第三章 图形的平移与旋转压轴题
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一、图形的平移
类型一、
图形的平移问题
类型二、平面直角坐标系内的图形
平移问题
类型三、一次函数图象的
平移问题
二、图形的旋转
类型
四
、图形旋转的规律问题
类型
五
、图形旋转的性质应用
类型
六
、图形旋转的综合问题
类型
七
、中心对称图形的性质应用
一、图形的平移
2
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类型一、图形的平移问题
1．如图，直线m//n，点A 在直线m 上，BC 在直线n 上，构成
ABC，把
ABC 向右平移BC 长度的一半
得到
（如图①），再把
向右平移BC 长度的一半得到
（如图②），再继续上述的
平移得到图③，…，通过观察可知图①中有4 个三角形，图②中有8 个三角形，则第2020 个图形中三角形
的个数是（ ）
A．4040
B．6060
C．6061
D．8080
【答案】D
【分析】探究规律，利用规律解决问题即可．
【详解】解：观察图可得，第1 个图形中大三角形有2 个，小三角形有2 个，
第2 个图形中大三角形有4 个，小三角形有4 个，
第3 个图形中大三角形有6 个，小三角形有6 个，…
依次可得第n 个图形中大三角形有2n 个，小三角形有2n 个．
故第2019 个图形中三角形的个数是：2×2020+2×2020=8080．
故选：D．
【点睛】本题考查规律型问题，平行线的性质，平移变换等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属
于中考常考题型．
2．△ABC 是一块含有45º 的直角三角板，四边形DEFG 是长方形，D、G 分别在AB、AC 上，E、F 在BC
上。BC=16,DG=4，DE=6，现将长方形 DEFG 向右沿BC 方向平移，设水平移动的距离为d，长方形与直
角三角板的重叠面积为S，
（1）当水平距离d 是何值时，长方形 DEFG 恰好完全移出三角板；
（2）在移动过程中，请你用含有d 的代数式表示重叠面积S，并写出相应的d 的范围。
【答案】（1）10；（2）当0<d≤4 时，S=24-
；当4<d≤6 时，S=32-4d；当6<d≤10 时，S=
；当10<d 时,S=0.
【分析】（1）要使长方形完全移出，则点E 平移到了点C 处，此时d=EC，由等腰直角三角形的性质可知
∠B=45°，从而得到BE=DE=6.再用计算BC-BE 的值即可.
（2）分三种情况依次画出图形，再结合图形进行计算即可.
【详解】解：（1）∵△ABC 是等腰直角三角形，
∴∠B=∠C=45º.
∵四边形DEFG 是长方形，
∴∠DEF=∠GFE=90°.
∵∠DEF+∠BED=180°.
∴∠BED=90°.
∴BE=DE=6.
∵BE+CE=BC=16,
∴CE= BC-BE=16-6=10.
∴当水平距离d 是10 时，长方形 DEFG 恰好完全移出三角板；
(2)①当0<d≤4 时，如图1 所示，
∵∠GNM=∠FNC=∠C=45°，∠G=90°，
∴GN=GM=d.
∴S=长方形DEFG 的面积-△GMN 的面积
=24-
；
②当4<d≤6 时，如图2 所示，
4
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依题意可知：BE=6+d,FC=6-d.
∵BC=16,
∴EC=16-BE=10-d.
∵∠C=45°，
∴ME= EC =10-d.FN= FC=6-d.
∴S=△MEC 面积-△FCN 的面积
=
=
（10-d+6-d）(10-d-6+d)
=32-4d.
③当6<d≤10 时，如图2 所示，
∵EH=EC=10-d
∴S=
=
④当10<d 时,长方形DEFG 与△ABC 没有重叠部分，
∴S=0.
综上所述，当0<d≤4 时，S=24-
；当4<d≤6 时，S=32-4d；当6<d≤10 时，S=
；当
10<d 时,S=0.
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和长方形的性质，注意分类讨论不要漏解是解题的关键.
3．如图，已知线段
，点
是线段
外一点，连接
，
．将线段
沿
平移得到线段
．点
是线段
上一动点，连接
，
．
(1)依题意在图1 中补全图形，并证明：
；
(2)过点C 作直线
．在直线上取点
，使
．
①当
时，画出图形，并直接用等式表示
与
之间的数量关系；
②在点
运动的过程中，当点
到直线的距离最大时，
的度数是________（用含
的式子表示）．
【答案】(1)见解析
(2)①点
在直线
的上方时，
；点
在直线
的下方时，
；②
．
【分析】（1）作
，根据平行线的性质证明即可；
（2）①分两种情况，画出图形后，利用平行线的性质求解即可；②先确定点
到直线的最大距离就是线
段
的长，再画出图形，利用平行线的性质和垂线的性质求解即可．
【详解】（1）证明：补全图形如图所示，作
，
∵将线段
沿
平移得到线段
，
∴
，
∴
，
∴
，
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∴
，
即
（2）解：①分两种情况：
点
在直线
的上方时，如图所示：
由平移的性质得：
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
整理，得
；
点
在直线
的下方时，如图所示：
，
∴
，
整理，得
；
②作
，如图所示：
∵
，
∴点
到直线的距离就是线段
的长，
∵
，
∴点
到直线的最大距离就是线段
的长，此时
，作
于点
，如图所示：
由平移的性质得：
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
故答案为：
．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，平行线间的距离，点到直线的距离，角的和差，恰当分类并画
出图形是解题的关键．
4．某同学在一次课外活动中用硬纸片做了两个直角三角形，
中，
，
，
．
中，
，
，
．该同学将
的直角边
与
的斜边
重合在一起，并将
沿
方向移动，在移动过程中，D、E 两点始终在
边上．
(1)当
移动至什么位置，即
的长为多少时，F、C 的连线与
平行？
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(2)当
移动至什么位置，即
的长为多少时，以线段
、
、
的长为三边长的三角形是直角
三角形？
(3)在
的移动过程中，是否存在某个位置，使得
？如果存在，求出
的长；如果不存在，
说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)不存在，理由见解析．
【分析】本题主要考查平移的性质以及勾股定理的应用，结合已知条件应用相关性质解题即可．
（1）因为
，
，所以
，又因为
，
，
，所以
，连接
，设
，则可求证
，故
的长可求；
（2）设
，则
，再分情况讨论∶
为斜边；
为斜边；
为斜
边，综合分析即可求得
的长；
（3）假设
，因为
，作
的平分线，交
于点P，则
，
所以
，
，则
的值大于边长12，故不存在．
【详解】（1）解：∵
，
，
，
∴
，
∵
中，
，
，
∴
，
如图1，连接
，
当
时，
，
∴
∴
∴
∴当
时，
．
（2）设
，在
中，
当
为斜边时，
由
得
，
解得：
，
当
为斜边时，由
得
，
解得：
∵
∴
，
∴
（不合题意舍去）
当
为斜边时，由
得，
，
整理得出∶
∵
∴此方程无解，
综上所述：当
时，以线段
、
、
的长度为三边长的三角形是直角三角形．
（3）不存在这样的位置，使得
理由如下∶
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假设
（如上图2）
∵
作
的平分线，交
于点P，
则
，
，
∴
，
∴
∴
，
又∵
∴
，
∴
∴不存在这样的位置，使得
．
【点睛】本题考查的是平移的性质、勾股定理的应用，以及角平分线的性质，平行的性质等等知识点，灵
活运用分情况讨论思想是解题的关键，解答时，注意勾股定理的应用和正确解出一元二次方程．
5．如图，等腰三角形
中，
，D 为
边上一点，E 为射线
上一点，连接
．
(1)如图1，点F 在线段
上，连接
、
．若
，
为等边三角形，
，
，
求
的长；
(2)如图2，F 为线段
的垂直平分线上一点，连接
、
、
，M 为
的中点，连接
、
．
若
，求证：
；
(3)如图3，
，D 为
中点，F 为
中点，
与
交于点G，将
沿射线
方向平移得
，连接
、
．若
，直接写出
的最小值．
【答案】(1)5
(2)见解析
(3)
【分析】(1)证明
得到
，根据
计算即可．
(2)延长
到点N，使得
，连接
，先证明
，在证明
，得
到
即可．
(3)过点C 作
，根据等边三角形的对称性，得到
，根据平移的性质，得到直线
上存在点
使得
，作出点B 关于直线的对称点M，连接
交于点Q，连接
交于点N，当点
与点N 重合时，
取得最小值，过点M 作
，交
的延
长线于点P，根据勾股定理计算即可．
【详解】（1）∵
，
，
为等边三角形，
∴
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
∴
．
（2）如图，延长
到点N，使得
，连接
，
∵M 为
的中点，
∴
，
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∴
，
∴
，
∴
，
∵F 为线段
的垂直平分线上一点，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
（3）解：如图，过点C 作
，
∵
，
，D 为
中点，
∴
为等边三角形，直线
是线段
的垂直平分线，
∴
，
∴
；
∵点B 平移到点
，
∴过点B 作
，交直线于点
，根据平移性质，得到四边形
是平行四边形，
∴
，
，根据平移性质，得到
，
∴
，
∴四边形
是平行四边形，
∴
，
∴
；作出点B 关于直线的对称点M，连接
交于点Q，连接
交于点N，当
点
与点N 重合时，
取得最小值，
过点M 作
，交
的延长线于点P，
∵
，
，
，
为等边三角形，
∴
，
，
∵
，
，
∴四边形
是矩形，
，
∴
，
∴
的最小值为
．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，
平移，线段和的最小值，熟练掌握三角形全等的判定和性质，线段和的最值，等边三角形的判定和性质，
勾股定理是解题的关键．
6．综合与探究：
问题情境：数学课上，同学们以直角三角形纸片为背景进行探究性活动．如图，在△ABC 中，CD⊥AB 于
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点D，AE 平分∠BAC 交CD 于点F．
初步分析：
（1）智慧小组的同学发现△CEF 是等腰三角形，请你证明这一结论；
（2）博学小组的同学发现给△ABC 添加一个条件，可使△CEF 成为等边三角形．添加的条件可以是 ．
（写出一种即可）
操作探究：
（3）创新小组的同学从图形平移的角度进行了如下的探究，请从下面A，B 两题中任选一题作答我选择题：
A．将△ADF 沿射线AB 的方向平移，使点F 的对应点F 恰好落在线段BC 上，
①请在图中画出平移后的
，
②猜想此时线段A′B 与AC 之间的数量关系，并说明理由．
B．将△CEF 沿射线CB 的方向平移，使点C 的对应点恰好与点B 重合，
①请在图中画出平移后的
，
②连接EF′，交BD 于点G，猜想此时线段EG 与F′G 之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）
（答案不唯一）；（3）A：①见解析；②
，证明见解
析；B：①见解析；②
，证明见解析
【分析】（1）根据直角三角形的性质，角平分线的性质进行等量代换进而证明结论即可；
（2）当△ABC 中，
时，根据等边三角形判定定理进行判定；
（3）A. 过点F 作
于G，根据角平分线的性质得出
，进而证明
≌
，
根据全等三角形对应边相等可得
，根据平移的性质得到
≌
，得出
，
，然后利用“角角边”证明
≌
，得到
，最终得出
；
B. 过点E 作
于H，，根据角平分线的性质得出
，根据平移的性质得到
≌
，
得出
，
是等腰三角形，得
，然后利用“角角边”证明
≌
，最终得出
．
【详解】（1）∵AE 平分∠BAC，
∴
，
∵CD⊥AB，
，
∴
,
∴在
中，
，
在
中，
，
∵
，
∴
，
∴△CEF 是等腰三角形；
（2）当△ABC 中，
时，
，
，
∴△CEF 是等边三角形；
（3）A.①如下图即为所求，
②
，理由如下：
过点F 作
于G，
∵AE 平分∠BAC，
∵
，
，
∴
，
∴在
和
中，
∴
≌
（HL）
∴
,
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∵
平移后得到
，
∴
≌
∴
，
，
∵在
中，
，
又∵
，
∴
，
∴在
和
中，
∴
≌
（AAS）
∴
，
∴
，
即：
；
B. ①如下图即为所求，
②
，理由如下：
过点E 作
于H，
,
∵AE 平分∠BAC，
∵
，
,
∴
，
∵
平移后得到
，
∴
≌
，
∴
，
，
∵
是等腰三角形，
∴
，
∵在
中，
，
∴
，
∴
，
在
和
中，
∴
≌
（AAS）
∴
．
【点睛】本题属于几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，图
形的平移等，熟练运用以上性质定理是解题的关键．
类型二、平面直角坐标系内的图形平移问题
7．对于给定的两点
，若存在点
，使得三角形
的面积等于1，则称点
为线段
的“单位面
积点”，已知在平面直角坐标系中，
为坐标原点．点
，
，
．若将线段
沿
轴正
方向平移个单位长度，使得线段
上存在线段
的“单位面积点”，则的值可以是（ ）
A．0.5
B．1.5
C．2.5
D．3.5
【答案】A
【分析】设线段
上存在线段
的“单位面积点”是
，分两种情况进行讨论：线段
在线段
的
下方；线段
在线段
的上方，分别求解即可．
【详解】解：设线段
上存在线段
的“单位面积点”是
，
如图，
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，
当线段
在线段
的下方时，此时
，
点
，
，
，
，
，
，
，
点
到
的距离为
，
可将线段
沿
轴正方向平移
个单位长度，
沿
轴正方向平移，
，
，
当线段
在线段
的上方时，此时
，
同理可得：点
到
的距离为
，
可将线段
沿
轴正方向平移
，即
，
综上所述，的取值范围为：
或
，
的值可以是0.5，
故选：A．
8．如图，直线m⊥n．在平面直角坐标系xOy 中，x 轴∥m，y 轴∥n．如果以O1为原点，点A 的坐标为
（1，1）．将点O1平移2
个单位长度到点O2，点A 的位置不变，如果以O2为原点，那么点A 的坐标可
能是（ ）
A．（3，﹣1）
B．（1，﹣3）
C．（﹣2，﹣1）
D．（2
+1，2
+1）
【答案】A
【分析】根据题意画出图形，利用平移的特征结合图形即可求解．
【详解】如图，由题意，可得O1M=O1N=1．
∵将点O1平移2
个单位长度到点O2，
∴O1O2=2
，O1P=O2P=2，
∴PM=3，
∴点A 的坐标是（3，﹣1），
故选A．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化-平移．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移
加，下移减．利用数形结合是解题的关键．
9．如图，在平面直角坐标系
中，正方形
的顶点A，C 的坐标分别为
，
．已知线
段
的端点M，N 的坐标分别为
，
，平移线段
，使得平移后的线段的两个端点均落
在正方形
的边上，此时正方形
被该线段分为两部分，其中三角形部分的面积为 ；
已知线段
的端点坐标分别为
，
，且
，
，
．平移线段
，使得平
移后的线段
的两个端点均落在正方形
的边上，且线段
将正方形的
面积分为
两
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部分，取
的中点H，连接
，则
的长为 ．
【答案】
/
【分析】明确三角形部分与
形状大小完全相同，即可求解；明确
的长度定了，不管怎么放，三
角形部分，形状大小完全一样，
长度一样，即可求解．
【详解】
平移之后，如图所示，三角形部分与
形状大小完全相同，
∴三角形部分的面积
，
，平移后两端点落在正方形边上，
∵
，
，
∴
不垂直四条边，
把正方形分成两部分为三角形部分和另一部分多边形，两部分的面积为
，
可得
，
的长度定了，
的面积确定了，不管怎么放，三角形部分，形状大小完全一样，则
长度一样，
令
在如图位置，且
，
解得
，
∴
的坐标为
，
的坐标为
，
∴中点
的坐标为
，即
的坐标为
，
∴
，
故答案为：
，
．
【点睛】本题考查四边形的综合题和移动线段问题，解题的关键是理解题意，画出图形，学会利用特殊点
解决问题．
10．在平面直角坐标系xOy 中，对于点A，规定点A 的
变换和
变换．
变换：将点A 向左平移一个单
位长度，再向上平移两个单位长度；
变换：将点A 向右平移三个单位长度，再向下平移一个单位长度
(1)若对点B 进行
变换，得到点（1，1），则对点B 进行
变换后得到的点的坐标为 ．
(2)若对点C（m，0）进行
变换得到点P，对点C（m，0）进行
变换得到点Q，
，求m 的值．
(3)点D 为y 轴的正半轴上的一个定点，对点D 进行
变换后得到点E，点F 为x 轴上的一个动点，对点F
进行
变换之后得到点G，若
的最小值为2
，直接写出点D 的坐标 ．
【答案】(1)（5，-2）
(2)
(3)（0，
）
【分析】（1）根据
变换求出B 的坐标，再根据
变换求出对应点的坐标即可；
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（2）先求出P、Q 的坐标，然后根据OP=OQ 构建关于m 的方程即可求解；
（3）设D（0，y），F（x，0），则E（-1，y+2），G（x+3，-1），可得
=
，令
（-3，y+1），
（-1，y+2），则
，
，推出
，推出
的最小值就是x 轴上点F（x，0）到
，
的距离之和的值最小．
【详解】（1）解：由题意知：点（1，1）向右平移一个单位长度，再向下平移两个单位长度即可得到B，
∴B 的坐标为（2，-1），
∴点B 进行
变换后得到的点的坐标为（5，-2）；
故答案为：（5，-2）；
（2）解：由题意知：对点C（m，0）进行
变换得到点P 的坐标为（m-1，2），对点C（m，0）进行
变换得到点Q（m+3，-1），
∵OP=OQ，
∴
，即
，
∴
；
（3）解：由题意，设D（0，y），F（x，0），则E（-1，y+2），G（x+3，-1），
∴
，
，
∴
=
令
（-3，y+1），
（-1，y+2），
则
，
∴
，
∴
的最小值就是x 轴上点F（x，0）到
，
的距离之和的值最小，
如果
，
在x 轴的两侧，那么点F 就是
与x 轴的交点，
的最小值就是
的长，
此时
，故此种情况不符合题意，舍去，
如果
，
在x 轴的同侧，作
关于x 轴的对称点
（-3，-y-1），连接
交x 轴于点K，此时，
的值最小，
∴
，
∴
或
，
又点D（0，y）在y 轴上，则y＞0，
∴
，
∴D 的坐标为（0，
）．
故答案为：（0，
）．
【点睛】本题考查了点的平移，轴对称，两点间距离公式，二元二次方程组等知识，解题关键是学会利用
参数解决问题．
11．如图，在平面直角坐标系中，A，B 坐标分别为
、
，且a，b 满足：
，
现同时将点A，B 分别向下平移4 个单位，再向左平移1 个单位，分别得到点A，B 的对应点C，D，连接
．
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(1)求C，D 两点的坐标及四边形
的面积；
(2)点P 是线段
上的一个动点，连接
，当点P 在
上移动时（不与B，D 重合），
的值是否发生变化，并说明理由；
(3)已知点M 在y 轴上，且点D 在
的外部，连接
，若
的面积与四边形
的面积
相等，求点M 的坐标．
【答案】(1)
；四边形
的面积为20；
(2)不变，
，理由见解析；
(3)
．
【分析】（1）根据条件确定A，B 坐标，根据平移得到C，D 两点的坐标；由A，B，C，D 坐标确定四边
形底和高，即可求面积；
（2）过点
作
的平行线，根据平行线的性质可得
；
（3）设M 坐标为
，根据
，列出方程求出m 的值，即可确定M 点坐标．
【详解】（1）解：
将点A，B 分别向下平移4 个单位，向左平移1 个单位
故答案为：
，四边形
的面积为20；
（2）由（1）中
、
，可得
；
如下图所示，过点
作
ABDC
(0,4)
(5,4)
A
B
、
( 1,0)
(4,0)
C
D
、
AB
CD
∥
P
PE
AB
CD
∥
∥
,
BAP
APE
DOP
OPE
BAP
DOP
APE
OPE
APO
，不发生变化；
（3）如下图所示，过
作
交
于点F，设点
即
解得：
，
；
故答案为：
．
1
BAP
DOP
APO
B
BF
CD
⊥
CD
(0,
)
M
m
BDM
BDF
ODM
ABDC
MBFO
S
S
S
S
S
△
△
△
四边形
四边形
1
1
1
20
2
2
2
BF
MO
OF
DF BF
OD MO
1
1
1
5
4
1 4
4
20
2
2
2
m
m
24
m
(
)
0,24
M
(
)
0,24
M
26
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【点睛】本题考查了坐标与图形平移的关系，坐标与平行四边形性质的关系，平行线的性质及三角形、平
行四边形的面积公式，关键是理解平移规律，作平行线将相关角进行转化．
12．如图1，在直角坐标系中直线
与
、
轴的交点分别为
，
，且满足
.
