2023考研数学李永乐数学历年真题全精解析（数学二）1987-2008公众号：小乖考研免费分享_05.数学二历年真题_李老师版本数学二_李永乐历年真题全精解析（数学二）1987-2008

I 金榜时代行研数学系列 I V 矶客 J女个门各人芳册从训学校指定 JIl i; 15凉乐2023考研图书1本系］ 正版图书增倡服务亏孛乱包 在线苞摇 衢博全年定时在线笣菏 滑华李永乐考研数学辅导团队 肚群苔捅 厂勹 有i司叭苔，无1优畅字 工作巳9:00—18:00 仇质砚频淉程 尸 勹 墅缰 《数字呈础过关660题》严近藕讲OO ．丑芷曰五匠覆Z匮E夏正玉E 贪 微信扫右侧二维码， 关注 “V研客考研“服务号 盺课方 或扫本书封面右下方二维码即可获取听课通道 L .J数学历年真题 全精解析基础篇 （数学二） 编茗 © 李永乐王式安 刘喜波 武忠祥宋浩姜晓千铁军李正元蔡燧林胡金德 .·················································霍．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． ． ． --....一．．．．．．．．．．． ＠考研路上刚刚启程的你 勿溫今已不学布有莽巳，勿滇今年不学布有志年。曰月逝争， 岁不我延。 乙中国农业出版社 CHINA AGRICULTURE PRESS ．北京·囡下江呕缅口\~”“以加 数学历年真题全精解析：基础篇．数学二／李永乐 等编著．一北京：中国农业出版社， 2021. 7 （金榜时代考研数学系列． 2023) ISBN 978-7-109-18687-3 I.O数… II. ＠李… m. ＠高等数学—研究生一入 学考试一题解 IV. Q)013-44 中国版本图书馆 CIP 数据核字(2021)第 149928 号 中国农业出版社出版 地址：北京市朝阳区麦子店街 18号楼 邮编：100125 责任编辑1吕书毛志强 责任校对，吴丽婷 印刷：河北正德印务有限公司 版次：2021 年 7月第 1 版 印次：2021 年 7月北京第 1 次印刷 发行：新华书店北京发行所 开本：787mmX1092mm 1/16 印张：18 字数,427 于字 定价：69.80 元 版权所有·侵权必究 凡购买木社图书，如有印装质扯问题．我社负责词换． 服务电话，010·591951l5 010-59194918令垮呼代飞 {iJf数学系列 1冬I IS CLI5T.l.：看霍"......,...11 内容简介及使川说 IUJ 考研数学满分 150 分 ．数学在考研成纨中占的比例很大 ；同时又因数学学科本身的特点 ．考生的 数学成绩历年来千差万别 ．数学成绩好右考研中很占优势，因此有“得数学者考研成”之说。 既然数 学对考研成绩如此重要，那么就有必要探讨一下影I)向数学成绩的主要因素。 本系列图书作者根据多什的命题经验和阅卷经验，发现考（计数学命题的灵活性非常大 ．不仅表 现在一个知识点与多个知识点的考查难度不同，史表现右对多个知识点的综合考在上 ，这些题目在 农达上多—个字或多一句栝，对l)且都会变街截然不同。 正是这些综合型题目 拉开了考试成绩．而构 成这些难点的主要因素 ，实际 I是最扯础的基本概念、定理和公式。 同时．从阅卷反映的怕况来看 ． 考生答错题目 的主要原因也是对基本概念、定理和公式记忆和华握得不够熟练。 总纠为一句 话，那 就是 ·要想数学拿窝分 ，就必须熟练华拆丛灵活运用基本概念 、定理和公式。 基于此．李永乐考研数学辅导团队结合多年来考研辅导和研究的经验 ．精心编与 了本系列图书． 目 的在于帮助考生有计划、有步骤地完成数学复习 ，从基本概念、定理和公式的记忆，到对其的熟练运 川 ，循序渐进。 以下介绍本系列图书的主要特点和使用说朋 ．供考生复习时参考。 书名 本书特点 本书使用说明 _l 内容基础 · 提炼精准 · 易学易懂 （推荐使川时间：2021 釬 7 月 2021 年 12 月） 数字复习全 卞书根据大纲的考试范囚将考研所需复 考生复习过本校大学数学教材后 ， 即 可 Ii. 还础，i沁） 习 内容提炼出来 ． 形成考研数学 的基础内容 使用本书 。如果 大 学没 学过数学或者本校 和复习逻轨 ． 实现大字数学同考研数学之间 课本是自经教材 ． 与考研大纲差别较大 ， 也 的胚利过嗖 ．开自考研复习笫一篇幸。 可使用本书井代大学数学教材。 题目经典·体系完备 · 逻辑溃晰 （惟书使川时间．2021 年 7 月－ 2022 年 4 月 ） 与（（数学复习全书 · 基瑶篇》搭配使，Tl • 本书主编团队出版 20 多年的经典之作 ， 在完成对基础知识的学习后 ， 有针对性地做 拥有无数甘当 “ 自来水”的粉丝读者 ． 专研数 一些练习。帮助考生软练堂挫定理、公式和 学不可不入 ！ ”660”也早已成为考研数牛的 鲜匙技巧 ．加强知识点的前后联系 ． 将之 数羊店础i上 年度关钩词。 系化、 系统化． 分清空难点 ． 尽批缩短复 习 关）"远 本书蜇基础 ， 业概念． 业理论· 一旦你拥 周期。 有了《数学复习全书 · 基础篇 》《 数学某础过 虽吃书中都是选择迎和填空题 ． 同学们 关 660 题））教你的思维方式 ， 知识逻斩， 做题 不耍轻视．也不要一开始就官目做起。 打到 方法． 你就能基咄稳固 、思维灵活 ．对知识 、定 一逆题；要砒分辨出是考啪个知 识 点 可 考 什 理 、公式的理煞提升到新的高度．进免陷入复 么 ｀代后在做逆过程中 {t·行自 己是否掌握了 习中后期“基地不牢 ．地动山摇＂的好境。 这个知识点 ．应用的定理 、 公式的条件是否 孰悉 .ii样才算在正做好了一边起。 一一」 分类详解 · 注重基础 · 突出重点 （排若使Jlj时间2021 ;「 7 月－ 2021 仆 12 月 ） 数学历年儿 本书精远祔析 1987—2008 年考研数学 与《数学艾习全书 · 丛础篇》《数学基础 颂全叶解朸 弈题 ，帮助考生提前了鲜大学水平考试与考 过关 660 起》搭在使用 ．复习完一幸 ． 即可做 ． 品础篇 研远找考试的差别 ．不会盲目自信 ．也不会妄 相 应的章节弃题。 不会做的题目做好笔记 ． 自菲过．平秏跨入考研的门 t益。 第二轮复习时继续练习。 .」书名 本书特点 本书使用说明 I 系统全面， 深入细致． 结构科学 （才们凇用时间2O22 年 2 月一2022年 7 月） ] 利用（（数学复习全书 · 基础篇 》把基本 本书力作者团队扛鼎 之作 ， 主编之 一 的 知识甘佥”起来之后 ．再使用本书 3 本书有知 李水乐老师 更是入选 2019 年“ 当当 20 周年 识点的详细讲祒和相应的练习 题，有利干同 白 金作家“，考研界仅两位作者获此称号。 学11]建立考研知识体系和框架 ，打好甚础。 本书从基本理论、基础知识 、基本方法出 《数学复习全 在《数学基对过关 660 题》中若遇到不会 发 ．全面、深入、纽致地讲解考研数学大纲要 书 · 提商篇 做的度．可以放到这里来做。以立或节力单 求的所有考点 ， 不提供花拳绣烈的不实用技 位．学习 新内容前要复习泊面的内容．按照 一 巧 ，也不提倡误人子弟的费 时背书法 ， 而是扎 定的规律来发习。基础烛弱或中等储下的考 扎实实地带同学们深入每一个考点 ． 找到它 生 ，务必要利用考研当年上半年的时间 ．整体 们之间的关联 、逻辑 ， 让同学们从知识点芩 吃透今 中的理论知识、侯清例题设过的原理 碎、概念不清楚、期末考试过后即 忘的＇．低级” 和必要性｀特别是对大纲 中要求的某本概念、 水平，提升到考研必需的高度。 理论、方法要系统理解和浓握。 __ 真题真练 · 总结规律 · 提升技巧_ _（推l荐 使IIl时间：2022年-7 月 2022 年 II 月） 本书收录 2009—2022 年考研数学 的全部 边做题 ，边总结 ，遇到“卡壳＂的知识点 、 试题，将贞题按考点分类，还精选了其他卷的 题目 ． 回到《数学复习全书》和之前听过的基 顷学历年氏 试距作为练习起。力争做到考，占，全罚盖，题型 础课、强化课中 去补． 争取把每个其距知识 I 他全枯解析 多样，重点突出 ，不简单重复。书 中 的每道题 点吃透、捎懂 ．不留死角。 · 捉高篇）） 给出 的参考答案有常用 、典型的样法 ，也有技 通过做其题，进一步提高解题能力 和技 巧性强的特殊解法。 分析过程逻辑严谨、思路 巧 ，满足实际考试的要求。第一阶段， 浏 览 清晰．具有很强的可操作性，通过学习 ．考生可 每年共题， 熟悉距型和常考点。 第二阶段 ． 以独立完成对同央题的解答。 进行专项复习 。 | (（的等数学辅 经典讲义 ． 专项突破· 强化提商 （推？r仗用时间：2022 年 7 月 2022 年 10 月 ） 导讲义 i（线性代数辅 三本讲义分别由作者的教学讲稿改综而 带科较沮弱 ， 精研哪本。 搭配《数学强 忖讲义）） 成 ， 系统阐述了考 研数学 的基础知 识。 书中 化通关 330 题》一起使用 ，先复 习讲义上 的 钱t率论与数 例题都经过严格筛选 ｀归纳 ，是多年经验的总 知识占 ．做卒节例题、练习 ．再去听相关幸节 理统计埔导 结 ．对同学们的重点 、难点的把握准确 ， 有针 的强化课 ．做《数学程化通矢 330 光》的相关 讲义》 对性。适合认巩研读 ，做到举一反三。 习题，更有利于知识的巩固和提莉 ． | - I 综合训练 · 突破重点 ． 强化提商 （推竹使用时间,2022 年 5 月- 2022 年）0月 ） ，：.\数学强化通 强化阶段的练习超． 综合训练必备。具 与《数学基瑞过关 660 题》互为补充 ．包 关 1.:(｀ 题）） 有典型性、针对性、技巧性 、综合性等特点 ， 可 ＼ 含选择题、填空题和祒答题。搭程式商等数 以帮助同学们突破重点 、难点 ，软悉韶题思路 学辅导讲义》《线性代数辅导讲义））（（概率论 和方法 ｀增程应试能力 。 与数理统计绅导讲义》使用 ．效果更佳。 尸 冲刺模拟 ． 有的放矢· 高效提分 （扑I若使用时间2022 年 ］1 月 2022 年 12 月 ） - - - - I 《数学决胜；中 通过整套题的训练 ．对所学知识进行系 在精研真起之后 ． 用模拟卷练习 ． 找扴 刺 ，； 套卷） 统总结和杭理。不同于重点 题 型的练习 、 台 洞 ． 采持手感。 不要拍时间 、估分．遇到不今 要全面的知识， 要综合应用。必要时应复习 的题目 ， 回归基础 ，翻石以前的学习笔记 ，把 三概念 、公式、定理．准确记忆。 l 组迄题吃透。 —- 查淜补缺 ·问题沔零 · 从容应战 （推荐使用时间考前 20 天） 本书是常用定理公式 、基础知识的清单． |《数学临阵｝g 最后阶段 ，大部分考生缺乏信心 ． 感觉没复习 枪）） 搭配《数学决胜冲刺 6 套卷》使用 。 上 完，本来会做的距目 ， 因为紧张 、压力 过也容易 考场前．可以再次回忆 、寄看本书 。 出错。 本书能帮助考生在考前查 鼎 补缺｀ 确 保基础知识不丢分。 II.--. 、孜 ，了 —全榜时代 前 I F 本书是考研数学基础阶段的复习用书 ， 和（（数学复习全书 · 基础篇〉〉《数学基础过关 660 题〉〉组成一个完备的学习环，从“学”到“练“再到“测＂，一环扣一环 ．循环往复 ，螺旋进步。 本书 的一个重要作开］就是检测复习的效果，找准下一阶段复习或点和方向 。 本书的编写团队在近儿年的教学过程中发现，许多同学升始复习都挺早 ，但复习的效果 －却没有明显提高。 综合分析发现，考生盲目复习 ， 没有找到重点、找准方向，东一桏头西一梓 子，到后期强化阶段 ，做题有思路没办法，一些基础的计多？做不出，简单的概念也没有记住，导 致不能再进一步。 在拈11:I}阶段就做做真题，看看 自 己复习的程度与考试要求之间的差距，会让同学们更清 醒地认识到自己的不足。同学们要明确 ｀研究生招生是为高校选拔人才 ，相应的招生考试也 是选拔性的考试，就是通过考试成绩来区分考4层次。考题的命制就很讥究，要体现题目的 区分度，要右众多的考生中筛选出优秀的同学。 命题老师研究的是考生群体，往往抓住大多 数考生容易 出错的、理妍不到位的点，通过综合儿个“基础概念”来出题，比较准确地考出同学 们的真实能力 。 考试大纲上规定的考点，这些内容在各版教材、辅导书上都是—样的。那么 如何选取具体考点，以及针对具体考点如何出题，才是关键。通过真题研究与练习，在做题过 程中不断体会和总结，就能大致知迫命题老师是怎样设罚＂陷阱＂的。 虽然考过的题大多不会 再考，但“重者恒重＂，也就是说考试的核心内容是基本固定的 ．钳年考查形式虽有变化，但涉 及的主要知识点却是不变的，少数悄况下还有正复的原题。 所以，从某种程度上讲，具题的作 用真的很大。 全书共分两篇。 第一篇内容是 1987-2008 年的真题，可以宏观地看出 试卷的结构、考题 的分配比例 ；第二篇将真题按考点所屈内容分类并进行韶析，是本书的粕华部分。第二篇有 如下主要编排： I 本竞导读。 设悝本部分的目的是使考生明白此欧的考试内容和考试重点，从而在复 习时目标明确。 . 1 .2 试题特点。 本部分总结了本章知识点的历年考试出题规律，并分析可能的出题点。 } 考题详析。 本部分对历年真题的题迎进行归纳分类，总结各种题型的解题方法。这 些觥法均来自各位专家多年教学实践总结和长期命题阅卷经验。针对以往考生在解题过程 中普遍存在的问题及常犯的错误，我们列出相应的注意事项，对每一道具题都给出iJif（题思路 分析．以便考生真正地理解和华握解题方法。 I 练习题。 为了使考生更好地巩固所学知识，提高实际俯题能力，本书作者从 1987— 2008 年的其他试卷中粕心选取同类考题作为练习题，供考生练习，使考生在熟练华握基本知 识的基础上，能够有所巩固 。同时，每逍练习题都配备了详细的参考答案和销析，以便考生斛 答疑难问题时能及时得到详尽的指导。 另外，本书虽然定位是基础复习阶段用书，但并不是让同学们一上来就做真题，特别是基 础不好的同学，一定要先过一迵知识点，再通过做题加深理解。 书中对考题做了分类，总有些 类型的题目特别多 ，儿乎是年年都要考查的 ．对千这样的内容，一定要多练多做，并且熟记涉 及的基础知识、基本概念、基本职理或定理。 做题时 ．不能先看答案，一定要自己动手写，再比较自己写出来的答案和参考答案，看基 本思路是否相符、方法是否一致。 如果自己做的答案和参考答案相差甚远，一定要搞消问题 出在哪里，是审题错误还是知识理韶错误 ，是题观特点没掣握还是答题方法不熟悉。弄清问 题症结所在，然后下功夫照决这个问题，丁万不能只满足千做对一道题或只关注做了多少道 题，而忽视自己做题的质址和目的。 另外，为了更好地帮助同学们进行复习，“李水乐考研数学辅导团队”特在新浪微博上升 设答疑专区，同学们在考研数学复习中遇到问题，均可在线衔言 ，团队老师将尽心为你解答。 对于本书可能存在的不足与问题，恳诮读者批评指正。 衷心希望这本书能帮到同学们。祝同学们复习顺利，心想事成，考研成功 I 编者 2021 年 7 月 • 2 .第 一 篇 历钉具追 ( 1987 20U8 ) 1987 年全国硕士研究生招生考试数学（二）试题 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 3 19 88 年全国硕士研究生招生考试数学（二）试题．．．．．． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． ．．．．．．．．．．．.......•··... 5 1989 年全国硕士研究生招生考试数学（二）试题．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 7 1990 年全国硕士研究生招生考试数学（二）试题．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． ．．．．．． ．．．．．．．．．．．． 9 1991 年全国硕士研究生招生考试数学（二）试题 ............................................... 11 1992 年全国硕士研究生招生考试数学（二）试题 ................................................ 13 」993 年全国硕士研究生招生考试数学（二）试题 ................................................ 15 1994 年全国硕士研究生招生考试数学（二）试题 .. ............................................ 17 1995 年全国硕士研究生招生考试数学（二）试题 ..·............................................. 19 1996 年全国硕士研究生招生考试数学（二）试题 ...... ......................................... 21 1997 年全国硕士研究生招生考试数学（二）试题 ................................................ 23 1998 年全国硕士研究生招生考试数学（二）试题 ... ..................................... • 26 1999 年全国硕士研究生招生考试数学（二）试题 . .... .................... 29 2000 年全国硕士研究生招生考试数学（二）试题 ............................................... 32 2001 年全国硕士研究生招生考试数学（二）试题 .............................................. 35 2002 年全国硕士研究生招生考试数学（二）试题．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． ．．．．．．．．．．．．．．．.. 38 2003 年全国硕士研究生招生考试数学（二）试题．．．．．．．． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 41 2004 年全国硕士研究生招生考试数学（二）试题．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．...................... 4,1 2005 年全国硕士研究生招生考试数学（二）试题．．．..... ·...................•................... 4 7 2006 年全国硕士研究生招生考试数学（二）试题 .............................................. 50 2007 年全国硕士研究生招生考试数学（二）试题 ．．．．．．．．．.............................. ......... 53 2008 年全国硕士研究生招生考试数学（二）试题 ．．．．．．．．．．．．．．．．................................ 56 • 1..第二篇 真题斛析 第—部分 高等数学 ................................................................................. I) I 笫一 常 函数、极限、连续 ........................................................................ 61 第二芍i －元函数微分学 ........................................................................ 90 第＝．窄 一元函数积分学 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．............................................ ......... 142 190 第四 ＼＇,: 多元函数微分学．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． ．．．．．．．．． ．．． ．．．．.. ... 第冗序二重积分 ．．．．．． ．．．．．．．．．．．．，．．．．．．．．．．，．．．．．． ．，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． ．．．．．．．．． ．．．．．．．．．．．· 196 第六详 常微分方程 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．· ... ........................ .................. ... 202 第二部分 线性代数．．．．．．．．． ．．．．．．．..·•·······...................................................... :2:21i 第一节行列式．．． ．．． ．．．．．．．．．．........... ......................................................... 226 第二 i`h 矩阵 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．.................... 231 第＝．跻向簸 ．．． ．．．．．．．．．．．．．．．．．． .............................. .................................... 242 第四敢 线性方程组 ．．．．．．．．．．．．．．．．．． ．．． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．.. 253 第五欢 特征值与特征向隘．．． ．．．．.................... ... ......... .............................. 266 .................................................................................... 275 第六辛 二次拟 • 2 .I - 宁斤－止 I /. /' . ........、 I /、 l / ® \ ~、一／一、5\ ! / / \\ 11 I / / :: I I : l ' \ 第一篇 | ,,_JI | I \ \ -, / I I} / / ,I 历年真题 '---1 I \ \ -..,,, 、- f 了 _ _ z 、 \l, ______ \II 0 l _ I. · : .. .. ...... . ,· .、，.: , . •. ,,... 、 ，． .. . :::.. ~-'::..:_-_ -.: ·. ; . ` ` ·. . .. . ., , · . . . ·,. ...: . . .. . ' : . . . ． ' ··．: .. ·．• , ` 心 . . c ;， ,. ' ` , · · . 旷. . '., . ,· ` :. · , ' · • . " , · ' • • . r , . . . . . · . ' 矗 . , . , : . . . ' ' 、 , . . . , : . · . ' . ' . . · , . , . ' ' · . . . . ; , · . . . . · ' . ,• . : ;;令 ．．：＇｀ ．．｀．':.. .. ,...: . ... : • : . •. ;-、· . •.,:. . ., .-._ .. . . .. ' 、． ． .. 一. ,- .. 户一 `..· . . . . 、. ． '. .-.. ., .. -... ．．．． ．，一 ． • ;'., . . .•. '· 1 : , ..., -.. '., ·.. ·,, . . ·. ·: ·.. . ` . 一．． ． ． ，气． . _. ' ',....; . ... ·- .．、..． ． . ..,:. •, ••,•·' -·.··' -. . . . . .1987 年 令囚硕 l：研究牛招牛考试 数学（ 一: )试题 —、填生题（本题满分 分，每小题＇分） (1) 设 y = lnCl +a.x-) ，其中 a 为非零常数，则 y'= ,y fl = . P97,16 题 = (2) 曲线 y arctan .L 在横坐标为 1 的点处的切线方程是 ；法线方程是 Pl07,53 题 (3) 积分中值定理的条件是 ，结论是 Pl49,22 题 hmII - 2) \" (4) . ( = P73,37 题 ＂一立 11 + l (5)If'(.2)dx = ，『/（2~l.)釭 ＝ Pl53,34 题 " /__—~/' ( 二 、计算炉（本题满分，，分） ／ 紧帘寸 压的 1 1 ｀ 码与 iii~ ) P65,14 题 求极限h1,0m;((—~ -- ~ 一 ］）． —、计炉芒（本题满分 分） 设 {1 = 5(l-sm t) ， 求蚁业 y = 5 (l - cos t)． d立-'dx2· P97, 17 题 四、计乒题（本题满分、分） 计符定积分『拉rcsin i·d.r. Pl53,35 题 r, 五、韶答题（大堕满分 分） 设 D 是由仙线 y= 叩口＋ 1 与三条直线．1.·=0,.:z: = T[,y = O 所围成的仙边梯形，求 D绕 Or 轴旋转一周所生成的旋转体的体积． Pl75,93 题 六、证明题（本题满分 1 分） （］）证明 ：若 /(.1) 在(a,b) 内可导，且导数 f'G) 恒大于零 ，贝IJ./位）在(a,b) 内单凋增加 < (2) 若 g(x) 在 x= c 处二阶导数存在 ，且 g'(c) = O,g"(c) 0，则 g(c) 为 g(_r) 的一个 极大值． Plll,64 题 • 3 .七、计算题（本莲满分 1 分） 计贷．I 2 l 2 ）山，其中 u山 是不全为 0 的非负数 PU2,l 题 u.2sin2.]_·十/}C0S2．工． 八、解答题（本喷满分 1 分） dy (])水微分方程 1 - = 仁1 - y 满足条件 y I _ = o 的特解 P202,l 题 dJ.. .T-..f[ (2) 求微分方程 y”+ 2y' + .y = J..eJ 的通俯． P210,25 题 九、选择题（本题满分 1 ，分，行小亡 1 分） (l ) j (1) = |．吓in.{' I e'0'I (- < 1· <＋＝）是 (A) 有界函数 (B) 单调函数． （C) 周期函数 (I)) 偶函数． P61, 1 题 (2) 函数 jQ) = .J.sin :i; (A) 肾 ．r —片 文） 时为无穷大． (B) 在(- OO. +OO）内有界． (C) 在(— 0::), 十～）内无界． (D) 当 x ---- OO 时有有限极限 P63, 7 题 J伍 ＋ _r)- J(a - .r) (3) 设 f(.r) 在 x = a 处可导 ，则Jim 等千 工-o 立｀ (A) j ' (a). (1.3)2/'(a). (C)O. (D).f'(2a). P90, 1 题 1J: (4) 设 I = /Ct.r)d工，其中 j归）连续 ．~ >O,t >O,则 l 的俏 (A) 依赖千~.{. (8) 依赖于 1,t，x. (C) 依赖于 1 ,.1．不依赖于 1 (D) 依赖丁、，不依赖千 ， Pl60,55 题 十、解答芯（本 1, ;1 刀、 分） + 在第一象限内求曲线 y =-.1·2 l 上的一点，使该点处的切线与所给曲线及两坐标轴所阶 成的图形面积为最小，并求此最小面积． Pl75,94 题 • 4 .1988 年令同硕士研究牛招牛考试 数学（二）试汹 一、埴空腔（本题满分 ＇ 分 ，每小题 1 分） + a• （］）设．／（r) = { 2.r + X ~ 0 在（一=. ＝）内连续，则 (i = c' (sin x cos.T) ，工· > 0 P84,58 题 (2) 设／（I） = hmI(1 ＋ 上 ？t' ，则 J'（I) = . P97, 18 题 （3) 设 j．位）连续 ． 日］：一l3[：f) ＝工．帅l .I.(7) dt = （此题有误，可将题中条件改成[ J.(f)di = 艾 -I) Pl 60, 56 题 II (-1 )\' "" (4) hm J = P66. 15 题 又． 晕。， 石： ·1 J>-“归 ＝ ． (5) Pl54,36 题 。 —、选择题（本题满分 ． ，分，每小题；分） -1 —1 (l) JG) = .T'+ _r 2 + 6.r + 1 的图形在点(O.l ) 处切线与 I， 轴交，,,']，坐标是 3 2 (A) (- 主、0). ([3)(— 1. o) CC)(¾,o). ([))(1,0). Pl08,54 题 (2) 设 j飞1) 与 g(x) 存(- 0乙． 十=) 上皆可导 ．且 J(I) ＜叭I) ，则必们 > < CA)./（一儿:) g(一 1勹）． (B) t J Q) g ( I 3今） ． (C) limf(x) < limg(x). CD) I f/C(t)')cellLl < < I g(l)clt. Pl49,23 题 J -., (3) 若函数 y = JC.,) ，有 j'（立（，） ＝— . 则当 6.x->- 0 时，该函数在 X =.l、（1 处的微分 dy 2 (A) 与 A.1` 是笱价无穷小． （13) 与幻是同阶九穷小． （C) 是比幻低阶的无穷小 (D) 是比幻高阶的无穷小． P91,2 题 (4) 由曲线 y= 邓,+义(0 ~ .1 冬 动与 义 轴闱成的平而图形绕 1 轴旋转而成的旋转体体积为 c 2_3 4 A ( ) 2 2 (A)-;;勹 (B）子六． 六 (D) —冗． 3 $ 3 Pl76,95 题 (5) 设函数 y = f(.1) 是微分方程:!'- 2y' + 4y = 0 的一个航 ，且 f(::ro) > O,j'（工．I)) = 0，则 f(.1.) 在工。 处 (A) 有极大值， (B) 有极小值 (C) 某邻域内单刺增加 (D) 某邻坡内单洞减少 P112, 65 题 . 5 .三、韶答题（本题满分 厂 分，每小题一分） (1) 已知 j位） = e＇ ，j[中“)］ = 1 －工且甲位） ;:?; 0，求 cp釭）并写出它的定义域 P62,2 题 (2) 巳知 y = l+x心，求 y'I, ＝0 及 y'II.,、 0. P97, 19 题 1 1 (3) 求微分方程 y1 + —y= 的通解（一般储）． P202,2 题 ~r .T（了? 十 1) 四、韶答题（本题满分 I :z 分） 6 作函数 y = ? 的图形，并填写下表 父－－ - 2义·+4 单·ut]增加区间 (1 分） 单调减少区间 (2 分） 极值点 (3 分） 极值 (4 分） 凹(U) 区间 (6 分） 凸（门）区间 (7 分） 拐点 (9 分） 渐近线 (10 分） Pll8,84 题 五、解答题（本题满分 ：·， 分） 将长为 a 的铁丝切成两段，一段阶成正方形．另一段削成圆形，问这两段铁丝各长为多少时 正方形与圆形的面积之和为最小． Pll2,66 题 六、解答题（本题满分 1 分） 设函数 y = y（心满足微分方程 /-3/ + 2y = 2e勹且其图形在点(0, 1) 处的切线与曲线 y = 工2 —立· + 1 在该点的切线重合，求函数 y = y位）． P210,26 题 七、计莽题（本题满分 7 分） 设工多一 ］ ，求[1 0 -1 I ）也 t Pl60,57 题 八、解答题（本题满分 卜＇ 分） /J' 设卢）在（一 区， 三）上有连续导数目 m 冬 fU) 冬 M. (1) 求"\'0f + Cl) - , [j.(1 .j (l - a) ] dt, 0 I~ (2) 证明 一『八1)d1 - > f(x) M-111(a 0). Pl49,24 题 2aJ-a • 6 .1989 年全国硕士研究牛招牛考试 数学（ 二 ）试题 －娥空题（ 本题满分 且 分 ，每小题．； 分） Cl) lim立·cot 2.1· = P66, 16 题 X- 0 (2)『tsin 1d1 = Pl54,37 题 。 I: (3) 仆I1线 y = Ct - 1) (I - 2) dt 在点(0,0) 处的切线方程是 . Pl60, 58 题 。 (4) 设 j、(x) =x(x+ l)C.r + 2)…(？十 11) ，则 J'(0) = P98,20 题 (5) 设 f(:r) 是连续函数，且 J丘） = ｀:r + 2{f(L)d1 ，则 f(:,:) = _ . Pl54.,38 题 。 ={a +旷 ，．i. 冬 0' (6) 设 J(x) b义 . 立> 0 处连纨则常数 lI 与 b 应满足的关系是 sm 0 {-L.1- = `T P84,59 题 (7) 设 tan y = x+y,则 cly = P98,21 题 二、解答题 （本题满分 沪 分，每小题 1 分） (1) 已知 y = arc叩in er,，求 y'. P98,22 题 (2) 求I cl.r Pl4.3,2 题 l· In气，· (3) 求lirn(2sin x + co:;.i)气 P66, 17 题 '•O + x = In(l /2) . ': cly d2y (4) 已知 ｛ 求 P98,23 题 y = arctan I, 心＇d产＇ (5) 巳知 /(2) =了＇1 ．((2) = 0 及l飞。J(x)如 ＝ l ，求jo.J.2J11(2.1·)dx. Pl55,39 题 三、选择题 （本题满分 队 分，每小题 气分） ( l ) 当 .1· > 0 时，曲线 y = .1Sln -] - 又． (A) 有且仅有水平渐近线． (B) 有且仅有铅直渐近线． （C) 既有水平渐近线，也有铅直渐近线． (D) 既无水平渐近线、也无铅直渐近线． P119,85 题 < (2) 若 3a2 - 5/J 0，则方程 :r-5 + 2CL尸＋ 3位 ＋ 4c = 0 （A) 无实根 (B) 有唯一头根 (C) 有三个不同实根 (D) 有五个不同实根． Pl32,115 题 (3) 曲线 y = cos x(- —穴 < ｀亢飞桑？）与、1轴所围成的图形，名妇轴旋转一周所成旋转体的休积为 2 (A）王． (B)亢． (C) 三 (D)忒． 2 2 P176,96 题 • 7 .(4) 设两函数．f位）和 g(:i.) 都礼 f = ll 处取得极大伯·则函数 F(I) = J(x)g((· ) 1l ] = a 处 (A) 必取极大俏 (l3）必取极小值 (C) 不可能取极值 (D) 是否取极值不能确定． P112,67 题 (5) 微分方程 y"- y = e' + l 的一个特解应具有形式（式中 ll小为常数） + - (A)acJ I人 (B)u.re'+b. (C)ae'+ I只． (D) u.r e' I入r. P211,27 题 = (6) 发 f位）什又 ＝ u 的某个邻域内有定义，则 j(~1) 在 ．:r Cl 处可导的一个充分条件是 (A) ／，l!m/, ［小 ＋ 责）－ j（u)]存在． (B) hm J(u + 2h) —f(a + h) 存在 i.~~-,- h CC) lim , f (a + h) -J(a — h) 存在 (D) lim J (“) - r(a — h) 存在 h .(J 2h 1, •O H P91,3 题 四 、解答题l本迳满分 ，、 分） 求微分方程飞y' - (l - _r) y - c~'(0 < x < +、，）满足．y(1) = 0 的特解． P202,3 题 五、解答题（本题满分 7 分） I 设 f位） ＝ ;;in x - C.r 1)j'(1)d1．具中 I(1) 为迕续函数，求 f(.1) P2ll,28 题 六、证明题（本题满分一分／ 证明方程 In .1 ＝ 王＿『门＝飞汇汀d.1 仆区间(0, o::,) 内有且仅有两个小同实根． - e JV Pl33,116 题 七 、解答题（本晊满分 II 分） 对函数 y ＝ 义王 1 :l.fi写下表 7.- 单批j减区间 (2 分） 单训冲区间 (3 分） 极优点 (,I 分） 极(fI (5 分） 凹区间 (7 分） 凸区间 (8 分） 拐点、 (9 分） 渐近线 (1 1 分） P119,86 题 八、解答睦（本题满分 1，分） 设抛物线 y=a工2...L如 －I-( 过原点 ． 当 0 冬 r ~ l 时 y ;?;,: 0，义巳知该抛物线与 令i 轴及直线 `T= ］所削图形的面积为—试确定a.b.c 的值．使此图形绕又轴旋转一周而成的旋转体的体积 3 V 品小． Pl76,97 题 . 8 .1990 什：全日硕 l 矶 究生招牛考试 数学（一） 试题 、 空颍（ 一了高分 ） 分，每小题 ． 分） x = cos1'" t, ( I ) 仙线 { 上对应丁/=—亢 处的法线方程是 Pl08,55 题 .y = sm . 1 t 6 • (2) 设 y = e'""+ • sin 上．则 y'=_. P99,24 题 .:r I (3)f> 汀二心＝ . Pl55,40 题 I ；列两个积分大小关系式］一1e 心1i (l) 2l c丿， 如·. Pl50,25 题 一2 1. l x l~ l, (5) 设函数 /C.1·) = { 则 函数 f [J(x)] = P62,3 题 O, l xl > L 二字＃尸广芒万分厂分，岳小题分） (I) 巳知ltm(~ 3. - -- aa.3:i·· -- bb ) = 。