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微专题24 痛点问题之新定义问题
【秒杀总结】
1、代数型新定义问题的常见考查形式
（1）概念中的新定义；
（2）运算中的新定义；
（3）规则的新定义等．
2、解决“新定义”问题的方法
在实际解决“新定义”问题时，关键是正确提取新定义中的新概念、新公式、新性质、新模式等信息，
确定新定义的名称或符号、概念、法则等，并进行信息再加工，寻求相近知识点，明确它们的共同点和不
同点，探求解决方法，在此基础上进行知识转换，有效输出，合理归纳，结合相关的数学技巧与方法来分
析与解决！
【典型例题】
例1．（2024·新疆乌鲁木齐·二模）在平面直角
坐标系
中，重新定义两点
之间的“距离”为
，我们把到两定
点
的“距离”之和为常数
的点的轨迹叫“椭圆”．
(1)求“椭圆”的方程；
(2)根据“椭圆”的方程，研究“椭圆”的范围、对称性，并说明理由；
(3)设
，作出“椭圆”的图形，设此“椭圆”的外接椭圆为
的左顶点为
，过
作直线交
于
两点，
的外心为
，求证：直线
与
的斜率之积为定值．
【解析】（1）设“椭圆”上任意一点为
，则
，
即
，即
，
所以“椭圆”的方程为
；
（2）由方程
，得
，
因为
，所以
，即
，
所以
或
或
，
解得
，
由方程
，得
，
即
，所以
，所以
，
所以“椭圆”的范围为
，
，
1
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将点
代入得，
，
即
，方程不变，所以“椭圆”关于
轴对称，
将点
代入得，
，
即
，方程不变，所以“椭圆”关于
轴对称，
将点
代入得，
，
即
，方程不变，所以“椭圆”关于原点对称，
所以“椭圆”关于
轴，
轴，原点对称；
（3）由题意可设椭圆
的方程为
，
将点
代入得
，解得
，
所以椭圆
的方程为
，
，
由题意可设直线
的方程为
，
联立
，得
，
恒成立，
则
，
因为
的中点为
，
所以直线
的中垂线的方程为
，
同理直线
的中垂线的方程为
，
设
，则
是方程
的两根，
即
是方程
的两根，
2
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所以
，
又因
，
所以
，
两式相比得
，所以
，
所以
，
所以直线
与
的斜率之积为定值
．
例2．（2024·安徽芜湖·二模）对称变换在对称数学中具有重要的研究意义．若一个平面图形K 在m（旋转
变换或反射变换）的作用下仍然与原图形重合，就称K 具有对称性，并记m 为K 的一个对称变换．例如，
正三角形R 在
（绕中心O 作120°的旋转）的作用下仍然与R 重合（如图1 图2 所示），所以
是R 的
一个对称变换，考虑到变换前后R 的三个顶点间的对应关系，记
；又如，R 在（关于对称
轴
所在直线的反射）的作用下仍然与R 重合（如图1 图3 所示），所以也是R 的一个对称变换，类似地，
记
．记正三角形R 的所有对称变换构成集合S．一个非空集合G 对于给定的代数运算.来说作
成一个群，假如同时满足：
I．
，
；
II．
，
；
Ⅲ．
，
，
；
Ⅳ．
，
，
．
对于一个群G，称Ⅲ中的e 为群G 的单位元，称Ⅳ中的
为a 在群G 中的逆元．一个群G 的一个非空子
集H 叫做G 的一个子群，假如H 对于G 的代数运算来说作成一个群．
3
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(1)直接写出集合S（用符号语言表示S 中的元素）；
(2)同一个对称变换的符号语言表达形式不唯一，如
．对于集合S 中的元素，定义
一种新运算*，规则如下：
，
．
①证明集合S 对于给定的代数运算*来说作成一个群；
②已知H 是群G 的一个子群，e，
分别是G，H 的单位元，
，
，
分别是a 在群G，群H 中的
逆元．猜想e，
之间的关系以及
，
之间的关系，并给出证明；
③写出群S 的所有子群．
【解析】（1）依题意，正三角形
的对称变换如下：绕中心
作
的旋转变换
；
绕中心
作
的旋转变换
；
绕中心
作
的旋转变换
；
关于对称轴
所在直线的反射变换
；
关于对称轴
所在直线的反射变换
；
关于对称轴
所在直线的反射变换
，
综上，
.（形式不唯一）
（2）①Ⅰ.
，
，
；
Ⅱ.
，
，
，
4
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，
所以
；
Ⅲ.
，
而
，所以
；
Ⅳ.
，
；
综上可知，集合对于给定的新运算*来说能作成一个群.
②
，
，证明如下：
先证明
：由于
是
的子群，取
，则
，
，
根据群的定义，有
，
，所以
，
所以
，即
，
即
，所以
.
再证明
：由于
，
，
，
所以
，所以
，
所以
，所以
.
③的所有子群如下：
，
，
，
5
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，
例3．（2024·天津·一模）意大利画家达芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那
么项链所形成的曲线是什么?这就是著名的“悬链线问题”，通过适当建立坐标系，悬链线可为双曲余弦
函数
的图象，定义双曲正弦函数
，类比三角函数的性质可得双曲正弦函数
和双曲余弦函数有如下性质①平方关系：
，②倍元关系：
.
(1)求曲线
在
处的切线斜率；
(2)若对任意
，都有
恒成立，求实数
的取值范围：
(3)（i）证明：当
时，
；
（ii）证明：
.