（1）求
、
的值；
AB
x
y
,0
A a
0,
B
b
8
0
a
b
a
b
a
b
（2）若点
的坐标为
且
，求
的值；
（3）如图2，点
坐标是
，若
以2 个单位/秒的速度向下平移，同时点
以1 个单位/秒的速
度向左平移，平移时间是秒，若点
落在
内部（不包含三角形的边），求的取值范围．
【答案】（1）
，
；（2）
或
；（3）
【分析】（1）根据非负数和为0，则每一个非负数都是0，即可求出a，b 的值；
（2）设直线AB 与直线x＝1 交于点N，可得N（1，5），根据S△ABM＝S△AMN−S△BMN，即可表示出
S△ABM，从而列出m 的方程．
（3）根据题意知，临界状态是点P 落在OA 和AB 上，分别求出此时t 的值，即可得出范围．
【详解】（1）∵
，
，
∴
，
解得：
，
（2）设直线
与直线
交于
，设
∵a＝−4，b＝4，
∴A（−4，0），B（0，4），
设直线AB 的函数解析式为：y＝kx＋b，
代入得
，解得
∴直线AB 的函数解析式为：y＝x＋4，
代入x=1 得
∵
∴
＝
×5×|5−m|−
×1×|5−m|＝2|5−m|，
∵
∴
∴
或
M
1,m
2
ABM
AOM
S
S
m
P
1, 2
ABO
P
t
P
ABO
t
4
a
4
b
5
m
5
3
m
5
1
3
t
8
0
a
b
a
b
0
a
b
8
0
a
b
0
a
b
8
0
a
b
4
a
4
b
AB
1
x
N
1,
N
n
0
4
4
k
b
b
1
4
k
b
1,5
N
1,
M
m
ABM
AMN
BMN
S
S
S
△
△
△
1
2
1
2
1
4
2
2
AOM
S
m
m
△
2
ABM
AOM
S
S
2
5
2 2
m
m
5
2
m
m
5
2
m
m
28
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解得：
或
，
（3）当点P 在OA 边上时，则2t＝2，
∴t＝1，
当点P 在AB 边上时，如图，过点P 作PK
x 轴，AK⊥x 轴交于K，
则KP'＝3−t，KA'＝2t−2，
∴3−t＝2t−2，
∴
综上所述：
．
【点睛】本题主要考查了平移的性质、一般三角形面积的和差表示、以及非负数的性质等知识点，第
（2）问中用绝对值来表示动点构成的线段长度是正确解题的关键．
13．在平面直角坐标系
中，对于给定的两点
，若存在点M，使得
的面积等于1，即
5
m
5
3
m
//
5
3
t
5
1
3
t
xOy
P
Q
，
MPQ
1
MPQ
S
△
PQ
xOy
，则称点M 为线段
的“单位面积点”，解答下列问题：如图，在平面直角坐标系
中，点
P 的坐标为
．
(1)在点
中，线段
的“单位面积点”是 ；
(2)已知点
，将线段
沿y 轴向上平移
个单位长度，使得线段
上存在线段
的
“单位面积点”，直接写出t 的取值范围 ．
(3)已知点
，点
是线段
的两个“单位面积点”，点M 在
的延长线上，若
，求出点N 纵坐标的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据“单位面积点”的定义和点的坐标即可得结果，
（2）根据“单位面积点”的定义，可得点
的纵坐标，分两种情况：①当
的纵坐标为
时，②当
的纵坐标为
时，根据“单位面积点”的定义，得关于的不等式组，解不等式组即可，
1
MPQ
S
△
PQ
xOy
(1,0)
(1,2)
( 1,1)
( 1, 2)
(2, 4)
A
B
C
D
，
，
，
OP
(0,3)
(0,4)
E
F
，
OP
(
0)
t t
EF
OP
(1, 2)
(0, 1)
Q
H
，
M
N
，
PQ
HQ
= 3
HMN
PQN
S
S
V
V
A
C
、
1
2
6
t
t
或5
3
1
3
1
3
3
3
3
或
或
或
G
G
2
t
G
2
t
t
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（3）根据“单位面积点”的定义，可得
的横坐标，再根据
，即可求得点
的纵坐标
的取值范围．
【详解】（1）解：如图1 所示：
∵点P 的坐标为
，
∴
，
∵
，
∴
，
，
，
，
∴点A、点C 是线段
的“单位面积点”，
故答案为：
．
（2）解：如图2 所示：
M
N
、
= 3
HMN
PQN
S
S
V
V
N
(1,0)
1
OP
(1,2)
( 1,1)
( 1, 2)
(2, 4)
A
B
C
D
，
，
，
1
2
1
2
AOP
S
V
1
1
1 1
2
2
BOP
S
△
1 1 2
1
2
COP
S
V
1 1 4
2
2
DOP
S
V
OP
A
C
、
当点E 为线段
的“单位面积点”时，
，
解得：
，
当点F 为线段
的“单位面积点”时，
，
解得：
，
∴线段EF 上存在线段
的“单位面积点”，t 的取值范围为
；
（3）解：∵点P 的坐标为
，
，
∴
，
∴线段
的“单位面积点”在y 轴上或x＝2 的直线上，
∵点M 在
的延长线上，
∴点M 在
的直线与
延长线的交点上，如图3 所示：
OP
3
2
t
1
5
t
t
或
OP
4
2
t
2
6
t
t
或
OP
1
2
6
t
t
或5
(1,0)
(1, 2)
Q
2
PQ
PQ
HQ
2
x
HQ
32
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设
直线的解析式为：
，
则
，
解得
，
∴
直线的解析式为：
，
则
，
∵N 是线段
的“单位面积点”，
∴
，
∴
，
①当点N 在y 轴上时，
，
∴
，
∵
，
HQ
y
kx
b
2
1
k
b
b
1
1
b
k
HQ
=
1
y
x
(2, 3)
M
PQ
1
PQN
S
V
3
3
HMN
PQN
S
S
V
V
1
2
3
2
HMN
S
NH
V
3
NH
(0, 1)
H
∴N 的纵坐标为
，
②当点N 在
直线上时，
，
∴
，
∵
，
∴N 的纵坐标为
，
综上所述，点N 纵坐标的取值范围为：
．
【点睛】本题主要考查三角形的面积，坐标与图形的性质，注意“单位面积点”的定义和分类讨论思想的
应用．
14．如图在平面直角坐标系中，点A，B 的坐标分别为
，
．且a，b 满足
，现同时将点A，B 分别向左平移2 个单位，再向上平移2 个单位，分别得到点A、
B 的对应点C、D，连接AC，BD，CA 的延长线交y 轴于点K．
(1)点P 是线段CK 上的一个动点，点Q 是线段CD 的中点，连接PQ，PO，当点P 在线段CA 上移动时（不
与A，C 重合），请找出
，
，
的数量关系，并证明你的结论．
(2)连接AD，在坐标轴上是否存在点M，使
的面积与
的面积相等？若存在，直接写出点M
的坐标；若不存在，试说明理由．
【答案】(1)
，证明见详解
3
1
3
1
或
2
x
1
2
3
2
HMN
S
MH
V
3
MH
(2, 3)
M
3
3
3
3
或
3
1
3
1
3
3
3
3
或
或
或
,0
A a
,0
B b
2
3
2
7
0
a
a
b
PQD
OPQ
POB
MAD
V
ACD
△
360
PQD
OPQ
POB
34
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(2)存在，M 点坐标为
，
，
，
【分析】（1）根据平方与绝对值的非负性即可求出a、b 的值，过点P 作
，由平移的性质可得
，利用平行线的性质即可求解；
（2）先求出
的面积，再根据Q 在x 轴上与y 轴上分别求解．
【详解】（1）解：
，证明如下：
证明：∵
∴
，
，解得
，
，
∴
，
，
∵将点A、B 分别向左平移2 个单位，再向上平移2 个单位，得到对应点C、D，
∴
，
，
过点P 作
，由平移的性质可得
，
∴
，
∴
，
，
∴
，
即
．
8,0
2,0
16
0, 3
4
0,
3
PE
AB
AB
CD
ACD
△
360
PQD
OPQ
POB
2
3
2
7
0
a
a
b
3
0
a
2
7
0
a
b
3
a
=2
b
3,0
A
2,0
B
5,2
C
0,2
D
PE
AB
AB
CD
AB
PE
CD
180
PQD
EPQ
180
OPE
POB
360
PQD
EPQ
OPE
POB
360
PQD
OPQ
POB
（2）解：存在，M 点坐标为
，
，
，
．理由如下：
的面积为
，
①M 在x 轴上，根据
的高与
相等的高，
∴
，
∴点M 坐标为
，
，
②M 在y 轴上，
的高为
，
的面积为5，
即
∴
又∵
，
∴点M 坐标为
，
．
故存在符合条件的M 点坐标为
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查直角坐标系中点的平移及图形面积的计算和坐标轴上点的特征，根据题目已知平移
方式得到点的坐标与面积的计算是解答本题的关键．
15．在平面直角坐标系中，
，
，a，b 满足
，连接AB 交y 轴于C．
(1)直接写出
______，
______；
8,0
2,0
16
0, 3
4
0,
3
ACD
△
1
5
2
5
2
MAD
V
ACD
△
5
AM
CD
8,0
2,0
MAD
V
=3
AO
MAD
V
1
5
2
MAD
S
AO
MD
V
10
3
MD
0,2
D
16
0, 3
4
0,
3
8,0
2,0
16
0, 3
4
0,
3
,0
A a
1,
B
b
1
2
10
0
a
b
a
b
a
b
36
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(2)如图1，点P 是y 轴上一点，且三角形ABP 的面积为12，求点P 的坐标；
(3)如图2，直线BD 交x 轴于
，将直线BD 平移经过点A，交y 轴于E，点
在直线AE 上，且
三角形ABQ 的面积不超过三角形ABD 面积的
，求点Q 横坐标x 的取值范围．
【答案】(1)-3，4
(2)-3，4
(3)-4≤x≤-2 且x≠-3
【分析】（1）根据非负数的性质构建方程组，解方程组求出
，
；
（2）过点
作
轴于
，设
，由三角形面积关系得出
，
求出
，过点
作
轴于
，由三角形面积关系得出
，求出
即可；
（3）连接
，过点
作
轴，分点
在第二象限，点
在第三象限时，两种情况，分别列出方程，
解之即可．
【详解】（1）解：
，
又∵
，
，
，
解得：
，
故答案为：-3，4．
（2）过点
作
轴于
，
4,0
D
,
Q x y
1
3
a
b
B
BM
x
M
OC
m
1
1
1
(
)
2
2
2
OA OC
OC
BM
OM
AM BM
3
m
B
BN
y
N
1
1
3
12
2
2
CP
CP
CP
DQ
Q
QR
x
Q
Q
1 | 2
10 | 0
a
b
a
b
1 0
a
b
| 2
10 |
0
a
b
1
0
2
10
0
a
b
a
b
3
4
a
b
B
BM
x
M
设
，
三角形
的面积
四边形
的面积
三角形
的面积，
，
即
，
解得：
，
点
的坐标为
，
过点
作
轴于
，
三角形
的面积
三角形
的面积
三角形
的面积，
，
即
，
，
点
的坐标为
或
．
（3）点
向左平移4 个单位长度，向下平移4 个单位长度到点A，
∵点D 向左平移4 个单位长度后的对应点正好在y 轴上，
∴点
平移后的对应点恰好是点
，
连接
，过点
作
轴，如图所示：
OC
m
AOC
OCBM
ABM
1
1
1
(
)
2
2
2
OA OC
OC
BM
OM
AM BM
1
1
1
3
(
4) 1
4
4
2
2
2
m
m
3
m
C
(0,3)
B
BN
y
N
ABP
ACP
BCP
1
1
12
2
2
OA CP
BN CP
1
1
3
12
2
2
CP
CP
6
CP
P
(0, 3)
(0,9)
B
D
(0, 4)
E
DQ
Q
QR
x
38
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，
三角形
的面积
三角形
的面积，
当三角形
的面积
三角形
的面积时，
，
当点
在第三象限时，
，
解得：
，
当点
在第二象限时，
，
解得：
，
当三角形
的面积不超过三角形
面积的
时，
点
的横坐标
的取值范围是
，且
．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了三角形的面积，非负数的性质，平行线的性质等知识，解题的关
键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题．
类型三、一次函数图象的平移问题
16．如图1，在平面直角坐标系中．直线
与
轴、
轴相交于
两点，动点
在线段
上，
将线段
绕着点
顺时针旋转
得到
，此时点
恰好落在直线
上时，过点
作
轴于点
．
AE
BD
∥
ADQ
ABQ
ABQ
1
3
ABD
1
4
3
3
B
QR
y
Q
1
4
1 4
1
(
3)
(
4)(
)
4
3
2
3
2 3
2
x
x
2
x
Q
1
1
4
1
16
3
4
(3
)
(
)
2
2
3
2
3
x
x
4
x
ABQ
ABD
1
3
Q
x
4
2
x
剟
3
x
1
3
2
y
x
x
y
A B
、
C
OA
CB
C
90
CD
D
AB
D
DE
x
E
(1)求证：
；
(2)如图2，将
沿
轴正方向平移得
，当直线
经过点
时，求点
的坐标及
平移
的距离．
【答案】(1)见解析；
(2)
，
【分析】（1）由同角的余角相等可得
，再根据
即可证明
；
（2）由三角形全等的性质可得
，设
，则
代入
即可求出
点
的坐标，再利用待定系数法求出直线
的解析式，求出点
的坐标即可解决问题．
【详解】（1）证明：
，
，
，
在
和
中，
，
；
（2）解：
，
，
，
设
，
，
BOC
CED
≌
BCD
△
x
B C D
V
B C
D
D
BCD
△
41，
10
3
BCO
CDE
AAS
BOC
CED
≌
3
BO
CE
OC
DE
m
3
D m
m
，
1
3
2
y
x
D
B C
C
90
BOC
BCD
CED
90
90
OCB
DCE
DCE
CDE
，
BCO
CDE
BOC
CED
△
BCO
CDE
BOC
CED
BC
CD
AAS
BOC
CED
≌
BOC
CED
△
≌△
3
BO
CE
OC
DE
OC
DE
m
3
D m
m
，
40
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把
代入
，
得到，
，
，
，
，
设直线
的解析式为
，
将
代入
，
得
，
解得
，
∴直线
的解析式为
，
设直线
的解析式为
，
把
代入得到
，
∴直线
的解析式为
，
，
，
平移的距离是
个单位．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、全等三角形的判定与性质、平移的性质，熟练掌握
待定系数法求一次函数的解析式、全等三角形的判定与性质、平移的性质，采用数形结合的思想解决问题，
是解此题的关键．
17．在平面直角坐标系
中，对于点
与图形W，若点Q 为图形W 上任意一点，点
关于第一、三象限
3
D m
m
，
1
3
2
y
x
1
3
3
2
m
m
2
3
6
m
m
1
m
41
D
，
BC
y
kx
b
0 3
1 0
B
C
，，
，
y
kx
b
3
0
b
k
b
3
3
b
k
BC
3
3
y
x
B C
1
3
y
x
b
41
D
，
1
13
b
B C
3
13
y
x
13 0
3
C
，
13
10
1
3
3
CC
BCD
△
10
3
xOy
P
Q
角平分线的对称点为
，且线段
中点为
，则称点
是图形W 关于点
的“关联点”．
(1)如图1，若点
是点
关于原点的关联点，则点
的坐标为 ；
(2)如图2，在
中，
，
，
．
①将线段
向右平移
（
）个单位长度，若平移后的线段上存在两个
关于点
的关联点，
则d 的取值范围是 ．
②已知点
和点
，若线段
上存在
关于点
的关联点，求n 的取值范围．
【答案】(1)
(2)①
；②
或
．
【分析】本题考查了轴对称的性质，中心对称的性质，不等式组的求解，求一次函数的解析式等，解题的
关键是用转化的思想借助参数构建不等式组．
（1）根据“关联点”的定义可知点
，Q 关于原点对称，由此即可解决问题．
（2）①作出
关于
对称的
，由题意可得当线段
向右平移时，与
的边有两个交
点时满足条件，利用图象法解决问题即可．
②分别求出直线
与
州的交点和点
关于点
的对称点的坐标，根据题意即可列出不等式，求解
即可．
【详解】（1）解：∵点
关于第一、三象限角平分线的对称点为
，
Q
PQ
,0
M m
P
,0
M m
P
0, 5
Q
P
ABC
2,2
A
2,0
B
0, 2
C
AO
d
0
d
ABC
2,0
2,0
S n
4,0
T n
ST
ABC
,0
N n
5,0
2
3
d
3
5
n
0
2
n
P
ABC
2,0
A B C
OA
A B C
AC
x
B
,0
N n
0, 5
Q
Q
42
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∴
，
∵点
是点
关于原点的关联点，
即点
，点
关于原点对称，
∴
，
故答案为：
．
（2）解：①如图中，作
关于
对称的
，
当线段
向右平移时，与
的边有两个交点，即满足条件，
观察图象可知当线段
向右平移时，经过点
，此时平移的距离为
，
当线段
向右平移时，经过点
，此时平移的距离为
，
∴当
时，平移后的线段上存在两个
关于点
的“关联点”，
故答案为：
．
②设直线
所在的函数解析式为
，
将
，
代入
得：
，
5,0
Q
P
0, 5
Q
P
Q
5,0
P
5,0
ABC
2,0
A B C
OA
A B C
OA
4,2
C
2
d
OA
3,0
3
d
2
3
d
ABC
2,0
2
3
d
AC
y
kx
b
2,2
A
0, 2
C
y
kx
b
2
2
2
k
b
