1.26晚+1.27早-理论精讲-高等代数4+5-吉吉(1)_4-教培资料-26年最新资料-同步更新_科一科二电子资料合集中小幼（笔记真题知识点汇总等）文件多，按需保存_01西米合集_24上半年系统班

2 0 2 4 年 教 师 资 格 证 高等代数4+ 5 讲师：吉吉 更多干货关注 粉笔教师教育 粉笔教师P86 2024FENBI选+简 （二）向量组的线性相关性和最大线性无关向量组 2024FENBI 1 2 1 1 = = 1 0 - 0 1 0 1 2 2 = = 1 0 0 1 0 0 3 3 = = 0 0 1 0 0 - 3       例 例 ： ：     ， ，     ， ，     ； ； P88选+简 （二）向量组的线性相关性和最大线性无关向量组 2024FENBI 1 2 1 1 = = 1 0 - 0 1 0 1 2 2 = = 1 0 0 1 0 0 3 3 = = 0 0 1 0 0 - 3       例 例 ： ：     ， ，     ， ，     ； ； P88选+简 （二）向量组的线性相关性和最大线性无关向量组 2024FENBI 1 2 1 1 = = 1 0 - 0 1 0 1 2 2 = = 1 0 0 1 0 0 3 3 = = 0 0 1 0 0 - 3       例 例 ： ：     ， ，     ， ，     ； ； P89 1 1 0 1 1 0 1 1 0 𝐴 = 𝛼 ,𝛼 , 𝛼 = 0 0 0 → 0 0 0 → 0 1 1 1 2 3 −1 0 1 0 1 1 0 0 0 𝑅 𝐴 =?选+简 （二）向量组的线性相关性和最大线性无关向量组 2024FENBI 1 2 1 1 = = 1 0 - 0 1 0 1 2 2 = = 1 0 0 1 0 0 3 3 = = 0 0 1 0 0 - 3       例 例 ： ：     ， ，     ， ，     ； ； P89 0 1 0 1 0 0 𝐵 = 𝛼 , 𝛼 ,𝛼 = 1 0 0 → 0 1 0 1 2 3 0 0 −3 0 0 −3 𝑅 𝐵 =?补充P89 1 2 0 0 −1 2 例：判定𝛼 = ， 𝛼 = ，𝛼 = 线性相关性。 1 2 3 1 0 3 −1 0 0 1 2 0 0 −1 2 𝐴 = 𝛼 , 𝛼 ,𝛼 = 1 2 3 1 0 3 −1 0 0 2024FENBI补充P89 1 0 2 𝐴 = 𝛼 , 𝛼 ,𝛼 = 1 2 4 1 2 3 1 5 7 2024FENBI补充P89 2024FENBI2024FENBI 1 = a a a 1 2 n , 2 = b b b 1 2 n , , m = m m m 1 2 n    1 2 . . r r = ( ( ( A A ) ) 1 m m 2   m 1 1 )   2 2  m m           ① ② ③ 拼 初 比 矩 等 较 阵 行  A 变 换 ，  = ， 化 行   阶 向 向 ， 梯 量 量 ， 型 组 组 ： ， ， ， ， ， ， 必 必 线 线 性 性 相 无 关 关 ； 。 P89 选+简 考点—判断向量组的相关性的步骤 设有𝒎个𝑛维向量，P89 选+简 （二）向量组的线性相关性和极大线性无关向量组 2024FENBI考点：求极大线性无关组 2024FENBI ( ( ( ( 1 2 3 4 ) ) ) ) 1 A B , A 2 , ( , 1 , r 2 , , m ) ; 1 , 2 , , B m = ( 1 , 2 , , m ) 1 , 2 , , r                构 对 在 造 作 的 = 初 每 等 个 行 台 即 变 阶 为 换 上 向 ， 取 量 化 第 组 为 一 行 个 阶 非 梯 零 型 元 所 的 在 一 列 个 的 极 对 大 应 线 向 性 量 无 ， 关 构 组 成 。 