文档文本内容
微专题六 碰撞中的临界问题及多次碰撞问题
目录
01 析•考情精解...................................................................................................................2
02 构•知能架构...................................................................................................................3
03 破•题型攻坚...................................................................................................................3
题型一 碰撞中的临界问题及多次碰撞问题.....................................................................................................3
真题动向
倾向递推建模与数学归纳，考查速度衰减规律与总路程通项求解。
必备知识
知识1 碰撞中的临界极值问题..................................................................................................7
知识2 多次碰撞问题...................................................................................................................7
关键能力
能力1 数学归纳法解决多次碰撞问题......................................................................................8
命题预测
考向1 碰撞中的临界问题及多次碰撞问题............................................................................8
命题
轨迹
透视
从近三年高考试题来看，试题涵盖选择题及计算题，题目难度中等。
命题趋势：临界问题常以“恰好”“刚好”“最大”“最小”等关键词为突破口，
聚焦于速度相等时的转折点，如弹簧压缩至最短或两物体共速时动能损失最大，需
结合动量守恒、能量守恒和运动学规律建模。多次碰撞问题则侧重数学归纳法，通
过前几次碰撞数据推导递推关系（如速度或位移的通项公式），并融入生活实践情
境以增强应用性。
考点
频次
总结
考点
2025 年
2024 年
2023 年
碰撞中的临界问
题及多次碰撞问
题
2024•重庆•T14、2024•
湖南•T15
2023•全国乙卷•T12
2026
命题
预测
预计在2026 年高考中，命题将强化“物理-数学”融合，以递推思想和图像法为核
心。临界问题可能引入新情境。多次碰撞问题预计侧重递推公式的极限分析（如第
n 次碰撞的总位移计算），并拓展至多体连锁反应（如保龄球撞击序列），要求学
生结合v-t 图像或等比数列求和验证结论。
素养
目标
1.掌握碰撞临界条件(如速度相等)，能运用动量守恒解决临界问题。
2.学会拆解多次碰撞过程，能用守恒规律推理最终状态。
核心
能力
掌握整体法与隔离法、数学极限法、数学归纳法、图像法等解题方法
题型一 碰撞中的临界问题及多次碰撞问题
1．（2025·江苏·T14）如图所示，在光滑水平面上，左右两列相同的小钢球沿同一直线放置。每列有n 个。
在两列钢球之间，一质量为m 的玻璃球以初速度
向右运动，与钢球发生正碰。所有球之间的碰撞均视为
弹性碰撞。
(1)若钢球质量为m，求最右侧的钢球最终运动的速度大小；
(2)若钢球质量为
，求玻璃球与右侧钢球发生第一次碰撞后，玻璃球的速度大小
；
(3)若钢球质量为
，求玻璃球经历
次碰撞后的动能
。
【考向】碰撞中的临界问题及多次碰撞问题
【解题指导】第（1）问：利用等质量弹性碰撞的“速度互换”特性直接得出最右侧钢球的速度。第
（2）问：联立动量守恒与机械能守恒方程，解出玻璃球碰撞后的速度大小及方向。第（3）问：通过分
析连续碰撞中速度衰减的几何规律（每次反弹速度变为原来的 1/2 ），推导 n 次碰撞后的动能表达式。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）根据题意可知，所有碰撞均为弹性碰撞，由于钢球质量也为m，根据动量守恒和机械能
