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微专题15 立体几何中的截面、范围与最值、轨迹问题
【秒杀总结】
1、立体图形中的截面问题：
（1）利用平面公理作出截面；（2）利用几何知识求面积或体积.
2、立体几何中距离之和的最值问题的求解，解题关键是能够求得
关于平面的对称点
，从而利用
三角形两边之和大于第三边的特点确定当三点共线时取得最小值.
3、对于立体几何中的动点问题，常需动中觅静，这里的"静"是指问题中的不变量或者是不变关系，动
中觅静就是在运动变化中探索问题中的不变性."静"只是"动"的瞬间，是运动的一种特殊形式，然而抓
住"静"的瞬间，使一般情形转化为特殊情形，问题便迎刃而解.
【典型例题】
例1．（2024·内蒙古包头·一模）已知两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在该球面上，若两个圆
锥的高之比为
，它们的体积之和为
，则该球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
记该截面和球的半径分别为
，由于两个圆锥的高之比为
，
故球心到该截面的距离为
，从而
，
.
而两个圆锥的高分别是
，故体积之和
.
从而
，故
，
.
该球的表面积
.
故选：B.
例2．（2024·高三·全国·专题练习）如图，长方体
中，
，
，M 为
的中点，过
作长方体的截面
交棱
于N，下列正确的是（ ）
1
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①截面
可能为六边形
②存在点N，使得
截面
③若截面
为平行四边形，则
④当N 与C 重合时，截面面积为
A．①②
B．③④
C．①③
D．②④
【答案】B
【解析】长方体
中，过
作长方体的截面
交棱
于N，
设
为
的中点，根据点N 的位置的变化分析可得，
当
时，截面
为平行四边形，
当
时，截面
为五边形，
当
，即点N 与点C 重合时，截面
为梯形，故①错误，③正确；
设
截面
，因为
，所以
，
又
平面
，且
平面
，所以
，
又
，所以
平面
，
所以N 只能与C 重合才能使
，
因为
显然不垂直平面
，故此时不成立，故②错误；
因为当N 与C 重合时，截面
为梯形，
如图
所示，过M 作
垂直于
于点
，
2
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设梯形的高为h，
，
则由平面几何知识可得
，
解得
，
所以截面
的面积为
，故④正确．
故选：B.
例3．（2024·山东潍坊·一模）如图所示，在棱长为1 的正方体
中，点
为截面
上的
动点，若
，则点
的轨迹长度是（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】B
【解析】在棱长为1 的正方体
中，连接
，
由
平面
，
平面
，得
，而
，
3
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平面
，则
平面
，又
平面
，
于是
，同理
，而
平面
，
因此
平面
，因为
，则
平面
，
而点
为截面
上的动点，平面
平面
，
所以点
的轨迹是线段
，长度为
.
故选：B
例4．（2024·四川成都·二模）在所有棱长均相等的直四棱柱
中，
，点
在四
边形
内（含边界）运动．当
时，点
的轨迹长度为
，则该四棱柱的表面积为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设棱长为
，延长
，过点
作
垂直于
的延长线于
，
由
，可得
；
由直四棱柱的性质可得，
平面
，所以
；
因为
，所以
.
在平面
内，点
的轨迹是以
为圆心，
为半径的圆夹在四边形
内的部分，即图中圆弧
.
因为
，所以
，
因为点
的轨迹长度为
，所以
，即
.
四棱柱的表面积为
.
故选：A.
例5．（2024·陕西西安·一模）如图，在棱长为2 的正方体
中，
均为所
4
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在棱的中点，动点P 在正方体表面运动，则下列结论中正确的个数为（ ）
①
在
中点时，平面
平面
②异面直线
所成角的余弦值为
③
在同一个球面上
④
，则
点轨迹长度为
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】D
【解析】
①：取
的中点
，连接
，在棱长为2 的正方体
中，
均为所在
棱的中点，
易知
，
平面
，
在面
内，
所以
，
面
，
面
，
，
所以
面
，
面
，所以
，
连接
，
是正方形，
，
因为
面
，
面
，所以
，
因为
面
，
面
，
，
所以
面
，因为
面
，所以
，
综上，
面
，
面
，又
，
所以
面
，
面
，故平面
平面
，故①正确；
②：取
的中点
，连接
，则
，
5
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所以
是异面直线
所成的角，
又
，则
，故②错误；
③：记正方体的中心为点
，则
，
所以
在以
为球心，以
为半径的球面上，故③正确；
④：因为
，且
为
的中点，
所以
，故
，
所以
点轨迹是过点
与
平行的线段
，且
，
所以
，故④正确；
故选：D
例6．（多选题）（2024·高二·湖南长沙·开学考试）在正方体
中，
，点
满足
，其中
，
，则下列结论正确的是（ ）
A．当
平面
时，
不可能垂直
B．若
与平面
所成角为
，则点
的轨迹长度为
C．当
时，
的最小值为
D．当
时，正方体经过点
、
、
的截面面积的取值范围为
【答案】BD
【解析】A 选项：建立如图所示的空间直角坐标系
，则
，
，
，
，
，
，
，
，
所以
，
，
6
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则
，
，设平面
的法向量为
，
所以
令
，则
，即平面
的一个法向量为
．
若
平面
，则
，即
，
，令
，解得
．
即