，其中 a,I) 是常数，则 (/\)a = I,h = 1. (B)a =- .1./J = 1. (C)a = 1./J =- 1. (D)a = - l .b =- 1. P77,43 题 (2) 设函数们）在(- =. +=)上迕续 ，则 d[JJC1·) cl.,] 等于 (A) / (J). (B)．I位）d.J.. (C)J位） + C. CD)/(x)d.L Pl43,3 题 (3) 已知函数JO) 具有任意阶导数，且j.，（t) = ［j(、1·)J ，则当，， 为大于 2 的正整数时 ，f(忙r) 的 n 阶导数「(“(义-）为 (A) II! [/(.1') ]"~1. CB) 11[f C.r ) ]"d. (C)[J(7) ］气 (D) 1/! [f（工）］气 P99,25 题 (4) 设 j.（:r）是连续函数·且 F位） ＝『（（I)d(，则 F'口）等于 (A) - e'./(c J) - I (A). (B) - e一．'f(i.:') + J.（立:). + (C)e-'f(c') - JC.r). (D)c 了Ce') J (3) 求曲线 y (~r 0) 的拐点． Pl20,87 题 1 + 工.2 (4) 计符．I ln 工 2cl.1·. Pl43, 4 题 (1 -,1·) (5) 求微分方程式n .rely+ (y— ln .:r)dx、= 0 满足条件 y 11=,· 1 的特解 1=,· = P203,4 题 四、解答题（本题满分 分） 在椭圆兰 ＋~ = 1 的第一象限部分上求一点 P，使该点处的切线 ，椭圆及两坐标轴所酌图形 “一 的面积为最小（其中 a > O,b > O). Pl 77, 98 题 五、证明尸（本题满分 ，， 分） 1 证明 ： 当 x>O 时 ，有不等式 are tan .1夕 十 — 义: > - 卫 2. P129, 107 题 六、解答题（本题满分 、 分） 1 设 f釭）＝ 『 上 + 气 ，其中 x>O，求四） + j (-几． ）. Pl61,60 题 1 1 l 七、韶答贮（本题满分 分） 过点 P(l.O) 作抛物线 y= ✓了万的切线 ，该切线与上述抛物线及x轴割成一平面图形 ， 求此图形绕．t 轴旋转一周所成旋转体的体积． Pl77,99 题 八、解答腔（本题满分 I 分） __ 求微分方程 y11+ 4y1 + 4y = e'" 的通解 ，其中 u 为实数． P212,29 题 - 1 笭帘对应的 , 百码与践另 \~-_ __ • 10 •991 年令 l引硕 I垒垒研究牛招牛考试 数学（ ·.)试汹 —、l 空陓（本膀满分 分，每小题 分） (1) 设 y = lnO + 3') ，则 cly = . P99,27 题 (2) 仙线 Y = e,, 的上凸区间是 . Pl20,88 题 （3)I, 写如 ＝ Pl73,84 题 .1．一 (4) 原点以 lSm l；米／秒做直线运动 ，则从时刻 tl = 王秒到 f2 ＝石；秒内匝点所经过的路程 2 等于 米． Pl77,100 题 I 1-e 了'= __. (5) lim P66, 18 题 J 一1'于 工＋ c , _ j先详题（入确满分 ＇ 分，每小题 分） （l ) 岩曲线 y = .12 + m + b 和 2y =- 1 +x.沪在点( I . - I) 处相切 ．其中 （1.b 是常数 ．则 (A)a=O.b = -2. (B)a= L,b=-3. （） Ca __- A3b ＿ (L CI- (D)a =- 1,b = - 1. Pl08,56 题 ( 2 设 （ （丿、 函 ） ）数. ） 、 丿 j ( ，、丿 － ＿ ＿ I , L r 2 ? - , 又 ., O l <[ X 艾 < zjJcos :rsin yd义·cly. (B)2』工yd.1dy. /), (J, (C)4II釭y +' cos .rsin y)d.1..dy. < D)O. Pl97,3 题 l)1 . 11 .(5) 如右图，3· 轴上的一线密度为祸数µ，长度为 L 的细杆，有一匝址为 尸~ -I—a计 a m 声 m 的股点到杆右端的距离为 a ，巳知引力 系数为如则质点和细杆之间引力的大小为 (A)『三 (B)『三卓 (C)2『三 (D)2厂三鸟 -1 (a - x)'· 1) (a — 义.)2. 号 (a + .1")'. fl 位十一心2. P177,101 题 三、解答题（本题满分 .,-， 分，每I 题 ，， 分） (1) 设 ｛ y 义． = ＝ t / s c i o n s t t, ．气 工d 了 ？y P99, 28 题 (2) 计符I d.r Pl55,41 题 l.，飞（l +五）． n (3) 求lim ..:．-飞':＇; 一 S—I 1、 P66,19 题 ; ·_-o·.r 2 (e·' 1). (4) 求J.rsin2.rd.T. Pl43,5 题 (5) 求微分方程心:y' +y = .1·c' 满足 y(l) = l 的特侃仁 P203,5 题 四、证明题（本题满分 ［ 分） lnCl +.1.-) .t 利用导数证明 ： 当 x>l 时· > +.1.. Pl29,108 题 In 立. - 1 五、解答题（本题满分 li 分） + + 求微分方程 y" y =.:r cos 、1 的通储． P212,30 题 六、解答题（本题满分 (l 分） 曲线 y = （．1— 1)釭－2) 利1 立 轴围成一平而图形，求此平而图形绕 y轴旋转一周所成的）旋 转体的体积． Pl78,102 题 七、解答题（本题满分 l 分） 1/ = = 如右图，A.D分别是IIK线y C' 和Y c-2, 上的点，AB 和 区＇均垂直？轴 ．且 I AB I: I 0C I= 2 : 1, I AB I< 1 求点 B 和 C 的横坐标．仗梯形 ABCD 的面积最大． Pll3, 69 题 c x 八，计算题（本题满分（）分） 设函数 I(1) 在(— =· 十 CXJ）内满足 J(.1） = f'釭 —亢） 十 叩 1，且 J（r) = l .1 E [0，六） ．计符］3－J(1)d r Pl55 ,42 题 了 • l 2 .1992 年全 lKJ 硕 l汁讲究牛招牛考试 数学(`-)试题 －姐空题（本题满分广分，每小题 ．｝分） (1) 设｛X = f(t) － 亢书 且中 J 可导且 j'(0) -=I= 0．贝 d 尸 I, = . P99,29 题 y = j`(e\'— l). d.1.- II (2) 函数 y = .r + 2co、 .I 在区间尸子］上的最大伯为 . Pll3,70 题 1 — J厂三产 C3 ) lim P66,20 题 r -o C' — cos 工 (4) L区. d.1.= + Pl73,85 题 I.1.. (..t·; l ) (5) 由 曲线 y = xe' 与直线 y=c.1 所围成图形的面积 S = Pi 78,103 题 二、选择题（本题满分 l -，分，每小题气分） (l) 当义 一► 0 时，x- sin`？是正的 (A) 低阶无穷小 (B) 高阶无穷小 (C) 筠价无穷小． (D) 同阶但非等价无穷小． P78,47 题 { (2) 设沪） X2 , ．l· 冬 0, = + > 则 X2 T,.1 0, J.(- 父·) = { 一 ．产 ． X,:::_:;: 0, (B)．r（一．t） = {- （.1.·:+口 ,.1 < 0, (A) > - （又2+．心 ，:i.· 0. - ::z立 ， 1、~ 0. < o. (C)八一 .1-·) = { ｀付 ． 工乏 0. (D)f(- .1勹） = J正 一 ．r．．r > 艾2 _ 、飞．．X 0. ＼工？ ． ｀1. 多 0. P62,'1 题 2 _ I (3) 当工 一► 1 时 ． 函数:r 1 e 产 的I 极限 x - l (A) 等于 2. (B) 等千（）． (C) 为 (D) 不存在但不为 =. P67,21 题 (4) 设 J(.1） 连续，F(.:i·) = j 霄）d[，则 F'(:r）等丁 (A)八．£1 ). (B)x2/ C.r1). (C)2丑j.（.1＇) (D)21f(12). Pl62,62 题 (5) 若 J(3) 的导函数是 sin i，则 f(:r) 有一个原函数为 (A) 1 ＋ 寸n 工． (B)l -s1n :r·. (C)l + cos 几．． (D) l - cos 义． Pl43. 6 题 • 13 ·三 、解答题（本题满分 ： 分，每小题 分 ） 3 ＋工千 (1) 求.hr－－mL心(6 +．艾） · P67,22 题 d乙y (2) 设函数 y=y釭）由方程 y - .1它＝ 1 所确定，求—－ 的值 Pl00,30 题 矿 ．,=O 3 (3) 求I 工， cl., Pl44 ,7 题 二 (11) 求］汀一盂飞工． Pl56,4.3 题 。 (5) 求微分方程(y- 工勹d义 － 2.nly = 0 的通僻． P203,6 题 四、计算题（本题满分 分） = { 设 j位） 1 +义、2 心冬 0，求I3f釭— 2)cl.x > Pl56,44 题 e' , 0, 1 I 五、韶答题（本题满分 分） 求微分方程 y”-3y'+2y ＝工e' 的通fIIT( PZlZ,31 题 六、计功题（本题满分 ii 分） 1 计仅Ill线 y = In(1 －正）上相应于 0 冬 又 冬一 的一段弧的长度． Pl78、104 题 2 七、解答题（本题满分 分） 求曲线 y ＝嘉勹向一条切线l ，使该曲线与切线 l及直线,- = 0,孔 = 2 所围成图形而积最小． P178,105 题 八、证明题（本题满分 分 ） 设／＇丘） < O,J(O) = 0．证明对任何 :X1 > o..1.:2 > 0．有 J(工1+ ．工·2) < f(.1..I) + f(工2). P136,123 题 • l,1 •1993 年全国硕旧研究牛招牛考试 数学（二）试汹 —、埴空题（本题满分 1 分，每小题 ，， 分） Cl) lim:rIn 义．＝ P67,23 题 工一•O + + cly (2) 函数 y=y(丑） 由方程归in(工2 Y2) e _ .r沪＝ 0 所确定，则一 ＝ d几． Pl00,3] 题 (3) 设 F位） ＝『． （2 -卢贮＞ 0) ，则函数 F(`t) 的单调减少区间是 . Pll3,71 题 I (4) tan 工．如＝ ． Pl44,8 题 二 (5) 已知曲线 y = f(x) 过点（0' 告），且其上任一点（x,y) 处的切线斜率为 xln(l ＋王），则 J位） = P203,7 题 二、选择题（ 本题满分 厂 分，每小题 ．） 分） 1. l (1 ) 当 x ~ 0 II寸，变虽-¾-sin 一是 艾 ．工＇ (A) 无穷小． (B) 无穷大． (C) 有界的，但不是无穷小． (D) 无界的，但不是无穷大． P63,8 题 (2) 设 jG) 1 工／二1 1 心＃ l ，则在点工＝ 1 处函数 J釭） = { 2, _r = 1, (A) 不连续 (B) 连续 ，但不可导 (C) 可导 ，但导数不连续． （D) 可导，目导数连续． P84,61 题 工2 '0 冬工< l 工 (3) 已知 f釭） { (4) 设常数 k O, 函数 J(.d = In x - 王 +k 在（0' 十=) 内零点个数为 e (A)3. (B)2. (C) 1. (D)O. Pl33, 117 题 > > (5) 若 J(.1.） = - J（一 工） 在(0, 十=) 内 J'（.1.） 0，广(x-) 0，则 j.(1) 在（一 =,O) 内 (A)『(x) < 0，广(.1.) < 0. (B)j'(.1.) < 0．广（立 ＞ 0. > CC)f'（立） > 0，广Q) < 0. (D)f '(x) 0,广（心 ＞ 0. Pl20,89 题 三、解答题（本题满分 21 分，每小题 5 分） d2y (1) 设 y = sin［八．r勹］，其中 J 具有二阶导数 ，求一 d.r2. PlOO,32 题 (2) 求 lim 立:( ✓立卫＋ 100 +立）． P67,24 题 (3) 求j于 3. d．飞．． P156,45 题 + 1 cos 2.1 0 (4) 求『 bd义． P173,86 题 + . o (1 3·) + (5) 求微分方程(t2 — l)dy (2.1-y - cos .1·)d.T = 0 满足初始条件 y(O) = 1 的特侃（ P204,8 题 四、解答题（本题满分 9 分） = = 设二阶常系数线性微分方程 y”十ay1 + f3y YeJ 的一个特僻为 Y e2, + (1 +立:)e•T • 试确 定常数 a，伈Y，并求该方程的通韶． P213,32 题 五、解答题（本题满分 9 分） 设平面图形 A 由工2 + y2 ~ 2.1” 与 y 诊工 所确定 ，求图形 A 绕直线.r = 2 旋转一周所街旋 转体的体积． Pl79,106 题 六、解答题（本题满分 'l 分） 作半径为 r 的球的外切正圆锥 ，问此圆锥的高 h 为何值时 ，其体积最小，并求出该最小值． P114, 72 题 七、证明题（本题满分 （） 分） 设 义:> 0，常数 a > e. 证明 (a +.]_:)" 1, (A) 左右导数都存在 (B) 左导数存在，但右导数不存在． (C) 左导数不存在 ．但右导数存在． （D) 左、右导数都不存在． P91,4 题 + (3) 设 y =f釭） 是满足微分方程 y" y' - e、ln」= 0 的韶，且 f'(T。) = 0，则 f位）在 (A)m 某邻域内单惆增加 (B)父，） 某邻域内单调减少． (C).t`(） 处取得极小值 (D).1.。 处取得极大值 Pll4, 73 题 (4) 曲线 y = e勹 I ' arctan .1.: +．工 ＋ 1 的渐近线有 (.;i· - 1)（立 ＋ 2) CA) l 条 (8)2 条 (C)3 条． （D)4 条． Pl 21, 90 题 ~『- l、产:?co、,·d.1. j上一 (sin五十 cos五）d.1＇，P ＝『.!. sm五－ cosI.1)也则 (5): M V = (:r2 (A)N < P < M. CB)M < P < N. < < CC);V < M < P. (D)P M N. Pl50,26 题 • 17 •三、笫答题（本坛共 小题，每小题 飞 分 ，满分了分） (1) 设 y=f（工 ＋ y) ．其中 J具有二阶导数， 且其一阶导数不等千 l ，求更义 d.1.2· PlOJ ,34 题 (2) 计箕l. ` 'l .l（1 — 矿）沁 Pl56,46 题 。 (f +--=?;-- ). (3) 计狩 ,! l ~ i -~ mt ta a n n' " ， 王+ P74,38 题 B y (4) 求［也 + Pl44, 10 题 sin 2x 2sin 工． l (5) 如右图，设仙线方程为 y =.:i.-2+ —，梯形 OABC 的面积为 D ，曲 2 边梯形 OABC 的面积为 D1 ，点 A 的坐标为(a,O),a>O，证明 ： D 3_2 -DI < A x Pl80,107 题 四、解答题（本题满分 ， 分） 1 设当 x > O 时，方程如 十 亏＝ l 有且仅有一个解 ，求 k 的取值范册． Pl33,118 题 .1. - 五、；详答题（本题满分 1 分） + 4 !FL.1..:l 坟 y= 2 立： (1) 求函数的增减区间及极俏； (2) 求函数图像的凹凸区间及拐点； (3) 求渐近线 ： (4) 作出函数图形． Pl21,91 题 六、解答题（本题满分 I 分） + 求微分方程 y" azy ＝叩In.1、 的通解 ，其中常数 a > 0. P213,33 题 七、证明题（本睦满分 ， 分） 设 f位）在[O, 1] 上连续且递减，证明当 O < 入 < 1 时，I.If位）d.r 诊寸f(.r）扣 0 J 0 Pl 70,80 题 八、韶答题（本题满分 ） 分） 求曲线 y = 3-I :r:2 - 1 I 与 .1.. 轴闱成的封闭图形绕直线 y = 3 旋转所得的旋转体体积． Pl80, 108 题 • 18 ·1995 {I:｛令 H 硕 l：研究牛招牛考试 数学（ ＾~)试汹 一、滇空题（本题＃ 小起，导小题 ．； 分，满分 ！ 分） (l) 设 y = cos.r~邓in2 l__，则 y' ＝ PlOl,35 题 又． (2) 微分方程 y'' + y=－幻 的通韶为 , P2]3、34 题 (3) 曲线 {. y r = = l l A 气 ，在 t=2 处的切线方程为 . Pl09,57 题 l 2 (4) hm ( ），土 十 … ＋ II) P74,39 题 " ., ?r + /1+ 1 n2 + /1 + 2 沪＋ II+ n . = ' (5) 曲线 y X2 C -, 的渐近线方程为 Pl22,92 题 二、选择题（本笠共 小定，句小也 分，酒分一分） (l) 设J丘）和叭T) 在(-=， 十OO）上有定义，f(.x) 为连线函数，且 j（工）＃ 0，中（心有间断点 ， 则 (A)矶．f(.i.)］必有间断点． （8)[ (C) — c.1· - l) (2 - .1)心＋『x(.:i. — 1)(2 -.r)d.1． o) J 1 (D)『～:dx - l)(2 -.r)dx. P180, 109 题 。 > (3) 设 f(_1) 在(-=. + ～）内可导 ，且对任意立·! ，.1.2 . 当 1·1 > .Xz 时，都有 J(工1) f(工2) ，则 (A) 对任意义.j'（心 ＞ 0. (B) 对任意 .1,f'（— .1） ~ O. （C) 函数 J（一T) 单调增加． (D) 函数 － ．f(-:r）单讲］增加． Pll4,74 题 > (4) 设函数 f.(1·) 在[0,1] 上广（T) 0，则 ／＇（I) ,f'(0),f(]) - f(O) 或 f(O) — J.(l) 的大小 顺序是 (A)J,'(l) > f'(0) > J( l) - JCO). (B)j'(l) > j.(1) - J (0) > f'(0). (C)f(1) - J(0) > f'(l) > f'(0). > > (D)_['O) JCO) - f(l) J'CO). Pll5, 75 题 (5) 设 j釭）可导，F（工） = f(x)C l +I 邓in 工. I )． 若 F(3) 在．1,· = 0 处可导，则必有 (A)f(O) = 0. CB)j"(O) = 0. (C)f(O) + j'(O) = 0. CD)f(O) - /CO)= 0. P92,5 题 • 19 •三、解答题（本题共 Ii 小题，每小题 ； 分，满分 ．， 分） 1 －石忑了 ． （］）求 lim P67,25 题 x--11- 几:(1 — cos石） (2) 设函数 y y(.1）「h方程又｀臼＝ c｀ 确定 ，其中 j具有二阶导数且 J'# l，求巴义 = d.t. 2 • PlOl,36 题 (3) 设 f口－ 1) = lnh`t·2 ,且 j［ o，又 MT,MP 分别为该 二1o) (1 I '2）斗 曲线在点 M(xc •Yo) 处的切线和法线． 巳知线段MP 的长度为 气？ °“ y 0 （其中 y'o = y飞。） ，丈＝ y飞。）），试椎导出点 P(5叨） 的坐标表达式． x 。 Pl22,93 题 七、计算匣（太题满分、分） 设 f釭）＝［尸严·-v|绊I。汇）d.1 Pl57,47 题 八、证明题（本题满分 b 分） 设lim ·r （立 = 1 ,且/飞） > 0，证明 ：f釭）多 义． Pl36, 124 题 工-o ..l. • 20 •1996 年令囚硕 l 矶究牛招生考试 数学（．）试遍 空题（本题共，小题，每小题 4 分，满分 1 分） （］）设 y = (.r + C 令， ．则 y'| = . PlOl,37 题 , o I (2)f 红十汀=-7) 2 dx = _ . Pl57,48 题 I (3) 微分方程 y11 +Zy1 + 5y = O 的通解为 P213,35 题 3 \ ., I, , 1 (,I) ;~更工[sin ln(l + 了）— sin ln(l + 了) 1= P68,26 题 —1 (5) 由曲线 y= 气．｛ 十 ,x· = 2 及 y = 2 所刚图形的面积 S = PlSl,111 题 1. 二、九｀ 择题（木题共小题 ，每小题，分，满分 分） (1) 设当工 于 0 时 ，er — (a立2 十伈 ＋ ］）是比尸召 劭阶的无穷小 ，则 1 2. (1) 写出 f位）的反函数 g(．r) 的表达式； (2)g(-？.)是否有间断点、不可导点？若有 ．指出这些点． P93,8 题 六、科答罗（本题满分 分） + 设函数 j位）由方程 2i1 - 2y2 2工y —立'} = 1 所础定，试求 y=y位）的驻点 ，升判别它 是否为极值点． P115,77 题 七、f尸答三（本题满分 分） > 设 j位）在区间[a,b] 上具有二阶导数，且 f(a) = f(/J) = O,f (a)f'(b) 0. 证明 ：存在 ~ E (a,b) 和 71 E (a,b) 使 f符） = 0 及 J”(7) — 0. Pl37, 127 题 八、“今］（本题满分 、 分） 设四） 为连续函数 (1) 求初值问题｛y' 十 (ly = fG) , 的韶 y(x) ，其中 a 是正常数； YI =0 T 0 (2) 若 I f釭）匡; k (k 为常数）证明当 t 诊 0 时，有 I yCx) I~ —k (1 — e-ar) u P204. 11 题 • 22 •1997 {I：｛令 l中硕上研究牛招牛考试 数学（二）试题 —、滇空题（本题满分厂分，每小题 分） (1) 已知函数 j.（1.) ｛（cos 心:r)' ' 立＃ 0.在 x=O 处连纹 ．则 a= _. P85,64 题 = a , X = 0 | (2) 设 y= In✓下二．则 y'1 = PlOl,38 题 l +工仁 ., 0 (3)J~ = P146, 14 题 ✓•t (4 一．．r） (4)『． cl.1 = + + Pl73,87 题 0 .1、2 4.r 8 (5) 已知向显组 a1 = (1.2, - l.U .a2 = (2,0,t,O) .a3 = (0, - 11,5, - 2) 的秩为 2' 则 1 = P250, 10 题 二、选择题（每小题 ） 分，共 1 分） (1) 设．t· -► 0 时 ．e1nnx _ cr 1寸 t” 是同阶无穷小，则，！ 为 (A) I. (13)2. (C)3. CD)4. P79,49 题 (2) 设存区间[a、b]上函数J(x) > O.f(x) o.· 工＋ 2,x ＿ 义，工 多 0, (A( IC, 2 1 +2 , _ 2 工 2 < 0050 (( I, ? l1 -I r, 工 <>5/<0>5/ 0 丿、 - 工 >/<>/ 印 2-12+2工i 尸J ) - r _, 1 r. ,I - m ,I 1 P62,5 题 工 • 23 •三、解答题（满分 们 分勹小题兮 ） ✓4．召 ＋x － l +义:+ l (1) 求极限 lim + P68,27 题 r．一子 ✓1.2 sin .T {1 (2) 设函数 y = y(.1·) 「h = amtan 1, 所确定 ，求心 Pl02,39 题 2y - ty2 + c' = 5 d3. (3) 计算J芒(tan .1` + 1)2d.1.. Pl46.15 题 (4) 求微分方程(3x2 + 2工y-y勹缸 ＋ （1:·2 - 2:ry) dy = o 的通解． P205, 12 题 (5) 已知 .Yl ＝辽 ＋c2r ,Y2 = xc·' ＋产，必 ＝纣 ＋c2·' -e ' 是某二阶线性非齐次微分方 程的三个前平，求此微分方程． P214,37 题 1 1 (6) 已知矩阵 A [0 1 ::1:l 且 Ai E．具中 E 是 3 阶单位矩阵，求矩阵 B. = - AB = 0 0 P239, 10 题 四、解答题（本题满分 ｀ 分） 2立·1..L幻－ .1."3 = 1, 入取何俏时，方程组｛口 － J.2 +凸 ＝ 2` 无解 ，有11+—f叶或有无穷多i1贮并在41无穷多韶 位，十 5.1·i- 5.1:3 =- 1 时写出方程组的通解 P256,4 题 五扫合疤（本题满分 勺） = 设朋线 L 的极坐标方程 r r(O),M(r,O) 为 L 上杆一点，M。（2,0) 为 L 上一定点． 若极行 OM。 、OM 与曲线L 所围成的仙边扇形面积值等于L 上 M。 、M 肋点间弧长俏的一半 ．求I.II]线 1夕 的方程 P219.50 题 • 24 •六、解答题（本题满分 8 分） 设函数f(x) 在闭区间[O,1]上连续，在开区间(0,1) 内大于零，并满足可＇位）＝ J．Q)＋孕工2 (a 为常数），又曲线 Y = f(x）与 X = l,y = 0 所围的图形 S 的而积值为 2，求函数 y = J(x) ，升 问 a 为何值时，图形 S 绕工· 轴旋转一周所得的旋转体的体积最小． Pl82, 114 题 七、解答题（本题满分 8 分） 1 设函数f位）连续，中(x) ＝］八九）出，且hmj(x) = A(A 为诮数），求卢(x) 并讨论 p飞r) 0.r一·D .1.· 在 x=O 处的连续性． Pl63,66 题 八、解答题（本题满分 8 分） 就 k 的不同取值情况，确定方程工—王sin.r = k 在开区间代言穴 内根的个数并证明你的 2 结论． Pl34,120 题 • 25 •1998 年全国硕士研究生招生考试 数学（二）试题 一、填空题（本题满分 15 分，每小题 3 分） 江丁＋汃－ 2 ＝ (1) Jim P68,28 题 .r-o 工～ (2) 曲线 y=－工3+工2 十釭与工轴所围成的图形的面积A= Pl83,.l15 题 叫三立心＝ P146,16 题 sm 工 ·'·, -．七·- d.r (4) 设 f(x) 连续，则—f 订口气）dt=_. P'163,67题 d工。 1 (5) 曲线 y= 工In(e+ －）（工＞ 0）的渐近线方程为 Pl22,94 题 工 二、选择题（本题满分 15 分，每小题 3 分） (1) 设数列｛x"｝与{y.} 满足limx心＂ = 0，则下列断言正确的是 ”-OO （A) 若亿｝发散，则｛y.} 必发散． (B) 若亿｝无界，则{y.} 必有界． (C) 若｛心有界，则{y.} 必为无穷小． 1 (D) 若丘｝为无穷小，则{y”} 必为无穷小． P63,9 题 (2) 函数 f（工） = （工2 ＿工－ 2） |工3 ＿工 I 的不可导点的个数为 (A)3. (B)2. (C)l. (D)O. P94t9题 (3) 巳知函数 y = y(x) 在任意点 x处的增蜇 1:!,.y ＝产产;z+a，其中 a 是比 l:!i.x(l:!i.x一0) 的高 = 阶的无穷小，且 y(O) ＝穴，则 y(l) (A)2兀 (B)六． (C)e干． (D)六et. · P205,13 题 — (4) 设函数 f(:r) 在 :r=a 的某个邻域内连续，且 f(a) 为其极大值，则存在 8>0，当工 E (a 8,a+8) 时，必有 — (A)(x a)[f(x) - f(a)] ~ 0. 0)． 试建立 y与？）所满足的微分方程，并求出函数关系 式 y=.)心）． P219,51 题 八、解答题（本题满分 8 分） 设 y = J(．r) 是区间[O. l] 上的任一非负连续函数． . (l) 试证存在 .1.`i E(O,l) ．使得在区间[O..r。］ 上以「丘，）为尚的矩形而积． 吤丁在区间 [xo, 1] 上以 y = ［口）为曲边的仙边梯形而积． (2) 义设 J(．l）在区间(0, I) 内可导且 j飞） ＞－ 红尸l.证明（］）中的工。 足叽一的 Pl71.81 题 • 27 •九、解答题（本题满分 8 分） 设有曲线 y = h-二丁，过原点作其切线 气求由此仙线、切线及 1府 轴围成的平面图形绕又 轴 旋转一周所得到的旋转体的表而积 Pl83,116 题 十、解答题（本题满分 8 分） 设 y = y位） 是一向上凸的连续曲线 ，其上任意一点（艾，y) 处的曲率为 1 ; ，且此IlI1 二 线上点(0,1) 处的切线方程为y= 工 ＋l ,求该曲线的方程，并求函数 y = y（心 的极值． P220, 52 题 +—、解答题（本题满分 8 分） 设工 E C0,1) ，证明 ： < (1) (1 +立In气1 + x) x2; (2) 百 1 — l< ln(1 l ＋ 心—~ l < 了 1 P129, 110 题 十二、解答题（本题满分 5 分） = 设(2E - C-'B)AT C一1 ，其中 E 是 4 阶单位矩阵气矿 是 4 阶矩阵 A 的转罚矩阵， ; -』;; ::』 C - 『: :』 - : B 3 求 A. P240, 11 题 十三、解答题（本题满分 (i 分） 巳知 a1 = Cl,4,0,2)r ,az = (2,7,1,3)r 心 ＝ （0,1, 一 1 ,"尸 ，＇ ＝ （3,10,b,4)T ，问 (l)a ,b 取何值时，p 不能由 a1 ,a2 ,a3 线性表示？ (2)a,b 取何值时，p 可由 a1 .a2 ,a3 线性表示？并写出此表示式． P242,l 题 • 28 ·1999 年全国硕士研究生招生考试 数学（二）试题 －姐空题（每小题 3 分，共 l 一分） (1) 曲线｛I = 心n 2/，在(0,l ) 处的法线方程为 . Pl09,58 题 y = e1 cost (2) 设函数 y=y位）由方程 In（正＋y) = .1·3y+sin 工础定 ，则少 | = . clr 产0 Pl02,40 题 (3)I 1+5 + d:r = Pl46,17 题 .x2 - 6又: 13 (4) 函数 y ＝厂二了在区间［十，享］上的平均值为 . Pl57,50 题 (5) 微分方程 y11 - 4y = e'' 的通韶为 . P215,39 题 二、选择题（每小题 3 分，共 l.i 分） > 丿 1 -cos.1、,r O, (l) 设 J（x) = l 石 其中心）是有界函数，则 f(i) 在 .x = 0 处 o. 文.2g(x) . .1< (A) 极限不存在． （8) 极限存在，但不连续． （C) 连续，但不可导． (D) 可导 P94,10 题 (2) 设卢） ＝『 亚细，f3位） ＝厂｀，一Cl + +d t,则当工＇一► 0 时，a(.1) 是队x) 的 t) o l. J o (A) 高阶无穷小． （B) 低阶无穷小． (C) 同阶但不等价的无穷小． （D) 等价无穷小． P79,50 题 (3) 设 f位）是连续函数，F（.t) 是 j釭）的原函数，则 (A) 当 j(3.) 是奇函数时．F（x) 必是偶函数． (B) 当 j.（.T）是偶函数时．F(，:r) 必是奇函数． (C) 当 jQ) 是周期函数II寸 ，F位）必是周期函数． (D) 当 j,（心是单调增听数时，F（.T） 必是单调增函数． Pl63,68 题 (,[)”对任意给定的 o:E(O. l) ．总存在正整数 N．当 11 ~ N 时，恒有 1 又" -a l 冬 2c” 是数列归，，｝ 收敛丁 a 的 (A) 充分条件但非必要条件 (B) 必耍条件但非充分条件． (C) 充分必婓条件． (D) 既非充分条件又非必要条件． P64, 10 题 • 29 •义:-2 ～L` 一］ r-2 .r - 3 2x -2 2.1.. - 1 2.r - 2 21、 - 3 (5) 记行列式 - - 为 f(t) ．则方程 f(.r) = 0 的根的个数为 3.1. 3 3.r - 2 4.1. 5 3x- 5 - 4.1` /l . ] - 3 5.r - 7 4工 － 3 (/\.) l. (B) 2. (C)3. (D) 4. P226,l 题 三、解答题（本题满分 5 分） 求lim ✓.1 + tan ] - ✓1 + sm . } P69, 29 题 ;·:, .1－ln(l +x)- .1心 四、解答题（本题满分 (i 分） 计符I- arctan.1 dt 参 Pl74,89 题 工．一 五、解答题（本题满分 7 分） > 求初值问题1 (y1+ ✓矿十 f)d.1- 贮rdy = OC.r 0) , 什勺ii早． P205, 14 题 YI = 0 六、解答题（本题满分 7 分） 为消除丿I肤的污泥 ． 川缆绳将抓斗放人井底，抓起污泥后捉出井口 （如小 图）已知井深 30 m． 抓斗自重 100 ~-缆绳每米正 50 \I． 抓斗抓起的污泥重 2 000 \I.捉升速度为 3m/、． 在提升过程中 ， 污泥以 20 N/s 的速率从抓斗缝腺中 厢掉， 现将抓起污泥的抓斗捉升至升口 ，间克服巫力',i'11｛个多少住耳的功？ ',' '" （说明 ：(Dl.'\I X ] m = lJ ;m.:\/.s.」分别表示米，牛顿，秒．焦耳． ＠ 抓斗的 础段及位丁丿十口上方的缆绳长度忽略不计． ） Pl83,117 题 七、解答题（本题满分 8 分） `r 飞 巳知函数 y= .， ·求 (.1·- I)' (l) 函数的增减区间及极值； (2) 函数图形的凹凸 区间及拐点 ： (3) 函数图形的渐近线 Pl23, 95 题 • 30 •八、解答题（本题满分 5 分） 设函数 f(.1）在闭区间[- 1. l] 上具有三阶连线导数．且 f(- 1) = O,J(l) = 1./(0) = 0．证明 ：在开l氐间(- l , ］ ） 内至少存在一点 ：，使 广符） = 3. Pl38, 128 题 九、解答题（本题满分 5 分） > 设函数 y(1)（3 诊 0) 二阶 可导，且 y'(x) O.y(O) =］． 过1111线 y = y釭）上任意一点 P(r亡 .y) 作该曲线的切线及 3 轴的垂线 ，上述两直线与．又 轴所围成的＝角形的而积记为 S1 ， 区 间[O，立．］ 上以 y = y(.r) 为仙边的曲边梯形面积记为 S2 ，并设 2S1 - S2 恒为 1 ．求此曲线 y = y(.1) 的方程 P220,53 题 十、解答题（本题满分 7 分） ,' ,' 设尸）是区间[O, +=)上 1丫1调减少且非负的连续函数 ．u，， = 2f(K) －I fG)d义:(n = k., I I l, 2.…） ，证明数列{u,, ） 的极限存在． P64, 11 题 十一、解答题（本l题满分 (1 分） - l 设矩阵A = -lll ，矩阵 X 满足 A +2X，其中A 是A 的伴随矩阵，求矩 —l l X = A 1 l - ] l 阵 X. P240, 12 题 十二、解答题（本题满分 8 分） 设向妞组 a1 = (1,J.l,3)T,a2 = (-l,-3,5,1)T,a3 = (3 ,2,- l,J; +2)「 ，q = (- 2, -6.10.jJ)T. (1) p 为何俏时． 该向屈组线性无关？并在此时将向扯 a = (4. l,6,10)T 用 a1 ，负也 ．“1 线性 表出； (2) p 为何（如1寸，该向屈组线性相关？并在此时求 出它的秩和一个极大线性无关组． P250,ll 题 • 31 •2000 年全因硕士研究生招生考试 数学（二）试题 一、填空题（本题共 5 小题，每小题 3 分 ，满分 15 分） arclan x - x Cl) lim = P69,30 题 x-.o ln(l + 2x3) (2) 设函数 y = y位）由方程 2'"Y = X + y 所确定，则 dy| = . Pl02,41 题 ,mo (3)厂 山· Pl74,90 题 2 釭 ＋ 7）二 (4) 曲线 y ［厂。l）e上0的斜。渐近线方程为 P123,96 题 (5) 设 A = :1 ,E 为 4 阶单位矩阵，且 B ~ (E+A)-' (E-A) ，则(E+B)一1 - 2 - 4 : = 0 0 -6 7 P234,6 题 二、选择题（本题共 5 小题，每小题 3 分，满分 1:, 分） (1) 设函数［釭）＝ +工 br 在(— ~， 十=) 内连续，且 lim J位） = 0，则常数 a,b 满足 a e - X- OO (A)a < O.b < 0. (B)a > O,b > 0. (C)a ~ O,b > O. (D)a ~O,b J(b)g釭）． (B)f位）g(a) > J (a)g（心． CC)J(x)g(x) > f (h)g(b). (D) J位）g(x) > J (a)g(a). P116,80 题 sin 6.r＋订（心 6+J(x) (4) 若Jim =0，则lim 2 为 3 .r-o 工 工一0 工 (A)O. (8)6. (C)36. (D)oo. P70,31 题 (5) 具有特解 Yi = e-.r 心2 =2工e-_r ,y3 = 3e.r 的 3 阶常系数齐次线性微分方程是 (A)y"'-y"-y' +y=O. (B)了 ＋ y" - y'- y = 0. (C)yn'-Gy'， 下 lly' - Gy=O. (D)y，，，一 2y"- y'+ 2y = 0. P215,40 题 • 32 •三、（本题满分 5 分） 设 f(ln x) = ~工十心 ，计算ffCx)d几．． Pl47,18 题 四、（本题满分 } 分） 设 xOy 平面上有正方形D = {(x.y) I O~x~ l,O~y~ 1 } 及直线 l,x+y = t(t ~O). 若 S(t) 表示正方形 D 位于直线 l 左下方部分的面积，试求[S(t)dt(x ~ 0). P164,69 题 五、（本题满分 5 分） 求函数 j．