
）
Ａ．５
２
Ｂ．２
Ｃ．３
２
Ｄ．１
第１题图
第２题图
２．如图所示，把矩形ＯＡＢＣ放入平面直角坐标系
中，点Ｂ的坐标为（１０，８），点Ｄ是ＯＣ上一点，
将△ＢＣＤ沿边ＢＤ折叠，点Ｃ恰好落在ＯＡ上的
点Ｅ处，则点Ｄ的坐标是（Ｍ９１０１００２）
（
）
Ａ．（０，４）
Ｂ．（０，５）
Ｃ．（０，３）
Ｄ．（０，２）
３．方程思想
（２０２４贵州清镇月考）如图，在矩形
ＡＢＣＤ中，ＡＢ＜ＢＣ，将矩形沿ＥＦ折叠，使点Ｃ与
点Ａ重合．（Ｍ９１０１００２）
（１）若∠ＢＡＦ＝２０°，求∠ＧＡＥ的度数．
（２）求证：△ＡＧＥ≌△ＡＢＦ．
（３）若ＡＢ＝６ｃｍ，ＢＣ＝８ｃｍ，求ＢＦ的长．
类型二 菱形中的翻折
４．如图，在菱形ＡＢＣＤ中，
∠ＢＡＤ＝１２０°，点Ｅ，Ｆ分别在
边ＡＢ，ＢＣ上，将菱形沿ＥＦ
折叠，点Ｂ恰好落在ＡＤ边上的点Ｇ处，且ＥＧ⊥
ＡＣ，若ＣＤ＝８，则ＦＧ的长为
（
）
Ａ．６
Ｂ．４３
Ｃ．８
Ｄ．６２
类型三 正方形中的翻折
５．如图，在正方形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝６，Ｇ是ＢＣ的中
点．将△ＡＢＧ沿ＡＧ折叠至△ＡＦＧ，延长ＧＦ交
ＤＣ于点Ｅ，则ＤＥ的长是
（
）
Ａ．１
Ｂ．１．５
Ｃ．２
Ｄ．２．５
６．如图，四边形ＡＢＣＤ是正方形，Ｅ是ＡＤ边上一
点，将正方形折叠，使点Ｂ与点Ｅ重合，ＦＧ是折
痕，Ｃ点落在Ｈ点处，ＥＨ与ＣＤ交于点Ｎ，连接
ＥＢ，ＮＢ．求证：∠ＥＢＮ＝４５°．
５
１
@@0@
１６
专项素养综合全练（二）
与正方形有关的四个常考模型
练模型
答案
Ｐ１３６
类型一 正方形中的“十字模型”
模型解读
分别连接正方形两组对边上的任意两点，得
到的两条线段满足：若垂直，则相等．
ＡＦ＝ＢＥ
ＡＦ＝ＥＧ
ＥＧ＝ＨＦ
１．如图，正方形ＡＢＣＤ中，Ｅ是ＢＣ上的一点，连接
ＡＥ，过Ｂ点作ＢＧ⊥ＡＥ，垂足为点Ｇ，延长ＢＧ交
ＣＤ于点Ｆ，连接ＡＦ．
（１）求证：ＢＥ＝ＣＦ．
（２）若正方形的边长是５，ＢＥ＝２，求ＡＦ的长．
类型二 正方形过对角线交点的直角问题
模型解读
在正方形ＡＢＣＤ中，Ｏ为对角线的交点，
∠ＥＯＦ＝９０°．若∠ＥＯＦ绕点Ｏ旋转，ＯＥ，ＯＦ
分别与ＤＡ，ＡＢ的延长线交于点Ｇ，Ｈ，则
△ＡＧＯ≌△ＢＨＯ，△ＯＧＨ是等腰直角三角形，
Ｓ四边形ＯＥＢＦ＝１
４Ｓ正方形ＡＢＣＤ．
２．如图，正方形ＡＢＣＤ的对角线ＡＣ，ＢＤ相交于点
Ｏ，正方形Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′的顶点Ａ′与点Ｏ重合，边
Ａ′Ｂ′交ＢＣ于点Ｅ，边Ａ′Ｄ′交ＣＤ于点Ｆ．
（１）求证：ＯＥ＝ＯＦ．
（２）若正方形ＡＢＣＤ的边长为１，则两个正方形
重叠部分的面积为 ．
（３）在（２）的条件下，若正方形Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′绕着点
Ｏ旋转，ＥＦ的长度何时最小？最小值是多
少？请说明理由．
３．（２０２４湖北巴东期中）如图１，Ｏ为正方形ＡＢＣＤ
对角线的交点，点Ｅ，Ｆ在正方形边ＢＣ，ＣＤ上，
ＢＥ＝ＣＦ，连接ＯＥ，ＯＦ，ＥＦ．
（１）求证：∠ＥＯＦ＝９０°．
（２）如图２，若Ｍ为ＣＤ的中点，Ｎ为ＢＣ的中
点，ＭＮ与ＥＦ交于点Ｋ，请探究点Ｋ是否平
分ＥＦ，说明理由．
图１
图２
６
１
@@0@
１７
类型三 正方形中的“半角模型”
模型解读
（１）如图１，在正方形ＡＢＣＤ中，若∠ＥＡＦ＝
４５°，则①ＥＦ＝ＢＥ＋ＤＦ；②Ｃ△ＥＦＣ＝２ＡＢ；③ＦＡ
平分∠ＤＦＥ，ＥＡ平分∠ＢＥＦ；④ＭＮ
２＝
ＢＭ
２＋ＤＮ
２．
图１
图２
（２）如图２，在正方形ＡＢＣＤ中，若∠ＥＡＦ＝
４５°，则ＦＡ平分∠ＤＦＥ，ＥＦ＝ＤＦ－ＢＥ．
４．如图，在边长为６的正方形ＡＢＣＤ内作∠ＥＡＦ＝
４５°，ＡＥ交ＢＣ于点Ｅ，ＡＦ交ＣＤ于点Ｆ，连接
ＥＦ．若ＤＦ＝３，则ＢＥ的长为
（
）
Ａ．２
Ｂ．３
Ｃ．４
Ｄ．５
第４题图
第５题图
５．（２０２３重庆中考Ａ卷）如图，在正方形ＡＢＣＤ中，点
Ｅ，Ｆ分别在ＢＣ，ＣＤ上，连接ＡＥ，ＡＦ，ＥＦ，∠ＥＡＦ＝
４５°．若∠ＢＡＥ＝α，则∠ＦＥＣ等于
（
）
Ａ．２α
Ｂ．９０°－２α
Ｃ．４５°－α
Ｄ．９０°－α
类型四 正方形中的“角平分线＋垂直”模型
模型解读
在正方形ＡＢＣＤ中，点Ｅ在射线ＣＢ上，ＥＦ交
外角∠ＤＣＧ的平分线（图１）或其所在直线
（图２）于点Ｆ，ＡＥ⊥ＥＦ，则有ＡＥ＝ＥＦ．
图１
图２
６．如图１，四边形ＡＢＣＤ是正方形，Ｅ是边ＢＣ的中
点，∠ＡＥＦ＝９０°，且ＥＦ交正方形外角的平分线
ＣＦ于点Ｆ，过点Ｆ作ＦＧ⊥ＢＣ于点Ｇ，连接ＡＣ．
易证：ＡＣ＝
２（ＥＣ＋ＦＧ）．（提示：取ＡＢ的中点
Ｎ，连接ＥＮ）
（１）当点Ｅ是ＢＣ边上任意一点时，如图２；当点
Ｅ在ＢＣ延长线上时，如图３．请直接写出
ＡＣ，ＥＣ，ＦＧ的数量关系，并对图２进行
证明．
（２）已知正方形ＡＢＣＤ的面积是２７，连接ＡＦ，当
△ＡＢＥ中有一个内角为３０° 时，ＡＦ的长为
．
图１
图２
图３
７
１
@@0@
１８
第一章 素养综合检测
特殊平行四边形
满分
１００分
限时
９０分钟
答案
Ｐ１３８
一、选择题（本大题共１０小题，每小题３分，共３０分）
１．（２０２４江西九江期中）下列说法错误的是（
）
Ａ．平行四边形的对边相等
Ｂ．正方形的对角线互相垂直平分且相等
Ｃ．菱形的对角线相等且平分
Ｄ．矩形的对角线相等且互相平分
２．（２０２４广东深圳南山期末）下列平行四边形中，根
据图中所标出的数据，不能判定是菱形的是
（
）
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
３．小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的
菱形学具，他先活动学具成为如图１所示的菱
形，并测得∠Ｂ＝６０°，对角线ＡＣ＝２０ｃｍ，接着活
动学具成为如图２所示的正方形，则图２中对
角线ＡＣ的长为
（
）
Ａ．２０ｃｍ
Ｂ．３０ｃｍ
Ｃ．４０ｃｍ
Ｄ．２０２ｃｍ
４．（２０２４河南郑州一中月考）如图，在菱形ＡＢＣＤ中，
对角线ＡＣ，ＢＤ相交于点Ｏ，Ｅ为ＡＤ的中点，且
ＯＥ＝３，则菱形ＡＢＣＤ的周长为
（
）
Ａ．９
Ｂ．１２
Ｃ．１８
Ｄ．２４
５．（２０２４江西修水期中）如图，四边形ＡＢＣＤ是正方
形，延长ＡＢ到点Ｅ，使ＡＥ＝ＡＣ，则∠ＢＣＥ的度
数是
（
）
Ａ．６２．５°
Ｂ．４５°
Ｃ．３２．５°
Ｄ．２２．５°
６．（２０２４广东揭阳榕城期中）如图，四边形ＡＢＣＤ为
平行四边形，延长ＡＤ到Ｅ，使ＤＥ＝ＡＤ，连接
ＥＢ，ＥＣ，ＤＢ，添加一个条件，不能使四边形
ＤＢＣＥ成为矩形的是
（
）
Ａ．ＡＢ＝ＢＥ
Ｂ．ＣＥ⊥ＤＥ
Ｃ．∠ＡＤＢ＝９０°
Ｄ．ＢＥ⊥ＡＢ
７．（２０２４河南郑州一中月考）如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，
∠Ａ＝９０°，Ｐ为边ＢＣ上一动点，ＰＥ⊥ＡＢ于Ｅ，
ＰＦ⊥ＡＣ于Ｆ，动点Ｐ从点Ｂ出发，沿着ＢＣ匀
速向终点Ｃ运动，则线段ＥＦ的值的大小变化
情况是
（
）
Ａ．一直增大
Ｂ．一直减小
Ｃ．先减小后增大
Ｄ．先增大后减少
第７题图
第８题图
８．（２０２４江西九江期中）如图，Ｏ为正方形ＡＢＣＤ对
角线ＡＣ的中点，△ＡＣＥ为等边三角形．若ＡＢ＝
２，则ＯＥ的长度为
（
）
Ａ．６
２
Ｂ．６
Ｃ．２２
Ｄ．２３
８
１
@@0@
１９
９．（２０２３山东潍坊中考）如图，在直角坐标系中，菱
形ＯＡＢＣ的顶点Ａ的坐标为（－２，０），∠ＡＯＣ＝
６０°．将菱形ＯＡＢＣ沿ｘ轴向右平移１个单位长
度，再沿ｙ轴向下平移１个单位长度，得到菱形
Ｏ′Ａ′Ｂ′Ｃ′，其中点Ｂ′的坐标为
（
）
$
#
"
Z
Y
0
0ĉ
"ĉ
$ĉ
#ĉ
c
Ａ．（－２，３－１）
Ｂ．（－２，１）
Ｃ．（－３，１）
Ｄ．（－３，３－１）
１０．（２０２３浙江绍兴中考）如图，在矩形
ＡＢＣＤ中，Ｏ为对角线ＢＤ的中点，
∠ＡＢＤ＝６０°，动点Ｅ在线段ＯＢ上，动点Ｆ在
线段ＯＤ上，点Ｅ，Ｆ同时从点Ｏ出发，分别向
终点Ｂ，Ｄ运动，且始终保持ＯＥ＝ＯＦ．点Ｅ关于
ＡＤ，ＡＢ的对称点为Ｅ１，Ｅ２；点Ｆ关于ＢＣ，ＣＤ
的对称点为Ｆ１，Ｆ２．在整个过程中，四边形
Ｅ１Ｅ２Ｆ１Ｆ２形状的变化依次是
（
）
Ａ．菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→
菱形
Ｂ．菱形→正方形→平行四边形→菱形→平行
四边形
Ｃ．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→
平行四边形
Ｄ．平行四边形→菱形→正方形→平行四边形
→菱形
二、填空题（本大题共５小题，每小题３分，共１５分）
１１．如图，三位同学分别站在一个直角三角形的三
个顶点处做投圈游戏，目标物放在斜边ＡＣ的
中点Ｏ处，已知ＡＣ＝６ｍ，则点Ｂ到目标物的
距离是
ｍ．
１２．（２０２４辽宁沈阳皇姑期末）如图，Ｅ为正方形
ＡＢＣＤ的边ＢＣ的延长线上的点，且ＣＥ＝ＡＣ，连
接ＡＥ，则∠Ｅ＝
度．
１３．（２０２２辽宁营口中考）如图，将△ＡＢＣ沿着ＢＣ方
向平移得到△ＤＥＦ，只需添加一个条件即可证
明四边形ＡＢＥＤ是菱形，这个条件可以是
．（写出一个即可）
第１３题图
第１４题图
１４．（２０２２甘肃中考）如图，菱形ＡＢＣＤ中，对角线
ＡＣ与ＢＤ相交于点Ｏ，若ＡＢ＝２５ｃｍ，ＡＣ＝
４ｃｍ，则ＢＤ的长为
ｃｍ．
１５．一题多解（２０２３河南省实验中学月考）如图，在
边长为２２的正方形ＡＢＣＤ中，点Ｅ，Ｆ分别是边
ＡＢ，ＢＣ的中点，连接ＥＣ，ＦＤ，点Ｇ，Ｈ分别是ＥＣ，
ＦＤ的中点，连接ＧＨ，则ＧＨ的长度为
．
９
１
@@0@
２０
三、解答题（共５５分）
１６．（２０２３福建大田期末）（６分）如图，在菱形ＡＢＣＤ
中，Ｅ，Ｆ分别是ＡＢ，ＡＤ的中点，连接ＤＥ，ＢＦ．
求证：ＤＥ＝ＢＦ．
１７．新考向·尺规作图（２０２４河南省实验中学月考）（６
分）如图，在矩形ＡＢＣＤ中，ＢＤ是对角线．
（１）作线段ＢＤ的垂直平分线（要求：尺规作
图，保留作图痕迹，不写作法）．
（２）设ＢＤ的垂直平分线交ＡＤ于点Ｅ，交ＢＣ
于点Ｆ，连接ＢＥ，ＤＦ．试判断四边形ＢＥＤＦ
的形状，并说明理由．
１８．（７分）如图，在正方形ＡＢＣＤ中，Ｅ是ＢＣ上的
一点，Ｆ是ＣＤ延长线上的一点，且ＢＥ＝ＤＦ，连
接ＡＥ，ＡＦ，ＥＦ．
（１）求证：△ＡＢＥ≌△ＡＤＦ．
（２）若ＡＥ＝５，请求出ＥＦ的长．
１９．（７分）如图，在▱ＡＢＣＤ中，对角线ＡＣ与ＢＤ
相交于点Ｏ，△ＡＢＯ是等边三角形，ＡＢ＝１．
（１）求证：▱ＡＢＣＤ是矩形．
（２）求矩形ＡＢＣＤ的面积．
０
２
@@0@
２１
２０．（８分）如图，将矩形ＡＢＣＤ沿着对角线ＢＤ折
叠，使点Ｃ落在Ｃ′处，ＢＣ′交ＡＤ于点Ｅ．
（１）若∠ＤＢＣ＝２５°，求∠ＡＤＣ′的度数．
（２）若ＡＢ＝４，ＡＤ＝８，求△ＢＤＥ的面积．
２１．（２０２３陕西西安经开五中三模）（１０分）如图，已
知四边形ＡＢＣＤ为正方形，ＡＢ＝２２，Ｅ为对角
线ＡＣ上一动点，连接ＤＥ，过点Ｅ作ＥＦ⊥ＤＥ．
交射线ＢＣ于点Ｆ，以ＤＥ、ＥＦ为邻边作矩形
ＤＥＦＧ，连接ＣＧ．
（１）求证：矩形ＤＥＦＧ是正方形．
（２）ＣＥ＋ＣＧ的值是不是定值？若是，请求出这
个值；若不是，请说明理由．
２２．新考向·实践探究题（２０２２河南息县模拟）（１１
分）学习了菱形的判定后，小张同学与小刘同
学一起探索折纸中的菱形．
小张：如图①，两张相同宽度的矩形纸条重叠
部分（阴影部分）是一个菱形．
小刘：如图②，一张矩形纸条沿ＥＧ折叠后，重
叠部分展开后是一个菱形（阴影部分）．
图①
图②
图③
（１）小张同学的判断是否正确？请说明理由．
（２）小刘同学的判断是否正确？如果正确，证
明他的判断；如果不正确，请说明理由．
（３）如图③，矩形ＡＢＣＤ的宽ＡＢ＝４，若ＡＥ＝
２ＡＢ，沿ＢＥ折叠后，重叠部分展开后得到
菱形ＧＢＦＥ（阴影部分），求菱形ＧＢＦＥ的
面积．
１
２
新课标内容：能根据一元二次方程的特征，选择配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程；会用一元
二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等；会将一元二次方程根的情况与一元二次方程根的
判别式相联系；知道利用一元二次方程的根与系数的关系可以解决一些简单的问题，能根据具体问题的实际意义，
检验方程的解是否合理．建立模型观念．旧版课标中一元二次方程的根与系数的关系为选学内容，不作考试要求，新
版课标改为必学内容．
２２
第二章
一元二次方程
编号
单元大概念素养目标
对应新课标内容
对应试题
Ｍ９１０２００１
理解一元二次方程及
有关概念
能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方
程；理解方程解的意义，经历估计方程解的过程【Ｐ５６】
Ｐ２２Ｔ１；Ｐ２２Ｔ３；Ｐ２３Ｔ６
Ｍ９１０２００２
会解一元二次方程
理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数
的一元二次方程【Ｐ５６】
Ｐ２５Ｔ１；Ｐ２７Ｔ１；Ｐ２９Ｔ１；
Ｐ２９Ｔ３；Ｐ３１Ｔ１；Ｐ３１Ｔ２
Ｍ９１０２００３
掌握一元二次方程根
的判别式
会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两
个实根是否相等【Ｐ５６】
Ｐ２９Ｔ４；Ｐ２９Ｔ６；Ｐ２９Ｔ９
Ｍ９１０２００４
了解一元二次方程的
根与系数的关系
了解一元二次方程的根与系数的关系【Ｐ５６】
Ｐ３５Ｔ１；Ｐ３５Ｔ３；Ｐ３５Ｔ５；
Ｐ３５Ｔ６
Ｍ９１０２００５
运用一元二次方程解
决实际问题
能针对具体问题列出方程【Ｐ５６】
能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性【Ｐ５６】
Ｐ３７Ｔ１；Ｐ３７Ｔ３；Ｐ３７Ｔ４；
Ｐ３７Ｔ６；Ｐ３９Ｔ１；Ｐ３９Ｔ５
1 认识一元二次方程
第1 课时 一元二次方程
答案P141
1
一元二次方程的概念
全解P227
１．（２０２４吉林松原前郭期末）下列关于ｘ的方程中，
一定是一元二次方程的为（Ｍ９１０２００１）
（
）
Ａ．ｘ
２－２＝（ｘ＋３）
２
Ｂ．ｘ
２－１＝０
Ｃ．ｘ
２＋３
ｘ－５＝０
Ｄ．ａｘ
２＋ｂｘ＋ｃ＝０
２．（２０２３河北魏县期中）若关于ｘ的方程（ｍ－１）ｘ
２＋
ｍｘ－１＝０是一元二次方程，则ｍ的取值范围
是（Ｍ９１０２００１）
（
）
Ａ．ｍ＝１
Ｂ．ｍ≠１
Ｃ．ｍ≥１
Ｄ．ｍ≠０
2
一元二次方程的一般形式
全解P227
３．（２０２４贵州六盘水水城期中）关于ｘ的方程３ｘ
２－
２＝４ｘ中，二次项系数和一次项系数分别是
（Ｍ９１０２００１）
（
）
Ａ．３，－２
Ｂ．３，４
Ｃ．３，－４
Ｄ．－４，－２
４．教材变式·P32 习题T2 判断下列方程是不是一元
二次方程，如果是，指出其中的二次项系数、一
次项系数和常数项．（Ｍ９１０２００１）
（１）３ｙ＝４ｙ（２－ｙ）．
（２）２ａ（ａ＋５）＝１０．
（３）ｘ
２（３＋ｘ）＋１＝５ｘ．
（４）３＋２ｍ
２＝２（２ｍ－３）．
２
２
２３
3
由实际问题列出一元二次方程
全解P228
５．新独家原创２０２３年末，某地猪肉的价格有两次
下降，由原来的每千克２０元，连续两次下降
ｘ％，降到每千克１８元，则下面所列方程正确的
是（Ｍ９１０２００１）
（
）
Ａ．２０（１＋ｘ％）
２＝１８
Ｂ．２０（１－ｘ％）
２＝１８
Ｃ．２０（１＋ｘ
２％）＝１８
Ｄ．１８（１－ｘ
２％）＝２０
６．（２０２３云南玉溪期中）如图，在宽为９ｍ，长为
１６ｍ的矩形地面上修一横两纵共三条等宽的
小路，余下部分种草，种草部分的面积为
１１２ｍ
２，设小路的宽为ｘｍ，那么ｘ满足的方程
是（Ｍ９１０２００１）
（
）
Ａ．（９－２ｘ）（１６－２ｘ）＝１１２
Ｂ．（９－ｘ）（１６－２ｘ）＝１１２
Ｃ．（９－ｘ）（１６－ｘ）＝１１２
Ｄ．（９－２ｘ）（１６－ｘ）＝１１２
答案P141
７．（２０２４河南汤阴期中，３，
）方程（ｍ－２）ｘ
｜ｍ｜－３ｘ－
７＝０是关于ｘ的一元二次方程，则ｍ的取值范
围是
（
）
Ａ．ｍ＝－２
Ｂ．ｍ＝２
Ｃ．ｍ＝±２
Ｄ．ｍ≠±２
８．易错题（２０２３上海虹口期中，６，
）若方程（ｍ
２－
１）ｘ
２＋
２ｍｘ＝９是关于ｘ的一元二次方程，则
ｍ的取值范围是
．（Ｍ９１０２００１）
９．（２０２２浙江衢州中考，１４，
）将一个容积为
３６０ｃｍ
３的包装盒剪开铺平，纸样如图所示．利
用容积列出图中ｘ满足的一元二次方程：
（不必化简）．
１０．易错题（２０２２山东淄博博山期末，１７，
）关于ｘ
的一元二次方程（ｍ－３）ｘ
２＋ｍ
２ｘ＝９ｘ＋５化为一
般形式后不含一次项，则ｍ的值为
．
答案P142
１１．运算能力若方程ｘ
ａ－３ｘ
ａ－ｂ＋１＝０是关于
ｘ的一元二次方程，求ａ，ｂ的值．
下面是两位同学的解法：
甲：根据题意，得
ａ＝２，
ａ－ｂ＝１，
{
解得
ａ＝２，
ｂ＝１．
{
乙：根据题意，得
ａ＝２，
ａ－ｂ＝１
{
或
ａ＝１，
ａ－ｂ＝２，
{
解得
ａ＝２，
ｂ＝１
{
或
ａ＝１，
ｂ＝－１．
{
上述两位同学的解法正确吗？如果不正确，请
给出正确的答案．
３
２
２４
第2 课时 一元二次方程的解及其估算
答案P142
1
一元二次方程的解及其应用
１．下列是方程３ｘ
２＋ｘ－２＝０的解的是
（
）
Ａ．ｘ＝－１
Ｂ．ｘ＝１
Ｃ．ｘ＝－２
Ｄ．ｘ＝２
２．（２０２３江苏镇江中考）若ｘ＝１是关于ｘ的一元二
次方程ｘ
２＋ｍｘ－６＝０的一个根，则ｍ＝
．
2
探索一元二次方程的近似解
３．（２０２４广东惠东期中改编）观察下表，估计一元二
次方程ａｘ
２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ≠０）的一个近似解ｘ１的
范围为（Ｍ９１０２００１）
（
）
ｘ
…
１．３
２．４
３．５
４．３
５．４
…
ａｘ
２＋ｂｘ＋ｃ
… －２．５１－２．８４－０．７５２．２９
８．５６…
Ａ．１．３＜ｘ１＜２．４
Ｂ．２．４＜ｘ１＜３．５
Ｃ．３．５＜ｘ１＜４．３
Ｄ．４．３＜ｘ１＜５．４
４．教材变式·P33 做一做“ 一块矩形铁片，面积为
１ｍ
２，长比宽多３ｍ，求该铁片的长．”小华在做
这道题时，是这样考虑的：设铁片的长为ｘｍ，列出
的方程为ｘ（ｘ－３）＝１．小华列出方程后，想知道铁
片的长到底是多少，下面是她的探索过程．
第一步：
ｘ
１
２
３
４
ｘ
２－３ｘ－１
－３
－３
所以 ＜ｘ＜ ．
第二步：
ｘ
３．１
３．２
３．３
３．４
ｘ
２－３ｘ－１
－０．６９
－０．３６
所以 ＜ｘ＜ ．
（１）请你帮小华完成她未完成的部分．
（２）通过以上探索，可知该矩形铁片的长的整数
部分为
，十分位上的数为
．
答案P142
５．（２０２３江苏南京鼓楼期中改编，４，
）已知关于ｘ
的一元二次方程（ｍ－１）ｘ
２－２ｘ＋ｍ
２－１＝０有一根
为０，则ｍ的值是（Ｍ９１０２００１）
（
）
Ａ．－１
Ｂ．１
Ｃ．０或１
Ｄ．１或－１
６．整体思想（２０２３山东枣庄中考，１２，
）若ｘ＝３是
关于ｘ的方程ａｘ
２－ｂｘ＝６的解，则２０２３－６ａ＋２ｂ
的值为
．（Ｍ９１０２００１）
答案P142
７．抽象能力观察下列一元二次方程及其解的特征．
①ｘ
２－３ｘ＋２＝０的解为ｘ１＝１，ｘ２＝２；
②ｘ
２－５ｘ＋６＝０的解为ｘ１＝２，ｘ２＝３；
③ｘ
２－７ｘ＋１２＝０的解为ｘ１＝３，ｘ２＝４；
……
请写出第
（ｎ为正整数）个方程：
，其解为
．
８．应用意识某大学为改善校园环境，计划在一块
长８０ｍ，宽６０ｍ的长方形场地中央建一个长方
形网球场，网球场占地面积为３５００ｍ
２．四周为
宽度相等的人行走道，如图，若设人行走道的宽
为ｘｍ．（Ｍ９１０２００１）
（１）请列出相应的方程．
（２）ｘ的值可能小于０吗？写出你的理由．
（３）ｘ的值可能大于４０吗？可能大于３０吗？写
出你的理由．
（４）你知道人行走道的宽是多少吗？写出你的
求解过程．
４
２
２５
2 用配方法求解一元二次方程
第1 课时 用配方法解简单的一元二次方程
答案P142
1
用直接开平方法解一元二次
方程
全解P229
１．（２０２４山西长治六中期中）一元二次方程ｘ
２＝９的
解是（Ｍ９１０２００２）
（
）
Ａ．ｘ１＝ｘ２＝３
Ｂ．ｘ１＝ｘ２＝－３
Ｃ．ｘ１＝０，ｘ２＝９
Ｄ．ｘ１＝３，ｘ２＝－３
２．（２０２４河北沧州东光期中）用直接开平方法解方
程（３ｘ＋１）
２＝（２ｘ－５）
２，做法正确的是
（
）
Ａ．３ｘ＋１＝２ｘ－５
Ｂ．３ｘ＋１＝－（２ｘ－５）
Ｃ．３ｘ＋１＝±（２ｘ－５）
Ｄ．３ｘ＋１＝±２ｘ－５
３．关于ｘ的方程（ｘ－２）
２＝１－ｍ无实数根，那么ｍ
满足的条件是
（
）
Ａ．ｍ＞２
Ｂ．ｍ＜２
Ｃ．ｍ＞１
Ｄ．ｍ＜１
４．解方程：
（１）（２０２３江苏扬州江都期中）４ｘ
２＝４９．
（２）（２０２３江苏扬州江都期中）（２ｘ－１）
２－２５＝０．
（３）（２０２２黑龙江齐齐哈尔中考）（２ｘ＋３）
２＝（３ｘ＋２）
２．
2
用配方法解二次项系数为1 的一元
二次方程
全解P229
５．（２０２３内蒙古赤峰中考）用配方法解方程ｘ
２－４ｘ－
１＝０时，配方后正确的是（Ｍ９１０２００２）
（
）
Ａ．（ｘ＋２）
２＝３
Ｂ．（ｘ＋２）
２＝１７
Ｃ．（ｘ－２）
２＝５
Ｄ．（ｘ－２）
２＝１７
６．教材变式·P36 做一做填上适当的数，使下列等
式成立：
（１）ｘ
２＋４ｘ＋
＝（ｘ＋２）
２．
（２）ｘ
２－１２ｘ＋
＝（ｘ－
）
２．
（３）ｘ
２＋１
４ｘ＋
＝（ｘ＋
）
２．
７．（２０２４山西寿阳月考）下面是王磊同学用配方法
解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相
应任务．
解：ｘ
２＋４ｘ－１＝０．
ｘ
２＋４ｘ＝１，
第一步
………………………………
ｘ
２＋４ｘ＋４＝１＋４，
第二步
…………………………
（ｘ＋４）
２＝５，
第三步
……………………………
ｘ＋４＝± ５，
第四步
……………………………
ｘ１＝－４＋５，ｘ２＝－４－５．
第五步
………………
任务一：
①以上解题过程中，第二步的依据是
；
②第
步开始出现错误．
任务
二：
该
方
程
正
确
的
根
为
．
８．用配方法解下列方程：（Ｍ９１０２００２）
（１）ｘ
２＋２０ｘ＝０． （２）ｘ
２－２ｘ－２＝０．
（３）（２０２４河南南阳镇平期中）ｘ
２－５ｘ－６＝０．
５
２
２６
答案P143
９．（２０２２四川雅安中考，１０，
）若关于ｘ的一元二
次方程ｘ
２＋６ｘ＋ｃ＝０配方后得到方程（ｘ＋３）
２＝
２ｃ，则ｃ的值为
（
）
Ａ．－３
Ｂ．０
Ｃ．３
Ｄ．９
１０．（２０２４河南南阳镇平期中，７，
）下图是一个简
单的运算程序，如果输出的数值为－１０，则输入
ｘ的值为（Ｍ９１０２００２）
（
）
Ａ．－８
Ｂ．２５－１或－２５－１
Ｃ．５－１或－５－１
Ｄ．５－１
１１．（２０２４甘肃平凉华亭期末，１７，
）定义新运算：
对于任意实数ｍ，ｎ，都有ｍｎ＝ｍ
２ｎ＋ｎ，等式
右边是常用的加法、乘法及乘方运算．例如：－３
２＝（－３）
２×２＋２＝２０．若ｘ４＝２０，则ｘ的值
是
．
１２．教材变式·P38T2 （２０２３山西阳城期末，２３，
）
某公园中有一块长为３２米，宽为２０米的矩形
花坛，现在要在花坛中间修建一条如图所示的
文化长廊，已知长廊的宽度均相等，且横纵相
交成直角，若要使花坛剩余部分的面积为５４０
平方米，求长廊的宽度．
１３．新考向·过程性学习试题（２０２４广东中山三十八
校联考期中，１９，
）阅读下列解一元二次方程
的方法，并解决问题：
解方程：ｘ（ｘ－２）＝３．
解：原方程变形得［（ｘ－１）＋１］［（ｘ－１）－１］＝３，
∴（ｘ－１）
２－１
２＝３，
∴（ｘ－１）
２＝４，
两边开平方，得ｘ－１＝±２，解得ｘ１＝３，ｘ２＝－１．
我们称这种解法为“和差数法”．
应用：用“和差数法”解方程（ｘ＋１）（ｘ＋５）＝１２．
答案P143
１４．几何直观形如ｘ
２＋１０ｘ＝３９的方程，求
正数解的一种几何方法是：如图①，先
构造一个面积为ｘ
２的正方形，再以正方形的
边为一边向外构造四个面积为５
２ｘ的矩形，再
将图形补全为一个大正方形，易知大正方形的
面积为３９＋４×
５
２
æ
è
ç
ö
ø
÷
２
＝６４，则大正方形的边长
为８，故该方程的正数解为８－５
２×２＝３．小明按
此方法解关于ｘ的方程ｘ
２＋６ｘ＋ｍ＝０时，构造
出如图②所示的图形，已知阴影部分的面积为
３６，则该方程的正数解为
．
图①
图②
６
２
２７
第2 课时 用配方法解较复杂的一元二次方程
答案P143
3
用配方法解二次项系数不为1 的一
元二次方程
全解P229
１．（２０２４湖南娄底双峰期中）用配方法解一元二次
方程２ｘ
２－３ｘ－１＝０，配方正确的是（Ｍ９１０２００２）
（
）
Ａ．ｘ－３
４
æ
è
ç
ö
ø
÷
２
＝１７
１６
Ｂ．ｘ－３
４
æ
è
ç
ö
ø
÷
２
＝１
２
Ｃ．ｘ－３
４
æ
è
ç
ö
ø
÷
２
＝１３
４
Ｄ．ｘ－３
２
æ
è
ç
ö
ø
÷
２
＝１１
４
２．（２０２４山东青岛五十三中月考）用配方法解下列方
程，配方错误的是
（
）
Ａ．ｘ
２－２ｘ－９９＝０化为（ｘ－１）
２＝１００
Ｂ．２ｔ
２－７ｔ－４＝０化为ｔ－７
４
æ
è
ç
ö
ø
÷
２
＝８１
１６
Ｃ．ｘ
２＋８ｘ＋９＝０化为（ｘ＋４）
２＝２５
Ｄ．３ｘ
２－４ｘ－２＝０化为ｘ－２
３
æ
è
ç
ö
ø
÷
２
＝１０
９
３．（２０２４陕西西安铁一中学月考）用配方法解一元二
次方程２ｘ
２＋４ｘ－１＝０时，将它化为（ｘ＋ａ）
２＝ｂ的
形式，则ａ＋ｂ的值为
．
４．（２０２４吉林长春双阳期末）阅读材料，并回答问题．
小明解方程２ｘ
２－８ｘ＋５＝０的过程如下：
解：２ｘ
２－８ｘ＋５＝０，
２ｘ
２－８ｘ＝－５，
①
…………………………………
ｘ
２－４ｘ＝－５
２，
②
…………………………………
ｘ
２－４ｘ＋４＝－５
２＋４，
③
…………………………
（ｘ－２）
２＝３
２，
④
…………………………………
ｘ－２＝６
２，
⑤
……………………………………
ｘ＝２＋６
２．
⑥
……………………………………
（１）上述过程中，从第
步开始出现错误（填序
号），发生错误的原因是：
．
（２）写出这个方程的正确解：
．
５．（２０２３安徽阜阳汇文中学期末）用配方法解下列方
程：（Ｍ９１０２００２）
（１）６ｘ
２－２ｘ－１＝０．
（２）２ｘ
２＋１＝３ｘ．
（３）（ｘ－３）（２ｘ＋１）＝－５．
答案P143
６．（２０２４山东青岛六十二中月考，１１，
）解方程
２ｘ
２＋４ｘ＋１＝０时，对方程进行配方，对于下面两
人的做法，说法正确的是
（
）
嘉嘉：２ｘ
２＋４ｘ＝１，
４ｘ
２＋２ｘ＝２，
４ｘ
２＋２ｘ＋４＝２，
（２ｘ＋１）
２＝２
琪琪：２ｘ
２＋４ｘ＝１，
ｘ
２＋２ｘ＝１
２，
ｘ
２＋２ｘ＋１＝１
２＋１，
（ｘ＋１）
２＝３
２
Ａ．两人都正确
Ｂ．嘉嘉正确，琪琪不正确
Ｃ．嘉嘉不正确，琪琪正确
Ｄ．两人都不正确
７
２
@@0@
２８
７．（２０２４新疆乌鲁木齐期中，１８，
）通常，在用配方
法解一般形式的一元二次方程时，要先把二次
项系数化为１，再进行配方．而有时候，不用把二
次项系数化为１，也可以用配方法解一元二次
方程．先阅读如下方程的解答过程，再按照此方
法解方程．
２ｘ
２－２２ｘ－３＝０．
解：２ｘ
２－２２ｘ－３＝０，
（２ｘ）
２－２２ｘ＋１＝３＋１，
（２ｘ－１）
２＝４，
２ｘ－１＝±２，
∴ｘ１＝－２
２，ｘ２＝３２
２．
解方程：５ｘ
２－２
１５ｘ＝２．
８．（２０２３江苏连云港中考改编，１６，
）若Ｗ＝５ｘ
２－
４ｘｙ＋ｙ
２－２ｙ＋８ｘ＋３（ｘ、ｙ为实数），求Ｗ的最小值．
（Ｍ９１０２００２）
答案P144
９．运算能力
新独家原创已知：ｘ
２＋１
ｘ
２＋４ｘ＋１
ｘ
æ
è
ç
ö
ø
÷ ＋
６＝０，求下列各式的值．
（１）１
ｘ＋ｘ．
（２）１
ｘ－ｘ．
微专题 利用配方法求二次三项式的最值
方法指引将代数式ａｘ
２＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０）配成ａ（ｘ＋
ｍ）
２＋ｎ的形式后，若ａ＞０，则当ｘ＝－ｍ时，代数
式取得最小值ｎ；若ａ＜０，则当ｘ＝－ｍ时，代数式
取得最大值ｎ．
例题（２０２３四川泸县期末）阅读材料：数学老师
在求代数式ｘ
２＋４ｘ＋５的最小值时，对式子进行
变形：ｘ
２＋４ｘ＋５＝ｘ
２＋４ｘ＋４＋１＝（ｘ＋２）
２＋１，因为
（ｘ＋２）
２≥０，所以（ｘ＋２）
２＋１≥１，当ｘ＝－２时，
（ｘ＋２）
２＋１＝１，因此ｘ
２＋４ｘ＋５的最小值是１．类
似地，代数式ｘ
２－６ｘ＋４的最小值为
（
）
Ａ．－９
Ｂ．－５
Ｃ．－３
Ｄ．４
变式
１．（２０２４河南商水期中）已知代数式ｘ
２－２ｘ＋６可
以利用配方法变形为（ｘ－１）
２＋５，进而可知
ｘ
２－２ｘ＋６的最小值是５．类似地，代数式ｙ
２＋ｙ－
４的最小值是
．
２．当ｘ取何值时，代数式－ｘ
２＋６ｘ＋７有最大值或
最小值？并求出最大值或最小值．
８
２
２９
3 用公式法求解一元二次方程
答案P144
1
用公式法解一元二次方程
全解P231
１．（２０２３台湾省中考）利用公式法解一元二次方程
３ｘ
２－１１ｘ－１＝０可得两根为ａ、ｂ，且ａ＞ｂ，则ａ的
值为（Ｍ９１０２００２）
（
）
Ａ．－１１＋
１０９
６
Ｂ．－１１＋
１３３
６
Ｃ．１１＋
１０９
６
Ｄ．１１＋
１３３
６
２．利用求根公式求方程３ｘ
２－４＝５ｘ的根时，将方程化
为一般形式，得
．
所以ａ＝
，ｂ＝
，ｃ＝
，ｂ
２－４ａｃ＝
．
所以ｘ＝－ｂ±
ｂ
２－４ａｃ
２ａ
＝
．
３．教材变式·P42 例题
用公式法解下列方程．
（Ｍ９１０２００２）
（１）ｘ
２－ｘ－７＝０． （２）３ｘ
２－２ｘ＝１．
（３）（３ｘ－２）（ｘ＋２）＝２８．
2
一元二次方程根的判别式
全解P232
４．（２０２３河南中考）关于ｘ的一元二次方程ｘ
２＋ｍｘ－
８＝０的根的情况是（Ｍ９１０２００３）
（
）
Ａ．有两个不相等的实数根
Ｂ．有两个相等的实数根
Ｃ．只有一个实数根
Ｄ．没有实数根
５．（２０２３山东聊城中考）若关于ｘ的一元二次方程
ｍｘ
２＋２ｘ＋１＝０有实数解，则ｍ的取值范围是
（Ｍ９１０２００３）
（
）
Ａ．ｍ≥－１
Ｂ．ｍ≤１
Ｃ．ｍ≥－１且ｍ≠０
Ｄ．ｍ≤１且ｍ≠０
６．（２０２３上海中考）已知关于ｘ的一元二次方程
ａｘ
２＋６ｘ＋１＝０没有实数根，那么ａ的取值范围是
．（Ｍ９１０２００３）
７．易错题（２０２３湖北荆州中考）已知关于ｘ的一元
二次方程ｋｘ
２－（２ｋ＋４）ｘ＋ｋ－６＝０有两个不相等
的实数根．
（１）求ｋ的取值范围．
（２）当ｋ＝１时，用配方法解方程．
答案P144
８．（２０２３四川广安中考，６，
）已知ａ、ｂ、ｃ为常数，
点Ｐ（ａ，ｃ）在第四象限，则关于ｘ的方程ａｘ
２＋
ｂｘ＋ｃ＝０的根的情况是（Ｍ９１０２００３）
（
）
Ａ．有两个不相等的实数根
Ｂ．有两个相等的实数根
Ｃ．没有实数根
Ｄ．无法判断
９．新考向·新定义试题（２０２３四川内江中考，１１，
）
对于实数ａ，ｂ定义运算“”为ａｂ＝ｂ
２－ａｂ，例
如：３２＝２
２－３×２＝－２，则关于ｘ的方程（ｋ－３）
ｘ＝ｋ－１的根的情况，下列说法正确的是
（Ｍ９１０２００３）
（
）
Ａ．有两个不相等的实数根
Ｂ．有两个相等的实数根
Ｃ．没有实数根
Ｄ．无法确定
９
２
@@0@
３０
１０．（２０２４广东广州越秀月考改编，１０，
）若关于ｘ
的方程ｘ
２－（２ｋ－２）ｘ＋ｋ
２－１＝０有两个实数根，
则
（ｋ－１）
２－（
｜２－ｋ｜）
２的化简结果是
（
）
Ａ．－１
Ｂ．１
Ｃ．－１－２ｋ
Ｄ．２ｋ－３
１１．（２０２４河南新蔡期中，１３，
）在实数范围内定义
运算“☆”和“★”，其规则为ａ☆ｂ＝ａ
２＋ｂ
２，ａ★
ｂ＝ａｂ
２，则方程１☆ｘ＝ｘ★６的解为
．
１２．（２０２４江苏宿迁泗阳期中，２０，
）关于ｘ的方程
