文档文本内容
四．常见自然数在数量中的巧妙应用
数字“0”和“1”在数量实战中的应用:数字0 和1 在纯方程等式的特值速解应用
例题1：已知 x－y＝1，则 x^3－3xy－y^3＝（ ）
A.1
B.2
C.3
D.5
例题2：【2015 江苏】
设a，b 均为正整数，若11a+7b=84，则a 的值为：
A.4
B.5
C.7
D.8
例题3：【2021 山东】
例题1：x 千克甲盐水和y 千克乙盐水中的含盐量相同。将x 千克乙盐水与x 千克甲盐水混
合，并蒸发掉x 千克水之后，得到的溶液浓度是乙盐水的z 倍。问乙盐水的浓度是甲盐水
的多少倍：
例题4：【2025 联考】
甲和乙两条生产线的效率比为1：x，现共同生产一批设备12 天后正好完成一半。此时甲的
效率提升为原来的2x 倍，乙的效率提升为原来的y 倍后，又用了6 天正好完成生产任务。
问x 和y 的关系为：
A.x*y=1
B.x*y=2
C.x=2y
D.x=3y
数字0 和1 在多对象相对变化中的特值应用（未知数个数多于方程个数）
例题1：【2016 联考】
木匠加工2 张桌子和4 张凳子共需要10 个小时，加工4 张桌子和8 张椅子需要22 个小时。
问如果他加工桌子、凳子和椅子各10 张，共需要多少小时？
A.47.5
B.50
C.52.5
D.55
例题2：【2018 北京】
老张购买学习和生活用品捐赠给山区贫困小学生。3 个笔盒、2 个皮球和4 个杯子一共89
元，4 个笔盒、3 个皮球和6 个杯子一共127 元。则一个笔盒多少元？
A.10
B.11
C.12
D.13
例题3：【2016 山东】
某企业采购了一批文具和书本赠送给希望小学的学生。如果向每个学生捐赠2 件文具和3
本书，则剩下书的数量是文具的1.5 倍；如果向每个学生再多捐赠1 件文具和1 本书，则剩
下书的数量是文具的两倍。该企业最终决定向每个学生捐赠6 件文具和10 本书，则其还需
要采购的书本数量是文具的多少倍（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
例题4:【2025 浙江】
农学院学生采集了甲、乙两个品种的水稻样本各若干份，其中36 份为有效样本。已知乙品
种采集样本30 份，那么甲品种的有效样本比乙品种的无效样本：
A.多6 份
B.多12 份
C.少6 份
D.少12 份
例题5：【2025 浙江】
甲处室有6 人，乙处室有4 人，甲处室平均年龄比乙处室大1.5 岁。甲处室新进了小张，乙
处室新进了老张，老张比小张大20 岁，他们来了之后甲处室平均年龄比乙处室小2 岁。问
老张比乙处室原来的平均年龄大多少岁？
A.5
B.7.5
C.12.5
D.15
例题6：【2025 四川】
某企业采购甲、乙和丙三种不同配置的电脑，已知甲、乙、丙各1 台共2.3 万元，2 台甲加
1 台乙的总价比1 台丙的单价高2.2 万元。该企业最终决定采购1 台甲、3 台乙和7 台丙，
问采购总费用为多少万元？
A.6.6
B.7.1
C.7.6
D.8.1
数字0 的相对静止思维速解应用
母题讲解：某人畅游长江，逆流而上，在A 处丢失一只水壶，他又向前游了20 分钟后，才
发现丢了水壶，立即返回追寻，在距离A 处2 千米的地方追到，他返回追寻用了多少分钟？
例题1：【2021 广东紧缺公务员招聘】
一艘维修快艇沿着河流逆流而上执行维修任务，快艇航行到途中某处时工具包掉进了河里
10 分钟后，驾驶员到达目的地时发现工具包丢失后立即返回追寻。已知水的流速为每秒1
米，如果工具包会浮在水面上漂流，那么驾驶员将在距离丢失处（ ）米的地方找回
