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（北师大版）八年级数学下册期末模拟检测试卷及答案（8）
一、选择题（12*4）
1．下列图案中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（如果a＜0，则下列式子错误的是（ ）
A．5+a＞3+a B．5﹣a＞3﹣a C．5a＞3a D．
3．下列因式分解错误的是（ ）
A．x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）B．x2+6x+9=（x+3）2 C．x2+xy=x（x+y） D．x2+y2=（x+y）2
4．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，要使四边形ABCD成为平行四边形还需要条件（ ）
A．AB=DC B．∠1=∠2 C．AB=AD D．∠D=∠B
5．“5•12”汶川大地震导致某铁路隧道被严重破坏．为抢修其中一段120米的铁路，施工队每天比原计划多修5米，
结果提前4天开通了列车．若原计划每天修x米，则所列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．不等式组 的整数解是（ ）
A．﹣1，0，1 B．0，1 C．﹣2，0，1 D．﹣1，1
7．如图，△ABC中，DE是AB的垂直平分线，AE=4，△ACD的周长为18，则△ABC的周长为（ ）
A．18 B．22 C．24 D．26
8．如图，已知直角坐标系中的点A、B的坐标分别为A（2，4）、B（4，0），且P为AB的中点．若将线段AB向右平移3
个单位后，与点P对应的点为Q，则点Q的坐标是（ ）
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A．（3，2） B．（6，2） C．（6，4） D．（3，5）
9．如图，△ABC以点O为旋转中心，旋转180°后得到△A′B′C′．ED是△ABC的中位线，经旋转后为线段E′D′．已知
BC=4，则E′D′=（ ）
A．2 B．3 C．4 D．1.5
10.已知x+y=12，xy=9，则 的值等于（ ）
A． B． C． D．
11．如图，平行四边形ABCD中，AB：BC=3：2，∠DAB=60°，E在AB上，且AE：EB=1：2，F是BC的中点，过D分别
作DP⊥AF于P，DQ⊥CE于Q，则DP：DQ等于（ ）
A．3：4 B． ：2 C． ：2 D．2 ：
12．在Rt△ABC中，AC=BC，点D为AB中点．∠GDH=90°，∠GDH绕点D旋转，DG，DH分别与边AC，BC交于E，
F两点．下列结论：①AE+BF=AC，②AE2+BF2=EF2，③S四边形CEDF = S
△ABC
，④△DEF始终为等腰直角三角形．其中
正确的是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①④ D．②③
二、填空题（每小题4分，共24分）
13．（4分）一个n边形的每个外角都等于36°，则n= ________ _ ．
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14．（4分）若分式 的值为零，则m= ________ _ ．
15．（4分）如图，△ABC中，AB=AC，D是BC边上任意一点，DF⊥AC于点F，E在AB边上，ED⊥BC于点D，
∠AED=155°，则∠EDF等于 ________ _ ．
16．（4分）（2012•哈尔滨）如图，平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转30°，得到平行四边形AB′C′D（′ 点B′与点B是
对应点，点C′与点C是对应点，点D′与点D是对应点），点B′恰好落在BC边上，则∠C= ________ _ 度．
17．（4分）（2014•昆山市模拟）如图，函数y=2x和y=ax+5的图象相交于A（m，3），则不等式2x＜ax+5的解集为
_________ ．
18．（4分）（2006•温州）如图，在直线m上摆放着三个正三角形：△ABC、△HFG、△DCE，已知BC= CE，F、G分别是
BC、CE的中点，FM∥AC，GN∥DC．设图中三个平行四边形的面积依次是S
1
，S，S
3
，若S
1
+S
3
=10，则S= ________ _
．
三、解答题（19题8分，20题10分，共18分）
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19．（8分）分解因式：
（1）2（m﹣n）2+m（n﹣m）；
（2）（2x+y）2﹣（x+2y）2．
20．（10分） 并将解集在数轴上表示出来．
四、解答题（每小题10分，共40分）
21．（10分）计算 ，其中 ．
22．（10分）某市政府计划修建一处公共服务设施，使它到三所公寓A、B、C的距离相等．
（1）若三所公寓A、B、C的位置如图所示，请你在图中确定这处公共服务设施（用点P表示）的位置（尺规作图，保留
作图痕迹，不写作法）；
（2）若∠BAC=56°，则∠BPC= ________ _ °．
23．（10分）如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，CE⊥AE，点F在边AB上，
EF∥BC．
（1）求证：四边形BDEF是平行四边形；
（2）线段BF、AB、AC的数量之间具有怎样的关系？证明你所得到的结论．