２ｘ
２＋（ｍ＋２）ｘ＋ｍ＝０．
（１）求证：无论ｍ取何值，方程总有两个实
数根．
（２）若方程有两个相等的实数根，请求出ｍ的
值，并求出此时方程的根．
答案P145
１３．运算能力
新考向·开放型试题（２０２３浙
江杭州中考）设关于ｘ的一元二次方程
ｘ
２＋ｂｘ＋ｃ＝０．在下面的四组条件中选择其中一
组ｂ，ｃ的值，使这个方程有两个不相等的实数
根，并解这个方程．
①ｂ＝２，ｃ＝１；②ｂ＝３，ｃ＝１；③ｂ＝３，ｃ＝－１；④ｂ＝
２，ｃ＝２．
１４．应用意识在一块长１６ｍ，宽１２ｍ的矩形荒地
上，要建造一个花园，要求花园面积是荒地面
积的一半，下面分别是小华与小芳的设计
方案．
（１）同学们都认为小华的方案是正确的，但对
小芳的方案是否符合条件有不同意见，你
认为小芳的方案符合条件吗？若不符合，
请用方程的方法说明理由．
（２）你还有其他的设计方案吗？请在图３中画
出你所设计的草图，将花园部分涂上阴影，
并加以说明．
图３
０
３
３１
4 用因式分解法求解一元二次方程
答案P145
1
用因式分解法解一元二次方程
全解P233
１．（２０２４山西太原期中）一元二次方程ｘ
２＝ｘ的根是
（Ｍ９１０２００２）
（
）
Ａ．ｘ１＝０，ｘ２＝１
Ｂ．ｘ１＝０，ｘ２＝－１
Ｃ．ｘ１＝ｘ２＝０
Ｄ．ｘ１＝ｘ２＝１
２．（２０２３河南息县期中）方程ｘ（ｘ－３）＝ｘ－３的根是
（Ｍ９１０２００２）
（
）
Ａ．ｘ＝３
Ｂ．ｘ＝０
Ｃ．ｘ１＝３，ｘ２＝０
Ｄ．ｘ１＝３，ｘ２＝１
３．（２０２３河北南皮月考）用因式分解法解下列方程，
变形正确的是（Ｍ９１０２００２）
（
）
Ａ．（ｘ＋３）（ｘ－１）＝１，可得ｘ＋３＝１或ｘ－１＝１
Ｂ．（ｘ－３）（ｘ－４）＝０，可得ｘ－３＝０或ｘ－４＝０
Ｃ．（ｘ－２）（ｘ－３）＝６，可得ｘ－２＝２或ｘ－３＝３
Ｄ．ｘ（ｘ＋２）＝０，可得ｘ＋２＝０
４．新独家原创定义一种新运算“”，其规则为ａ
ｂ＝ａ（ａ＋ｂ），例如：２３＝２×（２＋３），则方程
（ｘ－２）３＝０的解为
．
５．（２０２１浙江嘉兴中考）小敏与小霞两位同学解方
程３（ｘ－３）＝（ｘ－３）
２的过程如下框：
小敏：
两边同除
以（ｘ－３），
得３＝ｘ－３，
则ｘ＝６
小霞：
移项，得３（ｘ－３）－（ｘ－３）
２＝０，
提取公因式，得（ｘ－３）（３－ｘ－
３）＝０，
则ｘ－３＝０或３－ｘ－３＝０，
解得ｘ１＝３，ｘ２＝０
你认为她们的解法是否正确？若正确，请在框
内打“√”；若错误，请在框内打“✕”，并写出你
的解答过程．（Ｍ９１０２００２）
６．用因式分解法解下列方程：（Ｍ９１０２００２）
（１）（ｙ－７）（ｙ＋５）＝０． （２）４ｘ
２＝２５．
（３）（２ｘ－１）
２－４＝０．
（４）４（ｘ－３）
２＝ｘ（ｘ－３）．
（５）３ｘ（ｘ－１）＝２－２ｘ．
2
灵活选择方法解一元二次方程
全解P234
７．解下列方程：①３ｘ
２－２７＝０；②ｘ
２－３ｘ－１＝０；
③（ｘ＋２）（ｘ＋４）＝ｘ＋２；④２（３ｘ－１）
２＝３ｘ－１．最适
当的解法是（Ｍ９１０２００２）
（
）
Ａ．依次为直接开平方法、配方法、公式法、因式
分解法
Ｂ．依次为因式分解法、公式法、配方法、直接开
平方法
Ｃ．①直接开平方法，②③公式法，④因式分解法
Ｄ．①直接开平方法，②公式法，③④因式分解法
８．用合适的方法解下列方程：（Ｍ９１０２００２）
（１）ｘ
２＋８ｘ－１＝０．
（２）２ｘ
２＋３＝７ｘ．
（３）９（ｘ＋１）
２＝（２ｘ－５）
２．
（４）（ｘ＋２）
２－１０（ｘ＋２）＋２５＝０．
１
３
@@0@
３２
９．阅读材料：∵（ｘ＋ａ）（ｘ＋ｂ）＝ｘ
２＋（ａ＋ｂ）ｘ＋ａｂ，
∴ｘ
２＋（ａ＋ｂ）ｘ＋ａｂ＝（ｘ＋ａ）（ｘ＋ｂ）．
这就是说，对于二次三项式ｘ
２＋ｐｘ＋ｑ，若能找到
两个数ａ，ｂ，使
ａ＋ｂ＝ｐ，
ａｂ＝ｑ，
{
就有ｘ
２＋ｐｘ＋ｑ＝ｘ
２＋（ａ＋
ｂ）ｘ＋ａｂ＝（ｘ＋ａ）（ｘ＋ｂ）．这种方法的特征是“拆常
数项，凑一次项系数”，即ａ，ｂ的乘积等于常数
项，ａ，ｂ的和为一次项系数，利用这种因式分解
的方法解下列一元二次方程．
（１）ｘ
２－３ｘ－４＝０．
（２）ｘ
２＋４ｘ－５＝０．
答案P146
１０．（２０２１辽宁丹东中考，５，
）若实数ｋ、ｂ是一元
二次方程（ｘ＋３）（ｘ－１）＝０的两个根，且ｋ＜ｂ，
则一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ的图象不经过（Ｍ９１０２００２）
（
）
Ａ．第一象限
Ｂ．第二象限
Ｃ．第三象限
Ｄ．第四象限
１１．易错题（２０２３江苏常州期中，１２，
）已知三角
形两边的长分别是８和６，第三边的长是方程
ｘ
２－９ｘ＋１４＝０的一个实数根，则三角形的周长
是（Ｍ９１０２００２）
（
）
Ａ．２１
Ｂ．２１或１６Ｃ．１６
Ｄ．２２
１２．（２０２４河南西华期末，１４，
）如图，数轴上点Ａ
表示的数为３ｘ＋１，点Ｂ表示的数为ｘ
２＋２ｘ，已
知ＡＢ＝５，且点Ａ在原点左侧，则ｘ的值为
．（Ｍ９１０２００２）
１３．教材变式·P48T3 （２０２３河南汤阴期中，１３，
）
如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿
化，原正方形空地一边减少了５ｍ，另一边减少
了６ｍ，剩余一块面积为２０ｍ
２的矩形空地，则
原正方形空地的边长是
ｍ．
答案P146
１４．应用意识
新考向·阅读理解试题
（２０２３
湖南永州道县期中）阅读材料，并完成相
应的任务．
解含绝对值的方程：ｘ
２－５｜ｘ｜－６＝０．
解：分两种情况：
当ｘ≥０时，原方程可化为ｘ
２－５ｘ－６＝０，解得
ｘ＝６或ｘ＝－１（舍去）．
当ｘ＜０时，原方程可化为ｘ
２＋５ｘ－６＝０，解得
ｘ＝－６或ｘ＝１（舍去）．
综上所述，原方程的解是ｘ１＝６，ｘ２＝－６．
任务：请参照上述方法解方程：ｘ
２－｜ｘ｜－２＝０．
２
３
@@0@
３３
专项素养综合全练（三）
一元二次方程的五种解法
练方法
答案
Ｐ１４６
类型一 形如（ａｘ＋ｍ）
２＝ｎ（ｎ≥０）的一元二次
方程用直接开平方法
１．（２０２４广西来宾期中）如图，这是一个简单的数值
运算程序，则输入ｘ的值为
（
）
Ａ．ｘ１＝２，ｘ２＝－２
Ｂ．ｘ１＝３，ｘ２＝－３
Ｃ．ｘ１＝３，ｘ２＝－１
Ｄ．ｘ１＝－３，ｘ２＝１
２．（２０２２河南桐柏期末）对于关于ｘ的方程（ａｘ＋
ｂ）
２＝ｃ，下列叙述正确的是
（
）
Ａ．无论ｃ为何值，方程均有实数根
Ｂ．方程的根是ｘ＝ｃ－ｂ
ａ
Ｃ．当ｃ≥０时，方程可化为ａｘ＋ｂ＝ｃ或ａｘ＋ｂ
＝－ｃ
Ｄ．当ｃ＝０时，ｘ＝ｂ
ａ
３．（２０２４内蒙古呼伦贝尔期末）方程（ｘ＋２）
２＝１的根
是
．
类型二 用配方法求解一元二次方程
４．（２０２４安徽池州月考）用配方法将方程ｘ
２－６ｘ＋５＝
０化成（ｘ＋ａ）
２＝ｂ的形式，则ｂ的值是
（
）
Ａ．１
Ｂ．－１
Ｃ．４
Ｄ．－４
５．用配方法解方程：（Ｍ９１０２００２）
（１）（２０２４湖北宜城期中）ｘ
２－３ｘ＋１＝０．
（２）（２０２４广东广州七十五中期末）ｘ
２－６ｘ＋４＝０．
（３）（２０２４河南新野期中）２ｘ
２－４ｘ－５＝０．
类型三 用公式法求解一元二次方程
６．用公式法解下列方程：（Ｍ９１０２００２）
（１）ｙ
２－２ｙ－３＝０． （２）３ｘ
２＋６ｘ＝４．
（３）４ｘ
２＝２０ｘ－２５．（４）（２ｘ＋１）（ｘ－１）＝ｘ（ｘ－５）．
类型四 用因式分解法求解一元二次方程
（一）提公因式法
７．（２０２３安徽安庆四中月考改编）解下列方程：
（１）３ｘ
２－１１ｘ＝０． （２）ｘ（ｘ－３）＝３－ｘ．
（３）３ｘ（２ｘ＋１）＝４ｘ＋２．
３
３
@@0@
３４
（二）十字相乘法
８．用因式分解法解方程：（Ｍ９１０２００２）
（１）（２０２４广东汕头潮阳期末）ｘ
２－７ｘ＋６＝０．
（２）（２０２３四川成都新都期末）ｘ
２－７ｘ＋１０＝０．
（３）（２０２３四川成都新都期末）（ｘ－３）（ｘ＋２）＝６．
９．（２０２４广东揭阳惠来期中）根据多项式乘法可知
（ｘ＋ｐ）（ｘ＋ｑ）＝ｘ
２＋（ｐ＋ｑ）ｘ＋ｐｑ，从而我们可得十
字相乘法进行因式分解的公式：ｘ
２＋（ｐ＋ｑ）ｘ＋
ｐｑ＝（ｘ＋ｐ）（ｘ＋ｑ），比如：ｘ
２－４ｘ－５＝ｘ
２＋（－５＋１）ｘ＋
（－５）×１＝（ｘ－５）（ｘ＋１），据此回答下列问题：
（Ｍ９１０２００２）
（１）将二次三项式ｘ
２＋６ｘ－７分解因式．
（２）解一元二次方程ｘ
２－２０２３ｘ－２０２４＝０．
（３）某数学兴趣小组发现二次项系数不是１的
一元二次方程也可以借助此方法解．如：
２ｘ
２＋７ｘ－４＝０，方程分解为（ｘ＋４）（２ｘ－１）＝
０，从而可以快速求出方程的解．请你利用此
方法解方程３ｘ
２＋ｘ－１０＝０．
类型五 用换元法解一元二次方程
１０．教材变式·P57T12 为解方程（ｘ
２－１）
２－５（ｘ
２－
１）＋４＝０，我们可以将ｘ
２－１视为一个整体，设
ｘ
２－１＝ｙ，则原方程可化为ｙ
２－５ｙ＋４＝０，解此方
程得ｙ１＝１，ｙ２＝４．
当ｙ＝１时，ｘ
２－１＝１，所以ｘ＝± ２；
当ｙ＝４时，ｘ
２－１＝４，所以ｘ＝± ５．
所以原方程的根为ｘ１＝２，ｘ２＝－２，ｘ３＝５，
ｘ４＝－５．
以上解方程的方法叫做换元法，利用换元法达
到降次的目的，体现了数学的转化思想．运用
上述方法解下列方程：
（１）（ｘ
２－ｘ）（ｘ
２－ｘ－４）＝－４．
（２）ｘ
４＋ｘ
２－１２＝０．
４
３
３５
5 一元二次方程的根与系数的关系
答案P147
一元二次方程的根与系数的关系
全解P235
１．（２０２３天津中考）若ｘ１，ｘ２是方程ｘ
２－６ｘ－７＝０的
两个根，则（Ｍ９１０２００４）
（
）
Ａ．ｘ１＋ｘ２＝６
Ｂ．ｘ１＋ｘ２＝－６
Ｃ．ｘ１ｘ２＝７
６
Ｄ．ｘ１ｘ２＝７
２．（２０２３西藏中考）已知一元二次方程ｘ
２－３ｘ＋２＝０
的两个根为ｘ１、ｘ２，则１
ｘ１
＋１
ｘ２
的值为
（
）
Ａ．－３
Ｂ．－２
３
Ｃ．１
Ｄ．３
２
３．（２０２３云南玉溪期中）已知α、β 是一元二次方程
ｘ
２－５ｘ－２＝０的两个不相等的实数根，则α＋β＋
αβ 的值为（Ｍ９１０２００４）
（
）
Ａ．－１
Ｂ．５
Ｃ．３
Ｄ．－２
４．（２０２３湖南怀化中考）已知关于ｘ的一元二次方
程ｘ
２＋ｍｘ－２＝０的一个根为－１，则ｍ的值为
，另一个根为
．（Ｍ９１０２００４）
５．新课标例67 变式不解方程，求下列方程的两根
之和与两根之积：（Ｍ９１０２００４）
（１）ｘ
２－３ｘ－５＝０．
（２）３ｘ
２＋５ｘ＋２＝０．
（３）ｘ
２＋２ｘ－３＝０．
６．（２０２３四川南充中考）已知关于ｘ的一元二次方
程ｘ
２－（２ｍ－１）ｘ－３ｍ
２＋ｍ＝０．（Ｍ９１０２００４）
（１）求证：无论ｍ为何值，方程总有实数根．
（２）若ｘ１，ｘ２是方程的两个实数根，且
ｘ２
ｘ１
＋ｘ１
ｘ２
＝
－５
２，求ｍ的值．
答案P147
７．（２０２３四川乐山中考，７，
）若关于ｘ的一元二次
方程ｘ
２－８ｘ＋ｍ＝０的两根为ｘ１、ｘ２，且ｘ１＝３ｘ２，则
ｍ的值为（Ｍ９１０２００４）
（
）
Ａ．４
Ｂ．８
Ｃ．１２
Ｄ．１６
８．（２０２４河南洛阳偃师实验中学月考，１５，
）解关于
ｘ的一元二次方程ｘ
２＋ｐｘ＋ｑ＝０时，小红看错了
常数项ｑ，得到方程的两个根是－３，１，小明看错
了一次项系数ｐ，得到方程的两个根是５，－４，则
原来的方程是
．（Ｍ９１０２００４）
９．易错题（２０２２山东日照中考，１５，
）关于ｘ的一
元二次方程２ｘ
２＋４ｍｘ＋ｍ＝０有两个不同的实数
根ｘ１，ｘ２，且ｘ
２
１＋ｘ
２
２＝３
１６，则ｍ＝
．（Ｍ９１０２００４）
５
３
@@0@
３６
１０．（２０２３湖北天门中考，２０，
）已知关于ｘ
的一元二次方程ｘ
２－（２ｍ＋１）ｘ＋ｍ
２＋ｍ＝
０．（Ｍ９１０２００４）
（１）求证：无论ｍ取何值时，方程都有两个不
相等的实数根．
（２）设该方程的两个实数根为ａ，ｂ，若（２ａ＋ｂ）
·（ａ＋２ｂ）＝２０，求ｍ的值．
答案P148
１１．运算能力
新独家原创在□处填写一个整数，使
得方程ｘ
２＋□ｘ＋１＝０有两个不相等的正实数
根，则□可以为
．
１２．推理能力
新考向·代数推理阅读理解：
材料一：若三个非零实数ｘ，ｙ，ｚ满足：只要其
中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，
就称这三个实数ｘ，ｙ，ｚ构成“和谐三数组”．
材料二：若关于ｘ的一元二次方程ａｘ
２＋ｂｘ＋ｃ＝
０（ａ≠０）的两根分别为ｘ１，ｘ２，则有ｘ１＋ｘ２＝
－ｂ
ａ，ｘ１ｘ２＝ｃ
ａ．
问题解决：
（１）请你写出三个能构成“和谐三数组” 的实
数： ．
（２）若ｘ１，ｘ２是关于ｘ的方程ａｘ
２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ，
ｂ，ｃ均不为０）的两根，ｘ３是关于ｘ的方程
ｂｘ＋ｃ＝０（ｂ，ｃ均不为０）的解．求证：ｘ１，ｘ２，ｘ３
可以构成“和谐三数组”．
微专题 已知一元二次方程的一根求另一根及字母系数
方法指引方法１（利用根与系数的关系）：
（１）若字母系数在一次项中，可先用两根积的
关系求出另一根，再用两根和的关系求字母系
数的值；（２）若字母系数在常数项中，可先用两
根和的关系求出另一根，再用两根积的关系求
字母系数的值．
方法２（利用根的定义）：先把已知根代入一元
二次方程中，求出字母系数的值，再解一元二次
方程，求出另一根．
１．（２０２２湖南益阳中考）若ｘ＝－１是关于ｘ的方程
ｘ
２＋ｘ＋ｍ＝０的一个根，则此方程的另一个
根是
（
）
Ａ．－１
Ｂ．０
Ｃ．１
Ｄ．２
２．（２０２２青海中考改编）已知关于ｘ的方程ｘ
２＋
ｍｘ＋３＝０的一个根为ｘ＝１，则实数ｍ与另一
根的值分别为
（
）
Ａ．４，３
Ｂ．－４，３
Ｃ．３，３
Ｄ．－３，３
３．（２０２２四川乐山中考）关于ｘ的一元二次方程
３ｘ
２－２ｘ＋ｍ＝０有两根，其中一根为ｘ＝１，则这
两根之积为
（
）
Ａ．１
３
Ｂ．２
３
Ｃ．１
Ｄ．－１
３
４．（２０２２贵州黔东南州中考）已知关于ｘ的一元二
次方程ｘ
２－２ｘ－ａ＝０的两根分别记为ｘ１，ｘ２，若
ｘ１＝－１，则ａ－ｘ
２
１－ｘ
２
２的值为
（
）
Ａ．７
Ｂ．－７
Ｃ．６
Ｄ．－６
６
３
３７
6 应用一元二次方程
第1 课时 一元二次方程的应用（一）
答案P148
1
列一元二次方程解应用题的一般步
骤及平均增长(降低)率问题全解P236
１．易错题（２０２４河北廊坊广阳期中）某电影上映的
第一天票房为２亿元，第二天、第三天单日票房
持续增长，三天累计票房为６．６２亿元，若第二
天、第三天单日票房按相同的增长率ｘ增长，则
下列方程正确的是（Ｍ９１０２００５）
（
）
Ａ．２（１＋ｘ）＝６．６２
Ｂ．２（１＋ｘ）
２＝６．６２
Ｃ．２（１＋ｘ）＋２（１＋ｘ）
２＝６．６２
Ｄ．２＋２（１＋ｘ）＋２（１＋ｘ）
２＝６．６２
２．（２０２４福建福州教育学院附中月考）我国快递行业
迅速发展，经调查，某快递公司今年２月份投递
快递总件数为２０万件，４月份投递快递总件数
为３３．８万件，假设该公司每月投递快递总件数
的增长率相同．（Ｍ９１０２００５）
（１）求该公司投递快递总件数的月增长率．
（２）若该公司每月投递快递总件数的增长率保
持不变，那么５月份投递快递总件数能否达
到４５万件？
2
数字问题
全解P237
３．一个三位数的十位数字等于百位数字与个位数
字的和，个位数字比百位数字多１．这个三位数
与个位数字的积为２６４，求这个三位数．
（Ｍ９１０２００５）
3
单、双循环问题
全解P238
４．情境题·冬奥会（２０２２黑龙江龙东地区中考）２０２２
年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加
了单循环比赛，单循环比赛共进行了４５场，则
参加比赛的队伍的支数为（Ｍ９１０２００５）
（
）
Ａ．８
Ｂ．１０
Ｃ．７
Ｄ．９
５．（２０２４天津津南期中）参加足球联赛的每两队之
间都进行两场比赛，共比赛９０场，则共有多少
个队参加比赛？设共有ｘ个队参加比赛，则可
列方程为
．（Ｍ９１０２００５）
4
分裂、传播问题
全解P238
６．（２０２４湖北武汉新洲月考）某树主干长出若干数
目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，
主干、支干和小分支的总数为１３３．设主干长出ｘ
个支干，则下列方程正确的是（Ｍ９１０２００５）（
）
Ａ．（１＋ｘ）
２＝１３３
Ｂ．１＋ｘ＋ｘ
２＝１３３
Ｃ．１＋ｘ
２＝１３３
Ｄ．ｘ＋ｘ
２＝１３３
７
３
@@0@
３８
７．（２０２４山东德州庆云期中改编）某养殖场有一只蛋
鸡患有禽流感，经过两轮感染后共有６４只蛋鸡
患禽流感．
（１）每轮传染中平均每只患禽流感的蛋鸡传染
了几只健康的蛋鸡？
（２）如果不及时控制，那么三轮传染后，患病的
蛋鸡会不会超过５００只？
答案P149
８．（２０２３湖南郴州中考，２２，
）随旅游旺季的到来，
某景区游客人数逐月增加，２月份游客人数为
１．６万人，４月份游客人数为２．５万人．（Ｍ９１０２００５）
（１）求这两个月中该景区游客人数的月平均增
长率．
（２）预计５月份该景区游客人数会继续增长，但
增长率不会超过前两个月的月平均增长率．
已知该景区５月１日至５月２１日已接待游
客２．１２５万人，则５月份后１０天日均接待游
客人数最多是多少万人？
９．（２０２３山西临汾翼城一模，１７，
）读诗词解题：
（通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄）
大江东去浪淘尽，千古风流数人物．
而立之年督东吴，早逝英年两位数．
十位恰小个位三，个位平方与寿符．
哪位学子算得快，多少年华属周瑜？
１０．（２０２３山东菏泽成武月考，２４，
）某班共有４８
名同学，若每两名同学之间都通过且仅通过一
次电话，那么全班同学共通过多少次电话呢？
我们可以用下面的方式来解决问题．
用点Ａ１、Ａ２、Ａ３、…、Ａ４８分别表示第１名同学、第
２名同学、第３名同学、……、第４８名同学，把
该班级人数ｘ与通电话次数ｙ之间的关系用
如图所示的模型表示：
（１）第四个图中ｙ的值为 ，第五个
图中ｙ的值为 ．
（２）通过探索发现，通电话次数ｙ与该班级人
数ｘ之间的关系式为 ，当ｘ＝
４８时，对应的ｙ＝ ．
（３）若九年级一班全体女生相互之间共通话
１９０次，问：该班共有多少名女生？
８
３
@@0@
３９
第2 课时 一元二次方程的应用（二）
答案P149
5
几何图形问题
全解P239
１．新独家原创校园里有一块长方形的草地，长是
宽的２倍，计划减少这块草地的面积，如图，草
地的长减少２ｍ，宽减少１ｍ，剩余草地的面积
为２４ｍ
２，设原草地的宽为ｘｍ，则下面方程正确
的是（Ｍ９１０２００５）
（
）
Ａ．（２ｘ＋１）（ｘ＋２）＝２４
Ｂ．（２ｘ－２）（ｘ－１）＝２４
Ｃ．２ｘ
２－（２ｘ＋１）（ｘ＋２）＝２４
Ｄ．２ｘ
２－（２ｘ－１）（ｘ＋２）＝２４
２．（２０２４吉林白山临江期末）如图，要使用长为２７米
的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为
１２米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．
（１）如果要围成面积为５４平方米的花圃，那么
ＡＤ的长为多少米？
（２）能否围成面积为９０平方米的花圃？若能，
请求出ＡＤ的长；若不能，请说明理由．
6
销售问题
全解P239
３．教材变式·P55T1 （２０２４吉林松原扶余期末）某市
百货大楼服装柜在销售中发现：某品牌童装平
均每天可售出２０件，每件盈利４０元．为了迎接
元旦，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售
量，增加盈利，尽量减少库存．经市场调查发现：
如果每件童装降价１元，那么平均每天就可多
售出２件．要想平均每天销售这种童装的盈利
为１２００元，那么每件童装应降价多少元？
（答案见答案册１４９页）
４．（２０２４辽宁丹东宽甸期末）某文具店新进一批体
育中考专用排球，每个排球的进价为４０元，原
计划以每个６０元的价格销售，为更好地满足学
生的需求，现决定降价销售，已知这种排球销售
量ｙ（个）与每个排球降价ｘ（元）（０＜ｘ＜２０）之间
满足一次函数关系，其图象如图所示：
（１）求ｙ与ｘ之间的函数关系式．
（２）在这次排球销售中，该文具店获利１７６０元，
这种排球每个的实际售价为多少元？
7
动点问题
全解P240
５．教材变式·P53T2 如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｂ＝９０°，
ＡＣ＝１０ｃｍ，ＢＣ＝８ｃｍ．现有两个动点Ｐ，Ｑ分别从
点Ａ和点Ｂ同时出发，点Ｐ以１ｃｍ／ｓ的速度沿
ＡＢ向终点Ｂ移动，点Ｑ以２ｃｍ／ｓ的速度沿ＢＣ
向终点Ｃ移动，其中一点到终点时，另一点也随
之停止．连接ＰＱ，经过多长时间Ｐ，Ｑ两点之间
的距离为４２ｃｍ？（Ｍ９１０２００５）
９
３
@@0@
４０
答案P149
６．（２０２４内蒙古呼伦贝尔阿荣旗期末，２４，
）如图所
示，Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ是矩形的四个顶点，ＡＢ＝１６ｃｍ，
ＡＤ＝６ｃｍ，动点Ｐ，Ｑ分别从点Ａ，Ｃ同时出发，
点Ｐ以３ｃｍ／ｓ的速度向点Ｂ移动，点Ｑ以
２ｃｍ／ｓ的速度向点Ｄ移动，当Ｐ到达点Ｂ时，
两点停止运动．
（１）Ｐ，Ｑ两点出发几秒时，四边形ＰＢＣＱ的面积
为３３ｃｍ
２？
（２）Ｐ，Ｑ两点出发几秒时，点Ｐ和点Ｑ的距离
第一次是１０ｃｍ？
７．（２０２３山东东营中考，２３，
）如图，老李
想用长为７０ｍ的栅栏，再借助房屋的外
墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ＡＢＣＤ，并
在边ＢＣ上留一个２ｍ宽的门（建在ＥＦ处，另
用其他材料）．
（１）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成
一个面积为６４０ｍ
２的羊圈？
（２）羊圈的面积能达到６５０ｍ
２吗？如果能，请
你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
答案P150
８．模型观念（２０２２贵州毕节中考）２０２２北京冬奥会
期间，某网店直接从工厂购进Ａ、Ｂ两款冰墩墩
钥匙扣，进货价和销售价如下表：（注：利润＝销
售价－进货价）
类别
价格
Ａ款钥匙扣
Ｂ款钥匙扣
进货价（元／件）
３０
２５
销售价（元／件）
４５
３７
（１）网店第一次用８５０元购进Ａ、Ｂ两款钥匙扣
共３０件，求两款钥匙扣分别购进的件数．
（２）第一次购进的冰墩墩钥匙扣售完后，该网
店计划再次购进Ａ、Ｂ两款冰墩墩钥匙扣共
８０件（进货价和销售价都不变），且进货总
价不高于２２００元．应如何设计进货方案，才
能获得最大销售利润？最大销售利润是
多少？
（３）冬奥会临近结束时，网店打算把Ｂ款钥匙
扣降价销售，如果按照原价销售，平均每天
可售４件．经调查发现，若每件降价１元，平
均每天可多售２件，则将销售价定为每件多
少元时，才能使Ｂ款钥匙扣平均每天销售
利润为９０元？
０
４
@@0@
４１
专项素养综合全练（四）
新定义型试题
练趋势
答案
Ｐ１５０
类型一 定义新运算型
１．（２０２４陕西咸阳秦都期中）对于实数ａ，ｂ，定义运
算“※”为ａ※ｂ＝ａ＋ｂ
２，例如３※２＝３＋２
２＝７，则
关于ｘ的方程ｘ※（ｘ＋１）＝５的解是
（
）
Ａ．ｘ１＝ｘ２＝－４
Ｂ．ｘ１＝ｘ２＝－１
Ｃ．ｘ１＝－１，ｘ２＝４
Ｄ．ｘ１＝１，ｘ２＝－４
２．（２０２４山西洪洞期中）对于实数ａ，ｂ，定义运算
“※”：ａ※ｂ＝ａ（ａ－ｂ），例如：２※３＝２（２－３）＝－２．
已知关于ｘ的一元二次方程
１
２ｘ
æ
è
ç
ö
ø
÷ ※（２－ｍ）＝
７ｍ－１
４ｍ
２有实数根，则ｍ的取值范围为
（
）
Ａ．ｍ≥－１
３
Ｂ．ｍ≤－１
３
Ｃ．ｍ≤－１
６
Ｄ．ｍ≥－１
６
３．（２０２３四川遂宁中考节选）我们规定：对于任意实
数ａ、ｂ、ｃ、ｄ有［ａ，ｂ］∗［ｃ，ｄ］＝ａｃ－ｂｄ，其中等式
右边是通常的乘法和减法运算，如：［３，２］∗
［５，１］＝３×５－２× １＝１３．已知关于ｘ的方程［ｘ，
２ｘ－１］∗［ｍｘ＋１，ｍ］＝０有两个实数根，求ｍ的
取值范围．
类型二 定义新概念型
４．（２０２４上海杨浦双语学校期中）定义：若两个一元
二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就
称这两个方程为“同伴方程”．例如ｘ
２＝４和（ｘ－
２）（ｘ＋３）＝０有且仅有一个相同的实数根２，所
以这两个方程为“同伴方程”．若关于ｘ的方程
ａｘ
２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ≠０）的参数同时满足ａ＋ｂ＋ｃ＝０
和ａ－ｂ＋ｃ＝０，且该方程与（ｘ＋２）（ｘ－ｎ）＝０互为
“同伴方程”，则ｎ的值为
（
）
Ａ．１或－１
Ｂ．－１
Ｃ．１
Ｄ．２
类型三 定义新方法型
５．（２０２４河南汝州月考）阅读材料：
问题：已知方程ｘ
２＋ｘ－１＝０，求一个一元二次方
程，使它的根分别是已知方程根的２倍．
解：设所求方程的根为ｙ，则ｙ＝２ｘ，所以ｘ＝ｙ
２，
把ｘ＝ｙ
２代入已知方程，得
ｙ
２
æ
è
ç
ö
ø
÷
２
＋ｙ
２－１＝０．化
简，得ｙ
２＋２ｙ－４＝０，故所求方程为ｙ
２＋２ｙ－４＝０．
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们
称为“换根法”．
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求
把所求方程化为一般形式）：
（１）已知方程ｘ
２＋３ｘ－２＝０，求一个一元二次方
程，使它的根分别为已知方程根的相反数．
（２）已知关于ｘ的一元二次方程ａｘ
２＋ｂｘ＋ｃ＝０
（ａ、ｂ、ｃ为常数，ａ≠０）有两个不等于零的实
数根，求一个一元二次方程，使它的根分别
是已知方程根的倒数．
１
４
@@0@
４２
第二章 素养综合检测
一元二次方程
满分
１００分
限时
９０分钟
答案
Ｐ１５０
一、选择题（本大题共１０小题，每小题３分，共３０分）
１．（２０２４河南郑州一中月考）下列方程中，是关于ｘ
的一元二次方程的是（Ｍ９１０２００１）
（
）
Ａ．１
ｘ
２－ｘ－１＝０
Ｂ．ａｘ
２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ、ｂ、ｃ为常数）
Ｃ．（ｘ＋１）（ｘ－２）＝ｘ
２
Ｄ．３ｘ
２＋１＝０
２．新独家原创若关于ｘ的方程（１＋３ｘ）（ｘ－３）＝
ａｘ
２＋１化成一般形式后，其二次项系数，一次项
系数，常数项分别为２，－８，－４，则ａ的值是
（
）
Ａ．－１
Ｂ．１
Ｃ．－４
Ｄ．４
３．（２０２４甘肃酒泉二中期中）根据表格，判断关于ｘ
的方程ａｘ
２＋ｂｘ＋ｃ＝３的一个解的范围是（
）
ｘ
１．１
１．２
１．３
１．４
ａｘ
２＋ｂｘ＋ｃ
－０．５９
０．８４
２．２９
３．７６
Ａ．１．１＜ｘ＜１．２
Ｂ．１．２＜ｘ＜１．３
Ｃ．１．３＜ｘ＜１．４
Ｄ．０．５９＜ｘ＜０．８４
４．（２０２４河北保定期中）某数学兴趣小组四人以接
龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责
一个步骤，如图，老师看后，发现有一位同学所
负责的步骤是错误的，这位同学是
（
）
Ａ．甲
Ｂ．乙
Ｃ．丙
Ｄ．丁
５．（２０２２广西贵港中考）若ｘ＝－２是一元二次方程
ｘ
２＋２ｘ＋ｍ＝０的一个根，则方程的另一个根及ｍ
的值分别是（Ｍ９１０２００１）
（
）
Ａ．０，－２
Ｂ．０，０
Ｃ．－２，－２
Ｄ．－２，０
６．（２０２２贵州安顺中考）定义新运算ａ∗ｂ：对于任意
实数ａ，ｂ满足ａ∗ｂ＝（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）－１，其中等式
右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如：３∗２＝
（３＋２）×（３－２）－１＝５－１＝４．若ｘ∗ｋ＝２ｘ（ｋ为实数）
是关于ｘ的方程，则它的根的情况是
（
）
Ａ．有一个实数根
Ｂ．有两个不相等的实数根
Ｃ．有两个相等的实数根
Ｄ．没有实数根
７．一题多解（２０２１西藏中考）已知一元二次方程
ｘ
２－１０ｘ＋２４＝０的两个根是菱形的两条对角线的
长，则这个菱形的面积为
（
）
Ａ．６
Ｂ．１０
Ｃ．１２
Ｄ．２４
８．（２０２４天津南开期末）为了宣传环保，某学生写了
一份倡议书在网络传播，规则为：将倡议书发表
在自己的账号，再邀请ｎ个好友转发，每个好友
转发后，又邀请ｎ个不同的好友转发，以此类
推，经过两轮传播后，共有１６４１人参与了本活
动，则可列方程为（Ｍ９１０２００５）
（
）
Ａ．（ｎ＋１）
２＝１６４１
Ｂ．ｎ
２＋ｎ＋１＝１６４１
Ｃ．ｎ（ｎ＋１）＝１６４１
Ｄ．（ｎ－１）
２＝１６４１
９．已知等腰△ＡＢＣ的底边长为３，两腰长恰好是
关于ｘ的一元二次方程１
２ｋｘ
２－（ｋ＋３）ｘ＋６＝０的
两根，则△ＡＢＣ的周长为
（
）
Ａ．６．５
Ｂ．７
Ｃ．６．５或７
Ｄ．８
１０．如图，用大小相同的小正方形按一定规律拼成
下列图形，第ｎ个图形中有小正方形２０２４个，
则ｎ的值为
（
）
第１个图形
第２个图形
第３个图形
…
Ａ．４３
Ｂ．４４
Ｃ．４５
Ｄ．４６
２
４
@@0@
４３
二、填空题（本大题共６小题，每小题４分，共２４分）
１１．（２０２４河南省实验中学月考）ｍ＝
时，关于ｘ
的方程（ｍ＋１）ｘ
ｍ
２＋１＋ｍｘ＋５＝０是一元二次方程．
１２．若关于ｘ的方程（ｋ－１）ｘ
２＋２ｋｘ＋ｋ＝０有两个不
相等的实数根，则实数ｋ的取值范围是
．（Ｍ９１０２００３）
１３．（２０２２河南襄城期中）若关于ｘ的一元二次方程
（ｍ－２）ｘ
２－６ｘ＋ｍ
２－３ｍ＋２＝０的常数项为０，则
ｍ的值为
．（Ｍ９１０２００１）
１４．一元二次方程ｘ
２－４ｘ－１２＝０的两个根分别是
直线ｙ＝ｋｘ＋ｂ与ｘ轴交点的横坐标和与ｙ轴交
点的纵坐标，则这条直线与两坐标轴所围成的
三角形的面积是
．
１５．易错题（２０２２四川内江中考）已知ｘ１、ｘ２是关于
ｘ的方程ｘ
２－２ｘ＋ｋ－１＝０的两个实数根，且
ｘ２
ｘ１
＋
ｘ１
ｘ２
＝ｘ
２
１＋２ｘ２－１，则ｋ的值为
．
１６．情境题·数学文化（２０２２湖北孝感月考）中国古
代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中有这
样一道题：“直田积八百六十四步，只云长阔共
六十步，问长多阔几何？” 意思是：一块矩形田
地的面积为８６４平方步，它的长与宽共６０步，
问长比宽多多少步？经计算，长比宽多
步．（Ｍ９１０２００５）
三、解答题（共４６分）
１７．（８分）解方程：（Ｍ９１０２００２）
（１）（２０２３黑龙江齐齐哈尔中考）ｘ
２－３ｘ＋２＝０．
（２）（２０２４贵州贵阳期末）２ｙ
２－９ｙ＋５＝０．
１８．（２０２２河南罗山月考）（７分）阅读下列【问题】与
【提示】后，将解方程的过程补充完整，并求出
ｘ的值．
【问题】解方程：ｘ
２＋２ｘ＋４
ｘ
２＋２ｘ－５＝０．
【提示】可以用“换元法”解方程．
解：设
ｘ
２＋２ｘ＝ｔ（ｔ≥０），则有ｘ
２＋２ｘ＝ｔ
２．
所以原方程可化为ｔ
２＋４ｔ－５＝０．
【续解】
１９．（２０２３湖北襄阳中考）（７分）关于ｘ的一元二次
方程ｘ
２＋２ｘ＋３－ｋ＝０有两个不相等的实数根．
（１）求ｋ的取值范围．
（２）若方程的两个根为α，β，且ｋ
２＝αβ＋３ｋ，求ｋ
的值．
３
４
@@0@
４４
２０．（７分）如图，在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝２ｃｍ，ＢＣ＝
３ｃｍ，点Ｅ从点Ｂ处开始沿ＢＣ边以２ｃｍ／ｓ的
速度向点Ｃ移动，同时点Ｆ从点Ｃ处开始沿
ＣＤ边以１ｃｍ／ｓ的速度向点Ｄ移动，当Ｅ，Ｆ两
点中有一点到达终点时，另一点也停止运动．
当△ＡＥＦ是以ＡＦ为底边的等腰三角形时，求
点Ｅ运动的时间．（Ｍ９１０２００５）
