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专题07 碰撞模型及其拓展
目录
1．碰撞问题遵循的三条原则....................................................................................................................................1
2．两种碰撞模型的特点............................................................................................................................................1
3．碰撞模型拓展........................................................................................................................................................2
(1)“保守型”碰撞拓展模型................................................................................................................................2
(2)“耗散型”碰撞拓展模型................................................................................................................................2
1．碰撞问题遵循的三条原则
2．两种碰撞模型的特点
(1)弹性碰撞
两球发生弹性碰撞时应满足动量守恒定律和机械能守恒定律。
以质量为m1、速度为v1的小球与质量为m2的静止小球发生弹性正碰为例，有
m1v1＝m1v1′＋m2v2′
m1v1
2＝m1v1′2＋m2v2′2
解得v1′＝，v2′＝。
结论：
①当m1＝m2时，v1′＝0，v2′＝v1，两球碰撞后交换了速度。
②当m1＞m2时，v1′>0，v2′>0，碰撞后两球都沿速度v1的方向运动。
③当m1＜m2时，v1′<0，v2′>0，碰撞后质量小的球被反弹回来。
④当m1≫m2时，v1′＝v1，v2′＝2v1。
(2)完全非弹性碰撞
动量守恒，末速度相同，m1v1＋m2v2＝(m1＋m2)v 共，机械能损失最多，机械能的损失ΔE＝m1v1
2＋m2v2
2－
(m1＋m2)v 共2。
3．碰撞模型拓展
(1)“保守型”碰撞拓展模型
图例(水平面光滑)
小球－弹簧模型
小球－曲面模型
小球－小球模型
达到共速
相当于完全非弹性碰撞，系统水平方向动量守恒，满足mv0＝(m＋M)v
共，损失的动能最大，分别转化为弹性势能、重力势能或电势能
再次分离
相当于弹性碰撞，系统水平方向动量守恒，满足mv0＝mv1＋Mv2，机械
能守恒，满足mv0
2＝mv1
2＋Mv2
2
(2)“耗散型”碰撞拓展模型
图例(水平面或
水平导轨光滑)
达到共速
相当于完全非弹性碰撞，动量满足mv0＝(m＋M)v 共，损失的动能最大，
分别转化为内能或电能
【典例1】如图(a)，一质量为m 的物块A 与轻质弹簧连接，静止在光滑水平面上；物块B 向A 运动，t＝0
时与弹簧接触，到t＝2t0时与弹簧分离，第一次碰撞结束，A、B 的v－t 图像如图(b)所示。已知从t＝0 到t
＝t0时间内，物块A 运动的距离为0.36v0t0。A、B 分离后，A 滑上粗糙斜面，然后滑下，与一直在水平面
上运动的B 再次碰撞，之后A 再次滑上斜面，达到的最高点与前一次相同。斜面倾角为θ(sin θ＝0.6)，与
水平面平滑连接。碰撞过程中弹簧始终处于弹性限度内。求
(1)第一次碰撞过程中，弹簧弹性势能的最大值；
