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重难点培优08 导数中的极值点偏移、拐点偏移问题
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01 知识重构・重难梳理固根基..........................................................................................................1
02 题型精研・技巧通法提能力..........................................................................................................5
题型一 极值点偏移方法之对称构造（★★★★★）................................................................................5
题型二 极值点偏移方法之比值代换（★★★★★）................................................................................5
题型三 极值点偏移方法之对数均值不等式（★★★★★）....................................................................5
题型四 极值点偏移:加法形式（★★★★★）...........................................................................................6
题型五 极值点偏移:减法形式（★★★★★）...........................................................................................7
题型六 极值点偏移:乘积形式（★★★★★）...........................................................................................7
题型七 极值点偏移:商式形式（★★★★★）...........................................................................................9
题型八 极值点偏移:平方形式（★★★★）.............................................................................................10
题型九 极值点偏移:其他形式（★★★★）.............................................................................................10
题型十 拐点偏移问题（★★★）..............................................................................................................11
03 实战检测・分层突破验成效........................................................................................................12
检测Ⅰ组 重难知识巩固..............................................................................................................................12
检测Ⅱ组 创新能力提升..............................................................................................................................15
一、极值点偏移问题
1、极值点偏移定义
极值点偏移是函数在极值点左右的增减速度不一样，导致函数的图象不具有对称性。例如我们学过的二次
函数为标准的对称结构，也有对称轴，但是有些函数没有对称轴，即关于类对称轴对称的两点横坐标之和
不等于对称点横坐标两倍，我们把这种现象叫做极值点偏移
2、极值点偏移的原理
函数自身所导致的在极值点左右两端增速不一样
3、极值点偏移的图形定义
①左右对称，无偏移，如二次函数；若
，则
f x( )
x
x0=
x1+x2
2
x2
x1
②左陡右缓，极值点向左偏移；若
，则
f x( )
x
x2
x1+x2
2
x0
x1
③左缓右陡，极值点向右偏移；若
，则
f x( )
x1
x0
x1+x2
2
x2
x
4、极值点偏移的判断
根据极值点偏移的定义可知：当题干中出现
等条件而求证不等式成立的时候，
即可视为极值点偏移考察
5、答题模板（对称构造）
若已知函数
满足
，
为函数
的极值点，求证：
.
（1）讨论函数
的单调性并求出
的极值点
；
假设此处
在
上单调递减，在
上单调递增.
（2）构造
；
注：此处根据题意需要还可以构造成
的形式.
（3）通过求导
讨论
的单调性，判断出
在某段区间上的正负，并得出
与
的大小关系；
假设此处
在
上单调递增，那么我们便可得出
，从而得
到：
时，
.
（4）不妨设
，通过
的单调性，
，
与
的大小关系得出
结论；
接上述情况，由于
时，
且
，
，故
，又因为
，
且
在
上单调递减，从而得到
，从而
得证.
（5）若要证明
，还需进一步讨论
与
的大小，得出
所在的单调区间，从
而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证.此处只需继续证明：因为
，故
，
由于
在
上单调递减，故
.
5、其他方法
①比值代换
比值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点的
比值作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用比值(一般用表示)表示两个极值点，即
，化为
单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于的函数问题求解．
②对数均值不等式
两个正数
和
的对数平均定义：
对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：
（此式记为对数平均不等式）
取等条件：当且仅当
时，等号成立．
③指数不等式
在对数均值不等式中，设
，
，则
，根据对数均值不等式有如下
关系：
二、拐点偏移
1、拐点偏移定义
若函数
在定义域内连续且二阶可导,且
,则
是函数
的一个拐点。
若
,有
,则拐点不偏移;
若
,有
,则称拐点右偏;
若
,有
,则称拐点左偏.
2、一般方法
解决此类问题和极值点偏移类似,也相当于是对称化构造,而且一阶导
极值点右偏(左偏)对应拐点右偏
(左偏),偏移方向是相同的,因此一般的解题步骤如下：
（1）分析
单调性,也就是分析
（2）求解函数拐点,即令
求出拐点
（3）构造
,证明
或
恒成立
（4）得出结论
题型一 极值点偏移方法之对称构造
1．已知函数
.
(1)若函数
有两个零点，求
的取值范围；
(2)设
是函数
的两个极值点，证明：
.
2．已知函数
．
(1)若
，求
的取值范围；
(2)证明：若
有两个零点
，
，则
．
题型二 极值点偏移方法之比值代换
1．若
是函数
的两个零点，且
，求证：
且
．
2．（23-24 高三上·河南·月考）已知函数
．
(1)若
，讨论
的单调性．
(2)已知关于
的方程
恰有
个不同的正实数根
．
（i）求
的取值范围；
（ii）求证：
．
题型三 极值点偏移方法之对数均值不等式
1．已知函数
和
，若存在两个实数
，且
，使得
，
，
证明：
．
2．已知
.