向 量 组 选+简 找一个向量组极大无关组技巧：非零行第一个非零元所在的列对应的向量 例 ：  1 2 1 3 − 1 1 1 1 1 3 3 5 − 4 5 6 3 − − − − 3 5 2 7  →  1 0 0 0 − − − 1 1 2 2 1 1 2 2 − − − 4 3 7 6 − 1 1 2 3  →  1 0 0 0 − 1 0 0 1 1 1 0 0 − − 4 1 3 1 − − 1 1 3 1  P89补充P89 2024FENBI补充P89 2024FENBIP89 选+简 （二）向量组的线性相关性和极大线性无关向量组 2024FENBIP89  考点：极大线性无关组的性质 选 1 1 1 4 −3 1 1 1 4 −3 1 1 1 4 −3       2 1 3 5 −5 0 −1 1 −3 1 0 −1 1 −3 1       例： → → 1 −1 3 −3 −2 0 −2 2 −7 1  0 0 0 −1 −1       3 1 5 6 −7 0 −2 2 −6 2 0 0 0 1 1       2024FENBIP89 2024FENBIP89 2024FENBI 找一个向量组极大无关组技巧：非零行第一个非零元所在的列对应的向量P90 2024FENBIP90 2024FENBIP90 2024FENBIP90 选 （二）向量组的线性相关性和极大线性无关组 4. 向量组的秩 向量组的最大线性无关组所含向量的个数称为向量组的秩，记向量组A: 𝜶 ， 1 𝜶 ， … ，𝜶 的秩为R ，则R =R（𝜶 ，𝜶 ， … ，𝜶 ）。 2 𝑛 A A 1 2 𝑛 矩阵A的秩=非零子式的最高阶数＝矩阵A行向量组的秩＝矩阵A列向量组的秩＝ 有效方程的个数。 2024FENBI简 （三）线性组合 2024FENBI 1 = 1 0 0 2 = 0 1 0 3 = 0 0 2 b = 1 1 2    例 ： A :   ，   ，   ，   P90P91 选 （三）线性组合 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 2024FENBI 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1P91 𝑩 = 𝑨|𝒃 = 2024FENBIP91 2024FENBIP91 （三）线性组合 选 2024FENBI总结 2024FENBI一 线性方程组的分块表示 第三节 二 线性方程组的解 线 性 方 程 组 三 特征值与特征向量 四 相似矩阵 2024FENBI真题链接 初中真题 高中真题 2017年上：6 2017年上：6 2018年上：4 2018年上：4 2019年上：6 2019年上：6 2019年下：5 2020年下：10 2020年下：11 2021年上：6，11，14 2021年上：6，11，14 2022年下：14 2023年上：9 2024FENBI 2023年下：9 2023年下：92024FENBI 二 元 一 次 方 程 组 ：  x 2 + x − y y = = 0 3  （ ） 个 方 程 ， （ ） 个 未 知 数 。 线性方程组 n元一次方程组 二 元 一 次 方 程 ： x + y = 0   a x + a x + ... + a x = 0 11 1 12 2 1n n  a x + a x + ... + a x = 0  21 1 22 2 2n n    a x + a x + ... + a x = 0  m1 1 m2 2 mn n一、线性方程组的分块表示 P92 2024FENBIP92 2024FENBIP92-p93 考点： （一）齐次线性方程组的解 1.解的情况 2.基础解系 3.求通解 4.解的性质 2024FENBIP93 选 （一）齐次线性方程组的解 1 3 例3：𝐴 −1 2 𝑥 + 𝑥 = 0 1 2 例1：ቊ 𝑥 − 𝑥 = 0 1 2 𝑥 + 𝑥 = 0 1 2 例2：ቊ 2𝑥 + 2𝑥 = 0 1 2 2024FENBI2024FENBI 例 3 ．  