２１．情境题·科学研究（２０２３四川成都天府新区期末）
（８分）２０２２年１１月２９日，神舟十五号发射升
空，中国首次实现空间站“三舱三船” 构型．某
网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了
“中国空间站”模型．已知该模型平均每天可售
出２０个，每个盈利４０元．为了扩大销售，该网
店准备适当降价，经过一段时间测算，每个模
型每降低１元，平均每天可以多售出２个模型．
（Ｍ９１０２００５）
（１）若每个模型降价４元，则平均每天可以售
出多少个模型？此时每天获利多少元？
（２）在每个模型盈利不少于２５元的前提下，要
使“中国空间站” 模型每天获利１２００元，
每个模型应降价多少元？
２２．（２０２１重庆中考Ｂ卷）（９分）重庆小面是重庆美
食的名片之一，深受外地游客和本地民众欢
迎．某面馆向食客推出经典特色重庆小面，顾
客可到店食用（简称“堂食” 小面），也可购买
搭配佐料的袋装生面（简称“生食”小面）．已知
３份“堂食”小面和２份“生食” 小面的总售价
为３１元，４份“堂食”小面和１份“生食” 小面
的总售价为３３元．
（１）求每份“堂食” 小面和“生食” 小面的价格
分别是多少元．
（２）该面馆在４月共卖出“ 堂食” 小面４５００
份，“生食” 小面２５００份．为回馈广大食
客，该面馆从５月１日起每份“堂食”小面
的价格保持不变，每份“生食”小面的价格
降低３
４ａ％．统计５月的销量和销售额发
现：“堂食” 小面的销量与４月相同，“ 生
食” 小面的销量在４月的基础上增加
５
２ａ％，这两种小面的总销售额在４月的基
础上增加５
１１ａ％．求ａ的值．
４
４
新课标内容：
能描述简单随机事件的特征（可能结果的个数有限，每一个可能结果出现的概率相等），能用列表、画树状图等方
法求出简单随机事件所有可能的结果以及指定随机事件发生的所有可能结果，能计算简单随机事件的概率；知道
经历大量重复试验，随机事件发生的频率具有稳定性，能用频率估计概率；体会数据的随机性以及概率与统计的
关系；能综合运用统计与概率的思维方法解决简单的实际问题．
４５
第三章
概率的进一步认识
编号
单元大概念素养目标
对应新课标内容
对应试题
Ｍ９１０３００１
能用列表、画树状图法求
概率
能通过列表、画树状图等方法列出简单随机事件所有
可能的结果，以及指定随机事件发生的所有可能结
果，了解随机事件的概率【Ｐ７５】
Ｐ４５Ｔ２；Ｐ４５Ｔ３；Ｐ４５Ｔ４；
Ｐ４８Ｔ２；Ｐ４８Ｔ４；Ｐ４９Ｔ１
Ｍ９１０３００２
会用频率估计概率
知道通过大量重复试验，可以用频率估计概率【Ｐ７５】
Ｐ５０Ｔ２；Ｐ５０Ｔ３
1 用树状图或表格求概率
第1 课时 用树状图或表格求概率
答案P152
1
用树状图或表格求概率
全解P242
１．教材变式·P60 议一议（２０２２湖南邵阳中考）假定
按同一种方式掷两枚均匀硬币，如果第一枚出
现正面朝上，第二枚出现反面朝上，就记为（正，
反），如此类推，出现（正，正）的概率是
（
）
Ａ．１
Ｂ．３
４
Ｃ．１
２
Ｄ．１
４
２．情境题·生命安全与健康（２０２２山东枣庄中考）在
践行“安全在我心中，你我一起行动” 主题手抄
报评比活动中，共设置“交通安全、消防安全、饮
食安全、防疫安全”四个主题内容，某校推荐两
名学生参加评比，若他们每人从以上四个主题
内容中随机选取一个，则两人恰好选中同一主
题的概率是（Ｍ９１０３００１）
（
）
Ａ．１
２
Ｂ．１
３
Ｃ．２
３
Ｄ．１
４
３．情境题·科学研究（２０２３湖南常德中考）我市“ 神
十五”航天员张陆和他的两位战友已于２０２３年
６月４日回到地球家园，“神十六” 的三位航天
员已在中国空间站开始值守．空间站的主体结
构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．
假设“神十六” 甲、乙、丙三名航天员从核心舱
进入问天实验舱和梦天实验舱开展实验的机会
均等，现在要从这三名航天员中选２人各进入
一个实验舱开展科学实验，则甲、乙两人同时被
选中的概率为（Ｍ９１０３００１）
（
）
Ａ．１
２
Ｂ．１
３
Ｃ．１
４
Ｄ．１
５
４．新独家原创
跨学科·物理如图，随机闭合开关
Ｋ１、Ｋ２、Ｋ３中的两个，则能让三盏灯泡中的两盏
灯泡同时发光的概率为（Ｍ９１０３００１）
（
）
Ａ．１
６
Ｂ．１
３
Ｃ．１
２
Ｄ．２
３
５
４
４６
５．（２０２３内蒙古呼和浩特中考）如图所示的两张图片
形状大小完全相同，把两张图片全部从中间剪
断，再把四张形状大小相同的小图片混合在一
起．从四张小图片中随机摸取一张，不放回，接
着再随机摸取一张，则这两张小图片恰好合成
一张完整图片的概率是（Ｍ９１０３００１）
（
）
Ａ．１
２
Ｂ．１
３
Ｃ．１
４
Ｄ．１
６
６．（２０２４广东深圳龙岗期末）一个不透明的口袋中
有四个完全相同的小球，把它们分别标号为１，
２，３，４．随机摸取一个小球然后放回，摇匀后再
随机摸出一个小球．（Ｍ９１０３００１）
（１）请用画树状图或列表的方法写出两次取出
的小球所能产生的全部结果．
（２）求两次取出的小球标号相同的概率．
（３）求两次取出的小球标号的和等于４的概率．
答案P153
７．（２０２４甘肃金昌期末，２５，
）四张卡片上分别标
有１，２，３，４，它们除数字外没有区别，现将它们
放在不透明的盒子里搅拌均匀．
（１）从盒子里任意抽取一张卡片，将卡片上的
数字记为ｘ，不放回，再任意抽取第二张卡
片，将卡片上的数字记为ｙ，请你用画树状
图或列表的方式表示所有可能的结果．
（２）求出第（１）问中的点（ｘ，ｙ）在函数ｙ＝ｘ＋２
图象上的概率．
８．情境题·中华优秀传统文化（２０２４陕西咸阳秦都期
中，２２，
）秦腔可以称为“百戏之祖”，是华夏
民族文化的瑰宝，是戏曲音乐文化发展的根基，
它深刻诠释了汉文化的发展，是中华民族精神
财富的组成部分，同时也承载着广大西部地区
人民的精神寄托，是人们互相交流情感的一种
方式．甲、乙两位秦腔爱好者都想参加中老年俱
乐部的汇演活动，需要各自从Ａ．《三娘教子》、
Ｂ．《临潼山》、Ｃ．《白蛇传》、Ｄ．《和氏璧》、Ｅ．《三
上殿》五个曲目中，分别随机选择一部，主办方
做了５张背面完全相同的卡片，卡片正面分别
是这５个曲目的剧照，将卡片背面朝上洗匀后，
让甲先从这５张卡片中随机抽取一张，不放回，
乙再从剩下的４张卡片中随机抽取一张，以所
抽取的卡片正面内容为准进行表演．（Ｍ９１０３００１）
（１）甲所抽取的卡片正面是Ｃ．《白蛇传》的概率
为 ．
（２）请用列表或画树状图的方法，求甲、乙二人
中，有一个人抽中Ａ．《三娘教子》这个曲目
的概率．
６
４
@@0@
４７
９．跨学科·化学
（２０２４甘肃临洮期末，２３，
）酚酞试液是化学实验室中一种常
见的酸碱指示剂，广泛应用于酸碱滴定过程中．
通常情况下，酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇
碱性溶液变红色．一次化学实验课上，老师让学
生用无色酚酞试液检测４瓶因标签污损无法分
辨的无色溶液的酸碱性，已知这４种溶液分别
是：盐酸（呈酸性）、硝酸钾溶液（呈中性）、氢氧
化钠溶液（呈碱性）、氢氧化钙溶液（呈碱性）．
（Ｍ９１０３００１）
（１）若小明将无色酚酞试液随机滴入其中１瓶
溶液里，则结果变红的概率是多少？
（２）若小明和小亮从中各选１瓶溶液滴入无色
酚酞试液进行检测，请你用列表或画树状
图的方法，求２瓶溶液中１瓶变红、１瓶不
变色的概率．
微专题 概率中的“放回”和“不放回”问题
类型一 概率中的“放回”问题
１．不透明的袋子中有三个小球，上面分别写着
数字“１”“２” “３”，除数字外三个小球无其他
差别．从中随机摸出一个小球，记录其数字，
放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录
其数字，那么两次记录的数字之和为４的概
率是（Ｍ９１０３００１）
（
）
Ａ．１
４
Ｂ．１
３
Ｃ．１
２
Ｄ．２
３
类型二 概率中的“不放回”问题
２．（２０２４甘肃武威期末）将分别标有汉字“ 文”
“明”“宁” “安” 的四个小球装在一个不透明
的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次
摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回；
再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字组
成“宁安”的概率是（Ｍ９１０３００１）
（
）
Ａ．１
８
Ｂ．１
６
Ｃ．１
４
Ｄ．１
２
３．“二十四节气”是中国上古农耕文明的智慧结
晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小
文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立
春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的两张
送给好朋友小乐．小文将它们背面朝上放在
桌面上（邮票背面完全相同），让小乐从中随
机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，
则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春” 和“立
夏”的概率是
（
）
Ａ．２
３
Ｂ．１
２
Ｃ．１
６
Ｄ．１
８
７
４
@@0@
４８
第2 课时 利用概率判断游戏的公平性
答案P154
2
判断游戏的公平性
全解P243
１．小明与小亮做游戏（如图），规定
每人每次只出一只手，且至少要
出一个手指，两人手指数之和为偶数时小亮获
胜，否则小明获胜．这个游戏
（填“ 公
平”或“不公平”）．
２．（２０２４云南文山期末）小红和小丁玩纸牌游戏，下
图是同一副扑克中的４张牌的正面，将它们正
面朝下洗匀后放在桌面上．（Ｍ９１０３００１）
（１）小红从４张牌中抽取一张，这张牌的数字为
偶数的概率是 ．
（２）小红先从中抽出一张，小丁从剩余的３张牌
中也抽出一张，把两人抽取的牌正面上的数
字相加．若为偶数，则小红获胜；若为奇数，
则小丁获胜．请用画树状图或列表的方法说
明这个游戏对双方是否公平．
３．新课标例88 变式如图，有Ａ、Ｂ两个转
盘，其中转盘Ａ被分成４等份，转盘Ｂ
被分成３等份，并在每一份内标上数字．现甲、
乙两人同时各转动其中一个转盘，转盘停止后
（当指针指在边界线上时视为无效，重转），将Ａ
转盘指针指向的数字记为ｘ，Ｂ转盘指针指向的
数字记为ｙ，从而确定点Ｑ的坐标为（ｘ，ｙ），记
Ｓ＝ｘ＋ｙ．
（１）请用列表或画树状图的方法写出所有可能
得到的点Ｑ的坐标．
（２）李老师为甲、乙两人设计了一个游戏：当Ｓ
为偶数时甲获胜，当Ｓ为奇数时乙获胜．你
认为这个游戏公平吗？请说明理由．
答案P154
４．（２０２３山东菏泽鄄城期末，１８，
）有一个可自由
转动的转盘，被分成了三个大小相同的扇形，分
别标有数字２，４，６；另有一个不透明的瓶子，装
有分别标有数字１，３，５的三个完全相同的小
球．小杰先转动一次转盘，停止后记下指针指向
的数字（若指针指在分界线上则重转），小玉再
从瓶子中随机取出一个小球，记下小球上的数
字．（Ｍ９１０３００１）
（１）请用列表或画树状图的方法（选其中一种）
表示出所有可能出现的结果．
（２）若得到的两数字之和是３的倍数，则小杰
赢；若得到的两数字之和是７的倍数，则小
玉赢．此游戏公平吗？为什么？
８
４
@@0@
４９
第3 课时 利用概率玩“配紫色”游戏
答案P154
3
“配紫色”游戏及其应用
１．（２０２４陕西科技大学附中期中）用如图所示的两个
可自由转动的转盘进行“配紫色”游戏（红色和
蓝色可配成紫色），每个转盘都被分成几个面积
相等的扇形，同时转动两个转盘一次，转盘停止
时，指针所指扇形的颜色即为转出的颜色（若指
针停在分界线上，则重转），则配成紫色的概率
是（Ｍ９１０３００１）
（
）
Ａ．１
６
Ｂ．１
４
Ｃ．１
３
Ｄ．１
２
２．小力和小艺用如图所示的两个转盘做“ 配紫
色”游戏，每个转盘都被分成面积相等的三个扇
形．游戏规则如下：分别旋转两个转盘，若其中
一个转盘转出了红色，另一个转出了蓝色，则可
以配成紫色，若配成紫色，则小力获胜，否则小
艺获胜．这个游戏规则对双方公平吗？请说明
理由．
答案P155
３．（２０２４江苏南通期中，２１，
）小月和小浩分别旋
转两个转盘（如图），若其中一个转盘转出了红
色，另一个转出了蓝色，则可配成紫色，配成紫
色小月得２分，否则小浩得１分．
（１）用画树状图法或列表法求配成紫色的概率．
（２）这个游戏对双方公平吗？若你认为不公平，
如何修改规则才能使游戏对双方公平？
答案P155
４．应用意识（１）小贤和小明制作了两个
“配紫色”的游戏转盘，如图１，每个
转盘都被分成面积相等的三个扇形．规则如
下：Ａ，Ｂ是两个可以自由转动的转盘，两人
分别转动两个转盘，若其中一个转盘转出
红色，另一个转盘转出蓝色，那么就能配成
紫色．若配成紫色，则小贤赢，否则小明赢．
这个游戏对双方公平吗？请说明理由．
（２）知识应用：在（１）中规则不变的情况下，请
你在图２中设计转盘颜色，使转动两个转盘
能配成紫色的概率为１
３．
９
４
５０
2 用频率估计概率
答案P155
1
用频率估计概率
全解P245
１．（２０２３湖北恩施州中考）县林业部门考察某银杏
树苗在一定条件下移植的成活率，所统计的这
种银杏树苗移植成活的相关数据如下表所示：
移植的棵数ａ１００
３００
６００
１０００７０００１５０００
成活的棵数ｂ
８４
２７９
５０５
８４７
６３３７１３５８１
成活的频率ｂ
ａ０．８４０．９３０．８４２０．８４７０．９０５０．９０５
根据表中的信息，估计这种银杏树苗在一定条
件下移植成活的概率为（精确到０．１）
（
）
Ａ．０．９０５
Ｂ．０．９０
Ｃ．０．９
Ｄ．０．８
２．（２０２２辽宁鞍山中考）一个不透明的口袋中装有
５个红球和ｍ个黄球，这些球除颜色外都相同，
某同学进行了如下试验：从袋中随机摸出１个
球记下它的颜色后，放回摇匀，为一次摸球试
验．根据记录在下表中的摸球试验数据，可以估
计出ｍ的值为
．（Ｍ９１０３００２）
摸球的总次数ａ
１００
５００
１０００２０００…
摸出红球的次数ｂ
１９
１０１
１９９
４００
…
摸出红球的频率ｂ
ａ０．１９００．２０２０．１９９０．２００…
2
模拟试验估算事件的概率
全解P246
３．在“抛一枚均匀硬币”的试验中，如果现在没有
硬币，则下面各个试验中不能代替的是
（Ｍ９１０３００２）
（
）
Ａ．从两张扑克牌中抽一张，“ 黑桃” 代替“ 正
面”，“红桃”代替“反面”
Ｂ．从形状、大小完全相同，颜色为一橙一白的两
个乒乓球中摸一个
Ｃ．扔一枚图钉
Ｄ．一个男生和一个女生，以抽签的方式随机抽
取一人
４．课外活动时，王老师把自己的一串钥匙交给李
强让他去取一本书，但李强不小心把王老师告
诉他开办公桌的这把钥匙的特征忘记了．已知
这串钥匙共有８把，请你用计算器模拟试验的
方法估算他一次试开成功的概率．（只需写出用
计算器模拟试验的方法）
答案P155
５．（２０２４陕西榆林定边七中期末，３，
）某小组做用
频率估计概率的试验时，统计了某结果出现的
频率，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这
一结果的试验最有可能的是（Ｍ９１０３００２）
（
）
Ａ．玩“石头、剪刀、布” 时，小亮随机出的是“石
头”的概率
Ｂ．掷一枚质地均匀的硬币，落地后“正面” 朝上
的概率
Ｃ．投掷一枚正六面体骰子，点数“６”朝上的概率
Ｄ．袋子中有除颜色外其余都相同的１个红球和
２个黄球，从中任取一球是黄球的概率
０
５
@@0@
５１
６．（２０２４贵州六盘水水城期中，１５，
）为了
知道一块不规则的封闭图形（如图）的
面积，小聪在封闭的图形内画了一个边长为
１ｍ的正方形，在不远处向封闭图形内任意投
掷石子，记录数据如下表，则封闭图形的面积约
为
ｍ
２（精确到０．１ｍ
２）．（Ｍ９１０３００２）
掷石子次数
５０
１００
１５０
２００
３００
石子落在正方形内
（含边上）的次数
２９
６１
９１
１１８
１７８
石子落在正方形内
（含边上）的频率
０．５８００．６１００．６０７０．５９００．５９３
７．（２０２３贵州六盘水期中，２１，
）在一个不透明的
盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小
球共４０个，小明做摸球试验，他将盒子里面的
球搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后，再
把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是试
验中的统计数据：（Ｍ９１０３００２）
摸球的
次数ｍ
１００
２００
３００
５００
８００１０００３０００
摸到白球
的次数ｎ
６６
１２８
１７１
３０２
４８１
５９９
１８０６
摸到白球
的频率ｎ
ｍ
０．６６００．６４００．５７００．６０４０．６０１０．５９９０．６０２
（１）若从盒子里随机摸出一球，则摸到白球的
概率约为 ．（精确到０．１）
（２）盒子里约有白球 个．
（３）若向盒子里再放入ｘ个除颜色以外其他完
全相同的球，这ｘ个球中白球只有１个，然
后每次将球搅匀后，任意摸出一个球记下
颜色后再放回，通过大量重复摸球试验后
发现，摸到白球的频率稳定在５０％，请你推
测ｘ是多少．
答案P155
８．数据观念某水果公司以２元／千克的成本购进
１００００千克柑橘，销售人员在销售过程中随机
抽取柑橘进行“柑橘损坏率” 统计，并绘制成如
图所示的统计图，根据统计图提供的信息解决
下列问题：（Ｍ９１０３００２）
（１）柑橘损坏的概率估计值为 ，柑
橘完好的概率估计值为 ．
（２）估计这批柑橘完好的质量为
千克．
（３）如果公司希望销售这些柑橘能够获得
２５０００元的利润，那么在出售（已去掉损坏
的柑橘）时，每千克柑橘大约定价为多少元
比较合适？
１
５
@@0@
５２
专项素养综合全练（五）
概率的综合应用
练题型
答案
Ｐ１５６
类型一 概率与数、式的综合
１．如图，一个质地均匀的转盘，指针的位置固定，
当转盘自由转动停止后，观察指针指向区域内
的数（若指针正好指向分界线，则重新转一
次），转动转盘两次，则两次转动转盘指针指向
的数的积为负数的概率是（Ｍ９１０３００１）
（
）
Ａ．３
８
Ｂ．１
４
Ｃ．１
８
Ｄ．３
１６
２．盒子里放有分别写有整式２，π，ｘ，ｘ＋１的四张卡
片，从中随机抽取两张卡片，把卡片上的整式分
别作为分子和分母，则能组成分式的概率是
（Ｍ９１０３００１）
（
）
Ａ．１
２
Ｂ．１
３
Ｃ．１
４
Ｄ．１
６
类型二 概率与方程、不等式的综合
３．（２０２４四川成都蒲江中学期中）已知关于ｘ的一元
二次方程ｘ
２＋ｂｘ＋ｃ＝０，从１，２，３三个数中任取
一个数作为方程中ｂ的值，再从剩下的两个数
中任取一个数作为方程中ｃ的值，能使该方程
有实数根的概率是
．（Ｍ９１０３００１）
４．从－２，－１，１，２这四个数中任取一个作为ａ的值，再
从余下的三个数中任取一个数作为ｂ的值，则不
等式组
ｘ＞ａ，
ｘ＜ｂ
{
有整数解的概率是
．
（Ｍ９１０３００１）
类型三 概率与函数的综合
５．从－２，－１，１中任取两个数分别作为一次函数
ｙ＝ｋｘ＋ｂ中ｋ，ｂ的值，则一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ的图
象交ｘ轴于正半轴的概率是（Ｍ９１０３００１）
（
）
Ａ．２
３
Ｂ．１
３
Ｃ．１
６
Ｄ．４
９
类型四 概率与几何的综合
６．有五张正面分别标有－２，－１，０，１，２的卡片，它
们的背面完全相同．将这五张卡片背面朝上洗
匀后随机抽取一张，以其正面的数作为ａ的值，
放回卡片洗匀，再随机抽取一张，以其正面的数
作为ｂ的值，记点Ａ（ａ，ｂ）．在平面直角坐标系
中，若Ｏ（０，０），Ｂ（０，２），则点Ａ，Ｂ，Ｏ可以构成
直角三角形的概率是
．（Ｍ９１０３００１）
７．（２０２２广西玉林中考）问题情境：在数学探究活动
中，老师给出了如图所示的图形及下面三个等
式：①ＡＢ＝ＡＣ；②ＤＢ＝ＤＣ；③∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ．若
以其中两个等式作为已知条件，能否得到余下
一个等式成立？
解决方案：探究△ＡＢＤ与△ＡＣＤ全等．
问题解决：
（１）当选择①②作为已知条件时，△ＡＢＤ与
△ＡＣＤ全等吗？
（填“全等” 或
“不全等”），理由是 ．
（２）当任意选择两个等式作为已知条件时，请
用画树状图法或列表法求△ＡＢＤ≌△ＡＣＤ
的概率．
２
５
@@0@
５３
类型五 概率与统计的综合
８．（２０２３四川眉山中考）某校为落实“双减”工作，推
行“ 五育并举”，计划成立五个兴趣活动小组
（每个学生只能参加一个活动小组）：Ａ．音乐，Ｂ．
美术，Ｃ．体育，Ｄ．阅读，Ｅ．人工智能．为了解学生
对以上兴趣活动的参与情况，随机抽取了部分
学生进行调查统计，并根据统计结果，绘制成了
如图所示的两幅不完整的统计图：（Ｍ９１０３００１）
根据图中信息，完成下列问题：
（１）①补全条形统计图（要求在条形上方注明
人数）；
②扇形统计图中的圆心角α 的度数为
．
（２）若该校有３６００名学生，估计该校参加Ｅ组
（人工智能）的学生人数．
（３）该学校从Ｅ组中挑选出了表现最好的两名
男生和两名女生，计划从这四位同学中随机
抽取两人参加市青少年人工智能竞赛，请用
画树状图或列表的方法求出恰好抽到一名
男生一名女生的概率．
类型六 概率的实际应用
９．小亮和爸爸搭乘高铁外出游玩．在网上购票时，
系统已将两人分配到同一车厢同一排（下图是
高铁座位示意图）．用列表法求小亮和爸爸分配
的座位挨在一起（过道两侧也可认为是座位挨
在一起）的概率．
３
５
@@0@
５４
专项素养综合全练（六）
概率中的跨学科
练趋势
答案
Ｐ１５７
类型一 物理中的概率
１．（２０２４辽宁丹东凤城期中）如图，随机闭合开关Ｓ１、
Ｓ２、Ｓ３中的两个，灯泡Ｌ１发光的概率是
（
）
Ａ．１
２
Ｂ．１
３
Ｃ．２
３
Ｄ．１
４
２．某校对九年级学生参与“力学” “热学” “光学”
“电学” 四个类别的物理实验情况进行了抽样
调查，每位同学仅选其中一个类别，根据调查结
果绘制了不完整的统计表和扇形统计图（图
１），请根据图表提供的信息，解答问题．
类别人
数
频
率
力学ｍ０．５
热学８
光学２００．２５
电学１２
图１
图２
（１）求ｍ的值．
（２）求“热学”实验对应扇形的圆心角度数．
（３）参与“电学”实验的同学在做“灯泡亮了”的
实验时，提出如下问题：如图２，电路图上有
四个开关Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ和一个小灯泡，闭合开
关Ｄ或同时闭合开关Ａ，Ｂ，Ｃ都可使小灯泡
发光，若随机闭合其中两个开关，求小灯泡
发光的概率．
类型二 生物中的概率
３．生物的遗传基因分为两种：一种是显性基因，一
般用大写英文字母表示；另一种是隐性基因，一
般用小写英文字母表示．基因在生物体内都是
成对存在的，当显性基因和隐性基因在一起时，
表现出来的是显性性状，只有当两个隐性基因
在一起时，才表现为隐性性状，以豌豆试验为例
（如图），若把两株基因组成均为Ｄｄ的植物杂
交，则产生性状为高茎植物和矮茎植物的概率
分别为多少？（Ｍ９１０３００１）
类型三 语文中的概率
４．《笠翁对韵》是明末清初文学家、戏剧家李渔的
作品，“天对地，雨对风．大陆对长空．山花对海
树，赤日对苍穹” 就是其中的句子．现将“ 天”
“地”“雨”“ 风” “ 大陆” “ 长空” 分别书写在材
质、大小完全相同的六张卡片的正面，将卡片背
面朝上后洗匀．
（１）如果先抽取一张是“天”，那么在剩下的五
张卡片中随机抽取一张，恰好抽到卡片
“地”，使得对仗工整的概率是 ．
（２）若第一次已经把“天” “地” 两张卡片抽走，
第二次在剩下的四张卡片中随机抽取两
张，请用列表或画树状图的方法求出卡片
上的字词能够对仗工整的概率．
４
５
@@0@
５５
第三章 素养综合检测
概率的进一步认识
满分
１００分
限时
９０分钟
答案
Ｐ１５７
一、选择题（本大题共１０小题，每小题３分，共３０分）
１．用频率估计概率，可以发现抛掷硬币“ 正面朝
上”的概率为０．５，那么掷一枚质地均匀的硬币
１０次，下列说法正确的是（Ｍ９１０３００２）
（
）
Ａ．每两次必有１次正面朝上
Ｂ．可能有５次正面朝上
Ｃ．必有５次正面朝上
Ｄ．不可能有１０次正面朝上
２．（２０２３山东烟台期末）为解决“在甲、乙两个不透
明的口袋中随机摸球”的问题，小明列出表格如
下，已知这些球除颜色外无其他差别，根据表格
可知，小明从两个口袋中各随机取出一个球，取
出的是一个红球和一个白球的概率为
（
）
乙袋
甲袋
红
白
黑
红
（红，红）
（红，白）
（红，黑）
白
（白，红）
（白，白）
（白，黑）
Ａ．２
３
Ｂ．１
２
Ｃ．１
３
Ｄ．１
６
３．（２０２４浙江温岭期末）一个不透明的盒子中装有
红球、白球、黑球共４０个，这些球除颜色外无其
他差别，随机从盒子中摸出一个球记下颜色后
放回．经过多次试验，发现摸到红球的频率稳定
在３０％，则盒子中红球的个数约为
（
）
Ａ．１２
Ｂ．１５
Ｃ．１８
Ｄ．２２
４．（２０２４辽宁抚顺新宾期末）我国自古以来就有植
树的传统，植树对于调节气候、涵养水源、减轻
大气污染具有重要意义．某林业局将一种树苗
移植成活的情况绘制成如图所示的统计图，由
此可估计这种树苗移植成活的概率为（精确到
０．０１）
（
）
Ａ．０．８０
Ｂ．０．８５
Ｃ．０．９０
Ｄ．０．９５
５．（２０２４河南郑州枫杨外国语中学月考）“四书”是指
《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想
的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．
若从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取
一本，不放回，再随机抽取另一本），则抽取的恰
好是《论语》和《大学》的概率是（Ｍ９１０３００１）
（
）
Ａ．１
８
Ｂ．１
６
Ｃ．１
３
Ｄ．１
２
６．跨学科·物理如图，随机闭合开关Ｋ１、Ｋ２、Ｋ３中
的两个，则能让两盏灯泡Ｌ１、Ｌ２同时发光的概
率为（Ｍ９１０３００１）
（
）
Ａ．１
６
Ｂ．１
２
Ｃ．２
３
Ｄ．１
３
５
５
@@0@
５６
７．（２０２４云南昆明官渡期末）如图①所示，平整的地
面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明
想求该图案的面积，他采取了以下方法：用一个
面积为２００ｃｍ
２的长方形，将不规则图案围起
来，然后在适当位置随机朝长方形区域内扔小
球，并记录小球落在不规则图案内的次数（球扔
在边界线上或长方形区域外不计试验结果），他
将若干次有效试验的结果绘制成了如图②所示的
统计图，由此估计不规则图案的面积为
（
）
Ａ．９０ｃｍ
２
Ｂ．８０ｃｍ
２
Ｃ．７０ｃｍ
２
Ｄ．６０ｃｍ
２
８．质地均匀的骰子六个面分别刻有１到６的点
数，掷两次骰子，得到向上一面的两个点数，则
下列事件中，发生可能性最大的是
（
）
Ａ．点数之和是偶数
Ｂ．点数之和是奇数
Ｃ．点数之和小于１３
Ｄ．点数之和小于２
９．有四个一模一样的小球，其中三个小球上面分
别标有数字２、３、４，小明和小亮各摸一个，第一
个人随机摸一个小球记下数字后放回，混合均
匀后，第二个人再随机摸一个小球，如果两人摸
得小球的数字之和为８的概率为３
１６，那么第四
个小球上的数字是
（
）
Ａ．８
Ｂ．５
Ｃ．５或６
Ｄ．６
１０．如图所示的是两个可以自由转动的转盘，Ａ盘
被分成面积相等的三个扇形，Ｂ盘中蓝色扇形
区域所对的圆心角是１２０°．同时转动两个转
盘，如果其中一个转盘指针指向红色，另一个
转盘指针指向蓝色，那么可以配成紫色（若指
针指在界线上，则重新转），赢得游戏．若小李
同时转动Ａ盘和Ｂ盘，则她赢得游戏的概率是
（Ｍ９１０３００１）
（
）
Ａ．１
３
Ｂ．１
６
Ｃ．２
５
Ｄ．１
９
二、填空题（本大题共６小题，每小题４分，共２４分）
１１．（２０２３江苏扬州中考改编）某种绿豆在相同条件
下发芽试验的结果如下：
每批粒数ｎ
１００
５００
１０００１５００２０００３０００
发芽的频
数ｍ
９２
４６３
９２８
１３９６１８６６２７９４
发芽的频率
ｍ
ｎ（精确到
０．００１）
０．９２００．９２６０．９２８０．９３１０．９３３０．９３１
这种绿豆发芽的概率的估计值为
（精
确到０．０１）．（Ｍ９１０３００２）
１２．（２０２２湖北襄阳中考）经过某十字路口的汽车，
可能直行，也可能向左转或向右转，如果这三
种可能性大小相同，那么两辆汽车经过这个十
字路口时，第一辆车向左转，第二辆车向右转
的概率是
．（Ｍ９１０３００１）
１３．（２０２２湖南益阳中考）近年来，洞庭湖区环境保
护效果显著，南迁的候鸟种群越来越多．为了
解南迁到该区域某湿地的Ａ种候鸟的情况，从
中捕捉４０只，戴上识别卡并放回．经过一段时
间后观察发现，２００只Ａ种候鸟中有１０只佩有
识别卡，由此估计该湿地有
只Ａ种候鸟．
（Ｍ９１０３００２）
６
５
@@0@
５７
１４．（２０２３黑龙江大庆中考）新高考“３＋１＋２”选科模
式是指，除语文、数学、外语３门科目以外，学
生应在历史和物理２门首选科目中选择１科，
在思想政治、地理、化学、生物学４门再选科目中
选择２科．某同学从４门再选科目中随机选择
２科，恰好选择地理和化学的概率为
．
１５．在３×３的方格纸中，点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ分别位
于如图所示的小正方形的顶点上．从Ａ、Ｄ、Ｅ、Ｆ
四个点中先后任意取两个不同的点，以所取的
这两点及点Ｂ、Ｃ为顶点画四边形，则所画四边
形是平行四边形的概率为
．
１６．一个盒子里有完全相同的三个小球，球上分别
标有数－２，１，４，随机摸出一个小球（不放回），
球上的数记为ｐ，再随机摸出一个小球，球上的
数记为ｑ，则满足关于ｘ的方程ｘ
２＋ｐｘ＋ｑ＝０有
实数根的概率是
．（Ｍ９１０３００１）
三、解答题（共４６分）
１７．（８分）用３张同样规格的硬纸片做拼图游戏．
硬纸片的正面如图（１）所示，背面完全一样．将
它们背面朝上混匀后，先抽取一张，记下正面
的图形形状后放回，再抽取一张记下正面的图
形形状．用这两个图形拼图．请你用列表法或画
树状图法，求能拼出如图（２）中所示小人形状
的概率．
图（１）
图（２）
１８．情境题·中华优秀传统文化（２０２３辽宁鞍山中考）
（８分）二十四节气是中国古代一种用来指导
农事的补充历法，在国际气象界被誉为“中国
的第五大发明”，并位列联合国教科文组织人
类非物质文化遗产代表作名录．小明和小亮对
二十四节气非常感兴趣，在课间玩游戏时，准
备了四张完全相同的不透明卡片，卡片正面分
别写有“Ａ．惊蛰”“Ｂ．夏至”“Ｃ．白露”“Ｄ．霜降”
四个节气，两人商量将卡片背面朝上洗匀后，
从中随机抽取一张，并讲述所抽卡片上的节气
的由来与习俗．（Ｍ９１０３００１）
（１）小明从四张卡片中随机抽取一张卡片，抽
到“Ａ．惊蛰”的概率是 ．
（２）小明先从四张卡片中随机抽取一张，小亮
再从剩下的卡片中随机抽取一张，请用列
表或画树状图的方法，求两人都没有抽到
“Ｂ．夏至”的概率．
７
５
@@0@
５８
１９．（２０２２贵州遵义中考）（１０分）如图所示，甲、乙
两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等
的扇形（两个转盘除表面数字不同外，其他完
全相同），转盘甲上的数字分别是－６，－１，８，转
盘乙上的数字分别是－４，５，７（规定：指针恰好
停留在分界线上，则重新转一次）．
（１）转动转盘，转盘甲指针指向正数的概率是
；转盘乙指针指向正数的概率
是 ．
（２）若同时转动两个转盘，转盘甲指针所指的