【解析】（1）
，则
所以
，可得
在
处的切线斜率为
（2）令
，
则
，
下面证明：对任意
恒成立,
先证明：对任意
.证明如下：设
，则
，
当
时，
，函数单调递减，当
时，
，
函数单调递增，故
，故
，
继续证明：对任意
.
证明如下：令
，则
，
因此
在
上单调递增；所以
，故
当
时，对
，都有
，函数
在
上单调递增，
则
，解得
；
6
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当
时，对
，
都有
，对
，都有
，
函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
则对
，都有
成立，不符合题意，舍去.
综上所述，实数
的取值范围是
.
（3）（i）
，令
，则
所以
在
上单调递增，所以
所以当
时，
成立；
（ii）下面证明：当
时，
成立，
令
，则
由前问解答过程，对任意
成立，所以
所以
在
上单调递增，所以
所以当
时，
成立
令
且
，可得
，
即
，
由题意
，令
且
，可得
，因为
所以
，
由①当
时，
，所以令
且
，可得
所以
，
由前面解答过程得，对任意
成立，
7
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令
且
，可得
，
所以
，
又
且
，所以
，
所以
所以可得
，
即可得
.
例4．（2024·湖南衡阳·二模）莫比乌斯函数在数论中有着广泛的应用．所有大于1 的正整数
都可以被唯
一表示为有限个质数的乘积形式：
（
为
的质因数个数，
为质数，
），
例如：
，对应
．现对任意
，定义莫比乌斯函
数
(1)求
；
(2)若正整数
互质，证明：
；
(3)若
且
，记
的所有真因数（除了1 和
以外的因数）依次为
，证明：
．
【解析】（1）因为
，易知
，
所以
；
又
，因为5 的指数
，所以
；
（2）①若
或
，因为
，所以
；
②若
，且存在质数
，使得
或
的质因数分解中包含
，则
的质因数分解中一定也包含
8
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，
所以
，
③若
，且不存在②中的
，可设
，
其中
均为质数，则
，
因为
互质，所以
互不相等，
所以
，
综上可知
（3）由于
，所以可设
，
为偶数，
的所有因数，除了1 之外都是
中的若干个数的乘积，从
个质数中任选
个数的
乘积一共有
种结果，
所以
，
所以
．
例5．（2024·高三·重庆·阶段练习）帕德近似（Pade approximation）是有理函数逼近的一种方法.已知函数
在
处的
阶帕德近似定义为：
，且满足：
，
，
，….又函数
，其中
.
(1)求实数
，，
的值；
(2)若函数
的图象与
轴交于
，
两点，
，且
恒成立，求实数
的取值
范围.
【解析】（1）
，
，
则
，所以
，
，
，则
，
，
由题意知，
，
，
所以
，解得
，
，
故
，
，
.
9
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（2）由（1）可知
，函数定义域为
，
，
，
时，
；
时，
，
在
上单调递增，在
上单调递减.
函数
的图像与
轴交于两点
，
，
，
，即
，
令
，则
，
，
时，
；
时，
，
即
在
上单调递减，在
上单调递增，
又
，
，
，
，使
，
即
，
，
当
时，
，当
时，
.
，
，
.
，
，
，
，
，
，
令
，则
恒成立.
令
，则
，
，
10
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令
，
则
在
上单调递减，
，
在
上单调递减，则
，
即
，
在
上单调递减，
当
时.
.
，故
.
所以实数
的取值范围为
.
例6．（2024·安徽合肥·一模）“
数”在量子代数研究中发挥了重要作用.设
是非零实数，对任意
，定义“
数”
利用“
数”可定义“
阶乘”
和“
组合数”，即对任意
，
(1)计算：
；
(2)证明：对于任意
，
(3)证明：对于任意
，
【解析】（1）由定义可知，
.
（2）因为
，
.
又
11
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,
所以
（3）由定义得：
对任意
.
结合（2）可知
即
，
也即
.
所以
，
，
……
.
上述
个等式两边分别相加得：
.
例7．（2024·辽宁鞍山·二模）设数列
的前
项和为
，已知
，且
．
(1)证明：
为等比数列，并求数列
的通项公式；
(2)设
，若对于任意的
，不等式
恒成立，求实数
的取值
范围；
(3)高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用他名字定义的函数称为
高斯函数
，其中
表示不超过
的最大整数，如
，
，设
，数
12
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列
的前
项和为
，求
除以16 的余数．
【解析】（1）当
时，
，又
，所以
，
当
时，
①，
故
②，
式子①-②得，
，即
，
又
，故当
时，
，
故
，即
，
因为
为首项为
，公比为
的等比数列，
故
，故
，
（2）由（1）知，
，故
，
对于任意的
，不等式
恒成立，
即
恒成立，
设
，于是
，
当
时，
，即
，
当
时，
，即
，
故
，所以
，
综上，
的取值范围是
；
（3）由（1）知，
，
因为
，
当
为奇数时，
，故
，
当
为偶数时，
，故
，
13
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所以
，
，
考虑当
时，
能被16 整除，另外
也能被16 整除，
故
除以16 的余数为
除以16 的余数，
，
故
除以16 的余数为8.
例8．（2024·高三·河南郑州·阶段练习）若函数
的定义域、值域都是有限集合
，
，则定义
为集合A 上的有限完整函数.已知
是定义在有限集合
上的有限
完整函数.
(1)求
的最大值；
(2)当
时，均有
，求满足条件的
的个数；
(3)对于集合M 上的有限完整函数
，定义“闭环函数”如下：
，对
，且
，
.若
，
，
，则称
为“m 阶闭环函数”.证明：存在一个闭
环函数
既是3 阶闭环函数，也是4 阶闭环函数（用列表法表示
的函数关系）.