取 何 值 时 ， 齐 次 方 程 组 ( 1 x 1 ) x 2 1 x 2 x 2 0 0  A ． 2 3 B ． 3 2  − − + C = ． = 1 有 非 零 解 （ D ） ． ． - 1 补充例题P93P93 （一）齐次线性方程组的解 2. 基础解系 2024FENBIP93-94 2024FENBIP94 2024FENBIP93 （一）齐次线性方程组的解 2. 基础解系 2024FENBIP94 （一）齐次线性方程组的解 简 3. 齐次线性方程组的解法 • ①将系数矩阵 A 化成行阶梯形矩阵 → 化成行最简形矩阵，判断其是否有非零解。 • ②若有非零解，确定齐次线性方程组的基础解系含有的向量个数 n-R（A）; • ③写出同解方程组，给定自由未知数的值，求出其他解； • ④写出其解:齐次线性方程组的通解可以表示成基础解系的“线性组合”： 通解形式 — 2024FENBI二元一次方程：x + y = 0  2024FENBI 三 元 一 次 方 程 ： x 1 + x 2 + x 3 = 0  同解方程组 自由未知数1 0 −2 4 考一考： 若未知数个数为4，若系数矩阵为 0 1 2 −2 ，基础解系的解 0 0 0 0 向量为多少个？同解方程组是什么？通解是什么？ 1 0 −2 4 𝐴 = 0 1 2 −2 0 0 0 0 2024FENBI1 0 −2 4 考一考： 若未知数个数为4，若系数矩阵为 0 1 2 −2 ，基础解系的解 0 0 0 0 向量为多少个？同解方程组是什么？通解是什么？ 1 0 −2 4 ①A= 0 1 2 −2 ， 𝑅(𝐴) = 2 < 4，基础解系中含有4 − 2 = 2个解向量 0 0 0 0 𝑥 = 2𝑥 − 4𝑥 1 3 4 ②同解方程组为ቊ 𝑥 = −2𝑥 + 2𝑥 2 3 4 ③ 2024FENBI1 0 −2 4 解：①A= 0 1 2 −2 0 0 0 0 𝑥 = 2𝑥 − 4𝑥 1 3 4 ②R(A)=2<4，基础解系中含有4-2=2个解向量，同解方程组为ቊ 𝑥 = −2𝑥 + 2𝑥 2 3 4 2 −2 ③令𝑥 = 1，𝑥 = 0，则𝑥 = 2， 𝑥 = −2,所以𝜉 = ， 3 4 1 2 1 1 0 −4 2 令𝑥 = 0，𝑥 = 1，则𝑥 = −4, 𝑥 = 2,所以𝜉 = ， 3 4 1 2 2 0 1 2024FENBI 𝑥 2 −4 1 𝑥 −2 2 2 ④所以方程的通解为： = 𝑐 + 𝑐 ， ∀𝑐 ， 𝑐 . 𝑥 1 2 1 2 0 0 3 𝑥 0 1 4P94 1 2 1 −1 A= 3 6 −1 −3 5 10 1 −5 2024FENBIP94 1 2 1 −1 1 2 1 −1 1 2 1 −1 1 2 0 −1 𝑟 + −3 𝑟 𝑟 + −1 𝑟 𝑟 + −1 𝑟 2 1 3 2 1 2 A= 3 6 −1 −3 0 0 −4 0 0 0 1 0 0 0 1 0 𝑟 −4 5 10 1 −5 𝑟 + −5 𝑟 0 0 −4 0 2÷ 0 0 0 0 0 0 0 0 3 1 2024FENBIP94 1 2 1 −1 1 2 1 −1 ； 𝑟 + −3 𝑟 𝑟 + −5 𝑟 2 1 3 1 解：A= 3 6 −1 −3 0 0 −4 0 5 10 1 −5 0 0 −4 0 1 2 1 −1 1 2 0 −1 ； 𝑟 + −1 𝑟 𝑟 −4 𝑟 + −1 𝑟 3 2 2÷ 1 2 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 𝑥 = −2𝑥 + 𝑥 1 2 4 R(A)=2，基础解系中含有4-2=2个解向量，同解方程组为ቊ 𝑥 = 0 3 −2 1 令𝑥 = 1，𝑥 = 0，则𝑥 = −2所以𝜉 = ，令𝑥 = 0，𝑥 = 1，则𝑥 = 2 4 1 1 2 4 1 0 0 𝑥 1 −2 1 1 2024FENBI 𝑥 0 1 0 2 1，所以𝜉 = ，所以方程的基础解系： = 𝑐 + 𝑐 2 𝑥 1 2 0 0 0 3 𝑥 1 0 1 4P95 选+简 （一）齐次线性方程组的解 4. 