高中物理模型&知识总结 200 例|第 15 期 小船渡河问题

小船渡河问题

适合：【高一同步】【高三一轮】

一、模型识别

船在水里走，水自己也在走。船对地的运动，是"船对水"与"水对地"两个运动的合成。船上的人只觉得船在直着开，岸上的人看到的是条斜线。

识别信号：

• 题面出现"河宽""水流速度""船在静水中的速度"这三个量
• 问"最短时间过河""最短位移过河""能否到达正对岸"
• 只给两个速度、一个宽度，要求合运动——典型的运动的合成与分解
• 关键区分：船头指向说的是相对水的速度，实际航线是合速度方向，两者一般不重合

二、核心规律

第一步：速度合成

记水速为 、船在静水中的速度为 ，船相对地面的速度

设船头与上游河岸的夹角为 ，沿河取下游为正、垂直河岸指向对岸为正，两个分量是

第二步：渡河时间只看垂直分量

这是全章最要紧的一句话：水速再大也不改变渡河时间，它只负责把你往下游拖。

第三步：最短时间——船头垂直河岸

 时  最大：

此时航线斜向下游，实际路程大于河宽。这叫"时间最短"，不是"路程最短"。

第四步：最短位移——分两种情况

 大于  时，合速度可以垂直于河岸，船能沿垂直航线到达正对岸：

 小于  时，合速度无论怎么调都偏向下游，垂直航线根本走不成。使位移最小的船头方向满足

这一条不用死记，从速度三角形与位移三角形相似直接读出来：位移与合速度同向，河宽与垂直分量同向，两个三角形对应边成比例，比值都是同一个渡河时间。

一句话：船头管"相对水"，水速管"整体拖"，渡河时间只看垂直河岸的那个分量。

三、例题 1（基础 · 同步）

题河宽 ，水流速度 ，船在静水中的速度 。求：（1）最短时间过河需要多久，船沿河漂移多远；（2）最短位移过河时船头指向哪里，用时多少。

解

（1）船头垂直河岸，垂直分量就是 ，水速只影响漂移：

实际路程为 ，比河宽多出 20 m。

（2） 大于 ，合速度可以垂直河岸，航线就是正对岸那条线。设船头与上游河岸的夹角为 ，让沿河分量恰好抵消：

垂直河岸的分量

答案（1），向下游漂 ；（2）船头偏向上游、与河岸成 ，用时 ，位移就是河宽 。

两种走法摆在一起：最短时间 24 s 却要走 140 m，最短位移 120 m 却要多花 6 s。"最短"永远只对某一个量成立，题目问哪个就优化哪个。

四、例题 2（难度）

题河宽 ，水流速度 ，船在静水中的速度只有 。求：（1）船能否沿垂直河岸的航线到达正对岸；（2）最短位移过河时船头指向哪里，位移多大，用时多少；（3）若船头始终垂直河岸，渡河时间和靠岸点位置又如何。

关键步骤

第一步判断能不能垂直过河，只看沿河分量能不能归零。要垂直过河就得 ，即 。余弦不可能大于 1，所以无论船头怎么指都到不了正对岸。船速不够，这是死结，不是技术问题。

第二步求最短位移。让船头斜向上游，位移随船头方向变化，最小的那一处出现在合速度与船速垂直时——速度三角形里，从  的末端向"以  为半径的圆"作切线，切点就是最优船头方向。

此时

 仍是船头与上游河岸的夹角。合速度的大小

垂直河岸的分量是 。位移三角形与速度三角形相似，于是

渡河时间同样只用垂直分量算：

第三步（3）船头垂直河岸，就是不问航线、只管尽快到对岸：

答案（1）不能，沿河分量无法抵消；（2）船头偏向上游、与河岸成 ，位移 ，用时 ；（3），靠岸点在下游  处。

两个 200 m 不是笔误。（3）的漂移量等于 （因为 ），（2）的最短位移也等于 ，同一个式子，两种含义：一个是贴着河岸量，一个是斜着量。区别在方向，不在数字。

五、易错点

• 船头方向不是航线方向：船头是相对水的速度，航线是合速度。例 1 第（2）问船头偏向上游 53°，实际航线却是垂直河岸的。
• 渡河时间与水速无关：只由垂直河岸的分量决定。对比例 1 和例 2，水速从 3 提到 5，最短时间始终是 ，变的是漂移量。
• 最短时间不是最短位移：例 1 中 24 s 对应路程 140 m，30 s 对应位移 120 m。两个"最短"指向不同的量，题干问哪个就答哪个。
• 船速小于水速时不存在垂直航线：例 2 第（1）问的判据是  能不能取到，不是"船头再偏一点就行"。此时  给的是最短位移的条件，别当成垂直过河的条件套。
• 最短位移时合速度与船速垂直，不是船头指向正对岸偏一点。画速度三角形作切线，一眼就看出来。
•  的基准是上游河岸：写成与下游河岸的夹角， 的符号整个反掉，漂移方向也会跟着错。

一句话总结

小船渡河一句话：船头定"相对水"的速度，水速负责把人整体往下游拖；渡河时间 = 河宽 ÷ 垂直分量；船速够大就垂直过河，不够大就取速度三角形相切。