【解析】（1）
由题意得
，
当且仅当
时取等号，
即
的最大值为140；
（2）由题意知
，
14
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从集合M 中任取5 个数，记为
，共有
中取法，然后剩余的两个数全排列，
故共有
个
满足条件；
（3）证明：以下面表格作为
的函数关系：
x
1
2
3
4
5
6
7
2
3
1
5
6
7
4
，
故
为3 阶闭环函数；
又
，
故
也为4 阶闭环函数，
故原命题得证.
【过关测试】
1．（2024·黑龙江吉林·二模）设定义在
函数
满足下列条件：
①对于
，总有
，且
，
；
②对于
，若
，则
.
(1)求
；
(2)证明：
；
(3)证明：当
时，
.
【解析】（1）因为对于
，
，所以
；
因为对于
，若
，则
，
取
，则
，故
；
综上，
.
（2）对于
，且
时，
有
，
，
根据条件②，得
，
因为根据条件①，得
，则
，
所以
，
15
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即
，
所以
.
（3）由（2）知
，
设
，且
，则
，
因为
，所以
，
所以
在
上为不减函数，
对于任意
，则必存在正整数
，使得
，
所以
，
由（2）知
，
由（1）知
，又
，所以
，
所以
，所以
时，
，
因为
时，
，且
，
所以
，即
.
2．（2024·高三·北京通州·期末）约数，又称因数.它的定义如下：若整数
除以整数
除得的商正
好是整数而没有余数，我们就称
为
的倍数，称
为
的约数.设正整数
共有
个正约数，即为
.
(1)当
时，若正整数
的
个正约数构成等比数列，请写出一个
的值；
(2)当
时，若
构成等比数列，求正整数
；
(3)记
，求证：
.
【解析】（1）当
时,正整数
的4 个正约数构成等比数列，
比如
为8 的所有正约数，即
.
16
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（2）由题意可知
，
，
因为
，题意可知
，所以
，
化简可得
，所以
，
因为
，所以
，
因此可知
是完全平方数.
由于
是整数
的最小非1 因子，
是
的因子，且
，所以
，
所以
为
，
所以
.
（3）由题意知
，
，
所以
，
因为
，
所以
，
因为
，
，所以
，
所以
，即
.
3．（2024·高三·重庆·阶段练习）定义：若
是
的导数，
是
的导数，则曲线
在点
处的曲率
；已知函数
，
，曲线
在点
处的曲率为
；
(1)求实数a 的值；
(2)对任意
恒成立，求实数m 的取值范围；
17
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(3)设方程
在区间
内的根为
，…比较
与
的大小，
并证明．
【解析】（1）由已知
，
所以
，解得
（
舍去），
所以
；
（2）由（1）得
，
，
则
，
对任意的
，
，即
恒成立，
令
，则
，不等式恒成立，
当
时，
，原不等式化为
，
令
，
则
，
所以
在区间
单调递增，所以
，
所以
，
综上所述，实数m 的取值范围为
；
（3）
，证明如下：
由已知方程
可化为
，
令
，则
，
因为
，所以
，
所以
，所以
在区间
上单调递减，
18
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故
，
，
所以存在唯一
，使得
，
又
，
，
则
由
单调递减可得
，
所以
.
4．（2024·北京石景山·一模）已知集合
，对于
，
，定义
与
之间的距离为
．
(1)已知
，写出所有的
，使得
；
(2)已知
，若
，并且
，求
的最大值；
(3)设集合
，
中有
个元素，若
中任意两个元素间的距离的最小值为，求证：
．
【解析】（1）已知
，
，且
，
所以，
的所有情形有：
、
、
、
；
（2）设
，
，
因为
，则
，
同理可得
，
当
时，
；
当
时，
.
19
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当
，
时，上式等号成立.
综上所述，
；
（3）记
，
我们证明
．一方面显然有
．另一方面，
且
，
假设他们满足
．则由定义有
，
与
中不同元素间距离至少为相矛盾．
从而
．
这表明
中任意两元素不相等．从而
．
又
中元素有
个分量，至多有
个元素．
从而
．
5．（2024·广东·一模）数值线性代数又称矩阵计算，是计算数学的一个重要分支，其主要研究对象包括向
量和矩阵.对于平面向量
，其模定义为
.类似地，对于
行
列的矩阵
，其模可由向量模拓展为
（其中
为矩阵中第行第
列的数，
为求和符号），记作
，我们称这样的矩阵模为弗罗贝尼乌斯范数，例如对于矩阵
，其矩阵模
.弗罗贝尼乌斯范数在机器学
习等前沿领域有重要的应用.
(1)
，
，矩阵
，求使
的
的最小值.
(2)
，
，，矩阵
20
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求
.
(3)矩阵
，证明：
，
，
.
【解析】（1）由题意得
.
若
，则
，即
.
因式分解得
.因为
，所以
.
所以使
的
的最小值是10.
（2）由题得第1 对角线上的平方和为
，
第2 对角线上的平方和为
，
第
对角线上的平方和为
，
第
对角线上的平方和为
，
所以
21
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所以
.
（3）由题意知，证明
等价于证明
，
注意到左侧求和式
，
将右侧含有
的表达式表示为求和式有
故只需证
成立，
即证
成立，令
，
则需证
成立，
记
，则
在
上恒成立，所以
在
上单调递
增，
所以
，
所以
在
上恒成立，即
成立，
所以原不等式成立.
