让探究在课前发生

——小学数学前置性探究任务的设计原则与案例

李从刚

（五莲县北京路小学，山东日照）

摘要：前置性探究将课时闭环的起点由课前预习转变为课前探究，学生在具象情境中操作、记录并形成疑问，带着尚未完成的探究成果进入课堂。此类任务的设计需同时具备具象情境、操作支架与疑问留白三个板块，并遵循情境性、逻辑性、挑战性、留白性与可产出性五项原则。文章结合数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践四个领域的案例，说明上述原则在课前十余分钟内的落实方式，并就任务难度、清单使用、错误容忍与时间控制提出实施建议。

关键词：前置性探究；小学数学；任务设计；课时闭环；以学定教

引言

一节课的完整闭环通常被划分为课前、课中、课后三个阶段。三者之中，课前阶段最容易被处理得单薄：或者留空，或者由预习填满。日常所说的预习，多为读一遍教材、抄一遍例题、完成几道配套练习，学生带进课堂的是标准答案的模糊版本，而非自己的经验与疑问。前置性探究所要改变的正是这一段的处理方式：不提前讲授，而让学生提前接触。学生在具体可感的情境中操作、记录、遇阻，带着尚未完成的成果乃至错误进入教室。

一次合格的前置性探究，需要三个板块同时在场。情境承担唤醒功能，将学生已有的生活经验呈现出来；支架承担支撑功能，使探究得以落为具体操作，否则“你去研究研究”之类的指令只会令学生无从下手；留白承担释放功能，问题、步骤与结论均不预先规定。三者若有缺失，任务便会变形：有情境而无支架，探究流于旁观；有支架而无留白，探究退化为按指令完成的操作；只有留白而无情境，学生则不知从何处着手。

以下先论述设计原则，再以四个领域的案例说明原则的落实方式。

一、设计原则

（一）情境性

前置性探究任务的首要设计原则是情境性，即任务不应以赤裸裸的知识点或技能要求呈现，而应嵌入学生熟悉或可感知的生活场景、操作场景与问题场景之中，使学生在情境的牵引下自然调动已有经验，唤醒潜认知。小学生在进入课堂之前，已在购物、测量、游戏等日常活动中积累了相当数量的非正式数学经验。这些经验多以直觉或猜测的形态存在，尚未形成清晰的数学表达，却构成新知学习的重要起点。前置性探究任务之所以强调情境，正是要将这些处于沉睡状态的潜认知激活，使其成为课堂中可以进一步加工的素材。

与此同时，情境的设计需守住两条底线。其一为真实。工程队修路、水管同时进水与出水一类情境，多数小学生从未接触，读题之后只能机械地匹配公式，潜认知便无从唤醒。其二为保持数学问题的核心结构。一个过于热闹的情境固然能够吸引注意，却可能使其中隐含的数量关系变得模糊，学生在趣味之中兜转一圈，回到数学问题时仍无所获。可见，情境终究只是载体，唤醒潜认知才是核心目标。判断一个情境是否合格，标准不在其趣味程度，而在学生读完之后是否非动手不可、非思考不可。

（二）逻辑性

第一层含义是顺着知识自身的展开顺序。小学数学知识有其内在的展开逻辑，前置任务的设计不能随意跳跃，更不能将其颠倒。以平行四边形的面积为例，学生已经掌握长方形面积公式与数方格的方法，前置任务便应沿着数方格、发现局限、寻求转化这一线索展开：先让学生用数方格的方法计算一个平行四边形的面积，在数的过程中遭遇“不满一格如何计数”的困难，进而萌生“能否将其变成会算的图形”的念头。任务的逻辑与面积公式的推导逻辑保持一致，课前所经历的困惑，便成为课堂引入转化思想的契机。

第二层含义是任务之间的递进。前置性探究通常由一组任务构成，这组任务之间应存在梯度，而非同一水平的重复。以小数的意义为例，可设计三个层次：第一层以小数表示日常物品的价格或长度，唤醒学生对小数的生活感知；第二层在方格纸上涂色表示0.3、0.30与0.300，引导学生观察三处涂色面积是否相等，初步感受小数的位值关系；第三层要求学生用自己的话解释“0.3与0.30为何大小相同”，并记录解释或困惑。三层分别对应感知唤醒、操作体验与初步抽象，前一层为后一层铺垫，后一层较前一层要求更高。

（三）挑战性

挑战性原则要求前置任务的难度处于学生最近发展区之内，能够触发认知冲突。认知冲突是数学学习的重要驱动力：当学生原有的认知结构与新问题之间出现矛盾时，他们才会主动寻求调整与重构。因此，前置性探究任务应有意识地制造这种不一致。