24．（10分）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的
延长线于点F，连接CF．
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（1）求证：AD⊥CF；
（2）连接AF，试判断△ACF的形状，并说明理由．
25．（10分）（2013•绥化）为了迎接“十•一”小长假的购物高峰．某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋．其中
甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表：
运动鞋 甲 乙
价格
进价（元/双） m m﹣20
售价（元/双） 240 160
已知：用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同．
（1）求m的值；
（2）要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润（利润=售价﹣进价）不少于21700元，且不超过22300元，问该专
卖店有几种进货方案？
（3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动，决定对甲种运动鞋每双优惠a（50＜a＜70）元出售，
乙种运动鞋价格不变．那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？
26．（10分）（2013•沈阳模拟）在▱ABCD中，∠ADC的平分线交直线BC于点E、交AB的延长线于点F，连接AC．
（1）如图1，若∠ADC=90°，G是EF的中点，连接AG、CG．
①求证：BE=BF．
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②请判断△AGC的形状，并说明理由；
（2）如图2，若∠ADC=60°，将线段FB绕点F顺时针旋转60°至FG，连接AG、CG．那么△AGC又是怎样的形状．（直
接写出结论不必证明）
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2013-2014 学年北师大版八年级（下）期末数学检测
卷 A（一）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题4分，共48分）
1．（4分）（2013•郴州）下列图案中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
考点： 中心对称图形．
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分析： 根据中心对称图形的概念求解．
解答： 解：A、是中心对称图形，故A选项错误；
B、不是中心对称图形，故B选项正确；
C、是中心对称图形，故C选项错误；
D、是中心对称图形，故D选项错误；
故选：B．
点评： 本题考查了中心对称图形的知识，解题的关键是掌握中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中
心，旋转180°后重合．
2．（4分）（2013•德宏州）如果a＜0，则下列式子错误的是（ ）
A．5+a＞3+a B．5﹣a＞3﹣a C．5a＞3a D．
考点： 不等式的性质．
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分析： 根据不等式的基本性质对各选项进行逐一分析即可．
解答： 解：A、∵5＞3，∴5+a＞3+a，故A选项正确；
B、∵5＞3，∴5﹣a＞3﹣a，故B选项正确；
C、∵5＞3，a＜0，∴5a＜3a，故C选项错误；
D、∵5＞3，∴ ＜ ，∵a＜0，∴ ＞ ，故D选项正确．
故选：C．
点评： 本题考查的是不等式的基本性质，熟知不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变是解
答此题的关键．
3．（4分）（2009•眉山）下列因式分解错误的是（ ）
A．x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）B．x2+6x+9=（x+3）2 C．x2+xy=x（x+y） D．x2+y2=（x+y）2
考点： 因式分解的意义．
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分析： 根据公式特点判断，然后利用排除法求解．
解答： 解：A、是平方差公式，故A选项正确；
B、是完全平方公式，故B选项正确；
C、是提公因式法，故C选项正确；
D、（x+y）2=x2+2xy+y2，故D选项错误；
故选：D．
点评： 本题主要考查了对于学习过的两种分解因式的方法的记忆与理解，需熟练掌握．
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4．（4分）（2013•成都一模）如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，要使四边形ABCD成为平行四边形还需要条件（
）
A．AB=DC B．∠1=∠2 C．AB=AD D．∠D=∠B
考点： 平行四边形的判定；平行线的判定与性质；三角形内角和定理；等腰梯形的性质．
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分析： 根据等腰梯形的定义判断A；根据平行线的性质可以判断B；根据平行四边形的判定可判断C；根据平行线
