【培优点02：奔驰定理与三角形的四心】
【知识拓展】
1.奔驰定理
如图, 已知
为
内一点, 有
; 其中
分别为
的面积.
证明
设
,
,
,
,
.
根据三角形正弦定理面积公式得:
把①式两边与向量
作数量积得:
同理,①式两边与向量
作数量积均为0.
由于
不可能同时与
垂直, 且
不全为
, 故
.
该结论对应的图形形似奔驰汽车标志,因此称为奔驰定理,对推导三角形四心的向量结论有直接作用.
2.三角形四心的向量表示及结论（利用奔驰定理可自行证明）
(1)点
是
的重心
;
(2)点
是
的垂心
;
（注：
为三角形的三个内角）.
(3)点
是
的内心
;
1
（其中
是
的三边,分别对应角
）.
(4)点
是
的外心
.
【热点题型1：奔驰定理与三角形面积之比的问题】
（24-25 高一下·上海浦东新·月考）设点O在△ABC的内部，且3⃗OA + 4⃗OB+5⃗OC =⃗0，
则S△AOB:S△ABC = .
【规律方法总结】
方法技巧：
1.核心公式：若点
为
内一点，满足
（
且
），则
的面积比为
.
2.拓展应用：若点
在
外部，需结合向量系数的正负判断面积比的对应关系（系数符号反映点与三
角形的位置关系）.
3.面积与整体的比例：
与
的面积比为
，同理可得
与
的面积比.
【多选题】（24-25 高一·江苏·假期作业）下列说法中正确的说法为（ ）
A．若⃗a//⃗b，⃗b//⃗c，则⃗a//⃗c
B．若⃗OA +⃗OB+⃗OC =⃗0，S△AOC，S△ABC分别表示△AOC，△ABC的面积，则S△AOC:S△ABC =1:3
C．两个非零向量⃗a，⃗b，若|⃗a−⃗b|=|⃗a|+|⃗b|，则⃗a与⃗b共线且反向
D．若⃗a//⃗b，则存在唯一实数λ使得⃗a= λ⃗b
（23-24 高三上·安徽安庆·月考）设O 点在△ABC内部，且有3⃗OA +2⃗OB+⃗OC =⃗0，
则△AOC的面积与△AOB的面积的比值为（ ）
A．2
B．√3
C．√2
D．3
（24-25 高一下·重庆渝中·期中）某同学在查阅资料时，发现一个结论：已知O 是
△ABC内的一点，且存在x , y , z∈R，使得x⃗OA + y⃗OB+ z⃗OC =⃗0，则S△AOB:S△AOC:S△COB= z: y : x．
知识讲解与常考题型
题型分类
经典例题
小试牛刀1
小试牛刀2
小试牛刀3
2
请以此结论回答：已知在△ABC中，∠A =π
4 ，∠B =π
3 ，O 是△ABC的外心，且⃗
AO = λ⃗AB+ μ⃗AC (λ , μ∈R)，则λ+ μ= ．
【热点题型2：奔驰定理与三角形重心】
（2025 高一·全国·专题练习）已知G是△ABC的重心，a⃗GA +b⃗GB+ √3
3 c⃗GC =⃗0，其
中内角A ,B ,C的对边分别为a,b,c，则∠A = ．
【规律方法总结】
方法技巧：
1. 重心的奔驰定理特征：若
为
的重心，则
，对应奔驰定理中系数
.
2.面积关系：重心将三角形分成面积相等的三个小三角形，即
.
3.应用技巧：遇三角形重心相关向量问题，直接利用奔驰定理的等系数特征，快速转化为面积或向量运算.