以三角形三边关系为例，教师为每个学生提供若干根长度不同的小棒，分别为3厘米、4厘米、5厘米、8厘米，要求学生任选三根围三角形，并记录哪些组合能围成、哪些不能。学生在操作中会惊讶地发现，并非任意三根小棒都能围成三角形：3、4、8这一组合无论怎样摆放，总有一条边无法搭上。这一结果与学生“三条边首尾相连即可围成三角形”的朴素认知形成冲突，疑问随之产生——为何有的能围成，有的不能，究竟需要满足什么条件。这一疑问便成为课中深入探究三角形三边关系的起点。可见，前置任务的价值之一，在于使学生带着真实的困惑进入课堂；困惑并非由教师直接给出，而是学生在操作中自行遭遇的。

（四）留白性

前置探究任务的设计需刻意保留一定的空白，不能将问题、步骤与结论全部规定到位。任务只给出核心情境、必要支架与基本要求，至于从哪个角度切入、以何种方式记录、会发现什么规律，均交由学生自行决定。

以圆的周长为例，教师只提供一根绳子与一个圆形物体，要求学生想办法知道这个圆的周长与直径，并记录自己的发现，不规定必须使用绕绳法、必须测量几次、必须计算比值。学生可能发现绳子绕一周的长度即为圆的周长，可能发现直径越长周长越长，也可能产生“周长与直径之间是否存在固定关系”的疑问。这些各不相同的发现与疑问，正是留白所带来的素材。反之，任务规定得越细，学生越只是按步骤执行，探究便退化为对操作指令的完成。

（五）可产出性

前置性探究要求学生形成一些具体可见的成果，这些成果是课中探究得以展开的起点，因此可产出性原则不可或缺。成果的呈现形式不必复杂，一份填写完整的前置性探究清单即可满足教学需要，教师可根据具体课例增删栏目，详见表1。

表1　前置性探究清单

清单的栏目看似简单，实则对任务设计提出了要求。若任务本身缺少可供记录的内容，清单便难以填满；若任务已将答案和盘托出，清单上便只剩抄录的结论。可见，可产出性不只是留下痕迹，它同时检验着前四项原则是否真正落实。

二、案例设计

（一）数与代数：多位数除以一位数的笔算除法

具象情境由分小棒展开。教师为每个学生或小组准备48根小棒，其中4捆、每捆10根，另有8根单根，并提出任务：如果要把这48根小棒平均分给2个人，准备怎样分，请边分边记录分的过程。学生可以整捆分，也可以拆开分，重点在于把分的过程说清楚、记下来。随后提出第二个情境：还是这48根小棒，如果平均分给3个人，又会怎样分。两次分完后引导学生对比，思考哪种分法更快、原因何在。

差异在操作中自然显现：分给2个人时，4捆可以每人先分2捆，8根每人再分4根，很快得到每人24根；分给3个人时，4捆不能正好平均分，需将其中的1捆拆开，与8根合起来再分。这一拆一合，正是笔算除法从高位算起、余数继续分的雏形。在此基础上联系旧知：加法、减法、乘法的竖式通常从个位算起，能否试着用竖式把48÷2的计算过程记录下来，遇到困难之处，用问号标出疑问。

操作支架由三部分构成。其一为小棒分配记录单，设“我先分什么”“我再分什么”“每人得到多少”“我的算式”四栏，学生可采用画图、文字或数字等形式完成记录。其二为两次分法对比表，左栏记录48÷2，右栏记录48÷3，并设引导性问题：先分哪一部分最方便；4捆能否直接平均分，若不能应如何处理；哪种分法效率更高，原因是什么。其三为竖式尝试模板，上方标注48÷2，下方预留空白，旁设三处提示：先写4还是先写8；商应写在哪一位；余下的数如何处理。教师不要求所有学生写出规范竖式，学生可以只写出一部分，并用问号标注存疑之处。学生真实呈现的困惑往往比标准答案更有价值：除法竖式为何与加、减、乘法的竖式形式不同；除法为何要从最高位算起；十位分配后余下的数是否需要落下。

留白体现在三个悬置的问题上：分小棒时先分什么，竖式里能否也先算高位；为何加、减、乘法从低位算起，除法却似乎从高位开始；48÷3中4捆不够分，竖式如何表示把1捆拆开。任务不规定唯一分法，也不要求所有学生写出完整竖式。有的学生将发现先分整捆更为便捷，有的学生困惑于十位余下的“1”究竟表示什么，有的学生则追问商为何写在上面。几种表现均不作为错误处理，而是课中交流的材料。