为
中点时，有
平面
，且
，故A 错误；
B 选项：因为
平面
，连接
，则
即为
与平面
所成角，
若
与平面
所成角为
，则
，所以
，
即点
的轨迹是以
为圆心，以1 为半径的
个圆，于是点
的轨迹长度为
，故B 正确；
C 选项：当
时，
,此时点
在线段
上运动，
如图，将平面
与平面
沿
展成平面图形，
线段
即为
的最小值，利用余弦定理可知
，所以
，故C 错误；
D 选项：当
时，
,故点
在线段
上运动,
正方体经过点
、
、
的截面为平行四边形
，
以
为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系
，
7
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则
，
，
，
，
所以
，
，
，
，
，所以点
到直线
的距离为
，
于是当
时，
的面积取最小值，此时截面面积为
；
当
或1 时，
的面积取最大值，此时截面面积为
，故D 正确．
故选：BD
例7．（多选题）（2024·河南·三模）已知正方体
的棱长为2，
，
，
，
.点P 是棱
上的一个动点，则（ ）
A．当且仅当
时，
平面DMN
B．当
，
时，
平面
C．当
时，
的最小值为
D．当
时，过B，M，N 三点的截面是五边形
【答案】ABC
【解析】以
为坐标原点，以
所在直线为
轴建立空间直角坐标系，
8
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则
，
因为
，
，
，
，所以
，
对于A，
，
，
若
平面DMN，则
，
所以
恒成立，
，解得
，
故当且仅当
时，
平面DMN，正确；
对于B，当
，
时，
，
，
因为
平面
，
平面
，所以
，
又
，
，
平面
，
平面
，
所以
平面
，所以
为平面
的一个法向量，
因为
，所以
，
又
平面
，所以
平面
，正确；
对于C，将平面
和平面
展开成一个平面，连接
，如图，
由三点共线时距离之和最小，即
，显然当
时，
最小为
的高h，对于
，利用面积相等得
，即
，解得
，所以
，正确；
9
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对于D，当
时，M，N 分别为
，
的中点，连接
，如下图所示，
过点B 作AC 的平行线交
延长线于点
，交
于点
，连接
并延长，交
于点
，
交
于
，连接
并延长，交
于点
，根据对称性
在直线
上，连接
，
因为M 为
中点，N 为
中点，所以
，又因为
，所以
，
所以
共面，此时
，
四边形
为截面，所以截面为四边形，错误.
故选：ABC
例8．（多选题）（2024·广西柳州·三模）正三棱柱
中，
，点
满足
，其中
，
，则（ ）
A．当
，
时，
与平面
所成角为
B．当
时，有且仅有一个点
，使得
C．当
，
时，平面
平面
D．若
，则点
的轨迹长度为
【答案】ACD
【解析】当
，
时，
与
重合，
由已知得，
平面
，
所以
就是
与平面
所成的角，
因为
，
所以
，
所以
，
即
与平面
所成角为
，A 正确；
10
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当
时，取线段
中点分别为
，
连接
，
因为
，即
，
所以
，
则点
在线段
上，
设
，则
，
则
，
，
，
若
，则
，
则
，
则
，所以
或
，
则点
与
、
重合时，
，
即当
时，存在两个点
使得
，故B 错；
当
，
时，
，
11
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则
，所以
是
中点，
取
中点
，
中点
，
建立空间直角坐标系，如图，
则
，
，
，
，
所以
，
，
，
，
设平面
和平面
的一法向量分别为
，
则
，
，
解得
，
，
令
，
，
可得
，
，
因为
，
所以
，
即平面
平面
，C 正确；
若
，因为
，
，
，
所以点
在侧面
上，
12
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又
平面
，
，
所以点
的轨迹是以Q 为圆心，半径为
的半圆，轨迹长度为
，故D 准确.
故选：ACD
例9．（多选题）（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知正方体
棱长为4，点N 是底面正方形
ABCD 内及边界上的动点，点M 是棱
上的动点（包括点
），已知
，P 为MN 中点，则下
列结论正确的是（ ）
A．无论M，N 在何位置，
为异面直线B．若M 是棱
中点，则点P 的轨迹长度为
C．M，N 存在唯一的位置，使
平面
D．AP 与平面
所成角的正弦最大值为
【答案】ABD
【解析】由于
相交，而
，因此
为异面直线，A 正确，
当M 是棱
中点，建立如图所示的空间直角坐标系，设
,
故
，
且
，
由于
，故
，化简得
，
由于
，所以点P 的轨迹长度为半径为
的圆的
，故长度为
，B 正确，
设
,则
，
且
，
，
,
设平面
的法向量为
，则
，令
，则
,
，故
，
由于
，故
，化简得
，
联立
，故解不唯一，比如取
，则或取
，故C 错
误，
由于
平面
，
平面
，故
,
又四边形
为正方形，所以
,
13
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平面
，
所以
平面
，
故平面
的法向量为
，
设AP 与平面
所成角为
，则
，
则
，当且仅当
时取等号，
，
时，令
，则
，
故
，
由于
，当且仅当
，即
时等号成立，此时
，
由
且
可得
因此
，
由于
，
，故
的最大值为
，故D 正确，、
故选：ABD
例10．（2024·高三·四川巴中·阶段练习）如图，棱长为的正方体中，
为线段
上的动点（不含端
点），以下正确的是
14
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①
；
②存在点
，使得
//面
；
③
的最小值为
；
④存在点
，使得
与面
所成线面角的余弦值为
.