(2)第一次碰撞过程中，弹簧压缩量的最大值；
(3)物块A 与斜面间的动摩擦因数。
【题后总结】
【典例2】如图，质量为
、半径
的
圆弧形凹槽N 放在光滑水平面上，质量为
、
初速度
的小球P 从凹槽底端水平滑入。已知小球从滑入凹槽到分离过程中因两者的摩擦而产生的
热量
，重力加速度
。
在此过程中，下列说法正确的是（ ）
A．小球和凹槽组成的系统因合外力不做功而机械能守恒
B．小球和凹槽组成的系统因水平方向合外力为零而水平方向动量守恒
C．小球能从凹槽顶端冲出并继续上升的最大高度为0.125m
D．小球与凹槽分离后并以
的速度向右做平抛运动
【总结提升】
【典例3】在光滑水平面上，A、B 两个物体在同一直线上沿同一方向运动，A 的动量为18kg∙m/s，B 的动
量为
。A 从后面追上B，它们相互作用一段时间后，B 的动量增大为
，方向不变。下
列说法正确的是（ ）
A．若此过程为弹性碰撞，则两物体的质量之比为
B．若此过程为非弹性碰撞，则两物体的质量之比可能为
C．若此过程为弹性碰撞，则两物体的质量之比为
D．若此过程为非弹性碰撞，则两物体的质量之比可能为
【典例4】如图所示，在光滑的水平面上有一质量M＝4 kg 的平板车，小车右端固定一竖直挡板，挡板的
质量不计，一轻质弹簧右端固定在挡板上，在平板车左端P 处有一可以视为质点的小滑块，其质量m＝2
kg。平板车上表面Q 点的左侧粗糙，右侧光滑，PQ 间的距离L＝10 m。某时刻平板车以v1＝1 m/s 的速度
向左滑行，同时小滑块以v2＝8 m/s 的速度向右滑行。一段时间后，小滑块与平板车达到相对静止，此时小
滑块与Q 点相距d＝5 m，取g＝10 m/s2，求：
(1)小滑块与平板车相对静止时的速度v；
(2)小滑块与平板车之间的动摩擦因数μ；
(3)弹簧可能获得的最大弹性势能Ep。
【提炼总结】1．木板在光滑地面上滑动时，滑块和木板组成的系统满足动量守恒。
2．滑块不从木板上掉下的条件是两者达到共同速度，恰好不掉下的临界条件是滑块到达木板末端时两者
共速。
3．应注意区分滑块、木板各自的相对地面位移和它们的相对位移，用运动学公式或动能定理列式时位移
指相对地面位移；求系统摩擦生热时用相对位移(或相对路程)，即Q＝Ff·Δs(Δs 为相对位移)。
1．在水平气垫导轨上，运动的滑块
与静止的滑块
碰撞，碰后二者结合在一起。碰撞前后两滑块的速度
随时间的变化如图所示，根据图像可知（ ）
A．碰撞过程中滑块
动能的减小量等于滑块
动能的增加量
B．碰撞过程中滑块
速度的减小量等于滑块
速度的增加量
C．碰撞过程中滑块
动量的减小量等于滑块
动量的增加量
D．滑块
的质量大于滑块
的质量
2．如图所示，光滑的水平地面上放置了两个完全相同的物块
，一竖直轻杆固定在物块
上，轻杆上
端系一长
的不可伸长的轻绳，轻绳另一端连接小球C。现用外力将球C 拉起直至轻绳处于水平状
态后，将小球C 由静止释放，小球C 摆到最低点的同时物块
恰好发生碰撞，此后
粘在一起运动，
不计一切阻力，已知
，
均可视为质点，重力加速度
取
，下列
说法正确的是（ ）
A．整个运动过程中，
、
、C 组成的系统动量守恒
B．木块
碰撞后的速度大小为
C．木块
间的初始距离为
D．小球C 经过最低点后向左摆动所能上升的最大高度为
3．（多选）如图所示，光滑水平面上静止一小球B，小球B 的左端固定一轻弹簧，小球A 位于小球B 的左
侧，某时刻小球A 获得向右的初速度，动能的大小为
，已知小球A 的质量为小球B 质量的一半。下列说
法正确的是（ ）
A．弹簧的弹性势能最大时，小球B 的动能为
B．弹簧的最大弹性势能为
C．弹簧恢复原长时，小球A 与小球B 的速率之比为2：1
D．弹簧恢复原长时，小球A 的动能与初动能之比为1：9
4．（多选）如图所示，质量为2m 的小球B 静止在光滑水平面上，质量为m 的小球A 以某一速度向右运动，
经过一段时间与小球B 发生碰撞，已知碰前小球A 的动能为E0，下列说法正确的是（ ）
A．若两球发生的是完全非弹性碰撞，则碰后小球A 的动能为