b
解得：
，
∴直线
所在的函数解析式为
，
当
时，
，
解得：
，
即直线
与
轴的交点为
；
则点
关于点
的对称点坐标为
，
点
关于点
的对称点坐标为
，
∵线段
上存在
关于点
的关联点，
即点
在线段
上或点
在线段
上，
可得
或
，
解得：
或
．
18．如图，在平面直角坐标系中，直线
与
、
轴分别相交于点
、
，与直线
交于点
，直线
交
轴于点
，交
轴于点
．
（1）若点
是
轴上一动点，连接
、
，求当
取最大值时，
点的坐标．
（2）在（1）问的条件下，将
沿
轴平移，在平移的过程中，直线
交直线
于点
，则当
是等腰三角形时，求
的长．
2
2
k
b
AC
2
2
y
x
0
y
0
2
2
x
1
x
AC
x
1,0
1,0
,0
N n
2
1,0
n
2,0
B
,0
N n
2
2,0
n
ST
ABC
,0
N n
2
1,0
n
ST
2
2,0
n
ST
2
2
1
4
n
n
n
2
2
2
4
n
n
n
3
5
n
0
2
n
y
x
b
x
y
A
B
2
y
x
(3,
)
D
m
2
y
x
x
C
y
E
P
y
PC
PD
|
|
PC
PD
-
P
COE
x
CE
AB
M
PMA
BM
44
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【答案】（1）P(0，﹣10)；（2）8
＋2
或2
8
﹣
或10
或49
【分析】（1）取
关于
轴的对称点
，当
与
、
三点共线时，
取最大值，利用待定系数
法求
的解析式，可得此时
的坐标；
（2）分三种情况讨论：①当
时，如图2，②当
时，如图3，过
作
于
，③
当
时，如图4，过
作
于
，分别计算即可．
【详解】解：（1）当
时，
，
，
把
代入
中，
，
，
，
当
时，
，
，
，
如图1，取
关于
轴的对称点
，
是
轴上一点，连接
、
、
，则
，
2
41
41
2
2
2
C
y
C
P
C
D
|
|
PC
PD
-
C D
P
AP
AM
AP
PM
P
PN
AB
N
AM
PM
P
PN
AB
N
3
x
3
2
5
m
(3,5)
D
\
(3,5)
D
y
x
b
3
5
b
-
+
=
8
b
8
y
x
\
= -
+
0
y
2
0
x
2
x
( 2,0)
C
C
y
(2,0)
C
1P
y
1PC
1PC
1PD
1
1
PC
PC
=
，
当
与
、
共线时，
有最大值是
，
设直线
的解析式为：
，
把
和
代入得：
，
解得：
，
直线
的解析式为：
，
；
（2）分三种情况：
①当
时，如图2，
由（1）知：
，
由勾股定理得：
，
，
；
同理得：
；
②当
时，如图3，过
作
于
，
1
1
1
1
|
| |
|
PD
PC
PD
PC
C D
ⅱ
-
=
-
Q
P
C
D
|
|
PC
PD
-
C D
C D
y
kx
b
(2,0)
C
(3,5)
D
2
0
3
5
k
b
k
b
+
=
+
=
5
10
k
b
=
= -
C D
5
10
y
x
(0,
10)
P
\
-
AP
AM
10
OP
2
2
8
10
2 41
AP =
+
=
8 2
AB =
Q
8 2
2 41
BM
AB
AM
\
=
+
=
+
1
2 41
8 2
BM =
-
AP
PM
P
PN
AB
N
46
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，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
；
③当
时，如图4，过
作
于
，
，
，
90
BNP
Q
45
NBP
BNP
\ D
18
PB =
Q
18
9 2
2
BN
\
=
=
8 2
AB =
Q
9 2
8 2
2
AN
\
=
-
=
AP
PM
PN
AM
2
2 2
AM
AN
\
=
=
8 2
2 2
10 2
BM
\
=
+
=
AM
PM
P
PN
AB
N
2
AN =
Q
9 2
PN =
设
，则
，
由勾股定理得：
，
，
解得：
，
；
综上，当
是等腰三角形时，
的长是
或
或
或
．
【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到点的对称性、图形的平移、等腰三角形的判定、勾股定
理等，要注意分类求解，避免遗漏．
19． 对于平面直角坐标系
中的图形
和图形
上的任意点
，给出如下定义：将点
平移
到
称为将点
进行“ 型平移”，点
称为将点
进行“ 型平移”的对应点；将图形
上的
所有点进行“ 型平移”称为将图形
进行“ 型平移”．例如，将点
平移到
称为将
点
进行“1 型平移”，将点
平移到
称为将点
进行“﹣1 型平移”．已知点
和点
．
(1)将点
进行“1 型平移”后的对应点
的坐标为 ．
(2)①将线段
进行“﹣1 型平移”后得到线段
，点
，
，
中，在线段
上
的点是 ．
②若线段
进行“ 型平移”后与坐标轴有公共点，则的取值范围是 ．
(3)知点
，
，点
是线段
上的一个动点，将点
进行“ 型平移”后得到的对应点为
，
画图、观察、归纳可得，当的取值范围是 时，
的最小值保持不变．
MN
x
2
PM
AN
x
=
=
+
2
2
2
PN
MN
PM
2
2
2
(9 2)
(
2)
x
x
40 2
x =
8 2
2
40 2
49 2
BM
AB
AN
MN
\
=
+
+
=
+
+
=
PMA
BM
8 2
2 41
+
2 41
8 2
10 2
49 2
xOy
G
G
,
P x y
,
P x y
'
,
P
x
t y
t
P
t
P'
P
t
G
t
G
t
P x
y
，
'
1,
1
P
x
y
-
P
P x
y
，
'
1,
1
P
x
y
-
P
2,1
A
4,1
B
2,1
A
'
A
AB
'
'
A B
1 1.5,2
P
2 2,3
P
3 3,0
P
'
'
A B
AB
t
t
6,1
C
8
1
D
，
M
CD
B
t
B'
t
'
B M
48
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【答案】(1)
；
(2)
，
或
；
(3)
．
【分析】（1）根据“1 型平移”的定义求解即可；
（2）①画出线段
即可求解；②根据定义求出t 的最大值，最小值即可；
（3）观察图象可知：当
在线段
上时，
的最小值保持不变，最小值为
．
【详解】（1）解：由“1 型平移”的定义可知：
的坐标为
；
（2）解：①如图所示，观察图象可知：将线段进行“﹣1 型平移”后得到线段
，点
，
，
中，在线段
上的点是
；
3,0
1 1.5,2
P
4
2
t
- ≤≤
1
t
1
3
t
'
'
A B
B
B B
'
B M
2
'
A
3,0
'
'
A B
1 1.5,2
P
2 2,3
P
3 3,0
P
'
'
A B
1 1.5,2
P
②若线段
进行“ 型平移”后与坐标轴有公共点，则的取值范围是
或
；
（3）解：如图所示：
观察图象可知：当
在线段
上时，
的最小值保持不变，最小值为
，此时
．
【点睛】本题考查平移变换，“t 型平移”的定义，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，
学会利用图象法解决问题．
20．如图，在平面直角坐标系中，直线
与
轴，
轴分别交于
两点，点
坐标为
，连
接
．
AB
t
t
4
2
t
- ≤≤
1
t
B
B B
'
B M
2
1
3
t
3
3
4
y
x
x
y
A B
、
C
1 0
（，）
BC
50
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(1)求点
的坐标及线段
的长度；
(2)将线段
沿
轴向下平移
个单位至
，连接
．
当
为直角三角形时，求
的值；
当
周长最小时，
的值是 ；此时，最小周长等于 ．
【答案】(1)
，
(2)
1 或
；
，
【分析】（1）求出
点坐标，再由勾股定理求
的长即可；
（2）
先求平移后的点
，分别可求
，分
三种情况讨论：当
时，当
时，当
时，利用勾股定理建立方程，求
出
的值即可；
作
点关于直线
的对称点
，连接
，当
三点共线时，
的值最小，此时
周长最小，由对称性求出
，用待定系数法求出直线
的解析式将点
代入解析式
即可求
，从而确定
，
，再用两点间距离公式求出
，则
周长最
小值为
．
【详解】（1）解：令
，则
，
B
BC
BC
y
0
a a
（＞）
B C
B A
C A
，
①
AB C
a
②
AB C
△
a
0 3
B（，）
10
BC
①
13
3
②
9
7
58
10
B
BC
①
0 3
1
B
a
C
a
（，
），（，）
2
2
2
2
16
3
9
10
AB
a
AC
a
B C
（
），
，
90
AB C
90
C AB
90
AC B
a
②
B
4
x＝
G
C G
A
G
C
、、
AB
AC
＋
AB C
△
8 3
G
a
（，
）
C G
4 0
A（，）
9
7
a
12
8 7
G
，
9
1
7
C
，-
58
C G
AB C
△
58
10
0
x ，
3
y
，
点
坐标为
，
；
（2）
解：令
，则
，
，
线段
沿
轴向下平移
个单位至
，
，
，
当
时，
，
解得
，
当
时，
，
此时
不存在实数根，
当
时，
，
解得
，
综上所述：
的值为1 或
；
作
点关于直线
的对称点
，连接
，
，
，
当
三点共线时，
的值最小，此时
周长最小，
，
，
设直线
的解析式为
，
，
解得
，
0 3
B
（，）
C
1 0
（，）
10
BC
①
0
y
4
x
4 0
A
（，）
BC
y
0
a a
（＞）
B C
0 3
1
B
a
C
a
（，
），（，- ）
2
2
2
2
16
3
9
10
AB
a
AC
a
B C
（
），
，
90
AB C
2
2
9
16
3
10
a
a
（
）
13
3
a
90
C AB
2
2
16
3
9
10
a
a
（
）
a
90
AC B
2
2
16
3
9
10
a
a
（
）
1
a
a
13
3
②
B
4
x
G
C G
AB
AG
AB
AC
AG
AC
C G
A
G
C
、、
AB
AC
＋
AB C
△
0 3
4 0
B
a
A
（，
），（，）
8 3
G
a
（，
）
C G
y
kx
b
8
3
k
b
a
k
b
a
3
7
3
7
k
b
a
52
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，
将点
代入，
，
，
，
周长最小值为
，
故答案为：
，
．
【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，直角三角形的性质，轴对称
求最短距离的方法，线段平移的性质，勾股定理，分类讨论是解题的关键．
21．已知直线
与
轴、y 轴分别交于A、B 两点，以A 为直角顶点，线段
为腰在第一象限内
作等腰
．
3
3
7
7
y
x
a
4 0
A（，）
9
7
a
12
8 7
G
，
，
9
1
7
C
，
58
C G
AB C
58
10
9
7
58
10
1
1
2
y
x
x
AB
Rt
ABC
△
(1)求点C 的坐标
(2)P 为直线
上的动点，若
的面积与
的面积相等，则点P 的坐标为多少
(3)点M 为直线
上的动点，点N 为x 轴上的一点，是否存在以点M、N、B、C 为顶点的四边形为平行
四边形？若存在，直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
或
(3)
或
或
【分析】（1）过点C 作
轴于点D，求出点B 的坐标为
，点A 的坐标为
，得出
，
，证明
，得出
，
，求出
，即可得出答案；
（2）求出
，求出直线
与直线
的交点坐标为
，设点P 的坐标为
，
根据三角形面积公式得出
，求出
或
，即可得出答案；
（3）分情况进行讨论：当
为边时，点B 平移得到点N，点C 平移得到点M，当
为边时，点B 平移
得到点M，点C 平移得到点N，当
为对角线时，分别画出图形，根据中点坐标公式和点的平移特点求
出结果即可．
【详解】（1）解：过点C 作
轴于点D，如图所示：
1
x
ABP
ABC
1
x
3,2
1,3
(
)
1, 2
-
1,1
(
)
1, 1
-
1,3
CD
x
0,1
2,0
2
OA
1
OB
ABO
CAD
≌
1
AD
OB
2
CD
OA
3
OD
OA
AD
1
5
5
5
2
2
ABC
S
AB
1
x
1
1, 2
1,m
1
1
5
2
2
2
2
m
3
m
2
m
BC
BC
BC
CD
x
54
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把
代入
得：
，
∴点B 的坐标为
；
把
代入
得：
，
解得：
，
∴点A 的坐标为
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
，
∴
，
∴点C 的坐标为
；
（2）解：
，
∵
，
，
∴
，
把
代入
得：
，
∴直线
与直线
的交点坐标为
，
设点P 的坐标为
，
则
，
解得：
或
，
0
x
1
1
2
y
x
1
y
0,1
0
y
1
1
2
y
x
1
1
0
2 x
2
x
2,0
2
OA
1
OB
90
AOB
ADC
BAC
90
BAO
CAD
CAD
ACD
BAO
ACD
AB
AC
ABO
CAD
≌
1
AD
OB
2
CD
OA
3
OD
OA
AD
3,2
2
2
5
AB
OA
OB
5
AB
AC
90
BAC
1
5
5
5
2
2
ABC
S
1
x
1
1
2
y
x
1
2
y
AB
1
x
1
1, 2
1,m
1
1
5
2
2
2
2
m
3
m
2
m
∴点P 的坐标为
或
；
（3）解：设点M 的坐标为
，
当
为边时，点B 平移得到点N，点C 平移得到点M，如图所示：
∴此时
，
解得：
，
∴点M 的坐标为
；
当
为边时，点B 平移得到点M，点C 平移得到点N，如图所示：
∴此时
，
解得：
，
∴点M 的坐标为
；
1,3
(
)
1, 2
-
1,m
BC
2
0 1
m
1
m
1,1
BC
1
0
2
m
1
m
(
)
1, 1
-
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当
为对角线时，如图所示：
，
解得：
，
∴此时点M 的坐标为
；
综上分析可知，点M 的坐标为
或
或
．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，求一次函数与坐标轴的交点，三角形全等的判定和性质，三
角形面积的计算，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论．
22．（1）阅读以下内容并回答问题：
问题：在平面直角坐标系xOy 中，将直线y＝﹣2x 向上平移3 个单位，求平移后直线的解析式．
小雯同学在做这类问题时经常困惑和纠结，她做此题的简要过程和反思如下．
在课堂交流中，小谢同学听了她的困惑后，给她提出了下面的建议：“你可以找直线上的关键点，比如点
A（1，﹣2），先把它按要求平移到相应的对应点A′，再用老师教过的待定系数法求过点A′的新直线的解
析式，这样就不用纠结了．”
小雯用这个方法进行了尝试，点A（1，﹣2）向上平移3 个单位后的对应点A′的坐标为 ，过点A′的直
线的解析式为 ．
（2）小雯自己又提出了一个新问题请全班同学一起解答和检验此方法，请你也试试看：
将直线y＝﹣2x 向左平移3 个单位，平移后直线的解析式为 ，另外直接将直线y＝﹣2x 向
（“上”或“下”）平移 个单位也能得到这条直线．
（3）请你继续利用这个方法解决问题：
BC
0
1 2
2
2
m
3
m
1,3
1,1
(
)
1, 1
-
1,3
对于平面直角坐标系xOy 内的图形M，将图形M 上所有点都向上平移3 个单位，再向左平移3 个单位，我
们把这个过程称为图形M 的一次“斜平移”．求将直线y＝﹣2x 进行两次“斜平移”后得到的直线的解析
式．
【答案】（1）（1，1），y＝﹣2x+3；（2）y＝﹣2x
6
﹣，下，6；（3）y＝﹣2x
6.
﹣
【分析】（1）由平移的性质可求点A'坐标，利用待定系数法可求解；
（2）平移后的直线的解析式的k 不变，设出相应的直线解析式，可求O（0，0）向左平移3 个单位后的坐
标，代入设出的直线解析式，即可求得m，也就求得了所求的直线解析式；
（3）平移后的直线的解析式的k 不变，设出相应的直线解析式，找到点A（1，-2）进行两次“斜平移”
后的对应点的坐标，代入设出的直线解析式，即可求得n，也就求得了所求的直线解析式．
【详解】（1）点A（1，﹣2）向上平移3 个单位后的点A′的坐标为（1，1），
设平移后的直线解析式为y＝﹣2x+b，
代入得1＝﹣2×1+b，则b＝3，
所以过点A′的直线的解析式为y＝﹣2x+3；
故答案为：（1，1），y＝﹣2x+3；
（2）可设新直线解析式为y＝﹣2x+m，
∵原直线y＝﹣2x 经过点O（0，0），
∴点O 向左平移3 个单位后点O'（﹣3，0），
代入新直线解析式得：0＝6x+m，
∴m＝﹣6，
∴平移后直线的解析式为：y＝﹣2x
6
﹣，
由（1）可知，另外直接将直线y＝﹣2x 向下平移6 个单位也能得到直线y＝﹣2x
6
﹣；
故答案为：y＝﹣2x
6
﹣，下，6；
58
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（3）直线上的点A（1，﹣2），进行一次“斜平移”后的对应点的坐标为（﹣2，1），进行两次“斜平
移”后的对应点的坐标为（﹣5，4），
设两次斜平移后的直线的解析式为y＝﹣2x+n，
代入（﹣5，4）得，4＝﹣2×（﹣5）+n，
则n＝﹣6，
所以，两次斜平移后的直线的解析式为y＝﹣2x
6.