【答案】①②
【解析】由题意，建立如图空间直角坐标系
，
则
，
所以
，
设
，则
，所以
，
所以
.
①：
，
所以
，故①正确；
②：设平面
的一个法向量为
，
则
，令
，得
，所以
，
有
，当
时，
，此时
，即
平面
，
所以当点P 为
的中点时，
平面
，故②正确；
15
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③：将平面
与平面
沿
展开成平面图，线段
即为
的最小值.
在
中，
，由余弦定理，
得
，
即
，故③错误；
④：由
平面
，
得
平面
，即
平面
，则
为平面
的一个法向量，
假设存在点P，使得
与平面
所成线面角的余弦值为
，
设该线面角为
，则
，
所以
，
整理得
，由
知方程无实根，
所以不存在点P，使得
与平面
所成线面角的余弦值为
，故④错误.
故答案为：①②
例11．（2024·高三·北京房山·期末）如图，在棱长为
的正方体
中，点
是线段
上的
动点.给出下列结论：
①
；
②
平面
；
③直线
与直线
所成角的范围是
；
④点
到平面
的距离是
.
其中所有正确结论的序号是 .
16
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【答案】①②④
【解析】
以
为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则有
、
、
、
、
、
、
、
，
则
、
、
、
、
、
、
，
设
，
，则
，
，故
，故①正确；
设平面
的法向量为
，
则有
，即
，取
，则
，
有
，故
，又
平面
，则
平面
，故②正确；
当
时，有
，此时
，即
，
即此时直线
与直线
所成角为
，故③错误；
由
，
，
17
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则
，故④正确.
故答案为：①②④.
例12．（2024·内蒙古赤峰·一模）已知正方体
，棱长为2.
(1)求证：
平面
；
(2)若平面
平面
，且平面
与正方体的棱相交，当截面面积最大时，在所给图形上画出截面图形
（不必说出画法和理由），并求出截面面积的最大值；
(3)在（2）的情形下，设平面
与正方体的棱
、
、
交于点
、
、
，当截面的面积最大时，
求二面角
的余弦值.
【解析】（1）连接
，
，
，
因为
是正方体，所以
平面
，
因为
平面
，所以
又因为四边形
是正方形，所以
，
因为
，
平面
，所以
平面
，
因为
平面
，所以
.同理可证得：
，
又因为
平面
，所以
平面
.
（2）设
分别是
的中点，
连接
，
根据题意知截面面积最大时，图形是边长为
的正六边形
，
18
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所以最大的截面面积为
.
（3）因为平面
平面
，所以当截面
的面积最大时，
、
、
分别是棱
、
、
的
中点，
以
为原点建立如图所示空间直角坐标系：
，
，
，
，
设平面
的一个法向量是
，
，
，
则
，令
，则
，
，
，
设平面
的一个法向量是
，
，
，
，令
，则
，
，则
，
，
设二面角
的平面角为
，由图知
为锐角，所以
，
所以二面角
的余弦值为
.
【过关测试】
1．（2024·天津·一模）祖暅是我国南北朝时期杰出的数学家和天文学家祖冲之的儿子，他提出了一条原理：
19
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“幂势既同，则积不容异”.这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高.这句话的意思是：两个等高的
几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等，利用祖暅原理可以将半球的体
积转化为与其同底等高的圆柱和圆锥的体积之差，图1 是一种“四脚帐篷”的示意图，其中曲线
和
均是以2 为半径的半圆，平面
和平面
均垂直于平面
，用任意平行于帐篷底面
的平面截帐篷，所得截面四边形均为正方形，模仿上述半球的体积计算方法，可以构造一个与帐篷同底等
高的正四棱柱，从中挖去一个倒放的同底等高的正四棱锥（如图2），从而求得该帐篷的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设截面与底面的距离为，在帐篷中的截面为
，
设底面中心为
，截面
中心为
，则
，
，
所以
，所以截面为
的面积为
.
设截面截正四棱柱得四边形为A1B1C1D1，截正四棱锥得四边形为
，
底面中心
与截面
中心
之间的距离为
，
在正四棱柱中，底面正方形边长为
，高为2，
，
所以
，所以
为等腰直角三角形，
所以
，所以四边形
边长为
，
所以四边形
面积为
，
所以图2 中阴影部分的面积为
，与截面
面积相等，
由祖暅原理知帐篷体积为正四棱柱的体积减去正四棱锥的体积，
即
.
