【真题·仿真】2026年河南卷物理第15题,球壳内的＂弹跳小球＂——竖直上抛与多次弹性碰撞的完美邂逅,交互式仿真,三阶段运动一目了然.

一个球壳，一颗小球，一次天花板碰撞后，两者分离、相向、碰撞、再碰撞……这道题把竖直上抛、弹性碰撞、相对运动、递推推理四个考点编织成一条完整的思维链，是2026年河南卷中最具"设计感"的压轴题。

本文从情境解码的三层约束系统入手，逐步拆解"天花板分水岭"的思维钥匙，再到递推表格中隐藏的奇偶规律——让你看到这道题不只是会做，而是真正看懂。配合交互式仿真，三阶段运动一目了然。

一、真题呈现

【题目】2026年河南卷·第15题

如图，水平地面上的球壳内下端有一小球，球壳的直径 ，上端距天花板的距离为 。现以  的初速度把球壳连同小球一起竖直向上抛出，球壳与天花板碰撞后经过 ，小球与球壳发生第1次碰撞。所有的碰撞均为弹性碰撞、时间极短，不计球壳厚度和空气阻力，重力加速度大小取 。(1) 求小球的直径；

(2) 求小球与球壳第1次碰撞后瞬间两者速度差的大小，及它们前两次碰撞的时间间隔；

(3) 若小球与球壳第8次碰撞前瞬间球壳的速度大小为 ，求球壳首次碰地时的速度大小。

二、情境解码

2.1 物理场景重构

这道题构建了一个三层嵌套式约束系统：

2.2 运动阶段划分——解题的"地图"

本题的核心思维突破点在于正确划分运动阶段。天花板碰撞是一个分水岭事件：

2.球壳反弹瞬间（分水岭）

3.第一次内碰

4.周期碰撞

2.3 为什么这道题"看起来难"?

三、思维导航

3.1 解题路线图

3.2 各问思维关键

(1) 求小球直径——"位移和模型"

💡 思维钥匙： 时间内，球壳向下走了一段，小球向上走了一段，两段路程加起来正好等于它们之间可用的"净空间" 。

• 球壳位移（向下）：

• 小球位移（先上后下，但  内仍向上）：

• 相向位移之和：

• 解得：

(2) 速度差与碰撞间隔——"恒定相对速度"

💡 思维钥匙：弹性碰撞的神奇之处在于——碰后相对速度大小等于碰前相对速度大小（），而且此后两者加速度相同（都是 ），所以相对速度永远不变！

步骤一：求第1次碰撞前的瞬时速度

• 碰撞前瞬间（以向下为正）：
• 球壳： ↓
• 小球：（瞬时静止!）

步骤二：弹性碰撞——质量比是隐藏条件

设球壳质量 ，小球质量 。由动量守恒 + 机械能守恒（e=1）：

结合恢复系数定义 ：

🎯 巧妙之处：速度差 无需知道质量比 M:m 就能求得！

步骤三：碰撞时间间隔

碰后两者均以加速度 g 向下运动 → 相对加速度为 0 → 相对速度恒定为 2 m/s

(3) 第8次碰撞与首次碰地——"递推 + 能量"双剑合璧

💡 思维钥匙：8次碰撞听起来吓人，但有了"等间隔"规律后，只需列出递推表格，奇偶性规律一目了然。

3.3 递推规律一览

设向下为正方向，由解析可知隐含质量比 （从递推一致性反推得出）。各次碰撞前后速度如下表（单位：m/s，↓表示向下，↑表示负值即向上）：

规律提炼：

• ✅ 奇次碰撞后：球壳速度为负（向上弹回），小球速度向下且逐次增大
• ✅ 偶次碰撞后：两者速度均为正（都向下），形成"追赶模式"
• ✅ 每次碰后速度差 恒定不变
• ✅ 碰撞间隔恒为 

最终求解——能量守恒法：

从抛出到第8次碰撞，对球壳运用动能定理或能量守恒：

• 第1次到第8次碰撞经历 
• 第8次碰撞位置高度 （由全过程能量守恒求得）

球壳从第8次碰撞位置到地面，由运动学公式：

五、深度剖析

5.1 易错点诊断

5.2 方法论提炼

方法一：分阶段建模法

• 复杂过程 → 按"物理事件"切分阶段
• 每个阶段独立分析，阶段间通过"连接条件"衔接
• 本题三个阶段：共体上抛 → 分离运动 → 周期碰撞

方法二：相对运动法

• 两物体问题优先考虑参考系变换
• 相对速度 × 时间 = 相对位移
• 当两物体加速度相同时，相对加速度为零 → 相对速度恒定

方法三：递推列表法

• 多次重复过程 → 列表格找规律
• 关注奇偶性、单调性、周期性
• 用已知条件（如第8次的 v₁=6）验证递推的正确性

5.3 隐藏条件的挖掘

这道题有一个巧妙的设计：质量比 M:m 从未直接给出，但通过完整的递推体系可以反推出 M:m = 2:1。这说明：

1. 题目的数据是自洽的——任意假设质量比都无法同时满足所有8次碰撞的一致性
2. 出题人精心设计了这个"自验证"机制
3. 在考试中，即使不求质量比，利用 e=1 的性质也能解决第(2)问

六、变式迁移

变式1：改变初始速度

若初速度改为 ，其他条件不变，求小球直径和前两次碰撞间隔。

提示：到达天花板的速率变为 ，Δt 内位移重新计算即可。答案：，间隔仍为 （因为 Δu 不变！）。

变式2：非弹性碰撞

若球壳与小球之间的碰撞恢复系数变为 ，求碰撞间隔的变化趋势。

提示：此时 Δu 会逐次减小，碰撞间隔逐渐增大——不再是等间隔了！需要用等比数列处理。

变式3：加入空气阻力

若考虑空气阻力（阻力与速度成正比 ），定性分析碰撞次数会如何变化。

提示：机械能有损耗，每次碰撞后的最大高度降低，总碰撞次数减少；但局部仍可用修正的递推模型。

七、复盘总结

核心知识图谱

三句话记住这道题

1. "天花板一碰就分家" —— 分水岭事件触发相对运动
2. "弹性碰撞Δu不变" —— 等间隔碰撞的根本原因
3. "列表格找奇偶律" —— 多次重复过程的万能钥匙

考情关联

欢迎在评论区分享你的解题思路，觉得有用请点赞、在看、转发，让更多物理老师和同学看到！