﹣
【点睛】本题考查了平移的性质，待定系数法求解析式，是一次函数综合题，解题的关键是得到平移后经
过的一个具体点．
二、图形的旋转
类型四、图形旋转的规律问题
23．在每个小正方形的边长为的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．从一个格点移动到与之相
距
的另一个格点的运动称为一次跳马变换．例如，在
的正方形网格图形中（如图1），从点
经过
一次跳马变换可以到达点
，
，
，
等处现有
的正方形网格图形（如图2），则从该正方形的
顶点
经过跳马变换到达与其相对的顶点
，最少需要跳马变换的次数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据题意画出F 点,由图一计算出规律即可推出．
【详解】如图1，连接AC，CF，则AF=
，
∴两次变换相当于向右移动3 格，向上移动3 格．
又∵MN=
，∴
（不是整数），
∴按A﹣C﹣F 的方向连续变换10 次后，相当于向右移动了10÷2×3=15 格，向上移动了10÷2×3=15 格，此
1
5
4 4
A
B
C
D
E
17 17
M
N
11
12
13
14
3 2
20 2
20
20 2
3 2
3
时M 位于如图所示的5×5 的正方形网格的点G 处，再按如图所示的方式变换4 次即可到达点N 处．
∴从该正方形的顶点M 经过跳马变换到达与其相对的顶点N，最少需要跳马变换的次数是14 次．
故选D．
【点睛】本题考查规律计算题,主要在于结合图形找出规律．
24．如图，在△ABC 中,∠ACB=
，∠B=
，AC=1，BC=
，AB=2，AC 在直线l 上，将△ABC 绕点
A 顺时针转到位置①可得到点P1，此时AP1=2；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点
P2，此时AP2=2+
；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3=3+
…，
按此顺序继续旋转，得到点P2016，则AP2016=( )
A．2016+671
B．2016+672
C．2017+671
D．2017+672
【答案】B
【分析】利用题意得AP3＝3+
，则易得AP6＝2（3+
），AP9＝3（3+
），则三角形旋转三次一个循
环，一个循环3+
，然后由2016＝3×672 即可得到AP2016的长度．
【详解】解：∵AP1＝2，AP2＝2+
，AP3＝3+
，
∴AP6＝2（3+
），
AP9＝3（3+
），
而2016＝3×672，
90
30
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
60
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∴AP2016＝672（3+
）＝2016+672
．
故选B．
【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于
旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了规律型问题的解决方法．
25．如图，在平面直角坐标系中，
，
，将
绕点
顺时针旋转并且按一定规律
放大，每次变化后得到的图形仍是顶角为
的等腰三角形．第一次变化后得到等腰三角形
，点
的对应点为
；第二次变化后得到等腰三角形
，点
的对应点为
；第
三次变化后得到等腰三角形
，点
的对应点为
……依此规律，则第2023 年等腰三角形中，
点
的坐标是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由题意，可得点
，
，
在第二象限，
，
，
，推出
，可得
结论．
【详解】解：
在平面直角坐标系中，
，
，绕点
顺时针旋转并且按一定规律放
大，每次变化后得到的图形仍是顶角为
的等腰三角形．
3
3
1
1
OA
OB
1
1
120
AOB
1
1
AOB
△
O
120
2
2
A OB
1(1,0)
A
2
1,
3
A
3
3
A OB
2A
3
3 3 3
,
2
2
A
4
4
A OB
3A
4(4,0)
A
2023
B
2021
2021
2
, 2
3
2021
2021
2
,2
3
2023
2023 3
,
2
2
2023 2023 3
,
2
2
1
B
4
B
7
B
1
1
OB
4
4
OB
7
7
OB
2023
2023
OB
1
1
1
OA
OB
1
1
120
AOB
O
120
第一次变化后得到等腰三角形
，点
的对应点为
，
∴
；
第二次变化后得列等腰三角形
，点
的对应点为
，
；
∴
；
第三次变化后得到等腰三角形
，点
的对应点为
；
∴
；
……
由图可知：
绕点
每次顺时针旋转
，并且腰长增加1，
∴旋转三次完成一周，故点
，
，
，……在第三象限，
，
，
，……
，
，
∴
，
∴点
到
轴距离为
，到
轴距离为
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查坐标与图形变化
旋转，规律型问题等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于
中考常考题型．
26．如图，在
中，顶点
，
，
，将
与正方形
组成的图形绕点O 逆
时针旋转，每次旋转
，则第2023 次旋转结束时，点D 的坐标是 ．
2
2
A OB
1(1,0)
A
2( 1, 3)
A
2
2
2
2
( 1)
( 3)
2
OA
OB
3
3
A OB
2A
3
3
( 2
A
3 3)
2
2
2
3
3
3
3
(
)
(
3)
3
2
2
OA
OB
4
4
A OB
3A
4(4,0)
A
2
2
4
4
3
3
(
)
(
3)
4
2
2
OA
OB
1
1
AOB
△
O
120
1
B
4
B
7
B
1
1
OB
4
4
OB
7
7
OB
2023
2023
OB
2023
2023
120
B
OA
2023
30
B
Oy
2023
B
y
2023
2
x
2023 3
2
2023
2023
(
2
B
2023 3)
2
OAB
0 0
O
，
2 2
A
，
2
2
B
，
OAB
ABCD
60
62
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【答案】
【分析】先利用周期性确定所求坐标就是第1 次旋转结束时，点D 的坐标，即图中的
，过
作y 轴的
垂线，求
，
即可，转移这两条线段，构造
的角即可解决问题．
【详解】解：∵每次旋转
，
∴周期为
，
∵
，
∴第2023 次旋转结束时，点D 的坐标就是第1 次旋转结束时，点D 的坐标，即图中的
．作射线
使
其与x 轴的夹角为
，交
于E，过D 作
，垂足为F，过E 作
轴，垂足为G，
则
，
，
∵
，
∴
，
3
3 3 3
1
，
D
D
OF
F D
30
60
360
60
6
2023
6
337
1
D
OE
30
AD
DF
OE
EG
x
2
4
EG
OE
，
2
2
6
2
2 10
OD
AD
OG
∥
30
AEO
EOG
∴
，
设
，则
，
在
中，
，
∴
，
∴
或
（舍去），
∴
，
，
∴
．
故答案为：
．
【点睛】本题考查了带周期性的点的坐标，把
旋转
后，不好直接求，关键是构造
角，通过建立
方程解决．
27．如图所示，一动点从半径为2 的⊙O 上的A0点出发，沿着射线A0O 方向运动到⊙O 上的点A1处，再
向左沿着与射线A1O 夹角为60°的方向运动到⊙O 上的点A2处；接着又从 A2点出发，沿着射线A2O 方向运
动到⊙O 上的点A3处，再向左沿着与射线A3O 夹角为 60°的方向运动到⊙O 上的点A4处；……按此规律运
动到点A2 017处，则点A2017与点A0间的距离是
【答案】4
【分析】由图分析可知，
点与
点重合，于是得到点
与
重合，依此规律即可得解．
【详解】由图分析可知，
点与
点重合，
2017÷6=336……1，
即点
与
重合，
30
FED
AEO
FD
x
3
EF
x
Rt
OFD
△
2
2
2
OF
FD
OD
2
2
4
3
40
x
x
3
3
x
3
3
3
3
D F
4
3
3 3
1
OF
OF
x
3
3 3 3
1
D
，
3
3 3 3
1
，
OD
60
30
6
A
0
A
2017
A
1A
6
A
0
A
2017
A
1A
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∵⊙O 的半径为 2 ，
∴点
与点
间的距离是4．
故答案是：4
【点睛】本题考查了图形的变化类，结合图形即可得到点
与
重合，依此规律即可解决问题．
28．在平面直角坐标系中，等边
如图放置，点
的坐标为
，将等边
绕着点
依次顺时
针旋转
，同时每边扩大为原来的2 倍，第一次旋转后得到
，第二次旋转后得到
，…，按
此作法进行下去，则点
的坐标为 ．
【答案】
【详解】解：∵A 点坐标为
，
∴
，
∴第一次旋转后，点
在第二象限，
；
第二次旋转后，点
在第一象限，
；
第三次旋转后，点
在x 轴正半轴，
；
2017
A
0
A
2017
A
1A
AOB
A
1,0
AOB
O
60
1
1
AOB
△
2
2
A OB
△
2023
A
2022
2022
2
,2
3
1,0
1
OA
1A
1
2
OA
2A
2
2
2
OA
3A
3
3
2
OA
第四次旋转后，点
在第三象限，
；
第五次旋转后，点
在第四象限，
；
第六次旋转后，点
在x 轴负半轴，
；
如此循环，每旋转6 次，A 的对应点又回到x 轴负半轴上，
∵
，
∴点
在第二象限，且
，
过点
作
轴于
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴点
的坐标为
，
故答案为：
．
4
A
4
4
2
OA
5A
5
5
2
OA
6
A
6
6
2
OA
2022
6
337
1
2023
A
2023
2023
2
OA
2023
A
2023
A
H
x
H
2023
30
OA
H
2022
2023
1
2
2
OH
OA
2
2
2022
2023
2023
3
2
A
H
OA
OH
2023
A
2022
2022
2
, 3
2
2022
2022
2
, 3
2
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【点睛】本题考查旋转变换，涉及等边三角形、
的直角三角形等知识，解题的关键是确定
所在的
象限．
类型五、图形旋转的性质应用
29．如图，等腰
，
，
，点
为边
上一点，
，点
为边
上一点，连
结
，将
绕点
逆时针旋转
得到
，连结
，则
的最小值为 ．
【答案】
【分析】如图所示，过点
作
的垂线交
于点
，连接
并延长，根据等腰三角形的性质可判定
可得点
在过点
与
垂直的射线上运动，作点
关于
的对称点
，连接
与射线
交于点
，根据两点之间线段最短可得，当点
与点
重合时，
的值最小，过点
作
的垂线，交
于点
，根据题意可求出
，在
中，根据勾股定
理即可求解．
【详解】解：如图所示，过点
作
的垂线交
于点
，连接
并延长，
∵
是等腰直角三角形，
∴
，
∵
，
∴
是等边直角三角形，
∴
，
，
∵
，
∴
，
30
2023
A
Rt
ABC
△
90
B
6
AB
D
AB
2
BD
E
AC
DE
DE
D
90
DF
AF
BF
，
AF
BF
2 17
D
AD
AC
M
MF
SAS
ADE
MDF
≌
F
M
AC
A
MF
A
BA
MF
F
F
F
AF
BF
B
AC
AC
N
AN
BN
AM
A M
A N
，
，
，
，
Rt A BN
D
AD
AC
M
MF
ABC
45
BAC
BCA
DM
AB
ADM
△
AD
MD
45
DAM
DMA
DE
DF
90
EDM
FDM
ADE
EDM
∠
∠
∠
∠
∴
，
在
中，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴点
在过点
与
垂直的射线上运动，
作点
关于
的对称点
，连接
与射线
交于点
，
∴
，则
，
根据两点之间线段最短可得，当点
与点
重合时，
的值最小，即
，
过点
作
的垂线，交
于点
，则
是等腰直角三角形，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，则
，
∵点
关于
的对称点为
，
∴
，则
，
∵
，且
，
∴在
中，
，
∴
，
故答案为：
．
【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的形，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称最短路径，
ADE
MDF
ADF
MDF
△
，△
AD
MD
ADE
MDF
DE
DF
SAS
ADE
MDF
≌
45
DAE
DMF
∠
∠
45
45
90
AMF
AMD
DMF
∠
∠
∠
F
M
AC
A
MF
A
BA
MF
F
AF
A F
AF
BF
A F
BF
F
F
AF
BF
AF
BF
AF
B F
A F
BF
A B
B
AC
AC
N
Rt
ABN
△
6
AB
2
2
6
3 2
2
2
AN
BN
AB
6
2
4
AD
AB
BD
4
DM
AD
2
4 2
AM
AD
A
MF
A
4 2
A M
AM
8 2
AA
8 2
3 2
5 2
A N
AA
AN
3 2
BN
Rt A BN
2
2
2
2
3 2
5 2
2 17
A B
BN
A N
2 17
A F
BF
AF
BF
2 17
68
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两点之间线段最短，动点与轨迹，勾股定理的综合运用，掌握点的运动轨迹，构造轴对称最短路径的方法
是解题的关键．
30．如图，在四边形
中，
，
，连接
，将
绕点
旋转，
使
旋转到
，
旋转到
，当
与
交于一点
，
同时与
交于一点
时，下面四个
结论：
；
；
；
周长的最小值是
．其中所有正
确结论的序号是 ．
【答案】
【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，平行四边形的性质，最短路径问题，根据题意可证
，可判断
，由
的周长
，则当
最小时
的周长最小，根据垂线段最短，可得
时，
最小，即
最小，即可求此时
周长
最小值，解题的关键是熟练掌握这些性质的应用．
【详解】∵
，
，
∴
，
为等边三角形，
∴
，
∵将
绕点
旋转到
位置，
∴
，且
，
，
∴
，
∴
，
，
，
∴
，故
正确，
错误；
∵
，
，
∴
，故
正确；
∵
的周长
，
ABCD
6
AB
BC
CD
AD
60
A
C
BD
BCD
△
B
BD
BD
BC
BC
BD
AD
E
BC
CD
F
AE
DF
①
60
EBF
②
DEB
DFB
③
DEF
④
6
3 3
①②④
ABE
BDF
△
≌△
①②③
DEF
6
DE
DF
EF
AD
EF
EF
EF
DEF
BE
AD
BE
EF
BDE
△
4
AB
BC
CD
AD
60
A
C
ABD
△
BCD
△
60
A
BDC
BCD
△
B
BC D
△
ABD
DBC
AB
BD
A
DBC
ABE
BFD
≌
AE
DF
BE
BF
AEB
BFD
180
DEB
DFB
①
③
60
ABD
ABE
DBF
60
EBF
②
DEF
6
DE
DF
EF
AD
EF
EF
∴当
最小时，∴
的周长最小，
∵
，
，
∴
是等边三角形，
∴
，
∴当
时，
长度最小，即
长度最小，
∵
，
，
，
∴
，
∴
的周长最小值为
，故
正确，
故答案为：
．
31．在
中，
，
，
．把
绕点
逆时针旋转
得到
，
点
的对应点为点
．
(1)当
时，在图1 中作出旋转后的
（尺规作图，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，连接
，则
的长为______；
(3)在旋转过程中，直线
分别交
，
于点
，
，若
为等腰三角形，求
的长．
【答案】(1)作图过程见解析，
(2)
(3)
或
【分析】3421726244929536（1）过点
作
的平行线，根据全等三角形判定定理
，截取
，
，
，即可做出旋转
后的
，
EF
DEF
60
EBF
BE
BF
BEF
△
EF
BE
BE
AD
BE
EF
6
AB
60
A
BE
AD
3 3
EB
DEF
6
3 3
④
①②④
ABC
90
C
4
AC
3
BC
ABC
B
0
90
DBE
A
D
90
DBE
AD
AD
DE
CA
BA
M
N
AMN
AM
5 2
5
10
AM
3
AM
B
AC
SSS
BE
BC
BD
BA
ED
CA
90
DBE
70
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（2）根据勾股定理求出
的长度，由旋转性质可得
是等腰直角三角形，即可求出
的长，
（3）分
、
、
分别为底的情况进行讨论，根据等角对等边，及勾股定理进行求解，
本题考查了旋转的性质，勾股定理，等腰三角形存在性问题，解题的关键是：根据等腰三角形存在的可能
性进行分情况讨论，结合图形找到等量关系，进行求解．
【详解】（1）解：过点
作
，在
上截取
使
，分别以点
、点
为圆心，
、
长为半径做圆，交点即为点
（方法不止一种），
（2）
，
，
，
，
连接
，
由旋转性质可得，
，
，
为等腰直角三角形，
，
故答案为：
，
（3）当
为底时，
，
，连接
，
AB
DBA
AD
AM
AN
MN
B
FBA
BAC
BF
BE
BE
BC
B
E
AB
CA
D
90
C
4
AC
3
BC
2
2
2
2
2
4
4
3
5
AB
AC
BC
b
ac
AD
90
ABD
DB
AB
ABD
2
2
2
2
5
5
5 2
AD
AB
DB
5 2
AM
NM
NA
NMA
NAM
BM
，
，
，设
，则
，
，
，
在
和
中，
，
，
，
，
不存在
为底的情况，
当
为底时，
，
，
，
，
，
，
，
，
BDE
BAC
DBN
BDN
NB
ND
NB
ND
a
5
NM
NA
a
4
NE
a
5
4
1
ME
NM
NE
a
a
Rt
BCM
△
Rt BEM
BC
BE
BM
BM
Rt
Rt
HL
BCM
BEM
≌
1
CM
EM
4 1
3
AM
0
90
AN
MN
AM
AN
ANM
AMN
BDE
BAC
DBN
DNB
5
DN
DB
5
4
1
NE
DN
ED
2
2
2
2
3
1
10
BN
BE
NE
5
10
AM
AN
AB
BN
72
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故答案为：
或
．
32．如图1，射线
在
的内部，图中共有3 个角：
、
和
，若其中有一个角
的度数是另一个角度数的两倍，则称射线
是
的奇妙线．
(1)一个角的角平分线 ___________这个角的奇妙线．（填是或不是）
(2)如图2，若
，射线
绕点P 从
位置开始，以每秒
的速度逆时针旋转，当
首
次等于
时停止旋转，设旋转的时间为
．
①当t 为何值时，射线
是
的奇妙线？
②若射线
同时绕点P 以每秒
的速度逆时针旋转，并与
同时停止旋转．请求出当射线
是
的奇妙线时t 的值．
【答案】(1)是
(2)
9
①或12 或18；②
或
或
【分析】（1）根据角平分线的定义和“奇妙线”的定义进行计算即可；
（2）①分三种情况进行讨论，当
时，当
时，当
时，分
别列出方程进行求解即可；
②分三种情况进行讨论，当
时，当
时，当
时，分别列
出方程进行求解即可．
【详解】（1）解：一个角的平分线是这个角的“奇妙线”；
故答案为：是．
5
10
AM
3
AM
OC
AOB
AOB
AOC
BOC
OC
AOB
60
MPN
PQ
PN
10
QPN
180
s
t
PM
QPN
PM
6
PQ
PQ
MPN
5
2
30
7
20
3
2
MPN
MPQ
2
QPN
MPN
2
QPM
PMN
2
MPQ
QPN
2
MPN
QPN
2
QPN
MPQ
（2）解：①依题意有：
A．当
时，
，
解得：
；
B．当
时，
，
解得
；
C．当
时，
，
解得：
；