故选：D.
20
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2．（2024·高三·全国·专题练习）已知正方形
的边长为4，若将
沿BD 翻折到
的位置，
使得二面角
为
，N 为
的四等分点靠近D 点，已知点
，B，C，D 都在球O 的表面
上，过N 作球O 的截面
，则
截球所得截面面积的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】如图，取BC 的中点为O，
由正方形
的边长为4，则
，
因此O 为空间四边形
的外接球球心，外接球半径
，
设球心到平面
的距离为d，截面圆的半径为r，则有
，
即
，当
截面
时，d 最大，此时截面面积最小，且
，
在
中，
，
，
，由余弦定理可得，
，
此时
，
所以截面面积最小值为
.
故选：D
3．（2024·高三·全国·专题练习）如图，在棱长为1 的正方体
中，已知
，
分别为线段
，
上的动点，
为
的中点，则
的周长的最小值为（ ）
21
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
设
的中点为
，连接
（
不与点
重合），
，
，
，
所以
，所以
，把平面
与平面
展开并摊平，如图，
在平面图形中连接
，交
于点
，交
于点
，此时
的周长取得最小值
，
在
中利用余弦定理可得
，
所以
的周长的最小值为
．
故选：B．
4．（2024·广西柳州·三模）已知P，A，B，C 是半径为2 的球面上四点，
为等边三角形且其面积为
，则三棱锥
体积的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设
的边长为a，则
，所以
，
22
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设
的外接圆的圆心为M，半径为r，则
，得
，
则球心
到平面
的距离
，
当
共线且
位于
之间时，三棱锥
的高最大，为
，
此时三棱锥
的体积也最大，最大值为
故选：B．
5．（多选题）（2024·江苏徐州·一模）已知圆台的上、下底面直径分别为2，6，高为
，则（ ）
A．该圆台的体积为
B．该圆台外接球的表面积为
C．用过任意两条母线的平面截该圆台所得截面周长的最大值为16
D．挖去以该圆台上底面为底，高为
的圆柱后所得几何体的表面积为
【答案】BC
【解析】由已知得圆台的上下底面半径分别为
，
对于A：圆台的体积为
，A 错误；
对于B：如图是圆台的轴截面
，外接球球心为
，设外接球半径为
，
当球心在梯形
内时，
，解得
，
当球心在梯形
外时，
，方程无解，
23
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所以外接球的表面积
，B 正确；
对于C：用过任意两条母线的平面截该圆台所得截面周长，其中轴截面的周长最大，
又母线长为
，则最大周长为
，C 正确；
对于D：如图：挖去以该圆台上底面为底，高为
的圆柱后所得几何体的表面积为
，D 错误.
故选：BC.
6．（多选题）（2024·高三·全国·专题练习）(多选)下列说法正确的是（ ）
A．若一个球的体积为
，则它的表面积为
B．棱长为1 的正四面体的内切球半径为
C．用平面α 截一个球，所得的截面面积为π，若α 到该球球心的距离为1，则球的体积为
D．棱长为1 的正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球截平面A1BD 所得的截面面积为
【答案】ABD
【解析】对于A：一个球的体积为
，设该球的半径为
，则
，解得
，
于是该球的表面积为
，故A 正确；
对于B：正四面体的棱长为1，内切球半径，
如图所示，
为
的中点，
，
24
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由正四面体的性质可知线段
为正四面体
的高，
在正
中，
，
同理，在正
中，
，
则
，
，
所以
，
则
，
设点
为正四面体内切球的球心，则等体积法有
，解得
，故正确.
对于C：用平面α 截一个球，所得的截面面积为π，截面圆的半径
，则
，即
，
α 到该球球心的距离
，设球的半径
，
则
，所以 球的体积为
，故C 错误；
对于D：平面
截球
的截面为
的内切圆，如下图：
因为正方体的棱长为1，所以对角线
，
内切圆半径
，
25
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所以截面面积
，故D 正确.
故选：ABD.
7．（多选题）（2024·高三·重庆·阶段练习）在意大利，有一座满是“斗笠”的灰白小镇阿尔贝罗贝洛，
这些圆锥形屋顶的奇特小屋名叫
，于1996 年被收入世界文化遗产名录．现测量一个
的屋顶，
得到圆锥
（其中为顶点，
为底面圆心），母线
的长为
，
是母线
的靠近点的三等分点．
从点
到点
绕屋顶侧面一周安装灯光带，灯光带的最小长度为
．下面说法正确的是（ ）
A．圆锥
的侧面积为
B．过点的平面截此圆锥所得截面面积最大值为
C．圆锥
的外接球的表面积为
D．棱长为
的正四面体在圆锥
内可以任意转动
【答案】ABD
【解析】对于A，设圆锥底面半径为，如图，
在
中，
，
，
，
∴
，
∴
，所以
，
（米），
所以圆锥的侧面积为
（
），故A 正确；
对于B，在
中，
，
所以
，
所以过点平面截此圆锥所得截面面积最大为
（
），故B 正确；
对于C，设圆锥
的外接球半径为
，则
，
又
，
所以
，∴
，
26
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圆锥
的外接球表面积为
，故C 不正确；
对于D，设圆锥
的内切球半径为，则
，∴
，
在棱长为
米的正四面体中，设其外接球半径为
，
则此正四面体的底面外接圆半径为
，高为
，
所以
，所以
，
因为
，所以棱长为
米的正四面体在圆锥
内可以任意转动，故D 正确.