工具包。
A.640
B.900
C.1080
D.1200
例题2：【2023 深圳】
老杨、老朱和小张三人开展社区巡防工作，巡防路线固定，三人同时同向出发，老杨开车
老朱骑自行车，小张走路。已知老杨每20 分钟追上小张一次，每40 分钟追上老朱一次，
则老朱每（ ）分钟追上小张一次。
A.30
B.40
C.50
D.60
例题3：【2021 浙江】
甲、乙、丙从长360 米的圆形跑道上的不同点同时出发，沿顺时针方向匀速跑步。3 分钟
后甲追上乙，又过1 分30 秒后丙也追上乙，又过3 分30 秒后丙追上甲，又过5 分30 秒后
丙第二次追上乙。问出发时甲在乙身后多少米
A．48
B．84
C．108
D．144
例题4：【2024 四川】
现有浓度为70%的盐水100 克。从中倒出40 克，再加入40 克浓度为20%的盐水，如此操
作共5 次后，问盐水的浓度在以下哪个范围内？
A.低于23%
B.在23%到25%之间
C.在25%到27%之间
D.高于27%
母题思维讲解:(浓度连乘决)
从一瓶浓度为 20%的消毒液中倒出 2/5 后，加满清水，再倒出 2/5，又加满清水，此时消
毒 液的浓度为：（ ）
A.7.2%
B.3.2%
C.5.0%
D.4.8%
数字“2”在数量实战中的应用：a 比b 多了c
例题1：【2021 浙江】
某机构计划派45 名志愿者分别前往A、B、C、D 四个地区参与扶贫活动，其中A 地区的志
愿者人数要比B 地区多4 人，C 地区人数为全部志愿者人数的1/5，D 地区人数不超过任何
其他地区，则A 地区至少有多少名志愿者：
A.12
B.13
C.15
D.16
例题2：【2024 山东】
某科技创新项目有 6 人投资，共筹资 110 万元。投资额度有 10 万元、20 万元和 30 万
元三种。已知投资 10 万元的比投资 20 万元的多 2 人，问投资 30 万元的有多少人？
A.2
B.3
C.4
D.5
例题3：【2025 浙江】
某年级从A、B、C、D 四个班招募96 名志愿者，其中A 班志愿者人数占总数的1/3 ，B 班
志愿者人数比C 班多4 人，D 班志愿者人数比其他三个班都少。问D 班最多能有多少名志
愿者？
A.18
B.19
C.20
D.21
数字“2”在数量实战中的应用：a 是b 的2 倍
例题1：【2017 辽宁】
母亲现在的年龄个位数跟十位数对调再减10 岁就是儿子的年龄，再过3 年母亲的年龄就是
儿子年龄的2 倍，则母亲现在的年龄是：
A.53
B.52
C.43
D.42
例题2：【2011 北京】
一个三口之家的年龄之和为99，其中，母亲年龄比父亲年龄的3/4 大7 岁，儿子年龄比母
亲年龄的1/5 大7 岁。问多少年后，父亲年龄是儿子年龄的2 倍：
A. 12
B. 14
C. 15
D. 10
例题3：【2018 上海】
小瑗和爸爸一起包饺子，爸爸包的饺子是小瑗的两倍。爸爸的饺子放在四个盘子里，小瑗
的饺子放在两个盘子里。六个盘子中的饺子数依次为15、19、20、21、22、23。那么小瑗
的饺子在____。
A. 第2 盘与第4 盘
B. 第3 盘与第4 盘
C. 第2 盘与第3 盘
D. 第1 盘与第6 盘
数字“2”在数量实战中的应用：a 是b 的1/2
例题1：【2019 山东】
某研究团队开展小学生身体健康状况调查活动，需要从某市三所小学中抽取部分小 学生组
成研究样本，其中实验小学抽取的人数占其他两所小学抽取人数的五分之一，解放 路小学
抽取的人数占其他两所小学抽取人数的二分之一，精英小学抽取的人数为180 人，那 么三
所小学合计抽取多少人?
