在基础四则运算里,七个理由说明除法的特殊性

在基础四则运算里，除法和加减乘相比，有其特殊性。

四则指加、减、乘、除。加减是一对互逆运算；乘除是一对互逆运算，但除法和加减乘运算性质差异很大，这就是它特殊的根源。

一、加法、减法、乘法：在整数范围内是封闭的，总能得出整数结果

加减乘除都是相同计数单位的运算，这是保证四则运算的一致性的根基。“整数+ 整数 = 整数”，“整数× 整数 = 整数”，只要两个整数相加、相乘，结果一定还是整数；减法稍有不同，“整数− 整数”一定也是整数，但可能得到0，更可能是是负数，由于小学只简单认识负数，不学负数运算，在小学范围内，是不能解决不够减的问题的，因此，在学习有理数之前，会觉得减法也容易受限，但受限范围仅仅在于“不够减”的问题。

二、除法运算最极端

1.除法必须扩大数系

除法自带两项功能，平均分和包含除，在“整数÷ 整数”时，结果不一定总是整数，就像5÷2，把5平均分成2份，尽管可以分，但必须突破整数范围，也就是说，在整数范围内，常常会没有答案，必须引入小数、分数。

加法乘法，是“合并、累积”，但除法是拆分、分配，拆分不一定刚好分完，会出现余数、分数；分配也不一定正好够分，也会出现余数。

2.除数对于0不兼容

它还存在加简乘所没有的限制条件，就是除数不能为0，如果除数是0，则该除法算式在算理上讲不通，在算法上也不会有固定唯一的解，所以一般称之为没有意义。加减乘没有这个硬禁令，任何数加0、减0都等于原数，任何数乘0都等0，这些加减乘对于0，不仅都能算，而且有确定结果，是有意义的。

除数= 0时，找不到一个数，乘0能得到被除数，如果允许0做除数，则就会破坏乘除法是互逆规则，该运算就不能自洽，因此算式无意义，这是四则运算独有的限制。

3.除法不满足交换律

加法、乘法满足交换律，a+b=b+a，a×b=b×a，但减法不满足交换律，a-b≠b-a，只是在学生学习过程中没有那么大的感受而已，因为在正整数范围内，a-b＞0，则一定会出现b-a＜0，在小学生视角，这就是不够减，因此也就不会进行往下操作。

除法不满足交换律，a÷b≠b÷a，则与减法完全不是一回事，除法的位置有明确角色：被除数（要分的总量）、除数（分几份/每份多少），两个角色不能互换。

4.一套符号a÷b，两种意义

除法自带两层含义，这是小学数学最难的地方，平均分表示：12个苹果，平均分给 3人，12÷3=4，这是除法的基本模型“已知总量、份数，求每份”；包含除表示：12个苹果，每人分3个，可以分给几人，12÷3=4，这是另一个模型“已知总量、每份，求份数”，同一个除法算式，对应两种现实模型；加法乘法一般只有一种理解方式。

5.除法等价于乘倒数，形式上破坏直观

到高年级分数阶段，a÷b=a×1/b（b≠0），除法本身不好直接口算，数学上经常需要转化成乘法来计算。因此，在复杂计算问题中，许多教师经常告诫学生，如果不到万不得已，不直接计算复杂除法，一定要找一找方法，看看有没有突破口，把除法转化为乘法进行运算，这也是巧算的主要类型之一。加法减法很少需要这样“换一种运算来转化”。

6.连除性质容易混淆

连加a+b+c = a+（b+c）、连乘a×b×c=a×（b×c）运算规律，不会考虑在添加上括号的时候需要变运算符号，减法需要变，但相对好理解，而除法运算不仅需要变运算符号，a÷b÷c = a÷（b×c），而且算理复杂抽象，是学生最难过的门槛之一。

7.在笔算中，除法运算需要从高位算，而加减乘则是从低位算

口算减减乘除都不关注数位问题，因为简便，也不需要太关注计数单位在运算中的作用，而一旦需要笔算，加乘进位、减法退位都只服从从低位流向高位，也就是说加乘法运算进位需要向高位进，减法退位也需要向高位借，这就决定了加减乘从低位算起是最完美的做法，而不是数学法则的硬性规定。

除法则相反，不论是现实还是理论，人们平均分总是先从大数分起，如果有余数，再和下一位的合在一起平均分，直至分到最后，无论有没有余数，都会得到相应的结果。如果从低位分，不管能不能平均分，也不能保证高位是不是能够平均分，如果不能，就必须重新和高位的余数以及其下一位的数合在一起平均分，这样，原来平均分的劳动就毫无意义了，因此，人们就从高位一步步分下去，运算方向和余数流动方向一致，计算最简单。

算法的特殊也决定了竖式的特殊，完全不是加减乘的模样。

因此，除法从高位算起，不是除法规则硬性规定，“必须从高位算”是十进制笔算除法的最优选择。

小结：

加法、乘法是聚合运算，结果稳定；减法只是“反向加法”，在整数体系内总能算出结果；除法是分配运算，它的特殊性集中在：整数相除结果不一定是整数；除数不能为0；被除数、除数不能交换；有平均分、包含除两种模型，计算需要转化为乘倒数。除法会直接跳出整数集合，逼迫数学扩充数系到小数、分数和有理数，从数学体系发展角度看，它的影响远大于减法。