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考点巩固卷22 绳球、杆球、轨道、管道、拱桥与凹桥模型
（竖直平面内的圆周运动）
建议用时：50 分钟
考点序号
考点
题型分布
考点1
拱桥与凹桥模型及其临界条件
4 多选
考点2
绳球模型及其临界条件
2 单选+2 多选+1 填空
考点3
杆球模型及其临界条件
4 单选+2 多选
考点4
轨道与管道模型及其临界条件
3 多选+2 解答
考点01：拱桥与凹桥模型及其临界条件（4 多选）
一、多选题
1．（2023·广东·统考高考真题）人们用滑道从高处向低处运送货物．如图所示，可看作质点的货物从
圆
弧滑道顶端
点静止释放，沿滑道运动到圆弧末端
点时速度大小为
。已知货物质量为
，滑道高
度为
，且过
点的切线水平，重力加速度取
。关于货物从
点运动到
点的过程，下列说法正
确的有（ ）
A．重力做的功为
B．克服阻力做的功为
C．经过
点时向心加速度大小为
D．经过
点时对轨道的压力大小为
【答案】BCD
【详解】A．重力做的功为
A 错误；
B．下滑过程据动能定理可得
代入数据解得，克服阻力做的功为
1
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B 正确；
C．经过
点时向心加速度大小为
C 正确；
D．经过
点时，据牛顿第二定律可得
解得货物受到的支持力大小为
据牛顿第三定律可知，货物对轨道的压力大小为
，D 正确。
故选BCD。
2．（2023·湖南·统考高考真题）如图，固定在竖直面内的光滑轨道ABC 由直线段AB 和圆弧段BC 组成，
两段相切于B 点，AB 段与水平面夹角为θ，BC 段圆心为O，最高点为C、A 与C 的高度差等于圆弧轨道的
直径2R。小球从A 点以初速度v0冲上轨道，能沿轨道运动恰好到达C 点，下列说法正确的是（ ）
A．小球从B 到C 的过程中，对轨道的压力逐渐增大
B．小球从A 到C 的过程中，重力的功率始终保持不变
C．小球的初速度
D．若小球初速度v0增大，小球有可能从B 点脱离轨道
【答案】AD
【详解】A．由题知，小球能沿轨道运动恰好到达C 点，则小球在C 点的速度为
vC = 0
则小球从C 到B 的过程中，有
2
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联立有
FN= 3mgcosα－2mg
则从C 到B 的过程中α 由0 增大到θ，则cosα 逐渐减小，故FN逐渐减小，而小球从B 到C 的过程中，对轨
道的压力逐渐增大，A 正确；
B．由于A 到B 的过程中小球的速度逐渐减小，则A 到B 的过程中重力的功率为
P = －mgvsinθ
则A 到B 的过程中小球重力的功率始终减小，则B 错误；
C．从A 到C 的过程中有
解得
C 错误；
D．小球在B 点恰好脱离轨道有
则
则若小球初速度v0增大，小球在B 点的速度有可能为
，故小球有可能从B 点脱离轨道，D 正确。
故选AD。
3．（2023·河北邯郸·统考三模）有一种特技表演叫铁笼飞车，如图所示，几辆摩托车在圆球形铁笼中旋转
飞驰，场面惊心动魄。假设固定在地面上的铁笼的半径为6.4m，摩托车（含演员及装备，可视为质点）的
质量为200kg，A、B 两点分别为铁笼的最高点和最低点，C 点与B 点的高度差为1.28m，某次表演中一辆
摩托车正在竖直面内做圆周运动（
），以下说法正确的是（ ）
3
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A．摩托车安全通过圆形铁笼A 点时最小速度为
B．摩托车以最小速度通过A 点时重力的功率为
C．摩托车以
的速度通过C 点时对铁笼的压力为
D．若摩托车以
的速度在水平面内运动，经过C 点时角速度约为
【答案】ACD
【详解】A．摩托车以最小速度
通过圆形铁笼最高点A 时，恰好重力提供向心力，则有
解得
故A 正确；
B．摩托车以最小速度通过A 点时，速度方向为水平方向，重力竖直向下，则此时重力的功率为0，故B 错
误；
C．摩托车以
的速度通过C 点时，由重力沿径向方向的分力
和支持力
的合力提供向心力，
如图所示：
4
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则有
根据几何关系可得
解得
，
由牛顿第三定律可知，摩托车以