的性质和三角形的内角和定理求出∠BAC=∠DCA，推出AB∥CD即可．
解答： 解：A、符合条件AD∥BC，AB=DC，可能是等腰梯形，故A选项错误；
B、根据∠1=∠2，推出AD∥BC，不能推出平行四边形，故B选项错误；
C、根据AB=AD和AD∥BC不能推出平行四边形，故C选项错误；
D、∵D∥BC，
∴∠1=∠2，
∵∠B=∠D，
∴∠BAC=∠DCA，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故D选项正确．
故选：D．
点评： 本题主要考查对平行四边形的判定，等腰梯形的性质，三角形的内角和定理，平行线的性质和判定等知识点
的理解和掌握，能综合运用性质进行推理是解此题的关键．
5．（4分）（2008•西宁）“5•12”汶川大地震导致某铁路隧道被严重破坏．为抢修其中一段120米的铁路，施工队每天比
原计划多修5米，结果提前4天开通了列车．若原计划每天修x米，则所列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
考点： 由实际问题抽象出分式方程．
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专题： 工程问题．
分析： 关键描述语为：提前4天开通了列车；等量关系为：计划用的时间﹣实际用的时间=4．
解答：
解：题中原计划修 天，实际修了 天，
可列得方程 ﹣ =4，
故选：B．
点评： 本题考查了用方程的思想来求解实际生活中的未知量，从关键描述语找到等量关系是解决问题的关键．
6．（4分）（2013•南充）不等式组 的整数解是（ ）
A．﹣1，0，1 B．0，1 C．﹣2，0，1 D．﹣1，1
考点： 一元一次不等式组的整数解．
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分析： 首先解不等式组，再从不等式组的解集中找出适合条件的整数即可．
解答：
解： ，
由不等式①，得x＞﹣2，
由不等式②，得x≤1.5，
所以不等组的解集为﹣2＜x≤1.5，
因而不等式组的整数解是﹣1，0，1．
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故选：A．
点评： 此题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确解出不等式组的解集是解决本题的关键．求不等式组的解
集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
7．（4分）如图，△ABC中，DE是AB的垂直平分线，AE=4，△ACD的周长为18，则△ABC的周长为（ ）
A．18 B．22 C．24 D．26
考点： 线段垂直平分线的性质．
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分析： 根据线段垂直平分线性质得出AB=2AE=8，AD=BD，求出△ABC的周长为：AB+AD+DC+AC，求出
AD+DC+AC=18，即可求出答案．
解答： 解：∵DE是AB的垂直平分线，AE=4，
∴AB=2AE=8，AD=BD，
∵△ACD的周长为18，
∴AD+DC+AC=18，
∴△ABC的周长为：
AB+BC+AC
=8+BD+DC+AC
=8+AD+DC+AC
=8+18
=26，
故选：D．
点评： 本题考查了线段垂直平分线性质，注意：线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
8．（4分）（2003•资阳）如图，已知直角坐标系中的点A、B的坐标分别为A（2，4）、B（4，0），且P为AB的中点．若将
线段AB向右平移3个单位后，与点P对应的点为Q，则点Q的坐标是（ ）
A．（3，2） B．（6，2） C．（6，4） D．（3，5）
考点： 坐标与图形变化-平移．
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专题： 压轴题．
分析： 直接利用平移中点的变化规律求解即可．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下
移减．
解答： 解：根据中点坐标的求法可知点PD坐标为（3，2），因为左右平移点的纵坐标不变，由题意向右平移3个单
位，则各点的横坐标加3，所以点Q的坐标是（6，2）．
故选：B．
点评： 本题考查图形的平移变换，关键是要懂得左右平移点的纵坐标不变，而上下平移时点的横坐标不变，平移变
换是中考的常考点．
9．（4分）（2013•梧州）如图，△ABC以点O为旋转中心，旋转180°后得到△A′B′C′．ED是△ABC的中位线，经旋转后
为线段E′D′．已知BC=4，则E′D′=（ ）
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A．2 B．3 C．4 D．1.5
考点： 旋转的性质；三角形中位线定理．
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分析： 先根据图形旋转不变性的性质求出B′C′的长，再根据三角形中位线定理即可得出结论．
解答： 解：∵△ABC以点O为旋转中心，旋转180°后得到△A′B′C′，
∴△ABC≌△A′B′C′，
∴B′C′=BC=4，
∵D′E′是△A′B′C′的中位线，
∴D′E′= B′C′= ×4=2．
故选：A．
