八上习题13.1:五个点能组成几个三角形?怎样数不漏

教材原题｜习题13.1 拓广探索第5题

5. 如图，已知点A，B在直线a上，点C，D，E在直线b上。以点A，B，C，D，E中的任意三点作为三角形的顶点，一共可以组成多少个三角形？分别写出这些三角形。

同学们，进入八年级，我们不仅要认识三角形，还要学会有条理地研究图形。这道题看起来像数数，真正考查的是两个问题：什么样的三个点能组成三角形？怎样保证数出来的结果既不重复，也不遗漏？先抓住条件，再按规则选点，答案就会很清楚。

先猜一猜

五个点里任取三个，都能组成三角形吗？如果先写了三角形ABC，后来又写三角形BAC，这是两个三角形，还是同一个？先想清楚这两件事，再动笔列举。

01 · 先辨共线，再谈计数

先过第一关：三个点必须不在同一直线上

三角形由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成。选择顶点时，要选三个不共线的点。三点若在同一直线上，连接后不能围成三角形。

观察原图，C、D、E都在直线b上，所以它们不能组成三角形。图中A、B在另一条直线上，并且都不在b上；C、D、E也不在直线a上。后面讨论都以题图的位置关系为依据。

注意，题目并没有说直线a与b平行，我们也不需要假设它们平行。决定能否组成三角形的关键是所选的三个点是否共线，而不是两条直线看起来是否平行。

02 · 按一条直线上选几个点来分类

怎样分类，才能从根本上避免漏数？

每个三角形需要三个顶点。图中直线a上只有A、B两个给定点，因此一个三角形从a上选点，只可能选一个或两个。

若从a上一个点也不选，就只能选C、D、E，它们共线，不成立；若想从a上选三个，又没有足够的给定点。因此，所有有效情况恰好分成两类：a上选两个、b上选一个；a上选一个、b上选两个。

这两类不会重复，因为一个三角形在a上的顶点数不可能既是一个又是两个；也不会遗漏，因为其余选点方式都已经排除。

03 · 固定两个点，第三个点依次选

第一类：选A、B，再从C、D、E中选一个

直线a上的两个点只能是A、B，没有别的选法。第三个点依次取C、D、E，得到三个三角形： △ABC，△ABD，△ABE。

可以把AB看作共同的一条边，让第三个顶点沿b依次换位置。每换一个顶点，就得到一个新的三角形。这一类一共3个。

04 · 一个固定点，配齐三组点对

第二类：先选A或B，再从C、D、E中选两个

先固定A。直线b上的两点可以选C和D、C和E、D和E，一共有三种搭配，得到△ACD、△ACE、△ADE。

再固定B，同样配上CD、CE、DE，得到△BCD、△BCE、△BDE。因此第二类有3＋3＝6个。

选择b上的两点时，要把三种搭配写齐。不能只选相邻的C、D与D、E，把C、E漏掉。D虽然在线段CE上，却不是△ACE的顶点；它的存在不会妨碍A、C、E组成三角形。

完整答案：一共9个三角形

两类合计3＋6＝9。分别是： △ABC、△ABD、△ABE； △ACD、△ACE、△ADE； △BCD、△BCE、△BDE。

按这个顺序写，前三个都含A、B，中间三个只含A，最后三个只含B。每个名称都对应不同的一组三个顶点，核查起来很方便。

高频失分点：顺序改变，不是新三角形

△ABC、△ACB、△BAC的顶点都是A、B、C，表示同一个三角形，不能重复计数。本题没有涉及顶点对应关系，列名称时统一按字母顺序书写，可以减少这种重复。

也不要只数原图已经画出的封闭区域。题目允许把给定点选作顶点后再连线，问的是能组成多少个三角形，不是已有线条围出了多少块区域。

换一种检查法：列出全部三点组合，再排除

不用学习新的计数公式，也能有序列全。先写含A的组合：ABC、ABD、ABE、ACD、ACE、ADE，共6组；再写不含A但含B的：BCD、BCE、BDE，共3组；最后是不含A、B的CDE，共1组。

五点选三点共有10组，其中只有CDE共线，排除这一组，还剩9组。这个检查法与前面的分类结果相同，说明答案相互吻合。

列组合时，固定第一个字母后，只从它后面的字母继续选。这样不会又把BAC写进来，也不容易漏掉CE这样的非相邻搭配。

名师方法｜能不能、怎么分、如何列、怎样查

先用不共线判断能否成三角形；再按一条直线上选几个点分类；每类固定部分顶点，有序列举剩余点；最后核查有没有共线的无效组合和不同顺序造成的重复。先讲清为什么数全了，比只报一个数字更重要。

动手连一连：图形大小不同，也各算一个

建议先在草稿纸上保留五个点的位置，每次只突出一个三角形的三条边。画完就写名称，再换下一组点。不要把所有线一次画满，否则交叉线太多，容易把线段的交点误当成题目给定的顶点。

还要记住，题目没有要求三角形大小相同，也没有要求它们互不重叠。一个三角形包含另一个的一部分，并不影响分别计数。只要顶点来自给定五点、三点不共线，而且这组三个顶点之前没有算过，就应保留。

当堂检测

1. 为什么不计△CDE？ 2. 点D在CE上，会影响△ACE成立吗？ 3. 若去掉E，只保留原图中的A、B、C、D，能组成几个三角形？

想好再看：三点共线；不会，D不是它的顶点；4个，分别为△ABC、△ABD、△ACD、△BCD。

内容依据：新人教版八年级上册数学第十三章《三角形》第4页，习题13.1“拓广探索”第5题。

分类不重不漏，数图才有把握。