故选：ABD
8．（多选题）（2024·吉林·模拟预测）如图，在棱长为1 的正方体
中，M，N 分别是
，
的中点，
为线段
上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．
一定是异面直线
B．存在点
，使得
C．直线
与平面
所成角的正切值的最大值为
D．过M，N，P 三点的平面截正方体所得截面面积的最大值为
【答案】AD
【解析】以
为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系：
27
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则
，
设
，则
点坐标为
；
对A：设平面
的法向量为
，
，
则
，即
，取
，解得
，故
；
又
，
，
考虑到
，则
，故
，
故
一定是异面直线，A 正确；
对B：
，
，
若
，则
，即
，
解得
，又
，故不存在这样的点
，使得
，B 错误；
对C：
，取平面
的法向量
，
则
，
设直线
与平面
的夹角为
则
，则
，
，又
，故
，
即直线
与平面
所成角的正切值的最大值为
，C 错误；
对D：在正方体中，过
的截面为六边形且六边形为正六边形时面积最大.
此时过
的截面经过对称中心
，
设截面交
于中点，
也为中点，
28
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所以
为
的中点时，过
三点的平面截正方体所得截面面积最大，
取
的中点为
，连接
，如下所示：
故此时截面为正六边形
，
其面积
，故D 正确.
故选：AD.
9．（多选题）（2024·湖南衡阳·模拟预测）三棱锥
各顶点均在半径为2 的球
的表面上，
，
，平面
与平面
所成的角为
，则下列结论正确的是（ ）
A．直线
平面
B．三棱锥
的体积为
C．点
到平面
的距离为
D．点
形成的轨迹长度为
【答案】BCD
【解析】
如图，设
是
的外心，
是
的外心，
则
平面
，
平面
，又
平面
，
平面
，
所以
，
，又
，
平面
，
平面
，
所以
平面
，又
平面
，
所以
，由
，
则
是
的中点，所以
，且
，
所以
是二面角
的平面角，即
，
因为
，所以
，所以
，即
，
又
四点共面，且
，则
是
中点，如图，
29
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显然，直线
与平面
相交于
，故A 错误；
，故B 正确；
由
是
中点，则
，故C 正确；
由
，故点
形成的轨迹是半径为
的圆，故轨迹长度为
，故D 正确.
故选：BCD
10．（多选题）（2024·湖南·二模）如图，点
是棱长为2 的正方体
的表面上一个动点，
是线段
的中点，则（ ）
A．若点
满足
，则动点
的轨迹长度为
B．三棱锥
体积的最大值为
C．当直线
与
所成的角为
时，点
的轨迹长度为
D．当
在底面
上运动，且满足
平面
时，线段
长度最大值为
【答案】CD
【解析】对于A，易知
平面
平面
，故动点
的轨迹为矩形
，
动点
的轨迹长度为矩形
的周长，即为
，所以
错误；
对于B，因为
，而等边
的面积为定值
，
要使三棱锥
的体积最大，当且仅当点
到平面
的距离最大，
易知点
是正方体到平面
距离最大的点，
所以
，此时三棱锥
即为棱长是
的正四面体，
30
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其高为
，所以
，B 错误；
对于C：连接AC，
，以B 为圆心，
为半径画弧
，如图1 所示，
当点
在线段
和弧
上时，直线
与
所成的角为
，
又
，
弧
长度
，故点
的轨迹长度为
，故
正确；
对于D，取
的中点分别为
，
连接
，如图2 所示，
因为
平面
平面
，故
平面
，
，
平面
平面
，故
平面
；
又
平面
，故平面
平面
；
又
，
故平面
与平面
是同一个平面.
则点
的轨迹为线段
：
在三角形
中，
则
，
故三角形
是以
为直角的直角三角形；
31
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故
，故
长度的最大值为
，故
正确.
故选：
.
11．（多选题）（2024·湖北·二模）如图，棱长为2 的正方体
中，
为棱
的中点，
为正方形
内一个动点（包括边界），且
平面
，则下列说法正确的有（ ）
A．动点
轨迹的长度为
B．三棱锥
体积的最小值为
C．
与
不可能垂直
D．当三棱锥
的体积最大时，其外接球的表面积为
【答案】ABD
【解析】对A，如图，令
中点为
,
中点为
,连接
，
又正方体
中，
为棱
的中点，可得
,
，
平面
,
平面
,又
，
且
平面
，
平面
平面
,
又
平面
，且
平面
，
平面
，
又
为正方形
内一个动点（包括边界），
平面
平面
，而
平面
平面
，
，即
的轨迹为线段
.