（2025 高一·全国·专题练习）已知△ABC，O为平面内任意一点，动点P满足
5⃗OP =[(2+ λ)⃗OA +(2+ λ)⃗OB+(1−2 λ)⃗OC]，则点P的轨迹一定经过（ ）
A．△ABC的内心
B．△ABC的垂心
C．△ABC的重心
D．△ABC的外心
（24-25 高三下·陕西西安·月考）在△ABC中，若动点P 满足向量⃗AP平行于向量⃗
AB
|⃗AB|sin B
+⃗
AC
|⃗AC|sinC
，则P 的轨迹过△ABC的（ ）
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
（24-25 高一下·江苏扬州·期中）在非钝角△ABC中，角A，B，C 的对边分别为
a，b，c，点P 是△ABC的重心且4−cos2 A =3√3sin (B+C)，则角A = ；若b= 4，AP = 2√7
3
，
则c = .
【热点题型3：奔驰定理与三角形外心】
【多选题】（24-25 高三上·山东·期中）记△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，
c，已知c = 4，b=2，若O为△ABC的外心，则（ ）
A．|⃗OA |=|⃗OB|=|⃗OC |
B．⃗OA ⋅⃗BC +6=0
经典例题
小试牛刀1
小试牛刀2
小试牛刀3
经典例题
3
C．(⃗OA +⃗OB)⋅⃗AB =0
D．a⃗OA +b⃗OB+c⃗OC =⃗0
【规律方法总结】
方法技巧：
1.外心的向量特征：若
为
的外心，则
（外心为三边垂直平分线的交点，到各
顶点距离相等）.
2.奔驰定理对应关系：外心对应的三角形面积比为
（A、B、
C 为
的内角）.
3. 向量式表达：结合奔驰定理，外心满足
（因
，可简化运算）.
【多选题】（23-24 高一下·四川成都·期末）△ABC的内心为P，外心为O，重心
为G，若|AB|=|AC|=5，|BC|=6，下列结论正确的是（ ）
A．△ABC的内切圆半径为r = 3
2
B．6⃗PA +5⃗PB+5⃗PC =⃗0
C．6⃗OA +5⃗OB+5⃗OC =⃗0
D．|OG|= 11
24
（23-24 高一下·浙江绍兴·期中）在△ABC 中，O 为BC 的中点，若⃗MO⋅⃗BC =0，
则动点M 的轨迹必通过△ABC 的（ ）
A．内心
B．外心
C．重心
D．垂心
（2025·广东江门·模拟预测）已知点O ,G分别是△ABC的外心，重心，
AB =3, AC =2，则⃗AO⋅⃗AG的值为 .
【热点题型4：奔驰定理与三角形内心】
（2025 高三·全国·专题练习）设G为△ABC的内心，AB =2，AC = 4，CB =3，⃗
AG = x⃗AB+ y⃗BC，则x = ，y = ．
【规律方法总结】
方法技巧：
1.内心的奔驰定理特征：若
为
的内心，a、b、c 分别为
中角A、B、C 对边的边长，则
.
2.面积关系：内心对应的三角形面积比为
（内心为角平分线交点，到各边距
离相等，面积比等于边长比）.
3.应用技巧：遇角平分线或内切圆相关问题，优先利用内心的奔驰定理向量式，将边长与向量系数关联.
（2025 高三·全国·专题练习）在△ABC中，I 为△ABC的内心，若
小试牛刀1
小试牛刀2
小试牛刀3
经典例题
小试牛刀1
4
3⃗IA + 4⃗IB+5⃗IC =⃗0，则C = .
（24-25 高一下·福建福州·期中）点O在△ABC所在的平面内，若⃗
OA = λ(⃗
AC
|⃗AC|
+⃗AB
|⃗AB|)(λ≠0),则直线OA一定经过△ABC的 .（填:重心、内心、外心或垂心）
（2025 高一·全国·专题练习）设I为△ABC的内心，且2⃗IA +3⃗IB+√7⃗IC =⃗0，则
角C为（ ）
A．π
6
B．π
3
C．2π
3
D．3π
4
【热点题型5：奔驰定理与三角形垂心】
（2025 高三·全国·专题练习）已知点H在△ABC内，且是△ABC的垂心，若⃗
HA +2⃗HB+3⃗HC =⃗0，则A = ．
【规律方法总结】
方法技巧：
1.垂心的向量特征：若
为
的垂心，则
（垂心为高的交点，邻边向
量数量积相等）.
