夜雨聆风
数学这样学,你也可以拿满分:举例说明如何从课本出发、通过延伸思考轻松解决把关难题
【摘要：首先建议家有在读中小学生的家长完整阅读，同时也强烈建议家长把本文转发给在读学生认真通读，理解感悟什么是数学的逻辑和思维，我相信绝对会大幅提高同学们的数学战斗力。本文长约四千字左右，逻辑上分为两大部分，前面是方法论，不喜欢说教的家长或同学们可快速看一下红色字体，然后跳到第二部分；第二部分是本文精华，讲解如果从课本最基础的知识出发，通过一步步加深思考，最终轻松解决高考把关难题。】
数学在我们教育体系中的重要性不言而喻，不但是最重要的学科，还是最难的学科。
很多人都对学数学有认识误区，觉得学数学就是“跟着老师走，做完作业就够了”，成绩差点儿的再加餐补补课。甚至还有人觉得，只要把公式背熟、把例题的步骤记下来，就能学好数学。完全不是这样，就算你背熟所有公式，抄遍老师讲的每一道例题，可一遇到新题、变形题，仍然一脸懵逼，不知道该从哪里下手。
第一部分方法论
要学好数学，其实也简单，只需要掌握好正确的学习方法。如果没有正确的学习方法，再努力可能都是事倍功半，效果不显。
01、首先说说预习
在上课前做好预习很重要，因为预习能让听课更有针对性，也能让思考更有方向，相当于提前给大脑预热，跟上老师的思路就会轻松很多。预习不用花太长时间，每天课前十来分钟，翻一翻下节课要讲的知识点、公式和例题，圈出自己看不懂的地方，带着疑问去听课，就能主动去思考，而不是被动跟着老师走，听课效率会翻倍，也能为后续的思考打下基础。
02、说说听课时该怎么思考
如果你在听课时全程注意力都放在抄笔记上，老师每讲一步就记一步，生怕漏了任何一个细节，那么“恭喜”你，你是在坑里趴起的。
正确的听课方式是跟着老师的思路“同步思考”，不再盲目记步骤。
比如在老师讲几何题画辅助线时，同步跟着想：老师为什么要在这里画辅助线？这个辅助线能连接哪些已知条件？如果我来做，我会怎么画？带着这样的思考去听课，才能真正理解老师的解题逻辑，而不是单纯记步骤、记答案。至于笔记没记全的地方，可以下课后再补充，补充的过程也是一个回顾、复习的过程。
再者听课时要敢于“质疑”，敢于“多想一步”。比如老师讲完一种解题方法，要在心里问自己：除了这种方法，其他方法？这个方法适用于所有类似的题目吗？如果题目中的条件变了，这个方法还能用吗？思考多了，不仅掌握了老师教的方法，还摸索出了更多的解题思路，做题的效率和准确率必定大大提高。
03、再说说做题时思考方式有多重要
很多同学做题，只是为了把题做完。做完一道题后不管对错，直接翻答案，对了沾沾自喜，错了就抄上正确答案，而不去思考为什么对或为什么错。这样刷题本质上就是机械重复，刷再多题也难有进步，因为你没有真正理解题目背后的逻辑，也没有形成自己的思考习惯。
做题应该一个固定的思考流程，不管是简单题还是难题，都要坚持做。第一步，读题，重点看关键条件，思考这道题考查的是什么知识点，出题人想考我们什么。第二步，动笔解题时，每走一步，都要有走这一步的依据，比如用这个公式的原因、这一步推导的逻辑等，确保每一步都有理有据，而不是凭感觉。第三步，做完题之后，回头复盘，思考有没有其他解法、更简便的解法，这道题的易错点在哪里，如果换个条件，解题思路会发生什么变化。
也许有人表示疑问，简单题也要搞这么多步骤？是的，都需要，这是一个方法论，从简单题练起，一直到解决复杂难题的锻炼过程，熟练了以后根本不会浪费时间，脑电波的传输没到浪费时间的地步。
04、错题订正更是锻炼思考方式的好机会，也是差生逆袭的关键。