的速度通过C 点时对铁笼的压力
为
，故C 正确；
D．若摩托车以
的速度在水平面内运动，则做圆周运动的半径为
由线速度与角速度关系可得
故D 正确。
故选ACD。
4．（2023·重庆万州·重庆市万州第二高级中学校联考模拟预测）如图所示，倾角为
的斜面体固定在
水平地面上，在斜面上固定一个半圆管轨道AEB，圆管的内壁光滑、半径为r，其最低点A、最高点B 的切
线水平，AB 是半圆管轨道的直径，现让质量为m 的小球（视为质点）从A 点以一定的水平速度滑进圆管，
圆管的内径略大于小球的直径、重力加速度为g，
、
，下列说法正确的是（ ）
5
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A．当小球到达B 点时受到沿斜面方向的弹力刚好为0，则小球在B 点的速度为
B．小球离开B 点做平抛运动的时间为
C．若小球在B 点的加速度大小为2g，则A 点对小球沿斜面方向的弹力大小为
D．若小球到达B 点时受到沿斜面方向的弹力刚好为0，则小球的落地点与P 点间的距离为
【答案】BCD
【详解】A．小球到达B 点时受到沿斜面方向的弹力刚好为0，则由重力沿斜面的分力提供向心力，则有
解得
A 错误；
B．小球离开B 点做平抛运动，竖直方向上有
解得
B 正确；
D．若小球到达B 点时受到沿斜面方向的弹力刚好为0，根据上述有
6
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，
小球的落地点与P 点间的距离为
解得
D 正确；
C．小球在B 点的加速度大小为2g，则在B 点有
小球由A 运动到B 过程有
小球在A 点有
解得
C 正确。
故选BCD。
考点02：绳球模型及其临界条件（2 单选+2 多选+1 填空）
一、单选题
1．（2023·江苏苏州·江苏省木渎高级中学校联考三模）2022 年3 月23 日，三位神舟十三号航天员翟志刚、
王亚平、叶光富相互配合完成“天宫课堂”第二次太空授课。如题图所示，授课中航天员叶光富手拉细线
不断加速让一个小瓶子在竖直平面内圆周运动，从而实现瓶内油水分层。如题图所示，若绳子长为l（瓶
子可视为质点），水的质量为m，则（ ）
7
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A．油和水的向心加速度相等
B．油受到的向心力可能大于水
C．水受到瓶子的作用力为
D．瓶子在最高点的速度一定大于
【答案】B
【详解】A．油和水的角速度相同，根据公式
由于水和油的重心不同，所以圆周运动的半径不同，可知油和水的向心加速度不相等，故A 错误；
B．根据向心力公式
若油的质量大于水的质量，则油受到的向心力可能大于水，故B 正确；
C．由于不知道水的重心到圆心的距离，所以无法计算，故C 错误；
D．由于瓶子的重心到圆心的距离不是l，所以无法计算和比较，故D 错误。
故选B。
2．（2023·辽宁·校联考模拟预测）如图所示，一长为L 的轻绳拉着质量为m 的小球保持静止。现在给小球
一个水平初速度，使小球在竖直面内做完整的圆周运动，不计空气阻力，重力加速度为g，则下列判断正
确的是（ ）
A．小球在最高点的速度可以等于0
B．小球获得的初速度大小为
C．小球做圆周运动的过程中仅有一处合力指向圆心
D．小球过最低点与最高点时受到绳的拉力大小之差等于6mg
8
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【答案】D
【详解】A．小球在竖直面内做完整的圆周运动，若小球恰好能通过最高点，则有重力提供向心力，可得
解得
可知小球能通过最高点的最小速度是
，因此小球在最高点的速度不可以等于0，A 错误；
B．若小球恰好能通过最高点，设小球获得的初速度大小为v＇，则在最低点时由动能定理，则有
解得
由以上计算可知，
是小球获得的初速度大小的最小值，有可能比这个速度要大，B 错误；
C．小球在竖直面内做完整的变速圆周运动，由以上分析可知，小球在最高点和最低点处合力指向圆心，C
错误；
D．设小球在最高点时的速度为v0，在最低点时的速度为
，由动能定理可得
小球在最高点时，由牛顿第二定律可得
小球在最低点时，由牛顿第二定律可得
联立以上各式解得
D 正确。
故选D。
二、多选题
3．（2023·全国·模拟预测）如图所示，已知质量为m 的小球恰好能在竖直平面内绕固定点O 做圆周运动。
9
