由一道分数除以整数习题谈两种算法的对比思考

分数除以整数，是学生认识分数除法算理的起始课，也是打通整数、小数、分数除法内在一致性的关键内容。教学这道例题时，除了教材给出的思路，不少学生会自己想到先通分再计算。两种算法都能算出正确结果，但在揭示分数除法本质、帮助学生建立统一的运算认知上，教学价值并不完全一样。下面结合4/5 ÷ 3 这道例题谈谈我的思考。

这道题目是把4/5 公顷土地平均分给 3 个种植小组，求每个小组分得多少公顷，列式就是 4/5 ÷ 3。教材借助图形直观，引导学生理解：把一个数平均分成三份，就是求这个数的 1/3，由此推导出分数除以整数（0 除外）等于乘这个整数的倒数，也就是 4/5 ÷ 3 = 4/5 × 1/3 = 4/15。

但经常会有学生冒出不一样的想法。有学生会先把4/5 通分转化成 12/15，再用分子直接除以 3，也就是 12/15 ÷ 3 =（12 ÷ 3）/15，最后同样算出 4/15。细细琢磨就会发现，这个由学生自主生成的通分思路，恰恰体现了除法最本源的意义。

先看通分之后再平均分的思路。4/5 代表 4 个 1/5，现在 4 个这样的计数单位没办法刚好平均分成三份。学生主动把它转化成 12 个 1/15，计数单位的个数就能够被 3 整除。一共有 12 个 1/15，平均分给三组，每组就得到 4 个 1/15，结果就是 4/15。

这个思路，和之前学过的整数、小数除法是一脉相承的。无论是整数除法分几个“一”，小数除法分几个“0.1”，还是这里分几个“1/15”，运算的内核其实是一件事：先保证计数单位相同，再对计数单位的个数进行平均分，这就是新课标提到的运算一致性。学生把陌生的分数除法，转化成已经熟悉的整数除法，新旧知识自然就连在了一起。当然，这种方法也有局限，遇到复杂数字大量通分会比较麻烦，后续学习分数除以分数的时候计算起来并不简便，它不是万能的通用算法。

再看教材“乘倒数”的方法。借助图形可以让学生看懂，平均分三份，等价于求原数的三分之一。这个方法优势很明显，属于分数除法的通用法则，不管是分数除以整数，还是后面分数除以分数，都可以直接使用，不需要反复通分，计算更加简洁，也是学生后续学习分数应用题最重要的工具。但如果教学直接从这里切入，很容易出现问题，不少学生只是死记硬背“除以一个数就乘它的倒数”，记住了操作步骤，却并不明白背后平均分的道理，知其然而不知其所以然。

对比下来不难发现，从揭示除法本质这个角度来说，通分思路，更利于学生抓住分数除法的本源；教材当中乘倒数，则是经过抽象之后得到的通用、简便的计算方法。二者并不是非此即彼，而是层层递进的关系。

教学的时候，我们可以放手让学生独立尝试计算4/5 ÷ 3，给学生画图探究的机会。不少学生会先试着直接拿分子 4 除以 3，发现不能整除，产生认知冲突，这时就会自然思考，能不能换更小的计数单位。抓住这个契机，引出通分均分的思路，带领学生感悟所有除法其实都是平均分计数单位。