釭） = x2ln(1 ＋立 在 .1: = 0 处的 n 阶导数 fc,,, (0) (11 ~ 3). Pl03,42 题 六、（本题满分 (i 分） 设函数 S(x) =『 |cos l I dt' (1) 当 n 为正整数，且 n穴 ~x <(n+l压时，证明 211 ~ S(x) < 2(11+ 1) ; S(x) (2) 求 lim~ . Pl64, 70 题 x X一十o 七、（本题满分 7 分） V 某湖泊的水扯为 V，每年排入湖泊内含污染物 A 的污水盘为一，流入湖泊内不含 A 的水址 6 V V 为一，流出湖泊的水掀为—，已知 1999 年底湖中 A 的含址为 5mu ，超过国家规定指标， 为了治 6 3 理污染，从 2000 年初起，限定排入湖泊中含 A 污水的浓度不超过竺鸟 问至多需经过多少年，湖 V 泊中污染物 A 的含届降至 m。 以内？（注 ：设湖水中 A 的浓度是均匀的． ） P221, 54 题 八、（本题满分 6 分） 设函数 f(x) 在［0，叶上连续，且I:／位）dx= 0,『f(x)cos x也＝ 0. 试证明在(0，六）内至少 。 存在两个不同的点：1,令，使 f佑） = J知） = 0. Pl71,82 题 九、（本题满分 7 分） 已知 f(x) 是周期为 5 的连续函数，它在 x=O 的某个邻域内满足关系式 - JO+ sin.1..) 3/(1 - sin 工:) = Bx +a釭） 其中 a(.1..) 是当 x-o 时比 x 高阶的无穷小，且 f（工）在，X = 1 处可导，求曲线 y=f（x) 在点 (6,/(6)) 处的切线方程， P95, 11 题 • 33 •、广一 ~_ _ ---_--上 -··..、`，．．L.“七"'.，：如飞可”~ ··气 令 尸八 ... .. " . 十、（本题满分 8 分） =a x2 设曲线 y (a> 0,x ~ 0) 与 y=l-工2 交千点 A，过坐标原点 0和点A 的直线与曲 线y=ax2 围成一平面图形．问a 为何值时，该图形绕工轴旋转一周所得的旋转体体积最大？最 大体积是多少？ P184,118 题 十一、（本题满分 8 分） = 函数 f(x) 在[O，十OO）上可导， f(O) 1 且满足等式 f'(x) + f(x) －土归(t)dt = O (1) 求导数 J'(x); (2) 证明：当 x~O 时，不等式 e-.r~ f(x) ~ 1 成立． P209,22题 ｀星.... 十二、（本题满分 6 分） [i|,r 设 a a矿，B ＝ PTa，其中矿是 P 的转置， = l,p= = = [\ [[],A 求解方程 2B2A2x = A1x+B4x+r. P257,-5 题 十三、（本题满分 7 分） 已知向扯组凡＝ ＝匠l ，儿＝ ［2l 与向盘组a [_:7]具 []ll,: = [_\l,“2= [[],“3 = 有相同的秩，且p3 可由 «1,U2,U3 线性表示，求 a,b 的值． P251,12题 • 34 •J 夕 2001 年全因硕士研究牛招牛考试 数学（二）试题 —、填空题（本题共 了 小题，每小题 3 分，满分］5 分） 喜－二 ＝ (l) Jim P70, 32 题 ，一一l 尸 ＋ x- 2 (2) 设雨数 y = JC.1) 由方程 c2尸' — cos(.1y) = e - 1 所确定，则曲线 y = J丘）在点(0,1) 处 的法线方程为 P109,59 题 (3)j亏 C.r:3 cos2:心 ＝ ． + sin2x ) Pl58,51 题 -f 1 (4) 过点（一 ，0) 且满足关系式 y'arc矶in .1十 y = 1 的曲线方程为 2 二 P206,15 题 il l t. (5) 设方程[: [—\l 有无穷多个解，则 a : P257,6 题 : ( = = 二、选择题（本题共 5 小题，每小题 3 分，满分 1CJ 分） ={ (1) 设 j釭） 1, 1.1. 1 冬 l ，则 八J[J(x)］}等于 0、 | .1. |>l, (B(l (A)O. 丿） 、 (C) { 1, 1 .1今 1 冬 l, D , f I O l ', IX冬 ＞ ], ] P62,6 题 O,lx l> L (2) 设当．1.· 一► 0 时， （1 - cos.d In (l +.:i·2 ) 是比 :rsin 、r" 高阶的无穷小，．？沁in.x" 是比 e上? - 1 商 阶的无穷小 ，则正整数 II 等千 (A) 1. (B)2. (C) 3. (D) 4. P80,51 题 (3) 曲线 y = (..1,- l)气工－ 3)2 的拐点个数为 (A)O. (B) 1. (C)2. (0)3. PJ.24,98 题 (4) 已知函数 f(.:1) 在区间Cl-8,l +o) 内具有二阶导数， j1位）严格单调减少，且 f(l) = /'(1) = 1,则 (A) 在(1 — o, 1) 和Cl,l +o) 内均有 j.（立 ＜工 (B) 在(1-8,1) 和Cl,l +o) 内均有 j口） > 3 (C) 在(l —&1) 内， f(立） ＜ 立，在(l,l +o) 内， j．（心＞ X. (D) 在(1 — &1) 内， f位） > ｀r.在(],1 + 8) 内， J飞立） ＜ 立． Pl30,lll 题 • 35 •(5) 已知函数y = ．IG）在其定义域内可导，它的图形如下图所示．则其导函数 y=J'（立）的图形为 X (A) Y, 勹 (C) y 勹 ／ ／ x x x x 。 。 Pll6,81 题 三、（本题满分 6 分） 叫 釭 P147,19 题 (2x2 十 ］） J了言 ． 四、（本题满分 7 分） sin / 古 求极限lr上勺(sin.1.:) ． 记此极限为 J(.:i-) ，求函数 j丘）的间断点并指出其类型 P86,67 题 五、（本题满分 7 分） 设 P =P釭）是抛物线 y= 五了上任一点 M(x,y)(x ~ l) 处的曲率半径，＼ ＝ 、釭）是该抛 物线上介于点 A(J,1) 与 M 之间的弧长，计笲 3P 岊 － （赍）2 的值 I yI"I I （在直角坐标系下曲率公式为K = .. , ,. ) Pl84,119 题 (1 +卢）． 六、（本题满分 7 分） 设函数 f位）在［0, 十 oo) 上可导 气 f(0) = 0，且其反函数为 g位）． 若 厂g(t)dI ＝王cJ 。 求 j釭）． Pl65,71 题 • 36 •七、（本题满分 7 分） 设函数 f（义） ，g釭）满足 f1位） = g(.x) ,g'(x) = 2e-' - f位） ·且 /CO)= O,g(O) = 2. 求Ir 「正） _ J (又） I心． P215,41 题 JLL+.r (l +.T)2J 八、（本题满分 9 分） 设 L 是一条平面曲线 ．其上任意一点 P(x,y)釭 ＞ 0) 到坐标原点的距离恒等于该点处的 切线在 y 轴上的截距且 L 经过点（一 ，0). 2 (1) 试求曲线 L 的方程 ； (2) 求 L 位于第一象限部分的一条切线 ，使该切线与 L 以及两坐标轴所削图形 的而积 最小． P221,55 题 九、（本题满分 7 分） 一个半球体状的笘川，其体积融化的速率与半球面而积 S 成正 比， 比例常数 K >O. 假设 在融化过程中雪计1始终保持半球体状，已知半径为 r(1 的盂堆在升始融化的 3小时内，础化了其 7 体积的一 ，间雪堆全部础化需要多少小时？ P222,56 题 8 十、（本题满分 8 分） 设 J(x) 在区问[-a,a](a > O) 上具有二阶连续导数， f(O) = 0. ( I ) 写出 f位） 的带拉格朗 日余项的一阶麦克劳林公式 ； (2) 证明在[- Cl ,a] 上至少存有一点 r;，使 a汀“(r;) = 3『 f 位）d．工 P172,83 题 --“ 十一、（本题满分 6 分） 已知矩阵 A [: : :l [f ; }l 且矩阵 X 满足 = B = l l 11 II l 0 AXA + BXB = AXB + BXA + E, 其中 E 是 3 阶单位阵 ，求 X. P240,13 题 十二、（本题满分 6 分） 已知 a1 也 ．a.1 .a, 是线性方程组 心 ＝ 0 的一个基础解系 ·若 /J1 = a, + ta2 ，儿 ＝ a2 于la1 , PJ = a3 + ta, ，几 ＝ at + 1a1 ，讨论实数 ， 满足什么关系时，P1 ，儿，凡 ，几 也是 心 ＝ 0 的一个基础 俯系？ P253,l 题 • 37 •2002 年全国硕士研究生招生考试 数学（二）试题 一、填空题（本题共 5i」产',n:`，题 3工分＞，：，分 15 分） f (1) 设函数 J(x) = ~ arcsin 在 x=O 处连续，则 a = . P86,68 题 ae2r, X ~ 0 (2) 位千曲线 y=xe-r(O~x<+=）下方，x 轴上方的无界图形的面积是 P185.120 题 (3) 微分方程 yy"+y'z. =o 满足初始条件 YI r=O = l'y'I ＝上的特解是 工＝0 ．r=o 2 . P209,23 题 ~巴主［［二三十…＋［二子］＝ (4) . P151,29题 (5) 矩阵［：了二：l 的非零特征值是 . P266,~ 题 -2 -2 2 二、选择题（本题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分） (1) 设函数f(u) 可导，y=f（云），当自变抵x在x=-l 处取得增童釭＝－o. 1 时，相应的函数增 量 ~y 的线性主部为 o. 1，则f'(l) = (A) -1. (B)O. 1. (C)l. (D)O. 5. 即5,12 题 (2) 设函数 f(x) 连续，则下列函数中，必为偶函数的是 (A)［：应）dt. ~：尸（t)dt. (B) (C)] 心(t) - f（一 t)]dt. (D) 『 t[J(t) ＋f（一 t)]dt. · Pl65,72 题 (3) 设 y= y(x) 是二阶常系数微分方程:/'+py'+qy ＝古满足初始条件 y(O) = y'(O) = 0 的 ln(l +x2) 特解，则当 x-o 时，函数 的极限 y(x) (A) 不存在． （B) 等千 1. (C) 等千 2. (D) 等于 3. ',P216,42 题 = (4) 设函数 y f(x) 在（0，十CX)) 内有界且可导，则 (A) 当 lim f (x) = 0 时，必有 Jim J'(x) = O. 又一十= .. -+= (B) 当 Jim J'(x) 存在时，必有 Jim f'(x) = 0. ～＋O 工＋0 (C) 当 Jim f(x) = 0 时，必有 Jim J'(x) = 0. X一0 工0 (D) 当 lim J'(x) 存在时，必有 lim f'（工） = 0. Pl38,129 题 工-o x一0 • 38 •(5) 设向队组 a1 心如 线性无关，向址 儿 可rl1 a1 心 ·m 线性表示 ，而向扯 凡 不能由 a1 ,“2 ,a.3 线性表示 ．则对千任意常数也必有 CA )a1 妇如 ．k/J1 +/J2 线性无关． (B)”I 如．a_, ,k/J1 +/J2 线性相关． CC)a1 也，“1 、P1 +k几 线性无关． (D)al 也，a:i ,/Ji + k/J2 线性相关． P245,3 题 三、（本题满分 n 分） 已知曲线的极坐标方程是 r= 1—cos 0，求该曲线上对应于0＝王 处的切线与法线的直角坐标 6 方程 Pl09,60 题 :e: 四、（本题满分 7 分） 设 f（义·) 1幻· - 1 冬 x < 0, = 2 求职教 F(c1.) ＝ 』J r(t)由的表达式． - I O 冬工< l , (e'+ 1): Pl66.73 题 五、（本题满分 7 分） 已知函数 J釭）在（0' 十O3) 内可导 /C.r) > O, lim J(.r) = l.且满足hl－一。i（ r m 釭 ~[ ＋妇 ~ ） )) T = 1 c 了 ，求f（工）． P95, 13 题 六、（本题满分 7 分） 求微分方程．Hly+(_r-2y)dx = 0 的一个解 y = y(.T) ．使得由 曲线 y=y（工）与直线 x= I,.1` = 2 以及 t 轴所闱成的平面图形绕立轴旋转一周的旋转体体积最小 P206,16 题 七、（本题满分 7 分） 某闸门的形状与大小如图所示 ．其中直线 l 为对称轴 ． 闸门的上部为矩 形 J\BCD ．下部巾二次抛物线与线段 AB 所刚成． 当水面与闸门的上端相平 时，欲使闸f l矩形部分承受的水压力与闸门下部承受的水压力之比为 5 : 4-' A 闸门矩形部分的高 h 应为多少 m（米）？ Pl85,121 题 八、（本题满分 8 分） < .l°J < 设 0 3.工,＇-I= ✓心l,，（3 — -'l.,，)(II = 1 ,2,…） 、 证明数列 位，，｝ 的极限存在 ． 并求此 极限． P75,40 题 • 39 •九、（本题满分 8 分） 设 O < a < b，证明不等式 — 记＋ 2a b2 < ln b b -a ln a ＜ 上 尽 Pl30, 112 题 十、（本题满分 8 分） 设函数 f(x) 在 x=O 的某邻域内具有二阶连续导数，且 f(0) =I= 0, f'(0) =I= 0, J" (0) -=I= 0. 证明 ：存在唯一的一组实数入！，入2 ，入3 ,使得当 h －沪 0 时，入1f(h) ＋心f(2h) ＋入d(3h) - J(O) 是比忙高阶的无穷小． P80,52 题 十—、（本题满分 6 分） = 已知 A,B 为 3 阶矩阵，且满足 2A-1B B -4E，其中 E 是 3 阶单位矩阵． (1) 证明：矩阵 A - 2E 可逆； (2) 若 B :l ，求矩阵 A. P241,14 题 [} - = 2 2 0 0 2 十二、（本题满分 6 分） 已知 4 阶方阵 A = [a1,a2 ,a3 ,a,1],a1,a2 ,a3 ,a.1 均为 4 维列向址，其中 a2 ,Cl3, Cl,1 线性无 + + + 关，“1 = 2a2 -a3 ，如果 /J = Cl1 Cl2 (J3 Cl; ，求线性方程组 Ax = /J 的通解． P258,7 题 • 40 •2003 年全国硕士研究生招生考试 数学（二）试题 —、填空题（本题 6 小题，每小题 l 分 ，满分 21 分） （］）若．1. 一 0 时 ． （l-ax2) 1 -1 与工sin x 是等价无穷小，则 a = . P81,53 题 + (2) 设函数 y = J(.r) 由方程．ry 21n 工＝ YI 所确定 ，则曲线 y = f(x) 在点（I.]) 处的切线 方程是 PllO, 61 题 (3) y = 2.r 的裴克劳林公式中 xn 项的系数是 Pl03,43 题 (4) 设曲线的极坐标方程为 P = e',o (a> 0) ，则该曲线上相:应丁 0 从 0 变到红的一段弧与极轴 所围成的图形的而积为 Pl86,122 题 (5) 设 a 为 3 维列向批 ，矿 是 a 的转登，若 或 ＝ 一：l] ，则卢 ＝ P231,1 题 [-:1 1: ll (6) 设三阶方阵 A,B 满足矿B-A-B - E，具中 E 为 3 阶单位矩阵，若 A - [_~2 : ，则 ; - 2 O I B I= . P228,3 题 二、选择题（本题共 6 小题，每小题 l 分 ，满分 2·1 分） (l) 设{a,，｝ ， （I人， ｝ ， （c,，｝ 均为非负数列，且lima,, = O, limb,, = 1, lime,, = =，则必有 ”-~ ,,. 0 < (A)a,,< b,， 对任意 1l 成立． (B)b,, C,， 对任意 n 成立 (C) 极限lima.,c,， 不存在 (D) 极限limh,,c,， 不存在 P64, 12 题 (2) 设 an=½厂：1·"-1 ~ 二心，则极限limm/,， 等于 2 。 “一 + 1 + 立 (A)(l e)了＋ 1. (B) (l e一I) ' - l_ (C)O+e一1)了 1 十 l. (D)Cl +e)' 飞 - 1. P75,41 题 (3) 已知 y= 忒：是微分方程y' ＝ 于＋中匠）的前平，则中信）的表达式为 (A) — 斗 2 , . (B) 斗 2 ． (C）一 工 勹 ； ． (D) 兰 2 ． 艾. .1· y .),- P206, 17 题 (4) 设函数 J(x）在（－～， 十～）内连续，其导函数的图形如图所示，则 j位） 有 (A）一个极小值点和两个极大值点． (B) 两个极小值点和一个极大值点 (C) 两个极小值点和两个极大值点． (D) 三个极小值点和一个极大值点 P117,82 题 • 41 •(5) 设 1l= ［ : 十 ~ 二 dx dx , , 1 1 2 2 == [ 干 ~dx，则 (A)I1 > 12 > l. (B)l > 1, > 12, (C)I2 > 11 > 1. (DH> 12 > 11. PlSl,30 题 (6) 设向证组 I :a1,a2 ,…，a俨可由向量组 I[ : /11 ，凡，…，凡线性表示，则 < (A) 当 r s 时，向量组 11 必线性相关． （B）当 r> s 时，向批组 Il 必线性相关． (C) 当 r< s 时，向盈组 I 必线性相关 (D) 当 r> s 时，向量组 I 必线性相关 P246,4题 三、（本题满分 10 分） lnO + a.x3) — . ' x 1) 所确定，求臼 I.r=9. = I P104,44题 五、（本题满分 9 分） .re:I.n r 计算不定积分j xe (l+x2) 3/2 d工 P147,20 题 六、（本题满分 12 分） 设函数y=y(x) 在(-OO，十OO）内具有二阶导数，且y':;=:O,x = x(y)是y=y(x) 的反函数． (1) 试将 X =x(y) 所满足的微分方程生王 +(y+sinx)（竺)3 = 0 变换为 y = y(x) 满 dy2 dy 足的微分方程； 3 (2) 求变换后的微分方程满足初始条件 y(O) = O,y'(O) =— 的解 P216,43 题 2 七、（本题满分 12 分） 讨论曲线 y = 41n 工＋k 与 y = 4工十 ln4工的交点个数． P135,121 题 • 42 •八、（本题满分 12 分） 我 1 设位于第一象限的曲线y=f釭）过点（一·一），其上任一点 P(x,y) 处的法线与y轴的交 2 2 点为 Q，且线段 PQ 被工轴平分． (1) 求曲线 y=f（心的方程； (2) 已知曲线 y = sin 工在[0.1C] 上的弧长为 l，试用 l 表示曲线y=j．釭）的弧长．I, P222~57 题 九、（本题满分 10 分） 有一平底容器，其内侧壁是由曲线工 = (1) 在(a,b) 内 f(x) 0; (2) 在(a,b) 内存在点名使[h1; （一工：；工＝片;; (3) 在(a,b) 内存在与(2) 中与 a相异的点？，使 f'（7)（b2 —矿） ＝立 e— 立『f(x)dx. a u Pl39,130题 十一、（本题满分 10 分） 2 2 0 若矩阵A= ［8 a]相似于对角矩阵A，试确定常数a 的值，并求可逆矩阵P使P-lAP=A. 2 0 0 6 P268,2 题 十二、（本题满分 8 分） 已知平面上三条不同直线的方程分别为 l1 :ax 十 2by + 3c = 0 l2 :bx+ 2cy + 3a = 0 l3 : ex + 2ay + 3b = 0 试证这三条直线交千一点的充分必要条件为 a +b+c = 0. P258,8 题 • 43 •2004 年全国硕士研究生招生考试 数学（二）试题 —A真空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分） (1) 设 /Cx) = lim (n - 1)立 ，则 J口）的间断点为 .2.·= P87, 70 题 2+ 1 “一． I1工一 + + (2) 设函数 y(丑）由参数方程 {X y = = l / 3 3 - 3 3 t t + 1 l . 确定，则曲线 y = y(.1) 同上凸的～t 取值范伟l (3)为r· Pl25,99 题 ~= J Pl74,91 题 1.1.. (4) 设函数 z= ：：：：（.r,y) 由方程：：：： = e丘3, + 2y 础定，则 3 — a之 +— az = 归;·. cJ y P191,2 题 (5) 徵分方程(y +．卢clx - 2xcly = 0 满足 yI = — 6 的特解为 . P207,18 题 .,=l 仁 2 1 0 (6) 设矩阵 A [] 0 ．矩阵 B 满足ABA . +E，其中 A ．为 A 的伴驰矩阵，E 是 单位矩阵，=则 1 2 = 2BA P228,4 题 0 B : ll 二、选择题（本题共 8 小题，每小题 i 分，满分 32 分） I: [~ (7) 把 工 - o一 时的无穷小屈 a = cos I气It,f3 = 『： lan扣d勹＝ sin 13出排列起来 ，使排在 后而的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是 (J\)a,/3,y. (B)a, y, p. (C)/3· a. y. (D)/3,Y,a. P81,54 题 (8) 设 j(儿) = | 立(1 — x) I ，则 (A) ` r = 0 是 J.（心的极仙点，但(0,0) 不是曲线 y = f(x) 的拐点． CBh = o 不是 f釭）的极值点 ．但(0,0) 是曲线 y = j.（立） 的拐点． (C).1.. = 0 是 f(x) 的极值点，且(0,0) 是曲线 y = f C.r) 的拐点 (D).t = 0 不是 f位）的极值点 ，（0,0) 也不是曲线 y = f位）的拐点． Pl25,100 题 (9),\i:11ln江 三）2 (1 ＋言 （三），等千 (A) 『1 : n五d3 (B)2Il ln ．如 J'. (C)2[ ln(l +立)clx. (D) ln气l+x)d.L P152,31 题 (10) 设函数 f(i) 连续，且 j'(O)>O.则存在 o >O，使得 (A)f釭）在(O,o) 内单调增加 (B).f位）在（一 o,O) 内单曲减少伽 (C) 对任意的 '.lE (O,o) 有 j釭） > f(O). (D) 对任意的 匈1· E C-o,O) 有 j釭） > .f(O). Pll 7,83 题 • 4 4 .(l]) 微分方程 y" + y = x2 - l + sin 工 的特解形式可设为 (A).),. = c矿 ＋ 加 十c,x(Asin .1· -I Hcos x). (B)y` ＝工·（a.1.·2 +加 十 c + /\sin x + Bcos 工）． (C).)尸＝ ax' +bx +c + Asin 工． (D)y. ＝矿 ＋ 伽 十 c + Acosx. P217,44 题 < (12) 设函数 f(u) 连续 ， 区域 D = ｛ (义,y) I x2 十 y2 2y} ，则『1 J （工y)cl:rcly 等千 .,b (A)［勹寸＿勹了 ．「（父y) cly. (B)2] · 0 2 dy 石 I 了 . 了 [ （工y)cl工． 。 (C)『叫扣"0f (r2s i n 0co、 0)dr (D)『d0厂10J(r2sin 0cos 0)rdr. O J 0 0 J 0 Pl96,l 题 (13) 设 A 是 3 阶方阵 ，将A 的第 1 列与第 2 列交换得 B，再把B 的第 2 列加到第 3 列得 C，则满 = 足 AQ C 的可逆矩阵Q 为 l \l (A)[：王子］ [:: : ［三[ ［三之令l (B) (C) (D) P231,2 题 (14) 设 A,B 为满足AB = 0 的任意两个非笭矩阵，则必有 (A)A 的列向址组线性相关 ，B 的行向屾组线性相关 (B)A 的列 向队组线性相关，B 的列向扯组线性相关． (C)A 的行向批组线性相关，B 的行向屾组线性相关 (D)A 的行向批组线性相关，B 的列向址组线性相关． P246, 5 题 三、解答题（本题共 9 小题，满分 91 分．解答应写出文字说明、证明过程或演尊步骤） (15) （本题满分］0 分）+; OS `1) 求极限四卢[(2 1」 '- P71,33 题 (16) （本题满分 10 分） 设函数 j位）在（一co. 十=) 内有定义 ．在区间[0,2] 上 'JC.r) =.1.、（.1.2 -4) ．若对任意的 工都汕足 J (.1_) ＝ 盯 （义. - 2) ，其中／；为常数 (I) 写出 f(立~）在[- 2.o) 上的表达式 ； ( I[ ) 间 k 为何值时 ， j(.r) {J: X = 0 处可导． P96, 14 题 (17) （本题满分 11 分） 设 J ＝『f (.1) I sin 1. I d1, (I) 证明 J(x) 是以亢为周期的周期函数 ； (II ）求 J釭）的值域． Pl66,74 题 • 45 •(18) （本题满分 12 分） e·'+ 曲线 y = e一工 -与直线 X = 0,.l:=t(t>O) 及 y=O 围成一曲边梯形．该曲边梯形绕 2 = x 轴旋转一周得一旋转体，其体积为 V(t) ，侧面积为 S(t) ，在 X l 处的底面积为 F(L). 、 S(t) (I) 求 的值； V(t) (u) 计算极限 lim 巠旦 . Pl86,123 题 I一+:;;, F(t) (19) （本题满分 12 分） 4 设 e.:;(b-a). P131,113 题 e· (20) （本题满分 11 分） 某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增 大阻力，使飞机迅速减速并停下．现有一质砒为 9000kg 的飞机，着陆时的水平速度为 700km/h．经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为 k =6. 0 X 10勹．问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？（注：kg 表示千克，km/h 表示千米／小时．） P224;59 题 (21) （本题满分 10 分） az az 设 z = f (x2 - yz'e“) ，其中 J具有连续二阶偏导数，求 ', 0五 P192~3题 一—3x.3y a工 ay (22) （本题满分 9 分） 设有齐次线性方程组 厂;~:+ (2 十三：十 (3 十三 三三： 4工I +4工2 +4工3+ (4 + a)工.1= 0. 试问 a 取何值时，该方程组有非零解？并求出其通解． P254,i 题 : (23) （本题满分 9 分） :：．阵 A=[- ： 勹l 的特征方程有一个二重根，求 a 的值，并讨论 A 是否可相似对 P269,3 题 • 46 •2005 年全国硕士研究生招生考试 数学（二）试题 一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 2-i 分） （］）设 y = (1 + 、in _r)' ，则 dy r-－ = . P104,45 题 (l+.r) (2) 曲线 y= ' ｀ 的斜渐近线方程为 Pl25 ,101 题 石 (3)『义d.1 = P158, 52 题 。 (2-.12) 二 ] (4) 微分方程义y'-2y ＝刓n.1.、满足 y(l) ＝－ 一的韶为 P208, 19 题 9 (5) 当－r －► 0 时 ．a（．l) = I心广与 (3(.r) ＝ 汃＋工arc..,tn r －石示了是笱价无穷小 ·则 k = P82,55 题 (6) 设 a1 ,az ,a:i 均为－维列向址，记矩阶 A = O,f"(x) >O，心工为自变批工在点工。处的增 最，D,.y 与 dy 分别为 f(x) 在点 x0 处对应的增批与微分，若 D,.x > 0，则 < < < < (A)O dy t::,.y. (B)O t::,.y dy. < < < < (C)t::,.y dy 0. (D)dy 6.y 0. P126,103 题 (8) 设 f(x) 是奇函数，除工＝ 0 外处处连续，工＝ 0 是其第一类间断点，则I.rf(t)dt 是 (A) 连续的奇函数． （B) 连续的偶函数． (C) 在 x=O 间断的奇函数． (D) 在 x=O 间断的偶函数． Pl68, 77 题 (9) 设函数 g(x) 可微，h(x) = eI+g<.r ) ,h'(l) = 1,g'O) = 2，则 g(l) 等于 (A)ln3-l. (B)-ln3-l. (C) - In 2 -1. (D)ln 2 -1. PlOS,48 题 (10) 函数 y = C1e.r+C2巨＋.re工满足的一个微分方程是 — (A)y' y'- 2y = 3.re.r. (B) y'- y'- 2y = 3e气 (C)y" + y'-2y = 3.re气 (D)y'+y'-2y = 3er, · P217,46 题 (11) 设 J位，y）为连续函数，则厂叫:f 0)rdr 等于 (rcos 0,rsin 0 JO `d.rl工气丘y)dy. （B)I了扛［三厂，y)dy. f。:dyI尸f (x,y)d工．（D) dyf。石J亿y)dx. P200,9 题 (C) I: • 50 •(12) 设 f(.:r，y) 与中(x,y）均为可微函数，且 rp:(x,y) # 0. 已知(xo •Yo) 是 f(x,y) 在约束条 件rp(.:r,y) = 0 下的一个极值点，下列选项正确的是 (A) 若 f'.r(.2..u,Yo) = 0，则 J: (6) 设函数 j(1) 在（0' 十=) 上具有二阶导数，且 j”(.1.·) 0｀令 u,, = j、(11)(11 = ] .2, ···) ，则 下列结论正确的是 > > (A) 若 U1 Uz , 则｛u,， ｝ 必收敛． (B) 若 U1 U2 ，则 ｛l/，，｝必发散 < (C) 若叭 ＜ 妇，则{ti,,） 必收敛． (I)) 若 U1 U2 ，则 {u,,} 必发散． Pl27,105 题 · 53 ·(7) 二元函数 f(x,y) 在点(0,0) 处可微的一个充分条件是 CA) lim [J(x,y) - f(O,O)] = 0. （工y)-(0,0) — f(:r,0) - f(O,O) f(O.y) f(0,0) (B) lim =O,且lim = 0. r-0 工 >-o Y f(x,y) - f (0,0) (C) lim = 0. + y2 (x.y)一(O.0) ✓工2 (D) lim[/'工丘0) - 1:<0,0)] = 0，且lim[f'.v 1.0 ~ :i.、 <+ O3) 下方．r 轴上方的无界区域． ( .l ) 求区域 D 绕 .r 轴旋转一周所成f旋转体的体积 V（四 ， ( || )当 a 为何俏时，V(a) 品小？丿「求此最小值 Pl89,126 题 (19} （本题满分］0 分） 求澈分方程 y"(.1 + ．产） ＝ ．）＇，满足初始条件 y(l) = /(1)=1 的特韶． P210,24 题 (20) （本题满分 II 分） 巳知函数／（u) 具有二阶导数，且 ．((0) = 1 ，函数v = y(~飞）由方程 y—1·e-'" I = 1 所确定． 设之＝ ．I、（In y - sin.r) ．求 .c —c l l 之 x I., - cl2 -::: Pl06,50 题 o 、cl立:2 I ,一1). (21) （本题满分 11 分） 设函数 J Q) ，f..,心）有[a,b] 上连级 ， 在 (a.b) 内 具小二阶导数且存祚相等 的敬大值， f(a) = g(a) , /U1) = g(b)， 证明：存礼 f E (a./J) ．使得(“炵） = g"炵）． Pl40,132 题 (22) （本题满分 ll 分） 设二元函数 I.T 11 I y I< 1, （工，y） / = \ 1 i . l 1 < I x l+I y I 冬 2. 二＇ / 计符二亟积分j.f (t ·y)如．其中 D = {(.1.y) I r l+l _v l< 2). Pl99,7 题 f) (23) （本题满分 1l 分） 厂++2一：、“ 十二：： 设线性方程组 :' Q ? ］十 ，l．m+ u气r:s = 0 与方程 ~-I + 2.1"2+ .T3 = (1 - I @ 有公共解，求 u 的俏及所有公共f（J！（． P263, 11 题 (24) （本题满分 l] 分） 设 3 阶实对称矩阵 A 的特征俏儿 ＝ 1 心＝ 2．入1 =—2, a1 = Cl. - J. l)'1 是 A 的屈千入 的一个特征向扯． 记 B = A·; - 1[A·1 +E，其中 E 为 3 阶单位矩阵． ( I. ) 验证 g 是矩阵 B 的特征向队 ．并求 B 的全部特钏俏与特礼向员 ； ( II ) 求矩阵 B. P273,5 题 · 55 •2008 年全国硕士研究生招生考试 数学（二）试题 ~ 一、选择题(J 8 小题，每小题 4 分，共 32 分） (1) 设函数「(x) =.1·'(.T - l ) Cr - 2) .则 f'(.1.) 的零点个数为 (/\ )0. (B)l. (C)2. CD)3. Pl35,122 题 (2) 如图 ，曲线段的方程为 y = 「（x) ． 函数 f(.1.) 有区间 y [O.a] I－们连续的导数．则定积分I'，:rj'(．I)(h 等于 C(O.f(,,)) A(a.f(a)) （A) 曲边梯形 ABOD 的而积 (B) 梯形 ABUD 的面积 D （C) 仙边 －·一角形 ACD 的血积． x (D) 三角形 ACD 的而积 Pl53,33 题 01 IJ((/,0) (3) 在下列微分方程中．以 y=C匡＋Gcos釭＋C心in2工CC1 .Cz .c, 为任意常数）为通解的是 (A)y"'- y''- ,1y'---ly = 0. (13)y"'+ y" + 4/ + 4y = 0. — — (C)y',, - _v" 4y' 4y =O. (D)y11'-y11 +4/- 4y=O. P218,48 题 In I.,· I (4) 设函数 IU) = I sin.r． 则 f釭）有 | 工 - I CA) l 个可去间断点 ． 1 个跳跃间断点． (13) I 个可去间断点 ．］个无穷间断点 (C)2 个跳跃间断点． (D)2 个无穷间断点． P88,74 题 (5) 设函数 J石）在(- =. +c心）内单调有界 ， ｛.1·.) 为数列，下列命题正确的是 (A) 若｛（，i ， 收敛，则订（儿，））收敛． （B) 若位，，）单刺，则{,f（工，，）｝ 收敛． (C) 若｛（（r,,) } 收敛．则｛？，，｝ 收敛 (D) 若｛f丘，）｝ 单调，则 （工，，｝ 收敛． P65, 13 题 II (6) 设函数 J(l) 迕续． 若 F( ll心) ＝ j (.12 - y: ) d儿:dy．其中区域 D,“ )^ （）二 ,...L.. 2 ．飞七r=u· U勹 、 JF 为图中阴影部分，则—= aII (A)刃（矿 ）． (B) 2f （正）． ► u x (C)订（四． (D) 上f(u). u P197,2 题 = (7) 设 A 为 1} 阶非零矩阵 ．E 为 II 阶单位矩阵．若 A3 0，则 CA)E -A 不可逆 ．E +A 不可逆． (B)E—A不可逆，E,A 可逆． (C)E - A 可逆，E+A 可逆． (D)E-A 可逆.E+A 不可逆． P235, 7 题 • 56 ·[ 27 (8) 设 A = l ．则仆实奻域上与 A 合同的矩阵是 2 J_2 2 1 _ c -2lj -- l ( ) (l\)[-2 _ (B) 「 _— l ' ? 1 _ - 2 (D) 『 _— 2 一 了］ ． P276立题 二、填空题(9 ~ 1.J 小题，每小题 4 分，共 24 分） (9) 已知函数 fG) 连纹 ． LI.lirn l - co、(．t f (.1)) = 1 ,则 f(0) = P72.35 题 ,." (eJ — l) / (I) ( I 0) 微分力程(y + `｛ic-＇）如— xcly = 0 的叫附足 y = __ • P208,21 题 ( I l) 仙线 sin(x_v)+ ln(y - .r) =父{－I勹'、J、飞(0. I ) 处的切线方程是 . Pl 11, 63 题 ( I 2) 仙线 y = C.r - 5).r+ 的拐点坐标为 Pl28.106 题 (13) 设之＝行） ｀ ．则厉 I ,1.2, = Pl93、6 题 , I.21 (l 4) 设一．阶矩阵 A 的牡钊仙为 2,3，入．才上1J列式 ZA I=- 1l8.贝lj 入 ＝ . P229.7 题 ~ 三、解答题(15 23 小题，共 94 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） (15) （本匙满分 9 分） ［习l1 t 一、In (SI n -t·) ] sm l- 求极限lim P72.36 题 ,--o (J 6) （本题满分 10 分） i. 设困数．y =沪）山参数方程11 确定 ．从中 1(1) 是初值问题 = ,,(I) . y = I In( I -\一 u)du • I I 尸 ll － 2／c-＇= 0, e|l =0 的你（水：：1: P107,52 题 (] 7) （本题满分 9 分） 2 1. i I符-j.I .1 arcSl i1 ~i d P159, 511 题 11 /f-=7 C1 8) （本题满分 11 分） 讨符』『max归:y ,l }山心·具中 D = { Cr..v) I o 冬 ．