由棱长为2 的正方体得线段
的长度为
，故选项A 正确；
对B，由正方体侧棱
底面
，所以三棱锥
体积为
，
所以
面积
最小时，体积最小，如图，
，易得
在
处时
最小，
此时
,所以体积最小值为
，故选项B 正确；
32
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对C，当
为线段
中点时，由
可得
,又
中点为
,
中点为
,
，而
，
,故选项C 不正确；
对D，如图，当
在
处时，三棱锥
的体积最大时，
由已知得此时
,所以
在底面
的射影为底面外心，
,
,
,所以底面
为直角三角形，
所以
在底面
的射影为
中点，设为
，如图，设外接球半径为
,
由
,
,可得外接球半径
，
外接球的表面积为
，故选项D 正确.
故选：ABD.
12．（多选题）（2024·江西鹰潭·一模）直四棱柱
的所有棱长都为4，
，点
在四边形
及其内部运动，且满足
，则下列选项正确的是（ ）
A．点
的轨迹的长度为
.
B．直线
与平面
所成的角为定值．
C．点
到平面
的距离的最小值为
.
D．
的最小值为-2．
【答案】BC
33
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【解析】直四棱柱
的所有棱长都为4，则底面
为菱形，
又
，则
和
都是等边三角形，
设
与
相交于点
，由
，以
为原点，
为
轴，
为
轴，过
垂直于底面的直线为
轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则有
，
，
点
在四边形
及其内部运动，设
，
，
由
，有
，
即
，
所以点
的轨迹为
平面内，以
为圆心，2 为半径的半圆弧，
所以点
的轨迹的长度为
， A 选项错误；
平面
的法向量为
，
，
直线
与平面
所成的角为
，则
，
又由
，则
，
所以直线
与平面
所成的角为定值， B 选项正确；
，设平面
的一个法向量为
，
则有
，令
，得
，
，
所以点
到平面
的距离
，
34
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，所以
时，
，
所以点
到平面
的距离的最小值为
，C 选项正确；
，
，其几何意义为点
到点
距离的平方减12，
由
，点
到点
距离最小值为
，
的最小值为
，D 选项错误.
故选：BC.
13．（多选题）（2024·浙江温州·二模）已知半径为球与棱长为1 的正四面体的三个侧面同时相切，切点
在三个侧面三角形的内部（包括边界），记球心到正四面体的四个顶点的距离之和为
，则（ ）
A．有最大值，但无最小值
B．最大时，球心在正四面体外
C．最大时，
同时取到最大值
D．
有最小值，但无最大值
【答案】ABD
【解析】对于AB，设球心为
，正四面体为
，
的中心为
，
则
在
上，
，
，
球与平面
，平面
，平面
相切，与平面
相切于点
，
，
，
因为
，在
中，
，则
所以在
中，
，
35
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因为
，所以
，有最大值，但无最小值，故A 正确；
当
，此时
，
最大时，球心在正四面体外，故B 正确；
对于CD，设
，
，
，
所以
，令
，
令
，解得：
或
（舍去），
当
时，
，
在
上单调递减，
当
时，
，
在
上单调递减，
所以当
时，
，所以
有最小值，但无最大值，故D 正确，C 错误.
故选：ABD.
14．（多选题）（2024·湖南长沙·模拟预测）四棱锥
的底面为正方形，PA 与底面垂直，
，
，动点M 在线段PC 上，则（ ）
A．不存在点M，使得
B．
的最小值为
C．四棱锥
的外接球表面积为5π
D．点M 到直线AB 的距离的最小值为
【答案】BD
36
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【解析】对于A：连接BD，且
，如图所示，当M 在PC 中点时，
因为点O 为AC 的中点，所以
，因为
平面ABCD，
所以
平面ABCD，又因为
平面ABCD，所以
，
因为ABCD 为正方形，所以
．
又因为
，且BD，
平面BDM，所以
平面BDM，
因为
平面BDM，所以
，所以A 错误；
对于B：将
和
所在的平面沿着PC 展开在一个平面上，如图所示，
和
是全等的直角三角形，
，
，
连结
，
，
则
的最小值为BD，直角
斜边PC 上高为
，即
，
直角
斜边PC 上高也为
，所以
的最小值为
，所以B 正确；
对于C：易知四棱锥
的外接球直径为PC，
半径
，表面积
，所以C 错误；
对于D：点M 到直线AB 的距离的最小值即为异面直线PC 与AB 的距离，
因为
，且
平面PCD，
平面PCD，所以
平面PCD，
所以直线AB 到平面PCD 的距离等于点A 到平面PCD 的距离，过点A 作
，
因为
平面ABCD，
面
，所以
，
又
，且
，
面
，
故
平面PAD，
平面PAD，所以
，
37
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因为
，且PD，
平面PCD，所以
平面PCD，
所以点A 到平面PCD 的距离，即为AF 的长，如图所示，
在
中，
，
，可得
，
所以由等面积得
，即直线AB 到平面PCD 的距离等于
，所以D 正确，
故选：BD．
15．（多选题）（2024·高三·贵州安顺·期末）如图，在棱长为2 的正方体
中，点E、F、
G、H 分别为棱
、
、
、
的中点，点M 为棱
上动点，则（ ）
A．点E、F、G、H 共面
B．
的最小值为
C．点B 到平面
的距离为
D．
【答案】ACD
【解析】如图，以D 为原点，建立空间直角坐标系，
则
，
，
，
，
，
38
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对A：
，
，
，
设
，即
，解得
，
，
所以
共面，故A 正确．
对B：将正方体沿
剪开展开如下图，连接
交
于一点，此点为
点，
此时
为最小值
，故B 错误；
对C：由等体积法可知
，即
，
由
，
，求解得
，故C 正确.