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重力加速度为g，不考虑一切摩擦。小球做圆周运动过程中，下列判断正确的是（ ）
A．若小球和O 点间用细线相连，则在最高点细线对小球的拉力为0
B．若小球和O 点间用细线相连，则在最高点细线对小球的拉力为
C．若小球和O 点间用轻杆相连，则在最高点轻杆对小球的支持力为0
D．若小球和O 点间用轻杆相连，则在最高点轻杆对小球的支持力大小为
【答案】AD
【详解】AB．若小球和O 点间用细线相连，由于小球恰好能在竖直平面内绕固定点O 做圆周运动，此时小
球有最小速度，由重力提供向心力，可知，此时在最高点细线对小球的拉力为0，A 正确，B 错误；
CD．若小球和O 点间用轻杆相连，由于小球恰好能在竖直平面内绕固定点O 做圆周运动，此时小球恰好为
0，小球所需向心力为0，小球沿半径方向的合力为0，可知，此时在最高点轻杆对小球的支持力大小为
，C 错误，D 正确。
故选AD。
4．（2023·河北沧州·沧县中学校考模拟预测）一不可伸长的轻绳上端悬挂于
点，另一端系有质量为
的
小球，保持绳绷直将小球拉到绳与竖直方向夹角为
的
点由静止释放，运动到
点的正下方时绳断开，
小球做平抛运动，已知
点离地高度为
，绳长为
，重力加速度大小为
，不计空气阻力，下列说法正
确的是（ ）
A．在绳断开前，小球受重力、绳的拉力和向心力作用
B．在绳断开前瞬间，小球处于失重状态
C．在绳断开前瞬间，小球所受绳子的拉力大小为
D．若夹角
不变，当
时，落点距起点的水平距离最远
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【答案】CD
【详解】A．在绳断开前，小球在竖直平面内做圆周运动，小球只受重力和绳的拉力作用，故A 错误；
B．在绳断开前瞬间，小球加速度方向竖直向上，处于超重状态，故B 错误；
C．在绳断开前瞬间，设小球受绳子拉力为
，根据牛顿第二定律可得
质量为
的小球由静止开始，运动到
点正下方过程中机械能守恒，则有
联立解得
故C 正确；
D．绳断开后，小球做平抛运动，在水平方向上做匀速直线运动，则有
在竖直方向上做自由落体运动，则有
联立解得
根据基本不等式可知，当
即
时，落点距起点的水平距离最远，故D 正确。
故选CD。
三、填空题
5．（2023·四川南充·统考三模）某同学探究小球在竖直面内做圆周运动时向心力随位置变化的规律，选用
光滑的圆轨道，如图甲，圆轨道半径
，在轨道内侧距离最低点A 高度H 分别为0、h、
、
、
、
、
处固定有压力传感器，质量为m 的小球从A 点以速度
沿轨道内侧向右运动，记录小球在各
位置对轨道的压力F 的数值，作出
图像如图乙。
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（1）若小球在A 点对轨道的压力大小为
，则F 与H 的关系可表示为
（用m、g、R、
H、
表示）；
（2）取重力加速度
，由图乙可得小球质量
，小球经过最低点A 时的初速度
。（
的结果用根式表示）
【答案】
0.5
【详解】（1）[1]设在任意高H 处小球的速度为
，由动能定理有
设小球在H 处和圆心O 的连线与OA 的夹角为
，当
时，由牛顿运动定律有
在最低点有
可得
当
时该式仍成立；
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（2）[2]根据图像可得，在A 点，
，在
处，
，图像斜率
可得
[3]在最低点有
解得
考点3：杆球模型及其临界条件（3 单选+3 多选）
一、单选题
1．（2023·北京·模拟预测）如图甲所示，轻杆一端与一小球相连，另一端连在光滑固定轴上，可在竖直平
面内自由转动。现使小球在竖直平面内他圆周运动，到达某一位置开始计时，取水平向右为正方向，小球
的水平分速度vx随时间t 的变化关系如图乙所示。不计空气阻力。下列说法中正确的是（ ）
A．t1时刻小球通过最高点，图乙中S1和S2的面积相等
B．t2时刻小球通过最高点，图乙中S1和S2的面积不相等
C．t1时刻，杆中弹力一定最小
D．在小球做一次完整圆周动的过程中，杆中弹力不可能两次为零
【答案】A
【详解】AB．过最高点后，水平分速度要增大，经过四分之一圆周后，水平分速度为零，可知从最高点开
始经过四分之一圆周，水平分速度先增大后减小，故通过题图可知，图像的t1是最高点，面积S1表示的是