学生最终形成的前置性探究清单包括：我分48÷2的步骤；我分48÷3的步骤；两次分法哪种更快及其原因；我尝试写出的竖式；我的疑问；我还想研究的问题。

就设计意图而言，分小棒是学生熟悉且可操作的真实情境，能够唤醒“平均分”“先整后零”等潜认知。从48÷2到48÷3，从可以直接分到必须拆捆，从具体操作到落笔写竖式，难度逐级提升。而“加、减、乘法从低位算起”与“分小棒时先分高位更省事”之间的错位，恰在课前埋下认知冲突的伏笔，课上的争论由此获得由头。法则、方法与规范写法一概不予提前给出，学生带着各自的半成品进入课堂，教师也由此获得以学定教的依据。

（二）图形与几何：圆的认识

情境以寻找身边的圆为起点。请学生在家中或校园里观察圆形物体，如车轮、钟面、井盖、杯口、圆桌、硬币、脸盆等，选择其中三个，记录自己认为特别的细节。学生的记录各不相同：车轮的轴在正中间；钟面的数字围成一圈；井盖无论怎样放置都不易掉落；杯口弯曲而没有角；硬币自中心到边缘的距离似乎相等。在此基础上提出驱动性问题：车轮为何要做成圆形，而不做成三角形或正方形，请结合观察用文字或画图尝试解释。这一问题将生活现象与圆的特征联系起来，学生在尚未接触圆心、半径等概念之时，已在调动中心点、滚动平稳、边缘到中心距离一致等经验。

操作支架为画圆提供多种路径：使用圆规、沿杯底描摹、固定绳子一端旋转、借助两支铅笔与皮筋、以图钉与棉线作画，均可采用。任务要求学生记录我用的方法、画出的图形是否规整、遇到的困难三项内容。困难通常在操作中自行显现：圆规针尖容易打滑，绳子难以拉直，描摹所得的圆形尺寸固定，旋转时圆心发生偏移，棉线松紧不匀。支架另提供一组解释句式作为语言扶手，如“因为……所以……”“如果车轮是三角形，就会……”“我发现边上每一点到中心的距离……”，帮助学生将直觉感受转化为初步的数学阐释，暂不要求使用专业术语。

留白表现为结论的悬置。圆心决定圆的位置、半径决定圆的大小、同圆内所有半径都相等等结论，课前不予给出，而留出如下问题：圆规的针尖为何不能移动；车轮的轴应装在哪里；圆上任意一点到中心的距离为何都相同；没有圆规能否画出标准的圆；三角形的车轮为何行进不稳。画几个圆、是否使用圆规，亦不作规定。方法不同，困难各异，困惑便各不相同。

学生形成的清单包括：我观察到的三个圆形物体；我认为特别的细节；我对车轮为何是圆形的解释；我画圆的方法；我遇到的困难；我的疑问；我还想研究的问题。

从设计意图看，观察、解释、动手画三个环节，恰好对应圆的认识由直观到抽象的过程。生活之中的圆为学生提供了可感的入口，画圆的困难为其提供了可问的线索，而车轮为何不能是方的这一问题正处于最近发展区之内：凭借经验可以说出一二，要说透彻则尚有欠缺。至于圆心与半径，则留待课堂解决。

（三）统计与概率：平均数

情境取自班级投篮比赛。第一组有4人，第二组有5人，每人投篮10次，第一组投中总数为24个，第二组为25个。请学生充当裁判，思考哪一组的投篮水平更高，能否只比较总数。继而提供身高比较的情境：两组人数不同，一组总身高更高，是否说明该组每个人都更高。两个情境指向同一结论：人数不同之时，总数不能直接比较，需要寻找一个能够代表整体水平的数。

操作支架以圆片、棋子等实物材料为主。第一组4名学生的成绩依次为6、5、7、6，第二组5名学生的成绩依次为4、6、5、5、5。学生可借助圆片直观呈现各人的成绩，通过移多补少的方式将多余数量补给偏少数量，使每组数据趋于均衡；同时提供空白条形统计图模板，引导学生将数据绘制成图，使移补过程得以直观呈现。愿意直接运算的学生，可列出算式：（6＋5＋7＋6）÷4与（4＋6＋5＋5＋5）÷5。支架另包含平均数探究记录单，设五项维度：我摆出的数据、我的移补方法、我求得的平均数、平均数的实际意义、我的探究疑问。

留白处不给出平均数等于总数除以份数的公式，而留出如下问题：平均数是否一定在原有数据之中；人数不同时，为何比较平均数更为公平；若有一名学生投中数量特别多，平均数将如何变化。任务不规定必须采用计算法或移多补少法，也不要求所有学生得出相同结论。学生可能发现平均数介于最大数与最小数之间，也可能发现平均数并非某个真实存在的成绩，这些发现与困惑将成为课中讨论平均数统计意义的基础。