如果订正时只会在错题本上写上正确答案，就觉得自己掌握了，那么你绝对错失了一次思考、提升的机会，下次再遇到类似的题，大概率还是会错。
正确的做法应该是这样的，错题到手，先不看答案，自己重新做一遍，找出自己错在哪里——是思路错了？公式用错了？还是计算粗心了？如果是思路错了，就重新梳理思路，把正确的思考过程一步步写下来，搞清楚“正确的思路应该是什么样的”“我为什么会走弯路”；如果是粗心，就思考“为什么会粗心”“以后怎样避免”。这样经过一段时间之后，错题越来越少，思考也越来越缜密。
05、思维方式的重要性
很多人觉得数学难，难就难在“想不到”，其实不是“想不到”，而是知识没有掌握牢固、没有融会贯通或者没有养成正确的思考习惯。遇到难题时很多人第一反应是“我不会”，然后就放弃了，或者直接翻答案。
正确的解决方法是学会用“拆解法”思考：先把难题拆成一个个小问题，先解决最简单的那个小问题，再一步步推导，比如“我现在知道什么条件”“我能求出什么”“从已知条件到所求答案，还差什么”，一步步拆解，慢慢就会找到解题思路。
还有一个很重要的思考方式，就是“举一反三”。学数学不是学一道题，而是学一类题，掌握了一种思考方法，就能解决一系列类似的题目。
第二部分实战示例
如何从课本基础知识出发，通过一步步延伸思考解决把关难题
其实考试中的难题并不是高不可攀，很多都来源于课本，从基本知识出发经过变形演变为所谓的难题。在这个过程中，能够感悟到什么是数学的逻辑和思维。
下面我通过高考真题实例来阐明思考过程，相信同学们应该能从中得到很好的启发。
乍一看这道题蛮复杂的，可能一下子难以找到思路，很多同学可能会用求导方法做，殊不知走入了误区。
下面我们看看如何从课本基础知识出发，通过一步步延伸思考，最后轻松解决这道把关难题。
1、课本最基础的知识点
我们先看教材上不等式的基本性质：设a，b是实数，若ab≥0，则a≥0且b≥0，或a≤0且b≤0。
这个知识点非常简单，相信同学们应该都掌握了。
2、每次多思考一点点
在上面的知识点上稍作延伸，问题1：若x·lnx ≥0，求 x 的取值范围。
这个题也是基本题，大家应该也都会，只需要x和lnx正负性相同就行了。先确定定义域为x>0，再分析判断x·lnx ≥0可等效看为求x·(x-1)≥0（x>0），f(x)=x·(x-1)是个二次函数，容易得出x的取值范围为x≥1。
我们继续做延伸思考，问题2：若(x+3)·lnx ≥0，求x的取值范围。
这道题也简单，同样的只需要满足前后两项（x+3）和lnx正负性相同就行。也是先确定定义域x>0，再根据求(x+3)·lnx ≥0可等效看为求(x+3)·(x-1)≥0（x>0），得出x的取值范围为x≥1。
如果把问题改成这样呢：若(x-3)·lnx ≥0，求x的取值范围。
解法相同，先确定定义域x>0，再根据求(x-3)·lnx ≥0可等效看为求(x-3)·(x-1)≥0（x>0），得出x的取值范围为x≥3或0<x≤1。
我们接着思考多跨一步，进一步地一般化，问题3：设a为实数，若(x+a)·lnx ≥0，求x的取值范围。
这时由于a是未知的，我们就需要进行讨论才能得到x的范围。分类讨论的依据怎么找呢？观察，当(x+a)与lnx均≥0时，解得x≥–a且x≥1。我们就需要讨论–a与1的大小，才能得到准确答案。
解析：第一步先确定定义域为x>0；第二步分析(x+a)·lnx ≥0，根据求(x+a)·lnx ≥0可等效看为求(x+a)·(x-1)≥0（x>0），然后讨论–a与1的大小关系，得出：