故当t 为9 或12 或18 时，射线
是
的“奇妙线”；
②依题意有
A．当
时，
，
解得：
；
B．当
时，
，
解得
；
C．当
时，
，
解得：
．
故当射线
是
的奇妙线时t 的值为
或
或
．
2
MPN
MPQ
1
10
60
60
2
t
9
t
2
QPN
MPN
10
2 60
t
12
t
2
QPM
PMN
10
60
2 60
t
18
t
PM
QPN
2
MPQ
QPN
1
10
6
60
3
t
t
5
2
t
2
MPN
QPN
1
10
6
60
2
t
t
30
7
t
2
QPN
MPQ
2
10
6
60
3
t
t
20
3
t
PQ
MPN
5
2
30
7
20
3
74
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【点睛】本题主要考查了旋转的性质，一元一次方程的应用，几何图形中角度的计算，新定义运算，解题
的关键是数形结合，注意进行分类讨论．
33．综合与实践
【模型感知】
手拉手模型是初中数学里三角形全等知识点考察的重要模型．两个有公共顶点且顶角相等的等腰三角形组
成的图形叫手拉手模型．
（1）如图，已知
和
都是等边三角形，连接
，
．求证：
；
【模型应用】
（2）如图
，已知
和
都是等边三角形，将
绕点
旋转一定的角度，当点
在
的延
长线上时，求证：
；
【类比探究】
（3）如图，已知
和
都是等边三角形．当点
在射线
上时，过点
作
于点
，
直接写出线段
，
与
之间存在的数量关系为_____________．
【答案】（）见解析；（
）见解析；（）
或
．
【分析】（）由
和
都是等边三角形得
，
，
，
．进
而得
．最后证明
，即可得证；
（
）由
和
都是等边三角形，得
，
，
，
，从
而得
．进而证明
得
，即可得证；
（）如图，当
在线段
上时，如图，当
在线段
的延长线上时，证明
，可
得
；再证明
，从而可得结论．
【详解】证明：（）
和
都是等边三角形，
，
，
，
．
．
．
1
ABC
ADE
V
BE
CD
BE
CD
2
ABC
ADE
V
ADE
V
A
D
CB
AB
BD
BE
3
ABC
ADE
V
D
BC
E
EF
AB
F
AB
BF
BD
1
2
3
2
AB
BD
BF
2
BD
AB
BF
1
ABC
ADE
V
AB
AC
60
BAC
AE
AD
60
DAE
BAE
CAD
SAS
BAE
CAD
≌
2
ABC
ADE
V
AB
AC
BC
60
BAC
AE
AD
60
DAE
BAE
CAD
ABE
ACD SAS
≌
BE
CD
3
D
BC
D
BC
SAS
ABE
ACD
≌
BE
DC
2
BE
BF
1
ABC
ADE
V
AB
AC
60
BAC
AE
AD
60
DAE
60
BAE
BAD
DAE
BAD
60
CAD
BAC
BAD
BAD
．
在
和
中，
，
；
（
）
和
都是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
．
在
和
中，
，
．
．
，
；
（）
或
．理由如下：
如图，当
在线段
上时，
∵
和
都是等边三角形，
∴
，
，
，
∴
，
在
和
中，
BAE
CAD
BAE
CAD
,
AB
AC
BAE
CAD
AE
AD
SAS
BAE
CAD
≌
BE
CD
2
ABC
ADE
V
AB
AC
BC
60
BAC
AE
AD
60
DAE
60
BAE
DAE
BAD
BAD
60
CAD
BAC
BAD
BAD
BAE
CAD
ABE
ACD
AB
AC
BAE
CAD
AE
AD
SAS
ABE
ACD
≌
BE
CD
CD
CB
BD
AB
BD
AB
BD
BE
3
2
AB
BD
BF
2
BD
AB
BF
D
BC
ABC
ADE
V
AB
AC
AD
AE
60
BAC
DAE
CAD
BAE
ABE
ACD
76
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，
∴
，
∴
；
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
；
如图，当
在线段
的延长线上时，
同理可得：
，
∴
，
∵
，
∴
，
同理可得：
，
∴
．
故答案为：
或
．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，含
度角的直角三角形的
性质，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件．
类型六、图形旋转的综合问题
34．问题提出：
（1）如图①，已知
是面积为
的等边三角形，
是
的平分线，则
的长为______．
问题探究：
AB
AC
BAE
DAC
AE
AD
SAS
ABE
ACD
≌
BE
DC
60
ABE
ACD
CD
BC
BD
AB
BD
BE
AB
BD
EF
AB
30
BEF
2
BE
BF
2
AB
BD
BF
D
BC
ACD
ABE
△
≌△
CD
BE
BD
CD
BC
AB
BD
AB
BE
2
BE
BF
2
BD
AB
BF
2
AB
BD
BF
2
BD
AB
BF
30
ABC
4 3
AD
BAC
AB
（2）如图②，在
中，
，
，
，点
为
的中点，点
，
分别在边
，
上，且
．证明：
．
问题解决：
（3）如图③，李叔叔准备在一块空地上修建一个矩形花园
，然后将其分割种植三种不同的花卉．
按照他的分割方案，点
，
分别在
，
上，连接
、
、
，
，
、
分别在
、
上，连接
、
，
，
，其中四边形
种植玫瑰，
和
种植郁
金香，剩下的区域种植康乃馨，根据实际需要，要求种植玫瑰的四边形
的面积为
，为了节
约成本，矩形花园
的面积是否存在最小值？若存在，请求出矩形
的最小面积，若不存在，请
说明理由．
【答案】（1）
；（2）见解析；（3）存在，
【分析】（1）设
的边长为
，得出
，即可求解；
（2）连接
，证明
，即可求解；
（3）将
绕点
逆时针旋转
，得到
，根据四边形
的面积为
，得出
，
则当
时，矩形
的面积最小，根据
，即可求解．
【详解】解：（1）∵
是面积为
的等边三角形，
是
的平分线，
∴
设
的边长为
ABC
90
C
AC
BC
4
AB
D
AB
E
F
AC
BC
90
EDF
DE
DF
ABCD
P
Q
AD
BC
PQ
PB
PC
60
BPC
E
F
PB
PC
QE
QF
QE
QF
120
EQF
PEQF
ABP
PCD
PEQF
2
64 3m
ABCD
ABCD
4
128 3
ABC
a
2
3
4 3
4 a
CD
ADE
CDF
V
V
≌
QFP
△
Q
120
EQG
PEQF
64 3
16
PQ
PQ
BC
ABCD
2
ABCD
PEQF
S
S
四边形
四边形
ABC
4 3
AD
BAC
1
2
BD
CD
AB
ABC
a
78
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∴
∴
∴
解得：
，
故答案为：
．
（2）如图所示，连接
，
∵在
中，
，
，
，点
为
的中点，
∴
，
，
又∵
∴
在
中，
∴
∴
；
（3）如图所示，
2
2
3
3
2
AD
AB
BD
BD
a
2
1
1
3
3
2
2
2
4
ABC
S
BC
AD
a
a
a
=
创
=
2
3
4 3
4 a
4
a
4
CD
ABC
90
C
AC
BC
4
AB
D
AB
CD
AD
90
ADC
45
A
DCF
90
EDF
ADE
ADC
CDE
EDF
EDC
CDF
,
ADE
CDF
△
△
45
A
DCF
ADE
CDF
AD
CD
ADE
CDF
V
V
≌
DE
DF
∵
，
，
∴
将
绕点
逆时针旋转
，得到
，
∴
三点共线，
∴四边形
的面积等于
，
又∵
，
∴
过点
作
于点
，则
设
，则
∴
∴
∵四边形
的面积为
，
∴
，即
,
如图所示，作
于点
，
∵
，
，
，则
，
在
中，
60
BPC
120
EQF
360
60
120
180
PFQ
PEQ
QFP
△
Q
120
EQG
,
,
P E G
PEQF
PQG
120 ,
PQG
PQ
GQ
30
QPG
QGP
Q
QN
PG
N
1
2
QN
PQ
PQ
b
1
3
,
2
2
NQ
b PN
b
2
3
PG
PN
b
2
1
1
1
3
3
2
2
2
4
PQG
S
PG
NQ
b
b
b
PEQF
64 3
16
b
16
PQ
QM
PM
M
30
EPQ
FPQ
QM
PM
QN
PG
QN
QM
,
ENQ
FMQ
80
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∴
，
同理可得
则
∴
，
作点
关于
的对称点
，连接
，则
是等边三角形，则
，
如图所示，依题意，当
时，矩形
的面积最小，此时
与
重合，，
∴
∴矩形
的最小面积为
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾
股定理，旋转的性质，综合运用以上知识是解题的关键．
35．问题提出：
（1）如图1，点A 为线段
外一动点，且
，
，填空：当
__________时，线段
的长取得最大值，且最大值为__________（用含a，b 的式子表示）．
问题探究：
QN
QM
EQ
FQ
HL
ENQ
FMQ
≌
PNQ
PMQ
≌
2
PNQ
PEQF
S
S
四边形
PEQF
PNQM
S
S
四边形
四边形
Q
PE
T
PT
PTQ
64 3
PTQ
S
PQ
BC
ABCD
,
E F
,
N M
2
2 64 3
128 3
ABCD
PEQF
S
S
四边形
四边形
ABCD
2
128 3m
BC
BC
a
AB
b
ABC
AC
（2）点A 为线段
外一动点，且
，
，如图2 所示，分别以
，
为边，作等边三角形
和等边三角形
，连接
，
，找出图中与BE 相等的线段，请说明理由，并直接写出线段
长的最大值．
问题解决：
（3）如图3，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为
，点B 的坐标为
，点P 为线段
外一动点，
且
，
，
，求线段
长的最大值及此时点P 的坐标．
【答案】（1）
，
；（2）①
理由见解析；②
的最大值
（3）
的最大值是
，点
的坐标为
【分析】考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，最大值问题，旋转的性质．
（1）根据点
位于
的延长线上时，线段
的长取得最大值，即可得到结论；
（2）①根据等边三角形的性质得到
，
，
，推出
，根
据全等三角形的性质得到
；②由于线段
长的最大值
线段
的最大值，根据（1）中的结论
即可得到结果；
（3）连接
，将
绕着点
顺时针旋转
得到
，连接
，得到
是等腰直角三角形，
根据全等三角形的性质得到
，
，根据当
在线段
的延长线时，线段
取得最
大值，即可得到最大值为
；如图
，过
作
轴于
，根据等腰直角三角形的性质即可得到
结论．
【详解】解：（1）
点
为线段
外一动点，且
，
，
当点
位于
的延长线上时即
，线段
的长取得最大值，且最大值为
，
故答案为：
，
；
（2）①
，
理由：
与
是等边三角形，
，
，
，
，
即
，
在
与
中，
BC
6
BC
3
AB
AB
AC
ABD
ACE
CD
BE
BE
2,0
5,0
AB
2
PA
PM
PB
90
BPM
AM
180
a
b
,
DC
BE
BE
9;
AM
3
2 2
P
2
2
2
，
A
CB
AC
AD
AB
AC
AE
60
BAD
CAE
CAD
EAB
≌
CD
BE
BE
CD
BM
APM
P
90
PBN
AN
APN
2
PN
PA
BN
AM
N
BA
BN
3
2 2
2
P
PE
x
E
A
BC
BC
a
AB
b
A
CB
180
ABC
AC
BC
AB
a
b
180
a
b
CD
BE
ABD
ACE
AD
AB
AC
AE
60
BAD
CAE
BAD
BAC
CAE
BAC
CAD
EAB
CAD
EAB
82
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，
，
；
②
线段
长的最大值
线段
的最大值，
由
知，当线段
的长取得最大值时，点
在
的延长线上，
最大值为
；
（3）
将
绕着点
顺时针旋转
得到
，连接
，
则
是等腰直角三角形，
，
，
的坐标为
，
，点
的坐标为
，
，
，
，
，
线段
长的最大值
线段
长的最大值，
当
在线段
的延长线时，线段
取得最大值，
最大值
，
，
最大值为
；
如图
，过
作
轴于
，
AD
AB
CAD
EAB
AC
AE
CAD
EAB
≌
CD
BE
BE
CD
1
CD
D
CB
9
BD
BC
AB
BC
APM
P
90
PBN
AN
APN
2
PN
PA
BN
AM
A
(2
0)
B
(5
0)
2
OA
5
OB
3
AB
AM
BN
N
BA
BN
AB
AN
AN
2
2
AP
2
2
2
3
2
P
PE
x
E
是等腰直角三角形，
，
，
．
36．已知，点M 为线段
的中点，点P 为线段
上一动点，过点P 作直线l（不与
重合），
于点E，
于点F．
(1)如图1，当点P 与点M 重合时，
与
有怎样的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，当点P 不与点M 重合时，（1）问中的结论是否仍然成立，为什么？
(3)在等边
中，点M 为
的中点，点P 为
边上一动点，过点P 的直线
，
于点E，
于点F，连结
．
①如图3，当
时，求
的度数；
②如图4，当
时，探究
的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)
，理由见解析
(2)（1）中的结论仍成立，理由见解析
(3)①
，②
【分析】（1）证明
，即可得到结论；
APN
PE
AE
2
5
3
OE
BO
AB
AE
2
2
2
2
2
2
P
，
AB
AB
AB
AE
l
BF
l
EM
FM
ABC
AB
AB
l
BC
∥
AE
l
BF
l
BE
AE
BE
MFE
45
MFE
PM
PB
PE
、
、
EM
FM
30
2
2
2
2
4
PB
PE
PM
AEM
BFM
≌
84
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（2）延长
交
于点D，证明
，则
，得到
，
，即可得到结论；
（3）①由等边
得到
，由平行线性质得到
，则
，
求出
．由（2）知
即可得到
；
②将
绕点M 顺时针旋转
得到
，连结
，进一步得到
，则
，
得到
，则
，由
得到
，则
，再证明
，即可得到解论．
【详解】（1）解：
，理由如下：
∵M 为AB 中点
∴
又∵
，
∴
在
和
中
∴
∴
；
（2）（1）中的结论仍成立，理由如下：
如图2，延长
交
于点D，
∵M 为
的中点，
FM
AE
(
)
ADM
BFM AAS
△
≌△
DM
FM
1
2
EM
FD
1
2
FM
FD
ABC
60
ABC
180
120
BPE
ABC
60
EPM
30
MEP
ME
MF
30
MFE
MEF
MP
90
MP
PP
(
)
FMP
FMP SAS
△
≌△
45
MEP
MFP
EP
PF
90
PEP
2
2
2
P E
PE
P P
2
2
2
MP
P M
P P
2
2
2MP
P P
2
2
2
2
PF
PE
MP
1
2
PF
PB
EM
FM
AM
BM
AE
l
BF
l
90
AEM
BFM
AEM
△
BFM
AEM
BFM
AME
BMF
AM
BM
AEM
BFM AAS
△
≌△
EM
FM
FM
AE
AB
∴
，
又∵
，
．
∴
，
∴
，
在
和
中，
∴
∴
，
又∵
，
∴
∴
又∵
，
∴
∴
（3）①如图3，
∵等边
∴
∵
∴
，
∴
，
∵
，点M 为
的中点
∴
AM
BM
AE
l
BF
l
AE
BF
∥
ADM
BFM
ADM
△
BFM
ADM
BFM
AMD
BMF
AM
BM
(
)
ADM
BFM AAS
△
≌△
DM
FM
AE
l
90
AEF
1
2
EM
FD
DM
FM
DM
FM
DF
1
2
FM
FD
EM
FM
ABC
60
ABC
l
BC
∥
180
120
BPE
ABC
180
60
EPM
BPE
AE
BE
AB
EM
AB
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∴
∴
．
由（2）知
∴
②
，理由如下；
如图4，由（2）知
∴
又∵
∴
∴
．
将
绕点M 顺时针旋转
得到
，连结
，
∵
∴
即
∴
∴
，
∴
∴
又∵
∴
∴
∴
又∵
，
∴
∴
90
EMB
90
30
MEP
EPM
ME
MF
30
MFE
MEF
2
2
2
2
4
PB
PE
PM
EM
FM
MFE
MEF
45
MFE
45
MFE
MEF
90
EMF
MP
90
MP
PP
90
EMF
PMP
EMF
BME
PMP
BME
FMP
EMP
(
)
FMP
FMP SAS
△
≌△
45
MEP
MFP
EP
PF
90
PEP
MEP
MEF
2
2
2
P E
PE
P P
90
PMP
2
2
2
MP
P M
P P
2
2
2MP
P P
2
2
2
2
PF
PE
MP
BF
l
60
ABC
30
FBP
1
2
PF
PB
∴
即
．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、旋转的性质、等腰直角三角形的判定和性质、
等边三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质并添加适当的辅助线是解题的关键．
37．如图，在四边形
中，
，点
在四边形
的内部，且
，
，已知
，则
的长为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了旋转的构造全等三角形解决问题．
将
绕点
顺时针旋转
至
，连接
，过点F 作
，交
延长线于H，证得
，由30 度直角三角形性质求出
，
，再由勾股定理求出
，证明
，由全等三角形的性质得出
．
【详解】解：如图，将
绕点
顺时针旋转
至
，连接
，过点F 作
，交
延
长线于H，
则
，
，
，
2
2
2
1
2
2 PB
PE
PM
2
2
2
2
4
PB
PE
PM
ABCD
AD
BC
∥
E
ABCD
DE
EC
120
DEC
AEB
4
6
AD
BC
，
AB
2 19
AED
△
E
120
FEC
BF
FH
BC
BC
120
FCB
2
CH
2 3
EH =
2 19
FB
(SAS)
ABE
FBE
≌
2 19
AB
FB
AED
△
E
120
FEC
BF
FH
BC
BC
4
AD
CF
AE
EF
ADE
FCE
88
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，
，
，
，
，
，
，即
，
∴
，
∴
，
∴
，
，
，
，
，
，
，
在
和
中，
，
，
．
【点睛】本题涉及考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、30 度直角三角形的性质、等腰三角形的
判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握旋转的性质，利用旋转将分散的条件集中到同一三角形，再证明
三角形全等，进行转化线段关系是解题的关键．
38．问题初探：（1）一天杨老师给同学们这样一个几何问题：
如图1，
和
都是等边三角形，点
在
上．
AD
BC
180
ADE
EDC
ECD
ECB
ED
EC
120
CED
30
EDC
ECD
120
ADE
ECB
120
FCE
ECB
120
FCB
60
FCH
30
CFH
1
1
4
2
2
2
CH
CF
2
2
2 3
FH
CF
CH
2
2
2
2
(6
2)
(2 3)
2 19
FB
BH
FH
120
AEB
120
AEF
360
120
120
120
FEB
AEB
FEB
ABE
FBE
AE
EF
AEB
FEB
BE
BE
(SAS)
ABE
FBE
△
≌△
2 19
AB
FB
ABC