A.540
B.480
C.360
D.280
例题2：【2023 江苏】
甲、乙、丙三个家庭去年的年收入比五年前分别增长了 50%、60%、150%。这三个家庭去
年的年收入总和为 84 万元，比五年前多 35 万元。若去年丙家庭的年收入为 20 万元，
则五年前乙家庭的年收入为：
A.16 万元
B.20 万元
C.25 万元
D.36 万元
例题3：【2017 联考】
古希腊数学家丢番图（DiophAntus）的墓志铭：过路人，这儿埋葬着丢番图，他生 命的六
分之一是童年；再过了一生的十二分之一后，他开始长胡须，又过了一生的七分之 一后他
结了婚；婚后五年他有了儿子，但可惜儿子的寿命只有父亲的一半，儿子死后，老 人在活
了四年就结束了余生。根据这个墓志铭，丢番图的寿命为：
A.60
B.84
C.77
D.63
例题4：【2018 广东】
某市服务行业举行业务技能大赛，其中东区参赛人数占总人数的1/5 ，西区参赛 人数占
总人数的2/5，南区参赛人数占总人数的1/4，其余的是北区的参赛人员。结果东区 参赛
人数的1/3 获奖，西区参赛人数的1/12 获奖，南区参赛人数的1/9 获奖。已知参赛总人 数
超过100 人，不到200 人，则参赛总人数为（ ）。
A.120
B.140
C.160
D.180
数字“2”在数量实战中的应用：a 比b 的一半多了c
例题1：【2012 上海】
某科研单位欲拿出一定的经费奖励获奖的科研人员，第一名可得到全部奖金的一半多1 万
元，第二名可得到剩余的一半多1 万元，以此类推都得到剩余奖金的一半多1 万元，若 到
第七名恰好将奖金分完，则该单位需要拿出奖金( )万元。
A.156
B.254
C.256
D.512
例题2：【2021 广东】
某水果店批发了若干哈密瓜，第一天卖出总数的一半，第二天卖出余下的一半后还剩6 个，
则该水果店共批发了几个哈密瓜。
A.42
B.36
C.30
D.24
例题3：【2016 广东】
大型体育竞赛开幕式需要列队，共10 排。导演安排演员总数的一半多一个在第一排，安排
剩下演员人数的一半多一个在第2 排……..依次类推。如果在第10 排刚好将演员排完，那
么参与排队列的演员共有（ ）名。
A.2000
B.2008
C.2012
D.2046
例题4：【2020 广东】
中秋节前夕，某商品采购了一批月饼礼盒，此后第一周售出了总数的一半多10 份， 第二
周售出了剩下的一半多5 份，若此时还剩下20 份月饼礼盒，则商品最初采购了（ ） 份月
饼礼盒。
A.60
B.80
C.100
D.120
数字“2”在数量实战中的应用：数字2 在列式中的奇偶关系
例题1：【2010 联考】
一次数学考试共有20 道题，规定：答对一题得2 分，答错一题扣1 分，未答的题不计分。
考试结束后，小明共得23 分，他想知道自己做错了几道题，但只记得未答的题的数目是个
偶数。请你帮助小明计算一下，他答错了多少道题?
A.3
B.4
C.5
D.6
例题2：【2019 广东】
某办公室有大、中、小三种型号的文件袋共200 个，已知大号文件袋数量是中号文件袋的
2 倍，小号文件袋的数量为50 个，那么大号文件袋有（ ）个。
A.50
B.60
C.80
D.100
数字“2”在数量实战中的应用：和差转换奇偶思维
例题1：【2015 联考】
某旅游公司有能载4 名乘客的轿车和能载7 名乘客的面包车若干辆，某日该公司将所有车
辆分成车辆数相等的两个车队运送两支旅行团。已知两支旅行团共有79 人，且每支车队都
满载，问该公司轿车数量比面包车多多少辆？
A.5
B.6
C.7
D.8
例题2：某舞蹈培训机构有133 名学员和若干名老师，现将所有师生按舞种分为爵士舞、
民族舞两组。已知爵士舞师生之比为1：17，民族舞师生之比为1：9，且两个舞种的老师
人数均为质数，则该舞蹈培训机构共有多少名老师？
A.12
B.13
C.14
D.15
例题3【2024 国考】
某企业去年全年收入 1200 万元，支出 960 万元。今年上半年和下半年，企业支出比去年
同期分别减少 20%和 15% ，且全年收入与去年相同，总体盈余（收入-支出）比去年增加
172 万元。问今年上半年支出比下半年：
A.少 160 万元
B.多 160 万元
C.少 108 万元
D.多 108 万元
