【习题研讨】125. 飞行考中的压轴题立意很高:积跬步,至千里!为什么不能表示 2026而 2025 又如何表示?

已知 ，其中 ，. 

求证： 不能表示成此形式； 能表示成此形式.

(题目来自哈老师公众号)

 不定方程无解可以用模算术来证明，毕竟两边取模后互不同余，原方程也不可能有解.  需要注意到的是 ，因此对于任意的  都有 .

, .  模  我们有

而 ，所以  不可表示.

 为方便，我们称可以用  表示出来的数为好数.  记

我们先全部取 , 得到的 是好数. 全部取 , 得到的  是好数.  接下来我们从所有数是  开始，将若干个 从  变为 ，不妨记这些项的下标之和为  ，则  可表示的数由  变为 . 

接下来我们可以说明  可以取到  到  中的任意正整数.  也即，从   适当选取若干个不同的数求和，可以得到  到  中的任意正整数. 

下面证明：从  中选取若干个不同的数求和，可以得到  到  之间的任意正整数.

首先，选取 ，可以得到和 .

假设已经选出若干个不同的数，其和为 . 下面说明，适当调整选法，就可以得到 .

若  尚未被选中，直接选入 ，总和就变为 .

若  已被选中，由于 ，必有数尚未被选中. 设最小的未选中的数为 ，则 ，且  都已被选中. 将其中的  换成 ，总和恰好增加 ，且所选各数仍互不相同.

因此，只要当前的和小于 ，就能通过增加一个数或将一个数向后平移一位，使总和增加 . 从和为  开始，便能依次得到 ；最后将所有数全部选入，所得的和就是 .

一个下标也不选时，；结合上面的证明， 可以取遍  到  之间的所有整数。因此， 可以依次取到

。

由于  是  的倍数，这些数恰好是  到  之间的所有  的倍数，即  到  之间的所有  的倍数.

 是  的倍数，且在上述范围内，因此可以表示成题目要求的形式. 

说白了，虽然避开了数学归纳法，但这本质还是归纳---这正是积跬步，至千里的意思！