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考点巩固卷22 绳球、杆球、轨道、管道、拱桥与凹桥模型
（竖直平面内的圆周运动）
建议用时：50 分钟
考点序号
考点
题型分布
考点1
拱桥与凹桥模型及其临界条件
4 多选
考点2
绳球模型及其临界条件
2 单选+2 多选+1 填空
考点3
杆球模型及其临界条件
4 单选+2 多选
考点4
轨道与管道模型及其临界条件
3 多选+2 解答
考点01：拱桥与凹桥模型及其临界条件（4 多选）
一、多选题
1．（2023·广东·统考高考真题）人们用滑道从高处向低处运送货物．如图所示，可看作质点的货物从
圆
弧滑道顶端
点静止释放，沿滑道运动到圆弧末端
点时速度大小为
。已知货物质量为
，滑道高
度为
，且过
点的切线水平，重力加速度取
。关于货物从
点运动到
点的过程，下列说法正
确的有（ ）
A．重力做的功为
B．克服阻力做的功为
C．经过
点时向心加速度大小为
D．经过
点时对轨道的压力大小为
2．（2023·湖南·统考高考真题）如图，固定在竖直面内的光滑轨道ABC 由直线段AB 和圆弧段BC 组成，
两段相切于B 点，AB 段与水平面夹角为θ，BC 段圆心为O，最高点为C、A 与C 的高度差等于圆弧轨道的
直径2R。小球从A 点以初速度v0冲上轨道，能沿轨道运动恰好到达C 点，下列说法正确的是（ ）
1
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A．小球从B 到C 的过程中，对轨道的压力逐渐增大
B．小球从A 到C 的过程中，重力的功率始终保持不变
C．小球的初速度
D．若小球初速度v0增大，小球有可能从B 点脱离轨道
3．（2023·河北邯郸·统考三模）有一种特技表演叫铁笼飞车，如图所示，几辆摩托车在圆球形铁笼中旋转
飞驰，场面惊心动魄。假设固定在地面上的铁笼的半径为6.4m，摩托车（含演员及装备，可视为质点）的
质量为200kg，A、B 两点分别为铁笼的最高点和最低点，C 点与B 点的高度差为1.28m，某次表演中一辆
摩托车正在竖直面内做圆周运动（
），以下说法正确的是（ ）
A．摩托车安全通过圆形铁笼A 点时最小速度为
B．摩托车以最小速度通过A 点时重力的功率为
C．摩托车以
的速度通过C 点时对铁笼的压力为
D．若摩托车以
的速度在水平面内运动，经过C 点时角速度约为
4．（2023·重庆万州·重庆市万州第二高级中学校联考模拟预测）如图所示，倾角为
的斜面体固定在
水平地面上，在斜面上固定一个半圆管轨道AEB，圆管的内壁光滑、半径为r，其最低点A、最高点B 的切
线水平，AB 是半圆管轨道的直径，现让质量为m 的小球（视为质点）从A 点以一定的水平速度滑进圆管，
圆管的内径略大于小球的直径、重力加速度为g，
、
，下列说法正确的是（ ）
2
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A．当小球到达B 点时受到沿斜面方向的弹力刚好为0，则小球在B 点的速度为
B．小球离开B 点做平抛运动的时间为
C．若小球在B 点的加速度大小为2g，则A 点对小球沿斜面方向的弹力大小为
D．若小球到达B 点时受到沿斜面方向的弹力刚好为0，则小球的落地点与P 点间的距离为
考点02：绳球模型及其临界条件（2 单选+2 多选+1 填空）
一、单选题
1．（2023·江苏苏州·江苏省木渎高级中学校联考三模）2022 年3 月23 日，三位神舟十三号航天员翟志刚、
王亚平、叶光富相互配合完成“天宫课堂”第二次太空授课。如题图所示，授课中航天员叶光富手拉细线
不断加速让一个小瓶子在竖直平面内圆周运动，从而实现瓶内油水分层。如题图所示，若绳子长为l（瓶
子可视为质点），水的质量为m，则（ ）
A．油和水的向心加速度相等
B．油受到的向心力可能大于水
C．水受到瓶子的作用力为
D．瓶子在最高点的速度一定大于
3
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2．（2023·辽宁·校联考模拟预测）如图所示，一长为L 的轻绳拉着质量为m 的小球保持静止。现在给小球
一个水平初速度，使小球在竖直面内做完整的圆周运动，不计空气阻力，重力加速度为g，则下列判断正
确的是（ ）
A．小球在最高点的速度可以等于0
B．小球获得的初速度大小为
C．小球做圆周运动的过程中仅有一处合力指向圆心
D．小球过最低点与最高点时受到绳的拉力大小之差等于6mg