(1)若
在定义域内单调递增，求
的最小值.
(2)当
时，若
有两个极值点
，求证：
.
3．已知函数
.若
有两个零点
，证明：
.
题型四 极值点偏移:加法形式
1．设函数
．
(1)判断函数
的单调性；
(2)若
，且
，求证：
．
2．（23-24 高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数
，
.
(1)若对于任意
，都有
，求实数
的取值范围；
(2)若函数
有两个零点
，求证：
.
3．已知函数
．
(1)若函数
在
上单调递增，求实数
的取值范围；
(2)若函数
恰有两个极值点
，且
的最大值为
，求证：
．
4．已知函数
．
(1)求函数
的最值；
(2)若函数
有两个不同的极值点，记作
，且
，求证：
．
5．（2025·陕西宝鸡·二模）已知函数
，
(1)当
时，求
在
处的切线方程；
(2)若
时，
恒成立，求
的范围；
(3)若
在
内有两个不同零点
、
，求证：
.
6．已知函数
且曲线
在
处切线也是曲线
的切线．
(1)求
的值；
(2)求证：
；
(3)若直线
与曲线
有两个公共点
，
，与曲线
有两个公共点
，
，求证：
题型五 极值点偏移:减法形式
1．已知函数
．
(1)求函数
的单调区间与极值；
(2)若
，求证：
．
2．已知函数
，
（其中
是自然对数的底数）
(1)试讨论函数
的零点个数；
(2)当
时，设函数
的两个极值点为
、
且
，求证：
.
3．（2024·河南南阳·一模）已知函数
.
(1)若函数
在
上单调递增，求
的取值范围.
(2)若函数
的两个零点分别是
，且
，证明：
①
随着
的增大而减小；
②
.
题型六 极值点偏移:乘积形式
1．（24-25 高三上·湖南·月考）已知函数
，
.
(1)若
，求曲线
在点
处的切线方程.
(2)若
有两个极值点
，
．
（i）证明：
；
（ii）证明：
.
2．已知函数
．
(1)若函数
有两个零点，求
的取值范围；
(2)设
是函数
的两个极值点，证明：
．
3．（23-24 高三上·重庆渝中·期中）已知函数
．
(1)若函数
是减函数，求
的取值范围；
(2)若
有两个零点
，且
，证明：
．
4．已知函数
．
(1)求
的单调区间；
(2)若
有两个零点
，
，且
，求证：
．
5．定义：若函数
与
在公共定义域内存在
，使得
，则称
与
为“契合
函数”，
为“契合点”．
(1)若
与
为“契合函数”，且只有一个“契合点”，求实数a 的取值范围．
(2)若
与
为“契合函数”，且有两个不同的“契合点”
．
①求b 的取值范围；
②证明：
．
6．（24-25 高三上·江苏宿迁·月考）已知函数
．
(1)讨论函数
的单调区间；
(2)当
时，证明：
；
(3)函数
有两个零点
、
，求证：
．
题型七 极值点偏移:商式形式
1．已知函数
．
(1)若
是
的极值点，求a 的值；
(2)当
时，求证：
恰有两个零点
，
，且
（其中
是
的极值点）．
2．已知函数
，
.
(1)求证：
，
；
(2)若存在
、
，且当
时，使得
成立，求证：
.
3．（2024·天津·一模）设函数
.
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)设函数
（i）当
时，
取得极值，求
的单调区间；
（ii）若
存在两个极值点
，证明：
.
4．已知函数
.
(1)若方程
有3 个零点，求实数
的取值范围；
(2)若
有两个零点
，求证：
，且
.
5．（23-24 高三下·四川成都·月考）已知函数
，
．
(1)讨论
的单调性；
(2)若函数
有两个零点
；
（i）求
的取值范围；
（ii）证明
．
题型八 极值点偏移：平方形式
1．（2024·吉林·二模）在平面直角坐标系
中，
的直角顶点
在
轴上，另一个顶点
在函数
图象上
(1)当顶点
在
轴上方时，求
以
轴为旋转轴，边
和边
旋转一周形成的面所围成的几何
体的体积的最大值；
(2)已知函数
，关于
的方程
有两个不等实根
.
（i）求实数
的取值范围;
（ii）证明：
.
2．（23-24 高三上·河南·月考）已知函数
.
(1)当
时，求
在区间
上的最值；
(2)若
有两个不同的零点
，证明：
.
3．已知函数
．
(1)若
，求实数
的取值范围；
(2)若
有2 个不同的零点
，求证：
．
题型九 极值点偏移：其他形式
1．已知函数
，
.
(1)讨论f（x）的单调性；
(2)若
时，都有
，求实数a 的取值范围；
(3)若有不相等的两个正实数
，
满足
，证明：
.
2．已知函数
在其定义域内有两个不同的极值点.
(1)求
的取值范围；
(2)记两个极值点为
，且
. 若
，证明：
.