BDE
△
A
DE
求证：以
、
、
为边的三角形是钝角三角形．
小明通过探究发现：连接
，根据已知条件，可以证明
，
，从而得出
为钝
角三角形，故以
、
、
为边的三角形是钝角三角形．
请你根据小明的思路，写出完整的证明过程．
类比分析：（2）杨老师发现，小明通过构造全等三角形，将
边和
转移，使
、
、
在一个
三角形中，为了帮助学生更好的利用已知边角的数量关系构造全等三角形，杨老师将
和
换成
两个等腰直角三角形，并隐藏了一部分图形，得到了下面的图形，如图3，并提出了下面的问题，请解答．
已知：
，
，
为AC 边上的一点，试判断
、
、
之间的数量关系．
学以致用：（3）如图4．已知四边形
是正方形．点
在
上，
，
，试
求出正方形
的面积．
【答案】（1）问题初探：见解析；小明通过探究发现：见解析；（2）类比分析：见解析；学以致用：
【分析】（1）连接
，由等边三角形的性质可证
，由
可判定
，由全
等三角形的性质得
，
，即可求证；
(2)将线段
绕点B 顺时针旋转
得到
，连接
、
，由旋转的性质得
，
，
再由
可判定
，由由全等三角形的性质得
，由勾股定理得
，即可求证；
（3）将线段
绕点B 顺时针旋转
得到
，连接
、
，由勾股定理可求
，作
，
由外角性质得
，由直角三角形的特征可求
，再由勾股定理求出
的长，即可
求解．
AE
AD
AC
DC
DC
AE
120
ADC
ADC
△
AE
AD
AC
AE
E
AE
AD
AC
ABC
BDE
△
90
ABC
AB
BC
D
BD
AD
CD
ABCD
E
AC
2
2
10
AE
CE
15
EBA
ABCD
15
2
DC
CBD
ABE
SAS
CBD
ABE
≌
CD
AE
60
BDC
E
BD
90
BE
DE
EC
BD
BE
90
DBE
SAS
ABD
CBE
≌
BAD
BCE
2
2
2
CD
CE
DE
BE
90
BF
CF
EF
5
BE
BM
EC
60
BEM
1
5
2
2
EM
BE
AB
90
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【详解】（1）证明：如图1，连接
，
和
都是等边三角形，
，
，
，
，
即
，
在
和
中
，
（
），
，
，
，
为钝角三角形，
∴以
、
、
为边的三角形是钝角三角形；
(2)如图2，将线段
绕点B 顺时针旋转
得到
，连接
、
，
，
，
DC
ABC
BDE
△
AB
BC
BE
BD
ABC
DBE
E
BDE
60
ABC
ABD
DBE
ABD
CBD
ABE
CBD
△
ABE
BC
BA
CBD
ABE
BD
BE
CBD
ABE
≌
SAS
CD
AE
60
BDC
E
ADC
BDE
BDC
120
ADC
AE
AD
AC
BD
90
BE
DE
EC
BD
BE
90
DBE
，
，
，
，
在
和
中
，
（
），
，
，
，
，
，
；
（3）解：如图3，将线段
绕点B 顺时针旋转
得到
，连接
、
，
由(2)可得
，
，
，
作
，
，
，
2
2
DF
BD
BE
2BD
90
CBE
CBD
90
ABD
CBD
ABD
CBE
ABD
△
CBE
△
BD
BE
ABD
CBE
AB
BC
ABD
CBE
≌
SAS
BAD
BCE
90
BCE
ACB
90
DCE
2
2
2
CD
CE
DE
2
2
2
2
DC
EC
BD
2
2
2
2
DC
AD
BD
BE
90
BF
CF
EF
2
2
2
2
AE
CE
BE
2
2
10
BE
5
BE
BM
EC
15
EBA
45
BAE
92
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，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了三角形外角的性质，等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定及性质，直
角三角形的特征，勾股定理等，掌握相关的判定方法及性质，能灵活利用旋转的性质，构建全等三角形是
解题的关键．
39．问题提出
（）如图
所示，将含有
和
角的一副直角三角板
与
在直线
，
的顶点和
角
的顶点重合于点
，点
在直线
上，
为
平分线，则
．
问题探究
（
）如图
，若将三角板
绕点
逆时针旋转
，
平分
，请你探究
度
数是否会发生变化？若不变，求出其角度；若变化，请说明理由；
问题解决
（）如图
，从图
位置开始，将三角板
绕点
以每秒
速度逆时针旋转，同时三角板
以
每秒
的速度顺时针旋转，当
首次与
重合或当
与
首次重合时，两个三角板都停止旋转．
BEM
EBA
BAE
60
30
EBM
1
5
2
2
EM
BE
2
2
BM
BE
EM
15
2
30
2
2
AB
BM
2
ABCD
AB
S
正方形
2
30
2
15
2
1
①
45
30
ABO
CDO
MN
45
60
O
,
,
A O C
MN
OE
BOD
BOE
2
②
ABO
O
0
90
a
a
OF
AOC
EOF
3
③
①
CDO
O
10
ABO
15
OD
OM
OB
ON
设两三角板的旋转时间为，在整个旋转过程中，当满足
，求的值．
【答案】（）
；（
）
度数不会发生变化，为
；（）
或
．
【分析】（）利用角的和差关系及角平分线的定义即可求解；
（
）利用角的和差关系及角平分线的定义即可求解；
（）由
，可判断出
与
重合前（含重合）和
与
重合后这两个阶段不
存在满足条件的值，由此得到满足条件的值在
与
重合后到
与
重合时这个阶段，根据角的
和差关系列出方程即可求解；
本题考查了角的旋转，角的计算及角平分线的定义，能通过图形找到所求角的和差关系是解题的关键．
【详解】解：（）∵点
在直线
上，
，
，
∴
，
∵
为
平分线，
∴
，
故答案为：
；
（
）∵将三角板
绕点
逆时针旋转
，
∴
，
，
∵
平分
，
为
平分线，
t
10
BOC
AOD
t
1
37.5
2
EOF
7.5
3
4.9
5.3
1
2
3
10
BOC
AOD
OA
OD
OA
OC
t
t
OA
OD
OA
OC
1
,
,
A O C
MN
45
AOB
60
COD
180
45
60
75
BOD
OE
BOD
1
1
75
37.5
2
2
BOE
BOD
37.5
2
ABO
O
0
90
a
a
180
AOC
180
45
60
75
BOD
OF
AOC
OE
BOD
94
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∴
，
，
∴
，
∴
度数不会发生变化，为
；
（）由图可知，当
与
重合前（含重合）和
与
重合后，
，
∴在这两个阶段不存在满足条件的值，
当
与
重合后到
与
重合时，
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
或
，
解得
或
，
∴当
时，的值为
或
．
40．【初步感知】
（1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，将等腰三角形纸片
与等腰三角形纸片
按
图示位置摆放，其中
，
．
1
1
1
180
90
2
2
2
AOF
AOC
1
1
1
75
37.5
2
2
2
BOE
BOD
1
1
90
45
37.5
7.5
2
2
EOF
AOF
AOB
BOE
EOF
7.5
3
OA
OD
OA
OC
60
45
15
10
BOC
AOD
COD
AOB
t
OA
OD
OA
OC
15
10
120
25
120
AOD
t
t
t
135
25
BOC
t
135
25
25
120
255
50
BOC
AOD
t
t
t
10
BOC
AOD
255
50
10
t
255
50
10
t
255
50
10
t
4.9
t
5.3
t
10
BOC
AOD
t
4.9
5.3
ABC
ABD
AB
BC
AD
BD
求证：
，请你完成证明．
【深入探究】
（2）如图2，
中，
，点
在底边
上，
，
，点
在点
的右侧，连接
．求证：
．
小明和小红分别给出如下思路：
①小明同学从轴对称变化的角度做了研究：以
为对称轴，利用轴对称构造一个与
全等的三角形，
通过研究角的大小关系解决了问题．
②小红同学从旋转变化的角度做了研究：以点
为旋转中心，利用旋转构造一个与
全等的三角形，
也通过研究角的大小关系解决了问题．
请你选择一名同学的思路，写出证明过程．
【学以致用】
为了帮助学生更好地感悟类比推理思想，李老师将图2 进行修改并提出下面问题，请你解答．
（3）如图3，在（2）的条件下，将“点
在点
的右侧”改为“点
在点
的左侧”，其他条件不变，
点E 在线段
上，且满足
，当
，
，
时，求
的长．（用含
的式子表示）
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）
【分析】（1）根据等腰三角形性质，结合三角形内角和定理即可得到答案；
（2）①过点
作
交
于点
，如图所示，由旋转性质及等腰三角形性质及三角形内角和定理
得到两个三角形全等的条件，从而判定
，再由平行线的判定定理即可得到答案；②
过点
作
交
的延长线于点
，如图所示，由旋转性质及等腰三角形性质及三角形内角和定
理得到两个三角形全等的条件，从而判定
，再由平行线的判定定理即可得到答案；
（3）延长
，过点
作
交
于点
，连接
，如图所示，由等腰三角形性质及等边三角形
的判定与性质得到
和
为等边三角形，结合平行线性质，由三角形全等的判定与性质得到
、
，再由等腰三角形判定与性质即可得到答案．
【详解】证明：（1）
，
，
，
，
ABC
ADB
ABC
AB
BC
M
AC
BMN
ABC
BM
MN
N
A
AN
AN
BC
∥
AM
ANM
M
ANM
N
A
N
A
AB
2
BMC
AME
60
CM
m
BN
n
AE
m
n
，
AE
n
m
M
ME
MB
AB
E
SAS
AEM
ANM
≌
M
MA
MF
AB
F
SAS
FBM
ANM
≌
NA
A
AE
AE
NA
E
ME
ABC
BMN
SAS
ANB
CMB
≌
SAS
AEM
AE M
≌
AB
BC
A
C
AD
DB
A
DBA
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，
∵在
中，
；在
中，
；
；
（2）①选择小明同学，过点
作
交
于点
，如图所示：
，
由（1）得，
，
，
，
，
，
，
∵在
中，
；在
中，
；
又
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
②选择小红同学，过点
作
交
的延长线于点
，如图所示：
A
C
DBA
ABC
180
ABC
A
C
ABC
180
ADB
A
DBA
ABC
ADC
M
ME
MB
AB
E
MEB
MBA
4
C
3
5
4
180
C
ABC
3
5
180
BMN
BMN
ABC
4
3
5
C
ABF
△
4
6
180
AFB
MNF
3
1
180
NFM
AFB
NFM
1
6
2
4
MEB
6
5
EBM
2
6
1
2
AM
AM
EM
NM
SAS
AEM
ANM
≌
4
7
7
C
AN
BC
∥
M
MA
MF
AB
F
，
∴由（1）得，
，
，
由（1）得，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）延长
，过点
作
交
于点
，连接
，如图所示：
，
，
，
，
∴
和
为等边三角形，
4
F
3
5
AMF
BMN
1
2
4
C
3
5
4
180
C
ABC
3
5
180
BMN
BMN
ABC
4
C
3
5
AM
MF
NM
RM
SAS
FBM
ANM
≌
6
F
6
C
AN
BC
∥
NA
A
AE
AE
NA
E
ME
60
E AC
C
EAC
AB
BC
MN
MB
60
BMN
ABC
ABC
BMN
98
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，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查三角形综合，难度较大，涉及旋转性质、等腰三角形判定与性质、三角形内角和定理、
全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握三角形性质，
灵活运用等腰三角形判定与性质、全等三角形判定与性质，数形结合是解决问题的关键．
41．如图1，点O 为直线
上一点，将两个含
角的三角板
和三角板
如图摆放，使三角板的
一条直角边
在直线
上，其中
．
(1)将图1 中的三角板
绕点O 按逆时针方向旋转至图2 的位置，使得边
在
的内部且平分
，此时三角板
旋转的角度为 度；
BM
BN
NM
n
60
NBM
ABC
4
NBA
SAS
ANB
CMB
≌
AN
MC
m
60
NAB
C
ABC
AN
BC
∥
AM
AM
SAS
AEM
AE M
≌
AME
AME
a
120
E
a
2
2
BMC
AME
a
4
120
2a
1
2
60
a
60
NAB
NMB
1
2
2
60
a
120
NME
a
NME
E
NM
NE
n
AE
AE
N E
AN
n
m
AB
60
MON
OPQ
OM
OP
、
AB
60
OMN
POQ
OPQ
OP
MON
MON
OPQ
(2)三角板
在绕点O 按逆时针方向旋转时，若
在
的内部．试探究
与
之间满足
什么等量关系，并说明理由；
(3)如图3，将图1 中的三角板
绕点O 以每秒
的速度按顺时针方向旋转，同时将三角板
绕点O
以每秒
的速度按逆时针方向旋转，将射线
绕点O 以每秒
的速度沿逆时针方向旋转，旋转后的射线
记为
，射线
平分
，射线
平分
，当射线
重合时，射线
改为绕点O
以原速按顺时针方向旋转，在
第二次相遇前，当
时，直接写出旋转时间t 的值．
【答案】(1)
(2)当
在
外部时，
，当
在
内部时，
，理由
见解析
(3)
或
或
或
【分析】（1）先根据
平分
得到
，即可求出
；
（2）根据题意可得
，作差即可求解；
（3）先求出旋转前
的夹角，然后再求出
第一次和第二次相遇所需要的时间，再设在
第二次相遇前，当
时，需要旋转时间为t，再分
在
的左侧和
在
的右侧
两种情况讨论解答即可．
【详解】（1）解：
平分
，
，
三角板
旋转的角∶
，
故答案为：
．
（2）当
在
外部时，
，理由如下∶
，
，
，
OPQ
OP
MON
MOP
NOQ
MON
2
OPQ
3
OB
5
OB
OE
OC
MON
OD
POQ
OC
OD
、
OE
OC
OD
、
13
COE
135
OQ
MON
30
MOP
NOQ
OQ
MON
30
MOP
NOQ
122
7
148
7
182
3
208
3
OP
MON
PON
BOP
90
,
60
MOP
POQ
NOQ
POQ
OC
OD
、
OC
OD
、
OC
OD
、
13
COE
OE
OC
OE
OC
OP
MON
4
1
2
5
PON
MON
OPQ
135
BOP
PON
NOB
135
OQ
MON
30
MOP
NOQ
90 ,
60
MON
POQ
90
MOP
POQ
60
NOQ
POQ
90
MOP
NOQ
POQ
60
30
POQ
100
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当
在
内部时，
，理由如下∶
，
；
（3）
射线
平分
，射线
平分
，
，
旋转前
，
旋转前
与
的夹角为：
，
与
第一次相遇的时间为：
秒，
此时
旋转的角度为：
此时OC 与
的夹角为：
与OD 第二次相遇的时间为：
(秒)，
设在
与
第二次相遇前，当
时，需要旋转时间为，
①
，
解得∶
，
②
，
解得∶
，
③
，
解得∶
，
，
④
，
解得∶
，
OQ
MON
30
MOP
NOQ
90 ,
60
MON
POQ
30
MOP
NOQ
OC
MON
OD
POQ
45 ,
30
NOC
POD
90
NOP
OC
OD
165
COD
NOC
NOP
POD
OC
OD
165
2
3
33
OB
33 5
165 ,
OE
165
180
45
2
33
96 ,
OC
360
2
3
72
OC
OD
13
COE
t
(2
5)
45
90 13
t
122
7
t
(2
5)
45
90
13
t
148
7
t
(5
2)
96 13
t
3
3
8
t
83
182
33
3
3
(5
2)
96 13
t
9
3
10
t
．
在OC 与OD 第二次相遇前，当
时，旋转时间为
或
或
或
．
【点睛】本题考查了角的运算，角的旋转，角的平分线，余角和补角等知识，掌握角的平分线、余角、补
角等概念才能在求解角度时需要合理运用“等量代换”；求解角的旋转时会出现多种情况运用“分类讨论
思想”．本题难点在于旋转后的多种情况的分析，清楚“旋转前后的图形是完全相等的，各边旋转角度相
同，”是解题关键．
42．数学综合实践课上，同学们以“等腰三角形的旋转”为主题，开展如下探究活动：
(1)【操作探究】如图1，
为等边三角形，将
绕点A 旋转
，得到
，连接
，F 是
的中点，连接
．
①写出图1 中一个等于
的角 ；
②图1 中
与
的数量关系是 ．
(2)【迁移探究】如图2，将（1）中的等边
绕点A 逆时针旋转
，得到
，其他条件不变．探
究
与
的数量关系，并说明理由．
(3)【拓展应用】如图3，在
，
，
，
，将
绕点A 旋转，得到
，连接
，F 是
的中点，连接
．在旋转过程中，当
时，直接写出线段
的长．
【答案】(1)①
或
或
或
(写出一个即可)；②
(2)
，理由见解析
(3)
或
【分析】（1）①根据
为等边三角形，将
绕点A 旋转
，得到
，可得
，又F 为
中点，故
，
，可知
；
33
3
3
109
208
13
COE
t
122
7
148
7
182
3
208
3
ABC
ABC
180
ADE
BE
BE
AF
90
AF
DE
ABC
30
ADE
AF
DE
ABC
中
90
BAC
AB
AC
2 2
BC
ABC
ADE
BE
BE
AF
15
EBC
AF
AFE
AFB
BED
EBC
1
2
AF
DE
2
DE
AF
3
1
ABC
ABC
180
ADE
AB
AC
AD
AE
BE
90
AFE
AFB
AF
DE
BC
∥
∥
90
BED
EBC
102
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②由
是
的中位线，可得
；
（2）由等边
绕点A 逆时针旋转
，得到
，可得
，
，
，即得
，而F 为
中点，
，有
，故
是等腰直角三角形，
，从而
；
（3）分两种情况：当
在
下方时，求出
，
，可得
，故
；当
在
上方时，
，
，有
．
【详解】（1）解：①∵
为等边三角形，将
绕点A 旋转
，得到
，
∴
，
∵F 为
中点，
∴
，
是
的中位线，也是
的中位线，
∴
，
∴
；
故答案为：
或
或
或
(写出一个即可)；
②由①知，
是
的中位线，
∴
；
故答案为：
；
（2）
，理由如下：
如图：
AF
BDE
1
2
AF
DE
ABC
30
ADE
60
BAC
30
CAE
AB
AC
AE
DE
90
BAE
BAC
CAE
BE
AB
AE
AF
BC
ABF
2
AB
AF
2
DE
AF
BE
BC
60
ABF
ABC
CBE
AB
2
BC
2
1
1
2
BF
AB
AF
2
2
2
2
2
1
3
AB
BF
BE
BC
45
15
30
ABF
ABC
EBC
90
AFB
1
1
2
1
2
2
AF
AB
ABC
ABC
180
ADE
AB
AC
AD
AE
BE
90
AFE
AFB
AF
BDE
BCE
AF
DE
BC
∥
∥
90
BED
EBC
AFE
AFB
BED
EBC
AF
BDE
1
2
AF
DE
1
2
AF
DE
2
DE
AF
∵等边
绕点A 逆时针旋转
，得到
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
∵F 为
中点，
，
∴
，
∴
是等腰直角三角形，
∴
，
∴
；
（3）当
在
下方时，如图：
∵
，
∴
是等腰直角三角形，
∴
，
∴
，
∵
，F 为
中点，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