点评： 本题考查的是图形旋转的性质，熟知旋转前、后的图形全等是解答此题的关键．
10．（4分）已知x+y=12，xy=9，则 的值等于（ ）
A． B． C． D．
考点： 分式的化简求值．
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专题： 计算题．
分析： 把所求式子的分子配方变为x+y与xy的关系式，分母提取xy也变为xy与x+y的形式，然后把已知的x+y与
xy的值代入即可求出值．
解答： 解：∵x+y=12，xy=9，
∴
=
=
=
= ．
故选：A
点评： 此题考查了分式的化简求值，利用了整体代入的思想．其中灵活运用完全平方公式及提取公因式的方法把所
求式子化为关于x+y与xy的式子是解本题的关键．
11．（4分）（2013•无锡）如图，平行四边形ABCD中，AB：BC=3：2，∠DAB=60°，E在AB上，且AE：EB=1：2，F是BC
的中点，过D分别作DP⊥AF于P，DQ⊥CE于Q，则DP：DQ等于（ ）
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A．3：4 B． ：2 C． ：2 D．2 ：
考点： 平行四边形的性质；三角形的面积；勾股定理．
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专题： 压轴题．
分析： 连接DE、DF，过F作FN⊥AB于N，过C作CM⊥AB于M，根据三角形的面积和平行四边形的面积得出
S
△DEC
=S
△DFA
= S平行四边形ABCD ，求出AF×DP=CE×DQ，设AB=3a，BC=2a，则BF=a，BE=2a，BN= a，BM=a，
FN= a，CM= a，求出AF= a，CE=2 a，代入求出即可．
解答： 解：连接DE、DF，过F作FN⊥AB于N，过C作CM⊥AB于M，
∵根据三角形的面积和平行四边形的面积得：S
△DEC
=S
△DFA
= S平行四边形ABCD ，
即 AF×DP= CE×DQ，
∴AF×DP=CE×DQ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵∠DAB=60°，
∴∠CBN=∠DAB=60°，
∴∠BFN=∠MCB=30°，
∵AB：BC=3：2，
∴设AB=3a，BC=2a，
∵AE：EB=1：2，F是BC的中点，
∴BF=a，BE=2a，
BN= a，BM=a，
由勾股定理得：FN= a，CM= a，
AF= = a，
CE= =2 a，
∴ a•DP=2 a•DQ
∴DP：DQ=2 ： ．
故选：D．
点评： 本题考查了平行四边形面积，勾股定理，三角形的面积，含30度角的直角三角形等知识点的应用，关键是求
出AF×DP=CE×DQ和求出AF、CE的值．
12．（4分）在Rt△ABC中，AC=BC，点D为AB中点．∠GDH=90°，∠GDH绕点D旋转，DG，DH分别与边AC，BC
交于E，F两点．下列结论：①AE+BF=AC，②AE2+BF2=EF2，③S四边形CEDF = S
△ABC
，④△DEF始终为等腰直角三角
形．其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①④ D．②③
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考点： 旋转的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形．
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分析： 延长FD到M使MD=DF，连结AM、EM、CD，根据等腰直角三角形的性质得CD=BD，∠B=∠DCA=45°，
CD⊥AB，再根据等角的余角相等得∠CDE=∠BDF，则可根据“AAS”判断△CDE≌△BDF，所以CE=BF，
DE=DF，易得AE+BF=AC，△△DEF等腰直角三角形；再由△CDE≌△BDF得S
△CDE
=S
△BDF
，于是S四边形
CEDF
=S
△CDB
= S
△ABC
；然后根据“SAS”判断△DAM≌△DBF，得到AM=BF，∠DAM=∠B=45°，则△AME为直
角三角形，所以AE2+AM2=EM2，即AE2+BF2=EM2，接着由ED垂直平分MF得到EM=EF，所以
AE2+BF2=EF2．
解答： 解：延长FD到M使MD=DF，连结AM、EM、CD，如图，
∵AC=BC，点D为AB中点．∠GDH=90°，
∴CD=BD，∠B=∠DCA=45°，CD⊥AB，
∵∠GDF=90°，即∠CDE+∠CDF=90°，
而∠CDF+∠BDF=90°，
∴∠CDE=∠BDF，
在△CDE和△BDF中，
，
∴△CDE≌△BDF（AAS），
∴CE=BF，DE=DF，
∴AE+BF=AE+CE=AC，故①正确；
∵∠EDF=90°，
∴△DEF始终为等腰直角三角形，故④正确；
∵△CDE≌△BDF，
∴S =S ，
△CDE △BDF
∴S四边形CEDF =S
△CDB
= S
△ABC
，故③正确；
在△DAM和△DBF中，
，
∴△DAM≌△DBF（SAS），
∴AM=BF，∠DAM=∠B=45°，
∴∠EAM=45°+45°=90°，
∴AE2+AM2=EM2，
∴AE2+BF2=EM2，
∵ED垂直平分MF，
∴EM=EF，
∴AE2+BF2=EF2，故②正确．
故选：A．
点评： 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋
