高中物理|板块模型中摩擦生热Q与木板动能增量的大小(倍数)关系

问题情景

一木板质量为 ，静止在光滑的水平地面上， 时，一物块（可视为质点）质量为 ，以大小为  的速度水平滑上木板的左端，物块与木板的接触面粗糙。探究：系统因摩擦产生的热量  与木板增加的动能  之间的大小（倍数）关系。

探究

一、木板是否足够长

1. 木板足够长时

物块与木板能够达到共速状态，共速时速度为 。

（1）公式法

相对运动过程：

产生的热量：

对木板，由动能定理得：

因 ，故二者关系为：

注：相当于在比较  与  二者的大小关系。

（2）图像法

根据图像很容易得到：

结合动能定理可得：

2. 木板长度有限，以至于木板不能和物块共速而滑离

物块滑离开木板时，物块速度为 ，木板速度为 。

（1）公式法

相对运动过程：

产生的热量：

对木板，由动能定理得：

因 ，得：

故二者关系为：

（2）图像法

根据图像得：

再结合动能定理可得：

二、物块与木板的质量关系

1. 当  时

（1）物块与木板能共速，共速时的速度为 

①公式法

由动量守恒得：

得：

相对运动过程：

产生的热量：

对木板，由动能定理得：

因 ，故二者关系为：

②图像法

根据图像得：

再结合动能定理可得：

（2）物块与木板不能共速，当  时，相对运动过程中物块和木板的加速度相等。

图片

根据图像得：

再由动能定理可得：

2. 当  时

（1）物块与木板能共速，相对运动过程中物块的加速度大于木板的加速度。

根据图像得：

再由动能定理可得：

（2）物块与木板不能共速

根据图像得：

再由动能定理可得：

3. 当  时

（1）物块与木板能共速，相对运动过程中物块的加速度小于木板的加速度。

根据图像得：

再由动能定理可得：

（2）物块与木板不能共速

根据图像得：

、 大小关系不确定

再由动能定理可得：

、 大小关系不确定，无法比较。

应用示例

（2026·湖南模拟）如图所示，在光滑水平面上静止放置一木块，一子弹水平射入木块并穿出。已知子弹在木块内运动过程中受到的阻力大小不变，子弹的质量小于木块的质量，则子弹从木块穿出后（　　）

A．系统产生的热量一定等于木块的动能

B．系统产生的热量一定小于木块的动能

C．系统产生的热量一定等于木块动能的 2 倍

D．系统产生的热量一定大于木块动能的 2 倍

解析：

由于子弹的质量小于木块的质量，由牛顿第二定律可知，子弹的加速度大于木块的加速度，子弹和木块的  图像如图所示，在子弹穿过木块的过程中，设子弹和木块的位移分别为 、，设子弹在木块内运动受到恒定阻力  的作用，木块的长度为 ，由功能关系知系统产生的热量 ，木块的动能 ，由图可知 ，则 ，故选 D。

总结

无论木板长度是否足够长，系统因摩擦产生的热量  均大于木板增大的动能。

而  与  的大小关系，则取决于物块与木板的质量关系及二者能否共速：

（1）当  时，物块与木板的加速度相等：若木板足够长、二者能共速，则 ；若木板长度有限、物块滑离木板，则 。

（2）当  时，物块的加速度大于木板的加速度：无论二者能否共速，均有 。

（3）当  时，物块的加速度小于木板的加速度：二者能共速时，；不能共速时， 与  的大小关系不确定，无法直接比较。

综上，判断  与  的倍数关系：公式法关键在于比较相对位移  与木板位移 （或 ）的大小；图像法关键在于作出  图像，比较  与 （或 ）对应面积的大小，两种方法殊途同归、相互印证，其中图像法更简洁、更直观一些。