七下习题10.4:往返时间不同,怎样求上坡平路下坡?

教材原题｜习题10.4 拓广探索第5题

5. 甲地到乙地全程是3.3 km，由一段上坡路、一段平路、一段下坡路组成。如果保持上坡每小时走3 km，平路每小时走4 km，下坡每小时走5 km，那么从甲地到乙地需51 min，从乙地到甲地需53.4 min。从甲地到乙地时，上坡、平路、下坡的路程各是多少？

同学们，今天讲新人教版七年级下册数学第十章第111页的一道行程题。同一条路，去时与回来时走的距离一样，为什么用时不同？关键不在路变了，而在走路的方向变了。抓住这一点，三元一次方程组就有了清楚的来处。

先猜一猜

返程比去程慢了2.4分钟。你猜，从甲到乙时，是上坡路更长，还是下坡路更长？先记下自己的判断。等算出答案后，我们再用生活经验解释这个时间差。

01 · 路程不变，坡的方向互换

往返同一条路，哪些量变了？

从甲到乙时的上坡路，返回时就成了下坡路；去时的下坡路，返回时则成了上坡路。平路仍是平路，每段路本身的长度都没有改变。

设从甲到乙时，上坡、平路、下坡的路程分别为x、y、z千米。这三个字母一旦设定，就始终代表这三段固定的路，不能到了返程又偷偷换含义。

题目给出总路程，因此先列出最直接的关系：x＋y＋z＝3.3。要注意，3.3千米是单程，往返总路程才是6.6千米。

02 · 先统一单位，再把各段时间相加

怎样把速度变成每千米用时？

我们熟悉“时间＝路程÷速度”。本题时间用分钟、速度用千米每小时，列式前必须统一单位。可以把51分钟和53.4分钟换成小时，也可以换一种更好算的方式。

一小时是60分钟。上坡每小时走3千米，走1千米需要60÷3＝20分钟；平路每千米需要15分钟；下坡每千米需要12分钟。

这样，走x千米上坡用20x分钟，走y千米平路用15y分钟，走z千米下坡用12z分钟。去程总用时为51分钟，所以20x＋15y＋12z＝51。

03 · 字母含义固定，用时系数随坡向改变

返程方程，为什么要交换两个系数？

返程走原来的x千米路段时是在下坡，每千米用12分钟；走原来的z千米路段时是在上坡，每千米用20分钟。平路仍然每千米用15分钟。

于是返程方程是12x＋15y＋20z＝53.4。实际返回时先经过z路段，再经过y、x路段，但加法可以交换次序，按x、y、z排列更便于比较。

现在得到三个方程： x＋y＋z＝3.3，① 20x＋15y＋12z＝51，② 12x＋15y＋20z＝53.4。③

04 · 同系数作差，交换的系数求和

先相减，再相加：怎样巧妙消元？

观察②③：y的系数相同，x、z的系数正好互换。用③减②，平路用时就消掉了，得到−8x＋8z＝2.4，也就是z−x＝0.3。

再把②③相加，得到32x＋30y＋32z＝104.4。把①乘30，得到30x＋30y＋30z＝99。前一个式子减去后一个式子，就得到2x＋2z＝5.4，即x＋z＝2.7。

现在知道上、下坡路程的和是2.7千米，差是0.3千米。两式相加，得2z＝3，所以z＝1.5；再求出x＝1.2，y＝3.3−2.7＝0.6。

本题答案：上坡1.2千米，平路0.6千米，下坡1.5千米

这里的上坡、下坡，都是按“从甲到乙”的方向说的。若问从乙到甲，则上坡是1.5千米，下坡是1.2千米，平路仍是0.6千米。

为什么这次先求“和与差”？

这并不是碰巧凑出的算法。平路在往返中的速度相同、路程相同，所以用时也相同。把两次总用时相减，留下的就是坡路方向变化造成的时间差，因此适合比较两段坡路谁长、谁短。

把两次用时相加，则每一段坡路都恰好经历一次上坡、一次下坡。无论它原来叫上坡还是下坡，每千米往返所需的时间都一样，于是可以把两段坡路合并看待。

如果一开始没看出这个特点，也可以由路程方程表示出平路的长度，再代入两个时间方程，消去平路这个未知数。这同样能解出来。消元的核心是逐步减少未知数，观察系数只是让计算更简洁。

怎样检验三段路程都符合题意？

先看总路程：1.2＋0.6＋1.5＝3.3千米。再看去程：1.2×20＋0.6×15＋1.5×12＝24＋9＋18＝51分钟。

返程则为1.2×12＋0.6×15＋1.5×20＝14.4＋9＋30＝53.4分钟。三条条件全部符合，三个路程也都为正数，答案成立。

为什么返程更慢？原来较长的1.5千米下坡变成了上坡，较短的1.2千米上坡变成了下坡。每千米上、下坡用时相差8分钟，净增加的用时就是（1.5−1.2）×8＝2.4分钟。这也解释了开头的猜想。

高频失分点

不要把去程的上坡距离与返程的上坡距离当成同一个量；不要把分钟直接代入以小时为单位的时间公式；也不要把三个速度相加取平均，再用总路程去除。不同路段的长度和用时不同，应该分别算时间，再求和。

名师方法｜固定路段，比较往返

先按一个方向设路程，让字母含义保持不变；再用“路程和”与两个“时间和”列方程；最后观察系数，选择相加或相减消元。解完既要代回三个条件，也要说明上、下坡对应的行走方向。

当堂检测

1. 本题返程的上坡路长多少千米？ 2. 上坡与下坡，每走1千米相差几分钟？ 3. 若去程上坡与下坡等长，往返用时会相等吗？

想好再看：1.5千米；8分钟；会相等，因为两段坡路交换速度后，总用时不变，平路用时也不变。

内容依据：新人教版七年级下册数学第十章第111页，习题10.4“拓广探索”第5题。

方向改变时，先问：什么变了，什么没有变？