3．（2024·湖南邵阳·一模）已知函数
.
(1)讨论函数
的单调性；
(2)当
时，方程
有三个不相等的实数根，分别记为
.
①求
的取值范围；
②证明
.
4．（23-24 高三上·重庆·月考）若函数
在定义域内存在两个不同的数
，
，同时满足
，且
在点
，
处的切线斜率相同，则称
为“切合函数”.
(1)证明：
为“切合函数”；
(2)若
为“切合函数”（其中为自然对数的底数），并设满足条件的两个数为
，
.
（ⅰ）求证：
；
（ⅱ）求证：
.
题型十 拐点偏移问题
1．已知函数
若正实数
满足
证明:
2．已知函数
.
(I)若
为
上的增函数,求
的取值范围;
(II)若
,且
,证明:
.
3．已知函数
，
．
(1)若
在
处取得极值，求
的值；
(2)设
，试讨论函数
的单调性；
(3)当
时，若存在实数
，
满足
，求证：
．
检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．（2025·青海海南·模拟预测）已知函数
．
(1)讨论函数
的单调性．
(2)假设存在正实数
，满足
．
（i）求实数
的取值范围；
（ii）证明：
．
2．（24-25 高三上·江苏连云港·期末）已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在
处的切线方程；
(2)若
有两个零点
，且
，证明：
.
3．已知函数
．
(1)若
只有一个零点，求
的值；
(2)若
有两个零点
，证明：
．
4．（2024·河北保定·二模）已知函数
为其导函数．
(1)若
恒成立，求
的取值范围；
(2)若存在两个不同的正数
，使得
，证明：
．
5．已知函数
．
(1)求函数
的单调区间；
(2)已知函数
的图象与
的图象关于直线
对称，证明：当
时，
；
(3)如果
，且
，证明：
．
6．（23-24 高三上·河南·月考）已知函数
．
(1)若函数
和
的图象都与平行于
轴的同一条直线相切，求
的值；
(2)若函数
有两个零点
，证明：
．
7．已知函数
.
(1)讨论
的单调性；
(2)若
（e 是自然对数的底数），且
，
，
，证明：
.
8．（24-25 高三上·山东潍坊·期末）已知函数
，
.
(1)求曲线
在
处的切线方程；
(2)若
，求
的取值范围；
(3)若
有两个实数解
，
，证明：
.
9．已知函数
，
．（
为自然对数的底数）
(1)当
时，求函数
的极大值；
(2)已知
，
，且满足
，求证：
．
10．设函数
．
(1)求函数
的单调区间；
(2)若
有两个零点
，
，
①求a 的取值范围；
②证明：
．
11．（2024·湖北武汉·三模）已知函数
，
．
(1)讨论函数
的单调性；
(2)若关于
的方程
有两个不相等的实数根
、
，
（ⅰ）求实数a 的取值范围；
（ⅱ）求证：
．
12．已知函数
（是自然对数的底数）.
(1)讨论函数
的单调性；
(2)若
有两个零点分别为
.
①求实数
的取值范围；
②求证：
.
13．（23-24 高三上·江苏南通·月考）已知函数
.
(1)当
时，求函数
的极值；
(2)若
有两个极值点
，求证：
.
14．已知函数
.
(1)当
时，讨论
的单调性；
(2)当
时，若方程
有三个不相等的实数根
，且
，证明：
.
15．（24-25 高三上·重庆沙坪坝·月考）已知函数
在
上有两个极值点
.
(1)求
的取值范围;
(2)求证：
.
16．已知函数
，
.
（1）若
在
处取得极值，求
的值；
（2）设
，试讨论函数
的单调性；
（3）当
时，若存在正实数
满足
，求证：
.
检测Ⅱ组 创新能力提升
1．（2024·陕西安康·二模）已知函数
，
（e 为自然对数的底数）
(1)当
时，恰好存在一条过原点的直线与
，
都相切，求b 的值；
(2)若
，方程
有两个根
，（
），求证：
．
2．（24-25 高三下·河北保定·月考）已知函数
，
.
(1)讨论
的单调性；
(2)若函数
的图象在点
处的切线方程为
.
（i）求
的最小值；
（ii）若关于x 的方程
有两个根
，
，证明：
.
3．已知函数
，
．
(1)若
与
都存在极值，且极值相等，求实数
的值；
(2)令
，若
有2 个不同的极值点
，求证：
．
4．已知函数
有三个极值点
．
(1)求实数
的取值范围；
(2)求证：
．
5．（23-24 高三下·天津·月考）已知函数
．
(1)讨论
的单调区间；
(2)已知
，设
的两个极值点为
，且存在
，使得
的图象与
有三
个公共点
；
①求证：
；
②求证：
．
6．（23-24 高三上·江西宜春·期末）已知函数
有两个零点
．
(1)求实数a 的取值范围；
(2)求证：
；
(3)求证：
．