；
当BE 在BC 上方时，如图：
ABC
30
ADE
60
BAC
30
CAE
AB
AC
AE
DE
，
90
BAE
BAC
CAE
45
ABE
AEB
BE
AB
AE
AF
BC
ABF
2
AB
AF
2
DE
AF
BE
BC
90
BAC
AB
AC
，
ABC
45
ABC
60
ABF
ABC
CBE
AB
AC
AE
BE
90
AFB
30
BAF
2 2
BC
AB
2
BC
2
1
1
2
BF
AB
AF
2
2
2
2
2
1
3
AB
BF
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∵
，
∴
；
综上所述，
的长为
或1．
【点睛】本题考查几何变换综合应用，涉及等边三角形性质及应用，等腰直角三角形的性质及应用等知识，
解题的关键是掌握含特殊角的直角三角形三边的关系．
43．如图，在
中，
，
，
于点D．点G 是射线AD 上一点，过G
作
分别交AB、AC 于点E、F：
(1)如图①所示，若点E，F 分别在线段AB，AC 上，当点G 与点D 重合时，求证：
；
(2)如图②所示，当点G 在线段AD 外，且点E 与点B 重合时，猜想AE，AF 与AG 之间存在的数量关系并
说明理由；
(3)当点G 在线段AD 上时，请直接写出
的最小值．
参考公式：
【答案】(1)证明见详解
(2)
，理由如下
(3)
45
15
30
90
ABF
ABC
EBC
AFB
，
1
1
2
1
2
2
AF
AB
AF
3
ABC
90
BAC
2 2
AB
AC
AD
BC
GE
GF
2
AE
AF
AD
AG
BG
CG
2
2
a
b
a
b
ab
2
AE
AF
AG
3 6
3 2
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和全等三角形的性质即可求证；
（2）过点
作
上
交
延长线于点
，由等腰直角三角形可得
，
，
由“
“可证
，可得
，可得结论；
（3）将
绕点
顺时针旋转
得到△
，连接
，
，过点
作
，交
的延长线
于点
，由旋转的性质可得
，则当点
，点
，点
，点
共线时，
的值最小，最小值为
的长，由
角所对直角边是斜边一半和勾股定理可求解．
【详解】（1）解：由题：在
中，
，
，
于点
，
,
则
也是
上的中点，即
是
的垂直平分线，
，
，
，
，
，
，
．
（2）
，理由如下：
如图1，过点
作
交
延长线于点
，
AI ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
G
HG
AG
AB
H
45
DAB
DAC
AG
HG
ASA
AGF
HGE
≌
AF
BH
ABG
A
60
AB G
GG
B C
B
B N
AC
CA
N
AG
BG
CG
GG
B G
CG
B
G
G
C
AG
BG
CG
B C
30
ABC
90
BAC
6
AB
AC
AD
BC
D
GE
GF
D
BC
AD
BC
45
EAD
C
AD
CD
ADE
CDF
(
)
ADE
CDF ASA
△
≌△
AE
CF
∴
=
AE
AF
AC
2
AE
AF
AD
2
AE
AF
AG
G
HG
AG
AB
H
90
BAC
6
AB
AC
AD
BC
45
DAB
DAC
45
AHG
BAD
AG
HG
2
AH
AG
90
EGF
AGH
AGF
EGH
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又
，
，
，
．
（3）如图2，将
绕点
顺时针旋转
得到△
，连接
，
，过点
作
，交
的延长线于点
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
当点
，点
，点
，点
共线时，
的值最小，最小值为
的长，
，
，
，
，
，
，
的最小值为：
．
【点睛】考查综合运用旋转的知识作辅助线证明的能力，用旋转的知识解决几何最值问题，对于与等腰直
角三角形有关的证明题往往要进行图形的
旋转，把要证明的要素集中到一个熟悉的图形中进行，最值
问题常常要通过轴对称和旋转
把要求的线段之和或差转化为俱有固定端点的折线，然后据两点之间线
段最短来解决．
45
AHG
FAG
(
)
AGF
HGE ASA
≌
AF
BH
2
AH
AE
BH
AE
AF
AG
ABG
A
60
AB G
GG
B C
B
B N
AC
CA
N
6
AB
AB
AG
A G
60
BAB
60
GAG
BG
B G
AGG
AG
GG
AG
BG
CG
GG
B G
CG
B
G
G
C
AG
BG
CG
B C
60
90
150
B AC
B AB
BAC
30
B AN
3
B N
3
3 3
AN
B N
6
3 3
CN
2
(6
3 3)
9
3 6
3 2
B C
AG
BG
CG
3 6
3 2
90
60
44．如图①，在等腰直角三角形
中，
，D，E 分别为
的中点，F 为线段
上一动
点（不与D，E 重合），将线段
绕点A 按逆时针方向旋转
得到
，连接
．
(1)求证：
．
(2)如图②，连接
，
交
于点H．
①证明：在点F 的运动过程中，总有
；
②若
，直接写出当
的长度是多少时，为
为等腰三角形？
【答案】(1)证明见解析
(2)①证明见解析，②1 或
【分析】（1）由旋转的性质得：
，
，推出
，
是等腰
直角三角形，得到
，根据
即可证明
；
（2）①证明
，进一步可得结果；②分为
，此时
，进而求得结果；当
时，推出
，从而求得结果；当
时，点F 的点E 重合，不合题意．
【详解】（1）证明：由旋转的性质得：
，
，
，即
，
是等腰直角三角形，
，
，
在
和
中，
，
ABC
90
BAC
,
AB AC
DE
AF
90
AG
,
BF CG
A
ABF
CG
≌△
△
,
EG FG
FG
AC
90
FEG
2 2
AB
AC
DF
AGH
2
90
BAC
FAG
AF
AG
BAF
CAG
ABC
AB
AC
SAS
A
ABF
CG
≌△
△
DAF
EAG
≌
AH
GH
AF
DE
AG
GH
DF
AD
AH
AG
90
BAC
FAG
AF
AG
BAC
FAE
FAG
FAE
BAF
CAG
ABC
90
BAC
AB
AC
ABF
△
ACG
AB
AC
BAF
CAG
AF
AG
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；
（2）①证明：∵点D 是
的中点，点E 是
的中点，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
同理（1）得，
，
，
；
②解：由题意得：
，
，
如图1，
当
时，
，
，
，
，
；
如图2，
SAS
ABF
ACG
≌
AB
AC
1
1
,
2
2
AD
AB AE
AC
AB
AC
AD
AE
90
DAE
DAE
SAS
DAF
EAG
≌
45
AEG
ADE
45
45
90
GEF
AEG
AED
1
2
2
AD
AE
AB
2
2
DE
AD
AH
GH
45
HAG
AGF
,
90
AF
AG
FAG
45
FAE
GAE
AD
AE
1
1
2
DF
EF
DE
当
时，
，
，
，
，
，
，
；
当
时，
，
，
此时F 点和E 点重合，不符合题意，
综上所述：
或1 时，
是等腰三角形．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是正
确分类，找出条件．
45．如下图，在
和
中，
，
，且
，则可证明得到
．
【初步探究】（1）如下图，
为等边三角形，过
点作
的垂线，点
为上一动点（不与点
重
合），连接
，把线段
绕点
逆时针方向旋转
得到
，连
．请写出
与
的数量关系并说
明理由；
【思维提升】
AG
GH
AHG
GAH
90
GAF
DAE
DAF
GAH
45
AGF
ADF
DFA
AHG
AHG
AFD
DAF
2
AD
DF
AH
AG
45
AHG
AGH
90
HAG
2
DF
AGH
ABE
ACD
AE
AB
AD
AC
BAE
CAD
AEC
ABD
≌
ABC
A
AC
l
P
l
A
CP
CP
C
60
CQ
QB
AP
BQ
110
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（2）如下图，在
中，以
为边向外作等边
，连接
，
，
，
，求
长．
【拓展应用】
（3）如下图，在
中，
，
，作
交
于点
，过点
作直线
，点
是直线上的一个动点，线段
绕点
按顺时针方向旋转
得到线段
，则
的最小值为
_____．
【答案】（1）
，理由见解析；（2）；（3）
【分析】（1）
．理由：证明
，根据全等三角形的性质即可；
（2）如图，作等边
，连接
，由勾股定理可求
的长，由
，根据全等三角
形的性质可得结论；
（3）将
绕点
按顺时针方向旋转
得到线段
，证明
，从而得出
，所以点
在与定线段
成
的直线
上运动，作点
关于直线
的对称点
，
交
于点
，连接
，交直线
于点
，此时
的最小，最小值是
的长，进一步得出结
果．
ABC
AB
ABE
EC
30
ACB
4
AC
3
BC
EC
ABC
60
ABC
4
AB
AD
BC
BC
D
B
l
BC
H
l
AH
A
30
AH
AH
BH
AP
BQ
5
4 2
AP
BQ
SAS
ACP
BCQ
≌
V
V
ACD
BD
BD
SAS
EAC
BAD
≌
AB
A
30
AE
SAS
ABH
AEH
≌
△
△
30
AEB
ABH
H
AE
30
m
A
m
F
AF
m
G
BF
m
H
AH
BH
BF
【详解】解：
，
理由如下：
∵
为等边三角形，
∴
，
，
∵线段
绕点
逆时针方向旋转
得到
，
∴
，
，
∴
，
∴
，即
，
在
和
中，
，
∴
，
∴
；
（2）如图，作等边
，连接
，
∴
，
，
∵
，
，
，
∴
，
，
∴
，
∵
和
都是等边三角形，
∴
，
，
，
AP
BQ
ABC
AC
BC
60
ACB
CP
C
60
CQ
CP
CQ
60
PCQ
ACB
PCQ
ACB
PCB
PCQ
PCB
ACP
BCQ
ACP
△
BCQ
△
AC
BC
ACP
BCQ
CP
CQ
SAS
ACP
BCQ
≌
V
V
AP
BQ
ACD
BD
60
ACD
CD
AC
30
ACB
4
AC
3
BC
30
60
90
BCD
ACB
ACD
4
CD
AC
2
2
2
2
3
4
5
BD
BC
CD
ABE
ACD
AB
AE
AC
AD
60
BAE
CAD
112
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∴
，即
，
在
和
中，
，
∴
，
∴
，
∴
的长为；
（3）∵将
绕点
按顺时针方向旋转
得到线段
，
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵线段
绕点
按顺时针方向旋转
得到线段
，
∴
，
，
∴
，
∴
，即
，
在
和
中，
，
∴
，
∴
，
∴点
在与定线段
成
的直线
上运动，
作点
关于直线
的对称点
，
交
于点
，连接
，交直线
于点
，此时
的最小，
最小值是
的长，
∴
，
，
∴
，
∵
，
BAE
BAC
CAD
BAC
EAC
BAD
EAC
BAD
AE
AB
EAC
BAD
AB
AD
SAS
EAC
BAD
≌
5
EC
BD
EC
5
AB
A
30
AE
4
AB
30
BAE
4
AB
AE
l
BC
90
HBD
60
ABD
90
30
ABH
ABD
AH
A
30
AH
30
HAH
AH
AH
30
BAE
HAH
BAE
HAE
HAH
HAE
BAH
EAH
ABH
AEH
△
AB
AE
BAH
EAH
AH
AH
SAS
ABH
AEH
≌
△
△
30
ABH
AEH
H
AE
30
m
A
m
F
AF
m
G
BF
m
H
AH
BH
BF
90
AGE
FG
AG
90
90
30
60
FAE
AEH
30
BAE
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
即：
的最小值为
，
故答案为：
．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查全等三角形的判定和性质，30°角的直角三角形，勾股定理，轴对称
的性质，旋转的性质等知识，本题难度较大．解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
类型七、中心对称图形的性质应用
46．如图，在平面直角坐标系中，点
，
，
的坐标分别为
，
，
．一个电动玩具从原
点
出发，第一次跳跃到点
，使得点
与点
关于点
成中心对称；第二次跳跃到点
，使得点
与点
关于点
成中心对称；第三次跳跃到点
，使得点
与点
关于点
成中心对称；第四次跳跃到点
，
使得点
与点
关于点
成中心对称；…．电动玩具照此规律跳下去，则点
的坐标是（ ）.
60
30
90
BAF
FAE
BAE
1
1
4
2
2
2
AG
AE
2
2 2
4
AF
AG
2
2
2
2
4
4
4 2
BF
AB
AF
AH
BH
4 2
4 2
A
B
C
2,0
0,2
2,0
O
1P
1P
O
A
2P
2P
1P
B
3P
3P
2P
C
4P
4P
3P
A
2021
P
114
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据题意，先求出前几次跳跃后
、
、
、
、
、
、
的坐标，可得出规律，继而可求
点
的坐标．
【详解】解：由题意得：点
、
、
、
、
、
、
，
∴点P 的坐标的变化规律是6 次一个循环，
∵
，
∴点
的坐标是
．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了中心对称及点的坐标的规律，解题的关键是求出前几次跳跃后点的坐标并总结出
一般规律．
47．对于坐标平面内的点，先将该点向右平移1 个单位，再向上平移2 个单位，这种点的运动称为点的斜
平移，如点P（2，3）经1 次斜平移后的点的坐标为（3，5）．已知点A 的坐标为（2，0），点Q 是直线l
上的一点，点A 关于点Q 的对称点为点B，点B 关于直线l 的对称点为点C，若点B 由点A 经n 次斜平移后
得到，且点C 的坐标为（8，6），则△ABC 的面积是（ ）
4,
0
4,0
4,4
0, 4
1P
2P
3P
4P
5P
6P
7P
2021
P
1 4,0
P
2
4,4
P
3 0, 4
P
4 4,4
P
5
4,0
P
6 0,0
P
7 4,0
P
2021 6
336...5
2021
P
4,
0
A．12
B．14
C．16
D．18
【答案】A
【分析】连接CQ，根据中心和轴对称的性质和直角三角形的判定得到∠ACB＝90，延长BC 交x 轴于点
E，过C 点作CF⊥AE 于点F，根据待定系数法得出直线的解析式进而解答即可．
【详解】解：连接CQ，如图：
由中心对称可知，AQ＝BQ，
由轴对称可知：BQ＝CQ，
∴AQ＝CQ＝BQ，
∴∠QAC＝∠ACQ，∠QBC＝∠QCB，
∵∠QAC+∠ACQ+∠QBC+∠QCB＝180°，
∴∠ACQ+∠QCB＝90°，
∴∠ACB＝90°，
∴△ABC 是直角三角形，
延长BC 交x 轴于点E，过C 点作CF⊥AE 于点F，如图，
∵A（2，0），C（8，6），
∴AF＝CF＝6，
∴△ACF 是等腰直角三角形，
∵
，
∴∠AEC＝45°，
∴E 点坐标为（14，0），
设直线BE 的解析式为y＝kx+b，
∵C，E 点在直线上，
可得：
，
180
90
ACE
ACB
14
0
8
6
k
b
k
b
+ =
+ =
116
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解得：
，
∴y＝﹣x+14，
∵点B 由点A 经n 次斜平移得到，
∴点B（n+2，2n），由2n＝﹣n
2+14
﹣
，
解得：n＝4，
∴B（6，8），
∴△ABC 的面积＝S△ABE﹣S△ACE＝
×12×8﹣
×12×6＝12，
故选：A．
【点睛】本题考查轴对称的性质，中心对称的性质，等腰三角形的判定与性质，求解一次函数的解析式，
得到
的坐标是解本题的关键．
48．在如图所示的平面直角坐标系中，
是边长为2 的等边三角形，作
与
关于点
成
中心对称，再作
与
关于点
成中心对称，…，如此作下去，则
的顶点
的坐标是___________．
【答案】
【分析】首先根据
是边长为2 的等边三角形，可得
的坐标为
，
的坐标为
；然后根
据中心对称的性质，分别求出点
，
，
的坐标各是多少，最后总结出
的坐标的规律，求出
的坐
标是多少即可．
【详解】解：∵
是边长为2 的等边三角形，
1
14
k
b
=-
=
1
2
1
2
B
1
1
OA B
2
2
1
B A B
1
1
OA B
1
B
2
3
3
B A B
2
2
1
B A B
2
B
2023
2023
2022
B
A
B
△
2023
A
4045
3
，
1
1
OA B
1A
1
3
，
1
B
2 0
，
2A
3A
4
A
n
A
2n
A
1
1
OA B
∴
的坐标为
，
的坐标为
，
∵
与
关于点
成中心对称，
∴点
与点
关于点
成中心对称，
∵
，
，
∴点
的坐标是：
，
∵
与
关于点
成中心对称，
∴点
与点
关于点
成中心对称，
∵
，
，
∴点
的坐标是：
，
∵
与
关于点
成中心对称，
∴点
与点
关于点
成中心对称，
∵
，
，
∴点
的坐标是：
，…，
∵
，
，
，
，…，
∴
的横坐标是：
，
∵当n 为奇数时，
的纵坐标是
，当n 为偶数时，
的纵坐标是
，
∴
的顶点
的横坐标是：
，纵坐标是
，
故答案为：
．
【点睛】此题主要考查了中心对称的性质，坐标与图形性质，等边三角形的性质等知识；熟练掌握等边三
1A
1
3
，
1
B
2 0
，
2
2
1
B A B
1
1
OA B
1
B
2A
1A
1
B
2 2 1
3
2 0
3
3
2A
3,
3
2
3
3
B A B
2
2
1
B A B
2
B
3A
2A
2
B
2 4
3
5
2 0
3
3
(
)
＝
3A
5, 3
3
4
4
B A B
3
3
2
B A B
3
B
4
A
3A
3
B
2 6
5
7
2 0
3
3
4
A
7
3
，
1
2 1 1
3
2 2 1
5
2 3 1
7
2 4 1
n
A
2
1
n
n
A
3
n
A
3
2023
2023
2022
B
A
B
△
2023
A
2 2023 1
4045
3
4045
3
，
118
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角形的性质和中心对称的性质，分别判断出
的横坐标和纵坐标是解题的关键．
49．如图，有任意四边形
，
分别是A、B、C、D 关于B、C、D、A 的对称点，设S
表示四边形
的面积，
表示四边形
的面积，则
的值为 ．
【答案】5
【分析】根据C 是
的中点，则根据三角形面积公式得
，则
即可求得，
从而获解．
【详解】解：如图所示，连接
，
是
的中点，
，
同理：
，
，
同理：
，
，
=
，
n
A
ABCD
A
B
C
D
、、
、
ABCD
S
A B C D
S
S
BB
A BC
A B C
S
S
AA D
C D D
B C C
S
S
S
、
、
A C
BD
AC
、
、
C
BB
A BC
A B C
S
S
A BC
ABC
S
S
2
A BB
ABC
S
S
2
AA D
ABD
S
S
2
C D D
ACD
S
S
2
B C C
BCD
S
S
2(
)
A BB
AA D
C D D
B C C
ABC
ABD
ACD
BCD
S
S
S
S
S
S
S
S
4S
4
5
S
S
S
S
．
【点睛】此题考查了点对称的性质与三角形的面积计算，正确理解与运用三角形的面积公式是解题的关键．
50．点 、 、 在数轴上对应的数分别为 、 、 ，点 在数轴上对应的数是
，点 关于
点 的对称点为
，点
关于点 的对称点为
，点
关于点 的对称点为
，点
关于点
的对称点为
，
，则
的长度为 ．
【答案】
【详解】先根据轴对称的性质找出对应边表示的数字，然后找出其中的规律，根据规律确定出
表示的
数，从而求得问题的答案.