1 冬 2,0 ~ y 冬 2). P200,8 题 i) • 57 •(19) （本题满分 11 分） 设 f位）是区间[O' 十＝）上具有连续导数的单调增加函数，且 .f(O) = l. 对任意的 tE [O' 十＝），直线 i· = 0,:r: ＝ i， 曲线 y=.f位）以及 、亡汕所围成的曲边梯形绕．1 轴旋转一 周生成一旋转体． 若该旋转体的侧而面积在数值上等千其体积的 2 倍，求闲数J(又）的表 达式 P225,60 题 (20) （本题满分 1l 分） (I) 证明积分中值定理：若函数 j位）在闭区间[a,b] 上连续，则至少存在一点r;E [a,b], 使得[rC.r)d.r =飞）（b-a) ; （ II ）若函数沪）具有二阶导数，且满足 中(l) ，(f!(2) ＞『中(.l')d．兀则至少存在一 点: E (1,3) ，使得矿伶） < 0. Pl 41,133 题 (21 ) （本题满分 ］ 1 分） 求函数 u = .r2 + y2 + z2 在约束条件乏 ＝ 工2 + y2 和 x+y+z= 4 下的砐大值与最小值． Pl94, 9 题 (22) （本题满分 12 分） 设 n 元线性方程组Ax = b，其中 2a 1 X1 矿 2a l 。 工2 C产 2a 1 A = ,x = ,b = a2 2a. 1 。 矿 2a i,',“ 一 工 ”一 c I ) 证明行列式 I A l =(11 + l)矿 ； ( I] ) 当 (i 为何俏时，该方程组有唯一f（胪并求 ｀T1 ; ( Ill ）当 u 为何伯时，该方程组有无穷多解？并求通佃． P260,10 题 (23) （本题满分 10 分） 设 A 为＝阶矩阵．＂！ ．＂？ 为A 的分别屈于特征值－l，1 的特征向柲，向扯a1 满足心3 = a2..Lo . ( I ) 证明 a1 ,az ,a, 线性无关； ( I」 )令 P = Cai ,a2 ,a3) ，求 p 1AP. P248,9 题 • 58 •` _ • I 第 篇 I : 叠 I..' '. , /\) ~ (' 1恤 , 勺．一 真 题 解 析 七2 妒 i l ..... t - j 4 _. . I .I. - - \、、、、 . r t 1,．_置 曼 、-- 勹 r '. . ＇ 』 • ｀ 、丛 」 畴 戌巳 、 · --• 仁 , .J ` 喜， ` . •` 哺 』 霾,..4 ·, ,.1 气掏 ...., , ` \. .斗 兄．＼ .\ ` _ } r) ：)1 、 .JI } n - r 片 立 i. " .士. - `· ., 匕 、 、-、...－ \ \ .. i / 、 `第一部分 高等数学 第 歆 函数、极限、连续 本章导读 一圈 函数是微积分的研究对象，极限是婕立微积分理论和方法的基础 ，连续性是函数的基本性 质 、是函数可导和可积的基本条件 ，连续函数是微积分所讨论的函数的主要类型． 因此 ， 函数 、 极限与函数连续性是本章的主要内容 ， 也是微积分的理论基础． 本章的主要内容有 ： (1) 函数的概念 ，基本性质及复合函数 ； (2) 极限的概念 ， 性质 ，存在准则及求极限的方法 ； 无穷小址的概念 、性质及阶的比较 ； (3) 连续的概念，间断点及其分类，连续函数的性质（运算性质及有限闭区间上连续函数性质）． 试题特点 本章是微积分的基础 ，每年必考．而本菜的特点是基本概念和基本理论非常多 ，许多考题 重点考查这些基本概念和基本理论，从往年试卷分析悄况来看，失分率比较高，因此 ，望考生重 视基本概念和基本理论的复习 本章常考题型 (1) 求极限； (2) 无穷小批及其比较 ； (3) 求间断点及判别间断点类型． 。 无穷小队比较实际上就是研究”一” 型极限 ，而间断点类型判定的关键也是求极限 ，所以 ． 。 本章常考的三种题型的核心都是求极限． 重点是求极限的常用方法（如有理运符，基木极限 ．等 价无穷小代换，洛必达法则等）． 考题详析 一 、复合函数及函数的几种特性 = < 0(1987，九（l) 题．4 分）f釭） ＝ I.1汕1 X、 I eco<, (- X <＋ ~）是 (A) 有界函数 （B) 单调函数 (C) 周期函数 (D) 偶函数 笭床 D. -./ • 61 •斜析 f(-.1.、) = | (- 工)sin(- ;'l.） | ccod-') = I .rsin 工 c""T = f(.r) 则 jG) 为偶函数 ，故应选(D)． 暨量1988，三（］）题，5 分）已知卢）＝ e工2 .J[cp(x)] = 1 －工且r:p位） ~o，求中(.r) 并写 出它的定义域 斜巾 f釭）＝矿 ，J[ 1, 答孚 1. 1, I .i- I~ 1 斜析 /[/(x)J = { 1 , | 1· I > l 项 . l f[f(3］ 兰 1． (1992．二（2) 超3 分）设妇） = { 工? ， 工,,;;;; 0 ．则 工2 +立．， 立:> 0, - (A)［尸） = { - - x' . 工｀ 冬 o, (B)J.（一心＝ { （工2 ＋立， .1.·<0, （工2 + .1) , X > 0, 一工2 ' 工 ~o. 工2 . .1.. (D)八一工－） = { 立:2 _ 儿.， X 0. 工．2 ' 工 ~o. 答导、 D. 斜析 f(-.1.:) = { （一．t·)2, -x ¾ O.1.、2 , X ~ O, （一 x)2 +(-x) , -x > o = {f - x, x < o. 故应选(D). (]997, 二 （5) 题3 分）设函数 g(.1） = { 2 --m .1- < o,f(x) = 亡， 义" <0, x+2, .1勹＞ o, 义多 0, 则扎/(x) J = (A) { 2 －已T: ． 龟,· < o. (B) { 2 - 工.2 ' 工 0，则 g［J.（..l:) = .2:2 + 2' < 当,· ~ 0 时．j釭） ＝一 ..l` o,g[j.(3 ] = 2 - （一x) = 2 + 工， < 故 g[f(x)] = { .T2 一 2. `1 0. 2 ,.1.、, .1.. ~o. 故应选(D)． l . | 工飞 1 (200] ．二（1) 题 ．3 分）设 j一（J_") = { o. 厕 j叮[J(.'.l.）]} 等于 | 工 | > 1' (A)O. (B) l. (C) { l, | 1 ~ 工 t | l < > 1, (D) 0, I.r I~ 1, 0, l. { 1, I 立. I> L • 62 •答序、 B. < 斜析由 J.G) = { o 1. . l 工 1 l . 可知 工 I> l < 1. 1.1- 1 1. 兀j. (.1) ] = { 1, l .r l> l, 则 j[j釭）］ = 1 ，从而 f{j.[j（义）］） = l ，故应选(B)． 二、极限的概念、性质及存在准则 (1987，九（2) 题．4 分）函数 j釭） ＝心in X (A) 当．r...,► ～ 时为无穷大． （B) 在(- = ， 十 =)内有界． (C) 在(- co． 一 co) 内无界 (D) 当 Al 一► ＝ 时有有限极限 答哀 C. 斜析对任意芷整数 n, 心7六气）＝ （妇＋牙）一＋＝ （当 11- =) 则 f丘）在（一＝， 十=) 内无界 ，故应选(C) (1993，二（ 1) 越3 分）当立． 一 0 时，变屈古汇in 上 是 义＇尤 (A) 无穷小． （B) 无穷大 (C) 有界的 ．但不是无穷小． （D) 无界的 ．但不是无穷大． 答导 D. l l l l 奸析 令，t·,，＝ ,y,, =— r(工) = ~sin-=-. 211六',.1 工 2111(+ 卫 2 = 则 当 n - fl寸．3，1 -► 0. y,1 一 0. 妇）＝（妇＋ 牙） sin(211六 千 亨） = （妇 ＋ 勹 —► +CO (11 -► 则当 3 一 0 时 ．J（｀t) 是无界的 ．又 f(y,,) = (211六）？汕in(211;c) = 0 则当 t 于 0 时 ．j（I) 不是无穷大从 ．故应选CD). = (1998，二（l) 题 ．3 分）设数列｛工，，｝ 与｛y,， ｝ 满足lim工，，y,, 0．则下列断言正确的是 （A) 若归，，｝ 发散．则{y,,} 必发散 (B) 若位，， ｝ 无界，则{y,， ｝ 必有界． l (C) 若｛？，，｝ 有界 ，则{y,,} 必为无穷小． (D) 若忙 ｝为无穷小，则{y刀｝ 必为无穷小． 答哀 D. 斜析 （方；1-) 直接法 l 若忙｝为无穷小，则 • 63 •l , . ,. I limy,,= lim(立.,I.y,，） · — = limx,,y,, • Jim — = 0 • 0 = 0 ,i - -`- .I'” “ · ' ” . . .t'" 即 v,，为无穷小． 1 （万法二） 排除法 ： （A) 选项的反例．1，, = II心'n = — II - {~: (B) 选项的反例 1,， = { ~: ::为奇数． .)'n = :: 为奇数 ． 0. JI 为偶数 ． II. II 为偶数 1 （C) 选项的反例 -?，'=-;. ,y,, = II . .I I - 所以 ．排除选项(A)（B)（C) ，故应选(D)． IIiJC1999，二（4）超3 分）”对任意给定的 Ee (0,1) ，总存在正整数 V，当 II 多 ＼， 时 ·恒有 I 又'" - a I~ 2e" 是数列{.1.八｝ 收敛于 a 的 (A) 充分条件但非必要条件． (B) 必要条件但非充分条件． (C) 充分必要条件． (D) 既非充分条件又非必耍条件． 答哀 C. 斜析 必要性 ： 中数列极限定义知 ． VE > 0，存在 N， 当汇＞ N 时， I a"-a l.\J 时． l a,，一 a I< € < 2£. t < c: 充分性： 妇 ＞ 0．取 el = ； ，对此 €1 存在．V当 11 > \J 时 . x., -a 飞 2c:1 = 2 . 故lima,, = a. '；一．J2 故应选(C). mo999，十题 ．7 分）设卢）是区 间 [O, 十=)上单叫减少且非负的连续面数 .a,,= 言川） — fJ(.l)心(II = 1.2 •…) ｀证明数列位，，｝ 的极限存在． 证 6一目 利用单凋有界准则证明极限存在 巾 于 f(.1.) 单曲减，则 f(k + 1) = J • : K - -· 1 1 JC/l + l)d.l· ~ J:... 1/(x)d艾 < [: I J (K)dx = J.(I') 因此 u = 》阳）—．fij(r)dt = ; Im －芦J:" 11釭）d.1 = ~ " I [f(k) — J:. I / (.1·) d_l| — /(11) 娑 0 即数列 仇，｝ 下布界 ．义 u，户I- (1，, = f(11 ...L 1) - [ 1 J (x) d.r ,,;:;; 0 即数列 伍，， ｝ ，丫1,j周减 ． 山单调有界准则知 ．数列仇，｝ 必收敛． 二(2003．二（］） 题．4 分） 设{(1,A . ｛lJ,' ｝ ．{(,，l 均为非负数列 ．且lima" = 0. limb,, = I. lime,, = ．则必有 (J\)a,,< b,， 对任总； II 成立． ( B)/),, < (，， 对任应 n 成立． (C) 极限hmu,，(，， 不打在． （D) 极限lim如，，小存在． 答孚 D. • fi,l •斜析 （方法一） 直接法 若极限hm/I,,（，， 存仆 ． 设具为 A .则 b,,c,, '\ lime., = lim ~ = :...;- = 1\ ". b,, l 这与lime,,= o 矛盾故极限lim如，， 不仵有． '， ． ，1一． =. 或由于hmI人， ＝ I.,!i_mc,, = c入).则！1．mb,l(，, = ".. ". （方法二） 排除法 (A) 的反例 ．设 (ln =— 10 - 0 .I , J n= I/ ． 当 ll = l 时 a1 = 100 > h1 =— l II n + 1 2 + 11 100 > (B) 的反例 · 设{人，＝ ，C,, = II，当 II = l 时 I)l = 1 01 (] = l. /1 l , . ,. l (C) 的反例 ， 设 u,, = -.'.,,.c,, = 11. lima,,c,, = lim — = 0. ,r Il n-. , 故应选(D) ＂讥2008.5 题 ． 1 分）设函数 jG) 存(—=． 十～） 内单调有界心，，｝ 为数列 ，下列命题正 训的是 (A) 若｛义，，｝收敛 ，则订（工，，） ｝ 收敛 (B) 若｛？，，｝ 单调 ．则 {J（义，，） ｝收敛． (C) 若{J(1,，）｝ 收敛 ， 则｛立，， ｝ 收敛． （D) 若订（父，，） ｝ 单调 ．则 ｛l,＇｝ 收敛 答衷 B. 矫析 （方法一） 巾于 饥， ｝ 单悯 ．f口）单训有界 ， 则 数列 {J(.1，，) ｝ 单训有界． 则数列 {j亿） ｝ 收敛，故应选(B). （方法二） 排除法 ：若取 J( .r) ） = { I, 工 ~ o. 和 ,... ． r,，＝ (- 1)" ． 显然 j丘）单调 ． ｛工，｝收 - 1 . 义· 一2 1-- 斜 析 原式＝ lim ~—= lim 工 = 0. ,-_,) C' cos .:t'r_,) e'+ sin.1' 今 1 m(l992．二（3）题 ．3 分）当立｀ 1 时 ． 函数玉~的极限 工－ 1 （A) 等于 2. (B) 等于 0. (C) 为 =. （「））不存在但不为 =. 答孚 D. 斜 析 lim ~ 工2 一 l e .. f ..!. i ... = lim 红 十 l)e占＝ 0 r •l x - ] J －一1 2 lim 土—共击＝ lim (.1.，十 l)产＝ $ 一，一;.:. X 一 ］ r 俨l :2 - 1 ....!.... lI1:， l1 .T 千 1 时 ． 函数义 e1 l 的极限不存在但不为 ＝ ． 故应选(D). .1.. -- l ,! 回(l992 （l) 题，5 分）求lim 扫．~) ，一:: 户， （二）T 宁 斜 原式＝！i_m (1 一言句 , - 3(又·— 1) 3 !1.m 2(6 五） ＝－了 则1恁式 ＝ e ½. 回(1993，一（l）题，3 分） lim丑:ln .r=_. I- 0 答点 0. l —In x.l—. - 奸析 lim:i.·ln 义·= lim =lim 0. l l x .0 ' •O, — .,-·()．—一 “ 义．立．一 曰(1993，三（2）题 ，5 分）求 lim .1( ✓11 + l00+ 义:). -. .r ．一， 100立． 奸 （方法—) lim 辽 ✓工2 + 100 I) = lim 户 ， 伽 ✓、1.: t l 00 -.l. 100.r = Jim 工－－ _ ＼勹十 l) =-50 —lOO （方法二） lim 汃 ✓正＋ 100 +.J.) =- lim.J.?( ＼1+厂 了） J - I l J 00 = - , l _ i m ~一产 ． 行 · 勹 （等价代换） =— 50 困(1995，三（l) 题，5 分）求 lim _J － 尽言 :·:,;.r( j - cos石）． -—1 1 , + (cos.i- - 1) 一～1－- 斜 原式＝ Iim ~ 1 - ✓1 （cos 义－ l) = Ii m 2 —1 ., = l ·· i ·: m .:. 一 — - I I ＝ . 上 2 . r.0- .J.｀石）2l ' •O 2 “r- r一0 2 3. ~ 67 •3 1 回(1996，一（4) 题 ，3 分） rh-.m~立｀［sin ln(i +f义． )-sin ln(（l + ~几． ） - 答·j, 2. \ -~ 3 \ ... . (/1, , 1 斜析 原式＝．rli：m恩.:rrssiinn IIn (1 ＋门－归工sin In + 言 3-. . 1 = lim工 · - lim．兀 · — r ．心 又.. .r－.0 ．工 = 3 - 1 = 2. ✓~+x+ l 回(1997 ．三（1）题，5 分）求极限 lim 工一一～ ✓X2 + sin x 纤 （方法一） 分子分母同除以 J了＝－ x, `- 1 －上 原式＝ lim 立: X2 ~ X = 石－ 1 = 1 ．，一 /了言 l X （方法二） 拆项 ✓4x2 + x - 1 + X , ,. 1 原式＝ 一lim 左二 － Jim 石丁盂了气皿左 =2 -l+O= l. J二＋ J了＝王— 2 匠卧1998．一（l）题，3 分） h 工一 m 0 工2 = . 1-4 忍豆 令f布 （方法— ) 分子有理化 c ✓二＋尸－ 2）（二＋ J了二＋ 2) 原式＝ lim r-.o x气 J「平了＋ JT＝了＋ 2) 1 I'2( ✓二－ 1) = ---=- lim = 4.r一0 X2 2(－ 扫 ＝＿上 =-=] - : ) lim 4 .,-•O x2 4 · （方法二） 洛必达法则 1 1 原式＝ lim 2 v"'f二 2 二 = -- 1 =- l ,. i m ✓「二 J － J丁平了 , 一0 纭 4 工一0 工， =』(hm 汀二－ ] - hm 尸－ l ) ，一0 丑勹 ，一0 工 I[ + m。一，［－ l吨／l ＝－』 = （方法三） 泰勒公式 • 68 •甘（主 － 1) ＋（少 － 1 ) ]+—1 x + x2 +01 (.r2) + l —- 1 勹 ：十 .1,2 + o2 (.T2) - 2 2 2 ! 2 2 ! 原式＝ lim e,3 。 工 1 -—工2+0(又.2 ) 4 1 = Jim =- 工2 4 · r一一0 匹le]999，三题，5 分）求lim_E二言－ 汀二言 T-.0 .'.!.-ln (1 ＋ 立 —x2 tan 工— sm x . l 烘＼ （方法一 ） 原式＝ lim ,'..'..;; x [In Cl + .'.!`.) -.'.!.-] ✓1 + tan x -I- ✓l + sm'.!. l,. tan.1 (1—cos.1-) = —lim 2 ,一~0 工[lnCl + .1-) —x] 1 ,. 1 - cos.1' = —lim 2 .r 羲o ln(l +几·） 一 、t = ~ 1 lim Sln x 2 .r ;·o· 1 口 — 1 1 sin x 1 = — lim = —— 2 工＿。 － X 2 l + x —1 (tan x - sin x) 2乓 （拉格朗日 中值定理，5介千 l tan.1今 （方法二） 原式＝ lim I- .0 .l-[ln(l ＋心－立－］ 与 1 + sin x 之间） 1,. tan x (1—cos x) = — lim 2 .，一0 又[inCl + x) －立l l 立．（宁x2 ) 1 =— lim ) = —— 2 I 1.. 2 ·' •O 叶－了立－2 ） 区日(2000，一（1) 题，3 分） hm arctan x —x = ,-o ln(l + 2x3) 1 答泉 6. arctan x -义． 斜．析． （方法一） 原式＝ Jim （等价代换） J--o 2x3 1 1 ? - l + 工一 = lim （洛必达） I-.o 6r·2 — - .1.:?· = lim (d.1.:z - 1 ~ - x2) 工一·o 6｀甘 1 =- 6 —1 （方法二） 由于当 .1. - o 时，arctan .1., _ x~- xJ, ln(l + 2~'l..3) ~ 2工3 ，则 3 _ 1 - 3 ＿ 3 ＿ 工 1 原式＝ lim =－一． 户．o 2工3 6 69 •+. 缸'2000二二(4) 题 ，3 分） 若lin1 汇ln 6.:t· 十3.rf门） = 0，则hm 6 l2(L) 为 J 贮0 .1_·.r-·0 义： CA)O. (13)6. CC)36. CD)= . 琴点 C. 斜杆 （方法— ) 0 = :l;i_-m;, ; !:>in . r 6.1- 3 + 义.f釭） = lim SI n 如 ~ _ _ 6.'.l. + lim ~ 6 ．冗 ＋汀（立－） ,r.0 .T r .（] 工.· l - - (6.T)3 = lim ~ + lim ~ ，一0 ~1.. r .o .1.` 6 + .I.(、飞·) =-36 + lim 2 ，一o X 6+ /(x) 则lim = 36. ., .r 俨0 父 （万法二） 1打泰勒公式知 o = lim sin 6工十工．I．(l) r .o r ·1 = I}卫｝ ［归 — ~ + 0(.1) ) ＋叮（心 ,:; .1 = lim 6+ f丘） + lim — 36工3+ o(义3) ? 3 ，一0 义.- ,-一0 又、 = lim 6 + f , 口） - 36 ,. •fl 父｀ 则lim 6 +J釭） = 36. ., '～俨IJ `T 回(200] ．一(1 ) 是3 分） lim 瓦三－汀言＝ ' ·I 已7_`. + .1_·- 2 控 笭斗； ——. 6 斜 贮 析 （方法一） 原式＝ hm + (3-x) - Cl + 心 、 ' •I (x 2)（立． —]）（ 二＋ J了言） = Ii m --------------=＝二2 ＝－霆 r.l (.1三＋ 2)( ~+ 汃言了） 6 迈－ 6 —l 1 1 l 2 厂 2 二 2忒 2迈 （方法二） 原式＝ lim = J-』 2.l.. + 1 3 1 .JI =— =— －二 3迈- 6 —1 + [(3 - 立) — (l 1)] ？岳 （方法三） 原式＝ 1 ;: i :i m " - (.T + 2)(.1.. - l) 伶介千 3 -T 与 1 +工， 之间） ＝ 上 lim _=,1 =— 霆 2 及， ．l ．1 +2 6 70 •回(2004. 15 题，10 分）求极限四卢［（2 ＋ 尸勹— j ] 2 + cos 义 cos.T - l 工In宁 ln -1 ~ ,. ln(J + ~) 奸 原式＝ lim ~ = lim = lim .,.,, J.. l . r .. . . 0 . .1. 2 .,_, 1 工一 + l ., =+ - —.t·一 = ~四 co、又义，一 ］ ~i严于－ ＝－主 曰(2007 ,11 题，4 分） lim ~ 义1— 、In t = ， 俨＇， 立． 上 笭卒 6 。 斜 析 这是一个—型极限 ． 种方法是用洛必达法则：另一种方法是川泰勒公式 ．本题 1、 。 能对 arctan .r 和 sin x 用等价儿穷小代换，因为它们是相减的关系． 1 cos .1. （方法— ) lim arctan x - sin 工 = lim l + .t-- ? - （洛必达法则） ; :·o· .1.一 工一－o 3正 = -] lim l - cos.r 一 ．广令COS .T 3 .，勺 3、2 (1 +产 ） ＝十 [l勹(l —立'OS 3 _ (,os x) =½什－ l）＝—点 （方法二） 利用泰勒公式求韶， .,· .1 si n 1· = .t· - - + o(~t1) 3! I = (arctan 义）＇＝ 一+——.:, I - xz + (/(.r') l r 则 - —.3 a rC [a n `t· =.r 义 +o(、,.:,) 3 3 T 一了工． 干 u(.r:i) [.1 一五 － o(.13) ]- - l l 111 im~ 一 ．SIn 工 = Jim , -o :r -3 ., •" , l. 勺 ] '1 = lim(－了勹）11 +(）口） ＝－上 .-~;: :产 6 （方法三） 拆项用等价无穷小代换 lim arc[an 3. -- SIn.1. = lim a rCl a n J -.J.,. +Iim J — Sin 父． r . 0 x3 .r .O 又·1 r.0 立｀3 - -1 ~t __ J - l . 1 _ . 3 3 6 = lim , + lim －千 r--P .r X- i) .1.` l , 1 1 =-.-+ —=-— 3'6 6 . • 71 •I l 【评注】 方法三中用到两个等价代换．当 .T--+0 时 ．tan .1·—.r~ 一．-r3 ..r- sin :'l·~-;-f'. 3 6 因司（加08.9 题．4 分）已知函数JC.1) 迕纹．上Ihm ］ 一 心、(l f.(.1)) = 1.则 I(0) — r .I\ (c - l) j (1) 卒，泉 2. 斜析 111 丁函数 j.（I) 连纹 噜则l,lf1/ (I) = f (0;) ． 从血hm寸（ r) = O.则 、'1 .r - O II寸 ． 1 - co、(｀l / . (r) ) ~ I ：厂（｀r) ]—勺(0心ll!l_J__ ~ ~ l , im _, ~ (e;r~ —l) j (t) = = , lImii m . l ~ .1 : I、(1) == 了 -, hm .l, / (4) ＝上 2' / (0) = l 则 J(O) = 2. 。 【评注】 本题是一个一型极限，主要是利用等价元穷小代换求解． 。 常用的等价无穷小：当 .1. -► 0 时 .1·~sin 工～ tan.1 ~ ln(] -t `r) ~ arcsin.:i· ~ arctan.-r ~ c'- 1 l - cos X ~扣2 ; (l +汀 1 ~ a.1· ．矿 － 1 ~ .rl n a (a > 0. a =I= 1) 还有若 ".1`) -► 0'则叭．:r·) -I o(a釭）） ~ a C.r). 注意 ：在乘除法中可用等价无穷小代换 ． 而在加减法中不要用等价无穷小代换． 匹，2008. 15 题 9 分）求极限lim [、lll ［ 一 归In(：II1 1)]、In [ .,-·" .l' [、in .1一 叨in(~in .r)扣11 .l 压n .1—、in(sin .i-)} 斜 （方法—) Ii m ~ = Ii n 1 `［价无穷小代换） I ..... . I ,. •II .1.. .r •I' 、飞 . cos .r - cos(sin .r) • cos.( = lim （洛必达法则） :;·:· 3.r' 1 ,. I —cos(sin .d = - lim （极限为非岑常数因子极限先水） 3 ? ' •I 义－－ I. 勹 l 一2 Sln..1、 = — lim . , . （芍价尤穷小代换） 3 ' . 贮1 I - —. 6 （方法二） l ， im 尸II 压n.r- sin . ｀l ( . ,,in .d };in .r = _ 1l 俨, :i.m . . [ . I [sin .1一 叩 S in l• l （ ) 叩 I .? in ` :r）沁11.l （等价无穷小代换） t —sm / = Jim （变址代换叩l./'= /) I- I I ., - 1- J - cos 1,. 2. -I = lim = lim - = /·:;,· 33 ,/ ? ~ ·/·:;· 31" 6 . lim [sin .r 、in(、in .r>J、in .r 、in.r - sin (sin.T) （方法三 ） l lT1 ~= lim .r , · .l． 心 - —..l 巾泰勒公式引n .T = .r . 3 l ! - U (.f I )'人II • 72 •sin(sin.r) = sin 工— Sin叫，.I + o(sin:'.r) 3 ! l 则lim [、In ..l - sm(、ll1 l)］寸~ !im 、ll1 ［、II1 r — 了“11x+ o(.r1 ) ] = i - ， ．＇．r' ．，＿，，义，．； I —、in.r + oC.1飞 ） 6 -—1 . = lim T •II .r 6 [sin .r sin(sin _r)］叩in .r _ ,: __ sin.r - sin(、in .d （方法四） lirn = lim , -O I I r. I , .,I . I. l = lim cos 令 . (｀（ i 一 sin.r) （拉格朗日中值定埋） ， 俨' .r· = Ii Ill : . l .'..._ . ` i _ n — .r = h . m l - . (.. ( . ) , S -i. = - l ,.' ·1 . , _ -l ,1. 1` - 6 ' （方法五） 由 l一，片 I ► 0 时 J - ....in.i- ~ +.r" ，则 、in.1 — 、in(、in .r) ~ +、i,/.1 -. —I . ., [sin.r - sin(sin .r)]sin .r _ ,, __ 6 ·S"il"l ..·. l''.•. .S.il.l ·.. ·I _ 1 lim = lim = - ;·....r1 .,......r ' 6 。 【评注】 O 本题是一个．一”型极限．（方法一）主要是用；各必达法则和等价无穷小代换； 。 （方法二）主要是利用变泣代换和等价无穷小代换； （方法三）主要是利用泰勒公式；（方法 四）主要是利用拉格朗日中值定理．（方法五）最简单． ＠ 考卷中出现一些典型错误 ．例如 [sin .1 一 sin(sin x)~sin.r 飞n气＿ sm(sm J沁n 工 四 工1 = l，叫工1 1、1] = I}勺（卢 -7) ＝ 吧（卢 — 7)= 0 这种错误说明考生对极限的最基本的运并法则和等价无穷小代换的基本原则掌握不够． 另一种典型的错误是 [sin .r - sin(sin x)]sin .1呵 X一 sin ..r _... _ 1 Jim = lim ~ = ··· =— r . u r .0 6 答案正确 ．但方法有问题·一种理解是 sin .T ~ x . sin(sin:r) ～汕in .r．但这是在减法中用 等价代换 ： 另 一种理解是 sin .r - sin(sin.r) ~.r - sin .r．此时 ．解法正确 ．但该结论需证明． 四、求数列的极限 回(1987. 一（4 ）题 ．3 分），匠（丁" —厂_ ' r l I" )=_. 答衷 e J. 斜析 山十hm(“ — 2)＇t = hm( l - :{ \" ', . 1/ I l ,' -,- I I - l) · -311 II —2 \,, 而 ” li · m 1／ 一］=—，3.＇则li＿m ( II + ]) = c ' . • 73 •【评注】 本题是一个“1 ~"型极限，求这种极限的三部 曲是 ： (1) 写标准型 ：，l ~ = lim(l +a)凸 (2) 求极限：lim 咄＝ A; (3) 写结果 ： 尸 ＝ e'\ 2 湟 1994 ． 三（3) 题，5 分） 计符"li.m.tan'， (王 十 —n) . 4 斜 这是一个“] ” 型极限 + " hmtan言 ＋ 臼＝ [1m{ ] [lan勹＋勹）－ 1] } ? 义hm尸（于十:)— 1 tan（六丁于， 了）－ lan 干 ] · n = hm 11 sec2~ • _?_ = lim n （于玄 < f 三） ”-. · 1 /1 = 2sec' 王＝ 4 4 则原式＝ c1. 【评注】 本题中用 到拉格朗日中值定理 ， 求极限时如果 出 现同 一 函数在 两点 函数值的 差 f(b) - f(a) 就可以考虑拉格朗 日 中值定理． 酝】（l995．一（4）超3 分） hm( 2 1 + 2 + ··· n +/ = /1 + n + 1 沪 十 n + 2 II2 + n 1) · ,j • 1 答．孚 -． 2 斜析 巾于 ]' ++2 12+, ++ +r 1 1I ".- + I·I + I 1 + 1 , I 2 1 + I 2 I + + I 2 + ~ II 2 II + 2 1 7 + + ?/ + 1l ~ 11 >x ,3 + ” ?l ? ', . I I 1 -1/(1/ ]) ? = --= ，r ~ 干I II T 义 1 + 2 +…+ .I I 112+ 11 + 1 ' ,/ + 11 + 2 ' ' 112+ 11 + < 1 + 2 十 ．．． 十 ?1 、?112 + 11 + 1 ' ,i2 + 11 , 1 ·' 111 + n + l 1 一11(11 + 1) ? = -=- 示 十 I/ + l I ] + -1／切 ＋ 1) —叭:11 l) 2 2 1 而!im ~ = !im ~ = — ，则拟式＝ 上． ”- r + n+ II ,，一飞 Ir + n+II 2 2 7 4 •(2002,八题，8 分） 设 O<.r1 < 3,_i_-,＇一1 = ✓义，，（~(n = 1.2,···) ，证明数列{..1,, : 的极限存在，并求此极限． < < 斜 由 0 -l1 3 知 -Tl ,3 — 、飞？ 均为正数喷t 1 =--;;3- O< 立-2= ✓m (3 - m) 冬 —(.1l 3 - 义、I) 2 2 > 3 设当 k 1 时，o < 义k< —，则 2 <.,·;~[ 1 + -3 0 = ✓11 (3 — 1人） 冬一(m 3 - ～t七） = 2 2 故由 归纳法知 ，对任意正整数 II > 1 ，均有 3 O < ．江，圣---;-- 2 即数列位，， ｝ 为有界数列． > 又 ． 当 n l 时， 汇(3 - 2.1勹，） .1,， 1 一 工，， ＝ ✓工，（3 -.m ) － 艾，，＝ )! 0 二＋工 > 故当 n l 时，文，尸1 多．l,＇ ，即数列｛1,， ｝ 单调增加． 则由单凋有界泭则知limx,. 存在． 设lim工，，＝ a , 111 心1=~.J.,，）得 ', -- (I = ✓a(3 — a) 3 3 解得 a= —,a = 0（舍去）． 则lim．江， ＝— 2,1--,; 2 证明 （丸，） 单调增加也可利用气了 = /：二了诊J/：二了 ＝ 【评注】 l m (? j. “ 2003' ．一 _ （2) 题．4 分）设 u,i =— 3 2 "-I .r'，－1 汀二飞．则极限!Lm11a,， 等千 ” 立 + (/\ ) (1 + e)'+ L. (B) (l C I)了－ l. ' (C)Cl+e 1)7+ 1. (D)(l + c)'- 1. B 答泉 1 -3I,亡1”一1 汀二气I 奸析 a,, = 2 。 三3－』王 兀尸d( .r") 211.I " = -L (l + .:i:.”) ； I 令 。 II 1 , 1 宁 -,] 吧／u. ~ (I (;;-ti)•)+ J] ~ （三） !i.m [ + — !im [ [ 1 j =( l +c11 )千'-l 故应选(B). • 75 •A”“, (:'_) !I1 )()(;• J8 )色 ． 12 分 ）戊敖列 ，I，＇： 1向1 足 II .I ~- 六../, ~Ill .!",,(11 I.'.:'..... ). - (I) iii II丿1 li_m, 行 (1 ·丿l水）夕1及1;1l . ( 11) i I·算 li111 (二 ) . . ',( 分 析 I I i j 及i 夕1];亡111.i也j{i)\ 7f、"，'；,:I: 1r:J .；出，心）11 1 I. i il',l (1 片tii i i)!ii i 1| llJ l 1及1;1j (,J- h . Ji ,K : 1: i及1lk. I i j ( | | ) 11 I II : J I设1;1 { }L - 1、 .' iI;,l . I IJ 斗行丿［ ［七 丿、JIJ 、,1枚II勹极限 ． I1) { II JI l, r1 ＇皮i/f限玫J|义对放的方法 甘！ II J /j ; ! !'，1ltl灼 1;i~ ( I ) 证正 d甘 JjJIJ I红ll丿气iJFIIJj 11 1l,',j ;1丈，少 I I I、 1勹 界 !11 J· - 0 在（一(X), 十=)内连 续 ，则 a = 答哀 ］． 虷析 要使 j(1) 在(- CX). ＋ CX)）上连续 ，只要 f釭）在 .l = 0 处连续． 又 f(O") = lim/Cx) = limc-'(sin x + cos.1.:) = 1 , •O :, •O /CO- )= limf釭） = lim (2x+a) = a r仁().r－.0 f(O) = a 则 u = 1. <; a + b.i.·2. 义· o 回(]989 ，一（6）题，3 分）仪 j位） ＝｛、"尸 在又. = 0 处连续，则常数”与b 应 x>O 满足的关系是 答哀 a = h. 砫析 显然 J.（x) 在 `:r = 0 处左连续，只要 j釭）在 x=O 处右连续即可 ， sin b.1. /CO' ) = limf(x) = lim ~ = /J 又一0 ' •O+ 立． j. (0) = (1 由 J(o· ) = j(O) 可知 ci = b, m(l990，二（5) 题 ，3 分）设F(．T) ＝ {.丛1: t.1·-::j=O, 具中 J(．1) 在x=O处可导，/(0) # f(O), -1.·=0, 0._[(0) = o.则．r = O 是 F(l) 的 (A) 连续点． (B) 第一类间断点． （C) 第二类间断点 (D) 连续点或间断点不能由此确定． 答分表 B. 、/ f( - .I / (t) .r) (0) 斜析 limF(立)= lim = lim ~ = j'(O) ;:/=- 0. r 一门 r一u .1.· , -o .r 义 FCO) = f(O) = O，则 .1· = 0 为 F釭）的可去间断点，故应选(B)｀ m(1993 ，二（2）题，3 分）设 f．釭） ={ I .卢r .1. 2 _ - l l | , J.. # l ．则在点 X = l 处函数 j釭） 2, .1'= 1, (A) 不连续． （B) 连续 ．但不可异． (C) 可导但导数不连纹 (I)) 可导且导数连续 答点 J\. 