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管综数学|算术 11 题真题卡片 · 第 1 期:整数·整除·余数(6 题)
管综数学|算术 11 题真题卡片 · 第 1 期:整数·整除·余数(6 题)算术 · 第 1 篇／共 2 篇 整数 · 整除 · 余数 6 题｜2022—2026｜问题求解 2｜条件充分 4｜题号 01–06 本 篇 考 点 01奇偶与总次数 变状态必须翻奇数次；n 次操作每次翻 3 只 ⇒ 总翻转次数 3n 既要是偶数、又不能少于杯子数。 02求余数只盯常数项 表达式里含除数的整份直接丢掉，只看常数项除以除数的余数。 03质数和的奇偶 三个不同质数之和为偶数 ⇒ 必含唯一的偶质数 2；「不同」这个约束要舍掉重复拆法。 04模运算穷举 求 n² 模 m 只需穷举 n ≡ 0, 1, …, m−1 这 m 个余数类。 05gcd × lcm 两数之积一步定；只给其中一个，另一个凑数不唯一，条件就不充分。 06总分相等的平均分 总分相等 ⇒ 平均分之比 = 人数反比；再用「满分 100」与整除约束圈出 k。 通 用 公 式 整除 · 带余除法 a = bq + r，0 ≤ r < b a ≡ r (mod b)；求余数只看常数项。 整除 · 余数运算 (a+b) mod m = (a mod m + b mod m) mod m 积同理：余数之积再取余。 奇偶 · 奇偶运算 奇 ± 奇 = 偶；奇 ± 偶 = 奇；奇 × 奇 = 奇 n 个奇数之和的奇偶性由 n 的奇偶决定。 质数 · 算术基本定理 a = p₁^α₁ × p₂^α₂ × … × pₖ^αₖ（唯一分解） 2 是唯一的偶质数；约数个数 = (α₁+1) × (α₂+1) × … × (αₖ+1)。 公约数 · gcd 与 lcm m · n = gcd(m,n) × lcm(m,n) 令 m = ad、n = bd 且 (a,b)=1，则 lcm = abd。 比例 · 比例基本性质 a : b = c : d ⇔ ad = bc 合比：a+bb = c+dd；分比：a−bb = c−dd。 本 篇 结 构 一、整数、整除与余数6 题 · 01–06 6 题一、整数、整除与余数 答案 B012022 年 Q7 桌上放有8只杯子，将其中的3只杯子翻转（杯口朝上与朝下互换）作为一次操作，8只杯口朝上的杯子经n次操作后，杯口全部朝下，则n的最小值为（ ） A3B4C5D6E8 解 析 1每只杯子从"上"翻成"下"，需要被翻奇数次（1、3、5…次）；设 8 只杯子各自被翻 c₁,c₂,…,c₈ 次，每个 cᵢ 都是奇数。 2每次操作翻 3 只，n 次操作总翻转次数 = 3n；另一方面 c₁ + c₂ + … + c₈ = 8 个奇数之和，是偶数，故 3n 必须为偶数，即 n 为偶数。 3排除 n=2：总翻转次数 = 6，而 8 只杯子每只至少翻 1 次，需要 8 次，6＜8 不可能；且实际操作两次后最多 5 只朝下，做不到全下。 4验证 n=4：总翻转次数 = 12。12 = 6×1 + 2×3，即 6 只杯子翻 1 次、2 只杯子翻 3 次，全部为奇数，可行。 5具体构造（用 X、Y 表示被翻 3 次的杯子，A、B、C、D、E、F 表示其余 6 只）：初始：上上上上上上上上第1次翻 X,Y,A：下下下上上上上上第2次翻 X,Y,B：下上下下下上上上第3次翻 X,Y,C：下下上下下下上上第4次翻 D,E,F：下下下下下下下下 ✓ 秒杀翻奇数次才朝下，8 个奇数和为偶数 ⇒ 3n 为偶数，n 取偶；又 3n ≥ 8（每杯至少 1 次），n=2 才 6 次不够；n=4 的 12 = 6×1+2×3 凑得出 8 个奇数 ⇒ n=4，选 B。 