6．（2024·山东菏泽·一模）帕德近似是法国数学家亨利．帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．
给定两个正整数m，n，函数
在
处的
阶帕德近似定义为：
，且满足：
，
，
，…，
．（注：
，
，
，
，…；
为
的导数）已知
在
处的
阶帕德近似为
．
(1)求实数a，b 的值；
(2)比较
与
的大小；
22
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(3)若
在
上存在极值，求
的取值范围．
【解析】（1）由
，
，有
，
可知
，
，
，
，
由题意，
，
，所以
，所以
，
．
（2）由（1）知，
，令
，
则
，
所以
在其定义域
内为增函数，又
，
时，
；
时，
；
所以
时，
；
时，
．
（3）由
，
．
由
在
上存在极值，所以
在
上存在变号零点．
令
，则
，
．
①
时，
，
为减函数，
，
在
上为减函数，
，无
零点，不满足条件．
②当
，即
时，
，
为增函数，
，
在
上为增函数，
，无零点，不满足条件．
③当
，即
时，令
即
，
．
当
时，
，
为减函数；
时，
，
为增函数，
；
令
，
，
，
在
时恒成立，
23
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在
上单调递增，
，
恒成立；
，
，
，则
，
，
；
，
令
，
令
，
，
则
在
是单调递减，
，所以
，
，
令
，则
，
，
．
，即
．
由零点存在定理可知，
在
上存在唯一零点
，
又由③知，当
时，
，
为减函数，
，
所以此时，
，在
内无零点，
在
上存在变号零点，综上所述实数m 的取值范围为
．
7．（2024·全国·模拟预测）对于非空集合
，定义其在某一运算（统称乘法）“×”下的代数结构称为
“群”
，简记为
．而判断
是否为一个群，需验证以下三点：
（封闭性）对于规定的“×”运算，对任意
，都须满足
；
（结合律）对于规定的“×”运算，对任意
，都须满足
；
（恒等元）存在
，使得对任意
，
；
（逆的存在性）对任意
，都存在
，使得
．
记群
所含的元素个数为
，则群
也称作“
阶群”．若群
的“×”运算满足交换律，即对任意
，
，我们称
为一个阿贝尔群（或交换群）．
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(1)证明：所有实数在普通加法运算下构成群
；
(2)记
为所有模长为1 的复数构成的集合，请找出一个合适的“×”运算使得
在该运算下构成一个群
，
并说明理由；
(3)所有阶数小于等于四的群
是否都是阿贝尔群？请说明理由．
【解析】（1）
我们需证
在普通加法下可构成一个群，需从以下四个方面进行验证：
①封闭性：对
，则
，封闭性成立；
②结合律：对
，
，结合律成立；
③恒等元：取
，则对任意
，
．符合恒等元要求；
④逆的存在性：对任意
，
，且
，满足逆的存在性．
综上所述，所有实数在普通加法运算下可构成群
．
（2）首先提出，
的“×”运算可以是复数的乘法：
，理由如下．
即证明
在普通乘法下可构成一个群，同（1），需从四方面进行验证：
①封闭性：设
，
，其中
，即
．
则
，
所以
，即
，封闭性成立；
②结合律：设
，
，
，其中
，
即
，结合律成立；
③恒等元：取
，则对任意
，
，符合恒等元要求；
④逆的存在性：对任意
，取其共轭
，则
，满足逆的存在性；
综上所述，
在复数的乘法运算下构成一个群
．
（3）所有阶数小于等于四的群
都是阿贝尔群，理由如下：
若群
的阶数为0，则
为空集，与定义矛盾．所以
的阶数为1，2，3，4．下逐一证明．
（1）若群
的阶数为1，则其唯一的元素为其恒等元，明显符合交换律，故此时
是阿贝尔群；
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（2）若群
的阶数为2，设其元素为
，其中是恒等元，则
，符合交换律，故此时
是阿贝尔群；
（3）若群
的阶数为3，设其元素为
，其中是恒等元，由群的封闭性，
．
若
，又
，推出
，则集合
有两个相同的元素，
不满足集合的唯一性，矛盾，所以
，
现要验证交换律，即
．
若
，有前知，
且
，所以
，
与群的封闭性矛盾．所以
，交换律成立，故此时
是阿贝尔群；
（4）若群
的阶数为4，设其元素为
，其中是恒等元，
由群的封闭性，
，由③的分析可知，
且
，
所以
或
．
若
．由群中逆的存在性，群
中存在一个元素使得
，很明显
，
所以
或
．
假设
，即
，又
，推出
则集合
有两个相同的元素，
不满足集合的唯一性，矛盾，故只能
；
先证交换律对
成立，即
．
若
，则由
，
只能等于．
又因为
，
（和
同理），
不满足群中逆的存在性，矛盾，所以
．交换律对
成立．
接下来只需证交换律对
和
也成立．
事实上，由
和
的对称性，只需证
即可．
由群中逆的存在性，存在
使得
．
①若
，则只需证
．
若
，由群的封闭性，
，所以
只能等于
，
又因为
，得
，即
，
但
是任取的，该结论具有局限性，不对一般的
成立，故矛盾．
即
，此时交换律对
成立．
②若
．群中逆的存在性，存在
使得
，
又因为
，所以
只能等于，即
，
由①可得：
，即此时交换律对
成立．
故群
的阶数为4 时，交换律成立，故此时
是阿贝尔群．
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综上所述，所有阶数小于等于四的群
都是阿贝尔群．
8．（2024·湖南邵阳·二模）给定整数
，由
元实数集合
定义其随影数集
.