解：点P 关于点A 的对称点P1表示的数数4；点P1关于点B 的对称点P2表示的数数2；
点P2关于点C 的对称点P3表示的数数8；点P3关于点A 的对称点P4表示的数数-6；
点P4关于点B 的对称点P5表示的数数12；点P5关于点C 的对称点P6表示的数数-2；
点P6关于点A 的对称点P7表示的数数4；....
2016÷6=336.所以P2016表示数为-2，所以P1 P2016=6.
【点睛】抓住对称性，寻找Pn数字规律，再根据周期算出P2016表示的数.
51．对于点
和图形
，若点
关于图形
上任意的一点的对称点为点
，所有点
组成的图形为
，
则称图形
为点
关于图形
的“对称图形”．在平面直角坐标系
中，已知点
，
，
，
．
5
S
S
2016
P
P
W
P
W
Q
Q
M
M
P
W
xOy
( 1, 2)
A
(2, 2)
B
(2,1)
C
( 1,1)
D
120
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(1)①在点
，
，
中，是点
关于线段
的“对称图形”上的点有_______．
②画出点
关于四边形
的“对称图形”；
(2)点
是
轴上的一动点．
①若点
关于四边形
的“对称图形”与
关于四边形
的“对称图形”有公共点，求的取值
范围；
②直线
与
轴交于点
，与
轴交于点
，线段
上存在点
，使得点
是点
关于四边形
的“对称图形”上的点，直接写出的取值范围．
【答案】(1)①点E，点F，②图见解析．
(2)①
，②
或
【分析】根据点
关于图形
的“对称图形”的定义，可以在图形
上找几个特殊点（线段的端点），作
出点
关于这些特殊点的对称点，大体描绘图形
的形状．
（1）①作出点
关于点
、
的对称点
、
，得到点
关于线段
的“对称图形”是一条线段；
②先画出点
关于四边形
的四个顶点中心对称的对应点，再顺次连接可以得到点
关于四边形
的“对称图形”是一个正方形；
（2）①点
关于四边形
的“对称图形”也是一个正方形，与
关于四边形
的“对称图形”
大小一样，只是随的变化左右移动，可以用数形结合求解；
②是动线段与动正方形的交点问题，沿用数形结合求解．
【详解】（1）解：①根据点
关于图形
的“对称图形”的定义，点
关于线段
的“对称图形”是线
段
，如图所示其中点
，
．故点
，
在线段
上．
( 2, 4)
E
(0, 4)
F
(3, 3)
G
O
AB
O
ABCD
( ,0)
T t
x
T
ABCD
O
ABCD
t
y
x
t
x
T
y
H
TH
K
K
T
ABCD
t
6
6
t
2
4
t
2
1
t
P
W
W
P
M
O
A
B
J
N
O
AB
O
ABCD
O
ABCD
T
ABCD
O
ABCD
t
P
W
O
AB
JN
( 2, 4)
J
(4, 4)
N
( 2, 4)
E
(0, 4)
F
JN
故答案为：点
，点
；
②点
关于四边形
的“对称图形”为四边形
．
（2）①动点
关于四边形
的“对称图形”为四边形
，如图所示．利用中点坐标公式可得到点
，
，
，
．四边形
随的变化左右移动，当四边形
与四边
形
有公共点时，应满足：
E
F
O
ABCD
JNMI
T
ABCD
SRVU
(4
,2)
S
t
( 2
,2)
U
t
( 2
, 4)
V
t
(4
, 4)
R
t
SRVU
t
JNMI
SRVU
122
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，
，
②要使得点
是四边形
上的点，需满足：
或
，
或
．
【点睛】这道题在新定义下考查了点的对称，数形结合的思想，以及运动的观点，建立不等式解决交点问
题，熟练掌握新定义，轴对称的性质是解题的就．
52．对于坐标平面内的点，现将该点向右平移1 个单位，再向上平移2 个单位，这种点的运动称为点A 的
斜平移，如点
经1 次斜平移后的点的坐标为
，已知点A 的坐标为
．
(1)分别写出点A 经1 次，2 次斜平移后得到的点的坐标．
(2)如图，点M 是直线l 上的一点，点A 关于点M 的对称点为点B，点B 关于直线l 的对称点为点C．
①若A、B、C 三点不在同一条直线上，判断
是否是直角三角形？请说明理由．
4
2
2
4
t
t
6
6
t
K
SRVU
0
4
t
t
2
0
t
t
2
4
t
2
1
t
(2,3)
P
(3,5)
(2,1)
ABC
②若点B 由点A 经n 次斜平移后得到，且点C 的坐标为
，求出点B 的坐标及n 的值．
【答案】(1)点A 经1 次平移后得到的点的坐标为
，点A 经2 次平移后得到的点的坐标
(2)①
是直角三角形，理由见解答过程；
②
，
．
【分析】（1）根据平移的性质得出点
平移的坐标即可；
（2）①连接
，根据中心和轴对称的性质和直角三角形的判定解答即可；
②延长
交
轴于点
，过
点作
于点
，根据待定系数法得出直线的解析式进而解答即可．
【详解】（1）
点
经1 次斜平移后的点的坐标为
，点
的坐标为
，
点
经1 次平移后得到的点的坐标为
，点
经2 次平移后得到的点的坐标
；
（2）①
是直角三角形，理由如下：
连接
，如图
由中心对称可知，
，
由轴对称可知：
，
，
，
，
，
，
，
∴
是直角三角形；
②过点
作
轴的平行线，与
的延长线交于点
，过
点作
于点
，如图
8 7
，
(3,3)
(4,5)
ABC
4
n
(6,9)
B
A
CM
BC
x
E
C
CF
AE
F
(2,3)
P
(3,5)
A
(2,1)
A
(3,3)
A
(4,5)
ABC
CM
1:
AM
BM
BM
CM
AM
CM
BM
MAC
ACM
MBC
MCB
180
MAC
ACM
MBC
MCB
90
ACM
MCB
90
ACB
ABC
A
x
BC
E
C
CF
AE
F
2:
124
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，
，
，
是等腰直角三角形，
由①得
，
，
点坐标为
，
设直线
的解析式为
，
，
点在直线上，
可得：
，
解得：
，
，
点
由点
经
次斜平移得到，
点
，由
，
解得：
，
．
【点睛】此题考查几何变换问题，关键是根据中心和轴对称的性质和直角三角形的判定分析，同时根据待
定系数法得出直线的解析式解答．
53．在平面直角坐标系
中，已知点
，
．对于点
给出如下定义：将点
绕点
逆时针旋转
(2,1)
A
(8,7)
C
6
AF
CF
ACF
△
90
ACE
45
AEC
E
(14,1)
BE
y
kx
b
C
E
14
1
8
7
k
b
k
b
1
15
k
b
15
y
x
B
A
n
(
2,2
1)
B n
n
2
1
2 15
n
n
4
n
(6,9)
B
xOy
,
M a b
N
P
P
M
90
P
P
N
Q
Q
P
，得到点
，点
关于点
的对称点为
，称点
为点
的“对应点”．
(1)如图，若点
在坐标原点，点
，
①点
的“对应点”
的坐标为______；
②若点
的“对应点”
的坐标为
，则点
的坐标为______；
(2)如图，已知
的半径为1，
是
上一点，点
，若
为
外一点，点
为点
的“对应点”，连接
．
①当点
在第一象限时，求点
的坐标（用含
，
，
的式子表示）
②当点
在
上运动时，直接写出
长的最大值与最小值的积为______（用含
的式子表示）
【答案】(1)①
；②
(2)
；
90
P
P
N
Q
Q
P
M
1,1
N
2,0
P
Q
P
Q
1,3
P
O
M
O
0,2
N
,0 (
1)
P m
m
O
Q
P
PQ
,
M a b
Q
a
b
m
M
O
PQ
m
2,4
1, 3
,4
a
b
m
a
b
2
2
8
14
m
m
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【分析】（1）①点
绕点
逆时针旋转
得
，再求点
关于点
的对称点为
；
②点
关于点
的对称点为
，点
绕点
顺时针旋转
，得到点
；
（2）①根据题意作出点
，过点
作平行于
轴的线
，过点
作垂直于
线
，交
于点
，
过点
作垂直于
线
，交
于点
，证明
，可知
，
，根据
在第一象限，
，可得
，
，继而得出
的坐标，由于
，点
关于点
的对称点为
，即可得出
的坐标；
②根据①中点
的坐标，表示出点
的横纵坐标的关系，可得出点
在圆心为
、半径为
的圆
上，继而得到
最长为
，
最短为
，即可求出
长的最大值与
最小值的积．
【详解】（1）解：①∵由题意可知
∴点
绕点
逆时针旋转
，得到点
，
∴点
关于点
的对称点为
，
∴点
的“对应点”
的坐标为
，
故答案为：
；
②点
的“对应点”
的坐标为
，
∴点
关于点
的对称点为
，
∴点
绕点
顺时针旋转
，得到点
，
故答案为：
．
P
M
90
0, 2
P
P
N
2,4
Q
Q
N
3, 1
P
P
M
90
1, 3
P
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M
x
MB
P
MB
P A
MB
A
P
MB
PB
MB
B
AAS
AMP
BPM
≌
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BM
AM
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,
M a b
,0 (
1)
P m
m
AM
BP
b
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BM
m
a
P
0,2
N
P
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Q
Q
Q
Q
0,4
m
2
PQ
2
2
4
2
m
m
PQ
2
2
4
2
m
m
PQ
0,0
M
P
M
90
0, 2
P
P
N
2,0
Q
P
Q
2,4
Q
2,4
P
Q
3, 1
P
Q
N
3, 1
P
P
M
90
1, 3
P
1, 3
P
（2）解：①如图，根据题意作出点
，过点
作平行于
轴的线
，过点
作垂直于
线
，交
于点
，过点
作垂直于
线
，交
于点
，
∵由题意可知
，
，
，
∴
，
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
，
∴
，
，
又∵
在第一象限，
，
∴
，
，
∴
，
又∵
，点
关于点
的对称点为
，
∴
，
②∵
，
∴
，
，
Q
M
x
MB
P
MB
P A
MB
A
P
MB
PB
MB
B
90
PMP
90
P AM
90
MBP
90
AMP
BMP
90
AMP
MP A
BMP
MP A
AMP
BPM
△
90
MBP
P AP
MP A
BMP
MP
MP
AAS
AMP
BPM
≌
AP
BM
AM
BP
,
M a b
,0 (
1)
P m
m
AM
BP
b
AP
BM
m
a
,
P a
b m
a
b
0,2
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b
m
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b
,4
Q
a
b
m
a
b
x
a
b
4
m
a
b
y
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∴
，
∵
的半径为1，
是
上一点，
∴
，
∴
，
∴点
在圆心为
、半径为
的圆上，
∴
最长为
，
最短为
，
∴
，
故答案为：
．
【点睛】本题考查了旋转作图及中心对称，三角形全等的判定和性质及圆的知识点，理解题目意思，正确
找到“对应点”和写出对应的坐标是解答本题的关键．
54．在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图像，并结合函数图像研究函数性质
2
2
2
2
4
x
y
a
b
m
a
b
2
2
2
2
2
2
2
4
2 4
x
y
a
ab
b
m
m
a
b
a
b
2
2
2
2
2
2
2
16
8
8
2
x
y
a
b
m
m
a
b
m a
b
2
2
2
2
2
2
2
16
8 4
2
4
32
8
x
y
a
b
m
a
b
m
m
a
b
m
m
2
2
2
2
2
2
2
16
8
2
32
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x
y
a
b
y
my
m
m
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M
O
2
2
1
a
b
2
2
2
2
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2 16
32
8
x
y
my
y
m
m
2
2
2
2
2
2
4
4
8
14
4
x
y
m
y
m
m
m
m
2
2
4
2
x
y
m
Q
0,4
m
2
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2
2
4
2
m
m
PQ
2
2
4
2
m
m
2
2
2
2
4
2
4
2
m
m
m
m
2
2
2
2
4
2
m
m
2
2
4
2
m
m
2
2
16
8
2
m
m
m
2
2
8
14
m
m
2
2
8
14
m
m
的过程．以下是我们研究函数的
图象、性质与应用的部分过程，请按要求完成以下各小题．
（1）请把下表补充完成，并根据表中数据在平面直角坐标系中描点，连线，画出该函数图象．
x
…
-4
-3.5
-3
-2.5
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
3
3.5
4
…
y
…
-1
1
0
-1
1
（2）根据函数图像，判断下列关于该函数及其性质的说法是否正确，正确的请在答题卡上对应的括号内
打“√”，错误的请在答题卡上对应的括号内打“×”．
①该函数的自变量的取值范围是x≠士2；（ ）
②该函数图像是中心对称图形，对称中心是原点；（ ）
③在自变量的取值范围内，y 随x 的增大而减小；（ ）
（3）已知函数
的图像如图所示，结合函数图像，请直接写出方程
的解；（结果保
留1 位小数，误差不超过0.2）
【答案】（1）补全表格及函数图象见解析；（2）√，√，×；（3）
、
，
【分析】（1）求出
和
对应的函数值即可补全表格，再描点作图即可求解；
（2）根据函数图象的性质逐一判断即可；
（3）根据函数图象，代入大致的数值进行验证即可求解．
【详解】（1）补全表格如下：
2
3
4
x
y
x
14
11
9
5
10
3
18
7
2
5
2
5
9
5
14
11
1
2
y
x
2
3
1
4
2
x
x
x
0.2
x
2.2
x
2.7
x
1.5
x
2.5
x
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x
…
-4
-3.5
-3
-2.5
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2.5
3
3.5
4
…
y
…
-1
1
0
-1
1
画出函数图象如下：
（2）①该函数的自变量的取值范围是x≠±2，正确；
②该函数图像是中心对称图形，对称中心是原点，正确；
③在
、
以及
的每个范围内，y 随x 的增大而减小，错误；
（3）∵当
时，
，
当
时，
，
∴
的一个解为
；
同理可得
的另外两个解为
，
；
综上，
的解为
、
，
．
【点睛】本题考查函数的图象，掌握描点作图、利用图象解方程的方法是解题的关键．
55．在平面内，将图形
关于点
作中心对称变换得到图形
的过程简记为：
．若图形
再
14
11
9
5
10
3
18
7
2
5
2
5
18
7
10
3
9
5
14
11
<
2
x
2
2
x
2
x
0.2
x
2
3
1
4
2
x
x
x
0.3
x
2
3
1
4
2
x
x
x
2
3
1
4
2
x
x
x
0.2
x
2
3
1
4
2
x
x
x
2.2
x
2.7
x
2
3
1
4
2
x
x
x
0.2
x
2.2
x
2.7
x
G
M
1
G
1
M
G
G
1
G
关于点
作中心对称变换得到图形
，即：
，则由图形
变换到
的过程称为图形
作
对称得到图形
，记作：
．
容易知道：若
，则
；若
，则
．
已知在平面直角坐标系
中，点
．
(1)如图1，已知点
．点
作下面的变换后，对应点仍在
的内部或边
上的是___________（写序号）：①
对称；②
对称；③
对称；④
对称．
(2)点
在直线
上，线段
，当线段
与坐标轴有公共点时，求点
的横坐标
的取值范
围；
(3)点
是平面内一点，
．若线段
上存在点
，使点
作
对称后的对应点
在
轴上，直
接写出点
的横坐标
的取值范围．
【答案】(1)①②
(2)点
的横坐标
的取值范围为
或
N
2
G
1
2
M
N
G
G
G
G
2
G
G
M
N
，
2
G
2
M
N
G
G
，
1
M
G
G
1
M
G
G
2
M
N
G
G
，
2
N
M
G
G
，
xOy
11
1 0
A
B
，，
，
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1
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,0
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R
，
，
，
，
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S
，
S
T
，
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，
R
O
，
P
1
y
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，
CD
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H
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Q
，
K
x
K
Kx
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P
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3
1
2
P
x
1
2
P
x
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(3)
或
【分析】（1）根据题意，分别求出点
作变换后的点的坐标，再判断是否在
的内部或边上，即可得
到答案；
（2）设点
，则线段
后点
的坐标为
，
，分两种
情况：当线段
与
轴有公共点时，当线段
与
轴有公共点时，分别求出
的取值范围即可得到答案；
（3）设点
的坐标为
，点
，则
，由
可得
，点
作
对称后
的对应点
，由点
在
轴上，可得
，从而得出
的取值范围，再根据
求出
的取值范围，由此即可得到答案．
【详解】（1）解：根据题意可得：
点
关于
对称的点的坐标为
，在
的边上，符合题意；
点
关于
对称的点的坐标为
，在
的边上，符合题意；
点
关于
对称的点的坐标为
，不在
的内部或边上，不符合题意；
点
关于
对称的点的坐标为
，不在
的内部或边上，不符合题意；
故点
作下面的变换后，对应点仍在
的内部或边上的是①②，
故答案为：①②；
（2）解：
点
在直线
上，
设点
，
点
，
线段
后点
的坐标为
，
，
线段
与坐标轴有公共点，
3
1
3
K
x
1
3
1
K
x
A
AOB
1
P
P
P x
x
，
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C
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P
x
x
，
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1 2
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P
P
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x
x
，
CD
x
CD
y
P
x
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y
，
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n
，
0
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y
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m
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S
，
1 0
，
AOB
A
S
T
，
0 0
，
AOB
A
T
R
，
3 3
，
AOB
A
R
O
，
01，
AOB
A
AOB
P
1
y
x
1
P
P
P x
x
，
11
1 0
A
B
，，
，
O
P
AB
CD
，
C
2
1 2
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P
P
x
x
，
2
1 2
2
P
P
D
x
x
，
CD
当线段
与
轴有公共点时，
，
，
解得：
，
当线段
与
轴有公共点时，
，
解得：
，
综上所述，点
的横坐标
的取值范围为
或
；
（3）解：
线段
上存在点
，
，
设点
的坐标为
，点
，则
，
，
，即
，
点
作
对称后的对应为点
，
，
点
在
轴上，
，
，
，
，
，
，
，
，
CD
x
2
3
0
P
x
2
2
0
P
x
3
1
2
P
x
CD
y
2
1
0
P
x
1
2
P
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P
P
x
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1
2
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H
11
1 0
A
B
，，
，
H
1
y
，
Q m
n
，
0
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y
1
OQ
2
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H
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，
K
2
1 2
K
m
n
y
，
K
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y
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y
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0
1
y
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2
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解得：
或
，
或
，
点
的横坐标
的取值范围为
或
．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形、中心对称的性质、解不等式组、点的坐标的性质，熟练掌握以上知
识点，采用数形结合与分类讨论的思想解题，是解此题的关键．
2
3
1
4
m
3
1
2
m
3
1
2
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3
1
2
1
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3
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m
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