转前、后的图形全等．也考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质和勾股定理．
二、填空题（每小题4分，共24分）
13．（4分）一个n边形的每个外角都等于36°，则n= 1 0 ．
考点： 多边形内角与外角．
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分析： 正n边形有n个外角，外角和为360°，那么边数n=360°÷一个外角的度数．
解答： 解：n=360°÷36°=10．
故答案为：10．
点评： 本题考查的是多边形内角与外角，用到的知识点为：正多边形的边数等于360÷正多边形的一个外角度数．
14．（4分）若分式 的值为零，则m= ﹣ 2 ．
考点： 分式的值为零的条件．
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专题： 计算题．
分析： 根据分式的值为零的条件（分子为零、分母不为零）可以求出m的值．
解答： 解：根据题意，得
m+2=0，且m﹣2≠0、m+3≠0；
解得m=﹣2；
故答案是：﹣2．
点评： 本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这
两个条件缺一不可．
15．（4分）如图，△ABC中，AB=AC，D是BC边上任意一点，DF⊥AC于点F，E在AB边上，ED⊥BC于点D，
∠AED=155°，则∠EDF等于 65 ° ．
考点： 等腰三角形的性质．
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分析： 由于∠EDF、∠C同为∠EDC的余角，因此它们相等，欲求∠EDF，只需求得∠C或∠B的度数即可，已知了
∠AED的度数，可直接利用三角形的外角性质来求得∠B的度数，由此得解．
解答： 解：∵∠B=∠AED﹣∠BDE=155°﹣90°=65°，
又∵AB=AC，
∴∠C=∠B=65°，
∵DF⊥AC，ED⊥BC，
∴∠EDF=∠C=65°，
故答案为：65°．
点评： 综合考查了三角形的外角性质和等腰三角形的性质．注意：等角的余角相等，根据这一性质是发现角相等的
一种常用方法．
16．（4分）（2012•哈尔滨）如图，平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转30°，得到平行四边形AB′C′D（′ 点B′与点B是
对应点，点C′与点C是对应点，点D′与点D是对应点），点B′恰好落在BC边上，则∠C= 10 5 度．
考点： 旋转的性质；平行四边形的性质．
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专题： 压轴题．
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分析： 根据旋转的性质得出AB=AB′，∠BAB′=30°，进而得出∠B的度数，再利用平行四边形的性质得出∠C的度
数．
解答： 解：∵平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转30°，得到平行四边形AB′C′D（′ 点B′与点B是对应点，点C′与点
C是对应点，点D′与点D是对应点），
∴AB=AB′，∠BAB′=30°，
∴∠B=∠AB′B=（180°﹣30°）÷2=75°，
∴∠C=180°﹣75°=105°．
故答案为：105．
点评： 此题主要考查了旋转的性质以及平行四边形的性质，根据已知得出∠B=∠AB′B=75°是解题关键．
17．（4分）（2014•昆山市模拟）如图，函数y=2x和y=ax+5的图象相交于A（m，3），则不等式2x＜ax+5的解集为 x
＜ ．
考点： 一次函数与一元一次不等式．
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专题： 探究型．
分析： 先把点A（m，3）代入函数y=2x求出m的值，再根据函数图象即可直接得出结论．
解答： 解：∵点A（m，3）在函数y=2x的图象上，
∴3=2m，解得m= ，
∴A（ ，3），
由函数图象可知，当x＜ 时，函数y=2x的图象在函数y=ax+5图象的下方，
∴不等式2x＜ax+5的解集为：x＜ ．
故答案为：x＜ ．
点评： 本题考查的是一次函数与一元一次不等式，能利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键．
18．（4分）（2006•温州）如图，在直线m上摆放着三个正三角形：△ABC、△HFG、△DCE，已知BC= CE，F、G分别是
BC、CE的中点，FM∥AC，GN∥DC．设图中三个平行四边形的面积依次是S
1
，S，S
3
，若S
1
+S
3
=10，则S= 4 ．
考点： 平行四边形的性质；等边三角形的性质．
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专题： 压轴题；规律型．
分析： 根据题意，可以证明S与S 两个平行四边形的高相等，长是S 的2倍，S 与S的长相等，高是S 的一半，这样
1 1 3 3
就可以把S 和S 用S来表示，从而计算出S的值．
1 3
解答： 解：根据正三角形的性质，∠ABC=∠HFG=∠DCE=60°，
∴AB∥HF∥DC∥GN，
设AC与FH交于P，CD与HG交于Q，
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∴△PFC、△QCG和△NGE是正三角形，
∵F、G分别是BC、CE的中点，