若
，则称集合
为一个
元理想数集，并定义
的理数为其中所有元素的绝对值之和.
(1)分别判断集合
是不是理想数集；（结论不要求说明理由）
(2)任取一个5 元理想数集
，求证：
；
(3)当
取遍所有2024 元理想数集时，求理数的最小值.
注：由
个实数组成的集合叫做
元实数集合，
分别表示数集
中的最大数与最小数.
【解析】（1）设
的随影数集分别为
，
则
，
所以集合是理想数集，集合
不是理想数集.
（2）不妨设集合
且
，即
.
为理想数集，
，则
，且
，使得
.
当
时，
.
当且仅当
且
时，等号成立；
当
时，
.
当且仅当
且
时，等号成立；
当
时，
.
当且仅当
时，等号成立.
综上所述：
.
（3）设
.
为理想数集.
，且
，使得
.
对于
，同样有
.
下先证对
元理想数集
，有
.
不妨设集合
中的元素满足
.即
.
为理想数集，
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，且
，使得
.
当
时，
，
当且仅当
且
时，等号成立；
当
时，
，当且仅
当
且
时，等号成立；
当
时，
.
当且仅当
时，等号成立.
.
.当且仅当
时，等号成立.
.
理数
.
当且仅当
或
时，等号成立.
理数的最小值为
.
9．（2024·湖南·二模）直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如
表示过点
的直线，
直线的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切
线都是该直线族中的某条直线.
(1)若圆
是直线族
的包络曲线，求
满足的关系式；
(2)若点
不在直线族：
的任意一条直线上，求
的取值范围和
直线族
的包络曲线
；
(3)在（2）的条件下，过曲线
上
两点作曲线
的切线
，其交点为
.已知点
，若
三
点不共线，探究
是否成立？请说明理由.
【解析】（1）由定义可知，
与
相切，
则圆
的圆心
到直线
的距离等于1，
则
，
.
（2）点
不在直线族
的任意一条直线上，
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所以无论
取何值时，
无解.
将
整理成关于
的一元二次方程，
即
.
若该方程无解，则
，即
.
证明：在
上任取一点
在该点处的切线斜率为
，
于是可以得到
在
点处的切线方程为：
，
即
.
今直线族
中
，
则直线为
，
所以该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线，
而对任意
都是抛物线在点
处的切线.
所以直线族
的包络曲线
为
.
（3）法一：已知
，设
，
则
，
；
由（2）知
在点
处的切线方程为
；
同理
在点
处的切线方程为
；
联立
可得
，所以
.
因此
，
同理
.
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所以
，
，
即
，可得
，
所以
成立.
法二：过
分别作准线的垂线
，连接
，如图所示：
则
，因为
，显然
.
又由抛物线定义得
，故
为线段
的中垂线，得到
，即
.
同理可知
，
所以
，即
.
则
.
所以
成立.
10．（2024·高三·江苏苏州·阶段练习）甲、乙、丙三人以正四棱锥和正三棱柱为研究对象，设棱长为
，
若甲从其中一个底面边长和高都为2 的正四棱锥的5 个顶点中随机选取3 个点构成三角形，定义随机变量
的值为其三角形的面积；若乙从正四棱锥（和甲研究的四棱锥一样）的8 条棱中任取2 条，定义随机变
量
的值为这两条棱的夹角大小（弧度制）；若丙从正三棱柱的9 条棱中任取2 条，定义随机变量
的值
为这两条棱的夹角大小（弧度制）.
(1)比较三种随机变量的数学期望大小；（参考数据
）
(2)现单独研究棱长
，记
（
且
），其展开式中含
项的系数为
，
含
项的系数为
.
①若
，对
成立，求实数
，
，的值；
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②对①中的实数
，
，用数字归纳法证明：对任意
且
，
都成立.
【解析】（1）如图所示：
由题意设
为正四棱锥
的高，
为
中点，
由于正四棱锥的底面边长和高都是2，
所以
，所以
，
由对称性以及三线合一可知
，
若甲从其中一个底面边长和高都为2 的正四棱锥的5 个顶点中随机选取3 个点构成三角形，
则
的所有可能取值为
，
且
，
所以
，
若乙从正四棱锥（和甲研究的四棱锥一样）的8 条棱中任取2 条，
则
的所有可能取值为
，
，
代入参考数据
，得
，
若丙从正三棱柱的9 条棱中任取2 条，
则
的所有可能取值为
，
31
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，
所以
.
（2）①因为
中
项的系数为
，
一般地，从
中的第
个因式中取一个
，其余因式中取常数即可得到一个
项，
而这一项的系数为
，
，
因为
中
项的系数为
，
一般地，从
中的第
个因式中各取一个
，其余因式中取常数即可得到
一个
项，
而这一项的系数为
，从而
，
从而
，
，
由题意得
，解得
；
②用数学归纳法证明：
且
时，
.
当
时，
，故结论对
成立，
假设结论对
成立，即
，
则
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，
所以结论对
也成立，
故
，对任意
成立.
11．（2024·河南新乡·二模）定义：若函数
图象上恰好存在相异的两点
，
满足曲线
在
和
处的切线重合，则称
，
为曲线
的“双重切点”，直线
为曲线
的“双重切
线”．
(1)直线
是否为曲线
的“双重切线”，请说明理由；
(2)已知函数
求曲线
的“双重切线”的方程；
(3)已知函数
，直线
为曲线
的“双重切线”，记直线
的斜率所有可能的取值为
，
，…，
，若
（
），证明：
．
【解析】（1）
的定义域为
，求导得
，直线
的斜率为2，
令
，解得
，不妨设切点
，
则点
处的切线方程为
，即
，
点
处的切线方程为
，即
，
所以直线
是曲线
的“双重切线”.