易错只看奇偶性会误选 n=2；n=2 时总次数 6＜8 是硬约束，必须再排除一次。 记住变状态要翻奇数次，总次数看奇偶只看奇偶会误选小解，还要拿总次数卡住下界 答案 C022022 年 Q8 某公司有甲、乙、丙三个部门，若从甲部门调26人去丙部门，则丙部门是甲部门人数的6倍；若从乙部门调5人去丙部门，则丙部门的人数与乙部门人数相等。则甲、乙两部门人数之差除以5的余数是（ ） A0B1C2D3E4 解 析 1设甲 x 人、乙 y 人、丙 z 人。 2甲调 26 人去丙：甲减 26、丙加 26，故 z+26 = 6(x−26)。 3乙调 5 人去丙：乙减 5、丙加 5，故 y−5 = z+5，即 y = z+10。 4由第2式解出 z = 6(x−26)−26 = 6x−156−26 = 6x−182。 5代入第3式：y = 6x−182+10 = 6x−172。 6甲、乙人数之差 |x−y| = |x−(6x−172)| = |172−5x|。 7172 = 5×34 + 2，故 172−5x = 5(34−x)+2，除以 5 的余数为 2。 秒杀盯住甲乙之差 172−5x，5x 是 5 的倍数整份丢掉 ⇒ 除以 5 的余数只看 172；172 = 5×34+2 ⇒ 余 2，选 C。 易错调人后两边都要变（甲减 26、丙加 26），不能只写一边；y−5 = z+5 不是 y = z+5。 记住求 m 除的余数只盯常数项未知数项若带 m 因子就整项丢，不用解 x 答案 A032023 年 Q22条件充分 已知m,n,p是三个不同的质数，则能确定m,n,p的乘积。 （1）m+n+p=16。 （2）m+n+p=20。 A(1)充分B(2)充分C联合充分D都充分E都不充分 解 析 1质数中只有 2 是偶数，其余均为奇数。三质数之和为偶数（16、20），说明其中必有一个是偶质数 2（否则三个奇数之和为奇数）。 2条件(1)：设 m=2，则 n+p = 14。把 14 拆成两个不同奇质数之和：14 = 3+11（14 = 7+7 但两数相同，违反"不同"舍去）。故三数唯一为 2、3、11，乘积 = 2×3×11 = 66，唯一确定 → 充分。 3条件(2)：设 m=2，则 n+p = 18。18 = 5+13，也 = 7+11，两种拆法都不同：{2,5,13} 乘积 = 130；{2,7,11} 乘积 = 154。乘积不唯一 → 不充分。 秒杀和为偶数必含 2：(1) 14 = 3+11（7+7 同数舍），{2,3,11} 积 66 唯一 ⇒ 充分；(2) 18 = 5+13 = 7+11，积 130 或 154 两值 ⇒ 不充分。选 A。 易错7+7=14 但要求"不同"，舍去；18 = 5+13 与 18 = 7+11 两种拆法，别漏。 记住三个质数和为偶数必含 2拆和要舍掉相同质数，拆法不唯一就定不了乘积 答案 D042024 年 Q17条件充分 已知n是正整数,则n²除以3余1。 （1）n除以3余1。 （2）n除以3余2。 A(1)充分B(2)充分C联合充分D都充分E都不充分 解 析 1条件(1)：设 n = 3k+1（k 为非负整数），则 n² = (3k+1)² = 9k²+6k+1 = 3(3k²+2k)+1，故 n² 除以 3 余 1 → 充分。 2条件(2)：设 n = 3k+2，则 n² = (3k+2)² = 9k²+12k+4 = 3(3k²+4k+1)+1，故 n² 除以 3 余 1 → 充分。 3两个条件单独都充分。 