守恒可知,碰撞过程中，二者速度互换，则最终碰撞后最右侧钢球的速度大小等于开始碰撞前玻璃球的
初速度为
。
（2）根据题意可知，所有碰撞均为弹性碰撞，则由动量守恒定律有
由能量守恒定律有
解得
，
负号表示速度反向，则玻璃球的速度大小为
（3）根据题意结合小问2 分析可知，玻璃球与右侧第一个小球碰撞后反弹，且速度大小变为碰撞前的
，右侧第一个小球又与第二个小球发生弹性碰撞，速度互换，静止在光滑水平面上，玻璃球反弹后与
左侧第一个小球同样发生弹性碰撞，同理可得，碰撞后玻璃球再次反弹，且速度大小为碰撞前的
，综
上所述，玻璃球碰撞
次后速度大小为
则玻璃球碰撞
次后最终动能大小
命题解读
新情境：在光滑水平面上，左右两列相同的小钢球沿同一直线放置，中间一玻璃球以
初速度向右运动，与钢球发生正碰。所有碰撞均为弹性碰撞。
新考法：动量守恒与机械能守恒的综合应用; 多次碰撞的递推分析; 数学归纳与极限
思想
新角度：利用钢球质量相等时碰撞“速度互换”的结论简化计算; 通过分析每次碰撞
后玻璃球速度的比例关系，归纳出 n 次碰撞后的通式
2．（2025·湖北·T15）如图所示，一足够长的平直木板放置在水平地面上，木板上有3n（n 是大于1 的正
整数）个质量均为m 的相同小滑块，从左向右依次编号为1、2、…、3n，木板的质量为nm。相邻滑块间
的距离均为L，木板与地面之间的动摩擦因数为
，滑块与木板间的动摩擦因数为
。初始时木板和所有
滑块均处于静止状态。现给第1 个滑块一个水平向右的初速度，大小为
（
为足够大常数，g 为重
力加速度大小）。滑块间的每次碰撞时间极短，碰后滑块均会粘在一起继续运动。最大静摩擦力等于滑动
摩擦力。
(1)求第1 个滑块与第2 个滑块碰撞前瞬间，第1 个滑块的速度大小
(2)记木板滑动前第j 个滑块开始滑动时的速度为
，第
个滑块开始滑动时的速度为
。用已知量和
表示
。
(3)若木板开始滑动后，滑块间恰好不再相碰，求
的值。（参考公式：
）
【考向】碰撞中的临界问题及多次碰撞问题
【解题指导】第（1）问：判断木板初始静止的条件，对滑块1 应用动能定理求碰撞前速度。第（2）问：
通过滑块运动的加速度和位移关系建立相邻滑块速度的递推公式。第（3）问：确定木板开始滑动的临
界滑块序号 kk，结合动量守恒、位移关系及数列求和，解出 n 与 k 的关系式。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）滑块1 运动时，对木板的摩擦力为
地面对木板的摩擦力为
所以此过程中木板保持不动；每个滑块之间距离为L，所以对滑块1 根据动能定理有
解得
（2）滑块间碰撞时间极短，碰后滑块粘在一起运动，若长木板不动，第j 个滑块开始运动时加速度为
根据运动学公式，第j 个滑块开始滑动到和第
个滑块碰撞时，有
第j 个滑块和第j+1 个滑块碰撞过程中动量守恒有
联立可得
（3）当第k 个木块开始滑动时，木板恰好要滑动，此时有
解得
（n 为整数）
则第
个（即
）木块开始滑动时，木板开始滑动，要刚好不发生下一次碰撞，假设木板和剩下
的木块不发生相对滑动，则
则
木板和剩下的木块不发生相对滑动。
对前面
个（即
）木块，有
木板开始滑动时，刚好不发生下一次碰撞，则对前面
个木块和
个木块共速，且相对位移恰好
为
，则
则
又
则
则
j=1 时，第一个滑块开始运动的速度
，则
j=2 时，根据动量守恒定律可得
可得第2 个滑块开始运动的速度
，
则
由第二问可得，
，则对第3 个滑块到第
个滑块有
……
将从j=2 到j=k+1 相关方程累积求和可得
联立
，
可得
命题解读
新情境：足够长的平直木板上放置 3n 个质量相同的小滑块，木板与地面、滑块与木
板间存在动摩擦，滑块间碰撞后粘合。初始时给第1 个滑块向右的初速度，系统在摩
擦力和碰撞作用下运动。
新考法：多体动力学与临界条件分析; 碰撞与动量守恒的综合; 数列递推与累积求和
新角度：分析木板在滑块运动初期保持静止的条件，以及滑块数量累积到临界值时木
板开始滑动。将物理过程转化为递推数列问题。
知识1 碰撞中的临界极值问题
碰撞中的临界极值问题，指的是相互作用中的物体“恰好不相撞”“相距最近”“相距最远”或“恰
上升到最高点”等，求解的关键是速度相等。常见类型有
1)当小物块到达最高点时，两物体速度相同。
2)弹簧最短或最长时，两物体速度相同，此时弹簧弹性势能最大。
3)两物体刚好不相撞，两物体速度相同。
4)滑块恰好不滑出长木板，滑块滑到长木板末端时与长木板速度相同。
知识2 多次碰撞问题
多次碰撞问题涉及的主要模型有