B．若两球发生的是完全非弹性碰撞，则碰后小球B 的动能为
C．若两球发生的是弹性碰撞，则碰后小球B 的动能为
D．若两球发生的是弹性碰撞，则碰后小球A 的动能为
5．（多选）如图所示，三个半径相同的刚性小球A、B、C 穿在光滑、足够长的硬杆MN 和M1N1上，硬杆
MN 和M1N1在同一竖直平面内且相互平行，A、B、C 的质量分别为mA=1kg、mB=2kg、mC=6kg。刚开始三个
小球均静止，B、C 两球之间连着一根轻弹簧，轻弹簧处于原长且与硬杆垂直。某一时刻小球A 获得大小为
v0=18m/s 的速度向左匀速运动，与同一杆上的B 球碰撞后粘在一起（作用时间极短），则下列说法正确的
是（ ）
A．A 球与B 球碰后瞬间AB 的速度大小为6m/s
B．在以后的运动过程中，弹簧的最大弹性势能为54J
C．在以后的运动过程中，C 球的最大速度为4m/s
D．在以后的运动过程中，B 球的最小速度为2m/s
6．（多选）在某次冰壶比赛中，红壶沿直线运动，一段时间后与静止的蓝壶在大本营中心发生对心碰撞
（时间极短），如图甲所示，碰撞前后两壶运动的v-t 图像如图乙中的实线所示，其中红壶碰撞前后的图
线平行，两冰壶的质量相等，取红壶的初速度方向为正方向，下列说法正确的是（ ）
A．蓝壶与冰面的动摩擦因数更小
B．红壶碰撞前后瞬间的速度变化量为1m/s
C．碰撞后蓝壶的位移大小为2m
D．碰撞后蓝壶的位移大小为4m
7．如图所示，小球
从距水平地面高度为处开始做自由落体运动，运动
时，小球
速度水平向右，与
小球
在水平方向上发生弹性碰撞，碰撞时间极短，两球碰前瞬间的速度大小相等，
，重力加速
度大小为
，不计空气阻力，求：
(1)小球
碰前瞬间的速度大小；
(2)小球
碰后瞬间的速度大小
；
(3)两小球落地的时间差
；
(4)两小球在水平地面上的落点间的距离
。
8．如图所示，足够长的光滑水平面上静止放置两个形状完全相同的弹性小物块A、B，物块A 的质量
。在物块B 右侧的竖直墙壁里有一水平轻质长细杆，杆的左端与一轻质弹簧相连，杆、弹簧及
两物块的中心在同一水平线上，杆与墙壁作用的最大静摩擦力为9N。若弹簧作用一直在弹性限度范围内，
弹簧的弹性势能表达式为
，
。现给物块A 施加一水平向右的恒力
，其大小为
10N，作用1.6m 后撤去，然后物块A 与物块B 发生弹性碰撞，碰撞后两物块速度大小相等，B 向右压缩弹
簧，并将杆向墙里推移。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，求：
(1)撤去恒力
瞬间物块A 的速度大小；
(2)物块B 的质量及物块A 的最终速度；
(3)物块B 的最终速度大小。
9．如图所示，一质量为
的小球A 从某位置以初速度
平抛后从
点无碰撞进入光滑圆弧形轨道HF。已
知弧形轨道对应的圆心角
，OF 竖直，半径
。弧形轨道固定在光滑的水平面上，
点
右侧某处放置有两个大小与A 相同的球B、C，质量分别是
与
，两球用轻质弹簧相连，弹簧初始处于
原长状态，A、B 碰后结合成一个整体。重力加速度为
，小球均可视为质点，忽略空气阻力。
(1)求小球A 在
点的速度大小及在
点对轨道的压力大小；
(2)求之后弹簧弹性势能的最大值；
(3)若在A、B 碰撞的同时，在C 球的右侧某位置放置一个竖直弹性挡板，C 球与挡板碰后原速率反弹，且碰
后瞬间撤去挡板及HF 轨道。由于挡板所放位置的不同，弹簧最大压缩量也可能不同，求C 球与挡板碰后
弹簧弹性势能最大值的取值范围。
10．如图所示，质量为
的长木板锁定在光滑水平面上，质量为
的物块
放在上，质量为
的物
块
以初速度
从的左端滑上长木板，
与
碰撞前瞬间的速度为
，在
、
弹性碰撞后瞬间解除的
锁定，已知
、
与的动摩擦因数均为
，最终
没有滑离，重力加速度为
，不计物块的大小，求：
(1)初始
、
间的距离；
(2)
、
碰撞后瞬间的速度大小；
(3)开始时
到右端的距离至少为多少。
11．如图所示，置于光滑水平面上的轻弹簧左端固定，右端放置质量为
的小球
，小球
置于弹簧原
长位置。质量为
的小球
和质量为