2.奔驰定理对应关系：垂心对应的三角形面积比为
（A、B、C
为
的内角，需注意三角形为锐角三角形时
值为正）.
3.向量式表达：结合奔驰定理，垂心满足
.
（2025 高三·全国·专题练习）已知O是平面上一定点，A ,B ,C是平面上不共线的
三点，动点P满足⃗OP =⃗OA + λ(⃗
AB
|⃗AB|cosB
+⃗
AC
|⃗AC|cosC)，λ∈[0,+∞)，则P点的轨迹一定通过△ABC
的（ ）
A．重心
B．垂心
C．外心
D．内心
（2025 高三·全国·专题练习）已知在同一个平面上有△ABC和一点O，且满足关系
式：⃗OA
2+⃗BC
2=⃗OB
2+⃗CA
2=⃗OC
2+⃗AB
2，则O为△ABC的（ ）．
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
（2025 高一·全国·专题练习）已知H为△ABC的垂心，AB = AC =5，BC =6，若⃗
AH =m⃗AB+n⃗BC，则m+n= ．
小试牛刀2
小试牛刀3
经典例题
小试牛刀1
小试牛刀2
小试牛刀3
5
一、单选题
1．（24-25 高一下·广东深圳·期中）若G是△ABC的重心，且⃗AG = λ⃗AB+ μ⃗AC（λ , μ为实数），则
λ+ μ=（ ）
A．1
3
B．2
3
C．1
D．4
3
2．（2025 高一·全国·专题练习）已知O为△ABC所在平面内一点，若
sin2 A ×⃗OA +sin2B×⃗OB+sin2C ×⃗OC =⃗0，则点O是△ABC的（ ）．
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
3．（2025 高一·全国·专题练习）已知O为△ABC所在平面内一点，若
tan A ×⃗OA +tan B×⃗OB+tanC ×⃗OC =⃗0，则点O是△ABC的（ ）．
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
4．（2025 高三·全国·专题练习）在△ABC中，P为线段AB上的一点，满足|⃗CA|−|⃗CB|=2，|⃗AB|=2√5，⃗
CA ⋅⃗CP
|⃗CA|
=⃗CB⋅⃗CP
|⃗CB|
，I为CP上一点，且⃗BI =⃗BA + λ(⃗
AC
|⃗AC|
+⃗AP
|⃗AP|)，则⃗BI ⋅⃗BA
|⃗BA|
=（ ）
A．√5+1
B．√5−1
C．√5
D．2√5−1
5．（23-24 高一下·贵州遵义·月考）已知G ,O , H在△ABC所在平面内，满足⃗
GA +⃗GB+⃗GC =⃗0,|⃗OA|=|⃗OB|=|⃗OC|，⃗HA ⋅⃗HB =⃗HB⋅⃗HC =⃗HC ⋅⃗HA，则点G ,O , H依次是△ABC的
（ ）
A．重心，内心，外心
B．重心，外心，垂心
C．垂心，内心，重心
D．外心，重心，内心
6．（24-25 高一下·四川·期中）已知N , P ,O在△ABC所在平面内，满足⃗NA +⃗NB+⃗NC =⃗0，且⃗
PA ⋅⃗PB =⃗PB⋅⃗PC =⃗PC ⋅⃗PA，⃗
OA ⋅(⃗
AB
|⃗AB|
+⃗
CA
|⃗CA |)=⃗OB⋅(⃗
BA
|⃗BA |
+⃗
CB
|⃗CB|)=⃗OC ⋅(⃗
BC
|⃗BC |
+⃗
CA
|⃗CA |)=0，则点N , P ,O依次是
△ABC的（ ）
A．垂心，外心，内心
B．重心，外心，内心
C．重心，垂心，外心
D．重心，垂心，内心
7．（24-25 高一下·湖北武汉·期末）奔驰定理：已知O是△ABC内的一点，若△BOC、△AOC、△AOB