（2）函数
，求导得
，
显然函数
在
上单调递增，函数
在
上单调递减，
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设切点
，则存在
，使得
，
则在点
处的切线方程为
，在点
处的切线方程为
，
因此
，消去
可得
，
令
，求导得
，
则函数
在
上单调递增，又
，函数
的零点为
，因此
，
所以曲线
的“双重切线”的方程为
.
（3）设
对应的切点为
，
对应的切点为
，
由
，得
，
，
由诱导公式及余弦函数的周期性知，只需考虑
，
，其中
，
由
及余弦函数在
上递增知，
，
则
，
，
因此
，又
，
，
则
，同理
，
令
，求导得
，
则
在
上单调递增，显然
，且
，
函数
在
上的值域为
，即函数
在
上存在零点，则有
，
由
，同理可得
，而
，因此
，
于是
，即有
，
34
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所以
，即
.
12．（2024·山东青岛·一模）记集合
无穷数列
中存在有限项不为零，
，对任意
，设变换
，
．定义运算
：若
，则
，
．
(1)若
，用
表示
；
(2)证明：
；
(3)若
，
，
，证明：
．
【解析】（1）因为
，
且
，
所以，由
可得
，
所以
.
（2）因为
，
所以
又因为
所以
，
所以
.
（3）对于
，
因为
，
所以
，
所以
，
35
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所以
，
，
所以
，
.
13．（2024·高三·浙江绍兴·期末）物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出了“牛顿数列”，
它在航空航天中应用非常广泛．其定义是：对于函数
，若满足
，则称数
列
为牛顿数列．已知
，如图，在横坐标为
的点处作
的切线，切线与x 轴交点的横
坐标为
，用
代替
重复上述过程得到
，一直下去，得到数列
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)若数列
的前n 项和为
，且对任意的
，满足
，求整数
的最小值．（参考
数据：
，
，
，
）
【解析】（1）
，
在点
处的切线方程为：
令
，得
，
所以
是首项为1，公比为
的等比数列，
故
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（2）令
法一：错位相减法
，
，
两式相减得：
化简得：
故
，
化简得
令
，
则
，
当
时，
，即
，
当
时，
，即
，
所以
从而整数
；
法二：裂项相消法
由
，
设
且
，
则
，
于是
，得
，
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即
所以
故
，化简得
令
，
则
时，
，
当当
时，
，即
，
当
时，
，即
，
所以
从而整数
14．（2024·广东·模拟预测）设X，Y 为任意集合，映射
．定义：对任意
，若
，
则
，此时的
为单射．
(1)试在
上给出一个非单射的映射；
(2)证明：
是单射的充分必要条件是：给定任意其他集合
与映射
，若对任意
，有
，则
；
(3)证明：
是单射的充分必要条件是：存在映射
，使对任意
，有
．
【解析】（1）由题意不妨设
，当
（
非0）互为相反数时，
满足题意；
（2）一方面若
是单射，且
，则
，即
（否则若
，有
，矛盾），
另一方面，若对任意
，由
可以得到
，
我们用反证法证明
是单射，
假设
不是单射，即存在
，有
，
又由
可以得到
，即
，这就产生了矛盾，
所以
是单射，
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综上所述，命题得证；
（3）一方面若
是单射，则由
可得
，
同理存在单射
，使得
，
，有
，
另一方面，若存在映射
，使对任意
，有
，
我们用反证法来证明
是单射，
若
不是单射，即存在
，有
，
又若
，则由题意
，这与
产生矛盾，
所以此时
是单射，
综上所述，命题得证.
15．（2024·河南信阳·一模）定义：
已知数列
满足
．
(1)若
，
，求
，
的值；
(2)若
，
，使得
恒成立．探究：是否存在正整数p，使得
，若存在，求出p 的可
能取值构成的集合；若不存在，请说明理由；
(3)若数列
为正项数列，证明：不存在实数A，使得
．
【解析】（1）依题意，
，显然
；
故
；
，
即
或
，则
或
．
（2）
，
对
恒成立，
.
，
，
①
时,
39
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当
, 且
时,
.
的集合为
且
②
时,
，
，
，
当
, 且
时,
.