∴BF=MF= AC= BC，CP=PF= AB= BC
∴CP=MF，CQ=BC，QG=GC=CQ=AB，
∴S = S，S =2S，
1 3
∵S +S =10，
1 3
∴ S+2S=10，
∴S=4．
故答案为：4．
点评： 此题主要考查了等边三角形的性质及平行四边形的面积求法，平行四边形的面积等于平行四边形的边长与
该边上的高的积．即S=a•h．其中a可以是平行四边形的任何一边，h必须是a边与其对边的距离，即对应的
高．
三、解答题（19题8分，20题10分，共18分）
19．（8分）分解因式：
（1）2（m﹣n）2+m（n﹣m）；
（2）（2x+y）2﹣（x+2y）2．
考点： 因式分解-运用公式法；因式分解-提公因式法．
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专题： 计算题．
分析： （1）先变形得到原式=2（m﹣n）2﹣m（m﹣n），然后利用提公因式法分解因式；
（2）利用平方差分解因式．
解答： 解：（1）原式=2（m﹣n）2﹣m（m﹣n）
=（m﹣n）（2m﹣2n﹣m）
=（m﹣n）（m﹣2n）；
（2）原式=（2x+y+x+2y）（2x+y﹣x﹣2y）
=3（x+y）（x﹣y）．
点评： 本题考查了因式分解﹣运用公式法：如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公
式法；平方差公式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）；完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2；也考查了提公因式法分解因式．
20．（10分） 并将解集在数轴上表示出来．
考点： 解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
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分析： 求出不等式的解集，根据不等式的解集找出不等式组的解集即可．
解答： 解：∵解不等式①得：x≤0，
解不等式②得：x＞﹣5，
∴不等式组的解集为：﹣5＜x≤0，
在数轴上表示不等式组的解集为： ．
点评： 本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集的应用，关键是求出不等式组的解集．
四、解答题（每小题10分，共40分）
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21．（10分）计算 ，其中 ．
考点： 分式的化简求值．
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专题： 探究型．
分析： 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入原式进行计算即可．
解答：
解：原式= ÷
= ×
= ，
当x=2+ 时，原式= = = ．
点评： 本题考查分式的化简求值，在解答此类题目时要注意通分、约分的灵活运用．
22．（10分）某市政府计划修建一处公共服务设施，使它到三所公寓A、B、C的距离相等．
（1）若三所公寓A、B、C的位置如图所示，请你在图中确定这处公共服务设施（用点P表示）的位置（尺规作图，保留
作图痕迹，不写作法）；
（2）若∠BAC=56°，则∠BPC= 11 2 °．
考点： 作图—应用与设计作图．
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分析：（1）到线段两个端点距离相等的点应在线段的垂直平分线上，所以应作出任意两条线段的垂直平分线，它们
的交点即为所求；
（2）连接点P和各顶点，以及AC．根据线段的垂直平分线的性质和三角形的内角和定理求解．
解答： 解：（1）如图：
．
（2）连接点P和各顶点，延长AP到D交BC于D，
∵PA=PB，
∴∠PAB=∠PBA，
同理∠PAC=∠PCA，
∵∠BAP+∠PAC=∠BAC=56°，
∴∠PAB+∠PBA+∠PAC+∠PCA=112°，
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∵∠BPD=∠PAB+∠PBA，∠CPD=∠PAC+∠PCA，
∴∠BPC=∠BPD+∠CPD=∠PAB+∠PBA+∠PAC+∠PCA=112°．
故答案为：112．
点评： 此题考查应用与设计作图．本题用到的知识点为：到线段两个端点距离相等的点应在线段的垂直平分线上；
线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．等边对等角．
23．（10分）如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，CE⊥AE，点F在边AB上，
EF∥BC．
（1）求证：四边形BDEF是平行四边形；
（2）线段BF、AB、AC的数量之间具有怎样的关系？证明你所得到的结论．
考点： 平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．
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分析：（1）证明△AGE≌△ACE，根据全等三角形的性质可得到GE=EC，再利用三角形的中位线定理证明DE∥AB，
再加上条件EF∥BC可证出结论；
（2）先证明BF=DE= BG，再证明AG=AC，可得到BF= （AB﹣AG）= （AB﹣AC）．