学生形成的清单包括：我收集的数据；我用的方法；我得到的平均数；该平均数能否代表这组数据；我的疑问；我还想研究的问题。

设计意图方面，投篮比赛与身高比较均为班级生活中的常见场景，能够激活学生关于公平比较的已有经验。从比总数不公平，到移多补少，再到计算平均数，符合统计概念由直观到抽象的发展顺序。人数不同如何比较、平均数是否真实存在，均能引发认知冲突。公式不予给出，方法不加限定，学生留存的朴素理解正是课堂需要打磨的对象。

（四）综合与实践：校园不规则花坛的面积

情境为给教学楼前的花坛更换草坪。该花坛既非长方形，亦非正方形，边缘由一段弧形与几段直边组成，形状不规则，无法直接以长乘宽计算。学校需要了解其面积大约为多少，请学生思考如何估计。教师提供花坛平面示意图，或组织学生实地观察。驱动性问题随之提出：不规则图形不能直接套用公式，能否设法将其转化为可以计算的图形，或者借助方格加以计数。

操作支架配备较为完整，包括透明方格纸、直尺、卷尺、绳子、剪刀与彩笔。学生可将方格纸覆盖于平面图上，统计满格与不满一格的数目；可用绳子沿花坛边缘围合一周后拉直测量长度；也可用直尺将花坛分割为若干近似的长方形、三角形或梯形。记录工具为测量方案记录表，内容包括：我们准备怎样测量；用到哪些工具；满格有多少；不满一格怎样处理；估算的面积是多少；依据是什么。支架另提供化曲为直的操作提示：弯曲边缘可用绳子贴合后拉直测量，不规则边界可近似看作若干直线段。鼓励学生尝试不同方法，并比较何种方法更为便捷、更接近实际。

留白处，方格法与分割法等名称课前不予出现，而留出如下问题：不满一格如何处理；计数时有的方格不足一半，是否计入；怎样使估算更为准确；花坛面积较大时数格过慢，是否另有办法。测量对象与测量方法均不作限定，学生可以独立设计，也可以小组合作。有的小组采用数格法，有的小组采用分割求和，有的小组以绳测周长后尝试估算，方案不同，课中的比较、优化与反思方有依托。

学生形成的清单包括：我们选择的花坛；我们的测量方案；我们使用的工具；我们的测量数据；我们的面积估算；我们的疑问；我们还想到的办法。

该任务的设计意图在于，更换草坪是校园中真实可感且具有实际意义的任务，能够激发学生解决实际问题的兴趣。从观察不规则图形，到选择测量工具，再到数方格、分割与化曲为直，体现了综合实践由问题到方案再到结果的逻辑。不规则图形无法套用公式、不满一格如何处理、误差如何控制，均处于最近发展区之内。对象不限、方法不限，学生的方案之间才会存在差异，有差异才有比较与改进的空间。

三、实施中的几点提醒

任务的门槛与上限需同时设计。入门的一步应足够简单，使基础较弱的学生也能动手参与，分小棒、数格子皆属此类；出口应足够开阔，使学有余力的学生有发挥余地，解释0.3与0.30为何相等、比较几种测量方案的优劣，均需多走几步。较低的门槛保证人人参与，较高的上限保证探究不致流于形式。两端兼顾，一份任务才能在同一班级中容纳不同水平的学生。

清单既要收得上来，更要用得起来。若清单只是发放、收回并搁置案头，学生第二次便不会再认真填写。教师须在课前翻阅一遍，选取若干有代表性的记录，如典型错误、有价值的疑问、意料之外的办法，作为课中材料使用。学生一旦发现自己的记录确实进入了课堂，下一次填写便会有所不同。

错误与空白应被允许存在。前置探究发生于学生尚未学习之时，出错属于常态。课前不必急于纠正，也不必要求人人填满。一份清单上留有两三个问号，较之全部写满更值得肯定，问号表明学生确曾思考。

时间亦需加以控制。前置任务不宜过重，以十至十五分钟能够完成操作与记录为宜。任务一旦过重，家长代劳、学生抄录答案的情形便会出现，探究的性质随之改变。

结语

将课堂的起点前移一步，学生带进教室的便不只是预习过的课本，还有自己的操作、记录与疑问。前置性探究所占不过课前十余分钟，它所改变的却是学生在课堂中的位置：由等待被教，转为带着材料参与商讨。在课时闭环之中，课前这一段或许正是最值得投入的部分。