每日一题第2889题(2026年全国高中数学联赛江苏选拔赛复赛解答13)

思路简析‍‍‍

今天的题目是今年的高联江苏选拔赛复赛的解答题的第13题，难度中等。

题干中给出了开口向上的抛物线，然后过抛物线内一点P(1,1)作直线和抛物线相交于A,B，那么联立之后就可以得到x1+x2，x1x2，另外，联立的时候消抛物线的一次项，计算更简单，所以设直线肯定是y=kx+……的形式。然后就是切线的表示，因为是开口向上的抛物线，所以切线的斜率可以直接求导计算，然后把两条切线方程表示出来，联立之后就可以得到Q点坐标了，那么第一问也就解决了。

第二问给出了PQ和抛物线交于CD两点，然后AB和CD的中点M,N的连线要过定点，那么肯定要先把两个中点坐标表示出来，根据第一问的结果很容易表示出M点的坐标。N点坐标也应该是根据P,Q两点把直线方程写出来，然后再联立韦达。但是这里注意，求N点坐标的过程和M点是一样的，所以直接把最终结果里面的斜率换了就行了。然后直接根据点的坐标写方程，根据方程写定点。不过需要注意的是，不要在中途就把两个直线的斜率直接统一为一个参数k，这样写出来的方程就会很复杂，不太好看出定点是哪个点。