解答： （1）证明：延长CE交AB于点G，
∵AE⊥CE，
∴∠AEG=∠AEC=90°，
又∵∠GAE=∠CAE，AE=AE，
∴△AGE≌△ACE．
∴GE=EC．
∵BD=CD，
∴DE∥AB．
∵EF∥BC，
∴四边形BDEF是平行四边形．
（2）解：BF= （AB﹣AC）．理由如下：
∵四边形BDEF是平行四边形，
∴BF=DE．
∵D、E分别是BC、GC的中点，
∴BF=DE= BG．
∵△AGE≌△ACE，
∴AG=AC，
∴BF= （AB﹣AG）= （AB﹣AC）．
点评： 此题主要考查了平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，题目综合性较强，证明GE=EC，再利用三角
形中位线定理证明DE∥AB是解决问题的关键．
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24．（10分）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的
延长线于点F，连接CF．
（1）求证：AD⊥CF；
（2）连接AF，试判断△ACF的形状，并说明理由．
考点： 等腰三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．
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专题： 几何综合题．
分析： （1）欲求证AD⊥CF，先证明∠CAG+∠ACG=90°，需证明∠CAG=∠BCF，利用三角形全等，易证．
（2）要判断△ACF的形状，看其边有无关系．根据（1）的推导，易证CF=AF，从而判断其形状．
解答： （1）证明：在等腰直角三角形ABC中，
∵∠ACB=90°，
∴∠CBA=∠CAB=45°．
又∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°．
∴∠BDE=45°．
又∵BF∥AC，
∴∠CBF=90°．
∴∠BFD=45°=∠BDE．
∴BF=DB．
又∵D为BC的中点，
∴CD=DB．
即BF=CD．
在△CBF和△ACD中， ，
∴△CBF≌△ACD（SAS）．
∴∠BCF=∠CAD．
又∵∠BCF+∠GCA=90°，
∴∠CAD+∠GCA=90°．
即AD⊥CF．
（2）△ACF是等腰三角形，理由为：
连接AF，如图所示，
由（1）知：CF=AD，△DBF是等腰直角三角形，且BE是∠DBF的平分线，
∴BE垂直平分DF，
∴AF=AD，
∵CF=AD，
∴CF=AF，
∴△ACF是等腰三角形．
点评： 此题难度中等，考查全等三角形的判定和性质及等腰三角形性质和判定．
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25．（10分）（2013•绥化）为了迎接“十•一”小长假的购物高峰．某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋．其中
甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表：
运动鞋 甲 乙
价格
进价（元/双） m m﹣20
售价（元/双） 240 160
已知：用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同．
（1）求m的值；
（2）要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润（利润=售价﹣进价）不少于21700元，且不超过22300元，问该专
卖店有几种进货方案？
（3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动，决定对甲种运动鞋每双优惠a（50＜a＜70）元出售，
乙种运动鞋价格不变．那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？
考点： 一次函数的应用；分式方程的应用；一元一次不等式组的应用．
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专题： 压轴题．
分析： （1）用总价除以单价表示出购进鞋的数量，根据两种鞋的数量相等列出方程求解即可；
（2）设购进甲种运动鞋x双，表示出乙种运动鞋（200﹣x）双，然后根据总利润列出一元一次不等式，求出不
等式组的解集后，再根据鞋的双数是正整数解答；
（3）设总利润为W，根据总利润等于两种鞋的利润之和列式整理，然后根据一次函数的增减性分情况讨论求
解即可．
解答：
解：（1）依题意得， = ，
整理得，3000（m﹣20）=2400m，
解得m=100，
经检验，m=100是原分式方程的解，
所以，m=100；
（2）设购进甲种运动鞋x双，则乙种运动鞋（200﹣x）双，
根据题意得， ，
解不等式①得，x≥95，
解不等式②得，x≤105，
所以，不等式组的解集是95≤x≤105，
∵x是正整数，105﹣95+1=11，
∴共有11种方案；
（3）设总利润为W，则W=（240﹣100﹣a）x+80（200﹣x）=（60﹣a）x+16000（95≤x≤105），
①当50＜a＜60时，60﹣a＞0，W随x的增大而增大，
所以，当x=105时，W有最大值，
即此时应购进甲种运动鞋105双，购进乙种运动鞋95双；
②当a=60时，60﹣a=0，W=16000，（2）中所有方案获利都一样；
③当60＜a＜70时，60﹣a＜0，W随x的增大而减小，