秒杀模 3 只有 0、1、2 三种余数：0²=0、1²=1、2²=4≡1。(1) n≡1 ⇒ n²≡1；(2) n≡2 ⇒ n²≡4≡1，都落在余 1 ⇒ 两个条件各自都充分，选 D。 易错条件(2)中 4 = 3+1，余数是 1 不是 4；别把 4 直接当余数。 记住求 n² 模 m 只穷举 m 个余数类模 3 时 1²、2² 都余 1，不用展开 (3k+r)² 答案 C052025 年 Q17条件充分 设m,n为正整数，则能确定m,n的乘积。 （1）已知m,n的最大公约数。 （2）已知m,n的最小公倍数。 A(1)充分B(2)充分C联合充分D都充分E都不充分 解 析 1记 gcd(m,n) = d，令 m = ad、n = bd，其中 a、b 互质。则 lcm(m,n) = abd。 2m·n = ad·bd = ab·d² = (abd)·d = lcm(m,n) × gcd(m,n)。 3条件(1)：仅知 d，a、b 可任意（如 m=2、n=4 与 m=1、n=8 都是 gcd=2，但乘积 8 与 8 不同组…实际乘积不同），乘积不唯一 → 不充分。 4条件(2)：仅知 lcm，d 不确定，乘积不唯一 → 不充分。 5联立：d 与 lcm 都已知，则 m·n = lcm × gcd 唯一确定 → 充分。 秒杀瞪眼公式 m·n = gcd×lcm：只给一个就缺另一半。凑数看，gcd=2 时 (2,4) 积 8、(2,8) 积 16 就不唯一；只给 lcm 也一样。两个都齐了才能相乘定积 ⇒ 必须联合，选 C。 易错知道 gcd 推不出乘积；反例 gcd=2 时，(2,4) 与 (2,8) 乘积不同。 记住两数之积 = gcd × lcm单给一个都定不下来，两个齐了乘积才唯一 答案 E062025 年 Q18条件充分 甲班34人，乙班36人，在满分为100的考试中，甲班总分数与乙班总分数相等，则可知两班的平均分之差。 （1）两班的平均分都是整数。 （2）乙班的平均分不低于65。 A(1)充分B(2)充分C联合充分D都充分E都不充分 解 析 1设甲平均分为 x，乙平均分为 y。由甲班总分 = 乙班总分：34x = 36y，即 17x = 18y。 217 与 18 互质，故 x 必为 18 的倍数、y 必为 17 的倍数：x = 18k，y = 17k（k 为正实数）。 3平均分之差 = x−y = k。 4条件(1)：x、y 都是整数，即 18k、17k 为整数；结合满分 100：x=18k≤100 ⇒ k≤5，故 k=1,2,3,4,5，差不唯一 → 不充分。 5条件(2)：y = 17k ≥ 65 ⇒ k ≥ 65÷17 ≈ 3.82，即 k≥4；又 y≤100 ⇒ k≤5，故 k=4 或 5，差不唯一 → 不充分。 6联立：k=4（y=68, x=72）或 k=5（y=85, x=90），差 = 4 或 5，仍不唯一 → 联合也不充分。 秒杀34x=36y ⇒ x:y=18:17，差 = k；满分 100 给 k≤5。(1) 平均分整数 ⇒ k=1~5；(2) 17k≥65 ⇒ k≥4，故 k=4 或 5；联立仍两值，差定不下来 ⇒ 选 E。 易错满分 100 是上界，别忘；条件(2)只给下界，上界仍在，k 不唯一。 记住总分相等，平均分之比 = 人数反比设比例系数 k，两个条件圈不出唯一值就定不了差 写 在 最 后 整数这块真正卡人的不是计算，而是「唯一性」：质数拆和要舍掉相同的数，余数类要穷举完，条件充分题凑不出唯一值就不能选充分。第二遍复习只扫「秒杀」那一行就够。 下一篇：分数 · 根式 · 绝对值 5 题（含 3 道条件充分性判断）。 管综数学 · 真题分类卡片｜算术 1／2