齐次线性方程组解的性质 2024FENBIP95 2024FENBI不用翻到106页，听老师讲即可！ P106 总结： 2024FENBI 线性空间𝑽 维数：寻找𝑽 的一组基，即找到一组极大无关组，故求秩； 𝒏 𝒏P95 选+简 （一）齐次线性方程组的解 5. 解空间 2024FENBIP96 2024FENBIP96 2024FENBIP95 选+简 （一）齐次线性方程组的解 5. 解空间 2024FENBI齐次线性方程组的解法总结 • ①将系数矩阵 A 化成行阶梯形矩阵 → 化成行最简形矩阵，判断其是否有非零解。 • ②若有非零解，确定齐次线性方程组的基础解系含有的向量个数 n-R（A）; • ③写出同解方程组，给定自由未知数的值，求出其他解； • ④写出其解:齐次线性方程组的通解可以表示成基础解系的“线性组合”： 通解形式 — 2024FENBIP96 考点： （二）非齐次线性方程组的解 1.解的情况 1. 定义 2.基础解系 3.求通解：形式、特解 4.解的性质 2024FENBIP96 选 （二）非齐次线性方程组的解 1 2 3 1 1 2 3 1 1 2 3 1 𝐴, 𝒃 = 0 1 2 3 𝐴, 𝒃 = 0 1 2 3 𝐴, 𝑏 = 0 1 2 3 0 0 0 2 0 0 1 0 0 0 0 0 𝑥 + 2𝑥 + 3𝑥 = 1 𝑥 + 2𝑥 + 3𝑥 = 1 𝑥 + 2𝑥 + 3𝑥 = 1 1 2 3 1 22 03 24FE 1 N 2 B 3 I ቐ 𝑥 + 2𝑥 = 3 ቐ 𝑥 +2𝑥 = 3 ቐ 𝑥 +2𝑥 = 3 2 3 2 3 2 3 0 = 2 𝑥 = 0 3回顾 𝑎𝑥 + 𝑥 + 𝑥 = 1 1 2 3 【例】已知线性方程组ቐ 𝑥 + 𝑥 + 2𝑥 = 2 ，求𝑎为何值时线性方程组有唯一解？何时无解？ 1 2 3 3𝑥 + 3𝑥 + 2𝑥 = 3 1 2 3 𝑎 1 1 令系数行列式为0，即: 1 1 2 = 0，解得：𝑎 = 1，无解。 3 3 2 𝟏 1 1 1 𝟏 1 1 1 2024FENBI 1 1 2 2 0 0 1 1 𝑅 𝐴 = 𝑅 𝐴, 𝑏 = 3 3 2 3 0 0 0 1P96 （二）非齐次线性方程组的解 2. 通解 2024FENBIP97 （二）非齐次线性方程组的解 简 3. 非齐次线性方程组的解法 ①将增广矩阵B=(A, b)化成行阶梯形矩阵→化成行最简形矩阵，判断其是否有解。 ②若有解，先求齐次方程组通解ξ = 𝒄 𝝃 + 𝒄 𝝃 +…… +𝒄 𝝃 ， 𝟏 𝟏 𝟐 𝟐 𝒕 𝒕 ③再对自由未知数重新赋值（常赋值“0” ），带入𝐴𝑋 = 𝑏，得一个特解，写出非齐次 通解𝑋 = ξ + 𝜂 ∗； 非齐次线性方程组解的通解形式：x=𝑐 𝝃 + 𝑐 𝝃 + …… + 𝒄 𝝃 + 𝜼 ∗ (𝒄 、𝒄 、… 1 𝟏 2 𝟐 𝒕 𝒕 𝟏 𝟐 𝒄 为任意常数)， 𝒕 ①不带参数部分𝜼 ∗是非齐次方程组的一个特解； 2024FENBI ②带参数部分 𝑐 𝝃 + 𝑐 𝝃 + …… + 𝒄 𝝃 的t个向量构成对应齐次方程的基础解系。 1 𝟏 2 𝟐 𝒕 𝒕P98 2024FENBIP98 2024FENBI二、线性方程组的解 P98 𝑥 = 2𝑥 + 𝑥 1 3 4 ቊ 𝑥 = 𝑥 + 2𝑥 2 3 4 𝑥 = 2𝑥 + 𝑥 − 2 1 3 4 ቊ 2024FENBI 𝑥 = 𝑥 + 2𝑥 − 2 2 3 4二、线性方程组的解 P98 𝑥 = 2𝑥 + 𝑥 1 3 4 ቊ 𝑥 = 𝑥 + 2𝑥 2 3 4 𝑥 = 2𝑥 + 𝑥 − 2 1 3 4 ቊ 2024FENBI 𝑥 = 𝑥 + 2𝑥 − 2 2 3 4解： ①对增广矩阵（A，b）进行初等变换判定解的情况： 则，R(A)=R(A, b)=2，所以方程组有解， 2024FENBI解：② 求解齐次方程组线性方程组的通解： R(A)=2，齐次方程组基础解系的解向量个数为4-R（A）=2，同解方程组为 