的集合为
且
③
且
时,
的集合为
（3）
，
；
设
，
①若
，则
，
，
对任意
，取
（[x]表示不超过x 的最大整数），
当
时，
；
②若
，
ⅰ）若S 为有限集，设
，
，
对任意
，取
（[x]表示不超过x 的最大整数），
当
时，
；
ⅱ）若S 为无限集，设
，
，
若
，则
，又
，矛盾；
故
；
记
；
40
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当
时，
，
，
；
因为
，所以
；
当
时，
，
，
因为
，故
；
因为
，故
，
故对任意
，取
，当
时，
；
综上所述，不存在实数A，使得
．
综上所述，不存在实数A，使得对任意的正整数n，都有
．
16 ．（2024· 山东泰安· 一模）已知各项均不为0 的递增数列
的前
项和为
，且
（
，且
）．
(1)求数列
的前
项和
；
(2)定义首项为2 且公比大于1 的等比数列为“
-数列”．证明：
①对任意
且
，存在“
-数列”
，使得
成立；
②当
且
时，不存在“
-数列”
，使得
对任意正整数
成立．
【解析】（1）
，
各项均不为0 且递增，
，
，
，
，
化简得
，
，
41
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，
，
，
，
为等差数列，
，
，
；
（2）①证明：设“G-数列”公比为
，且
，
由题意，只需证存在
对
且
成立，
即
成立，
设
，则
，
令
，解得
，
当
时，
单调递增，
当
时，
单调递减，
，
，
存在
，使得
对任意
且
成立，
经检验，对任意
且
均成立，
对任意
且
，存在“G-数列”
使得
成立；
②由①知，若
成立，则
成立，
当
时，取
得
，取
得
，
由
，得
，
不存在，
当
且
时，不存在“G-数列”
使得
对任意正整数
成立．
17．（2024·上海·二模）固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691 年，莱布尼茨
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等得出“悬链线”方程
，其中为参数.当
时，就是双曲余弦函数
，悬
链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．类比三角函数的三种性质：①平方关系：
；②两角和公式：
，③导数：
定义双曲
正弦函数
．
(1)直接写出
，
具有的类似①、②、③的三种性质（不需要证明）；
(2)当
时，双曲正弦函数
的图像总在直线
的上方，求直线斜率
的取值范围；
(3)无穷数列
满足
，
，是否存在实数
，使得
？若存在，求出
的值，若不
存在，说明理由.
【解析】（1）平方关系：
；
和角公式：
；
导数：
．
理由如下：平方关系，
；
和角公式：
，
故
；
导数：
，
；
（2）构造函数
，
，
由（1）可知
，
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①当
时，由
，
又因为
，故
，等号不成立，
所以
，故
为严格增函数，
此时
，故对任意
，
恒成立，满足题意；
②当
时，令
，
则
，可知
是严格增函数，
由
与
可知，存在唯一
，使得
，
故当
时，
，则
在
上为严格减函数，
故对任意
，
，即
，矛盾；
综上所述，实数
的取值范围为
．
（3）当
时，存在
，使得
，
由数学归纳法证明：
，证明如下：
①当
时，
成立，
②假设当
（
为正整数）时，
，
则
成立.
综上：
.
所以
，有
，即
.
当
时，
，
而函数
的值域为
，
则对于任意大于1 的实数
，存在不为0 的实数
，使得
，
类比余弦二倍角公式，猜测
.
证明如下：
类比
时的数学归纳法，设
，
易证
，
，
，
，
，
44
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所以若
，
设
，则
，解得：
或
，即
，
所以
，于是
.
综上：存在实数
使得
成立.
18．（2024·安徽安庆·二模）取整函数被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，其定义如下：设
，
不超过x 的最大整数称为x 的整数部分，记作
，函数
称为取整函数．另外也称
是x 的整数部分，
称
为x 的小数部分．
(1)直接写出
和
的值；
(2)设a，
，证明：
，且
，并求在b 的倍数中不大于a 的正整数的个
数；
(3)对于任意一个大于1 的整数a，a 能唯一写为
，其中
为质数，
为整数，且对任
意的
，
，i，
，称该式为a 的标准分解式，例如100 的标准分解式为
．
证明：在
的标准分解式中，质因数
（
，
，
）的指数
．
【解析】（1）由
，故
，故
，
；
（2）因为
，等式两边同时乘b，得
，
因为a，b 都为整数，所以
也为整数，
又
，所以
，所以
，即得证，
假设b，
，…，
都小于等于a，
，因为
，
所以
，所以
，
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因为
，所以
，所以b 的倍数中不大于a 的正整数的个数为
个；
（3）
，将2，3，…，n 每一个数都分解为质因数的乘积．
对于质因数
，利用（2）中结论，
的倍数中不大于n 的正整数的个数为
，记为
，
将这些数都提取
出来，此时p 的倍数中还有可以提取出
的数，
注意到
的倍数中不大于n 的正整数的个数为
，记为
，将这些数提取
出来；
同理，
的倍数中不大于n 的正整数的个数为
，记为
，
依此这样进行下去，
则质因数
的指数
，即得证．
19．（2024·高三·河北保定·开学考试）已知
为正整数，数列
，记
.对
于数列
，总有
，则称数列
为
项
数列.若数列
，
均为
项
数列，定义数列
，其中
.
(1)已知数列
，求
的值；
(2)若数列
均为
项
数列，求证：
；
(3)对于任意给定的正整数
，是否存在
项
数列
，使得
，
并说明理由.
【解析】（1）根据题中定义知，
数列：
，数列
，
所以
,
故
.
（2）对于
数列
，
记数列
对于
，
若
，则
，
若
，则
，
故对于数列
，
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若
，则
；
若
，则
，
所以数列
与数列
是同一数列，
故
.
（3）若
是奇数，则不存在满足条件的
项
数列
，
证明如下：
对于3 个
项
数列
，
记
，
则
，
当
时，
，
当
中有一个不同于其他两个时，
，
所以
是奇数，
则
为奇数个奇数之和，仍为奇数，不可能为
；
若
为偶数，即
,
可构造：
，
,
，
此时数列
为
，数列
相同，
都是
，
所以有
，
综上所述，当
为偶数时，
有可能为
；
当
为奇数时，不可能成立.
20．（2024·江苏徐州·一模）对于每项均是正整数的数列P：
，定义变换
，
将数列P 变换成
数列
：
．对于每项均是非负整数的数列
，定义
，定义变换
，
将数列Q 各项从大到小排列，然后去掉所有为零
的项，得到数列
．
(1)若数列
为2，4，3，7，求
的值；
47
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(2)对于每项均是正整数的有穷数列
，令
，
．
（i）探究
与
的关系；
（ii）证明：
．
【解析】（1）依题意，
，
，
.