二、多选题
3．（2023·全国·模拟预测）如图所示，已知质量为m 的小球恰好能在竖直平面内绕固定点O 做圆周运动。
重力加速度为g，不考虑一切摩擦。小球做圆周运动过程中，下列判断正确的是（ ）
A．若小球和O 点间用细线相连，则在最高点细线对小球的拉力为0
B．若小球和O 点间用细线相连，则在最高点细线对小球的拉力为
C．若小球和O 点间用轻杆相连，则在最高点轻杆对小球的支持力为0
D．若小球和O 点间用轻杆相连，则在最高点轻杆对小球的支持力大小为
4．（2023·河北沧州·沧县中学校考模拟预测）一不可伸长的轻绳上端悬挂于
点，另一端系有质量为
的
小球，保持绳绷直将小球拉到绳与竖直方向夹角为
的
点由静止释放，运动到
点的正下方时绳断开，
小球做平抛运动，已知
点离地高度为
，绳长为
，重力加速度大小为
，不计空气阻力，下列说法正
确的是（ ）
4
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A．在绳断开前，小球受重力、绳的拉力和向心力作用
B．在绳断开前瞬间，小球处于失重状态
C．在绳断开前瞬间，小球所受绳子的拉力大小为
D．若夹角
不变，当
时，落点距起点的水平距离最远
三、填空题
5．（2023·四川南充·统考三模）某同学探究小球在竖直面内做圆周运动时向心力随位置变化的规律，选用
光滑的圆轨道，如图甲，圆轨道半径
，在轨道内侧距离最低点A 高度H 分别为0、h、
、
、
、
、
处固定有压力传感器，质量为m 的小球从A 点以速度
沿轨道内侧向右运动，记录小球在各
位置对轨道的压力F 的数值，作出
图像如图乙。
（1）若小球在A 点对轨道的压力大小为
，则F 与H 的关系可表示为
（用m、g、R、
H、
表示）；
（2）取重力加速度
，由图乙可得小球质量
，小球经过最低点A 时的初速度
。（
的结果用根式表示）
5
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考点3：杆球模型及其临界条件（3 单选+3 多选）
一、单选题
1．（2023·北京·模拟预测）如图甲所示，轻杆一端与一小球相连，另一端连在光滑固定轴上，可在竖直平
面内自由转动。现使小球在竖直平面内他圆周运动，到达某一位置开始计时，取水平向右为正方向，小球
的水平分速度vx随时间t 的变化关系如图乙所示。不计空气阻力。下列说法中正确的是（ ）
A．t1时刻小球通过最高点，图乙中S1和S2的面积相等
B．t2时刻小球通过最高点，图乙中S1和S2的面积不相等
C．t1时刻，杆中弹力一定最小
D．在小球做一次完整圆周动的过程中，杆中弹力不可能两次为零
2．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考模拟预测）如图所示，轻杆的一端固定在O 点，另一端固定一个
小球，小球随轻杆在竖直平面内绕O 点做匀速圆周运动。则（ ）
A．小球在运动过程中机械能守恒
B．小球在运动过程中加速度大小不变
C．小球运动到A 点时，杆对小球作用力方向指向圆心
D．小球运动到C 点时，杆对小球的作用力不可能为0
3．（2023·全国·模拟预测）如图所示，两个小球
、
通过一根刚性轻杆固定连接，沿半圆形凹槽下滑。
在两球滑动过程中.下列说法正确的是（ ）
6
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A．
、
两球的角速度大小相等
B．
、
两球的线速度相同
C．球
的向心加速度大于球A 的向心加速度
D．
、
两球所受向心力大小相等
4．（2023·福建泉州·校考二模）如图所示，质量为
的小球固定在杆的一端，在竖直面内绕杆的另一端做
圆周运动，当小球运动到最高点时，瞬时速度
，
是球心到O 点的距离，则球对杆的作用力是
（ ）
A．
的拉力
B．
的压力
C．
的压力
D．
的拉力
二、多选题
5．（2023·北京海淀·统考一模）如图所示，轻杆的一端固定在通过
点的水平转轴上，另一端固定一小球，
轻杆绕
点在竖直平面内沿顺时针方向做匀速圆周运动，其中A 点为最高点、
点为最低点，
点与
点
等高，下列说法正确的是（ ）
A．小球经过A 点时，所受杆的作用力一定竖直向上
7
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B．小球经过B 点时，其加速度的方向沿着
方向
C．从
点到A 点的过程，小球重力的功率保持不变