从最低点运动到水平直径最左端位置的过程中通过的水平位移，其大小等于轨道半径；S2表示的是从水平
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直径最左端位置运动到最高点的过程中通过的水平位移，其大小也等于轨道半径，A 正确、B 错误；
CD．若存在某点高于圆心，低于最高点，巧好重力的分力提供匀速圆周运动的向心力，则杆中的弹力为零，
并存在关于过圆心竖直方向对称位置弹力也为零，故t1时刻，杆中弹力不一定最小；在小球做一次完整圆
周动的过程中，杆中弹力可能两次为零，CD 错误。
故选A。
2．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考模拟预测）如图所示，轻杆的一端固定在O 点，另一端固定一个
小球，小球随轻杆在竖直平面内绕O 点做匀速圆周运动。则（ ）
A．小球在运动过程中机械能守恒
B．小球在运动过程中加速度大小不变
C．小球运动到A 点时，杆对小球作用力方向指向圆心
D．小球运动到C 点时，杆对小球的作用力不可能为0
【答案】B
【详解】A．小球随轻杆在竖直平面内绕O 点做匀速圆周运动，动能不变，重力势能变化，机械能不守恒，
故A 错误；
B．设小球质量为m，杆长为L，速度为v 由
解得
可知小球在运动过程中加速度大小不变，故B 正确；
C．小球运动到A 点时，小球受重力和杆的作用力，合力指向圆心，杆对小球作用力方向不可能指向圆心，
故C 错误；
D．当小球的速度满足
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即
杆对小球的作用力为0，故D 错误。
故选B。
3．（2023·全国·模拟预测）如图所示，两个小球
、
通过一根刚性轻杆固定连接，沿半圆形凹槽下滑。
在两球滑动过程中.下列说法正确的是（ ）
A．
、
两球的角速度大小相等
B．
、
两球的线速度相同
C．球
的向心加速度大于球A 的向心加速度
D．
、
两球所受向心力大小相等
【答案】A
【详解】A．将A 与B 的速度分解为沿杆方向和垂直于杆方向，如图所示
由几何关系可知，A 与B 的速度与杆的夹角均为
，由于A 与B 沿杆方向的速度相同，则
则
由于A 与B 圆周运动半径相同，由于
则
故A 正确；
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B．A 与B 线速度大小相同，但方向不同，故B 错误；
C．向心加速度大小为
由于线速度大小相等，则向心加速度大小相等，故C 错误；
D．向心力为
向心加速度虽然相同，但A 与B 球的质量关系未知，则无法比较大小，故D 错误。
故选A。
4．（2023·福建泉州·校考二模）如图所示，质量为
的小球固定在杆的一端，在竖直面内绕杆的另一端做
圆周运动，当小球运动到最高点时，瞬时速度
，
是球心到O 点的距离，则球对杆的作用力是
（ ）
A．
的拉力
B．
的压力
C．
的压力
D．
的拉力
【答案】A
【详解】在最高点，设杆对球的弹力向下，大小为F，根据牛顿第二定律得：mg+F=m
，又
，
解得，F=
mg＞0，说明假设正确，即可知道杆对球产生的是拉力，根据牛顿第三定律得知，球对杆的作
用力是
mg 的拉力，方向向上．故选A．
【点睛】小球在最高点时，要注意绳子与杆的区别：绳子只能提供拉力；杆提供的了可能是拉力，也可能
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是支持力．假设法是常用的解法．
二、多选题
5．（2023·北京海淀·统考一模）如图所示，轻杆的一端固定在通过
点的水平转轴上，另一端固定一小球，
轻杆绕
点在竖直平面内沿顺时针方向做匀速圆周运动，其中A 点为最高点、
点为最低点，
点与
点
等高，下列说法正确的是（ ）
A．小球经过A 点时，所受杆的作用力一定竖直向上
B．小球经过B 点时，其加速度的方向沿着
方向
C．从
点到A 点的过程，小球重力的功率保持不变
D．从
点到A 点的过程，杆对小球的作用力做正功
【答案】BD
【详解】A．小球经过A 点时，合外力提供向心力，当
此时小球经过A 点速度
此时杆对小球无作用力。则当小球速度
时，则小球所受杆的作用力竖直向上；当小球速度
，
时小球所受杆的作用力竖直向下，故A 错误；