（2）（i）记
，
，
，
，
，所以
.
（ii）设
是每项均为非负整数的数列
，
当存在
，使得
时，交换数列
的第项与第
项得到数列
，
则
，
当存在
，使得
时，若记数列
为
，则
，
因此
，从而对于任意给定的数列
，
由
，
，由（i）知
，
所以
.
21．（2024·高三·江苏·专题练习）定义首项为1 且公比为正数的等比数列为“
数列”.
(1)已知等比数列
满足：
，求证:数列
为“
数列”；
(2)已知数列
满足:
，其中
为数列
的前
项和．
①求数列
的通项公式；
②设
为正整数，若存在“
数列”
，对任意正整数
，当
时，都有
成
立，求
的最大值．
【解析】（1）设等比数列
的公比为
，所以
，
由
，得
，解得
．
由于等比数列的首项为1，公比为正数，因此所有的项均为正数，
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因此数列
为“
数列”.
（2）①因为
，所以
由
得
，则
，
由
，得
当
时，由
，得
故
整理得
．
所以数列
是等差数列，且首项为
公差均为
，
因此，数列
的通项公式为
.
②由①知，
，
.
因为数列
为“
数列”，设公比为
，所以
，
.
因为
，所以
，其中
.
当
时，有
；
当
时，有
．
设
，则
．
令
，得
.列表如下：
x
+
0
–
单调递增
极大
值
单调递减
因为
，所以
．
所以
，故
，故
，
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令
，则
，
令
，则
，
当
时，
，即
，
在
,
上单调递减，
即
时，
，则
，
下面求解不等式
，
化简得
，
令
，则
，
由
得
，
，
在
,
上单调递减，
又由于
，
，
存在
使得
，所以
，
的最大值为5.
22．（2024·全国·模拟预测）拓扑学是一个研究图形（或集合）整体结构和性质的一门几何学，以抽象而
严谨的语言将几何与集合联系起来，富有直观和逻辑．已知平面
，定义对
，
，其度量（距离）
并称
为一度量平面．
设
，
，称平面区域
为以
为心，
为半径的球形
邻域．
(1)试用集合语言描述两个球形邻域的交集；
(2)证明：
中的任意两个球形邻域的交集是若干个球形邻域的并集；
(3)一个集合称作“开集”当且仅当其是一个无边界的点集．证明：
的一个子集是开集当且仅当其
可被表示为若干个球形邻域的并集．
【解析】（1）设这两个球形邻域分别为
，
，
为
和
的交集．
①若
与
不相交，则
；
②若
与
相交，则
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且
故
或
且
．
（2）我们约定集合族是指以集合为元素的集合，其并运算为
表示集合族
的所有集合的并集
回到原题，设这两个球形邻域分别为
，
，
为
和
的交集．
①若
与
不相交，则
，即
可以看作零个球形邻域的并集；
②若
与
相交，则取
，
令
，构造球形邻域
．
因为对于
，有
故
，这说明
．
由于
是
中任取的一点，这说明
，
继而
即
可被表示为若干个球形邻域
的并集．
命题得证．
（3）①先证充分性：当
的一个子集可以写为若干球形邻域的并时，其必为开集．
设
，由（2）可知
可看作若干个球形邻域的并集，
即
则
，
使得
，故
是开集．充分性证毕．
②再证必要性：若
的一个子集是开集，则其可被表示为若干个球形邻域的并集．
设
是一个开集，由情况①得
，
使得
，所以
即
故
可被表示为若干个球形邻域
的并集．必要性证毕．
23．（2024·甘肃兰州·一模）定义：如果在平面直角坐标系中，点A，B 的坐标分别为
，
，
那么称
为A，B 两点间的曼哈顿距离．
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(1)已知点
，
分别在直线
，
上，点
与点
，
的曼哈顿距离分别为
，
，求
和
的最小值；
(2)已知点N 是直线
上的动点，点
与点N 的曼哈顿距离
的最小值
记为
，求
的最大值；
(3)已知点
，点
（k，m，
，e 是自然对数的底），当
时，
的最大值为
，求
的最小值．
【解析】（1）
，
则
，即
的最小值为
；
，
则
，即
的最小值为.
（2）当
时，
，
点
为直线
上一动点，
则当
时
，
即
；
当
时，
，
即
；
所以
，又当
时，
，
当
时，
，
所以
的最大值为.
（3）令
，则
，
，
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，
令
，则
在区间
内成立，
则
在区间
内单调递增，则
，
令
，则
在区间
内成立，
则
在区间
内单调递减，则
，
所以
，
所以
，
当
且
时，取最小值，
的最小值
24．（2024·高三·河北·阶段练习）信息熵是信息论之父香农（Shannon）定义的一个重要概念，香农在
1948 年发表的论文《通信的数学理论》中指出，任何信息都存在冗余，把信息中排除了冗余后的平均信息
量称为“信息熵”，并给出了计算信息熵的数学表达式：设随机变量
所有可能的取值为
，
且
，定义
的信息熵
.
(1)当
时，计算
；
(2)若
，判断并证明当
增大时，
的变化趋势；
(3)若
，随机变量
所有可能的取值为
，且
，证
明：
.
【解析】（1）当
时，则
，所以
（2）
随着
的增大而增大.
当
，则
，
设
，则
，
因此
随着
的增大而增大.
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（3）证明：若
，随机变量
所有可能的取值为
，且
.
.
，
因为
，故
故
，
由于
，所以
，
所以
，所以
，
所以
.
54