的面积分别记为S1、S2、S3，则S1⋅⃗OA + S2⋅⃗OB+ S3⋅⃗OC =⃗0.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美
的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知O
是△ABC的垂心，且2⃗OA +3⃗OB+ 4⃗OC =⃗0，则tan A =（ ）
课后针对训练
6
A．√6
4
B．√6
2
C．3√6
4
D．√6
二、多选题
8．（22-23 高一下·福建福州·月考）已知P为△ABC所在的平面内一点，则下列命题正确的是（ ）
A．若⃗AP = λ(⃗AB+⃗AC)，λ∈[0,+ ∞)，则动点P的轨迹经过△ABC的内心
B．若O 为平面内任意一点，⃗OP= 1
3 （⃗OA +⃗OB+⃗OC ），则点P为△ABC的重心
C．若P为△ABC的垂心，⃗AB⋅⃗AC =2，则⃗AP⋅⃗AB =2
D．若P为锐角△ABC的外心，⃗AP = x⃗AB+ y⃗AC且x +2 y =1，则AB = BC
9．（24-25 高一下·山东泰安·期中）已知a,b,c分别是△ABC三个内角A ,B ,C的对边，点O是△ABC内
部的一个点，下列四个命题中正确的是（ ）
A．若⃗AB⋅⃗BC <0，则△ABC为锐角三角形
B．若O是△ABC的重心，则⃗OA +⃗OB+⃗OC =⃗0
C．若O为△ABC的垂心，⃗AB⋅⃗AC =2，则⃗AO⋅⃗AB =2
D．若2⃗OA +⃗OB+3⃗OC =⃗0,S△AOC ,S△ABC分别表示△AOC ,△ABC的面积，则S△AOC:S△ABC =1:6
10．（24-25 高一下·山东·月考）点O，H 分别是△ABC的外心、垂心，则下列选项正确的是（ ）．
A．若⃗BD = λ(⃗
BA
|⃗BA|
+⃗BC
|⃗BC|)且⃗BD = μ⃗BA +(1−μ)⃗BC，则⃗AD =⃗DC
B．若2⃗BO =⃗BA +⃗BC，且AB =2，则⃗AC ⋅⃗AB = 4
C．若∠B =π
3 ，⃗OB =m⃗OA +n⃗OC，则m+n的取值范围为(−2,1]
D．若2⃗HA +3⃗HB+ 4⃗HC =⃗0，则cos∠BHC =−√10
5
11．（24-25 高一下·安徽合肥·月考）已知P 为△ABC所在的平面内一点，则下列命题正确的是（ ）
A．若P 为△ABC的垂心，⃗AB⋅⃗AC =2，则⃗AP⋅⃗AB =2
B．若P 为锐角△ABC的外心，⃗AP = x⃗AB+ y⃗AC且x +2 y =1，则AB = BC
C．若P 为△ABC的重心，则⃗AP = 1
3⃗AB+ 2
3⃗AC
7
D．若⃗AP =(
1
|⃗AB|cos B
+ 1
2)AB⃑+(
1
|⃗AC |cosC
+ 1
2)⃗AC，则点P 的轨迹经过△ABC的内心
12．（24-25 高一下·福建厦门·月考）已知点P在△ABC所在的平面内，λ∈R，则下列命题正确的是
（ ）
A．若⃗PA ⋅⃗PB =⃗PB⋅⃗PC =⃗PC ⋅⃗PA，则点P是△ABC的垂心
B．若(⃗PA +⃗PB)⋅⃗AB =(⃗PB+⃗PC)⋅⃗BC =0，则|⃗PA|=|⃗PB|=|⃗PC|
C．若⃗AP = λ(⃗
AB
|⃗AB|sin B
+⃗
AC
|⃗AC|sinC)，则动点P的轨迹经过△ABC的内心
D．若⃗AP =(
λ
|⃗AB|cosB
+ 1
2)⋅⃗AB+(
λ
|⃗AC|cosC
+ 1
2)⋅⃗AC，则动点P的轨迹经过△ABC的外心
13．（25-26 高一·全国·假期作业）以下命题中，正确的有（ ）
A．若P是△ABC的重心，则有⃗PA +⃗PB+⃗PC =⃗0
B．若a⋅⃗PA +b⋅⃗PB+c⋅⃗PC =⃗0，则P是△ABC的内心