B．小球经过B 点时，做匀速圆周运动，合外力提供向心力，则小球所受杆的作用力指向圆心，所以小球
经过B 点时，其加速度的方向沿着
方向，故B 正确；
C．A 点和C 点处重力与速度方向垂直，则小球重力的功率为0，B 点处重力与速度共线，故重力功率不为
0，则从C 点到A 点的过程，小球重力的功率先增大再减小。故C 错误；
D．从C 到A 的过程中，重力做负功，根据动能定理
故杆对小球的作用力做正功。故D 正确。
故选BD。
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6．（2023·陕西·陕西师大附中校考模拟预测）如图所示，质量为4
，半径为0.5m 的光滑匀质细圆管用
轻杆固定在竖直平面内，小球A 和B 的直径略小于细圆管的内径，它们的质量均为2
。某时刻，小球
A，B 分别位于细圆管最低点和最高点，则下列说法正确的是（ ）（取
）
A．轻杆对细圆管的弹力与A、B 两球的速度差成线性关系
B．轻杆对细圆管的弹力与A、B 两球的速度平方差成线性关系
C．杆对细圆管弹力不可能为零
D．若A、B 两球的速度大小为
、
，此时杆的下端受到向上的压力
【答案】BD
【详解】AB．对小球A、B 及细圆管整体进行受力分析，设杆对细圆环的弹力为
，向上为正方向，则
故选项A 错误，B 正确；
C．由上述表达式可知，当满足
时，杆对细圆管弹力为零，选项C 错误；
D．当
、
时，解得
，故杆对细圆管的弹力向下，杆下端受压力向上，选项
D 正确。
故选BD。
考点4：轨道与管道模型及其临界条件（3 多选+2 解答）
一、多选题
1．（2023·山东·模拟预测）如图所示，两个圆弧轨道竖直固定在水平地面上，半径均为R，a 轨道由金属
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凹槽制成，b 轨道由金属圆管制成（圆管内径远小于R），均可视为光滑轨道。在两轨道右端的正上方分
别将金属小球A 和B（直径略小于圆管内径）由静止释放，小球距离地面的高度分别用
和
表示，两小
球均可视为质点，下列说法中正确的是（ ）
A．若
，两小球都能沿轨道运动到轨道最高点
B．若
，两小球沿轨道上升的最大高度均为R
C．适当调整
和
，均可使两小球从轨道最高点飞出后，恰好落在轨道右端口处
D．若使小球沿轨道运动并且从最高点飞出，
的最小值为
，B 小球在
的任何高度释放均可
【答案】BD
【详解】AD．B 轨道是双轨模型，到达最高点的最小速度为零。即若
时，B 球能沿轨道运动到最高
点；若A 小球恰好运动到最高点，则有
解得
可知，若小球A 能够到达最高点，需要
选项A 错误，D 正确；
B．若
，根据机械能守恒定律可知，两小球沿轨道上升的最大高度均为R，不超过过圆心的水平
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线，选项B 正确；
C．B 小球从轨道最高点飞出后，恰好落在轨道右端口，则有
对B 球有
解得
对A 球，从最高点射出时最小速度为
此时根据
解得
则无论如何调节hA都不可能使A 小球从轨道最高点飞出后，恰好落在轨道右端口处，选项C 错误；
故选BD。
2．（2023·湖南·模拟预测）一半径为r 的小球紧贴竖直放置的圆形管道内壁做圆周运动，如图甲所示。小
球运动到最高点时管壁对小球的作用力大小为
，小球的速度大小为v，其
图像如图乙所示。已知
重力加速度为g，规定竖直向下为正方向，不计一切阻力。则下列说法正确的是（ ）
A．小球的质量为
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B．圆形管道内侧壁半径为
C．当
时，小球受到外侧壁竖直向上的作用力，大小为
D．小球在最低点的最小速度为
【答案】AB
【详解】A．规定竖直向下为正方向，设圆形管道内侧壁半径为R，小球受到圆形管道的作用力大小为
，
在最高点，由牛顿第二定律，当
时
当
时，由重力提供向心力有
解得
当
时，由牛顿第二定律有
解得
当
时，由牛顿第二定律有
解得
故
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故小球的质量为
或
，故A 正确；
B．当
时
解得圆形管内侧壁半径
故B 正确；
C．当
时，小球受到外侧壁竖直向下的作用力，由牛顿第二定律有
解得
故C 错误；