数字记为ａ，转盘乙指针所指的数字记为
ｂ，请用列表法或画树状图法求满足ａ＋ｂ＜０
的概率．
２０．（２０２３湖北孝感中考）（１０分）打造书香文化，培
养阅读习惯．某中学计划在各班建图书角，开
展以“我最喜欢阅读的书籍” 为主题的调查活
动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（Ａ：科
技类，Ｂ：文学类，Ｃ：政史类，Ｄ：艺术类，Ｅ：其他
类）．张老师组织数学兴趣小组对学校部分学
生进行了问卷调查，根据收集到的数据，绘制
了两幅不完整的统计图（如图所示）．
根据图中信息，回答下列问题：
（１）填空：ｍ＝ ，ｎ＝ ，文学类
书籍对应扇形的圆心角等于 度．
（２）若该校有２０００名学生，请你估计最喜欢
阅读政史类书籍的学生人数．
（３）甲同学从Ａ，Ｂ，Ｃ三类书籍中随机选择一
种，乙同学从Ｂ，Ｃ，Ｄ三类书籍中随机选择
一种，请用画树状图法或列表法求甲、乙两
位同学选择相同类别书籍的概率．
２１．（２０２３江苏常州中考）（１０分）在５张相同的小
纸条上，分别写有：①２；②８；③１；④乘法；⑤
加法．将这５张小纸条做成５支签，①②③放在
不透明的盒子Ａ中搅匀，④⑤放在不透明的盒
子Ｂ中搅匀．
（１）从盒子Ａ中任意抽出１支签，抽到无理数
的概率是 ．
（２）先从盒子Ａ中任意抽出２支签，再从盒子
Ｂ中任意抽出１支签．求抽到的２个实数进
行相应的运算后结果是无理数的概率．
８
５
@@0@
５９
期中素养综合测试
第一章至第三章
满分
１２０分
限时
１００分钟
答案
Ｐ１６０
一、选择题（本大题共１０小题，每小题３分，共３０分）
１．（２０２４重庆彭水期末）下列方程是关于ｘ的一元
二次方程的是（Ｍ９１０２００１）
（
）
Ａ．２ｘ－１＝４
Ｂ．ｘｙ＋ｘ＝３
Ｃ．ｘ－１
ｘ＝５
Ｄ．ｘ
２－２ｘ＋１＝０
２．（２０２４陕西城固期中）如图，Ｒｔ△ＡＢＣ中，Ｄ是ＡＢ
的中点，∠Ｂ＝２５°，则∠ＡＤＣ的度数为
（
）
Ａ．５０°
Ｂ．４８°
Ｃ．５５°
Ｄ．２５°
第２题图
第４题图
３．（２０２４江西九江期中）关于ｘ的一元二次方程
（ｍ－３）ｘ
２＋５ｘ＋ｍ
２－３ｍ＝０的常数项为０，则ｍ的
值为（Ｍ９１０２００１）
（
）
Ａ．３
Ｂ．０
Ｃ．３或０
Ｄ．２
４．跨学科·物理如图，电路图上有４个开关Ａ，Ｂ，
Ｃ，Ｄ和１个小灯泡，现随机闭合两个开关，小灯
泡发光的概率为
（
）
Ａ．１
２
Ｂ．１
３
Ｃ．２
３
Ｄ．１
４
５．下列说法中，正确的是
（
）
Ａ．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
Ｂ．对角线互相平分的四边形是菱形
Ｃ．对角线互相垂直的四边形是平行四边形
Ｄ．对角线相等的平行四边形是矩形
６．从－１，１，２中任取两个不同的数，分别记为ａ和
ｂ，则ａ，ｂ是方程ｘ
２－ｘ－２＝０的两个根的概率是
（
）
Ａ．１
２
Ｂ．５
６
Ｃ．１
６
Ｄ．１
３
７．（２０２４甘肃兰州期中）定义运算“∗”为ａ∗ｂ＝ａｂ
２－
２ａｂ－３，则３∗ｘ＝０的根的情况为
（
）
Ａ．有两个不相等的实数根
Ｂ．无实数根
Ｃ．有两个相等的实数根
Ｄ．不能确定
８．（２０２３黑龙江大庆中考）将两个完全相同的菱形
按如图所示的方式放置，若∠ＢＡＤ＝α，∠ＣＢＥ＝
β，则β＝（Ｍ９１０１００２）
（
）
Ａ．４５°＋１
２α
Ｂ．４５°＋３
２α
Ｃ．９０°－１
２α
Ｄ．９０°－３
２α
第８题图
①
②
第１０题图
９．（２０２３四川泸州中考）若一个菱形的两条对角线
长分别是关于ｘ的一元二次方程ｘ
２－１０ｘ＋ｍ＝０
的两个实数根，且其面积为１１，则该菱形的边长
为
（
）
Ａ．３
Ｂ．２３
Ｃ．
１４
Ｄ．２
１４
１０．（２０２４云南昆明一中期中）形如ｘ
２＋ａｘ＝ｂ
２（ａ＞０，ｂ＞
０）的方程的一种图解法是：如图①，以ａ
２和ｂ为
两直角边长作Ｒｔ△ＥＦＧ，再在斜边上截取ＦＨ＝
ａ
２，则ＥＨ的长就是所求方程的正根．现有关于ｘ
的一元二次方程ｘ
２＋ｍｘ＝１６（ｍ＞０），按照上述方
法，构造图②，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，连接
ＣＤ，若
Ｓ△ＢＣＤ
Ｓ△ＡＣＤ
＝３
２，则ｍ的值为
（
）
Ａ．３
Ｂ．４
Ｃ．６
Ｄ．８
９
５
@@0@
６０
二、填空题（本大题共８小题，每小题３分，共２４分）
１１．（２０２４北京大兴期末）若关于ｘ的一元二次方程
ｘ
２－３ｘ＋ｍ＝０有一个根为１，则ｍ的值为
．
１２．（２０２３湖南长沙雅礼实验中学月考）如图，菱形
ＡＢＣＤ的面积为２４，ＡＣ＝８，则菱形的边长为
．（Ｍ９１０１００２）
１３．（２０２３湖北武汉实验中学月考）一个不透明的袋
子里装有红球和白球共ｍ个，它们除颜色外完
全相同，每次搅匀后从中随机摸出一个球并记
下颜色，再放回袋中，不断重复，统计汇总数据
如下表：
摸球次数
３００
６００
９００
１５００
摸到白球的频数
１２３
２４７
３６５
６０６
摸到白球的频率
０．４１０
０．４１２
０．４０６０．４０４
已知袋子里白球有１０个，根据表格信息，可估
计ｍ的值为
．（Ｍ９１０３００２）
１４．（２０２４江苏镇江润州期中）手卷是国画装裱中横
幅的一种体式，以能握在手中顺序展开阅览得
名，它主要由“引首” “画心” “拖尾” 三部分组
成（这三部分都是矩形形状），分隔这三部分
的部分统称为“隔水”．图中手卷长１０００ｃｍ，
宽４０ｃｍ，引首和拖尾完全相同，其宽度都为
１００ｃｍ，若隔水的宽度为ｘｃｍ，画心的面积为
１５２００ｃｍ
２，则根据题意，可列方程为
（不
用化简）．
１５．（２０２３广东揭阳普宁二中实验学校期中）如图，在
矩形ＡＢＣＤ中，对角线ＡＣ，ＢＤ相交于点Ｏ，ＤＥ
⊥ＡＣ于点Ｅ，若∠ＥＤＣ∶∠ＥＤＡ＝１∶２，ＡＣ＝
１０，则ＥＣ的长度是
．
１６．（２０２４贵州遵义红花岗期中改编）将四根长度相
等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形
ＡＢＣＤ，如图①，当∠Ｂ＝９０°时，测得Ａ，Ｃ两点
间的距离为２．推动四边形如图②，当∠Ｂ＝
６０° 时，Ａ，Ｃ两点间的距离为
，四边形
ＡＢＣＤ的面积为
．
第１６题图
第１７题图
１７．（２０２３陕西泾阳期末）如图，在矩形ＡＢＣＤ中，
ＡＣ、ＢＤ相交于点Ｏ，ＡＥ平分∠ＢＡＤ，交ＢＣ于
Ｅ，已知∠ＥＡＯ＝１５°，ＡＣ＝６，那么△ＢＯＥ的面
积为
．（Ｍ９１０１００２）
１８．在不透明的口袋中，有五个形状、大小、质地完
全相同的小球，小球上分别标有数－２、－１、０、
２、３，现从口袋中任取一个小球，将该小球上的
数作为点Ｃ的横坐标，然后放回摇匀，再从口
袋中任取一个小球，将该小球上的数作为点Ｃ
的纵坐标，则点Ｃ恰好与点Ａ（－２，２）、Ｂ（３，２）
构成直角三角形的概率是
．
三、解答题（共６６分）
１９．［答案含评分细则］（２０２４黑龙江望奎期末改编）
（１０分）用适当的方法解方程：
（１）ｘ
２＋１２ｘ－２＝０．
０
６
@@0@
６１
（２）（ｘ＋３）（ｘ－１）＝１２．
２０．［答案含评分细则］（１０分）已知关于ｘ的一元二
次方程ｘ
２－２ｘ＋ｍ－２＝０有两个不相等的实
数根．
（１）求ｍ的取值范围．
（２）若ｍ为正整数，请你写出一个满足条件的
ｍ值，并求出此时方程的根．
２１．［答案含评分细则］情境题·国防历史（１０分）某
校为纪念历史，缅怀先烈，举行以“致敬抗美援
朝，争做时代新人”为主题的故事会，校团委将
抗美援朝中四位历史英雄人物头像制成编号
为Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ的四张卡片（除编号和头像外其
余完全相同），活动时先将四张卡片背面朝上
洗匀放好，再从中随机抽取一张，记下卡片上
的英雄人物，然后放回．学生根据所抽取的卡
片来讲述他们波澜壮阔、可歌可泣的历史事
迹．请用列表或画树状图的方法求小强和小叶
抽到的两张卡片恰好是同一英雄人物的概率．
Ａ．黄继光Ｂ．邱少云
Ｃ．蒋道平
Ｄ．杨根思
２２．［答案含评分细则］（１２分）某青年旅社有６０个
客房供游客居住，在旅游旺季，当每个客房的
定价为每天２００元时，所有客房都可以住满．
每个客房定价每提高１０元，就会有１个客房
空闲，对有游客入住的客房，旅社还需要对每
个房间每天支出２０元的维护费用，设每个客
房的定价提高了ｘ元．
（１）填表（不需化简）：
入住的房间
数量（个）
每个房间
的价格
（元）
总维护
费用（元）
提价前
６０
２００
６０×２０
提价后
（２）若该青年旅社希望每天纯收入为１４０００
元且能吸引更多的游客，则每个客房的定
价应为多少元？（纯收入＝总收入－维护费
用）
１
６
@@0@
６２
２３．［答案含评分细则］（２０２４江西九江期中）（１２分）
如图，在矩形ＡＢＣＤ中，Ｍ、Ｎ分别是ＡＤ、ＢＣ的
中点，Ｐ、Ｑ分别是ＢＭ、ＤＮ的中点．（Ｍ９１０１００３）
（１）求证：ＢＭ＝ＤＮ．
（２）连接ＭＱ、ＰＮ，判断四边形ＭＰＮＱ的形状，
并说明理由．
（３）矩形ＡＢＣＤ的边ＡＢ与ＡＤ满足什么数量
关系时，四边形ＭＰＮＱ是正方形？请说明
理由．
２４．［答案含评分细则］新考向·实践探究题（２０２２河
南中考）（１２分）综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折
叠”为主题开展数学活动．
（１）操作判断
操作一：对折矩形纸片ＡＢＣＤ，使ＡＤ与ＢＣ
重合，得到折痕ＥＦ，把纸片展平；
操作二：在ＡＤ上选一点Ｐ，沿ＢＰ折叠，使
点Ａ落在矩形内部点Ｍ处，把纸片展平，
连接ＰＭ，ＢＭ．
根据以上操作，当点Ｍ在ＥＦ上时，写出图
１中一个３０°的角： ．
（２）迁移探究
小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探
究，过程如下：
将正方形纸片ＡＢＣＤ按照（１）中的方式操
作，并延长ＰＭ交ＣＤ于点Ｑ，连接ＢＱ．
①如图２，当点Ｍ在ＥＦ上时，∠ＭＢＱ＝
°，∠ＣＢＱ＝ °；
②改变点Ｐ在ＡＤ上的位置（点Ｐ不与点
Ａ，Ｄ重合），如图３，判断∠ＭＢＱ与∠ＣＢＱ
的数量关系，并说明理由．
（３）拓展应用
在（２）的探究中，已知正方形纸片ＡＢＣＤ的
边长为８ｃｍ，当ＦＱ＝１ｃｍ时，直接写出ＡＰ
的长．
２
６
新课标内容：了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段、黄金分割、相似多边形和相似比，了解相似三角形的
判定定理和性质定理，了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小，会利用图形的相似解决一些
简单的实际问题．
６３
第四章
图形的相似
编号
单元大概念素养目标
对应新课标内容
对应试题
Ｍ９１０４００１
了解比例的基本性质、线段的
比、成比例线段
了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段
【Ｐ６９】
Ｐ６３Ｔ２；Ｐ６４Ｔ４；Ｐ６４Ｔ８；
Ｐ６５Ｔ１
Ｍ９１０４００２
掌握平行线分线段成比例的基
本事实及其推论
掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得
的对应线段成比例【Ｐ６９】
Ｐ６６Ｔ１；Ｐ６６Ｔ３；Ｐ６６Ｔ５
Ｍ９１０４００３
认识相似图形
通过具体实例认识图形的相似【Ｐ６９】
Ｐ６３Ｔ１
Ｍ９１０４００４
了解相似多边形和相似比
了解相似多边形和相似比【Ｐ６９】
Ｐ６８Ｔ１；Ｐ６８Ｔ３
Ｍ９１０４００５
了解相似三角形的判定定理
了解相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个
三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形
相似；三边成比例的两个三角形相似【Ｐ６９】
Ｐ６９Ｔ４；Ｐ６９Ｔ８；Ｐ７１Ｔ２；
Ｐ７３Ｔ２
Ｍ９１０４００６
了解黄金分割
通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割【Ｐ６９】
Ｐ７５Ｔ４；Ｐ７５Ｔ５
Ｍ９１０４００７
了解相似三角形的性质定理
了解相似三角形的性质定理：相似三角形对应线段
的比等于相似比；面积比等于相似比的平方【Ｐ６９】
Ｐ８０Ｔ１；Ｐ８０Ｔ２；Ｐ８２Ｔ１
Ｍ９１０４００８
了解图形的位似，知道利用位
似可以将一个图形放大或缩小
了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放
大或缩小【Ｐ６９】
Ｐ８３Ｔ１；Ｐ８３Ｔ７；Ｐ８４Ｔ８
Ｍ９１０４００９
会利用图形的相似解决一些简
单的实际问题
会利用图形的相似解决一些简单的实际问题【Ｐ６９】
Ｐ７７Ｔ１；Ｐ７７Ｔ３
1 成比例线段
第1 课时 成比例线段及比例的基本性质
答案P163
1
形状相同的图形
全解P249
１．请认真观察如图所示的各组中的两个图形，哪
些是形状相同的图形？哪些是形状不同的图
形？（Ｍ９１０４００３）
2
两条线段的比
全解P249
２．情境题·超然楼（２０２３山东济南历下期中）位于大
明湖畔的超然楼是一座拥有几百年历史的名
楼，并在２０２１年入选“中国名楼”．超然楼与著
名的黄鹤楼相距约７２０千米，画在一幅图上是６
厘米，则这幅图的比例尺是（Ｍ９１０４００１）
（
）
Ａ．１∶１２０００００
Ｂ．１∶１２００００００
Ｃ．１∶１２０００００００
Ｄ．１∶１２００００００００
３．新独家原创如图，Ｃ为∠Ｂ的边
ＢＭ上一点，ＡＢ＝４，∠Ｂ＝３０°，若Ａ，
Ｂ，Ｃ构成三角形，则ＡＢ∶ＡＣ不可能是（Ｍ９１０４００１）
（
）
Ａ．４∶５
Ｂ．４∶３
Ｃ．３∶１
Ｄ．２∶１
３
６
@@0@
６４
3
成比例线段
全解P250
４．（２０２４上海宝山期末）下列各组中的四条线段成
比例的是（Ｍ９１０４００１）
（
）
Ａ．２ｃｍ，３ｃｍ，４ｃｍ，５ｃｍ
Ｂ．２ｃｍ，３ｃｍ，４ｃｍ，６ｃｍ
Ｃ．１ｃｍ，２ｃｍ，３ｃｍ，２ｃｍ
Ｄ．３ｃｍ，２ｃｍ，６ｃｍ，３ｃｍ
５．教材变式·P79 习题T2 如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ
ＡＣ＝
ＢＤ
ＣＤ，且ＡＢ＝６，ＡＣ＝４，ＢＣ＝５，求ＣＤ和ＢＤ的长．
６．如图，在等腰△ＡＢＣ和等腰△Ａ１Ｂ１Ｃ１中，底边
的长ＢＣ＝４ｃｍ，Ｂ１Ｃ１＝６ｃｍ，它们的周长分别为
１６ｃｍ和２４ｃｍ，那么这两个等腰三角形的腰与
底边是不是成比例线段？说明理由．
（答案见答案册１６３页）
4
比例的基本性质
全解P250
７．（２０２３甘肃金昌中考）若ａ
２＝３
ｂ，则ａｂ＝
（
）
Ａ．６
Ｂ．３
２
Ｃ．１
Ｄ．２
３
８．（２０２４上海金山期末）如果ｍ、ｎ都不为零，且
３ｍ＝４ｎ，那么下列比例式中正确的是（Ｍ９１０４００１）
（
）
Ａ．ｍ
３＝ｎ
４
Ｂ．ｍ
ｎ＝４
３
Ｃ．ｍ
４＝３
ｎ
Ｄ．ｍ
３＝４
ｎ
９．新独家原创如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，
ＣＤ是斜边ＡＢ上的高，那么线段ＡＣ、ＢＣ、ＡＢ、ＣＤ
是不是成比例线段？
答案P163
１０．教材变式·P79 习题T3 （２０２４福建三明大田期中改
编，６，
）如图，把一张大矩形纸片沿图中的
虚线裁成三张大小相同的小矩形纸片．若得到
的小矩形纸片的长与宽的比与原来大矩形纸片
长与宽的比相同，则大矩形纸片的长与宽的比值
为
．
１１．（２０２４上海徐汇期末，１９，
）已知
ａ
ｂ＝２
５．
（１）求代数式ａ＋４ｂ
２ａ－３ｂ的值．
（２）当２ａ＋３ｂ－３＝３５时，求ａ、ｂ的值．
１２．分类讨论思想（２０２４四川眉山仁寿期中改编，７，
）已知三条线段的长度ａ＝１ｃｍ，ｂ＝２ｃｍ，
ｃ＝３ｃｍ，若第四条线段的长度与它们成比例，
则这样的线段共有几条？它们分别为多长？
４
６
６５
第2 课时 比例的其他性质
答案P164
1
比例的合比、分比性质
全解P250
１．一题多解（２０２３四川甘孜州中考）若ｘ
ｙ＝２，则
ｘ－ｙ
ｙ＝
．（Ｍ９１０４００１）
２．（２０２４上海嘉定期末）如果５ａ＝３ｂ（ａ、ｂ都不等于
零），那么ａ－ｂ
ｂ＝
．（Ｍ９１０４００１）
３．一题多解如果ａ－ｂ
ａ＝１
３，那么ａ＋ｂ
ｂ的值为
．
2
比例的等比性质
全解P250
４．（２０２４贵州毕节威宁期末）已知ａ
ｂ＝ｃ
ｄ＝ｅ
ｆ＝４
３，
若ｂ＋ｄ＋ｆ＝９，则ａ＋ｃ＋ｅ＝（Ｍ９１０４００１）
（
）
Ａ．１２
Ｂ．１５
Ｃ．１６
Ｄ．１８
５．已知２ｂ＋ｃ
ａ
＝２ｃ＋ａ
ｂ
＝２ａ＋ｂ
ｃ
＝ｍ（ａ＋ｂ＋ｃ≠０），求ｍ
的值．
６．已知ａ，ｂ，ｃ是△ＡＢＣ的三边长，且ａ
５＝ｂ
４＝
ｃ
６≠０．
（１）求２ｂ＋ｃ
４ａ的值．
（２）若△ＡＢＣ的周长为６０，求各边的长．
答案P164
７．（２０２２上海嘉定期末，５，
）若实数ａ，ｂ，ｃ，ｄ满足
ａ
ｂ＝ｃ
ｄ，则下列四个选项中正确的是
（
）
Ａ．ａ＋ｂ
ｂ＝ｃ＋ｄ
ｄ
Ｂ．ａ
ａ＋ｂ＝ｃ
ｃ＋ｄ
Ｃ．ａ＋ｃ
ｂ＋ｄ＝ｃ
ｄ
Ｄ．ａ
２
ｂ＝ｃ
２
ｄ
８．（２０２４河南许昌二中月考，１３，
）在△ＡＢＣ和
△ＤＥＦ中，若ＡＢ
ＤＥ＝ＢＣ
ＥＦ＝ＡＣ
ＤＦ＝５
３，且△ＡＢＣ与
△ＤＥＦ的周长之差为１０ｃｍ，则△ＡＢＣ的周长
为
ｃｍ．
９．（２０２４湖南师大附中期末，１４，
）已知ａ＋ｂ＋ｃ
ｄ
＝
ａ＋ｂ＋ｄ
ｃ
＝ａ＋ｃ＋ｄ
ｂ
＝ｂ＋ｃ＋ｄ
ａ
＝ｍ，则ｍ的值为
．
１０．一题多解（２０２４陕西西安铁一中学月考，
２０，
）已知ａ、ｂ、ｃ是△ＡＢＣ的三边
长，且满足ａ＋１
３＝ｂ－４
４＝ｃ＋３
８，ａ＋ｂ＋ｃ＝３０，试判断
△ＡＢＣ的形状，并说明理由．
答案P164
１１．运算能力已知ａ＋ｂ－ｃ
ｃ
＝ａ－ｂ＋ｃ
ｂ
＝－ａ＋ｂ＋ｃ
ａ
，若ａ，ｂ，
ｃ均为非零的实数，求（ａ＋ｂ）（ｂ＋ｃ）（ｃ＋ａ）
ａｂｃ
的值．
５
６
６６
2 平行线分线段成比例
答案P165
1
平行线分线段成比例的基本
事实
全解P252
１．（２０２４河南郑州一中教育集团紫荆中学月考）如图，直
线ｌ１∥ｌ２∥ｌ３，直线ＡＣ和ＤＦ被ｌ１，ｌ２，ｌ３所截，ＡＢ＝
５，ＢＣ＝６，ＥＦ＝４，则ＤＥ的长为（Ｍ９１０４００２）（
）
Ａ．２
Ｂ．３
Ｃ．４
Ｄ．１０
３
２．（２０２４上海闵行一模）如图，已知ｌ１∥ｌ２∥ｌ３，直线
ｌ１，ｌ２，ｌ３分别交直线ｌ４于点Ａ、Ｂ、Ｃ，交直线ｌ５于
点Ｄ、Ｅ、Ｆ，那么下列比例式正确的是
（
）
Ａ．ＡＣ
ＢＣ＝ＤＦ
ＥＦ
Ｂ．ＡＢ
ＤＥ＝ＥＦ
ＢＣ
Ｃ．ＡＢ
ＢＣ＝ＤＦ
ＥＦ
Ｄ．ＤＦ
ＥＦ＝ＣＦ
ＢＥ
３．新独家原创如图，在边长为５的正方形ＡＢＣＤ
中，延长ＡＢ到Ｅ，使ＢＥ＝３，连接ＤＥ交ＢＣ于
Ｆ，则ＢＦ＝
．（Ｍ９１０４００２）
2
平行线分线段成比例的基本事实的
推论
全解P253
４．（２０２４江西南昌期末）如图，在△ＡＢＣ中，ＤＥ∥ＢＣ，
ＡＤ＝９，ＤＢ＝３，ＣＥ＝２，则ＡＥ的长为
（
）
Ａ．４
Ｂ．５
Ｃ．６
Ｄ．７
第４题图
第５题图
５．（２０２３福建安溪一中月考）如图，在△ＡＢＣ中，点
Ｄ，Ｅ，Ｆ分别在ＡＢ，ＡＣ，ＢＣ边上，ＤＥ∥ＢＣ，ＥＦ∥
ＡＢ，则下列式子一定正确的是（Ｍ９１０４００２）（
）
Ａ．ＡＤ
ＤＢ＝ＤＥ
ＢＣ
Ｂ．ＡＤ
ＤＢ＝ＢＦ
ＦＣ
Ｃ．ＡＤ
ＤＢ＝ＦＣ
ＢＦ
Ｄ．ＡＤ
ＤＢ＝ＦＣ
ＢＣ
６．如图，已知ＧＥ∥ＢＣ，ＥＦ∥ＣＤ，ＡＧ＝４，ＢＧ＝２，
ＡＦ＝６，求ＡＤ的长．（Ｍ９１０４００２）
答案P165
７．跨学科·音乐（２０２４四川成都郫都期末，３，
）如
图，五线谱是由等距离的五条平行横线组成的，
同一条直线上的三个点Ａ、Ｂ、Ｃ在不同横线上．
若线段ＡＣ＝３，则线段ＡＢ的长是
（
）
Ａ．１
Ｂ．２
３
Ｃ．２
Ｄ．３
２
６
６
@@0@
６７
８．（２０２３贵州遵义红花岗期中，９，
）如图，
在等腰△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，点Ｅ为ＡＣ的
中点，延长ＢＣ到点Ｄ，使得ＣＤ＝ＣＥ，连接ＤＥ
并延长交ＡＢ于点Ｆ，若∠Ａ＝６０°，ＥＦ＝２ｃｍ，则
ＤＦ的长为（Ｍ９１０４００２）
（
）
Ａ．１２ｃｍ
Ｂ．１０ｃｍ
Ｃ．８ｃｍ
Ｄ．６ｃｍ
９．（２０２４安徽庐江期末，１６，
）如图，在△ＡＢＣ中，
Ｄ是ＡＢ上的点，Ｅ，Ｆ是ＢＣ上的点，且ＤＥ∥
ＡＣ，ＤＦ∥ＡＥ，ＢＤ
ＡＤ＝３
２，ＢＦ＝９ｃｍ，求ＥＦ和ＥＣ
的长．
答案P165
１０．推理能力阅读材料，完成任务：
角平分线分线段成比例定理内容：三角形内角
平分线分对边所得的两条线段和夹这个内角
的两边对应成比例，如图①，在△ＡＢＣ中，ＡＤ
平分∠ＢＡＣ，则ＡＢ
ＡＣ＝ＢＤ
ＣＤ．
下面是这个定理的部分证明过程．
证明：如图②，过Ｃ作ＣＥ∥ＤＡ，交ＢＡ的延长
线于Ｅ．……
请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余
部分．
微专题 构造平行线分线段成比例模型
方法指导求线段的比，通常利用平行线分线段
成比例的基本事实及其推论得到比例线段，然
后进行转化得到所求两条线段的比．遇到不能
直接转化线段的比时，要联想到借助辅助线
（作平行线）构造Ａ字型基本图形．
例题如图，在△ＡＢＣ中，ＡＦ∶ＦＤ＝１∶３，ＢＤ＝
ＤＣ，求ＡＥ∶ＥＣ的值．
变式
如图，已知ＡＤ是△ＡＢＣ的中线．
（１）若Ｅ为ＡＤ的中点，射线ＣＥ交ＡＢ于点Ｆ，
求ＡＦ
ＢＦ的值．
（２）若Ｅ为ＡＤ上任意一点（不与Ａ、Ｄ重合），
且ＡＥ
ＥＤ＝１
ｋ，射线ＣＥ交ＡＢ于点Ｆ，求ＡＦ
ＢＦ的
值（用含ｋ的式子表示）．
７
６
６８
3 相似多边形
答案P166
1
相似多边形的有关概念
全解P254
１．（２０２４上海静安期末）下列选项中的两个图形一
定相似的是（Ｍ９１０４００４）
（
）
Ａ．两个平行四边形
Ｂ．两个圆
Ｃ．两个菱形
Ｄ．两个等腰三角形
２．在如图①所示的网格图中有一个四边形，请在
图②中画出一个与它相似的四边形，并求出所
画四边形与原四边形的相似比．
（答案见答案册１６６页）
2
相似多边形的性质
全解P255
３．（２０２４吉林长春榆树期中）如图，四边形ＡＢＣＤ∽
四边形Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′．（Ｍ９１０４００４）
（１）∠Ｂ＝ ．
（２）求边ｘ、ｙ的长．
４．新独家原创如图，在梯形ＡＢＣＤ中，ＥＦ∥ＡＤ，梯
形ＡＥＦＤ与梯形ＥＢＣＦ相似，若ＡＤ＝４，ＢＣ＝９，
ＡＢ＝５，求ＥＦ和ＡＥ的长．（Ｍ９１０４００４）
答案P166
５．（２０２３河北廊坊月考改编，１４，
）将边长
为４的等边三角形，边长为４的正方形和
长、宽分别为６、４的矩形按如图所示的方式向外
扩张，各得到一个新图形，它们的对应边间距均为
１，则新图形与原图形相似的有（Ｍ９１０４００４）（
）
Ａ．０个
Ｂ．１个
Ｃ．２个
Ｄ．３个
６．易错题（２０２４陕西西安西大附中月考，２４，
）如
图，在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝１２，ＢＣ＝１６，Ｅ、Ｆ分别
是ＡＢ、ＣＤ上的点，且ＡＥ＝ＤＦ＝８，两动点Ｍ、Ｎ
都以每秒２个单位长度的速度分别从Ｃ、Ｆ两点
沿ＣＢ、ＦＥ向Ｂ、Ｅ两点运动，当Ｍ、Ｎ运动多长
时间时，矩形ＣＦＮＭ与矩形ＡＥＦＤ相似？
答案P166
７．推理能力（２０２３山东威海中考）四边形ＡＢＣＤ是
一张矩形纸片，将其按如图所示的方式折叠，使
ＤＡ边落在ＤＣ边上，点Ａ落在点Ｈ处，折痕为
ＤＥ；使ＣＢ边落在ＣＤ边上，点Ｂ落在点Ｇ处，
折痕为ＣＦ．若矩形ＨＥＦＧ与原矩形ＡＢＣＤ相似，
ＡＤ＝１，则ＣＤ的长为
（
）
Ａ．２－１
Ｂ．５－１
Ｃ．２＋１
Ｄ．５＋１
８
６
６９
4 探索三角形相似的条件
第1 课时 相似三角形的有关概念及判定定理1
答案P167
1
相似三角形的概念
全解P256
１．已知△ＡＢＣ∽△Ａ′Ｂ′Ｃ′，ＡＢ＝８，Ａ′Ｂ′＝６，则ＢＣ
Ｂ′Ｃ′＝
（
）
Ａ．２
Ｂ．４
３
Ｃ．３
Ｄ．１６
９
２．新独家原创如图，△ＡＢＣ∽△ＡＣＰ．
（１）若∠Ａ＝７５°，∠ＡＰＣ＝６５°，则∠ＢＣＰ的大小
为
度．
（２）若△ＡＢＣ与△ＡＣＰ的相似比为５
３，ＡＰ＝６，
则ＡＣ＝
，ＢＰ＝
．
2
相似三角形的判定定理1
全解P256
３．如图所示的三个三角形，相似的是
（
）
Ａ．①②
Ｂ．②③
Ｃ．①③
Ｄ．①②③
４．（２０２３陕西西安交大附中月考）如图，△ＡＢＣ中，
ＣＥ⊥ＡＢ，垂足为点Ｅ，ＢＤ⊥ＡＣ，垂足为点Ｄ，ＣＥ
与ＢＤ交于点Ｆ，则下列选项中与△ＢＥＦ不相似
的三角形是（Ｍ９１０４００５）
（
）
Ａ．△ＡＢＤ
Ｂ．△ＣＤＦ
Ｃ．△ＢＣＤ
Ｄ．△ＡＣＥ
５．下列各组图形中有可能不相似的是
（
）
Ａ．各有一个角是５０°的两个等腰三角形
Ｂ．各有一个角是６０°的两个等腰三角形
Ｃ．各有一个角是１００°的两个等腰三角形
Ｄ．两个等腰直角三角形
６．（２０２３陕西师大附中月考）如图，在▱ＡＢＣＤ中，Ｇ
是ＡＢ延长线上一点，连接ＤＧ交ＢＣ于点Ｅ，则
图中相似三角形共有（Ｍ９１０４００５）
（
）
Ａ．２对
Ｂ．３对
Ｃ．４对
Ｄ．５对
７．如图，已知ＡＤ是△ＡＢＣ的角平分线，ＡＤ＝ＢＤ，
求证：△ＡＢＣ∽△ＤＡＣ．（Ｍ９１０４００５）
８．（２０２４广东深圳期中）如图，四边形ＡＢＣＤ为菱
形，点Ｅ在ＡＣ的延长线上，∠ＡＣＤ＝∠ＡＢＥ．
（Ｍ９１０４００５）
（１）求证：△ＡＢＣ∽△ＡＥＢ．
（２）当ＡＤ＝４，ＡＣ＝３时，求ＡＥ的长．
９
６
@@0@
７０
答案P167
９．一线三等角模型（２０２３山东东营中考，７，
）如
图，△ＡＢＣ为等边三角形，点Ｄ，Ｅ分别在边ＢＣ，
ＡＢ上，∠ＡＤＥ＝６０°．若ＢＤ＝４ＤＣ，ＤＥ＝２．４，则ＡＤ
的长为（Ｍ９１０４００５）
（
）
Ａ．１．８
Ｂ．２．４
Ｃ．３
Ｄ．３．２
第９题图
第１０题图
１０．（２０２４湖南郴州期末，９，
）如图，在正方形
ＡＢＣＤ中，Ｇ为ＣＤ边的中点，连接ＡＧ并延长
交ＢＣ边的延长线于点Ｅ，对角线ＢＤ交ＡＧ于
点Ｆ．已知ＡＦ＝４，则线段ＡＥ的长度为（
）
Ａ．６
Ｂ．８
Ｃ．１０
Ｄ．１２
１１．（２０２３四川内江中考，１０，
）如图，在△ＡＢＣ中，点
Ｄ、Ｅ为边ＡＢ的三等分点，
点Ｆ、Ｇ在边ＢＣ上，ＡＣ∥ＤＧ∥ＥＦ，点Ｈ为ＡＦ
与ＤＧ的交点．若ＡＣ＝１２，则ＤＨ的长为
（
）
Ａ．１
Ｂ．３
２
Ｃ．２
Ｄ．３
１２．新考法·综合实践
（２０２３黑龙江大庆中考，１３，
）在综合与实践课上，老师组织同学们以
“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩
形纸片ＡＢＣＤ如图所示，点Ｎ在边ＡＤ上．现将
矩形折叠，折痕为ＢＮ，点Ａ对应的点记为点
Ｍ，若点Ｍ恰好落在边ＤＣ上，则图中与
△ＮＤＭ一定相似的三角形是
．
（Ｍ９１０４００５）
１３．（２０２４内蒙古包头昆都仑期末，１６，
）如图，在
Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，过点Ｂ作ＢＤ⊥ＣＢ，
ＢＤ＝３，连接ＣＤ，与ＡＢ相交于点Ｍ，过点Ｍ作
ＭＮ⊥ＣＢ，垂足为Ｎ．若ＡＣ＝２，则ＭＮ的长为
．
答案P167
１４．推理能力如图，正方形ＡＢＣＤ的边长为
４，Ｅ是ＢＣ边的中点，点Ｐ在射线ＡＤ
上，过Ｐ作ＰＦ⊥ＡＥ于Ｆ．（Ｍ９１０４００５）
（１）求证：△ＰＦＡ∽△ＡＢＥ．
（２）当点Ｐ在射线ＡＤ上运动时，设ＰＡ＝ｘ，是
否存在实数ｘ，使以Ｐ，Ｆ，Ｅ为顶点的三角
形与△ＡＢＥ相似？若存在，请求出ｘ的值；
若不存在，说明理由．
备用图
０
７
７１
第2 课时 相似三角形的判定定理2
答案P168
3
相似三角形的判定定理2
全解P257
１．教材变式·P92 随堂练习（２０２３山东济
南市中期中）如图，已知△ＡＢＣ，则下
列４个三角形中，与△ＡＢＣ相似的是
（Ｍ９１０４００５）
（
）
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
２．易错题
教材变式·P93T3 （２０２４河北石家庄长安期
末）如图，已知∠１＝∠２，点
Ｄ在ＢＣ上，添加下列条件
后，仍无法判定△ＡＢＣ∽
△ＡＤＥ的是（Ｍ９１０４００５）
（
）
Ａ．∠Ｂ＝∠ＡＤＥ
Ｂ．∠２＝∠ＥＤＣ
Ｃ．ＡＢ
ＡＣ＝ＡＤ
ＡＥ
Ｄ．ＡＢ
ＡＤ＝ＢＣ
ＤＥ
３．（２０２４河南邓州期末）如图，比例规是
伽利略发明的一种画图工具，使用
它可以把线段按一定的比例伸长或
缩短．它是由长度相等的两脚ＡＤ和
ＢＣ交叉构成的．如果把比例规的两脚合上，使
螺丝钉固定在刻度３的地方（即同时使ＯＡ＝
３ＯＤ，ＯＢ＝３ＯＣ），然后张开两脚，使Ａ，Ｂ两个尖
端分别在线段ｌ的两个端点上，若量得ＣＤ的长
度，便可知ＡＢ的长度．本题依据的主要数学原
理是（Ｍ９１０４００５）
（
）
Ａ．各角分别相等，各边成比例的两个多边形相似
Ｂ．两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等
Ｃ．两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
Ｄ．平行线分线段成比例
４．（２０２４云南文山期末）如图，在△ＡＢＣ中，点Ｄ、Ｅ
分别在边ＡＣ、ＡＢ上，且ＡＤ·ＡＣ＝ＡＥ·ＡＢ．求
证：△ＡＤＥ∽△ＡＢＣ．（Ｍ９１０４００５）
５．如图，在△ＡＢＣ中，Ｄ、Ｅ分别是ＡＣ、ＢＣ边上的
点，ＢＣ＝６，ＡＣ＝４，ＣＥ＝２，ＡＤ＝１．求证：△ＡＢＣ
∽△ＥＤＣ．
６．如图，在正方形ＡＢＣＤ中，Ｐ是ＢＣ上的点，且
ＢＰ＝３ＰＣ，Ｑ是ＣＤ的中点，求证：△ＡＤＱ∽
△ＱＣＰ．（Ｍ９１０４００５）
答案P168
７．新考法（２０２４安徽亳州利辛期末，８，
）如图，在
三角形纸片ＡＢＣ中，ＡＢ＝６，ＢＣ＝８，ＡＣ＝４．选项
中沿虚线剪下的阴影部分的三角形与△ＡＢＣ相
似的是（Ｍ９１０４００５）
（
）
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
１
７
@@0@
７２
８．（２０２４河南原阳期中，１３，
）如图，在△ＡＢＣ中，
Ｄ为ＢＣ上一点，ＢＣ＝
３ＡＢ＝３ＢＤ，则ＡＤ∶ＡＣ
的值为
．（Ｍ９１０４００５）
第８题图
第９题图
９．分类讨论思想（２０２３四川绵阳中学月考，１６，
）
如图，平面直角坐标系ｘＯｙ中，已知点Ａ（４，０）
和点Ｂ（０，３），Ｃ是ＡＢ的中点，点Ｐ在ｘ轴上，
若以Ｐ、Ａ、Ｃ为顶点的三角形与△ＡＯＢ相似，那
么点Ｐ的坐标是
．
１０．（２０２４河南许昌二中月考，１３，
）如图，在正方
形网格中，∠１＋∠２＋∠３＝
度．（Ｍ９１０４００５）
１１．（２０２４湖南岳阳期末改编，２２，
）如图，△ＡＤＥ
与△ＡＢＣ有公共顶点Ａ，△ＡＤＥ∽△ＡＢＣ．图中
可以用字母表示的三角形中，是否有其他的相
似三角形？如果有，请说明理由．
１２．（２０２４江苏南京鼓楼期末，２１，
）如图，ＢＤ，ＣＥ
是△ＡＢＣ的两条高，它们相交于点Ｆ，连接ＤＥ．
（１）求证：△ＡＤＥ∽△ＡＢＣ．
（２）下列结论中，所有正确结论的序号是
．
①△ＡＢＤ∽△ＡＣＥ；②△ＥＢＦ∽△ＤＣＦ；
③△ＢＥＣ∽△ＣＤＢ；④△ＤＥＦ∽△ＣＢＦ．
答案P169
１３．推理能力如图，已知∠ＭＯＮ＝９０°，Ａ是
∠ＭＯＮ内部的一点，连接ＯＡ，过点Ａ
作ＡＢ⊥ＯＮ，垂足为Ｂ，ＡＢ＝３ｃｍ，ＯＢ＝４ｃｍ，动
点Ｅ，Ｆ同时从点Ｏ出发，点Ｅ以１．５ｃｍ／ｓ的速
度沿ＯＮ方向运动，点Ｆ以２ｃｍ／ｓ的速度沿
ＯＭ方向运动，ＥＦ与ＯＡ交于点Ｃ．当点Ｅ到达
点Ｂ时，两点均停止运动．设运动时间为
ｔ（ｔ＞０）ｓ．
（１）当ｔ＝１时，△ＥＯＦ与△ＡＢＯ是否相似？请
说明理由．
（２）在运动过程中，无论ｔ取何值时，总有ＥＦ
⊥ＯＡ，为什么？
２
７
７３
第3 课时 相似三角形的判定定理3
答案P169
4
相似三角形的判定定理3
全解P258
１．有甲、乙两个三角形木框，甲三角形木框的三边
长分别为１，２，５，乙三角形木框的三边长分
别为５，５，
１０，则甲、乙两个三角形
（
）
Ａ．一定相似
Ｂ．一定不相似
Ｃ．不一定相似
Ｄ．全等
２．若△ＡＢＣ和△ＤＥＦ满足下列条件，其中能使