所以，当x=95时，W有最大值，
即此时应购进甲种运动鞋95双，购进乙种运动鞋105双．
点评： 本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到
关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系，（3）要根据一次项系数的情况分情况讨论．
26．（10分）（2013•沈阳模拟）在▱ABCD中，∠ADC的平分线交直线BC于点E、交AB的延长线于点F，连接AC．
（1）如图1，若∠ADC=90°，G是EF的中点，连接AG、CG．
①求证：BE=BF．
②请判断△AGC的形状，并说明理由；
（2）如图2，若∠ADC=60°，将线段FB绕点F顺时针旋转60°至FG，连接AG、CG．那么△AGC又是怎样的形状．（直
接写出结论不必证明）
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考点： 平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定；等腰直角三角形．
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专题： 压轴题．
分析：（1）①先判定四边形ABCD是矩形，再根据矩形的性质可得∠ABC=90°，AB∥DC，AD∥BC，然后根据平行线
的性质求出∠F=∠FDC，∠BEF=∠ADF，再根据DF是∠ADC的平分线，利用角平分线的定义得到
∠ADF=∠FDC，从而得到∠F=∠BEF，然后根据等角对等边的性质即可证明；
②连接BG，根据等腰直角三角形的性质可得∠F=∠BEF=45°，再根据等腰三角形三线合一的性质求出
BG=FG，∠F=∠CBG=45°，然后利用“边角边”证明△AFG和△CBG全等，根据全等三角形对应边相等可得
AG=CG，再求出∠GAC+∠ACG=90°，然后求出∠AGC=90°，然后根据等腰直角三角形的定义判断即可；
（2）连接BG，根据旋转的性质可得△BFG是等边三角形，再根据角平分线的定义以及平行线的性质求出
AF=AD，平行四边形的对角相等求出∠ABC=∠ADC=60°，然后求出∠CBG=60°，从而得到∠AFG=∠CBG，
然后利用“边角边”证明△AFG和△CBG全等，根据全等三角形对应边相等可得AG=CG，全等三角形对应
角相等可得∠FAG=∠BCG，然后求出∠GAC+∠ACG=120°，再求出∠AGC=60°，然后根据等边三角形的判定
方法判定即可．
解答： （1）证明：①∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AB∥DC，AD∥BC，
∴∠F=∠FDC，∠BEF=∠ADF，
∵DF是∠ADC的平分线，
∴∠ADF=∠FDC，
∴∠F=∠BEF，
∴BF=BE；
②△AGC是等腰直角三角形．
理由如下：连接BG，
由①知，BF=BE，∠FBC=90°，
∴∠F=∠BEF=45°，
∵G是EF的中点，
∴BG=FG，∠F=∠CBG=45°，
∵∠FAD=90°，
∴AF=AD，
又∵AD=BC，
∴AF=BC，
在△AFG和△CBG中， ，
∴△AFG≌△CBG（SAS），
∴AG=CG，
∴∠FAG=∠BCG，
又∵∠FAG+∠GAC+∠ACB=90°，
∴∠BCG+∠GAC+∠ACB=90°，
即∠GAC+∠ACG=90°，
∴∠AGC=90°，
∴△AGC是等腰直角三角形；
（2）连接BG，∵FB绕点F顺时针旋转60°至FG，
∴△BFG是等边三角形，
∴FG=BG，∠FBG=60°，
又∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADC=60°，
∴∠ABC=∠ADC=60°
∴∠CBG=180°﹣∠FBG﹣∠ABC=180°﹣60°﹣60°=60°，
∴∠AFG=∠CBG，
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∵DF是∠ADC的平分线，
∴∠ADF=∠FDC，
∵AB∥DC，
∴∠AFD=∠FDC，
∴∠AFD=∠ADF，
∴AF=AD，
在△AFG和△CBG中， ，
∴△AFG≌△CBG（SAS），
∴AG=CG，∠FAG=∠BCG，
在△ABC中，∠GAC+∠ACG=∠ACB+∠BCG+∠GAC=∠ACB+∠BAG+∠GAC=∠ACB+∠BAC=180°﹣
60°=120°，
∴∠AGC=180°﹣（∠GAC+∠ACG）=180°﹣120°=60°，
∴△AGC是等边三角形．
点评： 本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，难度
较大，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
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参与本试卷答题和审题的老师有：mmll852；399462；sks；lanchong；zjx111；gsls；ZJX；nhx600；HJJ；HLing；星期八；
zhjh；CJX；caicl；sd2011；wdxwzk；蓝月梦；117173；sch（排名不分先后）
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2014年6月11日
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