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专题12 反比例函数与几何综合压轴题的五种考法
类型一、平行四边形存在性问题
例．如图，在平面直角坐标系
中，直线
与
轴交于点A，与
轴交于点
，分别过点
作
轴、
轴的垂线，两垂线交于点
，函数
的图像与线段
交于点
交
于点
．
(1)求线段
的长度；
(2)试判断点
是否在函数
的图像上，并说明理由；
(3)已知
，点
在
轴上，点
在函数
的图像上，当四边形
为平行四边形时，
求点
的坐标．
【变式训练1】如图，一次函数的图象与x 轴、y 轴分别交于A、B 两点，与反比例函数的图象交于点
，
．
(1)求一次函数和反比例函数表达式；
(2)点
为
轴正半轴上一点，当
的面积为9 时，求点
的坐标；
(3)在（2）的条件下，将直线
向上平移，平移后的直线交反比例函数图象于点
，交
轴于点
，
点
为平面直角坐标系内一点，若以点
、
、
、
为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件
的点
的坐标；并写出求解点
的坐标的其中一种情况的过程．
【变式训练2】如图1，在平面直角坐标系中，反比例函数
（k 为常数，且
，
）的图像经过
点
两点．
(1)m 与n 的数量关系是( )
A．
B．
C．
D．
(2)如图2，若点A 绕x 轴上的点P 顺时针旋转
，恰好与点B 重合．
①求点P 的坐标及反比例函数的表达式；
②连接
、
，则
的面积为_____；
(3)若点M 在反比例函数
的图像上，点N 在y 轴上，在（2）的条件下，是否存在以A、B、
M、N 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．
【变式训练3】如图，在平面直角坐标系中，一次函数
的图象经过点
，交反比例函
数
的图象于点
，点E 是反比例函数图象上的一动点，横坐标为
，
轴
交直线
于点F，D 是y 轴上任意一点，连接
、
．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)当t 为何值时，
为等腰直角三角形；
(3)点M 是一次函数图像上一动点，点N 是反比例函数图像上一动点，当四边形
为平行四边形时，
求出点M 的坐标．
类型二、菱形存在性问题
例．如图1，四边形
为正方形，点A 在y 轴上，点B 在x 轴上，且
，反比例函数
在
第一象限的图象经过正方形的顶点C．
(1)求点C 的坐标；
(2)如图2，将正方形
沿x 轴向右平移得到正方形
，点
恰好落在反比例函数的图象上，求
此时点
的坐标；
(3)在（2）的条件下，点P 为y 轴上一动点，平面内是否存在点Q，使以点O、
、P、Q 为顶点的四边形
为菱形，若存在，请直接写出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．
【变式训练1】如图，直线
与反比例函数
的图象相交于点A、点
，与
轴交于点
，其中
点A 的坐标为
，点
的横坐标为
．
(1)试确定反比例函数的关系式；
(2)直接写出不等式
的解集．
(3)点
是
轴上一点，点
是坐标平面内一点，以点
，
，
，
为顶点的四边形是菱形，请直接写出
点
的坐标．
【变式训练2】如图，矩形
的顶点
、
分别在
、
轴的正半轴上，点
在反比例函数
的第一象限内的图像上，
，
，动点
在
轴的上方，且满足
．
(1)
_________．
(2)若点
在这个反比例函数的图像上，求点
的坐标；
(3)连接
、
，求
的最小值；
(4)若点
是平面内一点，使得以
、
、
、
为顶点的四边形是菱形，则请你直接写出满足条件的所有
点P 的坐标．
【变式训练3】如图1，在平面直角坐标系中，直线l：y=－2x+2 与x 轴交于点A，将直线l 绕着点A 顺时针
旋转45°后，与y 轴交于点B，过点B 作BC⊥AB，交直线l 于点C．
(1)求点A 和点C 的坐标；
(2)如图2，将△ABC 以每秒3 个单位的速度沿y 轴向上平移t 秒，若存在某一时刻t，使A、C 两点的对应点
D、F 恰好落在某反比例函数的图象上，此时点B 对应点E，求出此时t 的值；
(3)在（2）的情况下，若点P 是x 轴上的动点，是否存在这样的点Q，使得以P、Q、E、F 四个点为顶点的
四边形是菱形？若存在，请直接写出符合题意的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
类型三、矩形存在性问题
例．在平面直角坐标系
中，已知反比例函数
的图像与正比例函数
的图像交
于点
、点
，与正比例函数
的图像交于点
、点
，设点
、
的横坐标分别为，(
)．