△ＡＢＣ与△ＤＥＦ相似的是（Ｍ９１０４００５）
（
）
Ａ．ＡＢ＝３，ＢＣ＝８，ＡＣ＝９，ＤＥ＝１６
３，ＥＦ＝２，ＤＦ＝６
Ｂ．ＡＢ＝４，ＢＣ＝６，ＡＣ＝８，ＤＥ＝５，ＥＦ＝１０，ＤＦ＝１６
Ｃ．ＡＢ＝１，ＢＣ＝
２，ＡＣ＝２，ＤＥ＝
６，ＥＦ＝
３，
ＤＦ＝５
Ｄ．ＡＢ＝１，ＢＣ＝５，ＡＣ＝３，ＤＥ＝
１５，ＥＦ＝２３，
ＤＦ＝６
３．如图，在△ＡＢＣ中，点Ｄ，Ｅ，Ｆ分别是ＣＡ，ＡＢ，ＢＣ
的中点．求证：△ＡＢＣ∽△ＦＤＥ．
４．（２０２４吉林长春期末）图①、图②均为５×５的正方
形网格，每个小正方形的边长均为１，每个小正
方形的顶点称为格点，△ＡＢＣ的三个顶点均在
格点上．只用无刻度的直尺，在图①、图②中各
画一个与△ＡＢＣ相似（相似比不为１）的三角形．
（要求三角形的顶点都在格点上）（Ｍ９１０４００５）
图①
图②
５．教材变式·P94 随堂练习如图，某地四个乡镇Ａ，Ｂ，
Ｃ，Ｄ之间建有公路，已知ＡＢ＝１４千米，ＡＤ＝
２８千米，ＢＤ＝２１千米，ＢＣ＝４２千米，ＤＣ＝３１．５千米，
公路ＡＢ与ＣＤ平行吗？说出你的理由．
６．教材变式·P94 例3 如图，在四边形ＡＢＣＤ中，
ＡＣ，ＢＤ相交于点Ｆ，点Ｅ在ＢＤ上，且ＡＢ
ＡＥ＝
ＢＣ
ＥＤ＝ＡＣ
ＡＤ．
（１）∠１与∠２相等吗？为什么？
（２）判断△ＡＢＥ与△ＡＣＤ是否相似，并说明
理由．
７．分类讨论思想（２０２３河北保定一中月考）一个钢筋
三角形支架边长分别是２０ｃｍ，５０ｃｍ，６０ｃｍ，现
在要做一个与其相似的钢筋三角形支架，而只
有长为３０ｃｍ和５０ｃｍ的两根钢筋，要求以其中
一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余
料）作为两边，有几种不同的截法？（Ｍ９１０４００５）
３
７
@@0@
７４
答案P169
８．（２０２４陕西西安二十六中期末，８，
）如图，点Ａ，
Ｂ，Ｃ，Ｄ的坐标分别是（１，１），（１，５），（５，１），（７，
１），以Ｃ，Ｄ，Ｅ为顶点的三角形与△ＡＢＣ相似，
则点Ｅ的坐标不可能是（Ｍ９１０４００５）
（
）
Ａ．（７，－２）
Ｂ．（５，－１）
Ｃ．（６，０）
Ｄ．（７，３）
９．（２０２４上海金山期末，６，
）如图，在４×１的方格
图中，每一个小正方形的顶点叫做格点，以其中
三个格点为顶点的三角形称为格点三角形，
△ＡＢＣ就是一个格点三角形，现从△ＡＢＣ的三
个顶点中选取两个格点，再从余下的格点中选
取一个格点连接成格点三角形，其中与△ＡＢＣ
相似的有（Ｍ９１０４００５）
（
）
Ａ．１个
Ｂ．２个
Ｃ．３个
Ｄ．４个
１０．情境题·中华优秀传统文化（２０２４山东济南槐荫期
中，１３，
）中国象棋是中国棋文化，也是中华
民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本
规则简明易懂．如图所示的是中国象棋的棋盘
（各个小正方形的边长均相等），根据“ 马走
日”的规则，“马”应该落在位置
（填序号）
处，能使“马” “炮” “兵” 所在位置的格点构成
的三角形与“帅”“车”“相”所在位置的格点构
成的三角形相似．
１１．（２０２０江苏南京中考节选，２６，
）如图，在
△ＡＢＣ和△Ａ′Ｂ′Ｃ′中，Ｄ、Ｄ′分别是ＡＢ、Ａ′Ｂ′上
的点，ＡＤ
ＡＢ＝Ａ′Ｄ′
Ａ′Ｂ′．
当ＣＤ
Ｃ′Ｄ′ ＝
ＡＣ
Ａ′Ｃ′ ＝
ＢＣ
Ｂ′Ｃ′ 时，判断△ＡＢＣ与
△Ａ′Ｂ′Ｃ′是否相似，并说明理由．
答案P170
１２．推理能力我们可以借助两个直角三角形全等
的条件，探索两个直角三角形相似的条件．
（１）“对于两个直角三角形，满足一边、一锐角
分别相等或两直角边分别相等，这两个直
角三角形全等．” 类似地，可以得到“ 满足
或 的两个直角三
角形相似．”
（２）“满足斜边和一条直角边分别相等的两个
直角三角形全等．”类似地，可以得到“满足
的两个直角三角形相似．”
（３）如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ和Ｒｔ△Ａ′Ｂ′Ｃ′中，∠Ｃ＝
∠Ｃ′ ＝９０°，ＡＢ
Ａ′Ｂ′ ＝ＡＣ
Ａ′Ｃ′．求证：Ｒｔ△ＡＢＣ∽
Ｒｔ△Ａ′Ｂ′Ｃ′．
４
７
７５
第4 课时 黄金分割
答案P170
5
黄金分割
全解P258
１．已知点Ｃ把线段ＡＢ分成两条线段ＡＣ、ＢＣ，且
ＡＣ＞ＢＣ，下列说法错误的是（Ｍ９１０４００６）
（
）
Ａ．如果ＡＣ
ＡＢ＝ＢＣ
ＡＣ，那么线段ＡＢ被点Ｃ黄金分割
Ｂ．如果ＡＣ
２＝ＡＢ·ＢＣ，那么线段ＡＢ被点Ｃ黄金
分割
Ｃ．如果线段ＡＢ被点Ｃ黄金分割，那么ＢＣ与ＡＢ
的比叫做黄金比
Ｄ．０．６１８是黄金比的近似值
２．跨学科·美术（２０２２湖南衡阳中考）在
设计人体雕像时，使雕像上部（腰部
以上）与下部（腰部以下）的高度比
等于下部与全部的高度比，可以增加
视觉美感．右图是按此比例设计的一座高度为２
ｍ的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约
是（结果精确到０．０１ｍ．参考数据：２≈１．４１４，
３≈１．７３２，５≈２．２３６）
（
）
Ａ．０．７３ｍ
Ｂ．１．２４ｍ
Ｃ．１．３７ｍ
Ｄ．１．４２ｍ
３．（２０２４安徽六安金安期末）大自然巧夺
天工，一片小树叶也蕴含着“黄金分
割”，如图，Ｐ为ＡＢ的黄金分割点
（ＡＰ＞ＰＢ），若ＡＰ的长为１０ｃｍ，则
ＡＢ的长是
（
）
Ａ．（５５＋５）ｃｍ
Ｂ．（１５－５５）ｃｍ
Ｃ．（５５－５）ｃｍ
Ｄ．（１５＋５５）ｃｍ
４．跨学科·音乐
教材变式·P98T1 （２０２３四川达州中
考）如图，乐器上的一根弦ＡＢ＝８０ｃｍ，两个端点
Ａ，Ｂ固定在乐器面板上，支撑点Ｃ是靠近点Ｂ
的黄金分割点，支撑点Ｄ是靠近点Ａ的黄金分
割点，则支撑点Ｃ，Ｄ之间的距离为
ｃｍ．（结果保留根号）（Ｍ９１０４００６）
答案P171
５．（２０２３四川绵阳中考，１０，
）黄金分割由于其美
学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱，摄影中
有一种拍摄手法叫黄金构图法．其原理是：如图，取
正方形ＡＢＣＤ的底边ＢＣ的中点Ｅ，以Ｅ为圆心，
线段ＤＥ为半径作圆，其与底边ＢＣ的延长线交于
点Ｆ，这样就把正方形ＡＢＣＤ延伸为矩形ＡＢＦＧ，称
其为黄金矩形．若ＣＦ＝４ａ，则ＡＢ＝（Ｍ９１０４００６）
（
）
Ａ．（５－１）ａ
Ｂ．（２５－２）ａ
Ｃ．（５＋１）ａ
Ｄ．（２５＋２）ａ
答案P171
６．创新意识动手操作，折叠一个黄金矩形：
第一步，在一张矩形纸片的一端，利用图
１的方法折出一个正方形，然后把纸片展平；第
二步，如图２，把这个正方形折成两个相同的矩
形，再把纸片展平；第三步，折出内侧矩形的对
角线ＡＢ，并把ＡＢ折到图３中的ＡＤ处；第四步，
展平纸片，按照所得的点Ｄ折出ＤＥ．
若ＭＮ＝２，则ＣＤ＝
，在图４中，黄金矩
形为
．
图１
图２
图３
图４
５
７
７６
5 相似三角形判定定理的证明
答案P171
相似三角形判定定理的证明
全解P259
１．新考向·尺规作图（２０２４福建泉州期末）如图，在
△ＡＢＣ中，∠Ａ＝２∠Ｃ．（Ｍ９１０４００５）
（１）作出∠ＢＡＣ的平分线ＡＥ，交ＢＣ于点Ｄ．（要
求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（２）在（１）的条件下，求证：△ＡＢＤ∽△ＣＢＡ．
２．新独家原创如图，ＡＢ∥ＣＤ，∠Ｂ＝∠Ｃ＝９０°，ＡＢ＝
２，ＢＣ＝８，ＣＤ＝４，Ｐ为ＢＣ上一个动点，若△ＡＢＰ
和△ＤＣＰ相似，求ＢＰ的长．
答案P171
３．（２０２４湖南怀化期末，１０，
）如
图，在正方形ＡＢＣＤ中，Ｅ是ＢＣ
的中点，Ｆ是ＣＤ上一点，且
ＣＦ＝１
４ＣＤ．现有结论：①∠ＢＡＥ＝
３０°；②△ＡＢＥ∽△ＥＣＦ；③ＡＥ⊥ＥＦ；④△ＡＤＦ∽
△ＥＣＦ．其中正确的结论为（Ｍ９１０４００５）
（
）
Ａ．①②
Ｂ．②③
Ｃ．③④
Ｄ．②③④
４．教材变式·P102T4 （２０２４陕西西安莲湖期末，２４，
）在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＡＣ＝１０ｃｍ，ＢＣ＝
７ｃｍ，现有动点Ｐ从点Ａ出发，沿线段ＡＣ向终点
Ｃ运动，动点Ｑ从点Ｃ出发，沿线段ＣＢ向终点Ｂ
运动，连接ＰＱ．如果点Ｐ的速度是２ｃｍ／ｓ，点Ｑ的
速度是１ｃｍ／ｓ，它们同时出发，当有一点到达终点
时，两点都停止运动．设运动时间为ｔ（ｔ＞０）ｓ．
（Ｍ９１０４００５）
（１）当ｔ为多少时，ＰＱ的长度等于
６５ｃｍ？
（２）当ｔ为多少时，以Ｃ，Ｐ，Ｑ为顶点的三角形
与△ＡＢＣ相似？
答案P171
５．推理能力
手拉手模型（２０２３湖北黄冈中
考）【问题呈现】△ＣＡＢ和△ＣＤＥ都是直
角三角形，∠ＡＣＢ＝∠ＤＣＥ＝９０°，ＣＢ＝ｍＣＡ，ＣＥ＝
ｍＣＤ，连接ＡＤ，ＢＥ，探究ＡＤ，ＢＥ的位置关系．
【问题探究】
（１）如图１，当ｍ＝１时，直接写出ＡＤ，ＢＥ的位
置关系： ．
（２）如图２，当ｍ≠１时，（１）中的结论是否成立？
若成立，给出证明；若不成立，说明理由．
【拓展应用】
（３）当ｍ＝３，ＡＢ＝４７，ＤＥ＝４时，将△ＣＤＥ绕
点Ｃ旋转，使Ａ，Ｄ，Ｅ三点恰好在同一直线
上，求ＢＥ的长．
图１
图２
备用图
６
７
７７
6 利用相似三角形测高
答案P172
1
利用阳光下的影子测量高度
全解P260
１．（２０２４山东济南历下期中）如图，小明同学利用相似三
角形测量旗杆的高度，若测得标杆ＡＢ长２ｍ，它的
影长ＢＣ为１ｍ，同一时刻下，测得旗杆ＤＥ的影长
ＥＦ为６ｍ，则旗杆ＤＥ的高度为（Ｍ９１０４００９）（
）
Ａ．９ｍ
Ｂ．１０ｍ
Ｃ．１１ｍ
Ｄ．１２ｍ
２．情境题·数学文化（２０２４
河北晋州期中）古希腊数
学家泰勒斯曾利用立杆
测影的方法，在金字塔影子的顶部直立一根木杆，借
助太阳光测金字塔的高度．如图，木杆ＥＦ长２米，它
的影长ＦＤ是４米，同一时刻测得ＯＡ是２６８米，则
金字塔的高度ＢＯ是
米．（Ｍ９１０４００９）
2
利用标杆测量高度
全解P261
３．情境题·数学文化（２０２４福建泉州泉港期末）小明
利用中国古代“计里画方”（比例缩放和直角坐
标网格体系）的方法测量涂岭镇下炉村的“ 玉
笏朝天”的高度．如图所示，“玉笏朝天”的高度
记为ＡＢ，“玉笏朝天” 在照板“内芯” 上的高度
记为ＥＦ，小明的眼睛Ｐ点与ＢＦ在同一水平线
上．则选项中结论正确的是（Ｍ９１０４００９）
（
）
Ａ．ＥＦ
ＡＢ＝ＰＦ
ＢＦ
Ｂ．ＥＦ
ＡＢ＝ＰＦ
ＢＰ
Ｃ．ＰＥ
ＡＰ＝ＰＦ
ＢＦ
Ｄ．ＰＥ
ＡＥ＝ＰＦ
ＢＰ
４．新课标例81 变式
新考向·实践探究题（２０２４山西
太原期末）某数学小组开展测量本校旗杆高度
的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余
时间完成了实地测量，测量报告如下：
课题测量旗杆的高度
成员
组长：×××
组员：×××，×××，×××
测量
工具
皮尺，标杆
测量
示意
图
说明：在水平地面上直立一根标杆ＥＦ，观
测者沿着直线ＢＦ后退到点Ｄ，使眼睛Ｃ、
标杆的顶端Ｅ、旗杆的顶端Ａ在同一直
线上
测量
数据
观测者与
标杆的距
离ＤＦ
观测者与
旗杆的距
离ＤＢ
标杆ＥＦ
的长
观测者眼
睛离地面
的距离ＣＤ
１ｍ
１８ｍ
２．４ｍ
１．６ｍ
问题
解决
如图，过点Ｃ作ＣＨ⊥ＡＢ于点Ｈ，交ＥＦ于
点Ｇ．……
请根据以上测量结果及该小组同学的思路，求
学校旗杆ＡＢ的高度．（Ｍ９１０４００９）
７
７
@@0@
７８
3
利用镜子的反射测量高度
全解P262
５．跨学科·物理（２０２４河南新郑期末）如图，小明为
了测量一凉亭的高度ＡＢ，在凉亭的旁边放置一
个与凉亭台阶ＢＣ等高的台阶ＤＥ（ＤＥ＝ＢＣ＝
１ｍ，Ａ，Ｂ，Ｃ三点共线），把一面镜子水平放置
在平台上的点Ｇ处，测得ＣＧ＝１０ｍ，然后沿直
线ＣＧ后退到点Ｅ处，这时恰好在镜子里看到
凉亭的顶端Ａ，测得ＥＧ＝２ｍ，观测者身高ＥＦ＝
１．７ｍ，则凉亭的高度为（Ｍ９１０４００９）
（
）
Ａ．８．５ｍ
Ｂ．９ｍ
Ｃ．９．５ｍ
Ｄ．１０ｍ
６．跨学科·物理（２０２４山东青岛实验初级中学期末）
【学科融合】如图１，在反射现象中，反射光线，
入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线
和入射光线分别位于法线两侧；反射角ｒ等于
入射角ｉ．
图１
图２
【问题解决】如图２，小亮在Ｐ处放置一面平面
镜（平面镜的大小忽略不计），他站在Ｃ处通过
平面镜恰好能看到塔的顶端Ａ，此时测得小亮
到平面镜的距离ＣＰ为４米．已知平面镜到塔底
部中心的距离ＰＢ为２４７．５米，小亮眼睛到地面
的距离ＤＣ为１．６米，Ｃ，Ｐ，Ｂ在同一水平直线上，
且ＤＣ，ＡＢ均垂直于ＣＢ．请你计算塔的高度ＡＢ．
答案P172
７．（２０２４内蒙古包头东河期末，８，
）如图，小明同
学用自制的直角三角形纸板ＤＥＦ测量树的高
度ＡＢ，他调整自己的位置，设法使斜边ＤＦ保持
水平，并且边ＤＥ与点Ｂ在同一直线上，已知纸
板的两条直角边ＤＥ＝４０ｃｍ，ＥＦ＝２０ｃｍ，测得
边ＤＦ离地面的高度ＡＣ＝１．５ｍ，ＣＤ＝９ｍ，则树
高ＡＢ为（Ｍ９１０４００９）
（
）
Ａ．４ｍ
Ｂ．４．５ｍ
Ｃ．５ｍ
Ｄ．６ｍ
８．情境题·数学文化（２０２４山东济南槐荫期中，４，
）四分仪是一种十分古老的测量仪器．图１是
古代测量员用四分仪测量一方井的深度的示意
图，将四分仪置于方井上的边沿上，通过窥衡杆测
望井底点Ｆ，窥衡杆与四分仪的一边ＢＣ交于点Ｈ．
图２中，四分仪为正方形ＡＢＣＤ，方井为矩形
ＢＥＦＧ．若测量员从四分仪中读得ＡＢ为１，ＢＨ为
０．５，实地测得ＢＥ为２．５，则井深ＢＧ为（Ｍ９１０４００９）
（
）
Ａ．４
Ｂ．５
Ｃ．６
Ｄ．７
９．新考向·项目式学习试题（２０２４河南邓州期中，２１，
）下面是小明进行数学学科项目学习时，填
写活动报告的部分内容．
项目主题：测量河流的宽度．
项目探究：河流宽度不能直接测量，需要借助一
些工具，比如：镜子，标杆，皮尺，自制的直角三
８
７
@@0@
７９
角形模板，……各组确定方案后，选择测量工
具，画出测量示意图，并进行实地测量，得到具
体数据，从而计算出河流的宽度．
项目成果：下表是小明进行交流展示时的部分
测量方案及测量数据：
题目
测量河流宽度ＡＢ
测量示意图
测量数据
ＢＣ＝１．６ｍ，ＢＤ＝１０ｍ，ＤＥ＝２．０ｍ
请你参与这个项目学习，并完成下列任务：
（１）任务一：请你借助小明的测量数据，计算河
流的宽度ＡＢ．
（２）任务二：请你写出这个方案中求河流宽度
时用到的数学知识： （写出一条
即可）．
（３）任务三：请你设计一个与小明不同的测量
方案，并画图简要说明．
答案P173
１０．应用意识（２０２４陕西西安莲湖期末）小军
想用镜子测量一棵古松树的高度，但因
树旁有一条小河，故不能测量镜子与树之间的
距离，于是他利用镜子进行两次测量，如图，第
一次他把镜子放在点Ｃ处，他在点Ｆ处正好在
镜中看到树顶Ａ的像；第二次他把镜子放在点
Ｃ′处，他在点Ｆ′处正好在镜中看到树顶Ａ的
像．已知ＡＢ⊥ＢＦ′，ＥＦ⊥ＢＦ′，Ｅ′Ｆ′⊥ＢＦ′，小军
的眼睛距地面１．７ｍ（即ＥＦ＝Ｅ′Ｆ′ ＝１．７ｍ），量
得ＣＣ′＝１２ｍ，ＣＦ＝１．８ｍ，Ｃ′Ｆ′ ＝４．２ｍ．求这棵
古松树的高度ＡＢ．（镜子大小忽略不计）
１１．应用意识
新独家原创如图，广场上有两盏高度
相同的路灯Ａ、Ｃ，相距２０ｍ，晚上身高为１．８ｍ
的张明站在两个路灯之间的Ｅ处，此时ＥＤ为
张明在路灯Ａ照射下的影子，ＧＥ为张明在路
灯Ｃ照射下的影子，已知ＤＧ＝５ｍ，求路灯的
高度．（Ｍ９１０４００９）
９
７
８０
7 相似三角形的性质
第1 课时 相似三角形中对应线段的比
答案P173
1
相似三角形对应线段的比
全解P262
１．教材变式·P107T1
已知△ＡＢＣ∽△ＤＥＦ，若
△ＡＢＣ与△ＤＥＦ的相似比为３
４，则△ＡＢＣ与
△ＤＥＦ对应中线的比为（Ｍ９１０４００７）
（
）
Ａ．３
４
Ｂ．４
３
Ｃ．９
１６
Ｄ．１６
９
２．已知△ＡＢＣ∽△Ａ′Ｂ′Ｃ′，ＢＤ和Ｂ′Ｄ′分别是两个
三角形对应的角平分线，且ＡＣ∶Ａ′Ｃ′ ＝２∶３，若
ＢＤ＝４ｃｍ，则Ｂ′Ｄ′的长是（Ｍ９１０４００７）
（
）
Ａ．３ｃｍ
Ｂ．４ｃｍ
Ｃ．６ｃｍ
Ｄ．８ｃｍ
３．跨学科·物理
教材变式·P108 习题T2 （２０２４江苏
常州期末）利用相机的“微距模式” 可以拍摄得
到与实际物体等大或比实际物体稍大的图像，
下图是一个微距拍摄成像的示意图．若拍摄
６０ｍｍ远的物体ＡＢ，其在底片上的图像Ａ′Ｂ′的
宽是３６ｍｍ，焦距是９０ｍｍ，ＡＢ∥Ａ′Ｂ′，则物体
ＡＢ的宽是
（
）
Ａ．６ｍｍ
Ｂ．１２ｍｍ
Ｃ．２４ｍｍ
Ｄ．３０ｍｍ
４．如图，已知△ＡＢＣ，ＡＢ＝６，ＡＣ＝５，
Ｄ是边ＡＢ的中点，Ｅ是边ＡＣ上
一点，∠ＡＤＥ＝∠Ｃ，∠ＢＡＣ的平
分线分别交ＤＥ、ＢＣ于点Ｆ、Ｇ，那么ＡＦ
ＡＧ的值为
（Ｍ９１０４００７）
（
）
Ａ．２
３
Ｂ．３
４
Ｃ．３
５
Ｄ．５
６
５．（２０２４河南洛阳期末）如图所示的是可折叠的简易
凳子的侧面示意图，ＡＤ与ＣＢ相交于点Ｏ，ＡＢ∥
ＣＤ，根据图中的数据可得凳子高是
米．
（Ｍ９１０４００７）
６．（２０２４吉林长春十三中期末）如图，已知△ＡＢＣ∽
△Ａ′Ｂ′Ｃ′，它们的相似比为ｋ，ＡＤ、Ａ′Ｄ′分别是两
个三角形的中线．求证：ＡＤ
Ａ′Ｄ′＝ＡＢ
Ａ′Ｂ′＝ｋ．
７．如图，△ＡＢＣ∽△Ａ′ Ｂ′ Ｃ′，ＢＥ，Ｂ′ Ｅ′ 分别是
∠ＡＢＣ，∠Ａ′Ｂ′Ｃ′的平分线，Ｄ，Ｄ′分别是ＢＣ，
Ｂ′Ｃ′的三等分点，即ＣＤ＝２ＢＤ，Ｃ′Ｄ′ ＝２Ｂ′Ｄ′，连
接ＡＤ，Ａ′Ｄ′．求证：ＡＤ
Ａ′Ｄ′＝ＢＥ
Ｂ′Ｅ′．（Ｍ９１０４００７）
０
８
８１
８．（２０２４山西晋中期末）小明放学途中遇到一棵大
树，于是他想利用现有的长度为１５ｃｍ的小尺
测量这棵树的高度．如图，小明笔直站立，把手
臂水平向前伸直，将小尺竖直举起，瞄准小尺的
两端Ｅ，Ｆ，然后不断调整站立的位置，在点Ｄ处
时恰好能看到大树的顶端Ｂ和底端Ａ（图中所
有点均在同一平面内，点Ｃ，Ｍ，Ｄ在同一条直线
上）．经测量，小明的手臂长ＭＦ＝５０ｃｍ，点Ｄ到
大树底端的距离ＤＡ＝３０ｍ，求大树ＡＢ的高度．
（Ｍ９１０４００７）
答案P174
９．新考法（２０２３山东济南历下期中，７，
）图１是
装满了液体的高脚杯，用去部分液体后，放在水
平的桌面上，如图２所示，此时液面距离杯口的
距离ｈ为
（
）
图１
图２
Ａ．８
５ｃｍ
Ｂ．２ｃｍ
Ｃ．１２
５ｃｍ
Ｄ．３ｃｍ
１０．（２０２４新疆乌鲁木齐实验学校期末，８，
）如图，
一块材料的形状是锐角三角形ＡＢＣ，ＢＣ＝１２ｃｍ，
ＢＣ边上的高ＡＤ为１０ｃｍ，把它加工成正方形
零件，使正方形的一边ＧＨ在ＢＣ上，其余两个
顶点Ｅ、Ｆ分别在ＡＢ、ＡＣ上，则这个正方形零
件的边长是
（
）
Ａ．６０
１１ｃｍ
Ｂ．５ｃｍ
Ｃ．６ｃｍ
Ｄ．７ｃｍ
答案P174
１１．推理能力当∠ＢＡＥ和∠Ｂ′Ａ′Ｅ′分别是
△ＡＢＣ和△Ａ′Ｂ′Ｃ′的外角时，定义：若
ＡＤ，Ａ′Ｄ′分别是∠ＢＡＥ和∠Ｂ′Ａ′Ｅ′的平分线，
且交ＣＢ，Ｃ′Ｂ′的延长线于Ｄ，Ｄ′，则称ＡＤ，Ａ′Ｄ′
分别是△ＡＢＣ和△Ａ′Ｂ′Ｃ′的外角平分线段．我
们知道：两个相似三角形对应边上的高、中线
和对应的角平分线之比都等于相似比，那么两
个相似三角形对应的外角平分线段之比是否
等于相似比呢？例如：如图，已知△ＡＢＣ∽△Ａ′
Ｂ′Ｃ′，且△ＡＢＣ与△Ａ′Ｂ′Ｃ′的相似比为ｋ，ＡＤ、
Ａ′Ｄ′分别是△ＡＢＣ、△Ａ′Ｂ′Ｃ′的外角平分线段，
那么ＡＤ
Ａ′Ｄ′＝ｋ是否成立？如果结论不成立，请
说明理由；如果结论成立，请证明．
１
８
８２
第2 课时 相似三角形周长比、面积比的性质
答案P174
2
相似三角形的周长比和面积比
全解P263
１．（２０２４山东济南平阴期末）如果两个相似三角形
对应边之比是１∶２，那么它们的对应周长之比
是（Ｍ９１０４００７）
（
）
Ａ．１∶
２
Ｂ．１∶２
Ｃ．１∶４
Ｄ．１∶６
２．（２０２４山东济南章丘期中）如图，
△ＡＢＣ
∽
△ＡＤＥ，
Ｓ△ＡＢＣ
∶
Ｓ四边形ＢＤＥＣ＝１∶２，其中ＣＢ＝２，则
ＤＥ的长为（Ｍ９１０４００７）
（
）
Ａ．６
Ｂ．２２
Ｃ．３２
Ｄ．６
３．如图所示，平行四边形ＡＢＣＤ中，Ｅ是ＢＣ边上
一点，且ＢＥ＝ＥＣ，ＢＤ，ＡＥ相交于Ｆ点．
（１）求△ＢＥＦ与△ＡＦＤ的周长之比．
（２）若Ｓ△ＢＥＦ＝６ｃｍ
２，求Ｓ△ＡＦＤ．
3
相似多边形的性质
全解P263
４．如图，在四边形ＡＢＣＤ中，Ｅ，
Ｆ，Ｇ分别是ＢＡ，ＢＤ，ＢＣ上的
点，ＥＦ∥ＡＤ，ＦＧ∥ＤＣ，且ＡＥ
ＢＥ＝
１
２，则四边形ＡＢＣＤ和四边形ＥＢＧＦ的周长之比为
（
）
Ａ．４∶３
Ｂ．３∶２
Ｃ．４∶１
Ｄ．２∶１
答案P174
５．（２０２４四川成都郫都期末，５，
）如图，在▱ＡＢＣＤ
中，Ｅ是ＡＤ的中点，连接ＢＥ，交ＡＣ于点Ｆ，如果
△ＡＥＦ的面积为１，则▱ＡＢＣＤ的面积为
（
）
Ａ．４
Ｂ．６
Ｃ．１２
Ｄ．１８
６．（２０２２浙江杭州中考，１９，
）如图，在△ＡＢＣ中，
点Ｄ，Ｅ，Ｆ分别在边ＡＢ，ＡＣ，ＢＣ上，连接ＤＥ，
ＥＦ，已知四边形ＢＦＥＤ是平行四边形，ＤＥ
ＢＣ＝１
４．
（１）若ＡＢ＝８，求线段ＡＤ的长．
（２）若△ＡＤＥ的面积为１，求平行四边形ＢＦＥＤ
的面积．
答案P175
７．运算能力如图，有一边长为５ｃｍ的正方形
ＡＢＣＤ和等腰三角形ＰＱＲ，ＰＱ＝ＰＲ＝５ｃｍ，ＱＲ＝
８ｃｍ，点Ｂ、Ｃ、Ｑ、Ｒ在同一条直线上，当Ｃ、Ｑ两
点重合时，等腰三角形ＰＱＲ以１ｃｍ／ｓ的速度沿
直线ｌ按箭头所示方向开始匀速运动，ｔｓ后正
方形ＡＢＣＤ与等腰三角形ＰＱＲ重合部分的面
积为Ｓｃｍ
２．
（１）当ｔ＝３时，求Ｓ的值．
（２）当ｔ＝５时，求Ｓ的值．
２
８
８３
8 图形的位似
第1 课时 图形的位似
答案P175
1
位似变换的定义及性质
全解P265
１．下列每个选项中的两个图形，不是位似图形的
是（Ｍ９１０４００８）
（
）
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
２．（２０２４山西晋中期末）如图，△ＡＢＣ与△ＤＥＦ位
似，点Ｏ是它们的位似中心，且相似比为１∶２，
若ＡＯ＝２，则ＤＯ的长为（Ｍ９１０４００８）
（
）
Ａ．３
Ｂ．４
Ｃ．６
Ｄ．８
第２题图
第３题图
３．（２０２４河北石家庄桥西期末）如图，△ＡＢＣ与
△ＤＥＦ是以点Ｏ为位似中心的位似图形，若ＯＡ
∶ＡＤ＝２∶３，则△ＡＢＣ与△ＤＥＦ的面积比是
（
）
Ａ．２∶３
Ｂ．４∶９
Ｃ．２∶５
Ｄ．４∶２５
４．（２０２３重庆巴蜀中学月考）如图，以点Ｏ为位似中
心，把△ＡＢＣ各边放大为原来的２倍得到
△Ａ′Ｂ′Ｃ′，以下说法中错误的是（Ｍ９１０４００８）（
）
Ａ．△ＡＢＣ∽△Ａ′Ｂ′Ｃ′
Ｂ．点Ｃ、Ｏ、Ｃ′在同一直线上
Ｃ．ＡＯ∶ＡＡ′＝１∶２
Ｄ．ＡＢ∥Ａ′Ｂ′
５．新独家原创
情境题·中华优秀传统文化墨子和他
的学生做了世界上第一个小孔成像的实验，如
图，图②是左边人物（图①）通过小孔成像得到
的实像，图①和图②是位似图形，请你通过作图
确定位似中心Ｏ．（Ｍ９１０４００８）
2
利用位似变换作图
全解P265
６．一题多解如图，已知五边形ＡＢＣＤＥ，试把它的
边缩小为原来的１
２，你能用几种方法？尽可能
地用不同方法画图．
７．如图，在方格纸上，△ＡＢＣ与△Ａ１Ｂ１Ｃ１是以点Ｏ
为位似中心的位似图形，它们的顶点都在格点
上．（Ｍ９１０４００８）
（１）画出位似中心Ｏ．
（２）求出△ＡＢＣ与△Ａ１Ｂ１Ｃ１的相似比．
（３）再以Ｏ点为位似中心，在方格纸上画一个
△Ａ２Ｂ２Ｃ２，使△Ａ２Ｂ２Ｃ２与△ＡＢＣ的相似比
为３∶１．
３
８
８４
答案P176
８．（２０２３四川遂宁中考，６，
）在方格图中，以格点
为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示
的平面直角坐标系中，格点△ＡＢＣ、△ＤＥＦ位
似，则位似中心的坐标为（Ｍ９１０４００８）
（
）
Ａ．（－１，０）
Ｂ．（０，０）
Ｃ．（０，１）
Ｄ．（１，０）
９．新考向·规律探究题（２０２２山东威海中考，１０，
）
由１２个有公共顶点Ｏ的直角三角形拼成如图
所示的图形，∠ＡＯＢ＝∠ＢＯＣ＝∠ＣＯＤ＝… ＝
∠ＬＯＭ＝３０°．若Ｓ△ＡＯＢ＝１，则图中与△ＡＯＢ位似
的三角形的面积为
（
）
Ａ．
４
３
æ
è
ç
ö
ø
÷
３
Ｂ．
４
３
æ
è
ç
ö
ø
÷
７
Ｃ．
４
３
æ
è
ç
ö
ø
÷
６
Ｄ．
３
４
æ
è
ç
ö
ø
÷
６
１０．（２０２３吉林长春中考改编，１２，
）如图，△ＡＢＣ
和△Ａ′Ｂ′Ｃ′是以点Ｏ为位似中心的位似图形，
点Ａ在线段ＯＡ′ 上．若ＯＡ∶ＡＡ′ ＝１∶２，则
△ＡＢＣ与△Ａ′Ｂ′Ｃ′的周长之比为
，四边形
ＡＣＣ′Ａ′和△ＯＡＣ的面积之比为
．
１１．（２０２４安徽合肥蜀山期末，１７，
）如图，在由边
长为１个单位长度的小正方形组成的１０× １０
的网格中，给出了格点△ＡＢＣ（顶点为网格线
的交点的三角形）．
（１）以点Ｃ为旋转中心将△ＡＢＣ顺时针旋转
９０°，得到△Ａ１Ｂ１Ｃ（点Ａ，Ｂ的对应点分别
为Ａ１，Ｂ１），画出△Ａ１Ｂ１Ｃ．
（２）在给定的网格中，以点Ｏ为位似中心将
△ＡＢＣ放大，得到△Ａ２Ｂ２Ｃ２（点Ａ，Ｂ，Ｃ的
对应点分别为Ａ２，Ｂ２，Ｃ２），使△Ａ２Ｂ２Ｃ２与
△ＡＢＣ的相似比为２，画出△Ａ２Ｂ２Ｃ２．
１２．（２０２３四川达州通川期末，１７，
）如图，在直角
坐标系中，已知△ＡＢＣ三个顶点分别为Ａ（３，
３），Ｂ（４，０），Ｃ（０，２）．
（１）以点Ｏ为位似中心，将△ＡＢＣ的各边缩小
为原来的１
２，得到△Ａ１Ｂ１Ｃ１，且Ａ１在第一
象限，请画出△Ａ１Ｂ１Ｃ１．
（２）在ｙ轴上是否存在点Ｐ，使得｜Ｂ１Ｐ－Ａ１Ｐ｜的
值最大？若存在，请求出满足条件的点Ｐ
的坐标；若不存在，请说明理由．
４
８
８５
第2 课时 平面直角坐标系中的位似变换
答案P177
3
平面直角坐标系中的位似变换
全解P266
１．（２０２４陕西宝鸡期末）如图，在平面直角坐标系中
有△ＯＡＢ，已知点Ａ，Ｂ的坐标分别为（－２，１），
－１
２，１
æ
è
ç
ö
ø
÷ ．以点Ｏ为位似中心，在原点的另一侧
画出△ＯＡ′Ｂ′，使它与△ＯＡＢ相似，且相似比为
２∶１，则点Ａ的对应点Ａ′的坐标为
（
）
Ａ．１，－１
２
æ
è
ç
ö
ø
÷ Ｂ．（－４，２）
Ｃ．（４，－２）
Ｄ．（４，２）
第１题图
第２题图
２．易错题（２０２３辽宁盘锦中考）如图，△ＡＢＯ的顶点
是Ａ（２，６），Ｂ（３，１），Ｏ（０，０），以点Ｏ为位似中心，将
△ＡＢＯ各边缩小为原来的１
３，得到△Ａ′Ｂ′Ｏ，则点Ａ′
的坐标为
．（Ｍ９１０４００８）
３．（２０２４山东济南章丘期中）如图，已知Ｏ是坐标原
点，Ａ，Ｂ两点的坐标分别为（３，－１）、（２，１）．
（１）以点Ｏ为位似中心，在ｙ轴左侧将△ＯＡＢ
各边放大为原来的２倍，画出△ＯＡ′Ｂ′．
（２）△ＯＡ′Ｂ′的面积是 ．
（３）若在ＡＢ上有一点Ｐ（ａ，ｂ），则按（１）中的方
式得到的对应点Ｐ′的坐标是 ．
答案P177
４．（２０２３辽宁本溪、铁岭、辽阳中考，１５，
）如图，在
平面直角坐标系中，四边形ＯＡＢＣ的顶点分别是Ｏ
（０，０），Ａ（１，０），Ｂ（２，３），Ｃ（－１，２），若四边形
ＯＡ′Ｂ′Ｃ′与四边形ＯＡＢＣ关于原点Ｏ位似，且四边
形ＯＡ′Ｂ′Ｃ′的面积是四边形ＯＡＢＣ面积的４倍，则
第一象限内点Ｂ′的坐标为
．（Ｍ９１０４００８）
第４题图
第５题图
５．（２０２３黑龙江绥化中考，１９，
）如图，在平面直角
坐标系中，△ＡＢＣ与△ＡＢ′Ｃ′的相似比为１∶２，
点Ａ是位似中心，已知点Ａ（２，０），点Ｃ（ａ，ｂ），
∠Ｃ＝９０°，则点Ｃ′的坐标为
．（结
果用含ａ，ｂ的式子表示）（Ｍ９１０４００８）
答案P177
６．应用意识
新考向·规律探究题（２０２３山东
烟台中考）如图，在直角坐标系中，每个网
格小正方形的边长均为１个单位长度，以点Ｐ为
位似中心作正方形ＰＡ１Ａ２Ａ３，正方形ＰＡ４Ａ５Ａ６，
……，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格
点上，其中正方形ＰＡ１Ａ２Ａ３的顶点分别为Ｐ（－３，
０），Ａ１（－２，１），Ａ２（－１，０），Ａ３（－２，－１），则顶点Ａ１００的
坐标为
（
）
Ａ．（３１，３４）
Ｂ．（３１，－３４）Ｃ．（３２，３５）
Ｄ．（３２，０）
５
８
@@0@
８６
专项素养综合全练（七）
相似三角形的基本类型
练模型
答案
Ｐ１７８
类型一 Ａ字型
模型解读
（１）Ａ字型
如图１，已知：ＤＥ∥ＢＣ．
结论：△ＡＤＥ∽△ＡＢＣ⇒ＡＤ
ＡＢ＝ＡＥ
ＡＣ＝ＤＥ
ＢＣ．
（２）反Ａ字型
如图２，已知：∠ＡＥＤ＝∠Ｃ（或∠ＡＤＥ＝∠Ｂ）．
结论：△ＡＤＥ∽△ＡＢＣ⇒ＡＤ
ＡＢ＝ＡＥ
ＡＣ＝ＤＥ
ＢＣ．
（３）反Ａ字型（共边共角）
如图３，已知：∠ＡＢＤ＝∠Ｃ．
结论：①△ＡＢＤ∽△ＡＣＢ；②ＡＤ
ＡＢ＝ＡＢ
ＡＣ＝ＤＢ
ＢＣ；
③ＡＢ
２＝ＡＤ·ＡＣ（ＡＢ为共边）．
图１
图２
图３
１．（２０２４安徽亳州期末）如图，Ｄ，Ｅ两点分别在
△ＡＢＣ的边上，ＤＥ∥ＡＣ，ＡＢ＝５，ＡＣ＝４，ＤＥ＝３，
则ＡＤ的长为（Ｍ９１０４００５）
（
）
Ａ．５
４
Ｂ．６
５
Ｃ．１５
７
Ｄ．２０
７
２．（２０２４广东清远期末）如图，在△ＡＢＣ中，Ｄ是ＡＣ
上一点，根据选项中给出的条件不能得出
△ＡＢＤ∽△ＡＣＢ的是（Ｍ９１０４００５）
（
）
Ａ．ＡＤ
ＡＢ＝ＢＤ
ＢＣ
Ｂ．∠ＡＢＤ＝∠ＡＣＢ
Ｃ．ＡＢ
２＝ＡＤ·ＡＣ
Ｄ．∠ＡＤＢ＝∠ＡＢＣ
类型二 ８字型
模型解读
（１）８字型
如图１，已知：ＡＢ∥ＣＤ．
结论：△ＡＯＢ∽△ＣＯＤ⇒ＡＯ
ＣＯ＝
ＢＯ
ＤＯ＝ＡＢ
ＣＤ．
图１
图２
（２）反８字型
如图２，已知：∠Ａ＝∠Ｄ．
结论：△ＡＯＢ∽△ＤＯＣ⇒ＡＯ
ＤＯ＝ＢＯ
ＣＯ＝ＡＢ
ＤＣ．
３．（２０２３四川雅安中考）如图，在▱ＡＢＣＤ中，Ｆ是
ＡＤ上一点，ＣＦ交ＢＤ于点Ｅ，ＣＦ的延长线交
ＢＡ的延长线于点Ｇ，ＥＦ＝１，ＥＣ＝３，则ＧＦ的长为
（
）
Ａ．４
Ｂ．６
Ｃ．８
Ｄ．１０
６
８
@@0@
８７
类型三 一线三等角型
模型解读
如图，已知Ａ、Ｐ、Ｂ共线，∠ＣＡＰ＝
∠ＣＰＤ＝∠ＰＢＤ，有结论：①△ＣＡＰ
∽△ＰＢＤ；②连接ＣＤ，当点Ｐ为ＡＢ
的中点时，△ＣＡＰ∽△ＰＢＤ∽△ＣＰＤ．
"
#
$
%
1
图１
"
#
$
%
1
图２
"
#
$
%
1
图３
４．（１）如图①，已知Ａ，Ｅ，Ｂ三点在同一条直线上，
且∠Ａ＝∠Ｂ＝∠ＤＥＣ＝９０°，求证：△ＡＤＥ
∽△ＢＥＣ．
（２）一位同学发现：如图②、图③，只要Ａ，Ｅ，Ｂ
三点在同一条直线上，且∠Ａ＝∠Ｂ＝
∠ＤＥＣ，则（１）中的结论总成立．你同意吗？
请在图②、图③中选择一个说明理由．
类型四 双垂直型
模型解读
如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，ＣＤ为
斜边ＡＢ上的高，则有△ＡＣＤ
∽△ＡＢＣ∽△ＣＢＤ，ＣＤ
２＝ＢＤ
·ＡＤ，ＢＣ
２＝ＢＤ·ＡＢ，ＡＣ
２＝ＡＤ·ＡＢ．
５．如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，
∠ＢＡＣ＝∠ＡＤＣ＝９０°．若
ＡＤ＝３，ＢＤ＝２，则ＣＤ的长为
（
）
Ａ．２
Ｂ．３
Ｃ．９
２
Ｄ．４
３
类型五 手拉手模型
模型解读
如图１，在△ＡＯＢ中，ＣＤ∥ＡＢ．将
△ＯＣＤ旋转至图２位置，旋转角
∠ＡＯＣ＝∠ＢＯＤ，旋转角的对边ＡＣ，
ＢＤ称为“拉手线”．
结论：如图
２，
△ＯＣＤ∽△ＯＡＢ⇔
△ＡＯＣ∽△ＢＯＤ，且
延长ＡＣ交ＢＤ于点Ｅ，必有∠ＢＥＣ＝∠ＢＯＡ．
难点：复杂图形中寻找“手拉手”模型．
突破口：①找旋转角；②找“拉手线”；③“ 手
拉手”构造相似三角形．
６．（２０２４四川成都外国语学校月考）如图１，在
Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｂ＝９０°，ＢＣ＝２ＡＢ＝８，Ｄ、Ｅ分别
是边ＢＣ、ＡＣ的中点，连接ＤＥ，将△ＥＤＣ绕点Ｃ
按顺时针方向旋转，记旋转角为α．
图１
图２
备用图
（１）当α ＝０°时，ＡＥ
ＢＤ＝
；当α ＝１８０°
时，ＡＥ
ＢＤ＝ ．
（２）试判断：当０°≤α＜３６０°时，ＡＥ
ＢＤ的大小有无