2 𝑥 = 2𝑥 + 𝑥 1 1 3 4 ቊ ，赋值：令 𝑥 =1， 𝑥 =0得， 𝑥 =2， 𝑥 =1，故𝜉 = ； 𝑥 = 𝑥 + 2𝑥 3 4 1 2 1 1 2 3 4 0 1 2 1 2024FENBI =0， =1 2 1 2 令𝑥 𝑥 得， 𝑥 =1， 𝑥 =2，故𝜉 = ，所以齐次通解为𝑐 + 𝑐 ； 3 4 1 2 1 1 2 0 1 0 1 0 1∗ 解：③求非齐次特解𝜂 ，同解方程组为 −2 𝑥 = 2𝑥 + 𝑥 − 2 −2 ቊ 1 3 4 ，令𝑥 =0， 𝑥 =0，得它的一个特解为 𝜂 ∗ = ， 3 4 𝑥 = 𝑥 + 2𝑥 − 2 0 2 3 4 0 2 1 1 2 ④又基础解系为 𝜉 = ，𝜉 = ，所以非其次方程组通解为： 1 2 1 0 0 1 2024FENBI 𝑥 2 1 −2 1 𝑥 1 2 −2 2 = 𝑐 + 𝑐 + ，∀𝑐 ， 𝑐 。 𝑥 1 2 1 2 1 0 0 3 𝑥 0 1 0 42024FENBI2024FENBIP97 选+简 （二）非齐次线性方程组的解 3. 非齐次线性方程组解的性质 性质1：设𝜼 ，𝜼 是非齐次线性方程组AX＝b的解, 则𝜼 − 𝜼 是对应的齐次 1 2 1 2 线性方程组AX＝0的解。 性质2：设𝜼是非齐次线性方程组AX＝b的解, ξ为对应的齐次线性方程组AX ＝0的解，则ξ+ 𝜼是非齐次线性方程组AX＝b的解。 2024FENBIP97 2024FENBIP97 2024FENBI2024FENBIP98 2024FENBIP98 𝑟 − 𝑟 3 2 1 2 −4 −5 𝑟 − 𝑟 4 2 0 1 −1 −2 0 0 0 0 2024FENBI 0 0 0 𝑎 + 7P99 2024FENBIp100 已 知 𝑅 3 的 两 组 基 𝛼 = 1,0, −1 𝑇 , 𝛼 = 2,1,1 𝑇 , 𝛼 = 1,1,1 𝑇 与 𝛽 = 0,1,1 𝑇 , 𝛽 = 1 2 3 1 2 −1,1,0 𝑇 , 𝛽 = 1,2,1 𝑇。 3 （1）求由基𝛼 , 𝛼 , 𝛼 到基𝛽 , 𝛽 , 𝛽 的过渡矩阵； 1 2 3 1 2 3 （2）求𝛾 = 9,6,5 𝑇在这两组基下的坐标。 2024FENBIp100 【参考答案】 （1）设从基𝛼 , 𝛼 , 𝛼 到基𝛽 , 𝛽 , 𝛽 的过渡矩阵是C，则 1 2 3 1 2 3 𝛽 , 𝛽 , 𝛽 = (𝛼 , 𝛼 , 𝛼 )𝐶 1 2 3 1 2 3 −1 1 2 1 0 −1 1 0 1 1 故𝐶 = 𝛼 , 𝛼 , 𝛼 −1 𝛽 , 𝛽 , 𝛽 = 0 1 1 1 1 2 = −1 −3 −2 1 2 3 1 2 3 −1 1 1 1 0 1 2 4 4 2024FENBIP99 1 1 0 = + 2 三、基变换与坐标变换 2 0 1 2024FENBIp100 已 知 𝑅 3 的 两 组 基 𝛼 = 1,0, −1 𝑇 , 𝛼 = 2,1,1 𝑇 , 𝛼 = 1,1,1 𝑇 与 𝛽 = 0,1,1 𝑇 , 𝛽 = 1 2 3 1 2 −1,1,0 𝑇 , 𝛽 = 1,2,1 𝑇。 3 （1）求由基𝛼 , 𝛼 , 𝛼 到基𝛽 , 𝛽 , 𝛽 的过渡矩阵； 1 2 3 1 2 3 （2）求𝛾 = 9,6,5 𝑇在𝛽 , 𝛽 , 𝛽 这组基下的坐标。 1 2 3 2024FENBIp100 【参考答案】 （2）设𝛾在基𝛽 , 𝛽 , 𝛽 下的坐标是 𝑦 , 𝑦 , 𝑦 𝑇，即𝑦 𝛽 + 𝑦 𝛽 + 𝑦 𝛽 = 𝛾，即： 1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3 −𝑦 + 𝑦 = 9 2 3 ቐ𝑦 + 𝑦 + 2𝑦 = 6，𝑦 = 0, 𝑦 = −4, 𝑦 = 5。故𝛾在基𝛽 , 𝛽 , 𝛽 下的坐标是 0, −4,5 𝑇。 1 2 3 1 2 3 1 2 3 𝑦 + 𝑦 = 5 1 3 2024FENBI总结 2024FENBI