、半径为
的光滑四分之一圆弧体C 静止在足够长的光滑水平面
上，圆弧体C 的水平面刚好与圆弧面的最底端相切。用力向左推动小球
压缩弹簧，由静止释放小球
后
与小球
发生弹性碰撞。小球
运动到圆弧体的最高点时，恰好与圆弧体相对静止。两小球均可视为质
点，重力加速度为
。求：
(1)小球
压缩弹簧时弹簧所具有的弹性势能；
(2)小球
与圆弧体C 第一次分离时小球
的速度大小；
(3)小球
第一次返回到圆弧体底端时对圆弧面的压力大小。
12．如图，一竖直固定的长直圆管内有一质量为3m 的静止薄圆盘，圆盘与管的上端口距离为，圆管长度
为
。一质量为
的小球从管的上端口由静止下落，并撞在圆盘中心，圆盘向下滑动，所受滑动摩擦力是
其重力大小的
倍。小球在管内运动时与管壁不接触，圆盘始终水平，小球与圆盘发生的碰撞均为弹性碰
撞且碰撞时间极短。不计空气阻力，重力加速度为
。求：
(1)第一次碰撞后瞬间小球和圆盘的速度；
(2)在第二次碰撞前圆盘下滑的距离；
(3)圆盘在管内运动过程中，小球与圆盘碰撞的次数。
13．如图所示，光滑水平地面的右侧平滑连接一竖直放置的半圆形光滑轨道CD，轨道半径R=0.5m。物块
A 和B 分别置于水平地面的不同位置，mA=3kg，mB=2kg。现使物块A 以某一初速度向右运动，一段时间后
与静止的物块B 发生正碰，碰后物块A 恰好通过圆轨道最高点D。物块A、B 通过D 点后做平抛运动，平
抛运动落地点间的距离为
，重力加速度g 取10m/s2。
(1)求物块B 通过D 点时的速度大小
(2)求物块B 通过半圆形光滑轨道CD 的过程中，所受合外力的冲量大小
(3)判断A、B 间的碰撞是否为弹性碰撞（不要求写计算过程）
14．如图所示，水平面上有两相同滑块c、d，
kg，滑块d 静止，其左边水平面光滑，右边水平
面粗糙，滑块c 以
m/s 的速度与滑块d 相碰，碰撞时间极短，碰后两滑块粘在一起，已知滑块与粗糙
面间的动摩擦因数
，取重力加速度大小
，求：
(1)滑块d 滑行的位移大小x；
(2)因摩擦产生的热量Q。
15．如图所示，在一段水平光滑直道上每间隔
铺设有宽度均为
、与光滑直道等高的固定矩形
防滑带。在第1 个防滑带的左边缘
点静止有质量为
的小物块P，另一质量为
的小物块Q
以垂直于防滑带边缘、大小为
的水平速度向右运动并与P 发生正碰，碰后Q 的速度恰好为0，
碰撞时间极短。已知P 与防滑带间的动摩擦因数均为
。P、Q 可视为质点，重力加速度
取
。
求∶
(1)碰撞前后P、Q 组成的系统的机械能的变化量
，并判断碰撞类型；
(2)P 最终停在第几个防滑带上，并求出其停止位置到
点的距离。
16．如图所示，长木板在光滑水平面上以
的速度做匀速直线运动，长木板质量
，某时
刻在长木板的右端轻放一个可视为质点的小物块，小物块的质量
，长木板右侧有一固定挡板，挡
板下方留有仅允许长木板通过的缺口，小物块与木板之间的动摩擦因数
，木板右端到挡板的距离足
够大，使得木板与物块共速后，小物块与挡板发生正碰，碰撞是弹性碰撞。
，
(1)若要小物块不从长木板上滑下，试求长木板的长度至少是多少？
(2)若长木板的长度足够长，质量变为4.5kg，试求小物块和挡板第一次与第二次相碰之间的时间。
(3)在第二问的基础上，小物块与挡板第n 次碰撞到第
次碰撞过程中，物块相对于长木板的位移是多少？
17．某同学研究小球碰撞现象．如图所示，光滑水平面上放置有两个半径相同的小球A、B，质量分别是
m，km，两小球一开始均处于静止状态．现给A 球一个水平向右的瞬时冲量I，A 球向右运动与B 发生正碰，
不计一切摩擦．求：
(1)A 运动的初速度
；
(2)若
，A 与B 发生碰撞后系统总动能损失了
，求碰后两球的速度
、
；
(3)若A 与B 碰撞后，系统的总动能损失了75％，求k 可能的取值范围．
18．一光滑圆弧轨道与粗糙水平面相切，一质量为
的物块
静止在圆弧轨道底端，另一质量为
的物
块
从圆弧轨道上距水平地面高为处由静止释放，
与
发生非弹性碰撞后，两者均向前运动最终均停
在水平面上，且
在水平面上的运动时间是