1.1..2 —I I ,. .. . T ~ - 1 斜／｀析 111于 lim/Cd = lim ~ = lim ~ = 2 义一l」 I亡 .r - 1 :. ;.; .1· - 1 , • • 84 •limf(.]_-) = lirn I .:.:-2 - 1 I = I i ． m 一 ~ (x2 — l) = - 2 , •I ,· I 义 ］ ·' ·I 义: - ] = 则 j.（3) 在 .l.. 1 处不连续，故应选(f\). + 回994 ． 一（ 1 ）超3 分）若贮） ={习 n 2x c如r — l 、,· #- 0 1 ` 在（－＝， 十O-::i） 」_．迕纹， a, .-i- = O 贝l]a = . 笭衷 - 2. ~111 2.1. + c?ar — ] 斜祈 由于 是初等函数， 从l此． 右: .1 #- 0 处处连级 ． 要使 jG) 在(—^ 3` = + ＝)上连续 ．那只',r,1; .r釭）在 .1· 0 处连续 ，即只宙 lim/C.r) = j(O) , ..j SI n 21 - e妇. - 1 sin 2.r c ”“' - l 又 limf(x) = lim = lirn + lim r dI X”) .r ,. I) ..r , “n .r = 2 + 2a f(O) = a，只要 2 + 2a = a ．从而有 a = - 2. 四(1995，二（ l) 题 ，3 分）设 f(1）和叭立）在（一=, 十=)上有定义 ，J位）为连纹函数， 且 f(．．7.) ＃ 0，沪（.r) 有间断点 ，则 (A) > CA)a O.b 0. (B)a O,b 0. < > < (C)a O.b 0. （D)l/ 诊 O,h 0. D ^ 答.. 孚 ＂折 由千四Tl、/ o. 在立＝ 0 处连续 ·则 a = (l C2 r . ｀T 冬 0 签衷 —2. 纤 析 limf(_.,_.) = lim 1—c"" J = li . m - — ~ t an .r =- 2 工-.0- , . - arcs1 . n ~ . 2 T r .0丁 了 1. limj釭） = limae2J = a T-.') r .) • 86 •「|1 Ii rn / Cx ) = Ii m((.i-) = f (o) 1异，ll = - 2. ，一 一I) + ' _,- _,, In(] + cLr3) x < O 工 － arcSIn 1. 6. .1' = 0 匹1<2003，三超 10 分）设函数 J(.1.·) = ~ ，间 a 为何值时， 产 十 T: - cQ~ - l ,.1·> O r· sin ..:_ .]'.' 4 j.(.1）在立 — 0 处迕续初为何值时 '.1. = 0 是 f(.1.） 的可去间断点？ 3 斜 Jim}釭） = Ii m ~ = Ii m ~ = —6a r .0 .r-.[l- .r - arcSIn .r r ..) _ 上.1_．J 6 + - Ii m / C.1·) = Ii m ~ C'“ 十 .z.1 - ax - 1 = , 1t , Ii .. m ee '" + xx-.2 - aax工 ＇-一 :l r .0 .r_ , l 'n — ｀飞· ., ··') - 3.~) 3飞SI 4 = 4 hm ae~'+ 2工－ a = 2 hm (u2e山＋ 2) = 2（矿＋ 2) 上 俨0- 2.1. r .n' 令 lin~JC.r） = hm.r位），则 － 6a = 2矿 ＋ 4，得 u = - ],a =- 2. ' •O 了 •O 当 a =- 1 时， limf(.J.） = 6 = f(O) ．即 f位）在．)' = 0 连续． '•O 当 a =-2 H寸 匈limf<.:i-) = 12 -=J=. 「（0) ． 因而，:i· = 0 为［釭）的可去间断点． ．， 俨l, 回(2004,l 题 ，4 分）设 f釭） ＝ lim~-则 f釭）的间断点为 _r = _. ＂一 ·- ?1工 ＋ 1 答床 0. 斜析 由题设知 /(0) = o. 当．1 # 0 时 (？1 了 ］为: = lim~ - +）工＝王＝上 j.(.r) = Ii m ~ = Ii m ~ = -:'.;; 1 I “七． ？／艾一 ...L ,尸尸飞 .r,, +, - 立工 JI J+.,.1·;;/=0 即 j.（又）＝ ］ 工 o. x = 0 显然 ．i.· = 0 是 f釭）唯一的间断点 田(2005,12 题．4 分）设函数 j．位） = ] 侧 e亡i - 1 (Ah = O,x=l 都是 j口）的第一类间断点． (Bh = O,.1. = l 都是 J釭）的第二类间断点． (C).1. = 0 是 j丘）的第一类间断点 ．t· = 1 是 J釭）的第二类间断点． (D归 ＝ 0 是 JC.,) 的第二类间断点 ．X = l 是 ．r位）的第一类间断点． 答孚 D. 奸析 由于lime占＝ l ，则limf(x) = = ,:i.· = 0 为［位）的第二类间断点 ，又 J 一o .r~o lime士 ＝ o. limf(x) = - 1. . r- I 「一 • 87 •lirn c占＝＋= · lim/C.r) = O, ' ·I ' •I' = 则 ,· 1 为 I`(1) 的纶－炎（跳跃） 间断炽． 【评注】 一种典型的错误是由lime户 = 0c .得hmf(.T） = 0. , •I ,· I 回(2006.2 题 4 分）设顷数 f(,) {:f，'、In I心 ，子 0{：L - ? = 0 处 连纹 ． 则 (I - (1 , ．飞. = 0 L 答导 3 斜析 山连纹的定义知 j·, 5l l l /: dI (l = J.(0) = l ; l • m .•,; . / I ( -. [ ,, ) = h :, m 俨' . 0 ． 1 · = .l`i m- f) Sl 3 n ` t· ; : r 3 I 因(2007.2 超l 分）函数 j(r) _ 7 缸－ 六·式上的第一类间断点是 1 — =(c+ 1 e)MIl 、r-(e了— c) (A)O. (I3 ) l. (L'.) － 王． (D）王． 2 2 笭点 A. 斜祈 （万；去一） 由 limc7 I = o. lim妇 I ＝+. J, 1i If ' . , . 、 lim f(.r) = lim ' c .:: 了 , 上 e tan.r - ~c x l =- 1 - e , -“ ' -h C了 － e.I" lim_/'(.r) = lim ~ • ~ - l X l = I 一：－一I·, •' C·』- e 则 ； ＝ 0 是 j(!）的第一类间断，点． 故应选(A). （方法二） 山于 I (e了十(、)li1n .. hmf(I) = hm ., ,.., .,... I = C心 ' ·I,一1 义.(C了 c) I im /(t) = hm (c-;- -1 c)tan x == .!. • E. , ．一三 .r (c-;- - c) 一～ I 1m/, (~-r) J = 1 11 . m (c了千 I = c)tan ＝ 已 去 ， 分 J(c7 c) 则 .1" = l ...l ＝土 §者1湿 f(1） 的纶 一类间断点 ． 山扑除法 可知应选(.A.). 匠'(2008.-1 题1 分）设面数 f(i) = In | — r | I sin.r，则 j.（r) 有 .1· I CA) 1 个11fl、·间断点 ．1 个跳跃间断点 (B) 1 个可去间断欢 ． 1 个尤穷间断点 (C) 2 介、肘t且K|hj闪Jr,I、I、飞 (1)) 2 个无穷间断点． 答孚 J\. 斜析 扯然 f(1－ ）只有两个间断，,.'.'， T = 0 和 r = l. 因为 88 •l r i . m 0 f(x) = l 了 im "o ~ | In `r - I 父 l 1 |sin .r, = lim .0 ln I x I• sin.1 (h T m .o | 1· - ] l | = 1) = limln I.r I· .z （等价无穷小代换） x一0 l In I 义 1 = lim = lim ___:仁－ （洛必达法则） r- o l r- o l .1. － － 1· 了 =- lim工 ＝ 0 了-·0 则 几．＝ 0 为 J(x) 的可去间断点，又 limf(.1..) = lim In I x I s . in :r = sin 1 lim In[ ] + (.2”- 1)] :·:;: I x- 1 I .1..—l ,-. I , · I I ·' i I , -· I 1 义·- = sin 1 lim （等价无穷小代换） . .1.”-l , . I = sin l ln | x | . ln[l + 位－ l) J limf位） = lim I 义·— 1 I .sin x = sin 1 lim - (.7·—]) 工一l x —l =.sin 1 lim - =-sin 1 - (:r l) , • I = 则 7· 1 是 j(3） 的跳跃间断点，故应选(A)． 【评注】 部分考生只考虑 x= l 时 f(x) 的分母为 零和limln I x I = =，没有仔细分析 •·•O 就选择了 (B) 或(D)． 判 断 间 断点类型一定要在求出极限后再下结论． 读 书 之法凡祀，惟是笃志庄心，反负详犹， 为有伈手。 朱 熹 • 89 •第勹农 勹兀函数微分学 t空生产｝ 导数与微分是微分学的两个基本概念 ，是 研究函数局部性质的基础． 微分中值定理建立了 面数和导数之间的联系 书 是利用导数研究函数基本性质的理论基础． 其主要内容 (1) 导数与 做分 的概念及其几何惹义 ； (2) 连续 、可 导 、可 微之 i司的关系 ； (3) 微分志（有理运算 ． 复合面数 ． 陓函数 ，参数方程等） ； (4) 做分中值定理（罗尔 ．拉格朗日 ．柯西 ，泰勒） ， (5) 函数甚本性质及＃］定（单调性 ，极值与最值，曲线的凹凸性与拐点 ． 帝近线 ）． 酰 本草考试内容多 ．考题比例大（一般 20 分左右），有基本概念 一 导数与微分；基本方法 - － 微分法·基本埋论一一 微分中（直定理，应用 —一－ 函数性质等内容 ｛本章常考题型｝ (])导数概念； (2) 微分法（复合函数，隐函数，参数方程） ； (3) 函数的单制性与极值； (4) 曲线的1且l向与拐点； (5) 方程的根 ； (6) 证明函数不练式； (7) 微分中伯定理证明题． 后三种题型是难点 ．考研试卷最难的题经常出在这一立 ，那就是与微分中值定理有关的证 明题． ｛一购产桩 一 导数与微分的概念 m(l987 ，九（3）题 ．4 分）仗／（t）在 .r = a 处可导 ，则lm1 .I妞 ＋3 － .［(a －工）等于 .r-·0 义： (/\.)/(a). (B)2/'(a). (C)O. (D) j'(2a). -- 答孚 B, • 90 •- 斜析 lim j.(a + `t) j.(u — r) =_ 1l:im_ f ~ (a + .r) - f(u) - _ 1lim:_ f(a - x) - f(a) , _,' -1. r -I I .1． ， 多＇＇ ·1· = J'(a) 干 ['(u) = 2I'(u) 故应选(B)． 1 Cl 988.二（3）题．3 分）若函数／一(.1) 有 j'(．l,） ＝—．则当 A.1_--+ 0 时，．f（.1） 在 1·0 处的 2 微分 dy 是 (A) 与幻等价的无穷小． (B）与 A工、 同阶的无穷小． (C) 比幻低阶的无穷小． (D）比 A.1.一高阶的无穷小． 答床 B. J 斜祈巾 丿，位。） ＝— 知 2 ] dy =.r'(.r。）釭 ＝ －江 2 -A.?' 2 又 lim 业 ＝ lim =上． 则 当凶一 0 时，cly 是与幻 同阶的无穷小． 心一() A`t 上r一(l A.1 2 (1989．三（6) 题 ．3 分） 设((.,)在 1 = a 的某个邻域内有定义 ，则 ．((.r）在仁t =u 处可 导的一个充分条件是 f(a + Zli) - J(a + Ii) (A),,I(~ h [I(a + +)- J(a)]｛钮 (l3) 1im. 存在． h •O h (C) lim . / (u + h) - I(u - h) 存在 (D) hm J(u) － 「(u - h) 存在 h ·<> 2Lhil I, •O h 答衷 D. 奸析 lim · ((a) —I (u - h) = lim • / (u - h) - J (u) ',. o Il h .') - h + - 令一h = Ar lim,/ ((l A`1-) / (u) 上' .n A.r =.I•, (u) f(a) -.f(a — h) 则li m . 存在是 j.（．I) {+.r = a 处可导的充分条件 ．故应选CD). . h I, f 1 ［评注】 (A) 选项不能选的原因是这里当 Il-►+～ 时 ，一－只）十 ，所以该极限存在能得到 h = f(x) 在 ．:i- a 处右导数存在 ． 而不能得到 J.I(u) 存在； (B) 选项的反例是 j．釭） = {0 , X = a, (C) 选项的反例是 /C.r)= l x-al. l , .r# a. { (1994 ．二（2) 超3 分）设 fG) 气 ． ｀r 2. ( l ) 写出 八．r) 的反函数 g(贮r) 的表达式 ； (2) g位）是沓有间断点 、不可导，点？若有，指出这些点． <- 1. J_" 斜 (1)gC.r) = 妇． - l <. 1.< 8, 工＋ 16, .1:> 8. 12 (2) lim I-((.1) = lim ., •C-ll 义一俨( l, lim g(.i-) = lim 坏＝－］ '.( 1,· , -r I l 则 gQ）才1 `l =- l 处连续 lim f.f位） ＝ lim 汇 ＝ 2 , .\ r .8 limgC.d = lim .~?- -- 16 = 2 J 2 , . H r . 8 = 则 g(父）打 、{" 8 连续 ，故 g(］）处处连续 i —(l +贮r) g'(- l) = l , im l1m 2 1) =_l , _ 1 r . l) ， 俨(1) (r - l) （厂丁 ., + 片， （－ 1) = lim ;/T 1 = li m ~ = 上 , . (l) I ..（·十 l J .（一1)， 左—沉＋ l 3 则 矿(- l) 不存在． g1(0) = lim Y 汇 ....:.!...-= （沁 .r . (1 ..r g'(8) = lim 灯－ 2 = l .r ..9 .1· - 8 12 • 93 •义．十 16 —2 g'.(8)== 1li m ~ 12 - = , li . m ~J、 — - 8 =上 x - 8 : 12(.r 8) 12 , .`、 令 ， 一｀ l 则 g'(8) = — 12. 综上所述，g（文·)处处连续，没有间断点；g(.1) 不可导点是．r =- l 及 X = 0. iTI(l998，二（2) 题，3 分） 函数 f(.'.l.） = (1' - l - 2) | .11 _ 3 l 不可导点的个数是 CA)3. (B) 2. (C) l. (D)O. 答孚 B. 斜析 1方法—) 若去掉 I x3 - i· I 的绝对值．／（i) 是一个分段函数，每一段上都是多项 式困数．因此，r位）只可能在分段函数分界点处出现不可导，即只可能在 .13 _.1 = 0, L!II.1.= - 1,0,] 这三处出现不可导点． 义 f釭）－ f (- 1) (.1 l ) (.1.· - 2) I .r;'-.1' I lim = lim r一一1 .1、一 (- I) 1、十 1 = lim(.r - 2) I x3 -.r I = o J－一 ］ 则 j'（一 ］） = 0. I im ~ / (.r) - J (0) = I im (.1 2 --.t - 2) |.r2 -1 11.r I J . 0 .l. r . l .1' =- 21，西 丁 Ix ＝ I. { / _ 2 · , ．1. 一 0 2 又． 一► o· 则 j.I(0) 不存在 lim.f (工) - j(l ) = lim (1 i _ I - 2) 1 .:t勹(x + l ) | | 义 - 1 I ,. 1 工· — l .， .l 义·-1 ［. _曹_ ～..:1i : - 1 I { / _ 4 . 仁1． 一► l =- 4 - l = 4. l .1＇—► 则 f'（］）不存在 故应选(B) - .,— （方法二） 由 千 f(.1） = (.1"1 2) I x I I.r - 1 I I x + 1 I. 并且我们知迫 I 工 l 在 :r = 0 处不可导 ．而 工 I.r I A.1 = 0 处可导．因此 1.1. | | :r· - 1 I .r+l I 在 .l =— l .尸1、 =O.x = 1 不可导 ．乘（因子（立1 —r-2) 会不会改变这＝．个点的可导性，关键是 正－立· - 2 中是否含有绝对值中的这 个因子，．飞，1· - 1 ..1.· 十 ］，义 .1 2 _立·- 2 = < J " I 1) C.r - 2) 所以 f釭） = (12 _.1. - 2) I.r, -.1 I 存 .1.. = O.x = l 不可导 ．，r =- l 处可导 ．故应选(B) I - cos X o. m(l999 ．二（1）超3 分）设 jG) ＝ 1 石 .]_: > 其中 g(.]_-) 是有界函数则 几~g(.r) . .]_. ;:(0, j (.L) 在又 ＝ 0 处 (A) 极限不存在 (B) 极限存在 但不连续 (C) 连续 ．但不可导． (D) 可导 D 答泉 • 94 •1 - cos.r - 0 —l .r 2 斜析 j: (0) = hm ./ (.1) － ．f(0） = lim 石 = lim- 2 - — = 0 , -II' .1 - 0, 咖（）. .T ,--11· .r 矗 f'_(0) = hm I( .?) - j.(0) = lim .l 2 g (.1) - 0 = lim.1-g (x) = O ， 一11 .:t. -0 ,.', 、1、 , ., 则 j'(0) = 0，故应选(0). , = (2000，九题 ．7 分）已知 f位）是周期为 5 的连续函数 ．它在 .r 0 的朵个邻域内满足 关系式 j(l + sin 义）— ::lf(l - sin x) = 8_r + (1(1) 其中 (1(x) 是当又· -► 0 时比 ~1 高阶的无穷小 ．且 j.Q) 在 :i· = l 处可导 ．求曲线 y =.f (I) 在点 (6 . J(6)) 处的切线方程 斜由 hm[j(1 ＋ 叩in.r) - 3/ (l - sin .d ] = 四1翌[8.r-(1（I)] 得八l) - 3/(I) = 0. J－俨。 = 故 J(l) 0. 又 l i m . 「 (l +sin _!") - 3/(1 - sin x ) = _ 1 h , m _ - 8又 －1-- 竺 1I1 又:]= "' •O Sin.J.、 .，一0 SIn 1 `1 Sl 8 今 sin 又. = {.则有 l i m ' f (1 + sm 3 - 3.j (l - sm ~t) = Ii m ~ f(l + I) - j (l) + :1 Ii m f、(I — I) - .f(l) r .O Sln L1. : ·, l , ．，一 l = 4/ (l ) 丿j［以 /(1) = 2. 由于 J(.1-+5) = /(.r) ，所以，/(6) = JO) = o.j'C6) = .1'（」 ） = 2，故所求切线方程为 y = 2(.1 — 6) m<2002．二（l) 题 -3 分）设函数 j(u) 可导 ·Y = j.（．厂）节 自 变队义在．r = l 处取得培 itt !::,x = - 0. 1 时．相应的函数增址 Ay 的线性主部为 0. 1 .则J'(j ) = (/\) - 1. (B)O. 1. CC) 1. (D)O. 5. 答孚 D. 斜祈 y = f(.1.'1 ) ．则 c!y = 2汀'(.r1 )d.1 0. 1 =- 2/(l) • (-0. ]) 则 f'(1) = 0. 5 故应选(D). (2002．五题．7 分）巳知函数 J.G) 在(0. 十=)内可导．r口） > o. Ii m I C.r l = J. n I 满足lim( j J 釭 釭 ＋ ） 加） ） 下 = c' 上 '求．「（．r) /, .0 llh T l - I j("t ＋ 缸） J(t 十 加） (1) 斜 回（贮）） = ！叫1+/(」) ~r（工＋加） - f.( l) . —1 1 J(Lr + Il.t) - I (1) Ii Ill ·r( =lim ／， 一° `1) /l .f (1-) h .I) ／l艾 义「'(.T) =. J(.1) 贝 ul h ,1 7 m IL I ( x ＋ 釭 f 、丿 ,r这 丿、 \ I j -h = C 斗 ''" .从而有 c 丑 压 = e .. ' !. ，即 .1.、J'(x) = _ — 1 · · _ ['(x) = _ - 1 j (.1）工 .r(~r) ．11- • 95 •两端积分得 ln J釭） ＝－ 』＋ C,f(r) = c(c 了. 1 又 lim f(x) = I ,则 e1 = 1, C = 0, / (.r) = e今． 工＿＿＿0, mc2004,]6 题．］0 分）设函数 f位）在(—=· +~）上有定义 ，在区间[0,2] 上，f(x) = ..z(r 2 - 4) ，若对任意的 x 都满足 J 釭） ＝ 盯 (.1、 I- 2) ，其中 k 为邯数 (1) 写出 J釭）有[- 2,0) 上的表达式； (2) 问 k 为何伯11寸， f(.1.) 在 x =O 处 II［导？ 斜 （］） 当 一 2 ~ .:i· < O 时，0 ~ 、r +2< 2 ，则 j位） = I寸(x+2) = kC.x+2)[(工 + 2)2 - 4] ＝妇(.1· 十 2)Cx+4) (2) 由 (l) 可知 ． 当 － 2 ~ .2 冬 2 时 ． j.（义）＝ ｛妇（J. 卜 2)C.1· + 4.) . -2 ~ x 巳记y' = 0 > 将 .:i.· = 0.y = l 代入 CD 式得 y'(0) = C O 式两端再对 义、 求导得 y" - eYy' - c·'y1—x(e-"y')' = 0 将 X = 0,y = ],y'(Q) = e 代人上式得 y11(0) = 2e2 (1993，一（2) 题，3 分）函数 y = y(x) 由方程 sin(、甘＋Y2 ) +e.c ＿义沪＝ 0 所确定 ，则 cly — d工． y2 - e' - 2.nos(x2 + y2) 答孚 2ycos(x2 + y勹— 2工y . 斜析 方程 sin(x2 + y2) + c' - xy2 = 0 两端对工 求导得 cos Ci、2 + y2) (2X + 2 yy I) + e.r - y2 - 2工yy'= 0 巾上式解得 y , = _ y2 - c·' - 2.'.l:cos(.'.l.2 + y2) 2ycos（正 ＋y2) — 2'.ly d2y (1993，三（l) 题 ，5 分）设 y = 邓in[J(.1..i)］，其中 j具有二阶导数，求－— d.1'2· dy 斜 — =cos[／．伲）］f＇（正） • 2.1· = 2叮'('.l.2)co`[J (.1 - ) ] , dx 臼＝ 2jJ口 ）cos[/伲 ）］ + h -2j "伲）cos[/叮）］— 丘J'Z(:r2)sin[J、(.1"2)J J _ = 2f'(x2)cos[f(.r2)] + -l.r2[/'Cx2)cos[/(工2) /2（～召）sin[.f (.T2)]] .r = t —ln(l + I) 回(1994，一（2） 题 ，3 分）设函数 Y = y(x) 由 参数方程 ｛ ，所确定， 则 y = t3 + t2 立 ＝ d.廿 (t - ])(61 5) 答哀 l , 纤析 - d -;= y - = _ = y - ; ,- _ = 3£1 + 2t = 31'I 5t + 2 d工．1·, 1 l - --— l + l d2y d dI l C`，两端对义． 求导衙 砂v) 十工el J'(Y) y'= ey, e f(、`J 1 则 y'= e·` ' — ~t eJ( \'; .f'(y) = ~1 [ l - f-1 ( y) ] · 以下同方法一． (1996，一（1 ）题，3 分）设 y=C:r+c 勹 ，则 y'l.o=_. 1-3 答孚 -) | y'I = ；（又 ＋ c -'）I了 (l —上C ＝ 上 斜析 .r - o 3 2,- o 3 :I(l997． 一（2）题，3 分）设 y = In`三，则 y'1| = 工＝0 3 答哀 一 —2 . • 101奸析 （方法－ ） y = —1 [lnO -.r) - ln(l +.-i-2)] 2 y =上(— 1 _ 2.1. ' ) = - l — 工 2 \ 1 - x l + .r' J 2 (]—?.) l + f y " = - l l - 3`?_ 2(1 －工）： 一 (l ＋立了 y" I ＝－立 2 J O 1 J （方法二） y = ~ [ln(l -.1.J - In(1 + .1.2) 2 2 ＝三l － ．1 — 工了＋01 口） －正＋o，正）］ =-—立: - —3, x2 + o(父t.2) 2 4 —; 则 y'，I, = (-¾) · (2!) = 【评注］ 方法二是用泰勒公式，比方法一简单． 1盲(]997．三（2）超5 分）设函数 y = yC.r) 由{工r=arctan/. 一所确定'求, dy 2y - ty22 + e'= 5 －归一一． ch· 1 斜 + dt 1 l2. 等式 2y —旷＋ e'= 5 两端对 t 求导街 _dy _ —dy 2 _)户－ 2ly +e'= 0 dt d[ 则业 ＝ y2 - eI dt ~ 2(1 —ty) . dy y/ (yz - e') (.l ＋广） d.1.· x-; = 2(1 —ty) (1999．一（2) 题．3 分）设函数 y=y釭） 由方程 In(文2 + y) =.'!.、3y..L sin x 确定 ，则 少 ＝ d．工．，＝0 l 答泉 斜析 巾方程 lnC.:r·2 - y) =.1.:3 y sin 立知 ． 当 义｀ = 0 时，y = 1. 该方程两端对又今 求导得 幻 ＋y' =3正y +.1.:3y'+ cos 、1 正 ＋ y 将义' = O,y = 1 代入上式得 y1(0) = 1 I, (2000， 一（2) 题 ，3 分）设函数 y = .)心）由方程 2r` =工+ y 所圳定 ． 则 dy = 0 答哀 (In 2—l)d.'.l·. 斜析 将．1· = 0 代入方程 2·'Y = 又·+y 得 y = 1 ，方程 2'-' = X + y 两端对又求导得 沪In 2 • (y +.ry') = 1 + y' 将 :i·=O,y=l 代入上式得 y'CO) = In 2 - 1 102 •故 dyI,-o = (ln 2 - l)cl4. 巴t)c2000，五题 ．5 分）水函数 f(.1') ＝ 门n(l ＋心在 x = O处的 叫价导数广')(0)(11 ~ 3). 斜 （方法一） 巾莱布尼茨公式 " (uv)("l = I;c切'k)寸',-炉 k 0 令 u = .r2, v = In (1 +.T） ，则 u1 = 2.r, u" = 2, 1.1111 = 0, ··· 1 v'= ~ = (x + l) 1 ，护＝ (— l) (r + l)-2 l +.r v(u) =（— l )＇户1(11 -l) ! Cr I)-" J'"> (0) = C;.u"(O)v(,, Z> (0) 11(11 - l) =~ · 2 · (—l)"-1 (11 —3) ! (- l)"-111! n —2 （方法二） 由麦克劳林公式知 I”(0) (( (0) n) j.（飞）＝．f(O)+/'(Oh , 、 2 .12 十 ．．． 十· T” 十0(.7.·") ! -., II! 1.2 .-1-- \'. (— 1)＇尸I.r" ] 及 .T2 In (] + .T) = x2 [、t - - + ＋ ．．． 十 心） 2 3 1/ ＝ 义、'- 父- 2 ..\ ＋. . — 1 3 . . 5 十.．．．,十 (— 1), I , I 1 x" 1 2 － o(义·“+2) - .—T I .—1.'. 55 +' ... ' (—])"-Ix" =.r3 + + ~ + o(x") 2. 3. ' (11 - 2) 比较 x" 的系数得 = 尸 (0) (— 1)＇曰 I/! (I/ - 2) (-1)" 111! 则 t"1 (0) = ?I — 2 田(2003 ． 一（3）题 ．4 分）y ＝ 沪的麦克劳林公式中．r" 项的系数是 . (In 2)" 答孚 ! . 71 斜析 y = _f(.1) 的友克劳林公式 卢） ＝ I(0) + j·1 (0).1.` + 2(0) 72 + … ＋「（，I)/；0)t'' + o釭＂） .1.:'' .-1: " c' = 1 + .r-1- — + … + + o(x") 2 ! . . 11 ! 2-' = e'1"2 = 1 + (In 2)x+ Cln 2 ! 2 )2 .- 1-.: ? 2 +, , …, , 十 Cln ! 2 )" 沪十 o(.1.:") II CI n 2)" 则 、1·” 的系数为 . ! II 或令 f.（．1') = 2工 ，则 I'(.1) — 2·'1n 2,/'C.r) = 2'(ln 2)2 ,－般的 f 1") (x) = 2'(ln 2)" P"'(0) = (In 2)" 103I <") CO) _ (In 2)" 立 的系数为 ! = !. 11 I/ X = l + 2t2' (2003 ，四题，9 分）设函数 y =｝心）由参数方程{ ])所确定，求 l,21n1 —eu (t> y =f du, u c12y d.'.l:2 1,--9. 斜 由 x=l+ 归知 ， 当 x=9 时 ，t = 2. I 2 el一21n , dy _ y', _ 1 + 21n I t _ e —= -—= 扣工 心 2Cl + 2ln l) 2 [ d为＝ d c ] dt 7 l 亡瓦 2(1 (） ． 石＝－ L . t)2 ． 石＝－ ~2ln1)~ +2In 2(1 + 2ln 则fy =- e I =- e d工2 I r- 9 4t2 Cl+ Zin 1)2 I,~2 16(l + Zin 2)2. 四(2005,1 题，4 分）设 y = (1 + sin 辽 ，则 dy 上~= r: 答哀 - n-dx. 矫祈 （方法—) Y = e . dn(I ··,in心 y' = edn(I I吐n,-）[ln(l + sin .r) ＋ 卢°s:n勹］，则 y' I =- T[,dy ＝－ 亢d.T． I~a I,一六 （方法二） 由 y = (l + sin.r)工 知，In y =.rln(l + 、in :1·)，则 立＝ In(] + sin .r) + 工COS.T Y · · · - -· · ] + sin.r y'= (1 + sin 立r[ln(] + sm 立 十 艾COS X l + sm x] dy = － 六cl忑 r-? （方法二） 令 l + sin T = u，立．＝ v，则 y = 矿， , _ Jy -d u , Jy dv y = - + -— =.V1广－1cos 、,· + 1/'ln u au d:rJv cl.1.· = 又·(l + sin.d户1cos:r+ (l +sin x).rIn(l + sin.r) I-ff=— 穴，dy Ix~亢＝— 如 y' I 【评注】 本题属幕指函数求微分，关键是求导数．题中所给三种方法是幕指 函数求导 数常用的三种方法． 心2005,7 题，4 分）设函数 f釭） ＝ lim ,1/f+l 又 尸＂ ，则 f釭）在（一 ， 十～）内 (A) 处处可导． (B) 恰有一个不可导点 104 •`II (C) 恰有两个小可导点． . y=-x3 y=x3 (D) 至少有＝个不可异点． 答孚 C. 斜 析 先求极限得到 J(｀1) 的表达式，然后再讨论 J(t) 的 可导性． x > ~ I 巾 lim ；；叮 ＋吐 ＋ … 十忒，＝ maxa,(a, 0) 知 I乏r一，＂ f(.r) = lim ;;;1 +| 、~= max{ I. I.r Ii} < - { l . I了 ． | 1 l l > l . 1 `1. 1 | 1. 巾 y=f釭）的表达式和其图形可知．jQ) 在 .1· ＝士 ］处不可导（尖点），在其余点均可导． 故应选(C). 【评注】 本题求得 f（工）的表达式后，也可根据表达式确定各点的可导性，由其表达式 知，f位）不可导点最多两个，即 1 ＝士l,其余点均可导． 又由 f(x) 表达式知f(x) 为偶函数， 则 f(x) 在 x ＝士 1 两点处可导性相同 ， 因此，只需讨论 x = l 处的可导性． f'(1) = lim l — l = 0,f''...Cl)= lim 立二 ＝ 3 立·- 1 + .1:. - 1 :r-•I 上一1 则 J'（x) 在 x=l 处不可导，从而在工＝－ 1 处也不可导． r = I~+ 21 肛｀（2005,!)题，4 分）设函数y= y(.1) 巾参数方程 ｛ 确定 ·则曲线 y=y（习 y'--' ln(l + t) 存l -3 处的法线与 i 轴父点的横＇·|人标是 l 3 (J\)½ln2 +3. (1:3) —--In 2 8 3 (C) - 8ln 2+3. (D)8ln 2 - 答泉 A. 3 奸 析 由．r = 3 得 ．3 = (2 +2t.fejl（之得 I= l 和 t = 山 y = In(1 ...L t) 知应取 t = 1 .此时 y = In 2. l I 詈 ＝ 言7 __ -8 21 + 2,' = 则仙线在点(3.ln 2) 处的法线方程为 y - In 2 = -8(.1:- 3) I 3 令 y=O．得 x = —In 2 - 8 故应选(A). ..．1(2006.9 题，4 分）设函数 g(.1) 叫微，/,(.1.") = e I. o<') . /, 1 (1) = 1, g'(]) = 2,则 g(l) 为 (/\)In 3- 1. CB) - ln 3 - J. (C) - ln 2 - 1. CD)ln 2 - 1. 答杲 C. 纤祈 等式 ：h(t) = e1”“ 两端求导得 Il,(i-) = el,k(r)g'釭） ． 105 •上式中令．,· =I 得 h'(l) = e1~d l) g'( I) 即 l = cF“11 1 · 2 由上式韶得 !{Cl) =- In 2 - I 【评注】 本题主要考查复合函数求导． ''(2006.5 超4 分）设函数 y = y(.1.-) 由方程 y= l －正确定，则虹 = d工 工。 答孚 － C. 斜析 有等式 y = I — 迁｀ 中令 X = 0．得 y = 1. 等式 y = I — xe' 两端对 几、 求导得 y'=- eY -xc'"y1 将 .1· = 0 ·Y = l 代入上式得 ＝心 l y'(0) =- e d工 J O 【评注】 本题是隐函数求导的基本题，但仍有部分考生未能给出正确答案， 主要是没 有将工＝ 0 代入方程求出 y = ]. 区日(2007,20 题， 11 分）巳知函数 J(u) 具有二阶导数且 f'(0) = 1 函数 Y = y(x) 由方 程y －迁｀一 I = I 所确定设之＝ sin .1.·) ，求生 1 迅三 I /(ln y - I, · ci.i· o • d工2.，一0 分析 甘I .::: = J(ln y- 、in .l) 知之是立，y 的函数又 y=y(工·)是巾方程 y-.1.c-'' 1 = I （曲定的函数，则 之是？ 的函数． 斜 打 y - ．1C` 1 =1 中 ．令 1· = 0 得 y = l. 方程 y - xe-'" 1 =］两端对 .1.. 求导得 y' - e}-l _ .1 e) l.}，＇＝ 0，即（2 - y)y' — e-1 = o 将,· = O.y = l 代入上式得 y'(O) = I. 等式(2 - y)y1 - c`-1 = 0 两端再对 X 求导得 － 沪＋ (2—y)y”- e' ly'= 0 将 T =0.y = l, \''(0) = 1 代入IK式得 y11(0) = 2. 又启＝ f(In y - sin.1) 行 － COS .l) 则 d之 =1 =0 d立 .,~O 2 尸＝ I”(ln y — sin.r) 匠 － COS.1.） + /'(ln y-sin .1.:)[f,-3/+sin.x] —d2;: :1: = /(0)(2 —1) = /(0)=1 d又｀｀ r l 【评注】 本题是复合函数与隐函数求导的综合题． 在隐函数求导中，为求 y"，可在等式 y'- e>-1 -xc'一Iy'= 0 两端再对．t 求导，但运算较繁 ，本题求解中将原方程 y-xe>一l = l 代 入上式，即将 RE'一l=y-1 代入得(2 -y)y' - e)一1=0，该式两端对工求导就简单多了 ． • 106 •] (2007 ,]3 题 ，4 分）设函数 y= —一一－，则 /"'(O)= ___ _ . 