（1）-a=1即a=-1时，解得x>0；（2）当-a>1即a< -1时，解得0<x≤1或x≥-a；
（3）0<-a<1即-1<a<0时，解得0<x≤-a或x≥1；
（4）-a≤0即a≥0时，解得x≥1。
在上面问题的基础上思考延伸，问题4：设b为实数，若x·ln(x+b) ≥0，求x的取值范围。
这道题讨论的方法类似，同学们可以先思考一下再看下面的解析。
解析：第一步仍然是先确定定义域为x>-b；第二步分析x·ln(x+b) ≥0，求x·ln(x+b) ≥0可等效看做求x·(x+b-1) ≥0，然后讨论：
（1）b>1时：解得-b<x≤1-b或x≥0；
（2）b=1时：解得x>-b；
（3）b<1时：解得-b<x≤0或x≥1-b。
如果要更加一般化，题目还能怎么变呢？
问题 5：设a、b为实数，(x+a)·ln(x+b) ≥0，求x的取值范围。
解题思路与上面题目在本质是是一样的，只不过是讨论的略复杂而已。同学们可以先思考以下，看不能做出来，然后再看下面的解析。
解析：第一步先确定定义域x>-b；第二步分析，求(x+a)·ln(x+b) ≥0可等效看做求(x+a)·(x+b-1) ≥0，然后讨论：
（1）-a≤-b即a≥b，解得x ≥1-b；
（2）-b<-a<1-b即b-1<a<b，解得-b<x≤-a或x≥1-b；
（3）-a>1-b即a<b-1，解得-b<x≤1-b或x ≥-a；
（4）-a=1-b即a=b-1，解得x>-b。
继续加深思考，前面的问题都是求解不等式，如果我将不等式改为恒成立的问题呢？请看问题6：设a、b为实数，若(x+a)·ln(x+b) ≥0恒成立，问a、b满足什么关系？
同样地，我们还是通过分类讨论来解不等式，看如何才能恒大于等于 0。跟前几题思路一样，我们先确定定义域为x>-b；然后把不等式左边等效为二次函数f(x)=(x+a)·(x+b-1)，这个二次函数开口向上、两个零点为-a和1-b，可以发现只有两个零点重合时，二次函数才能恒大于等于 0，即-a=1-b，也就是b=a+1。
3、轻松解决高考难题
到了这里我们再回头看2024年高考单选题的把关题：
我们有了前面2的问题（1）到（6）的一步步演变，你就会发现这道高考难题也就是由两个部分组成的障眼法而已。前面的函数条件就是为了让你分析出b=a+1，自然地后面的最值问题也就可以通过消元变为简单的二次函数求解了。
试想一下，如果这道题把前面的障眼法去掉，直接给出b=a+1的条件，让你求a^2+b^2的最小值，那这就是一道简单题了，初中生都会做，也就没资格成为一道高考小把关题了。
这道题的思维意义在于打破思考误区，引导同学们回归教材，同时也启示同学们，当运用导数求解受阻时，要立即回头看，回归基本。若平时已经解决过上述的部分问题，那么这道题就是一道平常题。但如果同学们忽视了教材、平时思考锻炼不深入，这道题可能就击中了你的要害。
结束语
数学不是一门死记硬背的学科，而是一门需要思考的学科。你可以不用刷太多题，不用背太多额外的知识点，但一定要养成正确的思考方式。不用羡慕那些数学考高分甚至满分的同学，他们不是天赋比你高，而是比你更懂得怎么去思考、怎么去分析问题。
只要你改变自己的思考方式，听课时多问一个“为什么”，做题时多复盘、多拆解，遇到错题多反思，慢慢你就会发现，数学其实很简单，那些曾经让你头疼的难题，也会变得迎刃而解。
记住，学习数学最重要的是思考方式，找对了思考方式，你也能轻松学好数学，甚至拿到满分！
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