(1)如图1，若点
坐标为
．
①求
，
的值；
②若点
的横坐标为
，连接
，求
的面积．
(2)如图2，依次连接
，
，
，
，若四边形
为矩形，求
的值．
【变式训练1】如图，在直角坐标系中，直线
与反比例函数
的图像交于
、B 两点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)将直线
向上平移后与y 轴交于点C，与双曲线在第二象限内的部分交于点D，如果
的面
积为16，求直线向上平移的距离；
(3)E 是y 轴正半轴上的一点，F 是平面内任意一点，使以点A，B，E，F 为顶点的四边形是矩形，请求出所
有符合条件的点E 的坐标．
【变式训练2】如图，直线
分别与x 轴交于B，C 两点，与y 轴交于A，D 两点，且
，线段
的长分别是方程
的两根，并且
．
(1)求点D 的坐标；
(2)求过点E 的反比例函数解析式；
(3)若点M 在坐标轴上，平面是否存在点N，使得以A，E，M，N 为顶点的四边形为矩形？若存在，请写出
满足条件的点N 的个数，并任意写3 个满足条件的点N 的坐标；若不存在，说明理由．
【变式训练3】如图，已知点B 坐标为
，点C 与点B 关于原点对称，过点B 作
轴，交反比例函
数
的图象于点A，若
的面积为1．
(1)求k 的值；
(2)如图2，点D 在第二象限，
是直角三角形，
，
，求点D 的坐标；
(3)在（2）的条件下，点M 为x 轴上一点，点N 为坐标平面内一点，若以A，D，M，N 为顶点的四边形是
矩形，请直接写出所有符合条件的点N 的坐标．
类型四、正方形存在性问题
例．如图，在平面直角坐标系
中，直线
与反比例函数
的图象交于点
，与y
轴交于点
，点P 是反比例函数
的图象上一动点，过点P 作直线
轴交直线
于点Q，设点P 的横坐标为t，且
，连接
(1)求k，b 的值.
(2)当
的面积为3 时，求点P 的坐标.
(3)设
的中点为C，点D 为x 轴上一点，点E 为坐标平面内一点，当以B，C，D，E 为顶点的四边形为
正方形时，求出点P 的坐标.
【变式训练1】．如图，在平面直角坐标系
中，直线
与反比例函数
的图象交于点
，与
轴交于点
，点
是反比例函数
的图象上一动点，过点
作直线
轴
交直线
于点
，设点
的横坐标为，且
，连接
，
．
(1)求
，
的值．
(2)当
的面积为3 时，求点
的坐标．
(3)设
的中点为
，点
为
轴上一点，点
为坐标平面内一点，当以
，
，
，
为顶点的四边形
为正方形时，求出点
的坐标．
【变式训练2】如图，直线
分别与反比例函数
和
的图像交于A，B 两点，点B 横
坐标为2．
(1)求n 的值．
(2)若点C 为
图像上一点，过点C 作直线
轴，交反比例函数
于点D，当
时，求C
点横坐标．
(3)若点E 在直线AB 上，请在坐标平面内找一点F，使得以C，D，E，F 四点为顶点的四边形是正方形，
并求出点F 的坐标．
类型五、相似存在性问题
例．如图，直线
与双曲线
交于
，
两点，已知点
的坐标为
，点
的坐标为
，直线
与
轴交于点
，与
轴交于点
．
(1)求双曲线和直线
的解析式；
(2)若点
是双曲线上的一点，
的面积是
的面积的倍，求点
的坐标；
(3)若点
在
轴的负半轴上，是否存在以点
，
，
为顶点构成的三角形与
相似？若存在，求出
点
的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式训练1】
在直角坐标系内的位置如图所示，反比例函数
在第一象限内的图象
与
边交于点D
，与
边交于点E
，
的面积为2．
(1)求m 与n 的数量关系及线段
的长；
(2)当
时，求m，n 的值和直线
的解析式；
(3)设P 是线段
上的点，在（2）的条件下，是否存在点P，以B、C、P 为顶点的三角形与
相似？
若存在，求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式训练2】直线
与x 轴交于点C（4,0），与y 轴交于点B，并与双曲线
交于点A
（-1，n）．
(1)求直线与双曲线的解析式．
(2)连接OA，若点D 在
轴的正半轴上，是否存在以点D、C、B 构成的三角形与△OAB 相似？若存在，求
出D 点的坐标，若不存在， 请说明理由．
【变式训练3】如图，直线
与双曲线
交于A，B 两点，已知点A 的横坐标为
，点B 的纵
坐标为
，直线
与x 轴交于点C，与y 轴交于点
．
(1)求双曲线和直线
的解析式；
(2)若点P 是第二象限内反比例函数图象上的一点，
的面积是
的面积的3 倍，求点P 的坐标．
(3)若点E 在x 轴的负半轴上，是否存在以点E，C，D 为顶点构成的三角形与
相似？若存在，求出
点E 的坐标；若不存在，请说明理由．