C．若⃗AP = 1
5⃗AB+ 2
5⃗AC，则S△PBC:S△PAC:S△PAB=2:2:1
D．若P是△ABC的外心，且A =π
4 ，则⃗PA +sin∠APC ⋅⃗PB+sin(
3π
2 −∠APC)⋅⃗PC =⃗0
14．（2025 高三·全国·专题练习）（多选）奔驰定理：已知O是△ABC内一点，△BOC，△AOC，
△AOB的面积分别为S A ,SB,SC，则S A⋅⃗OA + SB⋅⃗OB+ SC⋅⃗OC =⃗0．如图，设O是△ABC内一点，
△ABC的三个内角分别为A ,B ,C，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为S A ,SB,SC，若
3⃗OA + 4⃗OB+5⃗OC =⃗0，则以下命题正确的有（ ）
A．S A:SB:SC =3:4:5
B．O有可能是△ABC的重心
C．若O为△ABC的外心，则sin A :sin B:sinC =3:4:5
D．若O为△ABC的内心，则△ABC为直角三角形
15．（25-26 高三上·山东青岛·月考）在△ABC 中，AB＝4，AC＝5，BC＝6，下列说法中正确的有（ ）
A．若点O 为△ABC 的重心，则⃗AO =⃗OB+⃗OC
B．若点O 为△ABC 的外心，则⃗AO⋅⃗AB =6
8
C．若点O 为△ABC 的垂心，则⃗AO⋅⃗AB = 5
2
D．若点O 为△ABC 的内心，且⃗AO = x⃗AB+ y⃗AC，则x + y = 3
5
16．（2026 高三·全国·专题练习） “奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非
常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已
知M 是△ABC内一点，△BMC，△AMC，△AMB的面积分别为S A，SB，SC，且
S A⋅⃗MA + SB⋅⃗MB+ Sc⋅⃗MC =⃗0.以下命题正确的有（ ）
A．若S A:SB:SC =1:1:1，则M 为△ABC的重心
B．若M 为△ABC的内心，则BC ⋅⃗MA + AC ⋅⃗MB+ AB⋅⃗MC =⃗0
C．若M 为△ABC的垂心，3⃗MA + 4⃗MB+5⃗MC =⃗0，则
tan ∠BAC :tan ∠ABC :tan ∠BCA =3:4:5
D．若∠BAC = 45°，∠ABC =60°，M 为△ABC的外心，则S A:SB:SC =√3:2:1
17．（25-26 高三上·安徽·月考）在△ABC中，角A ,B ,C的对边分别为a,b,c，点P为△ABC内部一动点，
则下列命题正确的是（ ）
A．若点M为BC的中点，则⃗AB⋅⃗AC =⃗AM
2−(⃗
BC
2 )
2
B．若点P为△ABC的内心，则a PA⃗+b PB⃗+c PC⃗=0⃗
C．若⃗AP = λ(b⋅⃗AB+c⋅⃗AC)( λ>0)，则点P过△ABC的外心
D．若△ABC为锐角三角形，点P为△ABC的垂心，则tan A ⋅PA⃗+tan B⋅PB⃗+tanC ⋅PC⃗=0⃗
三、填空题
18．（23-24 高一下·陕西咸阳·期中）若O 为△ABC的外心，且2⃗BO =⃗BA +⃗BC，则⃗AB⋅⃗BC = ．
19．（24-25 高一下·安徽马鞍山·月考）G 是△ABC的重心，a，b，c 分别是角A，B，C 的对边，若
a⃗GA +b⃗GB+ √3
3 c⃗GC =⃗0，则角A = .
20．（2025 高一·全国·专题练习）在△ABC中，已知AB =2，AC = 4，G ,O分别是△ABC的重心和外心，
则⃗GO⋅⃗BC = ．
9
10