2x+ 3 (-])"2"11! 答哀 3". I . 斜析 先求一阶导数 yI ·二阶导数 y"．然后归纳 n 阶导数． l + y = ~+ = (2.1· 3)一l 2x 3 则 /=(- 1)(2.1·+3)2 • 2 y11=(]) , (-2)(2.r +3)3 • 22 巾此可归纳得 + y'"'= (- 1)"71 ! (2_r :3) <,n·l) • 2" (- ])"2"11 ! 则 y'") (0) = 3”. l =. 丿．r 1· (l) (2008. 16 题 ．10 分）设函数 y =.>心）山参数方程 [Y ,: 确定 ． 具中 = [ ln( l + u)du `)是初值问题｛鬟 － 0的佃． 求臼 2le'= .?` r = 0 =0 分析 求分离变扯初值问题的fir7(, .求由参数方程确定的函数的二阶导数 斜 由 —d、1 -2tc'= 0 得心h = 2tdt．积分升巾初始条件工 I,"= o. 得 e·' = 1 + t2 ， 即 dI J·= ln(1 ＋户）． 心 ＇ 方，、去— l 虹 ＝立＿ = ~ = (1 气）ln0 + 12) . d.'.l: d.r 2t dt l + t2 点(l + t勹In(l ＋广）］ cl2y - cl / cly \ - cit 2tln(l + 12) + Z1 一＝— (－） ＝ = d.l？ 釭 d.l．生 2t dl l + I: = (1 + 12) [In (l +广） + l] = <.r - l)e气 （万法二） 由参数方程求 y =y(？） 的二阶导数公式（下式中 ．右上＇表示对 t 的导数） ： d2y .'.l,y"- ./'y' = c1.,.~2 - (x'):' 2 1 . 2- 2 / 2 , 4 / 冉以 .J.'= r''= ~ .y'= 2tln(l + 12).y" = 21n(1 -L 广） 十 代入即得 l ＋广（l+ l2)2 l + l? 三、 导数的几何竞义及相关变化半 (1987. 一 （2) 题．3 分） 曲 线 y = arctan., 在横坐标为 1 的点处的 切线方程是 ；法线方程是 . 冗 l 答哀 y- 了＝了釭－ 1),y - 干＝－ 2(.T - l). • 107 ·＼斜，析 曲线 y = arctan .1 什· t. = 1 处切线斜率为 v' I,一l =~ l, 1= 卢 又 y(l) = arctan 1 =干 · 则所求切线方程为 y — 于＝长－ 1) 所求丛线方程为 y- 王 =－ 2(.r - 1) 4 l +—I 尽日(1988二（1) 题、4 分）/(.T) = —义1 x2 + 6x+ l 的图形在点(0,1) 处切线与立，轴 3 ? 交点坐标是 (A) (- 奇.o) (13)(- 1,0). (l) （主，0). (D)Cl,O). 烙｀哀 J\. 令千析 I'(0) = (.1.2 + .r + 6) j = 6. r - (l 则曲线 y=J釭）在点(0. l) 处的切线方秤为 y - l = 6.1 l l 令 y=O，得 J ＝— 飞．则所求点为(—了o) ，故应选(A) = .r cos3I . 困( 1990． 一（l）超3 分） 仙线 { 上对应丁/ = 王点处的法线方程为 . y = sm 冒，l 6 答泉 ＼，飞＝点(.1 亘）． 8 l. 趴厄 ] 斜析 / =—6 六 U ,'义· = -8— ,y= —8. ., d --;- y "- == y , I, = _ 3sir丫/COS I d生1.、 x'. 3cos2/(- sin t) 曰 ＝－ 上 d工 1 于瓦 则! = 工处法线方程为 6 ·i v 奇＝点(3, —`）或 y ＝平－ l 区卧1991 ．二（l) 超3 分）若曲线 y =.l'2 (Ll -r b 和 2y =- 1 +.L勹沪在，权(!. - ]) 处相 切，具中 u,b 是常数 ，则 - (A)a = O.h =- 2. (B) a = l . b = 3. (C)a =- 3.h = l. (l))u = - 1./J ~ I. D 答孚 斜析 山 于曲线 y = f +( 13 +b 过点(I . I) .则 - 1 = 1 I (1+ b 108 •又两仙线在点(I 、 一 1 ) 相切，则 y'I , I, = 2.r + a = 2 \- a 1 等式 2y =- l + .L-y" 两端对 ~1 求导得 2/ = y3 + 3.1)产 ． y/ 将 T = l.y =- I 代入上式得 / I = 1 则 2 + a = l ．从伯］ (/ =-1 ．再山 － l=l+a + h 知 I) = —1. (1995. 一（＄）题．3 分）曲线 ｛ }十 ！： ．存 ! =2 处的切线方程为 ! = l V = I 答泉 3.1. － y - 7 = 0 或 y - 8 = 3(.r-5). = 斜析所水曲线{I l 2 处切线纠率为 心 I = 过 |＝ 3 d.r I,, 2t I, : 且芍 1 = 2 时，1_" =;i .y = 8．则所求切线方程为 y - 8 = 3(.1 —5) 出(1999, 一（ ］）题 ，3 分）仙线 {r = e'、in 2!．在(0.l) 处的法线方和为 . y = e'cos I 答孚 y +2.1 —l = 0. 斜析点（o.]) 对丿血参数 t =O．则曲线在点(O.l) 处切线斜率为 | 少= e'cosf - cIsm l ＝上 d义 I-0 C1、in Zt + 2e'cos 21 I , 。 2 则该点处法线斜率为 － 2，法线方程为 — - y l= (- 2)(.1 0) 即 y+2x — 1 = 0. - i' (2001 , 一（2）题 ．3 分）设面数 y = f釭） 由方和 e凸' — co、(xy) = c - l 所础定 ，则仙 线 y = j Q）在点(0. 1) 处的法线方程为 . 答哀 ．1.·- 2y I 2 = o. 斜析方程 c''." - COS (..ry) = C 一 ］两端对 t 求导 ．得 e'_,--'"(2 + y') + sin{.1y)[y + .ry'] = 0 将 1.· = O.y = 1 代入 L式得 e(2+y'CO)) = O l 则 y'(O) =-2.则所求法线斜率为一 ·IK线方程为 2 1 y - l =—.l、 2 即 i- - 2y + 2 = 0. i.l.(2002， 三题 ，6 分）已知仙线的极坐标方程是 r = l - cos 0，求该曲线上对应于 0 = ;.. 6 处的切线与法线的订角坐标方程 斜 ,1,直角坐标和极坐标的关系 • 109 •{x = rcos O, y = rsin 0 得到该曲线的参数方程 ｛己[ = ( I - cos O) cos 0 = cos O - cos2O, y = (l - cos 0) sin O = sin 0 - sin 0cos 0 将 0 = i 代人上式得切点（马－ ¾·½ －勹） 由参数方程求导公式得切线斜率为 吾＿ 上 心 d1、 = _ c os si O n 0 - + c os 2 2 c 0 os + 0 、 si 矿 n 0 o 1 _ = ~ 2 2 = 1 ＿上十吾 沪f O-了 2. 2 所以，切线的直角坐标方程为 y- (宁 -[J) = .r - （享-¾) 即 I — y＋上＿坠召 ＝ 0. 4 4 法线的直角坐标方程为 [x- (11-¾)] y- （宁－亨） = - 即 x+ y + 』 － 亨 ＝ 0. 因Jc2003， 一（2) 题，4 分） 设函数 y = J釭）巾方程几y +2ln 工＝ y1 所确定 ．则曲线 y= 「Q) 在点(1.l) 处的切线方程是 答导 x-y = 0. 斜析 方程父y + 21n X = y.＇ 两端对 "t 求导得 y+iy' + : = 4y3)II 将 X = l ,y = l 代入上式得 y'(l) = 1 ，则所求切线方程为 y —l =l • C.T- 1) 即 x- y = 0. 立: = cos I+ cos2 / 四(2007.12 题， 八）曲线 { 4 刀 y = l + ssii n / 上 ~ 对 · · 应 ·- 于 '· t = 王 4 的点处的法线斜率为 答孚 l ＋迈． 斜祈 先求切线的斜率 也由于 d " y - - = y'(I) - cos l d1 、` ＝ _ sm /— ~n /COS I ~dy I I _ 1 则 k = =- d工／三 l ＋迈 故曲线上对应 l = 王 处的法线斜率为 1 ＋疫·. 4 • 110 •四(2008,ll 题 ．4 分） 曲 线 sin（工y) 十 ln(y - .r) ＝ 立． 在点 (0. L) 处的切线方程是 笭泉 y = .T 十 1. 斜祈 先求曲线 sin(.1.y) + ln(y -.r) =.r 在点(0. l) 处切线斜华 y'(0). 等式 sin(几y) + ln(y － 贮r) =义两端X扣求导得 cos(:ry) • (y + .ry I) + 义— = l y - 1. 在上式中令 ．1· = O,y = L 街 y'(O) = 1，千是该仙线右点(0,1) 处的切线方程为 _v- 1 = 立， 即 y = 工 + l. 四、函数的单调性、极值与最值 心(1987， 六题， 10 分）（ 1)(5 分）证明若 j．位）在(u .b) 内可导 ．且导数（＇(x) 和大 千零 ． 则 J(.1.）在(a .b) 内单调增加 (2)(5 分）若 g(.1.) 在 ．1.· = C 处二阶导数存在，且 g'(c) = O,g"(c) < 0．则 g(c) 为 g(.J) 的 个极大值 证~ (1) 行（a,b) 内任取两点 凸 心 ， 且m <｀戏 ．由拉格朗日定理知存在: E (t!. l: ） ．使 .r(`T?) - j (`l l ) = j、I(;) (1 2 - l l) 由于 f'(.1.) > 0，则 > 八．i-1 ) f(x,) 即 J釭）在(a .h) 内单涸增加． g'(.r) - g'(c) (2) 由于 g"(c) = lim ． 义 g"(c) 0,g(.,一），y1_jJ;'，l增，g(.1） < g(c). x - c > 当 c o.．「（.1.，)＝ o. 则函数 f(x) ｛心，I了、？， 处 （A) 取得极大伯 (B） 取得极小值． （C) 某邻域内单调增加． (D) 某邻域内单调减少． 答泉 J\. 斜析 由于 y = j、(.,-)丛方程 y" - 2y' + 4y = 0 的f1'1平 ，则 + j飞） － 2/'釭） 4 / (t) = 0 上式中令．1 = ｀1,， ．则 j飞，，）— 2f＇亿） + 4.f (1,,) = 0 /'(.r,.,) =— ,lj`(r o) < 0 故函数 f釭） fl 飞，） ，点取极大伯． m( l988．五恙8 分）将长为 (I 的铁丝切成两段， 一段阶成正方形 ． 另一段厮成圆形 ． 问 这两段铁丝各长为多少时 ．正方形与圆形的面积之和为最小， 斜 设圆形的周长为义·则让力形的周长为 a -.1． 圆形与正方形而积之和为 y．则 ` y= 长） 十 (~勹＝卢＋五 － 千 ＋ 飞 y'= 土 土 上 ＿ 竺 2六 8 8 今 y' = 0翡 T = 六U 4 + 六． 1 . l y" =— +-> 0 2兀 8 则 y 祚 x = ~+ 处取极小值， 「h 于极伯点唯一，则此极小俏为 y 的最小佪 11 T[ 团沮(1989．三（4) 题3 分）设曲 函数 j.（工）和 ．gQ）都在 T = a 处取得极大值，则函数 F(.1') = f、Q)g(r) 在 r=a 处 (A) 必取极大值 (B) 必取极小值 (C) 不可能取极俏． (D) 是否取极值不能确定 答孚 D. 斜析 令 f(.1·) = 1 - x' ，片C.r) = 1 -艾2 . 屈然 j(t) 和 g(3) 在 r = O 都取得极大伯． J( .1)g (已t·)= (l - ～产）2 也祚 r=O 处取极大（且． 今 J(.1） = - r' . g(.J.) = - .l'2 (11\{I: X = 0 处取1及大们，但 / （已r)g(.1.－） ＝．1' = 在 r 0 处取极小值综上所述 ．选项(/\.)(B)(C) 都不止础，故应选(D)． m(]99] ．二（3）题3 分）设函数 J(.1.）在（一～｀ ． 十～）内有定义．X11 -c/=O 是函数［（l) 的 极大值点 ．则 (/\).z.。 必是 I釭）的驻点． (B） 一 1, 必是 — f(— 、T) 的极小值点． (C) — .?。 必足 － fG) 的极小伯点． (D) 对一切？都有 J(l) < ．f.（义。 ）． 答孚 B. • 112 •y 纤析 方． ) 令 g釭） ＝－ /(-.1) ． 由于？（， 为 f(.1) 的极 八 ．I) .f(x) 人值点 ·则在 l,I 某邻域内有 < jh) I (t, ) .\。 。 r。 x \/ I 从血有 — f(_1) 娑－ .(t,) 即 g(-.1） ~ .~(- .r,, ) 寸（一x) 则 一 n 为— I（一 l) 的极小值 图 l = J( = ；云—｝ 让，心 y (）和 v J(～r) 的图形义丁 y 轴对 称，v = — J(．t) lj y = I （七r) 的图形义丁．｛ 轴对称 如图 1 ．可知 /( .(） 在 一 r, 取极小值． (1991 .七题，9 分）如图 2.,,\,I) 分别是仙线_\' = C' 个II I' y = C 2., 上的点，AB 和以均亚打 l4血」-I I AIJ I : | IX ` I = 2 : l, y=c一心 v=c·' IJ\B l< l．求点 I3 和 （｀的横坐桏 ．仗梯形心JCD 的血积最大． 斜设 H.(｀点的横半标分别为？1 ·J • 则 e, = 2c -' ．得 1·1 = ln 2 - 2.1. - > BC = .r - .r1 = 3.1 In 2 (.1 0) r` 梯形 ABCV 的 血积 S = —3 (3x - ln 2)c 心 C.r > 0) 图 2 2 —3 s' = (3 - 6.1·+2ln 2)c ~, 2 I I 令 s'= o,得 r = — 一 -;';-In 2. 2 3 <—l +—l 1 +—l l l 、11 .r In 2 时 ．S' >O, 、11 `r > - In 2 时，S' < O，所以 ．l'= — 十~In 2 为极 2 3 2 3 2 3 I l ] ] 1 大伯点 ． 又极值点咐一 ．故 r= —- - In 2 为最大值歧 ．立＝一, ~ In 2..1 -1 = ~In 2 - l 时 、 2 3 2 3 3 梯形 1\BCD 面积最大 (1992、一(2) 题．3 分）函数 y =.r + 2cos.r ti区间 [o,：]上的蚁大仇为 . 答孚 点－互 6 ' , 斜析 y· = I 2sin .1．令 y'= 0 得 x= —6 六 . § 义 y(O) = 2._v行）＝奇 ＋石，Y行） ＝ 比较以上三贞函数仙 ．可见品大仇为 y（飞） ＝打 六 6－ (1993 . 一（3）题 ．3 分）设［嘈(,) ＝『 P － J)c11(x > 0) ．则函数 F(J) 的单涸减少区 .1 I 间是 . l 笭孚 (o.一』~). i) 斜祈 F'(,r) = (2 - 1 (x > 0) ．令 2 l 0 则 f(x) 在 _1 ＝ 工。 处取极小仇 ．故应选(C). m(l995 ．二（3）题 ．3分）设f(.T）在（一～， 十=)内可导 ．月对任烹.:i:·1 ,心 ． 当工1 >买时 ． 都有 f仇） ＞ JC1·2) ，则 (A) 对任意 t,I'（立） > 0. (B) 对任迕 r· I'（一心冬 0. (C) 函数 j飞－ ．2）单调增加． (I)) 函数 － j`（—?.)单调增加 答孚 D. 斜析 （万法一 ） 直接法对任意的 r1 ..r~ ， 当 .1_·1 >.r2 时． 一．2、I <-..I.2 ．从而有 J（一．ll ) < /(- .1_-2) >- J(— 则 － J、(一 1·, ) m) 即 － f（一 1）单悯增加 ，故应选(D) · 」 14 •= （方法二） 排除法 ：令 f(i·) x" ， 显然满足题设条件，但 j.,(x) = 3x2 ~ o.J'（一 _,·) = 3（一立）2 = 矿 ~ o J（一 工） ＝－ J":i 单洞减少 ．则选项(A)(l3)(C) 都不正确 ．故应选(D) (1995.二（4) 题，3 分）设在[0,1] 上 j"伈） > 0,则 J'（0) ．I'(l) ．J(] ） —.I.(0) 或 f(O) - J(]) 的大小顺序是 - (A汀Cl) > /(0) > J O ) - J(O). (B)f'(l) > j(1) j.(0) > j.I(0). > > > - > CC)JO ) - f(O) j'(l) /(0). (D)J气1) j.(0) j (1) f'(0). 答孚 B. 斜析由于广位） > 0．则 J'(.1) 单凋增，又 /(1) - f(0) =./.，炵） O< E < l > > 则 ['(l) j'm j'(0) > - > 即 j'(1) f(]) J(0) f'(O) 故应选(B). (1995. 四题 ，8 分）求函数丿位） J 1)e一心的最大伯和最小值 = ._,, (2 - () 斜 由千 J釭）是偶函数，所以 ．只需求 j豆）在［0, 十 ＝）上的最大值与屈小们． 令 J'（.1.:) = 2.1.:(2 - .1..2) e x' = 0.得 x, =及,..l' = 0. 『 ·2 I`（迈）＝ :(2 - t)e-'dL =- (2 - 1)e-, I。 -J:e'dt = 1 + e丑 f(0) = 0 I,: · c'I f(+ = ) = 『. (2 - 1)e一'cit =- (2 —t) e- , + ~= = 1 。 + 比较以上三点俏可知，f釭）最大值为 1 e气 ，垃小值为 0. (1996， 六题 可8 分）设函数 J(.1.）由方程 2y" - 2y1 + 2xy - x2 = 1 所确定 ，试求 y= y(.1.）的驻点 、并判别它是否为极伯点． 斜 方程 2y3 - 2y2 + Zxy -.l.' = 1 两端对．2、 求导得 6y" y' - 4yy' + Zy -1-2.ry'- 2x = 0 (¥.·) 令 y'= 0，得 y = :,呻将此代人原方程有 2工3_ .1.2 - 1 =0，从而韶得唯一的驻点 .1. = 1. (-l(-) 式两端讨对 立求导得 (3.),2 - 2y 士 r)y'勹－ 2(3y - 」 ）y'2 + 2y' - I = 0 I 因此，．y＇, = — I > 0. 2 (1. 1) 故驻点 x = l 是 Y = y(x) 的极小值点． 习(1997,二（3）题 ，3 分）已知函数 y = f(.1..）对一切 工满足 1.j"(.1.:) + 3迁f(.1.）千＝ 1 - e ' ，若卢工。） = 0(m # 0) ·则 (A)f(.1..o) 是｝（心的极大值． (B)f口）是 J(.I·) 的极小们 (C) (.10,j (.l o)) 是川］线 y = J(1) 的拐点． (D)J位。）不是 f(.1.）的极们 ，（．l."o .J红，））） 也不是曲线 y = J"Ci.) 的拐点． 答孚 1:1. • 115 •奸析 有可“(1一） ＋ 沁[f1(.1)千＝ I - e-' 中令？ ＝ ．t0 ，则 .r, 广(.1。) = 1 - c'" j ', (.1. o>=I~ - c>1 O (x" # 0) f'（工。） = 0，则 J(1) 在 ｀1'=.r, 处取极小值．故应选(B). ＿汀(1998，二（4) 超3 分）设函数j釭）在又 ＝ u 的某个邻域内连纺5且f.（u) 为其极大伯 ． > 则存在() 0, 当 ．1.· E (a -t,a 十8) 时｀必有 - (A) (工 - u)[j釭） － f(u)] 娑 0. (B) (.1 - a) ［J釭） /(u)] ::=;;; 0. > (A)f (x)g(h) J(b)g(.1.-). Cl:3)J(x)~(a) f(u)g(x). > I > (C)／（心g(x) (b)g(b). (I))「(1次(x) f (a)g(a). 答泉 A. f(x) < 斜析 令 F釭）＝ ． • ((1 一~?冬` b) ． 巾题设知 g(文.) J'釭）g(x) - g'(.1.）.「(.1·) F'釭）＝ < 0. (a < i· < h) g2 G) 则 F位）在[{i,b] 上单训减，从而 ． 当 u < .r< b 时 F(b) < F（父） ，即 I. (b) .f·`( .r) < g(h) ~ g(.r) > 故 f(,i_·_)_g( b) f(b)g(x). = (2001 ，二（5) 题．3 分）设函数 J(-t) 在定义域内可导．y J(x) 的图形如图 4 所不 · v x 图 4 则导函数 y = ．I'(3) 的图形为 • 116 •勹 (A) Y, ／ x x x X 。 答哀 D. < 斜祈由 .)' = f(.1) 的图形可知． 当 X 0 时 ．j口）单调增 ，因此，/(x)> O，即曲线 y= j.，G) 应在 .1 4由上方 ，所以(A)（C）都不吓确 ；又当．r > O 时，f(心先增．然后减，最后增，因此， j'(3) 先正，然后负，最后为正，显然(13) 不正确，故应选(D)． 回(2003 ，二（4）题 ．4 分）设函数［釭）在（一～． 十～） 内连续 ．其导函 I' 数的图形如图 5 所示 肌l f釭）有 (A）一个极小（自点和两个极大值点． x (B) 两个极小值点和一个极大俏点 (C) 两个极小值点和两个极大伯点． (D) 三个极小值点和一个极大伯点． 图 5 答孚 C. 斜祈如图 6 在 A 点左侧 j·I(r·) > 0，在 A 点右侧 f'(x) < 0，所以 V 点 A 为f(x）的极大仇点；同理可知点 B,C都是I.（？)的极小值点；在点 O 左侧 j飞） > 0.右侧 r'釭） ＜0． 1(ii.f(．1）在点 0连续 ．所以点 O也是／ (?)> A 的极大值点． 故应选(C)． 田(2004 , 10 题 ，4 分） 设函数］G）连续 ，且／．，（0) > 0，则存仵 B> 。，使得 图 6 (A) J(立今）右(O,o) 内单调增加 (B)J口）布（一 o,O) 内单调减少． > (C) 对任意的 t E (0,a) ．有八x) f(O). (D) 对任常的．TE (- 8,0) ，有 ］丘） > f CO). 答孚 C. > 斜析由 j.I(0) 0 知 / (.1·) —f(O) lim , > O ,. •II .] 巾极限保号H知．在 x = O 梨邻域内 - j (.t) f(0) ~ > O > 囚此，在(O,J) 内，J（1) J(O) ，故应选(C) · 117 •【评注】 本题不能选(A) ，也就是说由 /'CO)> O 得不到 f(x) 在(O,o) 内 单调增加． -=1 -, f位） ｛又 ＋ 2x2sin 工 x # 0, 例如 = Q, X = 0. 1 x + 2.:l.立sin — .:l.. + 1 L .f'CO)= lim = 1 > 0, 当 X-=/=- 0 时，f'位） = 1 4xsin __:1__ — 2cos 一． 工一．o X X X 因此，JJ （式）＝ 1 - 2=- l < O，由于上~ 0(11 于 00) ，说明在 x=O 的任何邻域内 2 mr 都有使 J'(x) < 0 的点 ， 则 f(x) 在该邻域不单调增． 五、曲线的凹向 、拐点及渐近线 6 出(1988. 四超12 分） 作函数 y = 的图形，并填写下表 几· . " ! - 2.l:+ 4 单调增加区间 单调减少区间 极值点 极值 凹(u) 区间 凸 (n ) 区间 拐点 渐近线 斜 y = 12(1 - + X ) 2'y II = 36.J.-(.J.`—2) (x2 - 2x 4)2'-" (x2 - 2.:r· 十 4)3 6 limy = Jim 2 + = O .T ，一．， ．，仁1- — 2.J.- 4 则原曲线有水平渐近线 y = 0. 函数图像为 y OI I 2 x • 118 •单涸增加区间 (-=,1) 单调减少区间 （l , 十 =) 极值点 1 极伯 2 凹(u) 区间 (-=,0),(2， 十=) 凸（门）区间 (0,2) (o,f )·(z,½) 拐点 渐近线 y =O 因(1989．三（I ) 题，3 分）当:;_· > 0 时，曲线 y = xsin 上 .t· (A) 有且仅有水平渐近线． （B) 有且仅有铅直渐近线． （C) 既有水平渐近线，也有铅直渐近线 (D) 既无水平渐近线 ，又无铅直渐近线． 答孚 A. +. (+) 斜析 由千占尸xsin =上m 1 . = ] . l 则曲线 y=.T邓in — 有水平渐近线 y = l. J.' 显然该曲线无铅自渐近线敖应选(A). m(1989．七题 ． ］1 分） 对函数 y = 土上」坟写下表 .1. ~ 归咑l减少区间 单调培jl|l区间 极侦点 极值 凹( u) 区间 凸（门）区间 拐点 渐近线 + + 1, J, 1 2 x 2 " 2 , 6 2(.1· 3) 斜 y= — 艾 + ． - 1 : － ; - - ·y' =— 一 立- 2 — . — ?· 3 =－ . _ T _ 3 .y" =勹 A-· 十勹 义一 ＝ 文＿1 令 y' = 0 得 J" = - 2;令 y" = 0 得 I =- 3. 则该函数在(- 2,0) 上单调增，在（一=, - 2) 和(0, 十=)上单凋减 ，在 .1 = - 2 取极小伯 (9)2 ——：其图形在(- 3,0) 和(0. 十～） L是巴l的 4「(- =. — 3) 上是凸的，拐点为 － 3' 一一 ． 又limf(工) = O. limf<.1·) = = . , .•,c.r 俨0 则该曲线有水平渐近线 y = O 和铅直渐近线 X = 0. · 119 •单悯减少区间 (- = , -2) , (0, 十 C心） 单词增加区间 (- 2,0) 极值点 - 2 1 极值 4 凹(u) 区间 (- 3心） ， （o, 十 =) 凸 (n) 区间 (- oo, -3) 3, －享） 拐点 (- 渐近线 .1. = 0 和 y= O 1 > 田(1990 勹）题，5 分）求曲线 y= , Q 0) 的拐点． ，二｀ l+.z-' 斜 y 1 =— 2.? (l ＋产）2 y II =- 2(l+_r: )' -2 + _r (l + 产） • 4.r = 2(3. + 产 — 1) ( l －产) 4 ( 1 己产) 1 令 y" = 0 得立—-—灯 l ·y = - 43 · , y I - {| - · t =—灯 ] 两侧变｝J＇ 凰则，'七2、(— l 万 ·一4 3 )－为曲线 v =IT 1 T 的 拐点． 曰(1991 ，一（2）超3 分）曲线 .)' = -产 的上凸区间是 C （－ 上上 答哀 迈匠） 斜 析 y'=— 2.1C ' y" =- 2c ,'-\-,lJ.·2e-,'= c ..' (1J.r' - 2) 1 1 令 y" = 0 得 t ＝士言，当 1· E (-7z'五）时．y" < 0． 曲线 y=e一，， 是上凸的． 区】(]993，二（5) 题 ，3 分）若 ．I．(?） ＝－j（一立） ．在（o. 十O3) 内 f/（心 ＞ O.j'飞） ＞队则 f(．t) 在(— =.O) 内 (A)f'丘） ＜ 0.广(x) < 0. (B)J'(J) < o,J”位） > 0. (C)/ (.1.) > 0，广位） < 0. (D) / C.r) > O,广釭） > 0. c 答哀 J 矫析 -) 直接法等式 j．釭） = - J．(— .I) 曲边对义－求导得 jJ (t) = f'（一 3) ，J'飞） = － j"(一 贮r) )I 当立 E (— =,O) 时，—．rE (O,, c心） ． 则 y=J(x) > f'(义-） ＝．f'（一 r) 0 x f"（又） ＝—．广（一 ．飞） < 0 故应选CC). （方法 ) 直接法（几何法） 由 题设可知 J、(.1) 为句函数，在(0. +o:o) 上函数单曲增加，曲线 y = 「U) 是1围的如图 1 所小 ．山此可知在 团 l 120 •区间（－ oo,O) 上，函数 f位）单调增加，曲线 y=f（工）是凸的，则在（－ oo,O) 上 > < /(x) o,/'(x) 0 故应选(C). （方法三） 排除法：令 f(x) ＝丘，显然满足题设条件，而在（一～心）上 > < /(x) = 3x2 0,/'(x) = 6x 0 则选项(A)(B) (D) 均不正确，故应选(C). 四(1994，二（4) 题，3 分）曲线 y=e古arctan 丘十工＋ 1 的渐近线有 (x- l)(x+2) “B. (A)l 条 (B)2 条 (C)3 条 (D)4 条． ”由于 lime古arctan ~ =王 -OO (x- 1)(x+2) 4 limeI勹2 I arctan x2 +x+ 1 = ex:, 工一o (x- 1)(x+ 2) 则该曲线有水平渐近线y ＝王和铅直渐近线x=O，虽然原题中当 x= l,x=-2 时分母为零， 4 但limy 与 limy 都不是无穷，原曲线的渐近线有两条．故应选(B). X一I z--2 应仇994，五题，9 分）设 y ＝兰土--1, 2 X (1) 求函数的增减区间及极值； (2) 求函数图像的凹凸区间及拐点； (3) 求渐近线； (4) 作出函数图形． 岱 (1) 定义域（－ oo,0) LJ (0, +=) =x = y' 1 - ：,y" ＝弓 x 令 y'= 0 得 X = 2. 由千limy= oo，则 x=O 为铅直渐近线，又 x一0 y lim-- = l X-.0,X lim(y-x) = lim -A= 0 图 2 工= r一o: X 则 y=x 为其斜渐近线，草图如图 2. (- oo,O) 。 (0,2) 2 (2，十 oo) , y + 不存在 。 + y " + 不存在 + + / \ / y 无定义 极小 • 121 •应褂1995，一（5）题，3 分）曲线 y= 工2e-x2 的渐近线方程为—一~． " y = 0. " 由于lim:rz亡 2 = lim 斗 2 ＝ 0，则该曲线有水平渐近线 y = o. 工-~尸…3 ex y 应卧1995，六题，8 分）如图3，设曲线L的方程y=f(x)，且y'＇＞ P(;, n) 0，又 MT,MP 分别为该曲线在点 M(工o •Yo) 处的切线和法线，已知 (1 ＋欢）＋ 线段 MP 的长度为 JJ （其中 y~ =y （工。），y~ = y'，也）），试 Yo 推导出点 P(e可）的坐标表达式． 税由题设知 。 X e (1 + y'02)·l 图 3 伍－守＋ （y。-矿＝厄 Y。 又 PM..lMT，所以 E @ ，工。－ Yo=- Yo - 7 由＠式和＠式解得 + (l y'。守 (y。—矿＝ ,12 Yo 由千 y">0，则曲线 L 是凹的，故 y。— 11<0，从而 l+y;2 Yo - T/ =- ----::rt-· Yo 沁(1 +y'~2) 又 x。 -E=－ y'0(y。 -11)=~ ，于是 『= x。-~· Yo (1+ 灼） 11= y。十 II. Yo 1 应队1998，一（5）题，3 分）曲线 y = xln(e+ 习(x>O) 的渐近线方程为 " " 1 y=x+....!.... e （方法一） 由千 1 1 ln{e+± 言(-~) - 1 ) \ = , . ± lim 工 limxln(e+ lim x) = =O 工一~+ ----\ - . X J ;一0十 ;一0+ (－卢） 所以无铅直渐近线． 1 又 压 f= 皿叶＋了）＝ In e = 1 = a 1 .rJ一i十m!, ( ( y- ax) ＝，丘[ xln(e +了)－ x]＝压卡(e分）－ In e] • 122 •t ) (tI )\ 1 11尸 Tin =了＝ h = (l + =,l(m0.1· • l 则该118线有斜渐近线 y =.T+ —. C (e +.) ] （方法二） y = xln + = .1 [In c+ In (I + 卢） ＝ r + :i-ln(l ＋卢） = .I 十.:i· . 卢 ＋ （忖） = ？十 ++.r • ()门）丘－► = ) 1 • I 故该曲线有斜渐近线 y=x + —. C 【评注】 方法二中用到求斜渐近线的一个结论：若f釭） ＝＠·十b+a(x)，其中 lima(x) = e 0，则曲线 Y = f(x) 有斜渐近线 y= 釭 +b. .i 因(1999，七题．8 分）1已知函数 y = • .' ，求 (:i· - 1)' (1) 函数的增减区间及极仙， (2) 函数图形的凹凸区间及拐点 ． (3) 函数1图形的渐近线． 奸） 函数定义域为(— ~· D U (1 ． 十=). — y ， = 立 z(.1 3) ， 令 y 1 ' = 0 得牡点 x=O 及 r = 3 (.1· 一 ］ ）·1 6.r y I/ = — 冷 y" = o.得 r = 0，列表如下， (_1· I) I 3` (— = ,O) 。 (0'1) (] '3) 3 (3，十 =) , + + + y 。 。 + + + y “ 。 十 y / - 拐点 // \ 极小值 / 由此可知 27 (1) 函数的单调增加区间为(-=,l) 和(3，十 ） ．单凅减少区间为(l .3)．极小悄为yl =—. r=3,l (2) 函数图形在区间(—o:: .o) 内是凸的，在区间(0,1) . (1, 十=) 内是凹的 ．拐点为(0,0). (3) 由J::.i·im" ＝十 这〉，则 .1'= 1 是函数图形的铅直渐近线． (．飞·— l)? y .1.2 又 lim —= lim = 1 ; ·:·· .r ．，一贮．． （今飞蠡 — 1) 2 3 lim[y —.r] = 义l一i严m [ (3 - 艾 1) 2 —r ]= 2 = 故 y x+2 是函数图形的斜渐近线 匹'(2000． 一（ti) 题 ．3 分）曲线 y = (2_r - I)e十 的斜渐近线方程为 . + 凳丞 y = 2、,· 1. 123 •;- 1 .!. 虹（方法—l 皿~ = !i_m(z 一 了）e-;- = 2 = a I liimm(( y —ax) = lim [ (2.1. —l)e了 —2.l. J . ，一一～仁 ，一 I I = lim2.1.:(e了· -1)-了1 1me '.. '.. ＝ 忡这卫）－ ] = 2- l=l=b 则该曲线的斜渐近线方程为 y = 2.r+]. 1 （方法二） 由于当艾 一► ＝ 时 ．c了－ 1 ~ —又． ．则 I e了 － l ¾ +o臼），即 / = = 1+ ±+0(±) 从而有 .l.. y = （妇 － ])c.'= （釭 — ]） （:1 + ~ + 0尺）） =2义 ＋ l + 2上． ． 。（+.) 其中当 1.- ～ 时，红 ． 。亡 1 ） -- 0，则所求斜渐近线为 y = Zx + 1 四(2000，二（2）题，3 分）设函数 J．C.x) 满足关系式 /"(x)+[J'釭）］2 = 工，且 .r'(0) = 0，则 (A)f(O) 是 f釭） 的极大值． CB) J(O) 是 J(x) 的极小值． (C) 点(0, f(O)) 是曲线 y = J(.1) 的拐点． CD)f(O) 不是 j釭）的极值，点(O,J(O)) 也不是曲线 y= ．「釭） 的拐点． c 句 扫卜k f釭）满足关系式广(_r) + [f'釭）千 ＝ x，又 f'（0) ＝ 0，则 广(0) + [/(0)]2 = 0 从而有 j"(O) = 0. 等式广（心＋ ［J.，口）］2 = .1 两端对．1. 求导得 厂C.r) + 2/（心I”(.1.） = l 上式中令 :t· = 0，得 广(0) = l -:/= O，则（O,.f(O)）是曲线 y=.f位）的拐点 ，故应选CC). 【评注】 为什么等式广（工）＋［/(x)]2=x 两端可以再对工求导呢？这是由于广位） = — x [J'(x) ]2 由题设知这个等式右端可导，从而左端也可导． 应习(2001 ，二（3) 超3 分）曲线 y = (x-1)飞 － 3)2 的拐点个数为 (A)O. (B) 1. ) 2. (D)3. c 豆 扫 Il1 y = (~T - 1)2 (.1. - 3)' 知 y' = 2(.r- 1)(.r·—3)2 + 2(.1·- ])2(.1-3) = 4釭 － l)(匕1· - 2)釭－ 3) y" = 4［釭 － 2)(.T-3)+ （、r- l)Cr-3) ＋釭－ 1)釭— 2)] • 124 ·+ = 4[3x2 - 12x 11] y所＝ 24(x- 2) + 令 y" = 0，得 3x2 - l 2x 11 = 0，其中 l::;. = b2 - 4ac = 122 一 4 • 3 • 11 = 12 > 0. 