每日一题第2893题(2026年全国高中数学联赛新疆预赛解答10)

思路简析‍‍‍

今天的题目是今年的高联新疆预赛的解答题的第10题，难度中等。

题干中给出了P点的生成方式，实际就是在三角形PF1F2中，PA是角平分线，并且有PF2=根号2·AF2，那么另一半的比例PF1/AF1也就出来了，再把具体的长度表示出来，消掉A点的坐标，剩下的就是P点的轨迹方程了。

第二问给出PA和椭圆交于另一点Q，要求三角形OPQ的面积最大值，这个面积的表示肯定就不用PQ作为底边了，想想就知道计算量肯定很大，结合PQ与x轴交于A点，并且第一问已经把A点求出来了，所以肯定通过OA和|y1-y2|来求面积，而y2直接通过联立，韦达定理就可以表示出来。那么面积里面就只剩P点的横纵坐标x0,y0了，再通过椭圆方程把x0,y0进行统一，然后根据最终得到的式子求导找最值。不过这个求导计算也比较麻烦，导函数的分子需要试根，要找到-1和1/3这两个特殊根才可以分解完成。