对D：
，
，
，
，则
，所以
，故D 正确.
故选：ACD.
16．（多选题）（2024·高三·山东菏泽·阶段练习）已知正方体
的棱长为
是
中点，
是
的中点，点
满足
，平面
截该正方体，将其分成两部分，设这两部分
的体积分别为
，则下列判断正确的是（ ）
A．
时，截面面积为
B．
时，
C．
随着
的增大先减小后增大
D．
的最大值为
【答案】BCD
【解析】
39
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如图1，当
时，点
是
的中点，易得截面为正六边形．其棱长为
，故截面面积
为
故A 项错误；
由对称性可知．当
时．平面分两部分是全等的，故体积相等，故B 项正确；
如图2．当
从0 变化到1 时．截面从四边形
变化至五边形
（其中
为
靠近
点的三等
分点）．
结合B 项可知，被截面所分两部分体积之差的绝对值先减小至0，再逐渐增大，故C 项正确；
取最大值时对应为
，或
时情形．
当
时，不妨记
为截面
左上角的部分几何体，则
,
则
,此时
；
当
时，不妨记
为截面
左上角的部分几何体，则
,
则
，此时
.
的最大值为
，故D 项正确．
40
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故选：BCD．
17．（多选题）（2024·吉林长春·模拟预测）已知正方体
的棱长为
为空间中动点，
为
中点，则下列结论中正确的是（ ）
A．若
为线段
上的动点，则
与
所成为的范围为
B．若
为侧面
上的动点，且满足
平面
，则点
的轨迹的长度为
C．若
为侧面
上的动点，且
，则点
的轨迹的长度为
D．若
为侧面
上的动点，则存在点
满足
【答案】BC
【解析】对于A，当
与
不重合时，过
作
交
于
，连接
，如图，
由
平面
，
平面
，得
，有
，显然
，
则
为
与
所成的角，
，当
与
重合时
，
当
由点
向点
移动过程中，
逐渐增大，
逐渐减小，则
逐渐增大，
因此
，
，当
与点
重合时，有
，
，
所以
与
所成角的范围为
，A 错误；
对于B,取
的中点
,
的中点
,连接
，
如图，
由中位线可知，
,
,
平面
，则
平面
，
同理可得：
平面
，又
且都在面GNF 内,所以面
平面
,
因为
平面
，所以点
,则点
的轨迹的轨迹的长度
，故B 正确；
41
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对于C，由
平面
，易得
是直角三角形，
，
，如
图，
点
的轨迹是以
为圆心，
为半径的圆弧
，由
,则
，同理
,
所以
,轨迹长度为
，C 正确；
对于D，在平面
内延长
，截取
，连接
交
于点
，（如图）
,
点
与点
重合时，
,
点
与点
不重合时，
，
所以不存在点
满足
，D 错误.
故选：BC
18．（多选题）（2024·高三·江苏扬州·期末）棱长为2 的正方体
中，下列选项中正确的有
42
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（ ）
A．过
的平面截此正方体所得的截面为四边形
B．过
的平面截此正方体所得的截面的面积范围为
C．四棱锥
与四棱锥
的公共部分为八面体
D．四棱锥
与四棱锥
的公共部分体积为
【答案】ABD
【解析】连接
与线段
上任意一点
，过
作
交
于
，
所以过
的平面截此正方体所得的截面为四边形
，A 对；
由上分析及正方体结构特征易知：四边形
为平行四边形，
若
为各线段上的中点时，四边形
为菱形，
此时截面最小面积为
；
根据正方体的对称性，
从中点向
或
运动时，四边形
面积都是由小变大，
当
与
重合时，截面最大面积为
；
综上，过
的平面截此正方体所得的截面的面积范围为
，B 对；
43
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令
交于
，
交于
，
交于
，
显然
是各交线的中点，若
是
中点，连接
，
所以四棱锥
与四棱锥
的公共部分为六面体
，C 错；
其体积
，D 对.