变化？请就图２的情形给出证明．
（３）当△ＥＤＣ旋转至Ａ，Ｄ，Ｅ三点共线时，直接
写出线段ＢＤ的长．
７
８
@@0@
８８
第四章 素养综合检测
图形的相似
满分
１００分
限时
９０分钟
答案
Ｐ１７８
一、选择题（本大题共１０小题，每小题３分，共３０分）
１．（２０２４广东清远期末）若线段ａ，ｂ，ｃ，ｄ成比例，其中
ａ＝３ｃｍ，ｂ＝６ｃｍ，ｃ＝２ｃｍ，则ｄ的值为
（
）
Ａ．１ｃｍ
Ｂ．２ｃｍ
Ｃ．３ｃｍ
Ｄ．４ｃｍ
２．（２０２４四川成都西川中学期末）已知ｘ
ｙ＝２
３，则下
列式子一定正确的是
（
）
Ａ．ｘ＝２，ｙ＝３
Ｂ．２ｘ＝３ｙ
Ｃ．ｘ－ｙ
ｙ＝１
３
Ｄ．ｘ＋ｙ
ｙ＝５
３
３．（２０２４山西太原期末）如图，已知直线ｌ１∥ｌ２∥ｌ３，
若ＡＢ＝１０，ＢＣ＝６，ＤＥ＝８，则ＥＦ的长为（
）
Ａ．４．８
Ｂ．５
Ｃ．６
Ｄ．４０
３
第３题图
第４题图
４．（２０２３辽宁朝阳中考）如图，在平面直角坐标系
中，已知点Ａ（２，２），Ｂ（４，１），以原点Ｏ为位似
中心，相似比为２，把△ＯＡＢ放大，则点Ａ的对
应点Ａ′的坐标是
（
）
Ａ．（１，１）
Ｂ．（４，４）或（８，２）
Ｃ．（４，４）
Ｄ．（４，４）或（－４，－４）
５．（２０２３四川成都锦江一诊）如图所示的两个四边
形相似，则下列结论不正确的是
（
）
Ａ．ａ＝２２
Ｂ．ｍ＝２ｎ
Ｃ．ｘ＝２
Ｄ．∠α＝６０°
６．（２０２２四川巴中中考）如图，在平面直角坐标系
中，Ｃ为△ＡＯＢ的ＯＡ边上一点，ＡＣ∶ＯＣ＝１∶
２，过Ｃ作ＣＤ∥ＯＢ交ＡＢ于点Ｄ，Ｃ、Ｄ两点的纵
坐标分别为１、３，则Ｂ点的纵坐标为
（
）
Ａ．４
Ｂ．５
Ｃ．６
Ｄ．７
第６题图
第７题图
７．（２０２３广东广州增城期中）如图，①△ＡＢＣ，
②△ＡＣＤ，③△ＡＤＥ，④△ＡＥＦ，⑤△ＡＧＨ是正方
形网格中的５个格点三角形，其中与⑤相似的
三角形是
（
）
Ａ．①③
Ｂ．①④
Ｃ．②④
Ｄ．①③④
８．（２０２３湖北潜江、天门、仙桃、江汉油田中考）如图，
在△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝９０°，ＡＢ＝３，ＢＣ＝４，点Ｄ
在边ＡＣ上，且ＢＤ平分△ＡＢＣ的周长，则ＢＤ的
长是
（
）
Ａ．
５
Ｂ．
６
Ｃ．６５
５
Ｄ．３６
４
９．（２０２２台湾省中考）△ＡＢＣ
的边上有Ｄ、Ｅ、Ｆ三点，
各点位置如图所示．若
∠Ｂ＝∠ＦＡＣ，ＢＤ＝ＡＣ，∠ＢＤＥ＝∠Ｃ，则根据图中
标示的长度，四边形ＡＤＥＦ与△ＡＢＣ的面积比为
（
）
Ａ．１∶３
Ｂ．１∶４
Ｃ．２∶５
Ｄ．３∶８
８
８
@@0@
８９
１０．（２０２４江苏如皋期末）如图，在由边长为１的小
正方形组成的网格中，点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ在小正方
形的顶点处，ＡＣ与ＢＤ相交于点Ｏ，则ＡＯ的长
等于
（
）
Ａ．
２９
３
Ｂ．
２６
３
Ｃ．
２９
２
Ｄ．
２６
２
二、填空题（本大题共５小题，每小题３分，共１５分）
１１．（２０２４内蒙古包头东河期末）已知ａ
ｂ＝ｃ
ｄ＝ｅ
ｆ＝
４
７，若ｂ＋ｄ＋ｆ＝２１，则ａ＋ｃ＋ｅ＝
．
１２．（２０２４河南郑州一中教育集团紫荆中学月考）如
图，ＡＢ∥ＣＤ∥ＥＦ，ＡＦ与ＢＥ相交于点Ｇ，ＡＧ＝
２，ＧＤ＝１，ＤＦ＝５，则ＢＣ
ＢＥ的值为
．
第１２题图
第１３题图
１３．（２０２２陕西中考）在２０世纪７０年代，我国著名
数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优
选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．
如图，利用黄金分割法所作ＥＦ将矩形窗框
ＡＢＣＤ分为上下两部分，其中Ｅ为边ＡＢ的黄
金分割点，即ＢＥ
２＝ＡＥ·ＡＢ．已知ＡＢ的长为
２米，则线段ＢＥ的长为
米．
１４．（２０２２浙江嘉兴中考）
如图，在△ＡＢＣ中，
∠ＡＢＣ＝９０°，∠Ａ＝
６０°，直尺的一边与
ＢＣ重合，另一边分别交ＡＢ，ＡＣ于点Ｄ，Ｅ．点
Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ处的读数分别为１５，１２，０，１，则直尺
宽ＢＤ为
．
１５．（２０２３广东揭阳中考）边长分别为１０，６，４的三
个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上
（如图），则图中阴影部分的面积为
．
三、解答题（共５５分）
１６．（２０２４福建泉州一中月考）（６分）如图，△ＡＢＣ
中，Ｄ是ＡＢ边上一点．
（１）在边ＡＣ上作一点Ｅ，使得ＡＥ
ＡＣ＝ＡＤ
ＡＢ．（要求：
尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（２）在（１）的条件下，若△ＡＢＣ的面积是△ＡＤＥ
面积的９倍，且ＢＣ＝６，求ＤＥ的长．
１７．（２０２４辽宁丹东宽甸期末）（６分）如图，在正方形
网格图中，点Ａ，Ｂ，Ｃ都在格点上，按要求完成
下列作图．（要求：仅用无刻度的直尺在所给网
格图中作图，不写画法，保留作图痕迹）
（１）在图１中，以Ｃ为位似中心画一个三角形，
使它与△ＡＢＣ位似，且相似比为２∶１．
（２）图２中，以线段ＡＤ为边画一个三角形，使
它与△ＡＢＣ位似．
（３）图３中，在线段ＡＢ上画一个点Ｐ，使
ＡＰ
ＰＢ＝２
３．
图１
图２
图３
９
８
@@0@
９０
１８．（７分）如图，等边△ＡＢＣ的边长为６，Ｄ是ＢＣ
边上的动点，点Ｅ、Ｆ分别在边ＡＢ、ＡＣ上，且始
终满足∠ＥＤＦ＝６０°．
（１）求证：△ＢＤＥ∽△ＣＦＤ．
（２）当ＢＤ＝１．５，ＦＣ＝１时，求ＢＥ的长．
１９．情境题·国防历史（２０２３河南上蔡期中）（８分）
２０２２年９月１６日，第九批在韩中国人民志愿
军烈士遗骸归国，离家还是少年身，归来已是
报国躯．七十多年前，超过１９万名志愿军战士
在异国疆场悲壮地倒下，义无反顾地用血肉之
躯把祖国护卫在身后，把炮火挡在了国门之
外．丹心赤诚，铁骨铮铮，中国人民志愿军用鲜
血写就壮丽篇章，英烈们前仆后继的牺牲奉
献，换来了我们这几十年的和平，换来了我们
国家的富强和人民的幸福．面对美帝国主义精
良的精确制导武器，中国人民志愿军战士没有
被吓倒，没有先进的武器装备，志愿军战士只
能使用以前一些土办法，其中“跳眼法” 就是
炮兵常用的一种简易测距方法，结合相似三角
形原理和光的直线传播原理，可以计算出被测
物的大致距离．如图，点Ａ为左眼，点Ｂ为右
眼，点Ｏ为右手大拇指，点Ｃ为敌人的位置，点
Ｄ为敌人正左侧方的某一个参照物（ＣＤ∥ＡＢ，
Ａ、Ｏ、Ｄ共线），目测ＣＤ的长度后，然后利用相
似三角形的知识来计算Ｃ处敌人距离我方的
大致距离．
（１）“跳眼法”运用了相似三角形的什么知识？
（写出一条即可）
（２）已知大多数人的眼距约为６．４厘米，手臂
长约为６４厘米，若ＣＤ的估测长度为
５０米，则Ｃ、Ｏ之间的大致距离为多少米？
２０．跨学科·物理（２０２４上海奉贤一模）（８分）如图１，
某小组通过实验探究凸透镜成像的规律，他们
依次在光具座上垂直放置发光物箭头、凸透镜
和光屏，并调整到合适的高度．如图２，主光轴ｌ
垂直于凸透镜ＭＮ，且经过凸透镜光心Ｏ，将长
度为８厘米的发光物箭头ＡＢ进行移动，使物
距ＯＣ为３２厘米，光线ＡＯ、ＢＯ传播方向不变，
移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像Ａ′
Ｂ′，此时测得像距ＯＤ为１２．８厘米．
（１）求像Ａ′Ｂ′的长度．
（２）已知光线ＡＰ平行于主光轴ｌ，经过凸透镜
ＭＮ折射后通过焦点Ｆ，求凸透镜焦距ＯＦ
的长．
图１
图２
０
９
@@0@
９１
２１．新课标例81 变式（２０２４陕西西安期末）（１０分）
如图，建筑物ＢＣ上有一根旗杆ＡＢ，小芳计划
测量该建筑物的高度．方法如下：在该建筑物
底部所在的平地上有一棵小树ＦＤ，小芳沿ＣＤ
后退，发现地面上的点Ｅ、树顶Ｆ、旗杆顶端Ａ
恰好在一条直线上，继续后退，发现地面上的
点Ｇ、树顶Ｆ、建筑物顶端Ｂ恰好在一条直线
上，已知旗杆ＡＢ＝３米，ＦＤ＝４米，ＤＥ＝５米，
ＥＧ＝１．５米，点Ａ、Ｂ、Ｃ在一条直线上，点Ｃ、Ｄ、
Ｅ、Ｇ在一条直线上，ＡＣ、ＦＤ均垂直于ＣＧ，请你
帮助小芳求出这座建筑物的高ＢＣ．
２２．手拉手模型（２０２３陕西师大附中月考）（１０分）
【问题呈现】
（１）如图１，△ＡＢＣ和△ＡＤＥ都是等边三角形，
连接ＢＤ、ＣＥ．求证：ＢＤ＝ＣＥ．
【类比探究】
（２）如图２，△ＡＢＣ和△ＡＤＥ都是等腰直角三
角形，∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＥ＝９０°，连接ＢＤ、ＣＥ，
则ＢＤ
ＣＥ＝ ．
【拓展提升】
（３）如图３，△ＡＢＣ和△ＡＤＥ都是直角三角形，
∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＥ＝９０°，∠ＤＡＥ＝∠ＢＡＣ＝
３０°，连接ＢＤ、ＣＥ，ＣＥ交ＡＢ于点Ｆ．
①求ＢＤ
ＣＥ的值；
②延长ＣＥ交ＢＤ于点Ｇ，求∠ＢＧＣ．
图１
图２
图３
１
９
新课标内容：１．通过学习平行投影和中心投影、正投影的特征，培养学生的抽象概括能力，能够理解自然现象背后
的数学原理，培养学生的空间观念与几何直观能力．２．通过探索平行投影和中心投影的作图及平行投影的相关计
算，发展学生的应用意识和运算能力，能够建立数学与现实世界之间的逻辑联系．３．通过学习由三视图确定几何体，
理解数学与现实世界之间的联系，培养推理意识和推理能力．４．通过运用平行投影和中心投影解决实际生活问题，
感悟数学与现实世界的交流方式，培养数学语言表达能力．
９２
第五章
投影与视图
编号
单元大概念素养目标
对应新课标内容
对应试题
Ｍ９１０５００１
了解中心投影、平行投影的
概念
通过丰富的实例，了解中心投影和平行投影的概念【Ｐ６９】
Ｐ９２Ｔ３；Ｐ９３Ｔ１
Ｍ９１０５００２
会画简单几何体的三视图
会画直棱柱、圆柱、圆锥、球的主视图、左视图、俯视图【Ｐ６９】
Ｐ９５Ｔ１；Ｐ９６Ｔ２
Ｍ９１０５００３
会根据三视图描述简单的几
何体
能判断简单物体的视图，并会根据视图描述简单的几何体
【Ｐ６９】
Ｐ９７Ｔ１；Ｐ９７Ｔ５
1 投影
第1 课时 中心投影
答案P181
1
投影与中心投影
全解P269
１．下列现象不属于投影的是
（
）
Ａ．皮影
Ｂ．树影
Ｃ．手影
Ｄ．素描画
２．下列投影，不属于中心投影的是（Ｍ９１０５００１）
（
）
Ａ．晚上路灯下小孩的影子
Ｂ．汽车灯光照射下行人的影子
Ｃ．阳光下沙滩上人的影子
Ｄ．用投影仪投射到幕布上的图像
３．教材变式·P145T3 （２０２３河北邯郸三模）球在灯泡
的照射下形成了影子，当球在灯泡正下方竖直
向下运动时，球的影子的大小变化是（Ｍ９１０５００１）
（
）
Ａ．越来越小
Ｂ．越来越大
Ｃ．大小不变
Ｄ．先变小后变大
４．教材变式·P126 例1 （２０２４广东信宜期末）试确定
图中路灯的位置，并画出此时小明在路灯下的
影子．
答案P181
５．（２０２４河北张家口期中，３，
）下列表示小明和小
颖在同一盏路灯下的影子的图片，合理的是
（Ｍ９１０５００１）
（
）
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
６．（２０２４山东枣庄期中，１９，
）如图，在平面直角坐
标系中，Ｐ（４，３）是一个点光源，ＣＤ为木杆ＡＢ
在Ｐ的照射下，在ｘ轴上形成的投影，若Ａ（０，
１），Ｂ（６，１），过点Ｐ作ＰＭ⊥ｘ轴，垂足为点Ｍ，
ＰＭ交ＡＢ于点Ｎ，求ＣＤ的长．（Ｍ９１０５００１）
２
９
９３
第2 课时 平行投影
答案P181
2
平行投影
全解P269
１．（２０２２江西修水月考）下列投影现象属于平行投
影的是（Ｍ９１０５００１）
（
）
Ａ．手电筒发出的光线所形成的投影
Ｂ．太阳发出的光线所形成的投影
Ｃ．路灯发出的光线所形成的投影
Ｄ．台灯发出的光线所形成的投影
２．（２０２３广西贵港二模）下列四幅图，表示两棵树在
同一时刻阳光下的影子的是（Ｍ９１０５００１）
（
）
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
３．（２０２３北京海淀二模）一个正五棱柱按如图所示
的方式摆放，当光线由上到下照射此正五棱柱
时，其正投影是
（
）
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
第３题图
第５题图
４．（２０２２甘肃兰州期末）下图是滨河公园中的两个
物体及其一天中四个不同时刻在太阳光的照射
下落在地面上的影子，按照时间的先后顺序排
列正确的是（Ｍ９１０５００１）
（
）
Ａ．（３）（４）（１）（２）
Ｂ．（４）（３）（１）（２）
Ｃ．（４）（３）（２）（１）
Ｄ．（２）（４）（３）（１）
５．如图，竖直放置的△ＡＢＣ的边ＡＢ处在水平位
置，投影线竖直向下，ＣＤ⊥ＢＡ于点Ｄ，那么线段
ＢＣ的正投影是
，线段ＡＣ的正投影
是
，线段ＣＤ的正投影是
．
６．如图，ＡＢ和ＤＥ是直立在地面上的两根立柱．ＡＢ＝
４ｍ，某一时刻ＡＢ在阳光下的投影ＢＣ＝３ｍ．
（１）请你在图中画出此时ＤＥ在阳光下的投影．
（２）在测量ＡＢ的投影时，同时测量出ＤＥ在阳
光下的投影长为８ｍ，请你计算ＤＥ的长．
答案P182
７．（２０２４山东桓台期末，６，
）小乐用一块长方形
硬纸板在阳光下做投影试验，通过观察，发现这
块长方形硬纸板在平整的地面上不可能出现的
投影是
（
）
Ａ．三角形
Ｂ．线段
Ｃ．矩形
Ｄ．正方形
８．（２０２４福建泉州期末，１０，
）甲、
乙两人沿着如图所示的平行四
边形空地边缘进行跑步比赛，
两人同时从点Ｂ出发，沿着平
行四边形边缘顺时针跑步，且
甲的速度是乙的速度的２倍．当甲到达点Ｅ，乙
到达点Ｆ时，甲、乙的影子（太阳光照射）刚好
在同一条直线上，此时，点Ｂ处一根杆子的影
子（太阳光照射）刚好在对角线ＢＤ上，则ＣＥ
的长为
（
）
Ａ．４ｍ
Ｂ．８ｍ
Ｃ．１２ｍ
Ｄ．１６ｍ
３
９
@@0@
９４
９．（２０２２山东济宁任城期末，１７，
）如图，正方形纸
板ＡＢＣＤ在投影面α 上的正投影为Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１，
其中边ＡＢ、ＣＤ与投影面平行，ＡＤ，ＢＣ与投影面
不平行．若正方形ＡＢＣＤ的边长为５ｃｍ，
∠ＢＣＣ１＝４５°，求其投影Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１的面积．
答案P182
１０．应用意识（２０２４山东青岛市北期末）通
常，路灯、台灯、手电筒……的光可以看
成是从一个点发出的，叫做点光源，在点光源的
照射下，物体所产生的投影称为中心投影．
【画图操作】如图①，三根底部在同一直线上
的旗杆直立在地面上，第一根、第二根旗杆在
同一灯光下的影子如图所示．请在图中画出光
源Ｐ的位置及第三根旗杆在该灯光下的影子
ＥＦ（不写画法）．
图①
图②
图③
【数学思考】如图②，夜晚，小明从点Ａ经过路
灯Ｃ的正下方沿直线走到点Ｂ，他的影长ｙ随
他与点Ａ之间的距离ｘ的变化而变化，那么表示
ｙ与ｘ之间函数关系的图象大致为 ．
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
【解决问题】如图③，河对岸有一灯杆ＡＢ，在灯
光下，小明在点Ｄ处测得自己的影长ＤＦ＝
３ｍ，沿ＢＤ方向前进，在点Ｆ处测得自己的影
长ＦＧ＝４ｍ．已知小明的身高为１．６ｍ，求灯杆
ＡＢ的高度．
１１．应用意识在“测量物体的高度” 活动中，某数
学兴趣小组的３名同学选择了测量学校里的３
棵树的高度．在同一时刻的阳光下，他们分别
做了以下工作：
小芳：测得一根长为１ｍ的竹竿的影长为
０．８ｍ，甲树的影长为４ｍ，如图①．
小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一
部分影子落在教学楼的墙壁上，如图②，墙壁上
的影长为１．２ｍ，落在地面上的影长为２．４ｍ．
小丽：测量的丙树的影子除落在地面上外，还
有一部分落在教学楼的第一级台阶上，如
图③，测得第一级台阶上的影长为０．２ｍ，第一
级台阶高为０．３ｍ，落在地面上的影长为４．４ｍ．
（１）甲树的高度为 ｍ．
（２）求乙树的高度．
（３）求丙树的高度．
图①
图②
图③
４
９
９５
2 视图
第1 课时 认识三视图
答案P182
1
视图及常见几何体的三视图
全解P270
１．（２０２４河南太康期末）下列几何体中，主视图是圆
的是（Ｍ９１０５００２）
（
）
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
２．（２０２２广西贵港中考）将一个圆锥按如图所示的
方式放置，对于它的三视图，下列说法正确的是
（
）
Ａ．主视图与俯视图相同
Ｂ．主视图与左视图相同
Ｃ．左视图与俯视图相同
Ｄ．三个视图完全相同
３．下列四个几何体中，其主视图、左视图、俯视图
中只有两个相同的是（Ｍ９１０５００２）
（
）
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
４．（２０２３辽宁沈阳中考）如图所示的是由５个相同
的小立方块搭成的几何体，则这个几何体的主
视图是
（
）
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
５．（２０２３四川自贡中考改编）请将六棱柱的三视图
名称填在相应的横线上．（Ｍ９１０５００２）
答案P183
６．（２０２４陕西师大附中期中，２，
）如图，一个实木
正方体内部有一个圆锥体空洞，它的俯视图是
（Ｍ９１０５００２）
（
）
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
７．（２０２４山东泰安泰山期中，５，
）将如图所示
的直角三角形ＡＢＣ绕直角边ＡＣ所在直线
旋转一周，所得几何体的主视图是
（
）
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
８．（２０２３山东烟台中考，６，
）如图，对正方体进行
两次切割，得到如图⑤所示的几何体，则图⑤中
的几何体的俯视图为（Ｍ９１０５００２）
（
）
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
５
９
９６
第2 课时 三视图的画法
答案P183
2
三视图的画法
全解P271
１．（２０２２浙江宁波中考）如图所示的几何体是由一
个球和一个圆柱组成的，它的俯视图是（
）
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
２．画出如图所示的几何体的三视图．（Ｍ９１０５００２）
３．某运动会的领奖台可以近似地看成如图所示的
立体图形，请你画出它的三视图．（Ｍ９１０５００２）
４．新独家原创“创新是一个民族的灵魂，是一个国
家兴旺发达的不竭动力”．某校大力开展丰富多
彩的学生社团活动，建筑设计社团制作了一座
桥，如图所示的是桥墩的一部分，请画出该几何
体的主视图和俯视图．（Ｍ９１０５００２）
答案P183
５．（２０２４辽宁丹东期末，１７，
）图中几何体的主视
图已给出，请补画出该几何体的左视图和俯视
图．（Ｍ９１０５００２）
６．（２０２４辽宁阜新期末，１６，
）画出如图所示的几
何体的三视图．
６
９
９７
第3 课时 由三视图判断几何体的形状
答案P183
3
由三视图确定物体的形状及计算
全解P272
１．（２０２３浙江湖州中考）已知某几何体的三视图如
图所示，则该几何体是（Ｍ９１０５００３）
（
）
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
２．（２０２３内蒙古呼和浩特中考）如图
所示的是某几何体的三视图，则
这个几何体是
（
）
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
３．（２０２３湖北黄石中考改编）如图，
根据三视图可知，该几何体是
由 个小正方体组合
而成的，若每个小正方体的棱
长为２厘米，则该几何体的体积为
ｃｍ
３．
（
）
Ａ．３；１６
Ｂ．４；３２
Ｃ．５；１６
Ｄ．６；３２
答案P183
４．（２０２３河北中考，１２，
）如图１，一个２×２的平台
上已经放了一个棱长为１的正方体，要得到一
个几何体，其主视图和左视图如图２，平台上至
少还需再放这样的正方体
（
）
图１
图２
Ａ．１个
Ｂ．２个
Ｃ．３个
Ｄ．４个
５．（２０２３黑龙江牡丹江中考，６，
）由若干
个完全相同的小正方体搭成的几何体
的主视图和左视图如图所示，则搭成该几何体
所用的小正方体的个数最
多是（Ｍ９１０５００３）
（
）
Ａ．６
Ｂ．７
Ｃ．
８
Ｄ．９
６．（２０２３重庆八中期中，２０，
）一水壶可近似地看
成由两个圆柱叠成的图形．主视图和俯视图如
图所示．请根据图中数据求底部圆柱的侧面积
以及该几何体的体积．（结果均保留π）
答案P183
７．几何直观一个几何体的三视图如图所示，
它的俯视图为菱形．请写出该几何体的形
状，并根据图中所给的数据求出它的侧面积．
７
９
@@0@
９８
第五章 素养综合检测
投影与视图
满分
１００分
限时
９０分钟
答案
Ｐ１８４
一、选择题（本大题共１０小题，每小题３分，共３０分）
１．情境题·中华优秀传统文化（２０２４广东清远期末）
日晷是我国古代利用日影测定时刻的一种计时
仪器，它由“晷面”和“晷针”组成．当太阳光照在日
晷上时，晷针的影子就会投向晷面．随着时间的推
移，晷针的影子在晷面上慢慢地移动，以此来显示
时刻．晷针在晷面上形成的投影是
（
）
Ａ．中心投影
Ｂ．平行投影
Ｃ．既是平行投影又是中心投影
Ｄ．不能确定
２．（２０２４河南郑州期末）下图是我们生活中常用的
“空心卷纸”，其主视图（不考虑尺寸）为（
）
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
３．（２０２４四川渠县期末）由５个大小相同
的小正方体搭成的几何体如图所示，
关于它的视图，下列说法正确的是
（
）
Ａ．主视图的面积最小
Ｂ．左视图的面积最小
Ｃ．俯视图的面积最小
Ｄ．从三个方向看的视图面积相等
４．（２０２４吉林白山临江期末）若在同一盏路灯下，小
明与小强的影子一样长，则下列说法正确的是
（
）
Ａ．小明比小强的个子高
Ｂ．小强比小明的个子高
Ｃ．两个人的个子一样高
Ｄ．无法判断谁的个子高
５．（２０２４广西凤山期末）下列立体图形中，主视图和
左视图均为三角形的是
（
）
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
６．情境题·中华优秀传统文化（２０２３山东潍坊中考）
在我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图所
示的是某种榫卯构件的示意图，其中卯的俯视
图是（Ｍ９１０５００２）
（
）
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
７．新考法（２０２３内蒙古包头期末）如图，通过两人的
对话，我们可以判断他们共同搭的几何体是
（
）
８
９
@@0@
９９
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
８．如图，这个几何体是由５个相同的小立方块搭成
的，若移走一个小立方块，左视图发生了改变，则
移走的小立方块是
（
）
Ａ．①
Ｂ．②
Ｃ．③
Ｄ．④
第８题图
第９题图
９．（２０２４山东泰安新泰期末）一个几何体是由一些
大小相同的小正方体组成的，其俯视图与主视
图如图所示，则组成这个几何体的小正方体最
多有
（
）
Ａ．９个
Ｂ．１０个
Ｃ．１１个
Ｄ．１２个
１０．（２０２３重庆南岸期末）下图是一个由铁铸灌成的
几何体的三视图，根据图中所标数据，铸灌这
个几何体需要的铁的体积为
（
）
Ａ．１２π
Ｂ．１８π
Ｃ．２４π
Ｄ．７８π
二、填空题（本大题共６小题，每小题３分，共１８分）
１１．情境题·中华优秀传统文化（２０２４四川成都期末）
早在１０００多年前的宋朝，手影就已经作为民
间一种有趣的游戏而存在．诗人释惠明在《手
影戏》中写道：“三尺生绡作戏台，全凭十指逞
诙谐．有时明月灯窗下，
一笑还从掌握来”．手影
戏全凭手影艺人的十指
借光弄影，表演各色人物、花草虫鱼、飞禽走兽
甚至是寓言故事．如图，手影戏中的手影属于
（填“平行投影”或“中心投影”）．
１２．某天学校举办了运动会，小红先参加了校运动
会女子１００ｍ比赛，过一段时间又参加了女子
４００ｍ比赛，比赛都在上午进行，下图是摄影
师在同一位置拍摄小红的两张照片，那么
（填“甲”或“乙”）照片是在小红参加４００ｍ比赛
时拍摄的．
１３．如图，正方形ＡＢＣＤ的边长是５ｃｍ，以直线ＡＢ
为轴，将正方形旋转一周后，所得几何体的左
视图的面积是
．
１４．如图所示，一长方体木板上有两个空洞，一个
是正方形形状的，一个是圆形形状的，对于图
中的４种几何体，你觉得哪一种作为塞子既可
以堵住圆形空洞又可以堵住正方形空洞？
（填序号）．
９
９
@@0@
１００
１５．如图，在一次数学活动课上，张明用１７个棱长
为１的小正方体搭成了一个几何体，然后他请
王亮用其他同样的小正方体在旁边再搭一个
几何体，使王亮所搭几何体的左视图与张明所
搭几何体的左视图相同，那么王亮至少需要
个小正方体．
１６．（２０２４重庆南岸期末）如图所示的是一个几何体
的三视图，俯视图为正三角形，则该几何体的
侧面积为
．
三、解答题（共５２分）
１７．（８分）甲、乙两根木杆在同一时刻的影子如图
所示．
（１）请在图中画出形成木杆影子的光线，并指
出是平行投影还是中心投影．
（２）若是路灯的光线，请找出路灯灯泡的位置．
（３）请在图中画出木杆丙的影子．
１８．（２０２４陕西榆林十中期末）（８分）如图所示的是
由６块小正方体搭成的几何体（主视图已给
出）．
（１）请在方格图中画出该几何体的左视图和俯
视图．
（２）如果在这个几何体上再添加一些小正方
体，并保持主视图和左视图不变，最多可以
再添加 块小正方体．
１９．新独家原创（８分）吊脚楼是中国南方多个少
数民族的传统民居，尤其在渝东南、桂北、湘
西、鄂西、黔东南等地区较为常见，有的吊脚楼
为三层建筑，除了屋顶盖瓦以外，上上下下全
部用杉木建造．屋柱用大杉木凿眼，柱与柱之
间用大小不一的杉木斜穿直套连在一起，尽管
不用一个铁钉也十分坚固．图①和图②是吊脚
楼常用的榫卯结构，请分别画出图①和图②的
三视图．
０
０
１
@@0@
１０１
２０．（９分）用小立方块搭一个几何体，它的主视图
和俯视图如图所示，俯视图中小正方形中的字
母表示在该位置上小立方块的个数．
（１）ａ＝ ，ｂ＝ ．
（２）这个几何体最少由 个小立方
块搭成，最多由 个小立方块
搭成．
（３）当ｄ＝ｅ＝１，ｆ＝２时，请在网格中画出这个
几何体的左视图．
２１．（２０２３四川简阳期中）（９分）下图是某几何体的
三视图．
（１）这个几何体的名称是 ．
（２）根据图中数据，求出这个几何体所有棱的
长度之和以及表面积．
２２．（１０分）如图所示，在某天晚上，身高是１．６ｍ
的王华同学由路灯ＡＣ底部走向路灯ＢＤ底
部，当他走到点Ｐ时，发现他身后的影子的顶
部刚好接触到路灯ＡＣ的底部；当他再向前步
行１２ｍ到达点Ｑ时，发现他身前的影子的顶
部刚好接触到路灯ＢＤ的底部．已知两个路灯
的高度都是９．６ｍ．
（１）求两个路灯之间的距离．
（２）当王华走到路灯ＢＤ的底部时，他在路灯
ＡＣ照射下的影长是多少？
１
０
１
新课标内容：
１．感悟实际生活中的数量关系，形成数感，能用符号表示数量关系，培养符号意识，提升抽象能力．
２．会用待定系数法求解析式，通过运算促进数学推理能力．
３．通过合作探究，使学生进一步理解和掌握反比例函数及其图象与性质，强化数形结合思想．
４．理解与运用反比例函数的概念，能根据实际问题中的条件建立反比例函数模型解决实际问题，体会数学与现实
生活的紧密联系，增强应用意识与模型意识．
１０２
第六章
反比例函数
编号
单元大概念素养目标
对应新课标内容
对应试题
Ｍ９１０６００１
掌握反比例函数的定义
结合具体情境体会反比例函数的意义【Ｐ５７】
Ｐ１０２Ｔ１；Ｐ１０２Ｔ３
Ｍ９１０６００２
会用待定系数法求反比例函数
的解析式
能根据已知条件确定反比例函数的表达式【Ｐ５７】
Ｐ１０２Ｔ４；Ｐ１０２Ｔ５
Ｍ９１０６００３
会画反比例函数的图象
能画反比例函数的图象【Ｐ５８】
Ｐ１０４Ｔ１
Ｍ９１０６００４
掌握反比例函数的性质
根据图象和表达式ｙ＝ｋ
ｘ（ｋ≠０）探索并理解ｋ＞０和
ｋ＜０时图象的变化情况【Ｐ５８】
Ｐ１０４Ｔ２；
Ｐ１０４Ｔ４；
Ｐ１０６Ｔ１０
Ｍ９１０６００５
能用反比例函数解决实际问题
能用反比例函数解决简单实际问题【Ｐ５８】
Ｐ１０３Ｔ７；Ｐ１０７Ｔ１
1 反比例函数
答案P185
1
反比例函数
全解P275
１．（２０２４山东曲阜期末）下列函数中，ｙ是ｘ的反比
例函数的是（Ｍ９１０６００１）
（
）
Ａ．ｙ＝－ｘ
２
Ｂ．ｙ＝２
ｘ＋１
Ｃ．ｙ＝２
ｘ
Ｄ．ｙ＝－ｘ
２
２．若ｙ＝ｍ＋１
ｘ是ｙ关于ｘ的反比例函数，则ｍ的取
值范围是（Ｍ９１０６００１）
（
）
Ａ．ｍ＞－１
Ｂ．ｍ≠－１
Ｃ．ｍ＜－１
Ｄ．ｍ≠０
３．在下列关系式中，ｘ均为自变量，哪些是反比例
函数？每一个反比例函数相应的ｋ值是多
少？（Ｍ９１０６００１）
（１）ｙ＝５
ｘ；（２）ｙ＝０．４ｘ
－１；（３）ｙ＝ｘ
３；（４）ｘｙ＝２；
（５）ｙ＝６ｘ＋３；（６）ｘｙ＝－７；（７）ｙ＝５
ｘ
２；（８）ｙ＝１
３ｘ．
2
反比例函数表达式的确定
全解P275
４．已知ｙ是ｘ的反比例函数，且ｘ＝－２时，ｙ＝３，则
ｙ与ｘ的函数关系式为
．（Ｍ９１０６００２）
５．教材变式·P150T3 ｙ是ｘ的反比例函数，下表给
出了ｘ与ｙ的一些值．（Ｍ９１０６００２）
ｘ
２
３
１
２
８
ｙ
４
２
１
４
（１）根据表格信息写出ｙ与ｘ之间的函数关
系式．
（２）根据函数关系式补全表格．
3
根据实际问题列反比例函数的表达式
全解P276
６．（２０２２江苏南京秦淮期末）小明要把一篇２７０００
字的调查报告录入电脑，则其录入的时间
ｔ（分钟）与录入文字的平均速度ｖ（字／分钟）之
间的函数表达式应为ｔ＝
（ｖ＞０）．
２
０
１
１０３
７．（２０２２山东泰安月考改编）写出下列问题中两个
变量之间的函数表达式，并判断其是不是反比
例函数．（Ｍ９１０６００５）
（１）底边为３ｃｍ的三角形的面积ｙ（ｃｍ
２）随底
边上的高ｘ（ｃｍ）的变化而变化．
（２）一艘轮船从相距２００ｋｍ的甲地驶往乙地，
轮船的速度ｖ（ｋｍ／ｈ）与航行时间ｔ（ｈ）的
关系．
（３）某农场的粮食总产量为１５００ｔ，则该农场人
数ｙ与平均每人占有粮食量ｘ（ｔ）的函数关
系式．
答案P185
８．（２０２４黑龙江绥化期末，１５，
）已知函数ｙ＝（ｍ＋
２）ｘ
ｍ
２－５是反比例函数，则ｍ的值是
．
９．（２０２３湖南武冈期中，２０，
）在面积为定值的一
组菱形中，当菱形的一条对角线长为４ｃｍ时，
它的另一条对角线长为１２ｃｍ．
（１）设菱形的两条对角线的长分别为ｘ（ｃｍ），
ｙ（ｃｍ），求ｙ关于ｘ的函数表达式．这个函数
是反比例函数吗？如果是，指出比例系数．
（２）若其中一个菱形的一条对角线长为６ｃｍ，
求这个菱形的边长．
１０．（２０２４上海浦东新区期末，２２，
）已知ｙ＝ｙ１＋ｙ２，
并且ｙ１与ｘ－１成正比例，ｙ２与ｘ成反比例，当
ｘ＝２时，ｙ＝５；当ｘ＝－２时，ｙ＝－９．
（１）求ｙ关于ｘ的函数解析式．
（２）求当ｘ＝８时的ｙ值．
答案P186
１１．推理能力已知（ａ－ｂ＋３）
２＋
ａ＋２ｂ＝０，则关于
ｘ的函数ｙ＝（ａ－ｂ）ｘ
ａ＋ｂ是
函数，比例
系数为
．
１２．抽象能力（２０２３贵州铜仁石阡质检）已知函数
ｙ＝（ｍ
２－２ｍ）ｘ
ｍ
２－ｍ－１．
（１）若ｙ是关于ｘ的正比例函数，求ｍ的值．
（２）若ｙ是关于ｘ的反比例函数，求ｍ的值，并
写出此时ｙ与ｘ的函数关系式．
３
０
１
１０４
2 反比例函数的图象与性质
第1 课时 反比例函数的图象与性质1