所以 y" = 0 有两个不等实根，设其分别为 Xi 和立，又 y"(2) =- 4 ;z!: 0，则工I ;;p 2，立＃ 2，则 y/11伈） # O,y111(xz) # 0 故原曲线有两个拐点． + + 工＝ t3 3t 1 GJ(2004,2题，4 分）设函数y(工）由参数方程{ + 确定，则曲线y=y位）向 y = t3 '-3t 1 上凸的 x 取值范围为 M} 配套课程请关注 (-oo,1) 或（－ oo,1]. " 虹 3t2-3 t2-l = + = + 公众号：考研拼课 d工 3t2 3 t2 1 凸＝判二 + 平＝ 4+t 丘 dt\t2 ll dx 3(t2 1)3 屯 <0 知，t 0，则式）为定义上的单调增加函数，t=O 时，工＝ 1. + + lim工Ct) = lim (t3 3t 1) =-oo t-O-O I一－0 故 x 的取值范围为（－ oo,1) 或（－ oo,1]. 田(2004,8 题，4 分）设 JCx) = I 工（1-x) I ，则 (A)x = 0 是 f(x) 的极值点，但(0,0) 不是曲线 y = f(x) 的拐点． (B)工＝ 0 不是 J(x) 的极值点，但(O,O) 是曲线 y = f(x) 的拐点． (C)x = O 是 J(x) 的极值点，且(O,O) 是曲线 y = f(x) 的拐点． (D)工＝ 0 不是 f釭）的极值点，（o,o) 也不是曲线 y=f位）的拐点． - C. y y=x(x-1) 归（方法一） 令 1，则 图 4 x-x2, o:;:;;; 工:;:;;; 1 y f'(x) =｛釭－ 1 ， x < 0,x > 1, 1-2x, 0 < x < l f' (x) ={ 2，工＜ o，x> l, -2, O o,/1C.1) > 0，幻为自 变扯 ．r 在点 m， 处的增扯 心y 与 dy 分别为 f位）在点 “1,， 处对应的增址与微分偌i 凶 ＞ 0．则 < < (/\)0 dy t::.y. CB)O < 幻 ＜ dy. < < < < CC)6.y dy 0. (D)dy 6.y 0 A. ”、 .v （句贷 （方法一） 由题设条件知．y=f（立）单说］增加一目是 凹的 ．再由幻·心的儿何意义，如图所示 ．有 0 < cly Liy. ！ -· 小 匈 ol' 故应选(./\). , ·- -- - - - - -- （方法二） 排除法 ．取 J.（t.) ＝尸t3 ,1 E (0． 十 ） ，显然满足 上 。 x,- c\x x 题设条件，取 ．t, = l ，则 ly = /位。）cb· = 2d.{- = 2江· - Ay= f位。 十 A?） J(lo) = (J 6..r)2 - 12 126 •＝ 凶(2 ＋ 凶） ＝ 26、r -1 (6..r)1 > 巾于 m 0厕 U < 归 ＜ !::.y. 排除(lj)(C) （D) ．故应选(J\). > > （方法三） I 11 ./'(.r) 0. 0 知 ~ .1_ dy = .I'（忙7, ）凶 ＞ 0 - + 义 6.y =.f.（心r,, 十 凶） /(x, ) = （飞）6..r• 凡，＜ L < J ll m) . > 山于 J''(x) 0，则 j'（l) 单调增加 ，j．IU〉 > j'(义(J ) ，从而介 f1 (.1,,) A 1 < / 1 (c)幻 < < 故 0 cly ~y. 旺(2007 .5 趣1 分） 仙线 y= 上 _J_ InCl CI) 渐近线的条数为 已i、 (A )O. (13)1 (C) 2. (D) 3. 答．孚、 D. — 奸析由 ：：：j－hmy = hm[ .. f L - lnCl + e')] = o.:: ，则 x =O 为曲线的铅直渐近线 ； rl I 丁'l'.m y =，压 [+ + In( l + e')] = OC,l(m y =...!.. 。今） 则)' = 0 为仙线的水平渐迈线 ； 山 于 一立 一侧巳介水 平渐近线 ．则斜渐近线只可能出现在 一｀一侧 ．又 v ,. i 1 In(l /- e') 7 ,. l , ,. c' a=]严了 ＝ ［了 — ？~]=,I沪 了 4- hm hm 1 + er = 1 I) = hm (y - m) = 1I!TI [了 -1-lnCl +c') 一 」］ - 1 = lim....'..... + lnCl re' ) - lne' =,l(m 「~...!.. ln(l +』e'|) = 0 则曲线有斜渐近线 _)' = .1｀，收该曲线有 气条渐迈线 ．应选(I)). 【评注】 本题是一追基本题，但得分率很低，难度系数为 0. 220. 主要是很多考生选择 了 (C) ，少了 一条斩近线原因 可能是考生认为 1 匝y= ｝咒厂＋ ln(l - e_,.) I= oo 则该曲线没有水平渐近线，又 l , lnCl + e') .hr-`m、 立.l ＝ rl·i·m夕，[ -几-｀,匕- + 立． ］ = 1, !i~ (y-a工） ＝ ;i:1;[了 + ln(l + e勹－ In er]= 0. 该曲线有针渐近线 y =.1，这样就少了一条水平斩近线，选择了 (C)． 其问题的关徒是考生 错误地认为 lime= =，这是一种“经典＂的铅误．正确的是 lime'=100，但 lim e工＝ 0. r-•>'r-．十“＇工•-OC > 匹(2007.6 题 ，4 分）设函数 j丘） ，（1（0， 十=) 内具有二阶导数，且／＇（x) 0．令 ll,, = J(n)(11 = l..2. ..,) ．则下列纪论正确的足 > /[~ (!\)若 111 • 则 {u,＇｝ 必收敛． (B) 若 l/l ＞ 也 ，则切，丿 必发散， < (l'} 若 l/1 ＜ 从 ． 则仇， ｝ 必收敛 (D) 若 111 /I~ ． 则切，，｝ 必发散． 127 ·秃急 D. （方法一） 图示法 ： 由 j"釭） > 0，知 ．曲线 y = f(x) 是凹的 " y y y y＝八x) y＝八x) 111 112 111 l I , __ 2 x 2 。 。 。 X 图 1 图 2 图 3 -o; 屈然 ，图 1 排除选项(A) ，其中 u,,=f(n)-－～； 图 2 排除选项(B) ，其中 u,， = j@) 图 3 排除选项(C) ，其中 u,, = f(11) 一十=. 故应选(D). （方法二） 排除法，取J釭） = （义－2）气显然在（O． 十=) ./'位） = 2>0,JO) = l > f(2) = 0，但 II,, = J(n) = (n - 2)2 -＋文．排除(A) 1 1 取 j．位） ＝ —，在（0, 十～）上，/'(x) > 0，且 J(l) = 1 > f(2) = —，但 u，，= f(II) ＝—-► 立· 2 n 0，排除(B)． 取 f(x) = e"，在（0，十oo) 上，j＇1位） = e工 ＞0，且JO)= e 0, (1 < c < 2) 当 II > 2 时， /(11) = f(11) - f(2) + f(2) =f'伶）（汇－ 2) + f (2) (2 召 < n) m 巾千／五） ＞ 0，且 t > c，则 j'炵） > f ' > 0，从而有 /(11) > J'(c) (n —2) + /(2) -十～ - + 则有 u,, = f(n) 00. 【评注】 本题显然是图示法和排除法比较简单．由于大部分考生对这两种方法不熟 悉 而证明 (D) 正确又有一定难度，部分考生只能猜答案，准确率较低． 皿(2008,12 题，4 分） 曲线 y=(x - 5).'.l.，宁 的拐点坐标为 邸 (-1, - 6). 扫本题主要考查拐点的概念和判定及导数计符 ，拐点只可能在两种点上出现， 二阶 导数为零的点和二阶导数不存在的点． y= ．讨－ 5.x斗 y=-;;- 5 3 . T -- 2 · . 一 1 —3 0 .r J 丁 y , , LO.!_ 10 .!. = 10C.r+ 1) = —工 了 一 —.:i· -; 9 9 9 亿 • 128 •显然 y"(- 1) = O,y"(O) 小存在 ，由 y" 的表达式可知在．r =-1 两侧 y” 变号，而在工＝ 0 两侧 y" 不变号 ，则(— ]， -6) 为拐点． 【评注】 部分考生计算错误，答案不对；也有不少考生填 x =— 1，这是一种典型 的错 误，拐点是指曲线上的点，要用两个坐标来表示，即(- 1, - 6) ，而丸 ＝－ 1 是 x 轴上的点， - 、 证明 函数不等 式 丿、、 颐(1990，五题，9 分） 证明当 又＞ 0 时，有不等式 arctan 又·+上＞工 x 2 . 证闷 ^ ~f 位） ＝ arctan x + — x l ,x E (0, 十 oo) ，则 J'(x) = — 1 + l— x2 - - 立 1 、 2 <0. 则 f(x) 在（0, 十～）上单调减 ，又 严卢） ＝二(arctan 立＋主） ＝宁 则当 .l.,E (0， 十=) 时，．飞） ＞ 亨． 即当立＞ 0 时 1 亢 arctan x + — > — .2..2 ln(l +.r）工 匹(1991， 四题，9 分）利用导数证明当 汇＞ 1 时，有不等式 > ln .2.、 1+工 ln(1 ＋工） 证耐证明 > 工 等价于证明O + x)lnO +x)>.1`In .1三 In 工 l+x 因此，令 f位） ＝义·ln 义，只要证明当工 ＞ 1 时 j位） 单调增，由于 / (x)=ln.x+l > O (x> l) > 则 j.（.1）单洞增，f釭＋ 1) J位） ，即 (1 ＋心ln(l +x) > .2..In x 原题得证． 皿(1993，七题，9 分）设 -r > O，常数 a>e． 证明 ： （a ＋心” In e = 1-~.2. < ]，则 J'(x) > O,f(.1:) 在（o, 十 =) 上单惆增， ` 又 J(O) = 0，则当 .;z_ > 0 时，．f釭） ＞ 0, 即 aln(a + x) < (a+x)ln a < 故（a +工）＂ au十．＇． 肛E(1998，十一题，8 分）设 x E (0,1) ，证明： (1) (l ＋x)ln气1 +_;z_） < .l气 l l 1 (2) 卢－ l ＜ ln(1 ＋ 儿厂 了勹· • 129 •o, 鳍 (1) 令卢） = (1 +x)ln2 (1 +x) －丑，则有 工 (C) 在(1 - 8, 1) 内， f(x) ＜工，在(1,1 +8) 内， f(x) ＞工． (D) 在(1-8,1) 内， f(x) > x,在(1,1+8) 内， f(x) < x. 雹恐 A. 移（方法一） 令 F(x) = f位）－ x，工 E0-8,1+8) ，则 F'(x) ＝卢x) － 1,F'（l) ＝卢1)-1 =O,FO) = o 又 f(x) 严格单调减少，则 当 XE (1 —&1) 时，F'(x) > 0，则 F(x) 单调增，又 FO) = 0，则 F(x) < o，即 f(x) ＜工； 当 xE0,1+8) 时，F'(x) < 0，则 F(x) 单调减，又 FO) = o，则 F(x) < 0，即 f(x) < 工．故选(A). （方法二） 由于 f(x) 二阶可导，且 f'（x) 严格单调减少，则广(x) ~ 0，从而曲线 y= f(x) 在区间(1-8,1+8) 上是凸的，因此，在区间(1-8,1+8) 上的曲线 Y = f(x) 位千曲线 Y = f(x) 在点(1,1) 处切线下方，而该切线方程为 y-1 = (x-1) ，即 y=x，从而在(1-8, l) 和(1,1+8) 内 f(x) < x. （方法三） 排除法：令 f(x) ＝一位－ 1)2+x，则广(x)=-2<0, 从而 f(x) 严格单调减少，且 J'(l) = J(l) = 1 ，显然，在(l- ＆l) 和(1,1+8) 内均有 f(x)< 工，则排除(B)(C)（D) 选项，故应选(A). 肛(2002，九题，8 分）设 O — b -a ~ b > 1 2a 由于矿＋b2 2ab，所以－＞ ，从而有 b..-a2+b2 ln b- ln a_ 2a b-a >了下F 再证右边不等式，设 J(x) = ln x - In a －王二g (x>a>O). 互 =-1 --1( / —1 —a- ) 因为 f'(x) + X 石 2石 2x石 = 2 石－ x - a 2x 石 （石—五）2 =- a 时，f(x) 单调减，又 f(a) = 0，所以，当 x>a 时，f位） < f(a) = 0，即 — In x-ln a< 工·-a 尽 b - a In b - In a _ 1 特别地，当 x=b>a 时，有 lnb-lna<~， Cln 即＜一· 溢 b-a 岳 团(2004,19 题，12 分）设 e j-(b-a). e " （方法一） 对函数 In坛在区间[a,b] 上应用拉格朗日中值定理，得 — 21n l; e ln2b-ln2a= e (b - a) (e < a < < b < e2) 设 f(t) ＝早，则压） ＝勹2lnt. 当 t > e 时，J'(t) f(b) > f(e勺，即 呈＞坦立＝主 E e2 ln2b - ln2a =宁（b—a) ＞沪－a) （方法二） 设 f(x) = In五一 ~x，则 f（工）＝ 2ln 工一 4 f'位）＝ 2. 匕罕 工 e2' 工2 当工＞ e 时，f＇（立 /'(e2) = ~ - ~ = 0 e e 即当 e f(a) ，即 4 4 ln2b- :;.b > ln2a - :;. e2 e2 a — 故 ln2b- ln2a > -!r asin a + 2cos a + rra 畔若令 f(x) = xsin x + 2cos 立 + 亢:r，则本题要证的不等式为 f(b) > /Ca)． 一种证 明思路是证明 f釭）在[O，六］ 上单调增，另一种证明思路是利用拉格朗日中值定理证明 f(b) - > f(a) 0. 句（方法—） 设 f(x) ＝ 环in .l· + 2cos.r＋立．x E [O，式 ，则 / (x) = sin.r + xcos.1.: - 2sin 已:r + 六 ＝立cos.1·- sin.1.. + 六 广(义)·; = cos 立· — .l、Sll1.l: - cos.1.. = - XSll1 X < O,.:rE (0，六） 则 J'（心在[O，式上单凋减少 ，从而有 J'(x) > f'丘） = 0,.:r E (O．六） 因此，f(.:r）在[O．式上单调增加 ．当 O< a J(b) f(a) 即 bsin b + 2cos b＋ 动 ＞ asin a+ 2cos a + 冗止 （方法二） 令 cp(.1·) = ．工sin .1. ＋ 2cos 立，文． E [O，六］ 在[a,b] 上对叭.l) 用拉格朗日中值定理得 rp(b) - rp(a) ＝ 矗）（b-a) ,c E (a,b) C (0，动 即 bsin b + 2cos b-a sin a - 2cos a= (ccos c - sin c) (b-a) 今 g(立:) = xcos 义－ sin x ,x E [O，式，则 g'( 立· ) = cos.:t· 一 xsin.:r - cos.:r = - ～m、sin 工: < 0,.1.· E CO,rr) g(.r) 在[O，式 上单悯减少，则 g(c) = ccos c- sin c > g丘） ＝－ 六 从而有 bsin b + 2cos b - asin a - 2cos a >－ 亢(b- a) ，即 bsin b + 2cos b + 动 ＞ “sin a + 2cos a + 邧 【评注】 本题方法一是利用单调性证明不等式 ， 方法二是利用拉格朗 日 中值定理证明 不等式 ，这是证明函数不等式最常用的两种方法． 七、方程根的存在性与个数 肛(1989，三（2) 题，3 分） 若 3忒 － 5b < 0，则方程 x5 + 2矿 ＋ 3bx +Lk = 0 (A) 无实根 (B) 有唯一实根 (C) 有三个不同实根 (D) 有五个不同实根． 虹 B. 五令 J(x) = .r5 + 2矿 ＋ 3bx 一4c，由于 lim f釭） ＝－=· limf(x) ＝十＝，则方程 ；；一－＇，工-= 文3 + 2a立3, 3bx + 4c = 0 至少有一个实根，又 f'(.1·) = 5.i-"' + 6ax2 + 3b (6a)2- 4 X 5 X 3b = 36矿— 60b = ］2(3矿 － 5/J) < 0 则 ／（义－） ＞ 0,/(x) 单i）古］增综上所述，方程 • 132 •x5 + 2a.r3 + 3bx 十 4c = 0 有且仅有一个实根，故选(B)． 肛(1989，六题，7 分）证明方程 In x= 王-f 年二五心在区间（0，十=)内有且 e 仅有两个不同的实根． 鳍［汀扣＝［平dx ＝迈I。“sin 血＝ 2疫． 令 J位）＝王－ In x-2拉，f＇(x) ＝上＿上，令 J'(x)=O，得 X = e. e e x 当 OO,f(x) 递增．则 f(x) 在区间(O,e) 和（e，十=)内分别至多有一个零点，即原方程至多两个实根． 又 f(x) 在（0，十～）上连续，且 limf(x) ＝十 =,J(e) =-2迈<0，烛沪x) ＝十～ r-o 则 f(x) 在区间(O,e) 和（e，十=)上分别至少有一个零点．综上所述，方程 f- In x = J: 江三dx 在区间（0，十=)内有且仅有两个实根． 田(1993，二（4）题，3 分）设常数 k>O，函数 f(x) = lnx-f +k 在（0，十～）内零点 个数为 (A)3. (B)2. (C)l. (D)O. " B 秒 f'（x) ＝上＿ L，令 J'(x) = 0，得 x=e，则 X e 当 x E (O,e) 时，J'(x) > O,f(x) 单调增，f(工）在该区间最多一个零点； 当 x E (e, + oo) 时，J'(x) < O,f(x) 单调减，f(x) 在该区间最多一个零点． 又 limf(x) = Jim On x－王＋ k) =-oo 工一0 + .r一0 干 e = > f(e) k 0 皿妇） ＝丘(In x 气－ k) =-oo 则 f（工）在区间(O,e) 和（e，十＝）分别至少有一个零点，综上所述，f(x) = lnx-三+k 在(0, e +OO）内有且仅有两个零点，故应选(B). 睬(1994，四题，9 分）设当立＞0时，方程kx＋卢＝ 1 有且仅有一个解，求k 的取值范围． 豁当 x>O 时，方程 kx ＋上＝ 1 与方程 k ＝上＿上同解，令 y ＝上＿上，则方程 k= X 工工 工工 1 1 1 1 ---3 的根在几何上就是曲线 y= －－亏－与直线 y=k 的交点处的x 坐标 工工 工工 y'=－上十立＝三三 2 4 4 工 工 工 令 y'= 0 得 x ＝戎五： ＝－岱((舍去），则 • 133 •当 x E (0，屈）时，y'> O,y(x) 单词增， 当 xE （没，十oo) 时，y'< O,y(x) 单调减． 迈 又 limy = lim(- 1 - ~ 1 )=-oo,y( ./3) =节 2 ＝ 2 一 顶 ·h . my= 0，则 9 工-0+ X-0＋工工 3 9.r一＋OO 1 1 1 1 。 X 曲线 y=-－－3 如右图，由右图不难看出要使曲线 y= －－－3 与直 工工 工工 2戎 线 y=k 有且仅有一个交点，则 k= —－或 k~O. 9 颐(1996，二（4）题，3 分）在区间（－00，十00）内，方程 Ix|丁 +|x 尸－cosx=O (A) 无实根． （B) 有且仅有一个实根． (C) 有且仅有两个实根． （D）有无穷多个实根． 岔 C. I 鳍令 妇）＝ 1 工尸＋IX,+ - cos X，显然 f(x) 是偶函数，又 J(O)=-l O. 又 1 _- ¾ 1 __ -½ J'(x)=~x-•+I +x-'+sinx>O, xE (0,1) 4 2 则 f(x) 在［0,1] 上有且仅有一个零点． 当 x>l 时， f (x) = XT '+ X 2 - COS X > 2 - COS X > 0 故 f(x) 在［0，十OO）上有且仅有一个零点，原方程有且仅有两个实根． 颐(1997，八题，8 分）就k 的不同取值情况，确定方程x一千sin x = k在开区间伈号）内 根的个数，并证明你的结论． 砂令 f(x) = X一千sin x，则 f(x) 在［0号］上连续． 2 由 J'(x) = 1 -fcos x = 0，得 f(x) 在P号）有唯一驻点 Xo = arccos 一． 穴 当 x E (0，工o) 时，J'(x) < O,f(x) 单调减． 当 xE （五号）时，J'(x) > O,f位）单调增 又 f伍）＝工。一千sin Xo = Yo,f(O) = f停）＝ o. 则 y = f(x),x E (o号）的图形如右图 。 x 当 y。勺 <0 时，原方程在(o号）有两个不同实根． 当 k=y。时，原方程在伈号）有唯一实根． • 134 •当 k~O 或 kl 时，p＇(工) ＞ O,4 时，即 4-k 0 则 J'（t) 严格单调增， 当 t 0 时，f(t) > O,J(t) 单调增． y 又 lim f(t) = lim (4c'- 4t + t4) =+ oo _`'-- I_ 0 = lim f(t) = lim (4e'-4t + t4) =+ ，一十O I-·十~3 则曲线 y = 4e'-4t + (1 如右图．由图可知： 4 当 k<4 时，直线 y=k 与曲线Y = 4e1 -4t+f1 无交点，即原曲线 无交点． o 同理可得 当 k=4 时，原曲线有一个交点； 当 k>4 时，原曲线有两个交点． 匡(2008,1 题，4 分）设函数 J(x) = x2(x-l)(x-2) ，则 f'(x) 的零点个数为 CA)O. CB)l. (C)2. (0)3. ~D. ＂由于f(O) =JO)= f(2) = 0，则由罗尔定理可知，f（x) 在区间(0,1) 和(1,2) 内 至少各有一个零点，又 • 135 •f'(工) = 2工丿立一·DCx - 2)]+ ．甘[(x-l)(x - 2)]' 显然 j'(0) = 0，则 f'位）至少有三个零点 ， 由千 J位）是四次多项式 ，则 f'(x) = 0 为三次方 程 ，最多三个实根，故 f'（x) 有且仅有三个零点． 【评注】 (1) 也可直接计算：f(x)= 工` -3x3 + 2x2, f'(x) = 4x3 - 9x2 + 4x =工(4x2-9x+4) 得 f'(x) 有三个零点． (2) 本题本实上就是方程 f'位） = 0 根的个数的问题，本题 中在说明根的存在时，利用 了罗尔定理． 八、微分中值定理有关的证明题 < 匡(1992，八题，9 分）设广（x) O,f(O) = 0，证明对任何 x1 > O心＞ 0，有 f亿＋Xz) < .f伈） ＋f(工2 ) @3; （方法一） 对 f(x) 分别在区间［0，艾1] 和[x2 ,x,+工2] 上用拉格朗 日 中值定理得 （这里不妨设艾I,s;; 工2) f(立.1) = J(x,) - f (O) = /<~1 h1 ，名 E （0,x1) f（义：十 X2) - f伍） = f'（令凡 ，令 E （立 ，m +工2) 义广位） < 0，则 J'釭）单洞减少 ．于是 J'（令） < f＇(8) ，则 < f釭·1 +几z) - f(xz) f釭I ) < 即 ((x, + x2) J(x,) + J(:i·2). （方法二） 只要证明当 工＞ 0 时，f（艾1 十心< f(J.,.1) +J釭）． - - 令叭工） ＝．r位） + f (m) Jm ＋立 ，则 p'(x) = /位） /(x1 +x). < < 由于 j''(x) 0，则 /(x1 +.:i-) /(x) ，于是 > 砑（立:) 0心＞ 0) 则 cp(x) 单调增 ，又 pCO) = J(x,) - f位） = 0，故当 J.: > 0 时，cp(x) > 0，原式得证． 旺(1995，八题 ，8 分） 设Iin:1 凰f位） ＝ 1 ，且 j飞） ＞ o,证明 ：f釭）诊 x. r- 0 3: 艾 （方法—) 因为 f釭）有一阶连续导数 ，所以由hm 区立 ＝ 1 知 ，J(O) = 0 . .r一·0 3 .. J'(0) = lim f位） — f(O) = _ 1 li : m __ ~f 位） = 1 :r-•O 又：．r-•O X 令 F位） ＝ f釭） — :r，则 FCO) = o. F气:r) = J'（心 — l ，所以 F1(0) = 0，又尸(x) ＝ 广（心 ＞ 0 知 F(O) 是 F(x) 的极小值和 F'位）单调 ，故 F(x) 只有一个驻点 ，从而 F(O) 是 F(x) 的最小值． f位） （方法二） 因为 f釭）有一阶连续导数，所以由 lim~ = 1 知 f(O) = 0，又 .r－-o 义． - J'(0) = Jim f(x) f(0) = limL..f':.:釭::::）..!. = 1 .r一0 X - 0 I一0 工 由 f(x) 的泰勒公式知 f位） = f (O) + J'(O)x + f_'；四 · 136 •=x＋罕工2 (l;在 0 与工之间） 因为广（t;) > 0，所以 f(x)~x. 诬岳1996，二（3）题，3 分）设 f（工）处处可导，则 (A) Jim f(x) =-(X)，必有 limj'(x) =-(X). 工一O-0 工一－0 (B) lim f (x) ＝－～，必有 limf(x) =-=. :r一－O3 工一－OO (C) lim f(x) ＝十～，必有 lim 卢x) =+=. 工一十OO 工， 1~C CD) lim f'（工） ＝＋～，必有 lim f(x) =+ =. Z-＋OO 上 1- ~ D. 稀豁（方法一） 直接法 由千 lim f'(x) ＝＋～，则存在孔＞ 0，当 x>x。时，J'(x) > M. ~+OO 对 f（工）在［工。心］上用拉格朗日中值定理得 f(x) = f伍）＋f伶）（工一工。）＞ f伍） ＋M(x－工。）一十～ （工一十=) 则 lim f（工） ＝十～，故应选(D). 工一十OO （方法二） 排除法 令 f（工） ＝ m显然(A) 和(C) 不正确． 令 f（工） = e-勹显然(B) 不正确，故应选(D). 国(1996，三（4）题，5 分）求函数 f(x) ＝二王 在x= 0 点处带拉格朗日型余项的 n 阶 l+x 泰勒展开式． '1) f(x) ＝志－ 1 = 2(x+l）一1-1，则 j'(X) = 2 (- 1) (X + 1)-Z /'(x) = 2(-1)(- 2)(x+ 1)一3 1 一般的 fK)(x) = 2(一 1)1,k ! (x+ 1)»1 fl,>(0)=2(-1)1,k! O,s;;;;k,s;;;;n) +…+(- (-1)叶12工叶1 则 f(x) = 1 －红＋ 2工2 1)"2x" 十 (0<0<1). (1+()x）叶2 侄(1996，七题，8 分）设 f（心在区间[a,b] 上具有二阶导数，且 f(a) = f(b) = O, f'(a)j'(b)>O．证明：存在 e E (a,b) 和 T/ E (a,b) 使 f伶） = 0 及广<11) = 0. 句（方法一） 先用反证法证明存在 e E (a,b) 使 f伶） ＝ 0．若不存在 e E (a,b) ，使 f伶）＝0，则在(a,b) 内恒有 f位） ＞ 0 或 f位） ＜ o．不妨设 f（心＞ 0，则 f'(b) = lim 罕 ~o 工－b :r-b 卢a) = Jim 归匀 a +工－－ 又 从而有 j'(a)j'(b)~O，这与题设 J'(a)j'(b) > 0 相矛盾．从而证得在(a,b) 内至少存在一点 ＆使 f佑）＝ 0. 再由 f(a) = f(e) = f(b) 及罗尔定理知存在 1/1 E (a,e) 和平 E (e,b)，使/(1/1) ＝／（平） = 0. • 137 •又在区间［加中］上对J'（x) 应用罗尔定理知，存在 T/ E (TJI ，平汃使广（11) = 0．原题得证． （方法二） 不妨设 J'(a) > O,J'(b) > 0. 即 — — :lr:i:~m• f - 位） >o,lim J位） >0 X - a ~ -, ;:• . -~::.工－b 故存在 x1 E (a,a+S1) 和Xz E (b-82,b)，使J(m) ＞ 0及J（工2) ＜ 0，其中 81 和82 为充分小的 正数，显然，工！ ＜立，在区间［工！，工2] 上应用零点定理知，存在 eE （工，工2)，使 J (2.1.. a) f'(x) 0．若极限lim 存在，证明： x -a x-拿．＂ (1) 在(a,b) 内 J（工） > O; (2) 在(a,b) 内存在点＆使［厂；；工＝片;; (3) 在(a,b) 内存在与(2) 中与 e相异的点 1'/，使 J'(T/)（忖—矿） ＝主 e 立］>(x)dx. -au 归 (1) 因为 lim 丛红二立存在，故 limJ(2工－a)= 0. 由 J釭）在[a,b] 上连续，从而 - x-a X一会” 工－会” > f(a) = 0，又 J'(x) 0 知 f位）在(a,b) 上单调增加，故 > f(x) J(a) = 0心 E (a,b) (2) 设 F(x) ＝已g(x) =『J(t)dt(a:;,;;; 卢;;;, b) ，则 g'(x) = J(x) > 0 (a < x < b) ，由 柯西中值定理知，至少存在一点 e E (a,b) ，使 F(b) - F(a) F'年） = g(b)-g(a) g'I (e) b2 -矿 I:fG)dx` (3) 因 f伶）＝f佑）－f(a)，在[a,f］上应用拉格朗日中值定理，在(a,e) 内至少存在一点 7．使 眼） = f'(7)(e-a) 由(2) 的结论得 b2 ＿矿 2e 1 『卢）d工＝已飞 即 f句）（b2 气） ＝且气J: f(x)dx. 匡压2005,19 题，12 分）已知函数 f(x) 在[o,1] 上连续，在(0,1) 内可导，且 f(O) 0= 0, J(l) = 1．证明： (I) 存在 eE<0,1) ，使得 J伶） = 1 一和 (Il ）存在两个不同的点平e E co, 1)，使得 f勺汀'(~) = 1. 鳍 (I ）令 F(x) = f(x) —l+x,x E [0,1]．由题设知，F(x) 在[0,1] 上连续，又 — < > F(O) = f(O) 1 =-1 O,F(l) = /(1) = 1 0 • 139 •山连续函数的零点定则知存在 令 E co. 1) ． 使得［飞） = 0 UIJ .I. (:) = l - 5. （ 仆 ）在区间[O．的 和[~. I] 上分别对 I(1) 川拉格朗日 中伯定即得 / （钞— : r(0) = I 1 (?7) .? E (0. 8 J.(1) 八钞 = I'（炉 ·tE (5 · l) l - 5 此旷 ．f'（沪f'（贮 ＝ f (:) : ./ (0) · .f.（1) 勹／（令） = J一气 · 1 - I (:) = 1 1- f ! - !; f; 匡(2007,21 题． J l 分）设函数 IU) ．怂(,!){E[a .b] 上连纹 ，有(u ./J) 内具有二阶导数l;1 存在川等的最大(l'I,f(a) = g(a) .f(b) = g(b). iii，明 ：存在 : E (u .b) ．使得 J”(8 = g”炵）． - 分析 若令 F(1) = j.(t) g釭） 匈则木汹殁i1l明存在 5 E (CI龟b) ．仗 F飞） = 0,又 F(u) = F(b) =0．若能证明存~（「 r; E ((I.b) 使 F(刀） = 0．对 F釭）反复j}］罗尔定则可证明本题 证叫 （方法—) 令 F(l-) = f(t) － 叭1) ．则 F(a) = F(h) = 0. 设 J（又） ．．g妇）打(u .b) 内的最大值为 M. | l分别在 a E (u,h) .pE (a.h) 取到，即 f(a) = M,g(/3) = M. 名 a =/3，取 r; = a．则 F(r;) = 0: 若 a#- p.则 F(a) = /Ca) — g(a) = M - g(a) 娑 0 F(l?) ＝「(/3）—片中＝ 、I（/3） — M 冬 0 此II中山连续函数介俏定理知在 a 与 B 之间至少存在点？． 使 F(r;) = 0 综上所述，存仵？ E （u .b) ，使 F(r;) = 0, 山罗尔定理知存在 8 E (ll ， 沪 壬2 E (r;,b) ，使得 F'年） ＝ o.F'岱） = 0 再由罗尔定理得 ．存At; E （令令） C (a .b) ． 使得 F'炵） ＝ o. 即 广(¢) = g"(t;) （方法二） 为证明有在 1 E (a ,b) 仗 F(1) = 0．用反证法． 假设不存在？ E （u .b) 使 F(r;) = O, 111 FC.1) 的连续性知对一切？ E （ll,h) ，F口）恒大千 > 岑或恒小于岑 ，不妨设 FC.d 0. 设 g伈）在 m E (u ,b) 取到最大值，则 F(r/,) = j.（.1勹，） - g(.r,, ) > O. 即 f(m) > g(lII) 从而可知 j釭）在(ll .b) 上的最大值必大丁 g(.l) 在(a .b) 上最大值．这与题设矛盾． 故存在 r;E (u ./J) ． 使 F< r;) = 0. 以下同方法一 【评注】 本题证明完全的考生并不多 ，错误多种多样，主要有 (l) 部分考生将题设“存在相等的最大值”误解为“不但最大值相等 ，而且取得最大值的 点也相同“，即存在 77 E (a,b) ，使 J.(77) = maxJ位）g（n) ＝ maxg位） [a,b] -.. ' [a.b] • l 10 ·= 这样 f(r;) g(r;) ，证明就简单多了，这显然是错误的． (2) 有些考生不考虑题设条件，直接用柯西定理（柯西定理要求某函数导数不为零）． 可 能是受“只要题中有两个函数的导数等式，就用柯西中值定理”的误导． (3) 还有考生见到题目条件中有二阶可导，就想到用泰勒公式 ，这同样是受某些参考书 中的“解题套路”的影响． 匡(2008,20 题，11 分）（ l ）证明积分中值定理：若函数 f(.1) 在闭区间[a,b] 上连续 ，则 至少存在一个点 r; E [a ,h] ，使得］勹位）也 ＝ f(17)(b — a). （ II ）若函数叭义）具有二阶导数且满足『cpCx)d工，则至少存在—个 点 e E(l,3) ，使得 矿伶 <0. 社叫 ( I ）设 M 与 m 为连续函数 f（x) 在区间[a,b] 上的报大值和最小值，则 m ~ f(x) ~ M,x E [a,b] 由定积分性质得 a) 勹 f位）dx 《 M(b- m(b- a) 即 m Ic 卢）dx < < b - a M. 由连续函数的介值定理至少存在一点 r; E [a,b]，使得 『卢）dx f(r;) = ~ b — a 即『卢）d立＝ f(r;) (b — a). （ II ）由 (I) 的结论可知存在 r; E [2,3] ，使 『『中釭）dx = 卢） 知可 E C2,3] 对中釭）在[1 .2] 和[2｀ 汇上分别应用拉格朗日中值定理．并注意到 cp(1) ＜ 0.(1 < 名 < 2) 2 - 1 - 叭？） cp(2) = cp1 恪） < o, (2 < ~' ＜ 沪 矿－ 2 祚区间[$1 心］ 上对矿（t、)应用拉格朗 LI 中值定理得 ([)豆）－必（名 ） = 矿化） < ot E (;] 七） C (I .3) 令 一 $1 · H l ··.. . •••· : ·· :'` `··`'..···…` ｀心｀｀．．中沁｀＂．～｀．心， 第三章 一元函数积分学 G一 一元函数积分学是微积分的另一个主要内容．与微分学不同，积分是研究函数整体性质的． 其中不定积分是微分的逆运算，定积分是一种和式的极限，微积分基本定理和牛顿－莱布尼茨公 式阐明了微分学和积分学的内在联系，换元法和分部积分法是计算不定积分和定积分的两种主 要方法，微元法是用定积分解决几何、物理等问题的一种常用的基本方法．一元函数积分是多元 函数积分的基础． 其主要内容 (1) 不定积分与原函数的概念，求不定积分的两种主要方法——－换元法、分部积分法； (2) 定积分的概念、性质及计算方法（换元、分部），变上限积分及其导数； (3) 反常积分的概念与计算； (4) 定积分应用（几何、物理）． 七空空一点 定积分与不定积分是积分学的两个基本概念，计算不定积分和定积分是微积分的一种基 本运算，是考研的一个重点，定积分应用是考研试卷中应用题考得最多的一个内容． ｛本章常考题型｝ (1) 不定积分、定积分及反常积分的计算； (2) 变上限积分及其应用； (3) 用定积分计算几何、物理扯； (4) 一元微积分学的综合题． 巨一 一、不定积分的计算 血(1987，七题，10 分）计算I d.x 其中 a,b 为不全为零的非负常数． 矿sin2.x十炉cos2.x 俴）若 a=O，压 0，则 原式＝［江皂丐＝成tan.x＋C 若 a c:/= O,b = 0，则 • 142 •” 、“`，．贝..“b,…可·、.．， ... - 原式＝ f d:r l =-~cot 工＋ C 矿sin2x a 若 a ＃趴且 b =I=- 0，则 1 cos2 x 原式＝ J dx = J dtan x a2? tan2: r+ b2 矿tan五＋b2 ＝甘心nat:？广心＝卢arctan（气司＋ C 国(1989，二（2）题，4 分）求尸旦 xln五 豁 J幸＝月苦＝－己＋ C. ..( 1990，二（2）题，3 分）设函数 f釭）在（一～，十～）上连续，则 d[JJ（工）d工］等千 (A)f(x). (B)f(x)dx. (C)f(x) +c. (D) /'(x)dx. 