八上习题18.4:倒数幂怎样求值?十亿人数一滴水要多久?

教材原题｜习题18.4 拓广探索

7. 已知x＋x⁻¹＝3，求x²＋x⁻²，x⁴＋x⁻⁴的值。

8. 通常分子的质量和体积都很小，已知1个水分子的质量是3×10⁻²⁶ kg，1滴水（以20滴水为1 g计）中大约有多少个水分子？假设10亿人来数1滴水中的水分子，每人每分钟数100个，日夜不停，大约需要多长时间才能数完？

同学们，负指数既能表示倒数，也能把极小的量写得简洁。今天第一题要抓住互为倒数的两个整体，第二题则要把极小的分子质量与极大的分子数量联系起来。它们都提醒我们：先看清结构和单位，再开始计算。

先猜一猜：人多，就一定能很快数完吗？

十亿人一起数，每人每分钟数一百个，已经是十分庞大的计数队伍。但水分子极小，一滴水里可能有惊人的数量。先猜结果是几天、几年，还是几百年，再用题目给出的数据检验。注意，题目说的是每分钟，不是每秒。

01 · 抓住互为倒数，乘积等于一

第7题分析：负指数表示倒数，不表示负数

因为x⁻¹＝1/x，所以x必须不等于零。x与x⁻¹的乘积等于一；x²与x⁻²的乘积也等于一。这两个“一”，正是连续使用完全平方公式的关键。

我们知道两个数的和，要求它们平方的和，可以把已知的和平方，再减去两数乘积的二倍。不需要先解出x，也不要把和的平方误写成平方的和。

第7题解答：先得到7，再得到47

解：∵ x＋x⁻¹＝3，且x≠0， ∴ x²＋x⁻² ＝（x＋x⁻¹）²－2x·x⁻¹ ＝3²－2 ＝7。 又∵ x²·x⁻²＝1， ∴ x⁴＋x⁻⁴ ＝（x²＋x⁻²）²－2x²·x⁻² ＝7²－2 ＝47。

第一步把x与它的倒数看成两个整体，第二步把它们的平方看成两个新整体。公式没有换，只是整体换了。每一次平方后都要减去二，而不是只在第一步减二。

02 · 总质量除以单个质量，单位必须一致

第8题：先统一质量单位，再求分子个数

题目给出的分子质量以千克为单位，水滴质量却通过克给出。两者不能直接相除，必须先统一单位。这里按题设二十滴为一克计算，不把这个数当成所有实际水滴都适用的精确质量。

一滴水的质量为 1/20 g＝0.05 g＝5×10⁻⁵ kg。 分子个数＝一滴水的质量÷一个水分子的质量。 因此，N≈（5×10⁻⁵）÷（3×10⁻²⁶） ＝（5/3）×10²¹ ≈1.7×10²¹（个）。

为什么指数会从负数变成正数？

同底数幂相除，指数相减，所以－5－（－26）＝21。减去负数相当于加上正数。水滴虽然很轻，但单个分子的质量更小，用小量除以更小的量，结果完全可以很大。

写科学记数法时，要让前面的数大于或等于一且小于十。本题的五除以三约为一点七，已经符合要求。因为题目是在估算，我们使用近似号，不把这个数量写成精确的分子计数。

十亿人一起数，每分钟能数多少个？

10亿＝10⁹，100＝10²。 全体每分钟计数为 10⁹×10²＝10¹¹（个）。 所以所需时间约为 t≈［（5/3）×10²¹］÷10¹¹ ＝（5/3）×10¹⁰（分钟）。

人数越多，总计数速度越快。这里先把所有人的速度合起来，再用总数量除以总速度。不要用分子总数乘人数，也不要只除以一百而忘记十亿人同时工作。

换算成年：大约需要3.2万年

按1年365天计， 1年＝365×24×60＝525600（分钟）。 所以t≈［（5/3）×10¹⁰］÷525600 ≈3.17×10⁴（年）。 答：一滴水中约有1.7×10²¹个水分子；按题设速度日夜不停地数，大约需要3.2万年。

这里沿用未提前四舍五入的系数三分之五来计算，避免中间近似积累。日夜不停意味着每天按完整的二十四小时计算，不另扣睡眠、休息时间。这个模型用于感受数量级，不是现实中逐个数分子的操作方案。

失分提醒：单位错一步，答案可能差很多

把克直接当千克，分子数会放大一千倍；把每分钟看成每秒，估计时间会缩短六十倍；把十亿写成十的十次方，又会多算十倍的计数速度。每写一个中间结果，都在旁边标上单位，比最后猜答案是否合理更可靠。

用反向计算检查数量级

每分钟能数十的十一次方个，一年约有五十多万分钟，因此一年能数的数量约为五乘十的十六次方个。要达到一滴水中十的二十一次方这个量级，仍然需要几万年。这样的粗略反算虽然不能代替规范解答，却能帮助我们及时发现少写几个零、指数减错或时间单位用错的问题。

名师方法｜代数看整体，估算看单位

求倒数幂的和，先找乘积为一的结构，再连续使用完全平方公式。面对极大、极小的量，先统一单位，再把系数与十的幂分别计算，最后转成便于理解的时间尺度。一个解决结构问题，一个解决数量级问题。

当堂检测

1. 若y＋y⁻¹＝4，求y²＋y⁻²。 2. 若计数人数不变，每人每分钟改为数二百个，所需时间怎样变化？ 3. 能否说任意一滴水都恰好含有上述数量的水分子？

想好再看：第一题为十四；第二题总速度加倍，时间减半，约一点六万年；第三题不能，这是按题设水滴质量和分子质量算出的近似结果。

内容依据：新人教版八年级上册数学第十八章《分式》第163页，习题18.4“拓广探索”第7、8题。