答案P186
1
反比例函数的图象及其画法
全解P277
１．画出反比例函数ｙ＝２
ｘ的图象．（Ｍ９１０６００３）
2
反比例函数的图象和性质
全解P278
２．（２０２３上海中考）下列函数中，函数值ｙ随ｘ的增
大而减小的是（Ｍ９１０６００４）
（
）
Ａ．ｙ＝６ｘ
Ｂ．ｙ＝－６ｘ
Ｃ．ｙ＝６
ｘ
Ｄ．ｙ＝－ｘ
３．（２０２４河南叶县期末）对于反比例函数ｙ＝－５
ｘ，下
列结论：①图象分布在第二、四象限；②当ｘ＞０
时，ｙ随ｘ的增大而增大；③图象经过点
－２，５
２
æ
è
ç
ö
ø
÷ ；④若点Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２）都在图象
上，且ｘ１＜ｘ２，则ｙ１＜ｙ２．其中正确的是
（
）
Ａ．①②③
Ｂ．②③④
Ｃ．①③④
Ｄ．①②③④
４．一题多解
教材变式·P157T4 （２０２３湖北宜昌中考
改编）某反比例函数图象上四个点的坐标分别
为（－３，ｙ１），（－２，２），（１，ｙ２），（２，ｙ３），则ｙ１，ｙ２，
ｙ３的大小关系为（Ｍ９１０６００４）
（
）
Ａ．ｙ２＜ｙ１＜ｙ３
Ｂ．ｙ３＜ｙ２＜ｙ１
Ｃ．ｙ２＜ｙ３＜ｙ１
Ｄ．ｙ１＜ｙ３＜ｙ２
５．（２０２４广东鹤山期末）若反比例函数ｙ＝ｋ－３
ｘ的图
象在每一象限内，ｙ随ｘ的增大而增大，则ｋ的
取值范围是
ｋ＜３．
答案P186
６．（２０２３湖南邵阳中考，８，
）如图，矩形ＯＡＢＣ的
顶点Ｂ和正方形ＡＤＥＦ的顶点Ｅ都在反比例函
数ｙ＝ｋ
ｘ（ｋ≠０）的图象上，点Ｂ的坐标为（２，
４），则点Ｅ的坐标为
（
）
Ａ．（４，４）
Ｂ．（２，２）
Ｃ．（２，４）
Ｄ．（４，２）
７．教材变式·P161T6 （２０２３湖北襄阳中考，１０，
）
在同一平面直角坐标系中，一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｋ与
反比例函数ｙ＝ｋ
ｘ的图象可能是
（
）
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
８．（２０２４河北廊坊三河期末，１８，
）如图，在
平面直角坐标系中，点Ａ（３，４），点Ｂ（０，
ａ），点Ｃ（６，ａ），连接ＢＣ，过Ａ点作ｙ＝ｍ
ｘ（ｘ＞０）
的图象交线段ＢＣ于点Ｄ（不与点Ｃ重合）．
（１）ｍ＝ ．
（２）若ＢＤ＞ＤＣ，求ａ的取值范围．
４
０
１
１０５
第2 课时 反比例函数的图象与性质2
答案P187
3
反比例函数中ｋ的几何意义
全解P278
１．（２０２３湖南湘潭中考）如图，平面直角坐标系中，Ｏ
是坐标原点，Ａ是反比例函数ｙ＝ｋ
ｘ（ｋ≠０）图象
上的一点，过点Ａ分别作ＡＭ⊥ｘ轴于点Ｍ，ＡＮ
⊥ｙ轴于点Ｎ，若四边形ＡＭＯＮ的面积为２，则ｋ
的值是
（
）
Ａ．２
Ｂ．－２
Ｃ．１
Ｄ．－１
第１题图
第２题图
２．（２０２４上海杨浦期末）如图，点Ｐ在反比例函数
ｙ＝ｋ
ｘ（ｘ＞０）的图象上，ＰＱ⊥ｘ轴于点Ｑ，设
△ＰＯＱ的面积是Ｓ，那么Ｓ与ｋ之间的数量关
系是
（
）
Ａ．Ｓ＝ｋ
４
Ｂ．Ｓ＝ｋ
２
Ｃ．Ｓ＝ｋ
Ｄ．不能确定
３．（２０２４河南安阳期末）如图，两个反比例函数ｙ１＝
４
ｘ和ｙ２＝２
ｘ在第一象限内的图象分别是Ｃ１和
Ｃ２，设点Ｐ在Ｃ１上，ＰＡ⊥ｘ轴于点Ａ，交Ｃ２于点
Ｂ，则△ＰＯＢ的面积为
（
）
Ａ．４
Ｂ．２
Ｃ．１
Ｄ．６
第３题图
第４题图
４．（２０２３广东东莞振华中学一模）如图，函数ｙ＝４
ｘ
（ｘ＞０）的图象经过矩形ＯＡＢＣ的边ＢＣ的中点
Ｅ，交ＡＢ于点Ｄ，则四边形ＯＤＢＣ的面积为
．
５．（２０２４陕西榆林子洲期末）如图所示，Ｐ是反比例
函数ｙ＝ｋ
ｘ的图象上任意一点，过点Ｐ分别作ｘ
轴、ｙ轴的垂线，垂足分别为Ｍ，Ｎ．
（１）求ｋ的值．
（２）求证：矩形ＯＭＰＮ的面积为定值．
答案P187
６．转化思想（２０２４山东淄博淄川期末，８，
）已知反
比例函数ｙ＝－６
ｘ（ｘ＜０）与ｙ＝２
ｘ（ｘ＞０）的图象
如图所示，过ｙ轴正半轴上的任意一点Ｐ作ｘ
轴的平行线，分别与这两个函数的图象交于Ｍ，
Ｎ两点．若点Ａ是ｘ轴上的任意一点，连接ＭＡ，
ＮＡ，则Ｓ△ＡＭＮ等于
（
）
Ａ．８
Ｂ．６
Ｃ．４
Ｄ．２
５
０
１
１０６
７．（２０２４山东淄博桓台期末，９，
）两个反比例函数
ｙ＝２
ｘ和ｙ＝１
ｘ在第一象限内的图象Ｃ１和Ｃ２如
图所示，设点Ｐ在Ｃ１上，ＰＣ⊥ｘ轴于点Ｃ，交Ｃ２
于点Ａ，ＰＤ⊥ｙ轴于点Ｄ，交Ｃ２于点Ｂ，则四边
形ＰＡＯＢ的面积为
（
）
Ａ．１
Ｂ．２
Ｃ．３
Ｄ．４
８．（２０２１河南中考，１８，
）如图，大、小两个正方形
的中心均与平面直角坐标系的原点Ｏ重合，边
分别与坐标轴平行，反比例函数ｙ＝ｋ
ｘ的图象与
大正方形的一边交于点Ａ（１，２），且经过小正方
形的顶点Ｂ．
（１）求反比例函数的解析式．
（２）求图中阴影部分的面积．
答案P188
９．几何直观（２０２３山东枣庄中考）如图，在反比例函
数ｙ＝８
ｘ（ｘ＞０）的图象上有点Ｐ１，Ｐ２，Ｐ３，…，
Ｐ２０２４，它们的横坐标依次为１，２，３，…，２０２４，分
别过这些点作ｘ轴与ｙ轴的垂线，图中所构成
的阴影部分的面积从左到右依次为Ｓ１，Ｓ２，Ｓ３，
…，Ｓ２０２３，则Ｓ１＋Ｓ２＋Ｓ３＋…＋Ｓ２０２３＝
．
１０．几何直观让我们一起用描点法探究函
数ｙ＝６
｜ｘ｜的图象性质，下面是探究过
程，请将其补充完整：（Ｍ９１０６００４）
（１）函数ｙ＝６
｜ｘ｜的自变量ｘ的取值范围是
．
补全列表：
ｘ
－６－４－２－１．５－１
１
１．５
２
４
６
ｙ
１１．５
３
６
６
４
１．５
１
（２）如图，在平面直角坐标系中，请你描出以
上表中各组对应值为坐标的点，并根据描
出的点，画出该函数的图象．
（３）观察画出的函数图象，回答下列问题：
①ｙ＝５时，对应的自变量ｘ的值约为
；
②写出函数ｙ＝６
｜ｘ｜的一条性质：
．
６
０
１
１０７
3 反比例函数的应用
答案P188
1
利用反比例函数解决实际问题
全解P279
１．（２０２３江苏南京中考）甲、乙两地相距１００ｋｍ，汽
车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间ｔ
（单位：ｈ）与行驶速度ｖ（单位：ｋｍ／ｈ）之间的函
数图象是（Ｍ９１０６００５）
（
）
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
２．跨学科·物理（２０２１四川自贡中考）已知蓄电池
的电压为定值，使用蓄电池时，电流Ｉ（单位：Ａ）
与电阻Ｒ（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图
象如图所示．下列说法正确的是
（
）
Ａ．函数解析式为Ｉ＝１３
Ｒ
Ｂ．蓄电池的电压是１８Ｖ
Ｃ．当Ｉ≤１０Ａ时，Ｒ≥３．６Ω
Ｄ．当Ｒ＝６Ω 时，Ｉ＝４Ａ
３．跨学科·物理国庆节前夕，同学们买了许多气
球．已知温度不变时，密闭容器内气体压强是其
体积的反比例函数，气球内充满了一定质量的
气体，当温度不变时，气球内的气压ｐ（ｋＰａ）与
气体体积Ｖ（ｍ
３）的函数图象如图所示．
（Ｍ９１０６００５）
（１）求ｐ与Ｖ之间的函数关系式．
（２）当气球内的气压大于１５０ｋＰａ时，气球将爆
炸．为了安全起见，气体的体积应不小于多
少ｍ
３？
４．在某河治理工程施工过程中，某工程队接受一
项开挖水渠的工程，所需天数ｙ与每天完成的
工程量ｘ（ｍ）的函数关系图象如图所示．
（Ｍ９１０６００５）
（１）请根据题意，求ｙ与ｘ之间的函数表达式．
（２）若该工程队有２台挖掘机，每台挖掘机每天
能够开挖水渠１５ｍ，则该工程队需用多少
天才能完成此项任务？
（３）为了防汛工作的需要，必须在一个月内（按
３０天计算）完成任务，那么每天至少要完成
多少米？
７
０
１
１０８
５．情境题·双减（２０２４广西北海期末）很多学生由
于学习时间过长，用眼不科学，视力下降，国家
“双减”政策的目标之一就是减轻学生过重的
作业负担，让学生提质增效．近视眼镜可以清晰
看到远距离物体，它的镜片是凹透镜，研究发
现，近视眼镜的度数ｙ（度）与镜片焦距ｘ（ｍ）的
关系式为ｙ＝１００
ｘ．（Ｍ９１０６００５）
（１）当镜片焦距是０．１ｍ时，近视眼镜的度数是
多少？
（２）当近视眼镜的度数是４００度时，镜片焦距是
多少？
（３）小明原来佩戴３００度的近视眼镜，经过一段
时间的矫正治疗并注意用眼健康，复查验
光时，所配镜片焦距调整为０．５ｍ，则小明的
眼镜度数下降了多少？
2
反比例函数与一次函数的综
合运用
全解P280
６．（２０２３内蒙古呼伦贝尔中考）如图，直线ｙ＝ａｘ＋ｂ
（ａ≠０）与双曲线ｙ＝ｋ
ｘ（ｋ≠０）交于点Ａ（－２，４）
和点Ｂ（ｍ，－２），则不等式０＜ａｘ＋ｂ＜ｋ
ｘ的解集是
（
）
Ａ．－２＜ｘ＜４
Ｂ．－２＜ｘ＜０
Ｃ．ｘ＜－２或０＜ｘ＜４
Ｄ．－２＜ｘ＜０或ｘ＞４
７．（２０２４河南虞城期末）如图，直线ｙ＝ｘ＋４与ｙ轴交
于点Ａ，与反比例函数ｙ＝ｋ
ｘ（ｋ≠０）的图象交于
点Ｃ，过点Ｃ作ＣＢ⊥ｘ轴于点Ｂ，若ＡＯ＝４ＢＯ，
则ｋ的值为
．
８．（２０２４河南安阳期末）如图，一次函数ｙ＝ｘ＋１与
反比例函数ｙ＝ｋ
ｘ的图象相交于Ａ（ｍ，２），Ｂ两
点，连接ＯＡ，ＯＢ．
（１）求这个反比例函数的表达式．
（２）求△ＡＯＢ的面积．
９．（２０２２山东淄博中考）如图，直线ｙ＝ｋｘ＋ｂ与双曲
线ｙ＝ｍ
ｘ相交于Ａ（１，２），Ｂ两点，与ｘ轴相交于
点Ｃ（４，０）．
（１）分别求直线ＡＣ和双曲线对应的函数表
达式．
（２）连接ＯＡ，ＯＢ，求△ＡＯＢ的面积．
（３）直接写出当ｘ＞０时，关于ｘ的不等式ｋｘ＋ｂ＞
ｍ
ｘ的解集．
８
０
１
@@0@
１０９
答案P189
１０．跨学科·物理
（２０２４河南郑州高新区期末，８，
）科技承载梦想，创新始于少年．某校科技
社团的学生制作了一艘轮船模型，实验过程中
他们发现在某段航行过程中轮船模型的牵引
力Ｆ（Ｎ）是其速度ｖ（ｍ·ｓ
－１）的反比例函数，其
图象如图所示，下列说法不正确的是（Ｍ９１０６００５）
（
）
Ａ．该段航行过程中，Ｆ随ｖ的增大而减小
Ｂ．Ｆ＞１０Ｎ时，ｖ＞２ｍ·ｓ
－１
Ｃ．该段航行过程中，函数表达式为Ｆ＝２０
ｖ
Ｄ．ｖ＝８ｍ·ｓ
－１时，Ｆ＝２．５Ｎ
１１．（２０２４辽宁盘锦期末，１９，
）如图，在平面直角
坐标系中，直线ｌ：ｙ＝ｍｘ＋ｎ（ｍ≠０）与反比例函
数ｙ＝ｋ
ｘ（ｋ≠０）的图象交于Ａ（１，ａ），Ｂ（－３，
－２）两点，直线ｌ与ｘ轴交于点Ｍ．
（１）求一次函数和反比例函数的表达式．
（２）将直线ｌ向下平移８个单位长度后，与ｘ
轴交于点Ｃ，连接ＣＡ，ＣＢ，求△ＡＢＣ的
面积．
（３）请结合图象，直接写出不等式ｍｘ＋ｎ≥ｋ
ｘ
的解集．
１２．情境题·社会热点（２０２４陕西子洲期末，
２４，
）实验数据显示，一般情况下，成
人喝０．２５ｋｇ低度白酒后，１．５小时内其血液中
酒精含量ｙ（毫克／百毫升）与时间ｘ（小时）成
正比例关系；１．５小时后（包括１．５小时）ｙ与ｘ
成反比例关系．根据图中提供的信息，解答下
列问题：
（１）写出一般情况下，成人喝０．２５ｋｇ低度白酒
后，ｙ与ｘ之间的函数关系式及相应的自
变量取值范围．
（２）按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精
含量大于或等于２０毫克／百毫升时属于
“酒后驾驶”，不能驾车上路．参照上述数学
模型，假设某驾驶员晚上在家喝完
０．２５ｋｇ低度白酒，则１０小时后该驾驶员
能否驾车去上班？请说明理由．
９
０
１
@@0@
１１０
１３．跨学科·物理（２０２４河北迁安期末，２３，
）如图１，
琪琪同学设计了一个探究杠杆平衡条件的实
验，在一个自制类似天平的仪器左边的固定托
盘Ａ中放置一个重物，在右边的活动托盘Ｂ
（可左右移动）中放置一定质量的砝码，使得仪
器左右平衡，改变活动托盘Ｂ与点Ｏ的距离ｘ
（ｃｍ），观察活动托盘Ｂ中砝码的质量ｙ（ｇ）的
变化情况．嘉嘉将实验数据记录在下表中．
图１
图２
ｘ／ｃｍ
…
５
１０
１５
２０
２５
…
ｙ／ｇ
…
１２
４
３
２．４
…
（１）在记录的过程中，一个数据被墨汁覆盖，则
被覆盖的数值应为 ．
（２）依据表格数据，在图２中描出相应的点，并
用平滑曲线连接，观察所画的图象，猜测ｙ
与ｘ之间的函数关系类型，求出函数关系
式并加以验证．
（３）当砝码的质量为４０ｇ时，为了使仪器左右
平衡，活动托盘Ｂ与点Ｏ的距离应是多
少ｃｍ？
答案P190
１４．模型观念探究：是否存在一个新矩形，使其周
长和面积为原矩形的２倍、１
２、ｋ倍？
（１）若该矩形为正方形，是否存在一个正方形，
使其周长和面积都为边长为２的正方形的
２倍？
（填“ 存在” 或“ 不存
在”）．
（２）继续探究，是否存在一个矩形，使其周长和
面积都为长为３，宽为２的矩形的２倍？
同学们有以下思路：
①设新矩形的长和宽分别为ｘ、ｙ，则依题
意得ｘ＋ｙ＝１０，ｘｙ＝１２，联立
ｘ＋ｙ＝１０，
ｘｙ＝１２
{
得
ｘ
２－１０ｘ＋１２＝０，再探究根的情况．
根据此方法，请你探究是否存在一个矩形，
使其周长和面积都为原矩形的１
２．
②如图，也可用反比例函数与一次函数证
明：已知ｌ１：ｙ＝－ｘ＋１０，ｌ２：ｙ＝１２
ｘ．
ａ．是否存在一个新矩形为原矩形周长和面
积的２倍？
（填“存在”或“不
存在”）．
ｂ．请探究是否有一新矩形的周长和面积为
原矩形的１
２，若不存在，用图象表达．
ｃ．请写出当“存在新矩形的周长和面积均
为原矩形的ｋ倍” 时，ｋ的取值范围：
．
０
１
１
@@0@
１１１
专项素养综合全练（八）
反比例函数中ｋ的几何意义
练方法
答案
Ｐ１９０
类型一 同一象限内运用ｋ的几何意义
模型展示
１．（２０２４广东阳春期末）如图，在平面直角坐标系
ｘＯｙ中，点Ｐ为函数ｙ＝４
ｘ（ｘ＜０）图象上任意一
点，过点Ｐ作ＰＡ⊥ｘ轴于点Ａ，则△ＰＡＯ的面积是
（
）
Ａ．８
Ｂ．４
Ｃ．２
Ｄ．－２
第１题图
第２题图
２．（２０２２黑龙江牡丹江中考）如图，等边三角形
ＯＡＢ，点Ｂ在ｘ轴正半轴上，Ｓ△ＯＡＢ＝４３，若反比
例函数ｙ＝ｋ
ｘ（ｋ≠０）图象的一支经过点Ａ，则ｋ
的值是
（
）
Ａ．３３
２
Ｂ．２３
Ｃ．３３
４
Ｄ．４３
３．（２０２３北京平谷期末）如图，点Ａ是反比例函数
ｙ＝２
ｘ（ｘ＞０）的图象上一点，过点Ａ作ｘ轴的垂
线，交ｘ轴于点Ｂ，点Ｃ是ｙ轴上任意一点，则
△ＡＢＣ的面积为
（
）
Ａ．１
Ｂ．２
Ｃ．３
Ｄ．４
第３题图
第４题图
４．（２０２３河南洛阳期末）如图，点Ａ是反比例函数
ｙ＝ｋ
ｘ（ｘ＜０）图象上一点，过点Ａ作ＡＢ⊥ｙ轴于
点Ｄ，且点Ｄ为线段ＡＢ的中点．若点Ｃ为ｘ轴
上任意一点，且△ＡＢＣ的面积为１１，则ｋ的值为
（
）
Ａ．－４
Ｂ．－１１
Ｃ．１１
Ｄ．１１
２
类型二 同一反比例函数两个象限内运用ｋ的几
何意义
模型展示
５．（２０２３河南省实验中学期中）如图，Ａ、Ｂ是函数ｙ＝
３
ｘ的图象上关于原点对称的任意两点，ＢＣ∥ｘ
轴，ＡＣ∥ｙ轴，△ＡＢＣ的面积记为Ｓ，则
（
）
Ａ．Ｓ＝２
Ｂ．Ｓ＝４
Ｃ．Ｓ＝５
Ｄ．Ｓ＝６
１
１
１
@@0@
１１２
６．（２０２３河北阜平月考）在反比例函数ｙ＝６
ｘ的图象
中，阴影部分的面积不等于６的是
（
）
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
类型三 双反比例函数运用ｋ的几何意义
模型展示
７．（２０２３河南开封十三中期末）如图，点Ａ是反比例
函数ｙ＝ｍ
ｘ（ｘ＜０）的图象上一点，ＡＣ⊥ｘ轴于点
Ｃ，与反比例函数ｙ＝ｎ
ｘ（ｘ＜０）的图象交于点Ｂ，
ＡＣ＝３ＢＣ，连接ＯＡ，ＯＢ，若△ＯＡＢ的面积为２，则
ｍ＋ｎ＝
（
）
Ａ．－４
Ｂ．－８
Ｃ．－１０
Ｄ．－１２
第７题图
第８题图
８．如图，点Ｂ在反比例函数ｙ＝８
ｘ（ｘ＞０）的图象
上，点Ｃ在反比例函数ｙ＝－２
ｘ（ｘ＞０）的图象上，
且ＢＣ∥ｙ轴，ＡＣ⊥ＢＣ，垂足为点Ｃ，交ｙ轴于点
Ａ，则△ＡＢＣ的面积为
（
）
Ａ．４
Ｂ．５
Ｃ．８
Ｄ．１０
９．（２０２３山东曲阜师大附属学校二模）如图，平行四
边形ＯＡＢＣ的顶点Ｏ，Ｂ在ｙ轴上，顶点Ａ在
ｙ＝－１
ｘ（ｘ＜０）的图象上，顶点Ｃ在ｙ＝ｋ
ｘ（ｘ＞０）
的图象上，若平行四边形ＯＡＢＣ的面积为６，则ｋ
的值是
．
１０．（２０２２四川乐山期末）如图，点Ａ、Ｂ分别在反比
例函数ｙ１＝
ｋ１
ｘ（ｘ＞０）和ｙ２＝
ｋ２
ｘ（ｘ＞０）的图象
上，线段ＡＢ与ｘ轴相交于点Ｐ．
（１）如图①，若ＡＢ⊥ｘ轴，且ＡＰ＝２ＰＢ，ｋ１＋ｋ２＝
１，求ｋ１、ｋ２的值．
（２）如图②，若点Ｐ是线段ＡＢ的中点，且
△ＯＡＢ的面积为２，求ｋ１－ｋ２的值．
图①
图②
２
１
１
@@0@
１１３
专项素养综合全练（九）
反比例函数与一次函数的综合
练题型
答案
Ｐ１９１
类型一 判断函数图象所在象限
１．教材变式·P161T6 （２０２３山东泰安中考）一次函数
ｙ＝ａｘ＋ｂ与反比例函数ｙ＝ａｂ
ｘ（ａ，ｂ为常数且均
不为０）在同一坐标系内的图象可能是（
）
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
类型二 两函数图象的交点问题
２．（２０２４四川达州期末）如图，一次函数ｙ＝ａｘ＋ｂ
（ａ≠０）的图象与反比例函数ｙ＝ｋ
ｘ（ｋ≠０）的图
象相交于Ａ（－１，ｍ），Ｂ（－４，１）两点．
（１）求反比例函数和一次函数的表达式．
（２）将一次函数ｙ＝ａｘ＋ｂ（ａ≠０）的图象沿ｙ轴向
下平移ｎ个单位（ｎ＞０），使平移后的图象与
反比例函数ｙ＝ｋ
ｘ的图象有且只有一个交
点，求ｎ的值．
类型三 利用一次函数与反比例函数的图象求
不等式的解集
３．（２０２４河北青龙期末）如图，一
次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０）的图
象与反比例函数ｙ＝ｍ
ｘ（ｍ≠
０）的图象交于点Ａ（－１，２），
Ｂ（２，－１），则不等式ｋｘ＋ｂ≤ｍ
ｘ的解集是（
）
Ａ．ｘ≤－１或ｘ≥２
Ｂ．－１≤ｘ＜０或０＜ｘ≤２
Ｃ．ｘ≤－１或０＜ｘ≤２
Ｄ．－１≤ｘ＜０或ｘ≥２
４．（２０２４安徽六安期末）如图，一次函数ｙ＝ａｘ＋ｂ
（ａ≠０）与反比例函数ｙ＝ｋ
ｘ（ｋ≠０）的图象相交
于Ａ（－１，４），Ｂ（ｎ，－１）两点．
（１）求反比例函数和一次函数的表达式．
（２）根据图象，直接写出满足ａｘ＋ｂ＜ｋ
ｘ的ｘ的取
值范围．
类型四 利用反比例函数与一次函数的图象的
交点求三角形的面积
５．（２０２３湖北恩施州中考）如图，在平面直角坐标系
ｘＯｙ中，Ｏ为坐标原点，直线ｙ＝ｘ＋２交ｙ轴于点Ａ，
交ｘ轴于点Ｂ，与双曲线ｙ＝ｋ
ｘ（ｋ≠０）在一，三象
限分别交于Ｃ，Ｄ两点，ＡＢ＝１
２ＢＣ，连接ＣＯ，ＤＯ．
（１）求ｋ的值．
（２）求△ＣＤＯ的面积．
３
１
１
@@0@
１１４
第六章 素养综合检测
反比例函数
满分
１００分
限时
９０分钟
答案
Ｐ１９２
一、选择题（本大题共１０小题，每小题３分，共３０分）
１．（２０２４广东揭阳期末）下列关系式中ｙ是ｘ的反
比例函数的是
（
）
Ａ．ｙ＝２ｘ
Ｂ．ｘｙ＝１
Ｃ．ｙ＝１
ｘ
２
Ｄ．ｙ＝ｋ
ｘ
２．（２０２４广西桂平期末）下列各点在反比例函数ｙ＝
６
ｘ的图象上的是
（
）
Ａ．（２，－３）
Ｂ．（２，３）
Ｃ．（３，－２）
Ｄ．（－１，６）
３．（２０２４安徽太和期末）若反比例函数ｙ＝２ｋ＋１
ｘ
的图
象位于第一、三象限，则ｋ的取值范围是
（
）
Ａ．ｋ＜－１
２
Ｂ．ｋ＞－１
２
Ｃ．ｋ＝－１
２
Ｄ．ｋ＞０
４．（２０２１山西中考）已知反比例函数ｙ＝６
ｘ，则下列
描述不正确的是
（
）
Ａ．图象位于第一、三象限
Ｂ．图象必经过点４，３
２
æ
è
ç
ö
ø
÷
Ｃ．图象不可能与坐标轴相交
Ｄ．ｙ随ｘ的增大而增大
５．（２０２３河北廊坊月考）在同一平面直角坐标系中，
函数ｙ＝ｋ
ｘ和ｙ＝ｋｘ－２的图象大致是
（
）
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
６．（２０２３四川成都双流期末）如
图，直线ｙ＝ａｘ＋ｂ与ｘ轴交
于点Ａ（２，０），与函数ｙ＝ｋ
ｘ
的图象交于点Ｂ，Ｃ，点Ｂ的
横坐标是８，点Ｃ的横坐标是－６，则不等式０＜
ａｘ＋ｂ＜ｋ
ｘ的解集是
（
）
Ａ．－６＜ｘ＜２
Ｂ．－６＜ｘ＜０
Ｃ．－６＜ｘ＜８
Ｄ．０＜ｘ＜２
７．已知函数ｙ＝－ｋ
２＋１
ｘ
的图象经过点Ｐ１（ｘ１，ｙ１），
Ｐ２（ｘ２，ｙ２），如果ｘ２＜０＜ｘ１，那么
（
）
Ａ．０＜ｙ２＜ｙ１
Ｂ．ｙ１＞０＞ｙ２
Ｃ．ｙ２＜ｙ１＜０
Ｄ．ｙ１＜０＜ｙ２
８．（２０２３河南新乡十中期末）如图，Ａ是反比例函数
ｙ＝ｋ
ｘ图象上一点，过点Ａ作ｘ轴的平行线交反
比例函数ｙ＝－３
ｘ的图象于点Ｂ，点Ｃ在ｘ轴上，
且Ｓ△ＡＢＣ＝１，则ｋ的值为
（
）
Ａ．７
Ｂ．－７
Ｃ．－５
Ｄ．５
９．新考向·代数推理已知反比例函数ｙ＝－５
２ｘ的图
象与直线ｙ＝－２ｘ＋４交于Ｐ（ａ，ｍ）、Ｑ（ｂ，ｎ）两
点，则代数式ｂ＋ａ－１０
ｍ－１０
ｎ的值是
（
）
Ａ．５
Ｂ．－５
Ｃ．１０
Ｄ．－１０
４
１
１
@@0@
１１５
１０．（２０２４河南安阳期末）在平面直角坐标系中，将
一块含４５°角的直角三角板按如图所示的方式
放置，顶点Ｃ的坐标为（－１，０），顶点Ｂ的坐标
为（０，２），若顶点Ａ恰好落在第二象限的双曲线
的一支上，则该双曲线的解析式为
（
）
Ａ．ｙ＝－３
ｘ
Ｂ．ｙ＝３
ｘ
Ｃ．ｙ＝２
ｘ
Ｄ．ｙ＝－２
ｘ
二、填空题（本大题共５小题，每小题３分，共１５分）
１１．新考向·开放型试题（２０２２湖南益阳中考）反比
例函数ｙ＝ｋ－２
ｘ的图象分布情况如图所示，则ｋ
的值可以是
（写出一个符
合条件的ｋ值即可）．
１２．（２０２２湖南郴州中考）科技小组为了验证某电路
的电压Ｕ（Ｖ）、电流Ｉ（Ａ）、电阻Ｒ（Ω）三者之
间的关系：Ｉ＝Ｕ
Ｒ，测得数据如下：
Ｒ（Ω）
１００
２００
２２０
４００
Ｉ（Ａ）
２．２
１．１
１
０．５５
那么，当电阻Ｒ＝５５Ω 时，电流Ｉ＝
Ａ．
１３．跨学科·物理（２０２３浙江温州中考）在温度不变
的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活
塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强
ｐ（ｋＰａ）与汽缸内气体的体积Ｖ（ｍＬ）成反比
例，ｐ关于Ｖ的函数图象如图所示．若压强由７５
ｋＰａ加压到１００ｋＰａ，则气体体积压缩了
ｍＬ．
１４．（２０２２山东青岛市北期末）如图，在平面直角坐
标系中，菱形ＯＡＢＣ的面积为１６，点Ｂ在ｙ轴
上，点Ｃ在反比例函数ｙ＝ｋ
ｘ的图象上，则ｋ的
值为
．
第１４题图
第１５题图
１５．（２０２０广西玉林中考）已知：函数ｙ１＝｜ｘ｜与函数
ｙ２＝１
｜ｘ｜的部分图象如图所示，有以下结论：
①当ｘ＜０时，ｙ１，ｙ２都随ｘ的增大而增大；②当
ｘ＜－１时，ｙ１＞ｙ２；③ｙ１与ｙ２的图象的两个交点
之间的距离是２；④函数ｙ＝ｙ１＋ｙ２的最小值是
２．则所有正确结论的序号是
．
三、解答题（共５５分）
１６．（６分）反比例函数ｙ＝ｋ
ｘ的图象经过点Ａ（１，３）．
（１）求这个函数的解析式．
（２）请判断点Ｂ２，３
２
æ
è
ç
ö
ø
÷ 是否在这个函数图象
上，并说明理由．
５
１
１
@@0@
１１６
１７．（２０２４山西灵丘期末）（７分）如图，一次函数ｙ１＝
ｘ－１的图象与反比例函数ｙ２＝ｋ
ｘ（ｋ≠０）的图
象交于点Ａ（ｍ，１），Ｂ（－１，ｎ）．
（１）求反比例函数ｙ２＝ｋ
ｘ（ｋ≠０）的解析式．
（２）当ｙ１＞ｙ２时，请直接写出ｘ的取值范围．
１８．（２０２４山东宁阳期末）（８分）小明新买了一盏亮
度可调节的台灯，他发现调节的原理是当电压
一定时，通过调节电阻控制电流的变化从而改
变灯光的明暗，台灯的电流Ｉ（单位：Ａ）与电阻
Ｒ（单位：Ω）满足反比例函数关系，其图象如图
所示．
（１）求Ｉ关于Ｒ的函数解析式．
（２）当Ｒ＝１３７５Ω 时，求Ｉ的值．
（３）若该台灯工作的最小电流为０．１Ａ，最大电
流为０．２５Ａ，求该台灯的电阻Ｒ的取值
范围．
１９．（２０２３河南濮阳模拟）（８分）如图，反比例函数
ｙ＝ｋ
ｘ（ｘ＞０）和ｙ＝６
ｘ（ｘ＞０）的图象如图所示，
点Ｃ（ａ，０）是ｘ轴正半轴上一动点，过点Ｃ作ｘ
轴的垂线，分别与ｙ＝ｋ
ｘ（ｘ＞０）和ｙ＝６
ｘ（ｘ＞０）
的图象交于点Ａ，Ｂ．
（１）当ａ＝２时，线段ＡＢ＝９
２，求Ａ，Ｂ两点的坐
标及ｋ的值．
（２）小明同学提出了一个猜想：“ 当ｋ值一定
时，△ＯＡＢ的面积随ａ值的增大而减小．”
你认为他的猜想对吗？请说明理由．
２０．（２０２４甘肃白银期末）（８分）喝茶前需要烧水和
泡茶两个工序，电热水壶将水烧到１００℃，然
后继续加热１分钟后断电，烧水时水温ｙ（℃）
与时间ｘ（ｍｉｎ）成一次函数关系；断电后，水壶
中水的温度（℃）与时间ｘ（ｍｉｎ）近似于反比例
函数关系（如图）．已知水壶中水的初始温度是
２０℃，降温过程中水温不低于２０℃．
（１）分别求出图中ＡＢ段和ＣＤ段所对应的函
数关系式．
６
１
１
@@0@
１１７
（２）当水壶中的水烧开（１００℃）后降到８０℃
时，就可以进行泡茶，则从水烧开到泡茶
需要等待多长时间？
２１．（２０２２江西中考）（８分）如图，点Ａ（ｍ，４）在反比
例函数ｙ＝ｋ
ｘ（ｘ＞０）的图象上，点Ｂ在ｙ轴上，
ＯＢ＝２，将线段ＡＢ向右下方平移，得到线段
ＣＤ，此时点Ｃ落在反比例函数的图象上，点Ｄ
落在ｘ轴正半轴上，且ＯＤ＝１．
（１）点Ｂ的坐标为 ，点Ｄ的坐标为
，点Ｃ的坐标为 （用
含ｍ的式子表示）．
（２）求ｋ的值和直线ＡＣ的解析式．
２２．新考向·代数推理（２０２１山东临沂中考）（１０分）
已知函数ｙ＝
３
ｘ，ｘ≤－１，
３ｘ，－１＜ｘ＜１，
３
ｘ，ｘ≥１．
ì
î
í
ï
ïï
ï
ïï
（１）画出函数图象．
列表：
ｘ
… －３－２－１０
１
２
３
４
…
ｙ
…
…
描点、连线得到函数图象：
（２）该函数是否有最大或最小值？若有，求出
其值；若没有，简述理由．
（３）设（ｘ１，ｙ１），（ｘ２，ｙ２）是函数图象上的点，若
ｘ１＋ｘ２＝０，证明：ｙ１＋ｙ２＝０．
７
１
１
@@0@
１１８
专项素养综合全练（十）
跨学科专题
练趋势
答案
Ｐ１９５
类型一 与道德与法治学科综合
１．情境题·革命文化（２０２３江苏南京鼓楼月考）２０２１
年是中国共产党建党１００周年，全国各地积极
开展“弘扬红色文化，重走长征路” 主题教育学
习活动，某市“红二方面军长征出发地纪念馆”
成为重要的活动基地．据了解，２０２１年３月份该
基地接待参观人数１００万人，５月份接待参观人
数增加到１２１万人．
（１）求这两个月参观人数的月平均增长率．
（２）按照这个增长率，求出６月份的参观人数．
类型二 与物理学科综合
２．（２０２４湖南湘潭期末）已知某电路的电源电压
Ｕ（Ｖ），电流Ｉ（Ａ），电阻Ｒ（Ω）三者之间的关系
式如下：Ｕ＝ＩＲ，且该电路的电源电压Ｕ为定值．
（１）该电路中，电流Ｉ与电阻Ｒ成
关系（填“反比例函数”或“正比例函数”）．
（２）当该电路的电阻为１００Ω 时，测得该电路中
的电流为２．２Ａ，写出该电路中电流Ｉ关于
电阻Ｒ的函数表达式．
（３）若（２）中的电路如图所示，调节滑动变阻器
Ｒ１，使通过灯泡的电流比（２）中测得的值减
少０．２Ａ，那么Ｒ１连入电路的阻值将会发生
怎样的变化？（提示：设灯泡电阻恒定）
３．（２０２４广西百色期末）【综合与实践】
如图①，将一长方体放置于一水平玻璃桌面上，
按不同的方式摆放实验，记录了桌面所受压强ｐ
与受力面积Ｓ的数据关系如表所示：（Ｍ９１０６００５）
桌面所受压强
ｐ（Ｐａ）
２５０
４００
５００
８００
受力面积Ｓ
（ｍ
２）
０．８
０．５
ａ
０．２５
（１）压强的计算公式是ｐ＝Ｆ
Ｓ，根据实验过程及
表中数据，你认为在压强（ｐ）、压力（Ｆ）和受
力面积（Ｓ）中，哪一个量不变？
（２）求出压强ｐ（Ｐａ）关于受力面积Ｓ（ｍ
２）的函
数表达式及ａ的值．
（３）如图②，将另一长、宽、高分别为６０ｃｍ，
４０ｃｍ，１０ｃｍ，且与原长方体质量相同的长
方体放置于该水平玻璃桌面上．若该玻璃桌
面能承受的最大压强为４０００Ｐａ，问：这种
摆放方式是否安全？请判断并说明理由．
图①
图②
８
１
１
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１１９
期末素养综合测试（一）
第一章至第六章
满分
１２０分
限时
１００分钟
答案
Ｐ１９５
一、选择题（本大题共１０小题，每小题３分，共３０分）
１．（２０２３福建中考）下图是由一个长方体和一个圆
柱组成的几何体，它的俯视图是
（
）
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
２．（２０２３河北保定竞秀期中）已知关于ｘ的一元二次
方程（ａ－１）ｘ
２－２ｘ＋ａ
２－１＝０有一个根为ｘ＝０，则
ａ的值为
（
）
Ａ．０
Ｂ．±１
Ｃ．１
Ｄ．－１
３．（２０２３云南中考）若点Ａ（１，３）是反比例函数ｙ＝
ｋ
ｘ（ｋ≠０）图象上一点，则常数ｋ的值为（
）
Ａ．３
Ｂ．－３
Ｃ．３
２
Ｄ．－３
２
４．（２０２４河南驻马店期末）韩梅将水浒人物宋江和
李逵的画像及其绰号制成４张无差别卡片（除
正面图案和文字不同外，其他完全相同），将卡
片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则抽取的
卡片上的人物画像与绰号恰好对应的概率是
（
）
Ａ．１
５
Ｂ．１
３
Ｃ．１
４
Ｄ．１
２
５．（２０２４河南安阳期末）如图，ｌ１∥ｌ２∥ｌ３，若ＡＢ＝２，
ＢＣ＝３，则ＤＥ
ＤＦ的值为
（
）
Ａ．２
３
Ｂ．３
５
Ｃ．２
５
Ｄ．３
４
６．（２０２４河南叶县期末）如图，在
平行四边形ＡＢＣＤ中，Ｅ、Ｆ是
对角线ＡＣ上的两点（不与点
Ａ、Ｃ重合），且ＡＥ＝ＣＦ，分别连接ＢＥ、ＢＦ、ＤＥ、
ＤＦ，则下列结论错误的是
（
）
Ａ．四边形ＢＦＤＥ是平行四边形
Ｂ．若四边形ＡＢＣＤ是菱形，那么四边形ＢＦＤＥ也
是菱形
Ｃ．若四边形ＡＢＣＤ是正方形，那么四边形ＢＦＤＥ
是菱形
Ｄ．若四边形ＡＢＣＤ是矩形，那么四边形ＢＦＤＥ
也是矩形
７．跨学科·物理（２０２４山东莘县期末）在物理学中，
功率表示做功的快慢，功与做功时间的比叫做
功率，即所做的功一定时，功率Ｐ（Ｗ）与做功所
用的时间ｔ（ｓ）成反比例函数关系，图象如图所
示，下列说法不正确的是
（
）
Ａ．Ｐ与ｔ的函数关系式为Ｐ＝６００００
ｔ
Ｂ．当ｔ＝５ｓ时，Ｐ＝１２０００Ｗ
Ｃ．当ｔ＞５ｓ时，Ｐ＞１２０００Ｗ
Ｄ．Ｐ随ｔ的增大而减小
９
１
１
@@0@
１２０
８．（２０２３福建南平期中）生物兴趣小组的学生将自
己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组
共互赠了１８２件，那么该组共有学生
（
）
Ａ．１２名
Ｂ．１３名
Ｃ．１４名
Ｄ．１５名
９．（２０２３河北邯郸大名一中期末）如图，小明在Ａ时
测得某树的影长为３ｍ，Ｂ时又测得该树的影长
为２ｍ．若两次日照的光线互相垂直，则树的高
度为
（
）
Ａ．６ｍ
Ｂ．２３ｍ
Ｃ．６ｍ
Ｄ．５ｍ
第９题图
第１０题图
１０．（２０２３四川成都武侯一诊）如图，已知直线ｌ是线
段ＡＢ的垂直平分线，ｌ与ＡＢ相交于点Ｃ，点Ｄ
是位于直线ＡＢ下方的ｌ上的一动点，连接
ＡＤ，ＢＤ．过点Ａ作ＡＥ∥ＢＤ，过点Ｂ作ＢＥ⊥ＡＥ，
ＡＥ与ＢＥ相交于点Ｅ．若ＡＢ＝６，设ＡＤ＝ｘ，ＡＥ＝
ｙ，则ｙ关于ｘ的函数关系用图象可以大致表
示为
（
）
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
二、填空题（本大题共８小题，每小题３分，共２４分）
１１．（２０２４河南邓州期末）请在横线上填写一个恰当
的整数，使方程２ｘ
２－５ｘ＋
＝０
有两个不相等的实数根．
１２．一题多解（２０２４江苏沭阳期末）若ｘ
ｙ＝２
７，则
ｘ＋ｙ
ｙ＝
．
１３．（２０２３天津津南期末）一名球员练习投篮的结果
记录如表：
投篮
次数ｎ
５０
１００
１５０
２００
２５０
３００
５００
投中
次数ｍ
２８
６０
７８
１０４
１２３
１５２
２５１
投中
频率ｍ
ｎ
０．５６０．６００．５２０．５２
.