1)两个物体之间或物体与挡板之间发生多次碰撞
2)多个物体发生连续碰撞。
能力1 数学归纳法解决多次碰撞问题
多次碰撞问题的处理方法是数学归纳法，先利用所学知识把前几次碰撞过程理顺、分析透彻，根据前
几次数据，利用数学归纳法，可写出以后碰撞过程中对应规律或结果，通常会出现等差、等比数列，然后
可以利用数学数列求和公式计算全程的路程等数据。
考向1 碰撞中的临界问题及多次碰撞问题
1．（2026·重庆·模拟预测）（多选）如图所示，一质量为
的小球A 从光滑固定的斜坡上由静止下滑，斜
坡底端与足够长的光滑水平面平滑连接，水平面上静置一质量为
的小球B。已知A 的初始高度为，重
力加速度为
，A、B 最终只发生了两次碰撞，且A、B 间的碰撞均为弹性碰撞。两小球均可视为质点，碰
撞时间和空气阻力不计，则（ ）
A．
B．
C．小球
的速度大小可能为
D．小球
的速度大小不可能超过
【答案】BD
【详解】AB．小球A 下滑过程，根据动能定理有
A、B 第一次碰撞过程，根据动量守恒定律有
根据机械能守恒定律有
解得
，
若k 小于或者等于1，则
方向向右，大小小于
，A、B 只能够碰撞一次，不符合题意，可知，k 一定
大于1，此时，
方向向左，A 向左再次滑上斜坡后又返回，根据机械能守恒定律可知，速度大小为
，为了使得A、B 再次碰撞，则有
解得
A、B 第二次碰撞过程，根据动量守恒定律有
根据机械能守恒定律有
解得
，
由于A、B 最终只发生了两次碰撞，当
方向向右，则有
，
解得
当
方向向左，A 向左再次滑上斜坡后又返回，根据机械能守恒定律可知，速度大小为
则有
，
解得
结合上述可知，为使A、B 最终只发生两次碰撞，则有
，故A 错误，B 正确；
D．结合上述可知，第一次碰撞后小球B 的速度
在
范围内，上述函数为减函数。第二次碰撞后小球B 的速度
根据对勾函数规律可知，在
范围内，上述函数也为减函数。可知，由于k 不等于
、
的最大值趋近于k 等于3 时的函数值，解得此时的函数值均为
，即小球
的速度大小不可能超
过
，故D 正确；
C．若小球
的速度大小为
，代入
解得
不符合题意。
若小球
的速度大小为
，代入
可知，k 值无解，不符合题意。即小球
的速度大小不可能为
，故C 错误。
故选BD。
2．（2026·江苏·一模）如图所示，一水平传送带以速度v0顺时针转动，其右端与足够长的光滑水平台面平
滑连接，在平台上静置质量均为2m 的n 个相同物块，等间距排列成一条直线。质量为m 的小滑块P 从传
送带的左端由静止释放，与传送带共速后，滑上平台与物块1 发生碰撞，最终所有物块都向右运动，设所
有碰撞均为弹性碰撞。
(1)求最右侧物块n 匀速运动的速度大小vn1；
(2)从静止释放滑块P 到其与物块1 发生第二次碰撞的过程中，求P 与传送带间摩擦产生的总热量Q；
(3)求全过程中碰撞总次数N 及物块1 的最终速度大小v1n。
【答案】(1)
(2)
(3)
，
【详解】（1）小滑块P 与传送带共速后与物块1 发生弹性碰撞，根据动量守恒定律，有
根据机械能守恒定律，有
解得
，
碰撞后，小滑块P 向左以速度大小
滑上传送带，物块1 向右滑动与物块2 发生弹性碰撞，根据动量
守恒定律，有
根据机械能守恒定律，有
解得
，
可知碰撞后，前一个物块的速度变为0，后一个物块的速度由0 变为前一个物块原来的速度，即两个物
块交换速度，则最终物块n 匀速运动的速度大小
（2）设小滑块P 从释放到和传送带共速经过的时间为，传送带的位移
小滑块P 做匀加速直线运动，运动的位移为
则有
根据匀变速直线运动速度与时间的关系，得
P 从静止到速度
，由动能定理得
与传送带因摩擦产生的热量
之后P 与物块1 第一次相碰，碰撞后P 以速度大小为
滑上传送带做匀减速直线运动先减速至0，运
动的时间为
传送带的位移
P 的位移
与传送带因摩擦产生的热量
后做匀加速直线运动，加速至
，根据运动的对称性，传送带的位移
P 的位移
与传送带因摩擦产生的热量
滑块P 从释放到和物块1 第二次碰撞，与传送带因摩擦产生的热量
（3）根据题意结合（1）分析可知，物块n 碰撞1 次后向右匀速运动，物块
碰撞2 次后向右匀速运
动，…依此类推物块1 碰撞n 次后向右匀速运动，则碰撞总次数
小滑块P 与物块1 第一次碰撞后反弹，速度大小变为碰撞前的
，物块1 的速度大小变为小滑块P 碰撞
前速度的
，即
，
之后物块1 又与物块2 发生弹性碰撞，速度互换，静止在光滑水平面上，小滑块P 反弹后经传送带改变
方向，以速度大小
与物块1 发生第二次碰撞，碰撞后小滑块P 再次反弹，且速度大小为碰撞前的
，
物块1 的速度大小变为小滑块P 碰撞前速度的
，即
，
以此类推，碰撞n 次后物块1 的速度大小为