在水平面上运动时间的2 倍，
、
与水平面间的动摩擦因
数相同，重力加速度为
，碰撞时间不计，求：
(1)
、
在水平面上运动的加速度大小之比；
(2)碰撞结束瞬间
、
的速率之比；
(3)碰撞结束瞬间物块
的速率。
19．如图所示，C 球固定一轻质弹簧静止于光滑的水平面上，A 球以速度v0沿B、C 两球球心的连线向B 球
运动，碰后A、B 两球粘在一起，然后压缩弹簧，已知A、B 球质量都为m，C 球质量为2m，弹簧始终在弹
性限度内。求：
(1)整个过程中弹簧弹性势能最大值
；
(2)C 球速度的最大值vC
20．内壁光滑的“
”字形的管道平放并固定在水平地面上，俯视图如图所示。管道的左右两部分均可看
作半径为R 的圆，圆心分别为P、Q，衔接点为K。C、D 为过P、Q、K 直线与管道的两交点。将质量为
的小球A 放置于C 点，质量为
的小球B 放置于K 点。
时小球A 从C 点以速度
开始在管道内运
动，小球运动过程中不考虑管道叠放部分的高度差。
(1)若
，两小球发生弹性碰撞且碰撞时间极短，求小球A 第1 次回到C 点的时刻；
(2)若
，
，两小球发生弹性碰撞且碰撞时间极短，求小球A、B 发生第2 次碰撞的时刻；
(3)物体在实际碰撞过程中，其形变并不能完全恢复，为描述此现象可引入恢复系数e。若
，
，小球A、B 每次发生碰撞恢复系数均为
，求小球A、B 发生第3 次碰撞的时刻。（恢复系数
e 等于碰撞后两物体的分离速度
与碰撞前两物体的接近速度
的比值，即
，式中
、
为两物体碰撞前的速度，
、
为两物体碰撞后的速度。）
21．如图所示，在一头固定在
点且不可伸长的轻绳上系一个可视作质点的小球
，当把小球
拉到使轻
绳与水平面成
角时，轻轻释放小球
，运动到最低点时，小球
恰好与放在光滑水平面上同可视作
质点的小球
对心正碰。碰后粘在一起向左摆动，此后轻绳与竖直方向之间的最大偏角
，忽略空气
阻力，求：
(1)小球
的质量比
；
(2)小球
在碰撞过程中损失的机械能
与小球
在碰前的最大动能
之比。
22．将质量为
的物体
以一定初速度
从地面竖直向上抛出，
到达最高点时与水平飞来的质量为
的物体
发生碰撞，已知碰前物体
的速度大小为，碰后两物体粘在一起，碰撞时间极短。空气阻力不
计，两物体均可视为质点，重力加速度大小为
。求：
(1)物体A 从抛出到最高点所用的时间；
(2)两物体粘在一起后的落地点与
抛出点的间距
；
(3)两物体碰撞中损失的机械能
。
23．如图所示，质量为
的物块A 静止在光滑水平轨道上，轨道右端与一半圆形 粗糙轨道相切，
轨道半径R=0.1m 。质量为
的物块B 以初速度
滑向A，A 和B 碰后粘在一起运动，恰好
通过圆弧轨道最高点P。物块A 和物块B 可视为质点，重力加速度g 取10m/s²，求 ：
(1)A 和B 碰撞过程中损失的机械能
；
(2)A 和B 粘合体在刚进入圆轨道时，对轨道的压力大小F；
(3)A 和B 在半圆形粗糙轨道上运动过程中摩擦力所做的功W。
24．如图所示，可看成质点的B 物体叠放在上表面粗糙的A 板上，一起以v₀ 的速度沿光滑的水平轨道匀速
运动，A 与静止在同一光滑水平轨道上的C 物体发生完全非弹性碰撞，且A 与C 碰后立即取走C（该操作对
A 不产生影响），B 在A 上滑行，恰好能到达A 板的最右端。已知A、B、C 质量均相等，且为m，木板A
长为L，重力加速度为g。求：
(1)B 物体最终的速度大小；
(2)A、B 之间的动摩擦因数；
(3)B 在木板A 上滑行的时间。
25．如图所示，质量为2m 的小球Q 静止在光滑水平面上，其左侧有一光滑弧面槽A 静止在水平面上，弧
面槽A 轨道的截面可视为在竖直平面内半径为R 的四分之一光滑圆弧，轨道的最低点与水平面相切。球Q
的右侧有与轻弹簧一端连接的小球P，质量为m。当球P 以
的速度沿水平地面向左运动，与球Q
发生相互作用，分离后，球Q 冲上弧面槽A 恰能到达圆弧轨道的最高点。小球P、Q 均视为质点，弹簧始
终处于弹性限度内，不计空气阻力，重力加速度为g，求：
(1)弹簧的最大弹性势能；
(2)弧面槽A 的质量。