D．从
点到A 点的过程，杆对小球的作用力做正功
6．（2023·陕西·陕西师大附中校考模拟预测）如图所示，质量为4
，半径为0.5m 的光滑匀质细圆管用
轻杆固定在竖直平面内，小球A 和B 的直径略小于细圆管的内径，它们的质量均为2
。某时刻，小球
A，B 分别位于细圆管最低点和最高点，则下列说法正确的是（ ）（取
）
A．轻杆对细圆管的弹力与A、B 两球的速度差成线性关系
B．轻杆对细圆管的弹力与A、B 两球的速度平方差成线性关系
C．杆对细圆管弹力不可能为零
D．若A、B 两球的速度大小为
、
，此时杆的下端受到向上的压力
考点4：轨道与管道模型及其临界条件（3 多选+2 解答）
一、多选题
1．（2023·山东·模拟预测）如图所示，两个圆弧轨道竖直固定在水平地面上，半径均为R，a 轨道由金属
凹槽制成，b 轨道由金属圆管制成（圆管内径远小于R），均可视为光滑轨道。在两轨道右端的正上方分
别将金属小球A 和B（直径略小于圆管内径）由静止释放，小球距离地面的高度分别用
和
表示，两小
球均可视为质点，下列说法中正确的是（ ）
8
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A．若
，两小球都能沿轨道运动到轨道最高点
B．若
，两小球沿轨道上升的最大高度均为R
C．适当调整
和
，均可使两小球从轨道最高点飞出后，恰好落在轨道右端口处
D．若使小球沿轨道运动并且从最高点飞出，
的最小值为
，B 小球在
的任何高度释放均可
2．（2023·湖南·模拟预测）一半径为r 的小球紧贴竖直放置的圆形管道内壁做圆周运动，如图甲所示。小
球运动到最高点时管壁对小球的作用力大小为
，小球的速度大小为v，其
图像如图乙所示。已知
重力加速度为g，规定竖直向下为正方向，不计一切阻力。则下列说法正确的是（ ）
A．小球的质量为
B．圆形管道内侧壁半径为
C．当
时，小球受到外侧壁竖直向上的作用力，大小为
D．小球在最低点的最小速度为
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3．（2023·安徽·校联考三模）如图所示，地面上竖直放置一质量为M，半径为R 的内壁光滑细圆形管道，
质量为m 的小球在管道中，小球可视为质点，圆形管道与左边墙壁的距离为
，小球与环形管道
由静止向左平动做匀加速运动，运动过程中，小球与环形管道始终相对静止，过小球的半径与水平方向的
夹角为
，管道与墙壁碰撞后立即静止，重力加速度为g，则（ ）
A．小球与环形管道匀加速运动的加速度为
B．小球与环形管道运动到墙壁处的速度为
C．小球运动到环形管道圆心等高处时对环形管道的压力为
D．小球恰能通过环形管道的最高点
二、解答题
4．（2023·贵州毕节·统考三模）如图，在竖直平面内，固定有半径
和半径
的光滑圆形轨
道，他们轨道弧长分别占圆周的
和
，圆轨道与水平轨道分别相切于B 点和D 点，且平滑连接。某时刻，
让质量为
，不带电的绝缘小滑块P 从A 点静止释放，经圆轨道滑至B 点，从B 点进入水平轨道，
与静止在C 点的小滑块Q 发生弹性碰撞，滑块Q 的质量为
，电量为
。整个过程中滑块Q
的电荷量始终保持不变，滑块P、Q 均可视为质点，与水平轨道间的动摩擦因数均为
，BC 间距
，CD 间距
。滑块Q 从C 点到D 运动的过程中，存在垂直轨道平面向里磁感应强度
的匀强磁场；滑块Q 从D 点进入光滑轨道时，磁场消失，同时加入水平向右范围足够大的匀强电
10
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场，场强大小
。已知重力加速度
。求：
（1）小滑块P 刚到
光滑圆轨道最低点B 时对圆轨道的压力；
（2）小滑块P 与小滑块Q 碰撞后Q 的速度大小为多少？
（3）判断当Q 进入光滑绝缘半圆轨道后是否会脱离轨道。若不会，则求经过N 点的速度；若会，试求Q
离开半圆轨道时的速度大小为多少？（计算结果可用根式表示）
5．（2023·河北·校联考三模）如图所示，半径为R 的光滑圆轨道固定在竖直平面内，一小球（可看成质
点）静止在轨道的最低点，现使小球在最低点获得
的水平初速度，重力加速度为g，在此后的运
动过程中，求：
（1）小球刚要脱离圆轨道时，小球与轨道圆心的连线与竖直向上方向夹角的余弦值；
（2）小球第一次运动到最高点时与轨道圆心的高度差。
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