D．根据能量守恒定律，当小球在最高点具有最小速度（为零）时，其在最低点的速度最小，即
故D 错误。
故选AB。
3．（2023·安徽·校联考三模）如图所示，地面上竖直放置一质量为M，半径为R 的内壁光滑细圆形管道，
质量为m 的小球在管道中，小球可视为质点，圆形管道与左边墙壁的距离为
，小球与环形管道
由静止向左平动做匀加速运动，运动过程中，小球与环形管道始终相对静止，过小球的半径与水平方向的
夹角为
，管道与墙壁碰撞后立即静止，重力加速度为g，则（ ）
22
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A．小球与环形管道匀加速运动的加速度为
B．小球与环形管道运动到墙壁处的速度为
C．小球运动到环形管道圆心等高处时对环形管道的压力为
D．小球恰能通过环形管道的最高点
【答案】BCD
【详解】A．小球与环形管道一起做匀加速运动，对小球由牛顿第二定律则有
解得
故A 错误；
B．由
，可得
故B 正确；
C．环形管道与墙壁碰撞后瞬间小球速度突变为沿管道切线方向为
由机械能守恒有
在与环形管道圆心等高处，环形管道对小球的弹力为
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由牛顿第三定律可知，此时小球对环形管道的压力为
，故C 正确；
D．当小球的速度变为0 时有
即
即小球恰能到达最高点，故D 正确。
故选BCD。
二、解答题
4．（2023·贵州毕节·统考三模）如图，在竖直平面内，固定有半径
和半径
的光滑圆形轨
道，他们轨道弧长分别占圆周的
和
，圆轨道与水平轨道分别相切于B 点和D 点，且平滑连接。某时刻，
让质量为
，不带电的绝缘小滑块P 从A 点静止释放，经圆轨道滑至B 点，从B 点进入水平轨道，
与静止在C 点的小滑块Q 发生弹性碰撞，滑块Q 的质量为
，电量为
。整个过程中滑块Q
的电荷量始终保持不变，滑块P、Q 均可视为质点，与水平轨道间的动摩擦因数均为
，BC 间距
，CD 间距
。滑块Q 从C 点到D 运动的过程中，存在垂直轨道平面向里磁感应强度
的匀强磁场；滑块Q 从D 点进入光滑轨道时，磁场消失，同时加入水平向右范围足够大的匀强电
场，场强大小
。已知重力加速度
。求：
（1）小滑块P 刚到
光滑圆轨道最低点B 时对圆轨道的压力；
（2）小滑块P 与小滑块Q 碰撞后Q 的速度大小为多少？
（3）判断当Q 进入光滑绝缘半圆轨道后是否会脱离轨道。若不会，则求经过N 点的速度；若会，试求Q
离开半圆轨道时的速度大小为多少？（计算结果可用根式表示）
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【答案】（1）3N；（2）4m/s；（3）会，
m/s
【详解】（1）P 从A 到B，由动能定理得
代入数据得
在B 点，由牛顿第二定律得
由牛顿第三定律得
（2）P 从B 到C，由动能定理得
在C 点P 与Q 发生弹性碰撞，由动量守恒定律和机械能守恒定律得
代入数据得
，
（3）碰后Q 从C 到D，在磁场中有
，
故Q 做匀速运动，Q 从D 点进入圆轨道，在电场中，其等效重力为
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由几何关系得
解得
假设Q 能通过等效最高点，由动能定理得
代入数据得
，故会脱离圆轨道，在脱离圆轨道处，弹力为零，等效重力沿半径方向的分力提
供向心力得
由动能定理得
代入数据得
5．（2023·河北·校联考三模）如图所示，半径为R 的光滑圆轨道固定在竖直平面内，一小球（可看成质
点）静止在轨道的最低点，现使小球在最低点获得
的水平初速度，重力加速度为g，在此后的运
动过程中，求：
（1）小球刚要脱离圆轨道时，小球与轨道圆心的连线与竖直向上方向夹角的余弦值；
（2）小球第一次运动到最高点时与轨道圆心的高度差。
【答案】（1）
；（2）
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【详解】（1）小球刚要脱离圆轨道时，小球与轨道圆心的连线与竖直方向夹角为
，此时小球的速度大小
为
，此时对小球
对小球由动能定理可得
解得
（2）小球到达最高点的速度大小为
对小球由动能定理可得
解得
小球第一次运动到最高点时与轨道圆心的高度差为
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