故选：ABD
19．（多选题）（2024·全国·模拟预测）如图，正方体
的棱长为1，点
，
分别为
和
的中点，则（ ）
A．直线
平面
B．直线
与直线
为异面直线
C．点
到平面
的距离为
D．若点
为线段
上的动点（含端点），则
的范围为
【答案】AD
【解析】解法一
选项A：连接
，
，
平面
，
平面
，
直线
平面
，
故A 正确；
选项B：
，
与
共面，即
，
，
，
四点共面，
直线
与直线
共面，
故B 错误；
选项C：连接
，
，设点
到平面
的距离为
，
44
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，
．
，
，
，
，
，
，
，
，故C 错误；
选项D：易知
，
，设
，
则
，
当
时，
,
当
时，最大值为
，
∴
，
，
，
，∴
，故D 正确．
解法二：建立如图所示的空间直角坐标系，则
，
，
，
，
，
，
．
45
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选项A：
，
，
，又
平面
，
平面
，
直线
平面
，故A 正确；
选项B：由A 可知，
，
，
，
四点共面，故直线
与直线
共面，故B 错误；
选项C：
，
，
，
设平面
的法向量为
，
则
，
令
，得
，则
，
设点
到平面
的距离为
，则
，故C 错误．
选项D：易知
，
，
．
设
，
，则
，
，
，
,
，
，故D 正确．
46
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故选：AD
20．（多选题）（2024·高三·山东日照·期中）已知正方体
的棱长为2，
，
分别为
，
的中点，P 为正方体的内切球
上任意一点，则（ ）
A．球
被
截得的弦长为
B．
的范围为
C．
与
所成角的范围是
D．球
被四面体
表面截得的截面面积为
【答案】ABD
【解析】如图所示，
对于选项A，易知内切球
的半径
，且球心在正方体的中心，易得
，
设球
被
截得的弦长为
，在
中，易得
，
如下图所示，在
中，
由对称性可知，
，且
，由余弦定理知
，
在
中，
，解得
或
（舍），
则弦长
，所以选项A 正确；
对于选项B，不妨设
的中点为
，
则
，
由选项A 知，
，
，所以
，
，
47
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，
当
共线同向时，
，
当
共线反向时，
，
所以，
的范围为
，即选项B 正确；
对于选项C，易知当
三点共线时，
与
所成的角最小为
，
取截面
如下图所示，
易知，当
与球
相切时，
与
所成的角最大，设最大角为
，
则
，所以
，得到
，
所以选项C 错误；
对于选项D，易知四面体
为正四面体，所以四个截面面积相同，
由对称性可知，球心即为正四面体的外接球（也是内切球）球心，如下图所示：
设
为
的中点，
为球心在平面
内的射影，则
为
的中心，
易知正四面体的棱长为
，
又正方体的体对角线长为
，所以
，
又
为等边三角形，且边长为
，易得
，
由勾股定理，可得
，所以
，
设截面圆的半径为，则
，
48
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设
内切圆的半径为
，则由
，得到
，
所以截面面积为
，故选项D 正确，
故选：ABD.
21．（2024·高三·全国·专题练习）在四面体ABCD 中，已知AB＝CD＝2，AC＝BD＝
，AD＝BC＝
，
E，F 分别是AD，BC 的中点．若过EF 的中点用一个与直线垂直，且与四面体的每个面都相交的平面α 去
截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面的面积为 ．
【答案】
/
【解析】解析：将四面体补形为长方体易得．
【考查意图】
补形法研究空间几何体的截面问题．
22．（2024·黑龙江·二模）已知三棱锥
的四个面是全等的等腰三角形，且
，
，
则三棱锥
的外接球半径为 ；点
为三棱锥
的外接球球面上一动点，
时，
动点
的轨迹长度为 ．
【答案】
/
【解析】三棱锥
的四个面是全等的等腰三角形，且
，
，如图所示，
则有
，
，
把三棱锥
扩成长方体
，
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则有
，解得
，
则长方体外接球半径
，
所以三棱锥
的外接球半径
；
点
为三棱锥
的外接球球面上一动点，
时，
由
，动点
的轨迹是半径为
的圆，
轨迹长度为
.
故答案为：
；
.
23．（2024·高二·四川雅安·开学考试）如图，已知点
是棱长为2 的正方体
的底面
内（包含边界）一个动点，若点
到点
的距离是点
到
的距离的两倍，则点
的轨迹的长度为
．
【答案】
【解析】在正方体
中，可得
平面
，
因为
平面
，所以
，
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则点
到
的距离等于点
到点
的距离，即
，
在底面
中，以
为原点，以
所在的直线分别为
轴和
轴，
建立平面直角坐标系，如图所示，可得
，
设
，由
，可得
，
整理得
，即点
的轨迹是以
为圆心，半径为
的圆弧
，
又由
，可得
，
所以
，即
所对的圆心角为
，
所以点
的轨迹的长度为圆弧长为
.
故答案为：
.
51