０．５０
先将表中数据补全（精确到０．０１）；再根据以上
数据估计，这名球员投篮一次，投中的概率是
．（精确到０．１）
１４．情境题·现实生活（２０２２湖南娄底中考）九年级
融融陪同父母选购家装木地板，她感觉某品牌
木地板拼接图（如实物图）比较美观，通过手
绘（如图）、测量、计算发现点Ｅ是ＡＤ的黄金
分割点，即ＤＥ≈０．６１８ＡＤ，延长ＨＦ与ＡＤ相交
于点Ｇ，则ＥＧ≈
ＤＥ．（精确到０．００１）
１５．（２０２３山东青岛月考）出
门即公园，入眼皆美景．
近年来随着“口袋公园”
的相继建设，市民的幸福感在不断提升．如图，
在某口袋公园内有一块长１６ｍ，宽９ｍ的矩形
小广场，中间建造了一个面积为小广场面积一
半的喷泉景观，已知喷泉四周小路的宽度都相
等．若设小路的宽度为ｘｍ，则列出的方程为
．
０
２
１
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１２１
１６．（２０２４山西大同期末）某几何体的三视图如图所
示，根据图中提供的数据可知，该几何体的体
积为
ｃｍ
３．
１７．（２０２３山东青岛市南期中）如图，在△ＡＢＣ中，中
线ＢＥ、ＣＤ相交于点Ｏ，连接ＤＥ，下列结论：
①ＤＥ
ＢＣ＝１
２；②
Ｓ△ＤＯＥ
Ｓ△ＣＯＢ
＝１
２；③ＡＤ
ＡＢ＝ＯＥ
ＯＢ；④
Ｓ△ＤＯＥ
Ｓ△ＡＤＣ
＝
１
６．其中正确的有
（写序号）．
第１７题图
第１８题图
１８．（２０２２贵州黔东南州中考）如图，折叠边长为
４ｃｍ的正方形纸片ＡＢＣＤ，折痕是ＤＭ，点Ｃ落
在点Ｅ处，分别延长ＭＥ、ＤＥ交ＡＢ于点Ｆ、Ｇ，
若点Ｍ是ＢＣ边的中点，则ＦＧ＝
ｃｍ．
三、解答题（共６６分）
１９．［答案含评分细则］（２０２４河南郑州一中教育集团
紫荆中学月考）（１０分）解下列方程：
（１）２ｘ（ｘ＋１）＝ｘ＋１．（２）（ｘ＋３）（ｘ＋７）＝－２．
２０．［答案含评分细则］新考向·尺规作图（６分）用
圆规、无刻度的直尺作图，不写作法，但要保留
作图痕迹．
已知：矩形ＡＢＣＤ．
求作：菱形ＡＥＣＦ，使点Ｅ，Ｆ分别在边ＢＣ，
ＡＤ上．
２１．［答案含评分细则］跨学科·物理（２０２３吉林长春
外国语实验学校期末）（８分）如图，电路上有①
②③３个开关和一个小灯泡，若任意闭合电路
上２个开关，用画树状图或列表的方法，求小
灯泡发光的概率．
２２．［答案含评分细则］（２０２３安徽萧县一模）（１０分）
为检测某品牌一次性注射器的质量，将注射器
里充满一定量的气体，当温度不变时，注射器
里的气体的压强ｐ（ｋＰａ）与气体体积Ｖ（ｍＬ）满
足反比例函数关系，其图象如图所示．
（１）求反比例函数的表达式．
（２）当气体体积为６０ｍＬ时，求气体的压强．
（３）如果注射器内气体的压强不能超过
５００ｋＰａ，那么其体积Ｖ要控制在什么
范围？
１
２
１
@@0@
１２２
２３．［答案含评分细则］（１０分）一块材料（△ＡＢＣ）的
形状是等腰三角形，底边ＢＣ＝１２０ｃｍ，高ＡＤ＝
１２０ｃｍ．
（１）若把这块材料加工成正方形零件，使正方
形的一边在ＢＣ上，其余两个顶点分别在
ＡＢ，ＡＣ上（如图１），则这个正方形的边长
为多少？
（２）若把这块材料加工成正方体零件（如图２，
阴影部分为正方体展开图，Ｍ，Ｎ在ＡＢ，ＡＣ
上，ＭＮ∥ＢＣ），则这个正方体的表面积为
多少？
图１
图２
２４．［答案含评分细则］（２０２４四川巴中期末）（１０分）
某商店秋季开学前，购进一批学生用双肩包进
行销售，进货价和销售价如下表（利润＝销售
价－进货价）：
类别
价格
Ⅰ类学生用
双肩包
Ⅱ类学生用
双肩包
进货价（元／件）
５０
４０
销售价（元／件）
６５
５０
（１）商店用４３５０元购进Ⅰ、Ⅱ类两款双肩包
共１００件，求两款双肩包分别购进的件数．
（２）开学季过后，商店老板打算把Ⅱ类学生用
双肩包降价销售，如果按照原价销售，平
均每天可售６件．经调查发现，每件每降价
１元，平均每天可多售２件，将销售价定为
每件多少元时，才能使Ⅱ类学生用双肩包
平均每天销售利润为７２元？
２５．［答案含评分细则］（２０２３四川成都锦江一诊）（１２
分）如图１，▱ＡＢＣＤ的各内角的平分线分别相
交于点Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ．
（１）求证：四边形ＥＦＧＨ为矩形．
（２）如图２，当▱ＡＢＣＤ为矩形时．
①求证：四边形ＥＦＧＨ为正方形．
②若ＡＤ＝１０，四边形ＥＦＧＨ的面积为８，求
ＡＢ的长．
图１
图２
２
２
１
@@0@
１２３
期末素养综合测试（二）
第一章至第六章
满分
１２０分
限时
１００分钟
答案
Ｐ１９８
一、选择题（本大题共１０小题，每小题３分，共３０分）
１．（２０２２江苏镇江月考）若方程（ｍ＋２）ｘ
ｍ
２－２＋６ｘ－９＝
０是关于ｘ的一元二次方程，则
（
）
Ａ．ｍ≠－２
Ｂ．ｍ＝±２
Ｃ．ｍ＝－２
Ｄ．ｍ＝２
２．（２０２２上海普陀期末）若反比例函数ｙ＝ｋ＋２
ｘ的图象位
于第二、四象限，则ｋ的取值范围是
（
）
Ａ．ｋ＜２
Ｂ．ｋ＜－２
Ｃ．ｋ＞２
Ｄ．ｋ＞－２
３．（２０２３天津中考）右图是一个由６个相
同的正方体组成的立体图形，它的主
视图是
（
）
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
４．（２０２４内蒙古包头东河期末）如图，某位同学用带
有刻度的直尺在数轴上作图，若ＰＱ∥ＭＮ，点
Ｑ，点Ｍ在直尺上，且分别与直尺上的刻度３和
１对齐，数轴上点Ｎ表示的数是１０，则点Ｐ表示
的数是
（
）
Ａ．５
２
Ｂ．３
Ｃ．１０
３
Ｄ．５
５．已知四边形ＡＢＣＤ中，对角线ＡＣ，ＢＤ相交于点
Ｏ，且ＯＡ＝ＯＢ＝ＯＣ＝ＯＤ，则下列关于四边形
ＡＢＣＤ的结论一定成立的是
（
）
Ａ．四边形ＡＢＣＤ是正方形
Ｂ．四边形ＡＢＣＤ是菱形
Ｃ．四边形ＡＢＣＤ是矩形
Ｄ．Ｓ四边形ＡＢＣＤ＝１
２ＡＣ·ＢＤ
６．跨学科·物理（２０２４安徽泗县期末）在如图所示
的电路中，随机闭合开关Ｓ１，Ｓ２，Ｓ３中的两个，能
让红灯发光的概率是
（
）
Ａ．１
３
Ｂ．２
３
Ｃ．３
４
Ｄ．１
２
７．情境题·数学文化（２０２４河南辉县期末）《九章算
术》中记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅
相去适一丈，问户高、广各几何？” 大意：有一形
状是矩形的门，它的高比宽多６尺８寸，它的对
角线长１丈，问它的高与宽各是多少？利用方
程思想，设矩形门宽为ｘ尺，则依题意所列方程
为（１丈＝１０尺，１尺＝１０寸）
（
）
Ａ．ｘ
２＋（ｘ＋６．８）
２＝１０
２
Ｂ．ｘ
２＋（ｘ－６．８）
２＝１０
２
Ｃ．ｘ（ｘ＋６．８）＝１０
２
Ｄ．ｘ（ｘ－６．８）＝１０
２
８．新考向·尺规作图（２０２３广东广州增城期中）在
△ＡＣＢ中，∠ＡＢＣ＝９０°，∠Ａ＞∠Ｃ，用直尺和圆
规在ＡＣ上确定点Ｄ，使△ＢＡＤ∽△ＣＢＤ，根据
作图痕迹判断，正确的是
（
）
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
３
２
１
@@0@
１２４
９．（２０２４贵州铜仁期末）得天独厚的自然条件和生
态资源，让铜仁这片黔东沃土孕育出多个地理
标志产品．某区举行地理标志产品知识竞赛，如
图，Ｓ矩形ＡＢＣＯ、Ｓ矩形ＤＥＦＯ、Ｓ矩形ＧＨＩＯ、Ｓ矩形ＪＫＬＯ分别描述
了甲、乙、丙、丁四个社区居民竞赛成绩的优秀
人数，已知ｙ表示社区居民竞赛成绩的优秀率，
ｘ表示该社区参赛居民人数，点Ｂ和点Ｋ在同
一条反比例函数图象上，则这四个社区在这次
知识竞赛中优秀人数最多的是
（
）
Ａ．甲
Ｂ．乙
Ｃ．丙
Ｄ．丁
第９题图
第１０题图
１０．（２０２２四川泸州中考）如图，在边长为３的正方
形ＡＢＣＤ中，点Ｅ是边ＡＢ上的点，且ＢＥ＝
２ＡＥ，过点Ｅ作ＤＥ的垂线交正方形外角
∠ＣＢＧ的平分线于点Ｆ，交边ＢＣ于点Ｍ，连接
ＤＦ交边ＢＣ于点Ｎ，则ＭＮ的长为
（
）
Ａ．２
３
Ｂ．５
６
Ｃ．６
７
Ｄ．１
二、填空题（本大题共８小题，每小题３分，共２４分）
１１．（２０２２湖南南县期末）在平面直角坐标系ｘＯｙ
中，某反比例函数的图象经过点Ａ（１，２）和点
Ｂ（－１，ｍ），则ｍ的值为
．
１２．（２０２３江苏扬州江都二中期末）已知ｘ１、ｘ２是关于
ｘ的方程ｘ
２－２ｘ－５＝０的两个根，则ｘ１＋ｘ２的值
等于
．
１３．（２０２４四川成都郫都期末）如图所示的是△ＡＤＥ、
△ＡＢＣ和３张都写有一个条件的卡片．从这３
张卡片中一次性随机抽取２张，其条件能判定
△ＡＤＥ∽△ＡＢＣ的概率为
．
１４．（２０２４江苏盐城期末）若干桶方便面摆放在桌子
上，如图所示的是它的三视图，则这一堆方便
面共有
桶．
１５．十字模型（２０２３辽宁丹东中考）如图，在正方形
ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝１２，点Ｅ，Ｆ分别在边ＢＣ，ＣＤ
上，ＡＥ与ＢＦ相交于点Ｇ，若ＢＥ＝ＣＦ＝５，则ＢＧ
的长为
．
第１５题图
第１６题图
１６．（２０２３陕西西安交大附中期末）如图，菱形ＡＢＣＤ
的对角线ＡＣ、ＢＤ相交于点Ｏ，过点Ｄ作ＤＨ⊥
ＡＢ于点Ｈ，连接ＯＨ，ＯＨ＝２，若菱形ＡＢＣＤ的
面积为１２，则ＡＢ的长为
．
１７．如图，正方形ＡＢＣＤ的边长为４，Ｅ是ＢＣ上的
一点，且ＢＥ＝１，Ｐ是对角线ＡＣ上的一动点，
连接ＰＢ，ＰＥ，当点Ｐ在ＡＣ上运动时，△ＰＢＥ
周长的最小值是
．
第１７题图
第１８题图
１８．如图，在平面直角坐标系中，已知Ａ（－１，０），
Ｂ（０，２），将△ＡＢＯ沿直线ＡＢ翻折后得到
△ＡＢＣ，若反比例函数ｙ＝ｋ
ｘ（ｘ＜０）的图象经过
点Ｃ，则ｋ＝
．
４
２
１
@@0@
１２５
三、解答题（共６６分）
１９．［答案含评分细则］（２０２２福建泉州期末）（８分）已
知关于ｘ的方程ｘ
２－（２ｋ＋１）ｘ＋ｋ
２＝４．
（１）若方程有两个不相等的实数根，求ｋ的取
值范围．
（２）若该方程有一个根是０，求ｋ的值及该方
程的另一个根．
２０．［答案含评分细则］情境题·国防科技（２０２２广西灌阳
一模）（８分）嫦娥、神舟、北斗、天问被称为中国
航天的“四大天王”．２０２０年“北斗” 组网、“天
问”问天、“ 嫦五” 探月，一个个好消息从太空
传来，照亮了中国航天界的未来！小玲对航空
航天非常感兴趣，她收集到了嫦娥五号、神舟
十一号、北斗三号、天问一号的模型图，依次制
成编号为Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ的四张卡片（背面完全相
同），将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．
（１）小玲从中随机抽取一张卡片是“ 北斗三
号”的概率为 ．
（２）小玲从四张卡片中随机抽取一张卡片（不
放回），再从余下的卡片中随机抽取一张，
请用列表或画树状图的方法求抽到的两
张卡片恰好是编号为Ａ（嫦娥五号）和
Ｄ（天问一号）的概率．
２１．［答案含评分细则］（２０２４山东济南历下期中）（８
分）如图，在平面直角坐标系中，五边形
ＯＡＢＣＤ的五个顶点分别为Ｏ（０，０），Ａ（－１，３），
Ｂ（１，４），Ｃ（４，２），Ｄ（３，０）．
（１）以原点Ｏ为位似中心，在原点Ｏ的同侧作
五边形ＯＡＢＣＤ的位似图形ＯＡ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１，使
它与五边形ＯＡＢＣＤ的相似比为２∶１．
（２）Ｃ１的坐标为 ．
（３）已知五边形ＯＡＢＣＤ的面积为１３．５，则五边
形ＯＡ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１的面积为 ．
２２．［答案含评分细则］（２０２３黑龙江大庆中
考）（８分）一次函数ｙ＝－ｘ＋ｍ与反
比例函数ｙ＝ｋ
ｘ的图象交于Ａ，Ｂ两
点，点Ａ的坐标为（１，２）．
（１）求一次函数和反比例函数的表达式．
（２）求△ＯＡＢ的面积．
（３）过动点Ｔ（ｔ，０）作ｘ轴的垂线ｌ，ｌ与一次函
数ｙ＝－ｘ＋ｍ和反比例函数ｙ＝ｋ
ｘ的图象分
别交于Ｍ，Ｎ两点，当Ｍ在Ｎ的上方时，请
直接写出ｔ的取值范围．
５
２
１
@@0@
１２６
２３．［答案含评分细则］（２０２３重庆渝中期末）（１０分）
某体育场准备利用一堵呈“Ｌ”形的围墙（粗线
Ａ—Ｂ—Ｃ表示墙，墙足够高）改建室外篮球场，
如图所示，已知ＡＢ⊥ＢＣ，ＡＢ＝１０米，ＢＣ＝７０
米，现计划用总长为１２１米的围网围建呈“日”
字形的两个篮球场，并在每个篮球场开一个宽
２米的门（细线表示围网，两个篮球场之间用
围网ＧＨ隔开），为了充分利用墙体，点Ｆ必须
在线段ＢＣ上，设ＥＦ的长为ｘ米．
（１）ＤＥ＝ 米．（用含ｘ的代数式表
示）
（２）若围成的篮球场ＢＤＥＦ的面积为１５００平
方米，求ＥＦ的长．（围网及墙体所占面积
忽略不计）
（３）篮球场ＢＤＥＦ的面积能否达到２０００平方
米？请说明理由．
２４．［答案含评分细则］（２０２３山东青岛市南期中）（１２
分）如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＣ＝
６ｃｍ，ＢＣ＝８ｃｍ．点Ｐ从点Ａ出发，沿ＡＢ方向
以每秒２ｃｍ的速度向终点Ｂ运动，同时点Ｑ
从点Ｂ出发，沿ＢＣ方向以每秒１ｃｍ的速度向
终点Ｃ运动，将△ＰＱＣ沿ＢＣ翻折，点Ｐ的对
应点为点Ｐ′．设点Ｑ运动的时间为ｔ秒．
（１）若△ＡＣＰ的面积为ｙｃｍ
２，请用ｔ表示ｙ．
（２）ｔ为何值时，△ＢＰＱ与△ＡＢＣ相似？
（３）ｔ为何值时，四边形ＱＰＣＰ′为菱形？
２５．［答案含评分细则］（２０２４湖南岳阳期末）（１２分）
【问题情境】如图１，小明把三角板ＥＦＧ
（∠ＧＦＥ＝３０°）放置到矩形ＡＢＣＤ中，使得顶点
Ｅ、Ｆ、Ｇ分别落在ＡＤ、ＣＤ、ＡＢ上，则线段ＥＤ与
ＡＧ的数量关系为 （不用证明）．
【变式探究】如图２，小明把三角板ＥＦＧ
（∠ＧＦＥ＝３０°）放置到矩形ＡＢＣＤ中，使得顶点
Ｅ、Ｆ、Ｇ分别在ＡＤ、ＢＣ、ＡＢ边上，若ＧＡ＝４，
ＡＥ＝６，求ＢＧ的长．
【拓展应用】如图３，小明把三角形ＥＦＧ放到平
行四边形ＡＢＣＤ中，使得顶点Ｅ、Ｆ、Ｇ分别在
ＡＤ、ＢＣ、ＡＢ边上，若ＡＢ
ＡＤ＝４
５，ＡＥ
ＡＤ＝３
１０，∠ＦＥＧ＝
∠ＢＡＤ，求ＥＧ
ＥＦ的值．
图１
图２
图３
６
２
１
附录１
附录：命题多维细目表
本章素养综合检测命题多维细目表
试卷
必备知识
章节
知识点
题型
题号
分值
题目
属性
关键能力素养表现
难度预测
容易题中等题难度题
第
一
章
素
养
基
础
测
试
卷
（
单
元
检
测
）
１．１ 菱形的性
质与判定
菱形的定义与性质
选择题
１
３
模拟
逻辑思维推理能力
√
选择题
４
３
模拟
逻辑思维推理能力
√
选择题
９
３
中考
逻辑思维运算能力
√
填空题
１４
３
中考
逻辑思维推理能力
√
解答题
１６
６
模拟
逻辑思维推理能力
√
菱形的判定
选择题
２
３
模拟
逻辑思维推理能力
√
填空题
１３
３
中考
逻辑思维推理能力
√
选择题
１０
３
中考
逻辑思维推理能力
√
解答题
１７
６
模拟
逻辑思维推理能力
√
解答题
２２
１１
模拟
创新能力几何直观
√
１．２ 矩形的性
质与判定
矩形的定义与性质
选择题
３
３
改编
逻辑思维几何直观
√
解答题
２０
８
改编
逻辑思维运算能力
√
直角三角形斜边上的中线
的性质
填空题
１１
３
改编
逻辑思维几何直观
√
选择题
７
３
模拟
逻辑思维推理能力
√
矩形的判定
解答题
１９
７
改编
逻辑思维推理能力
√
选择题
６
３
模拟
逻辑思维几何直观
√
１．３ 正方形的
性质与判定
正方形的定义与性质
选择题
５
３
模拟
逻辑思维几何直观
√
选择题
８
３
模拟
逻辑思维几何直观
√
填空题
１２
３
模拟
逻辑思维运算能力
√
填空题
１５
３
模拟
逻辑思维运算能力
√
解答题
１８
７
改编
逻辑思维推理能力
√
解答题
２１
１０
模拟
逻辑思维几何直观
√
合计
１００
附录 ２
续表
试卷
必备知识
章节
知识点
题型
题号
分值
题目
属性
关键能力素养表现
难度预测
容易题中等题难度题
第
二
章
素
养
基
础
测
试
卷
（
单
元
检
测
）
２．１ 认识一元
二次方程
一元二次方程的相关概念
及一般形式
选择题
１
３
模拟
数学建模模型观念
√
选择题
２
３
原创
数学建模模型观念
√
选择题
５
３
中考
数学建模运算能力
√
填空题
１１
４
模拟
数学建模抽象能力
√
填空题
１３
４
模拟
数学建模运算能力
√
一元二次方程根的估算
选择题
３
３
模拟
运算求解运算能力
√
２．２ 用配方法
求解一元二次
方程
用配方法求解一元二次
方程
选择题
４
３
模拟
运算求解运算能力
√
解答题
１８
７
模拟
运算求解运算能力
√
２．３ 用公式法
求解一元二次
方程
用公式法求解一元二次
方程
解答题１７（２）
４
模拟
运算求解运算能力
√
根的判别式
选择题
６
３
中考
运算求解运算能力
√
选择题
９
３
改编
数学建模抽象能力
√
选择题
１２
４
改编
数学建模抽象能力
√
解答题
１９
７
中考
运算求解运算能力
√
２．４ 用因式分
解法求解一元
二次方程
用因式分解法求解一元二
次方程
选择题
７
３
中考
运算求解运算能力
√
解答题１７（１）
４
中考
运算求解运算能力
√
２．５ 一元二次
方程根与系数
的关系
一元二次方程的根与系数
的关系
填空题
１４
４
改编
运算求解运算能力
√
填空题
１５
４
中考
运算求解运算能力
√
２．６ 应用一元
二次方程
一元二次方程的实际应用
选择题
８
３
模拟
数学建模应用意识
√
选择题
１０
３
改编
数学建模应用意识
√
填空题
１６
４
模拟
数学建模应用意识
√
解答题
２０
７
改编
数学建模应用意识
√
解答题
２１
８
模拟
数学建模应用意识
√
解答题
２２
９
中考
数学建模应用意识
√
合计
１００
附录３
续表
试卷
必备知识
章节
知识点
题型
题号
分值
题目
属性
关键能力素养表现
难度预测
容易题中等题难度题
第
三
章
素
养
基
础
测
试
卷
（
单
元
检
测
）
３．１ 用树状图
或表格求概率
用树状图或表格求概率
选择题
２
３
模拟
数据处理运算能力
√
选择题
５
３
模拟
数据处理运算能力
√
选择题
６
３
改编
数据处理运算能力
√
选择题
７
３
改编
数据处理运算能力
√
选择题
８
３
改编
数据处理运算能力
√
选择题
９
３
改编
数据处理运算能力
√
选择题
１０
３
改编
数据处理运算能力
√
填空题
１２
４
中考
数据处理运算能力
√
填空题
１３
４
中考
数据处理运算能力
√
填空题
１４
４
中考
数据处理运算能力
√
填空题
１５
４
改编
数据处理运算能力
√
填空题
１６
４
改编
数据处理运算能力
√
解答题
１７
８
改编
数据处理运算能力
√
解答题
１８
８
中考
数据处理运算能力
√
解答题
１９
１０
中考
数据处理运算能力
√
解答题
２０
１０
中考
数据处理运算能力
√
解答题
２１
１０
中考
数据处理运算能力
√
３．２ 用频率估
计概率
用频率估计概率
选择题
１
３
改编
数据处理数据观念
√
选择题
３
３
模拟
数据处理数据观念
√
选择题
４
３
模拟
数据处理数据观念
√
填空题
１１
４
中考
数据处理运算能力
√
合计
１００
附录 ４
续表
试卷
必备知识
章节
知识点
题型
题号
分值
题目
属性
关键能力素养表现
难度预测
容易题中等题难度题
第
四
章
素
养
基
础
测
试
卷
（
单
元
检
测
）
４．１ 成比例
线段
线段的比、成比例线段及
比例的性质
选择题
１
３
模拟
运算求解运算能力
√
选择题
２
３
模拟
运算求解运算能力
√
填空题
１１
３
模拟
运算求解运算能力
√
４．２ 平行线分
线段成比例
平行线分线段成比例定理
及推论
选择题
３
３
模拟
运算求解几何直观
√
选择题
１０
３
模拟
运算求解几何直观
√
填空题
１２
３
模拟
运算求解几何直观
√
４．３ 相似多
边形
相似多边形及性质
选择题
５
３
模拟
运算求解几何直观
√
４．４ 探索三角
形相似的条件
４．５ 相似三角
形判定定理的
证明
相似三角形的判定
选择题
７
３
模拟
运算求解几何直观
√
选择题
８
３
中考
运算求解几何直观
√
解答题
１８
７
改编
逻辑思维推理能力
√
黄金分割
填空题
１３
３
中考
数学建模应用意识
√
４．６ 利用相似
三角形测高
相似三角形的实际应用
解答题
１９
８
模拟
数学建模应用意识
√
解答题
２０
８
模拟
运算求解几何直观
√
解答题
２１
１０
模拟
运算求解应用意识
√
４．７ 相似三角
形的性质
相似三角形的性质
选择题
６
３
中考
运算求解几何直观
√
选择题
９
３
中考
运算求解几何直观
√
填空题
１４
３
中考
运算求解运算能力
√
填空题
１５
３
中考
运算求解运算能力
√
解答题
１６
６
模拟
运算求解运算能力
√
解答题
２２
１０
模拟
运算求解应用意识
√
４．８ 图形的
位似
位似图形的性质及平面直
角坐标系中的位似变换
选择题
４
３
中考
运算求解几何直观
√
解答题
１７
６
模拟
运算求解几何直观
√
合计
１００
附录５
续表
试卷
必备知识
章节
知识点
题型
题号
分值
题目
属性
关键能力素养表现
难度预测
容易题中等题难度题
第
五
章
素
养
基
础
测
试
卷
（
单
元
检
测
）
５．１ 投影
投影与中心投影
选择题
４
３
模拟
空间想象空间观念
√
填空题
１１
３
模拟
空间想象空间观念
√
填空题
１２
３
模拟
空间想象运算能力
√
解答题
１７
８
改编
空间想象空间观念
√
解答题
２２
１０
改编
空间想象空间观念
√
平行投影
选择题
１
３
模拟
空间想象空间观念
√
选择题
２
３
模拟
空间想象空间观念
√
５．２ 视图
视图及常见几何体的三
视图
选择题
３
３
模拟
空间想象空间观念
√
选择题
５
３
模拟
空间想象空间观念
√
选择题
６
３
模拟
空间想象空间观念
√
选择题
８
３
改编
空间想象空间观念
√
三视图的画法
解答题
１８
８
模拟
空间想象运算能力
√
解答题
１９
８
原创
空间想象空间观念
√
由三视图确定物体的形状
及计算
选择题
７
３
模拟
空间想象空间观念
√
选择题
９
３
模拟
空间想象空间观念
√
选择题
１０
３
模拟
空间想象运算能力
√
填空题
１３
３
改编
空间想象运算能力
√
填空题
１４
３
改编
空间想象空间观念
√
填空题
１５
３
改编
空间想象空间观念
√
填空题
１６
３
模拟
空间想象空间观念
√
解答题
２０
９
改编
空间想象几何直观
√
解答题
２１
９
模拟
空间想象几何直观
√
合计
１００
第
六
章
素
养
基
础
测
试
卷
（
单
元
检
测
）
６．１ 反比例
函数
反比例函数定义
选择题
１
３
模拟
数学建模抽象能力
√
反比例函数表达式的确定
填空题
１４
３
模拟
数学建模抽象能力
√
解答题
１６
６
改编
数学建模抽象能力
√
６．２ 反比例函
数的图象与
性质
反比例函数图象和性质
选择题
２
３
模拟
运算求解模型观念
√
选择题
３
３
模拟
运算求解模型观念
√
选择题
４
３
模拟
运算求解模型观念
√
选择题
５
３
模拟
运算求解模型观念
√
选择题
６
３
模拟
运算求解几何直观
√
选择题
７
３
改编
运算求解模型观念
√
选择题
９
３
改编
运算求解模型观念
√
填空题
１１
３
中考
运算求解几何直观
√
填空题
１５
３
中考
运算求解几何直观
√
解答题
１７
８
模拟
运算求解几何直观
√
解答题
１９
８
模拟
运算求解几何直观
√
解答题
２１
８
中考
运算求解几何直观
√
解答题
２２
１０
中考
运算求解几何直观
√
反比例函数比例系数ｋ的
几何意义
选择题
８
３
模拟
运算求解几何直观
√
６．３ 反比例函
数的应用
利用反比例函数解决实际
问题
选择题
１０
３
模拟
运算求解几何直观
√
填空题
１２
３
中考
数学建模应用意识
√
填空题
１３
３
中考
数学建模应用意识
√
解答题
１８
８
模拟
数学建模应用意识
√
解答题
２０
８
模拟
数学建模应用意识
√
合计
１００
附录 ６
期中、期末素养综合检测命题多维细目表
试卷
必备知识
章节
知识点
题型
题号
分值
题目
属性
关键能力素养表现
难度预测
容易题中等题难度题
期
中
素
养
综
合
测
试
卷
第１章
菱形的性质与判定
选择题
９
３
中考
逻辑思维推理能力
√
填空题
１２
３
模拟
逻辑思维运算能力
√
矩形的性质与判定
填空题
１５
３
模拟
逻辑思维运算能力
√
填空题
１７
３
改编
逻辑思维运算能力
√
解答题
２４
１２
中考
逻辑思维运算能力
√
直角三角形斜边上的中线
的性质
选择题
２
３
模拟
数学建模推理能力
√
正方形的性质与判定
选择题
５
３
改编
逻辑思维推理能力
√
填空题
１６
３
模拟
逻辑思维运算能力
√
解答题
２３
１２
模拟
逻辑思维推理能力
√
第２章
一元二次方程定义及相关
概念
选择题
１
３
模拟
逻辑思维推理能力
√
选择题
３
３
模拟
逻辑思维推理能力
√
填空题
１１
３
模拟
逻辑思维推理能力
√
一元二次方程的解法
选择题
１０
３
模拟
逻辑思维运算能力
√
解答题
１９
１０
模拟
运算求解运算能力
√
一元二次方程根的判别式
及根与系数的关系
选择题
７
３
模拟
运算求解运算能力
√
解答题
２０
１０
改编
运算求解运算能力
√
一元二次方程的实际应用
选择题
８
３
中考
数学建模模型观念
√
填空题
１４
３
模拟
数学建模模型观念
√
解答题
２２
１２
改编
数学建模模型观念
√
第３章
用树状图或表格求概率
选择题
４
３
改编
运算求解运算能力
√
选择题
６
３
改编
运算求解运算能力
√
填空题
１８
３
改编
运算求解运算能力
√
解答题
２１
１０
模拟
运算求解运算能力
√
用频率估计概率
填空题
１３
３
模拟
运算求解运算能力
√
合计
１２０
附录７
续表
试卷
必备知识
章节
知识点
题型
题号
分值
题目
属性
关键能力素养表现
难度预测
容易题中等题难度题
期
末
素
养
综
合
测
试
卷
（
一
）
第１章
菱形的性质与判定
选择题
６
３
模拟
逻辑思维几何直观
√
解答题
２０
６
改编
空间想象空间观念
√
正方形的性质与判定
填空题
１８
４
中考
逻辑思维运算能力
√
第２章
一元二次方程定义及相关
概念
选择题
２
３
模拟
运算求解运算能力
√
一元二次方程的解法
解答题
１９
１０
模拟
运算求解运算能力
√
一元二次方程根的判别式
及根与系数的关系
填空题
１１
３
模拟
运算求解运算能力
√
一元二次方程的实际应用
选择题
８
３
模拟
数学建模应用意识
√
填空题
１５
３
模拟
数学建模应用意识
√
解答题
２４
１０
模拟
数学建模应用意识
√
第３章
用树状图或表格求概率
选择题
４
３
模拟
数据处理运算能力
√
解答题
２１
８
模拟
数据处理运算能力
√
用频率估计概率
填空题
１３
３
模拟
数据处理运算能力
√
第４章
成比例线段及比例的性质
填空题
１２
３
模拟
运算求解运算能力
√
平行线分线段成比例
选择题
５
３
模拟
数学建模应用意识
√
黄金分割
填空题
１４
３
中考
数学建模应用意识
√
相似三角形的判定和性质
填空题
１７
３
模拟
数学建模应用意识
√
解答题
２５
１２
模拟
逻辑思维几何直观
√
相似三角形的实际应用
选择题
９
３
模拟
空间想象应用意识
√
解答题
２３
８
模拟
数学建模应用意识
√
第５章
视图
选择题
１
３
模拟
空间想象空间观念
√
填空题
１６
３
模拟
空间想象空间观念
√
第６章
反比例函数的图象与性质
选择题
３
３
中考
运算求解模型观念
√
选择题
７
３
模拟
数学建模抽象能力
√
选择题
１０
３
模拟
数学建模抽象能力
√
解答题
２２
１０
模拟
数学建模应用意识
√
合计
１２０
附录 ８
续表
试卷
必备知识
章节
知识点
题型
题号
分值
题目
属性
关键能力素养表现
难度预测
容易题中等题难度题
期
末
素
养
综
合
测
试
卷
（
二
）
第１章
菱形的性质与判定
填空题
１６
３
模拟
逻辑思维几何直观
√
矩形的性质与判定
选择题
５
３
改编
逻辑思维几何直观
√
解答题
２５
１２
模拟
逻辑思维几何直观
√
正方形的性质与判定
选择题
１０
３
中考
逻辑思维运算能力
√
填空题
１７
３
改编
逻辑思维运算能力
√
填空题
１５
３
中考
运算求解运算能力
√
第２章
一元二次方程定义及相关
概念
选择题
１
３
模拟
运算求解运算能力
√
一元二次方程根的判别式
及根与系数的关系
填空题
１２
３
模拟
运算求解运算能力
√
解答题
１９
８
模拟
运算求解运算能力
√
一元二次方程的实际应用
选择题
７
３
模拟
数学建模应用意识
√
解答题
２３
１０
模拟
数学建模应用意识
√
第３章
用树状图或表格求概率
选择题
６
３
模拟
数据处理运算能力
√
解答题
２０
８
模拟
数据处理运算能力
√
用频率估计概率
填空题
３
模拟
数据处理运算能力
√
第４章
成比例线段及比例的性质
选择题
３
模拟
运算求解运算能力
√
填空题
３
模拟
运算求解运算能力
√
平行线分线段成比例
选择题
４
３
模拟
数学建模应用意识
√
黄金分割
填空题
３
中考
数学建模应用意识
√
相似三角形的判定和性质
填空题
８
３
模拟
数学建模应用意识
√
填空题
１３
３
模拟
逻辑思维几何直观
√
解答题
２４
１２
模拟
逻辑思维几何直观
√
相似三角形的实际应用
解答题
８
模拟
数学建模应用意识
√
位似图形
解答题
２１
８
模拟
数学建模几何直观
√
第５章
视图
选择题
３
３
中考
空间想象空间观念
√
填空题
１４
３
模拟
空间想象空间观念
√
第６章
反比例函数的图象与性质
选择题
２
３
模拟
运算求解模型观念
√
选择题
９
３
模拟
数学建模抽象能力
√
填空题
１１
３
模拟
数学建模抽象能力
√
填空题
１８
３
模拟
数学建模抽象能力
√
解答题
２２
８
模拟
数学建模应用意识
√
合计
１２０