爹豁 B. " 叫J(x)dx] = d[F(x) + CJ = F'(x)dx = f(x)dx 故应选(B). m(l990，三（4) 题，5 分）计算f lnx 2 dx. (l -工) @f(1，尸工）2釭＝ ftn 过士 －二－f 釭 l —工工（l －立 ＝芒－f 芒—I 卢 ＝芒－ In x+ In I 1-工 |+C ＝芒＋ ln| l:.x|+C 回(1991，三（4) 题，5 分）求f工sin2xd工． ( 绰原式＝ f.x 1—c:s 2工）d.x 1 r, 1 ＝叶山－』xd 2工 sin x2 1 = -4 - － 4 . - x - sin - - 釭 -- 十 . ¼ 4 fsin 2心 =f- 扣sin 2工一奇cos 釭＋C 配量1992，二（5）题，3 分）若 J（工）的导函数是 sin 工，则 J（心有一个原函数为 (A)l + sin x. (B)l - sin 工 (C)l + cos 工 (D)1 - cos 工 ~B. • 143 •邑 由 f(.:i) 的导函数是 sin 工，即/(x) = sin 几唱，得 [ f(x) =ff'位）也＝ :;in xdx =- cos 几: + C, 所以 J.（心有原函数 F(.1·) ＝［卢）d工＝ f(- cos x +Ci ) dx =-sin x+ C己:+ C2 若令 c, = o,c~ = 1 得 j釭） = 1 - sin x. 故应选(B)． 【评注】 本题也可直接验证． 由于(1 +sin x)" =I:- sin x,(1 +cos x)" =I:- sin x, (1-cos x)" =I=- sin x，则选项(A)（C)（D) 都不正确，故应选CB). 3 回1992，三（3）题，5 分）求］工 ~d工． J 原式＝占I 工2 d工2 往顶 （方法一） J ＝了 1 I (1 +工2) - 1 d(1 ＋ 心 二 1 . 1 I d(l + x2) = — tJ j / 汇 f+ 勹 ?d d ( ( l l ++ xx22>) --½½J ~ l ，令 =—(1 ＋卫） - J二＋ C 3 （方法二） 令 1 + x2 = t，则 2xdx = dt, 原式＝甘宁dt ＝甘邱 －甘 皇 1 令 l ¥ =—t －石＋ C = —(1 ＋正） 2 - ✓仁厂了＋ C 3 3 m(l993，一（4）题，3 分）Itan 工 釭＝ 二 2 （红 +c. J 畔 I tan 工扛＝ I SIn 工3 归＝－ ］三= 2方cos 'x+ C. 二 cos x万· 斗· cos妇 几． m(l994，一（4）题，3 分）［归玉＝ 虹" 上“2 -]沁 ＋ C. 2 )i l l I工 eJ2 扣＝计产dex' ＝了霆－ I工e·; cl工 =½厂－亨e' + c = ½矿口 － l) + C 胚(1994，三（4) 题，5 分）求］山 sin 2x + 2sin 又．· l d(2 工 ) 1 工dtan 了 虴 （方法—) 原式＝ [ x(c山os 工． 十 l) =了I sm 宁cos3 号＝了I ;cos2 号 2sm tan 1444- 1 + tan2 ＝开4 工 2 dtan 号＝卡tan2 号＋ ¼tnl tan 号 l+C tan 一2 原式＝ J dx =J sin 志 （方法二） 2sin x(cos x + 1) J 2(1-cos五）（COS X + 1) I COS工＝ u 1 du =-— 2 (1 －记）（1 + u) =-..!.I (1-u) +(1+u) du 4 J (1 －正）（1 +u) 气[J(1:uu)2+］砉］ 气［－卢千归］＋C = 1_..!.ln~+C 4 (1 + COS X) 8 --- 1....:..COS 工 m(1995，三（3）题，5 分）设庐 1) = In 二且心(x)] = lnx，求J 0) t2 二 三－I ］ ＝－气止－ ln什＋扛）＋C =- arcsm e工 -ln(e一工十 ✓~)+C. e:r cost （方法三） 令 arcsin e工＝ t,则 x = In sin t, dx = ~dt. Sln t I arcsmr erdx = I 上．罕dt=－扣（上）＝－土＋j 土 sm t sm t J \ sm t I sm t · J sm t t =-~+In I csc t - cot t I+ C sin t =-~+lnl 卢—气勹＋C. • 148 •【评注】 本题用到几个常用的积分公式 叫X2d\ ＝卢lnl 曰＋ C; ~=ln l x+ 左|＋ C; (2)f ✓X2 -a2 (3)［ 卢＝— In I csc x + cot 工; I+ C = In I csc x —cot x l+C. 定积分概念、性质及几何意义 、 回(1987，一（3）题 ，3 分） 定积分中值定理的条件是 结论是 豆 J釭）在[a,b] 上连续存在~ E [a,b]，使得j勹位）归 ＝ j环）（b -a) 回(1988，二（2）题，4 分）设 f(.1) 与 g位） 在（一 =, 十=)上皆可导，且 f位） < g(.r) , 则必有 — > (A)f( x) g(- x). (B)I＇位） < g ! （丑）． CC) limf(工) < limg口）． (D)［。>(t)dt < J:g(t)clt .r- .r0 r •.r11 。 芷导） C. 奸炕由千 JC.,·）与 g(.x）在（一 =, 十=)上可导，则必连续，则 lim/（立） = f(xo), limg('.I.) = g（工。） 上 。 r-“X 。 又 f釭） ＜ g（心 ，工 E (— ~． 十=) 则 limf(.x) < limg位）． .,·-•.,· 。 ·' ..』r, 【评注】 由于 f(x) < g(x),x E(—～， 十OO） ，则 f(-x) < g(-x) ，则 (A) 不正确 ： 若今J(x) =-e气g(x) = e一工 ，则对一切x，有f(x) g'(x) ，从而(B) 不正确． （D) 选项 中加个条件 x>O 才正确． 厄日0988 八题.,8八 7)) 设 j(1) 在（ OO， 十=)上有连续导数，且 m < J(x) 冬 M. (1) 求"I严 卢I':．，[J(I 十a) -.f(t 一 cl)]如 I< (2) 证明气 f(t)dt - /C.i-) M- m(a > 0). 2aJ ,. 斜 (1) 由积分中值定理可知，存在 E:E [-a,a] •u [ "[f(t+a) -f(t —a)]dt = 2a［度＋a) - .f(~- a)] =,[a勺、'(c) 其中 ~- a O) f -I 因(1990， 4) 题， 一 3 分）下 （ 列两个积 [ 分大小关系 : 式： ee - -x" ' d工 er 3 dx. 一2 一2 俗＞． ＂当一 2 ~ I 时， x ~- -x3 >工3 则 e-r3 > er3 从而有[:e勹3dx > [: e.r3 dx. 回(1994，二（5）题，3 分）设 M= ［：千詈号2cos4xdx,N = J千 (sin3x + cos七）dx,P= 一工2 If 伲sin3x - cos4 x)dx，则有 号 (A)N 0 2 。 P = f\ (x2sin3x-cos4x)dx =-2f号cos4xdx < 0 ＿三 2 。 则 P o,j'(x) < O，广（x) > 0. 令 .B. S1 =J:f o,/ (x) < o,/'(x) > 0可知曲线y=f(x)如右图． c s, =『f(x)dx 为曲线 y =f(x),x=a,x=b 及x 轴围成曲边 a 梯形面积． 01 a b X • 150 •S2 = f(b) (b - a) 为线段 BC 与 x=a,x=b 及x 轴所围矩形面积． s3 1 = [J(b) + f(a)](b-a) 为线段 AC 与 x=a,x=b及 x轴围成梯形的面积．如图易得 2 < < S2 S1 SJ 故应选(B). 匠卧1997，二（4) 题，3 分）设 F(x) = J.r+2冗产sin tdt，则 F（工） (A) 为正常数 (B) 为负常数 (C) 恒为零． （D) 不为常数． - A. ＂由于 e•in sin [为以纭为周期的函数，则 I J:" I=f叶z.e'in 1s in tdt = e•in 1s in tdt 为常数，也可由趾I尸产'smtdt 0，则 I 至 C. [;) - = = e”n(.r+2”)sm(x+ esm.rsm x 坏 I= I(O) = I:ffe•inlsin tdt =-I:ffe•in•dcos t 。 =- cos te""'I:亢＋『穴cos2te'in dt =『穴cos2te'in dt > 0 I I o Jo Jo 则 I 为正常数，故应选(A). m(2002，一（4）题，3 分），！匣队［汇三＋厂二勹＋…十，二亏］＝ 卿孚 够由定积分定义知 ¼J: ¾ 原式＝ ｝上巴＋言 J言二万. = v'I丁石言dx ＝吾六『。cos 王2 扛＝笃sin 王冗O ＝望六 7l'2 1 .!. 应l(2003，二（5）题，4 分）设 I1 I: 气卢心，I2=[：石妇心，则 = > > > > > > > > CAH1 I2 1. (B)l I1 lz. (CH2 I1 1. (0)1 I2 I1. 霉豁 B. 碌部当 x E (o,f)时，x < tan x，则 二＞二 x 工 tan 所以 I] ＝［宁扣＞ I\启dx = 12 由此可排除选项(C) 和(D). 又因为当 x E (o，干）时，盂扫＜ l，则 < 于 T f =[。工石如 > （方法二） 由定积分几何意义知 F(2) F(3) 0，排除(B). 又由平）的图形可知 f（工）为奇函数，则 F(x) = f勹(t)dt 为偶函数，从而 > > F(- 3) = F(3) O,F(- 2) = F(2) 0 显然排除(A) 和(D) ，故选(C). • 152 •【评注】（1) 部分考生选(A) ，可能是，支注意到 F(-2) = l,2f (1)d1 = — f - ° 2 . . f , ( . - t) . d -· I · ＝ 互 2 ， 误以为 FC- 2) = fo2f(1)cl1 =－ 王． 2 ' (2) 方法二简单 ．这里用到一个基本结论：设八心是连续函数， 则 沪）为奇函数尹(.:i-) = f:J(t)clt 为 偶函数 。 j位） 为偶函数吁(.r) = 『.f(t)clt 为奇函数 回(2008立题 ．4 分）如图所示 ． 曲线段的方程为 .l A y =j.(t) ． 函数 J.（.1）祚区间[0.u] 上有连级的导数 ， C(O.f伍）） A (u.f (u)) ) =f(x) 则定积分［丁(`t)山等千 (/\)曲边梯形 /\BOD 的面积． D (B) 梯形 ABOD 的血积． （C) 仙边三角形 ACD 的面积． Y` 。 B(rL.0) (D) 三角形 J\CD 的而积． 答孚 C. j.,.1 I'（t)山＝『义dI.(．1) 斜祈 " J 0 I ~ —『'JC.r)cl父 =.rf (x) II II ＝叮(a) - J'::I'(2.1.) d.1. ＝ 甘J'C2x)d2工 ＝ 李f.(2已t·) h ＝ 归f(2h) — f(2a)] 'I 因乱] 987，四题．8 分）计符定积分j t. arc亚in xd.1.:. ') 斜 （方法一） 『rare、in.rd.1= 」j.1 arc邓1 xd.:i-2 n ·· ·•• -· ·•· •··• -·- 2 。 • 153 ·= 寸了a resin.r I l ——2 l .f r1 。 仁 .r2 了 d.1－ o + ＝ 丁六 一 1 五 1， （处产二 1) 1 小 ＝干＋ t . f: 厂山 1 2 arc . s1n .1 I 1 11 I ＝工＋ 互 ＿ 王 ＝ 王 4 ' 8 .1 8 （方法二） 令 .J.· = sin I.则如 ＝ ds,n 1 ½ L.i-arcsin ．如＝『tsin tdsin I = J~ tel..,in'I 2 J" f 1 ．二 ＝令in~/ I 。一 了l。 `1心d ＝ 王—上 ． 上 ． 王 ＝ 王 4 2 2 2 8 本题方法一中I 汃－＝了clr> 王，这里利用了定积分几何意义． 【评注】 o 4 方法二中I号sin2tdt =上 ． 王 ＝ 王，这里用了 结论 。 2 2 ,1 .. I?- I1 l . l 1I.I - 1I - ” 3 /~ . . 2 . . 之 3 . 2 . 三 d __ II 3 n 为 奇数 2 0 s.1 n" 勹 工 v` - - . 1 . “~ _ 2 2 亢 ＿ ·' n 为偶数 氐】1988，一（5) 题，4 分）『er,d.r = I) + 答紧 2 (e2 l). -r 斜析 『五石＝ 1 f>2 1e'd1 = 2J>c1c1 = 2[1e'I~ c'd1]= 2(c~ + 1) 。 、 II n , 回（1989，一（2) 超3 分）I 闪n tell = 『） 答点 亢． r ii:" 『II闪n f1dcos {CO、 I L(）、 tell = 六 — 、in I~7 = 亢 斜析 （方法—) 1J1 =- tdcos II ==-- /cos I - , f I （方法二） 『 0 区 .. . m .../ d-·{ ＝ 王 2. [ J " " . 、i . n ..re..l!. = 王 2 ． 2 = 亢 f [re 【评注l 方法二 中用到公式f>f(:-;in .1寸d.1: = ~in .r}d.r. j. 回( 1989．一 （5）筵3 分）设 f(乓I）是连续函数． 且 I.G) = l 上 2 1 f. (t) di · 贝1」 /C.1·) = 答哀 .r- 1. f 斜析 等式 f(.l-) =.l + 2] 八I)cit 两端从 0 到 I 积分牡心 f(I)山 是常数，则 15 4 .（心d.1- = I:i / I:rd:r + 2I;.f(t) dI = ½+z『f (t) dl 。 则I I J.(1·) d.T = - -1 , 2 (- -1) - j(.1:) = .1. + 2 . = :r 1 ` 2 1 `, (1989 ，二（5) 题，4 分）巳知 j(2) = ½,/(2) = 0及I。.f位）d.T = 1 ，求[.1.2j'1(2:r）d.r. Ii 。x了(2．工）d．兀 妇 ＝ ， 百l j飞l2，广（t) 斜 u dt = 2lt2c l,r'(I) I:_ l 2 2 ＝百[12.r'(t) 2 J。矿(t)cit] = ½ [o- 2J>df(t)] ＝－十［汀(I) I : — I:J(t)dt] J =-—[l - l] = 0 4 'I (1990,一（3) 题，3 分）J>' 汀二归＝ . () 4 答衷 —. 15 奸析 令 J了二了＝/,则 1 -.T = t2, - d.1. = 2心． I 1 1 \ 4 I 工汀山 ＝ 2『广 (1 — t2)dt = 2 ((½3-5½ )＝ 百 0 . 0 .I (1991,三（2) 题，5 分）计算f d工｀ I x(l 十五）． 斜 令j; = t，则 工＝ I2 ，心＝ 21dt 『 cl.J__ = 2l dt = 2『 ] d ? + + l.J_（l ＋石） I t气1 f) ~• - j I / (1 t) f = 21n 二 『＝ 21n 1+ l l 3 (1 991 ，八题．9 分）设函数］位）在（一=, 十=) 内满足 f(.r) =.f(.,· - 式 十 sin ., 且 J灯） ＝ .r,.r E [O,动，计，叫勹Q)d.1. 斜 （方法一） 厂八．r)cLr = 『＇,[J (r —亢） + sin :r]d.1 ＝ 厂j釭一心d.1. 工-六 = 1 『r.f(t)clt 穴。 = 『八1)dt +I2-[J(t — 切 十 sint]dt ij J C ＝ 已 ＿ 2 +［厂 － Tl:)dL 2 亢 155 •l一六＝ u 六2 + r: 2 J:_r(u)du 2 。 ＝ 采 － 2 （方法二） 当 1. E [m2冗）时，x - n E [O,n) ，则 f(x) = f归－ 六） + ~in X =立:-n + sin .r 当又． E [2六，31() 时 髦T - 1(E [m 2动 f釭） ＝．r釭－的十 sin x = Cr 一 式 一 亢 ＋ sin釭 － re)+ sin 义· =工- 2六 『-.((x)dx= 『，（工 亢 十 sin .:i:)心 ＋［＇厂釭 纭）如＝穴2_ 2 则 了六 2六 田（1992， 三（4) 题 ，5 分）求j气 了二言归 。 纤） 巾于 1- sin 义．＝ 1 - 2sin —义'c砐X— =S.I盯, —X,+cos2, —.2-'n2si•n — X cos — 父． 2 2 2 2 2 2 X 1. 2 = (sin 了－ cos 言 I: 亢 了 原式＝ ［ ✓(sin f - cos 令） I sin 号－ cos 专釭 则 d.1. = ＝厂 (cos f)山＋厂 (sin 宁 — cos f)扛 f - sin = 4（迈— 1) `sin 孚 — cos 牙）2 (sin 号— cos 号）d工． 这是一种“经典“错误． 因 【评注】 I: dx = J: 为 J子- = | X I. m(1992， 四题，9 分） 设 j位） ＝ { l +x气 巳？飞 > 委 O 0，求［3 卢－ 2)d.'.l,. x e 一r , 纤 令｀x--2 = /,则 dx = dt, f -+ 原式 — I/1f(t)dl ［厂1 0+t2)dt + = J.:e-1d1 = 田0993，三（3) 题 ，5 分） 求『 1. d丑 0 1 + cos 2工 t f. 任） 原 工一 __ 工 1 已.1. d匕r=`-;-义:dtan.:r 。 ＝宁nan .x·I: 一气－tan .rd.1· 0 2 。 ＝王三In cos x 厂 ＝二上in 2 8 2 o 8 4 肛卧199944,,.二.:: （2) 题，5 分）计笲j I 汃1-.1_1)了' d．工． 。 砫 令 x2 = sin I,则 2工釭＝ cos tdt, I:.:z,(］气）令釭＝气fCOS;ldi ＝上 ． 立 ． 上 ． 王＝竺 2 。 2 4 2 2 32 156 •995,七题 ，8 分）设沪） ＝『 兰旦细 ．计算『贮）dx. (l I / I1I 亢”-－ 1 (父)d.1 ＝沪） I亢环II飞 一：．＝寸二山 — I, XSIIT 义d.:i 斜 （方法—) 0. - Io J 11 亢 -.1- ， 六 － I ,） 六 － J 『I 六亢一一文~·sin.1.扣 ＝ J: = sin xd.r = 2 I; 。 （方法二） j.(.1.) d 1 = ], r j (.: L) d (．1· 一 六） tl = (.r - 亢） ／伈）＇ － ［＇ （飞 一 六）SIn J (| 1 ., 六一．I =「`in _.·d_, m( I 1996｀一（2) 越3 分）］卢』＝了）2d.1. = I 答孚 2. I 斜析 [I （工＋兀二一）扣＝ LI (.i-2 + 2.1 汀二＋ 1 —.r2)d义｀ j· 1 = l山 ＝ 2 - I l n ; 996 , 三（ l ) 题 ．5 分） 计算 ［ 』＝了了如． m (l 原式＝『In r/广勹如＝－『，石二也 斜 （方法—) e I I“2 =- c-J 平勹-| + ln : c'd上 ". J 0 ✓泸－ l ＝－享f- ln(e-' ＋心勹） I:,2=－享－ ln(2 －幻 - cos l （方法二） 令 e一' =叩in l.则 d.1, = cit sin t 原式＝厂f 竺4dt =『 业＿ ＿I上f SIn /dI Stn t t sm / t) 厂－![- ln(2 ＋瓦） - 5 =- ln(csc I+ cot = 2 上 2 6 （方法三） 令 看＝了古＝ u，则 又＝－ 上In(1 - u2) ,d:r = l/ 2du 2 1 - u 原式＝『 g LI 2 2du = - 石 — — 广 ? dll ., 0 l - II 2 。 1 - 矿 没 =-'!..j!.. + ln(2 ＋忒） 2 2 区（1999，一（4) 题，3 分）函数 y = 工又了． 在区间（卢享）上的平均值为 . 瓦＋ 1 答哀 12 穴． 斜析 由平均值定义知 -y = l l . E ' - 3 二 工2 中＝ （1 ＋石）I: § 工： d.r 吾 I _2 “一 - 二 2 157 •令 .r = sin I ，则 d.r = cos tdt f; I§ y 二~d.1 ＝ 厂: 听tcos fdt = f 上Cl - cos 2t)dt =王Tz ~dt = Cl - cos 2t)dt = I 了 瓦＋ 1 则 y = 12 六． 上 田(2001 ，一（3）题 ，3 分）『伲＋ sin五）cos五釭＝ . 一上2 笭哀 亢 一8 ． 斜析 由于 x3co:s气为奇函数，sin五cos五为偶函数，则 厂口＋ sin五）cos2工d.2.· 2『sin五cos2 = xdx 号。 2j弓sin五(1- sin五）d义 = 。 = 2（上 ． 王＿立 ． 上 ． 王） ＝ 王 2 2 4 2 2/ 8 臣(2005,3 题，4 分）I 工d工＝ 。 (2 - 工勹 J了二 烙分K —穴 . 4 斜析 （方法一） 由千被积函数中有 J尸了了，考虑三角代换 x = sin t，则 d.r = cos tdt . . 『 。 (2 工 r2) d工 二了 ＝ 』 令 sm s mIC勺O）~ cIo s cit = I。 了 2 Sln l - (2 - I - sm2fdt __ =I+: ~ =-aarrccttaann ccooss tt :~ 王 o 1 CCO0SS 2 i' , o 4 『如＂ ＝『令d工2 （方法二） 。 (2 - x2) ✓厂＝了 。 (2 - 工2) jf=-7 令 J厂＝了 ＝ L．则 工2 = 1—t2 ,d.2..2 =— dt2 l_ d 2 - -1 I 2 又 二＝ I 。 l 2 dt2 l dt (2 -.l2) (l + ti)t =Io l + t2 = arctan I I = —六 . 4 0 v 因(2005,17 题， 11 分）如图所示，曲线C的方程为y= j.（x)，点 (3,2) 是它的一个拐点，直线k 与 l2 分别是曲线C在点(0,0) 与(3.2) 处 132 的切线，其交点为(2,4)． 设函数 f（上·)具有三阶连续导数｀计算定积分 『(.T2 ＋ 立广（又）d工． 。 分析本题要求的是幕函数与 J釭）的高阶导数乘积的定积 分，通常的做法是用分部积分法，并从图中得到 J釭）的相关导数值 2 3 4 x 。 • 158 •和函数值 斜由，｀气(3 .2) 是曲线 y =．I(J) 的拐点知（＇（3) = 0. 由于直线 h 与 [2 分别是曲线 C有 ，点(O.o) 与(:) .2) 处 的切线 ， 且 巾 图 中不对l行 出 直线 ll 与/2 的斜率分别为 2 和 － 2 知 ． /'(0) = 2._((3) = -2. 11.111 1刻不难行1,Il / (O) = 0. f (3) = 2．则 [! 『口 ＋.r)j飞）山 ＝ (i·2 +.r)d.f飞） = (、1.2 .r) /'(.i·) ! —J:: (2飞． l)广（、r)如 II () =—『(2x-l)d/(x) I: 2『/'(.i-)d.T = - (2x + 1) J'(.d + =-[7X (- 2) - 2]+ 2f)五）d义 = 16 + 2j（义） - L6+2(2 -0) = 20. 【评注】 本题是一道微积分学的综合题．主要考查分部积分法和导数的几何恋 义． 与 一般题不同的是，本题中 J(.r) .J'位） ．广(.:i) 在相关点的值不是直接给出，而是隐含在图形 中，考生的错误主要是两种 ： (1) 有些考生误认为 y = JC.x) 是三次曲线 ．从而假设 y = a.2·3 +b工2 +c工 ； (2) 由于概念不清，J＇(0) ．f'(3) ．广（3) 求错． I `1. a rcSI I1 1- (2008. 17 题．9 分）计算 I - d工 。 二 斜 方 令 1 一．、in I ，则 d.r = cos 1d1 『{ dl闪¥d.z· = .r 闪~ell ＇，尸 .J" cos/ r = j卢八in~tdt = (f-~)dt - I -, l - － 勹一心n2l 4 4 J,, 'II . , , ,_. . : _. ~ , , II :• , ' ( 1 r 三2 ＝ ＼－勹 I ＋订 sin 2tdt 牛 -元 - —1 . 亢2, l = cos 2 ＝冗＋了 I 16 8 ,() I -l、2a rc、lll .l d立 ✓1 -.l'- = j'I (.1. 2 - 1) arc、in 1 + a I CSl n 又d.r . u 二 I = - f (二arcsin.r)d贮i..L 『 arc卜lll .1 d.r ,· . J 0 二 159 •=-.r( 二arc、in.r) I I 十］I（ .—.r' , a resin.i· 十．1．)小 — 上arcsin'.r l1 c · J,. \ J ✓ 1 - .r' r·· 2 ＝－『矿~d.rl一 上 十 王 8 . ， 二 2 . , 移项得 2[ I ` r _ - , a - r -- c - S . : t n.1 d.r = -l ＋ 王．则 看 28 『卢rc5II1 1 (h ＝ 立 十 上 I) 二 l6. 11 四、变上限积分函数及其应用 困( 1987． 九（4) 题·4 分）设 I t『j(t.1）d.1．．其中 贮）连续 ．， ＞ O.t > 0．则 l 的仇 = 。 ，＼队1y！千 1· 1 (B) 依赖于 s.｛心 (C) 依赖千 l，父，不依枚 l_．, (D) 依赖千＼不依赖于 {. 答泉 D. 斜析 令 t_r=u.则 td工'= du I = J:J(u)du () 显然 ． 1 只与 s 有关 ．故应选(D). 氐，1988，一（3) 题，4 分）设 f(.r）是连续函数且rj」 I 1 .f(t)dt = x.则 J(7) = 。 （此题有误，满足条件的 J(.1) 不存在．可将题 中条件改成r-l J(,) d, = x _ I) n 1 答点 . 12 , I 斜析 等式［ j. (I) dl = .t' 1 两端对？求导得 。 3.T~J(x-1)=1 = 上式中令．c 2 得 12/(7) = l 贝lj IC 7) =— 1 1 2 . 氐矶 l988，七越' 7 分）设？ ~- 1 ，求I (1 - | t I)d! I 斜 浒 － l 冬 .1:< O 时 IJ I1 ½ (l - | I I) dl - 1 (l - 1) dt ＝ 告（l 仁 I)- I'I = (I - _r)~ 当 r ~ O 时 l. I.r1 ( l - 1 |)dt = 1 ( l + I)d［ 十[Cl - I) cit = l - 告（l — r)2 I: ll 区3(1989，一（3) 超3 分） 仙线 y = J Ct - l) (I - 2) cit 在点(O.O) 处的切线方程是 , 。 笭点 y=2，飞． • 160 •斜析 所水切线的斜牛为 I y I = (~1. - 1) (.1 - 2) = 2 ', l r二0 则所求 切线方程为 y = 2.i- I e 回(1990．二（4）题 3 分）设四）是连续函数且 F(_1) = J(I)d(，则 F'釭）等千 , - (A) - c 'j (e ` ) j (1). {B) - C 丁(e')+J釭）． (L`) e' ／、（e T) - I (1). (D)e'/ (c-')+Jc.1). 笭哀 A. - 娇·析 F飞1·) = /(e')(-c' ) - J(.1.) =— e'./ (e-' ) jU) ，故选(A)， m( l990．六题 ．9 分）设／（？）＝『二d1 ． 八中 、r>O，求 f(x) 飞） 1 l - 1 I f(了l) ＝』、上 气dl 人 ` 、 , I ~ =- 』:／ 三）d 斜 （方法— ) u =』.＇ ln u cl — I ll (1-Ixu) 则 j(l） 一 J．(:)＝ 'I — n I -dI ln I d1 ＝『卢 I ] - / I I (l ..L I) -·· J I I l = _2I l ? ! = — 1 In气－ 2 + (-1 ) ，二山 十厂 二 （方法二） 令 F(．l) = jQ) j = + + d/，则 .:i· 1 l 1 -·· ' J 1 1 t 1 In 一 卢() =In I _ ＿气－ 上）＝ 二 1-工 l+ — l ｀飞．一', .1.. 止l. 则 r (l) = ］ 二 X - h · = 上 2 In气＋ C = 义 FCl) O,则（，＇ ＝ 0. ] F(x) =—ln'.r 2 C1 99 l ．二（2) 题 ．3 分）戊函数j.(J) = { l 2. O 冬立冬 1 ． 记F(x) = J/ et)dt,O~ 2 - .r. l < 工冬 2. - Jo 、!' ,s;;; 2. 则 立 3 . O 冬义飞冬 I . (BF((xD) __ , V x 立 3 , O 冬 又· < 1, (A ) l j、(t) = 1 - + 2 1 立 2 . 1 <又'~2. 丿、 一 _ 6 7 + 2 几 2 2 x _ l < x ~ 2. 3 、 ,立 = 匡 3 ． 0 冬立冬 l. F( ) __ V 3 . ? 0,s;;,1',s;; 1, (C) F(已r) < ＼ 2 r_2 ·' ＇ . — t +2.r· -—.( ．今 · l < .1-~ 2. 1 , 1 <.'.l.~ 2. 3 2 』 161答孚 B. o< l< ` _r- . l 斜析 （方法—) 甘l j.( I) = { — . ｀ 知 2 _r. l < 3飞s;; 2 ., j 1)=j.oj、 (l) =『 1 』) 0 冬 ．1 冬 l 0 ~ .1 ~ l F(. dt t d t j。广cit 十J: C2 - t)cit. 1 < .r < 2 1－工 + 2 ＿ .1. 三 l 2 。 x x+y=t ,1 < <] 1 所以 ,兰 。 [ 几 廿寸 L 1 ·.,工t 了1 t,2cl,t =尸 S(t)dt = 当 l < x 冬 2 时， (-f 『S(t)dt =［ 十'dt 土r + 21-l)由 .13 0' 1 =－— -工？ —工 十 — 6 3 当 x > 2 时， I: 』~ SC1)d1 十I: S(1)d1 = ldt = .i: - I O~ .r ~ l = 『一 千·3...勹L ~-I+½- ~ 囚此 I:S(I)dt j < .I 2 .1_、一 ］ ． x > l f: r 回(2000．六题，6 分）设函数 S(.r) = I cost I dt. 。 （］ ）当 n 为正整数，且 1/穴 < 工 < （11 + 1压时 ，证明 211 < ．S(、r) < 2(11 干 l) ; (2) 求r-li..m.~: ~S(立分 . X • 164 •钮 (1) 因为 I cos.l 多 0，且 n亢 冬 3·<(11 + 1压，所以 j ” | cos 立: I d.)_ 冬 S（心冬 I。( +1l, | co、 .)_ I c1立- 义闪为 I cos.r I 足以 兀 为周期的周期酌数，则 厂 I cos.1 I d.r = II [ I cos X I cl.T = 211 • o r•·l)干 I co、 .1· d工＝（71 /)':『 | cos 工、 I I + dr = 2(n + 1) ./ 0 < + 因此，当 ，l六 冬 3 (/1 l)T LI寸， 211 冬 S(、d 1,.1· 0、 J(.1·) = ~。,r = 0, < 1, T O, > 00 』I'ldI, r ,Yx ' ,. x> O 则 F(r) =『仄l) dl = l0 (1. 工 = = 0 ..l: = O= I.1 I 是一个连续的偶函 I: 工 < 0 1 , .1· < O o ,1 (- ]) d I . 数，排除选项(A)(C)(D) ．故应选(B)． （方法二） 利用变上限积分函数的两个扯本銡论 ： r· (1) 若 J釭）为[a,b] 上的司积函数，则[.IG)d1 为[u.h] 上的连续函数； " (2) 若 J釭）是奇函数 ．则[f(1)d1 为偶函数；若 f(.1) 是偶函数，则[1c,)c11 为奇函数． 。 由于 J釭）是奇函数，则f:工J(t)dt 为偶函数． 。 义 j(．1) 除 .1· 0 外处处连纹，.1· = 0 是其第一类间断点则 f釭）可积．从而『八I)cl［为连 = II 续函数 叫'f(I)dt 为连续的似函数，故应选CB). • I I 【评注】 本题主要考查变上限积分函数的性质． （方法二） 中关于 变上限积分函数的两 个基本结论比较常用，望考生注意 匝卧2007,17 题，10 分）设 f0) 是区间［0．王］上的单调、可导函数，且满足 4 厂r) f· 1 (t) dt = I'1 co、 i - 、In l dI o ·' ·-·-· Jo. sin t+ cosL 共中 广 是 f(.x) 的反函数，水 f(x). 分析 题设中给出了关千 J(3) 的变上限积分等式，通常是等式两端求导 ，然后韶出 J丘）． 斜 等式厂尸 (1)cl, = J> ~由两端对．1 求导，得 o o SIn l 丁 cost 尸 [J位）］f'釭） ＝工 cos .1· 一 SII1 X sin .1· 十 cos 义｀ n .r 且 3 J ,/ (｀I·) = 义· CO . S 几·— SI sin .r + cos.r [o,f J` I (1·) = COS 义· -sin 艾 ,.1.· E sin 父· 十 cos 立- 则 卢） ＝ j． cos x - sm r dx = ln(sin x+ cos 又）＋ C sin -1· 十 cos 工 由原题设知『(0)厂 (t)dt = 0. 因为 IG) 是[o,f]上的单曲可导函数，则厂 (I) 的值域为[o,f] ，它是单涸，非负的 ，故 必有 /CO) = 0，从而 j飞(0) = lim/釭） = lim[ln(sin x + cos x) + CJ = C = 0 工--o • 169 •则 归）＝ ln(sin x+co、 .r) .x E [O.于J 【评注】 考生的主要错误有 (1) 变上限积分等式两端求导出错； = (2) 比较多的考生只求出了 J缸）的一般形式．；支从已知等式求出 f(O) 0．从而没确定出 C. 五、与定积分有关的证明题 m( 1993．八题 ．9 分）设 j'（｀t) 在[O.“] 上连续且 /(0) = 0证明 ： I [j(.,·)dx \ ~ M矿 . 2 其中 M = max I / (x) I. 此x,;;;，' 釭 （方法—) 任取 ：（ E （O.u] ． 巾拉格朗 日 中伯定埋知 < <.r> f(.r) = f(.r) - f(O) = /（扣 (0 f; L 所以 ！Iuof(．t一）d.:i·\ I[。I＇炵）过_1· ~ I .1小 ~ MI：如＝沪' = \ I J'(f;) ` (I （方法二） 设．,· E [O.a] , 「1-1 f(O) = 0 知 『('C1)d1 = J位） - ((0) = J釭） () 则 I d1~J。rMdl f(x) I= \J:f'c1)d1\ ~t I /(1) = M.1 于是 ！ I尸叫勹: J<.:i一） d.1 勹0M心 ＝ 竿(J I 区】（l994 ．七题，9 分）设 f.G) 在[0,1] 上连续目递减，证明：肖 0 ＜ 入 ＜ l 时， I入f(.:r)d又娑 入[m一）dt 社甸 ( 方法一 ） 令 `t ＝入1 ，则 d.r =入dt 、、二 『nf(t)d1 ＝ 入『四）cit = 入『四） d.l. ` 巾千 O < 入 ＜ 1 ．j.（r) 递减 ·则 f（心） ? j釭）． 从而有 f.（杠）如多寸．f (?) d r 即 『(C.r)d血r 彦寸(C.dd.1 （方法二） 「h千[.f位）d.r =『(<.:r)d.1 + [ J (t)d)则 I: f(1：）心－寸；J (1) d l = (l －入）］:/(x)dx -寸r（.1）ch = (1-入）入／（~I) 一入(1 -入）．f(已） 这里用了积分中值定理．其中 Q < ~I< ),.), ＜ 乞 ＜ l 由千 f口）递减，则 f(8) > j伶） ．故 / I:『I釭）d工娑入Il G)cl I （方法三） 令中0) = I勹(.:r)山 －寸f釭）山 （0~ 入 ~ 1) .则 • 170 •臼）＝ fQ) - I IJ(l)dr = ［Q) －阳） （O < 巨 I) :s.; 巾 于 f（飞·)递减 ．则 当入 C(0.8 时 ．砑（．I) 多0．中(,i.) 递增 ． 当 入 e 符. l ) 时 ．cp'(.,-) 0. cp().) 递减，则 中Q) 在[O. )] 上的撮小值必在区间[0. 1] 端点取得 ．又 中(0) ＝ 中(l) = 0 即当 入 E [O, I] 时，cpQ)~o原匙得证． m(1998，八题 ，8 分） 设 y ＝几）足区间［0, l] 上的任一非负连续函数． (]) 试扯存在 To E (0, 1 ) ．使得在区 间[O•.1·0] 上以 j(.r。） 为高的矩形而积． 等于杠区间 [.,n • ]]上以 y = J釭）为曲边的曲边梯形面积 (2) 义设 f.U) 在区间(0.1) 内可导 ． 且 f'G) >－ 红尸」证明( I ) 中的 m 是唯一的． 让 ｀月 （方法一） （］）设 F(.1） = 1『J(I)也则 FCO) = FCl) = O. 且 Fm = IJ].[C 1)dt - 可飞）． 对 F(1) 有[0.1] 上应用罗尔定理知．存祚一点 1, E (0`1) ，使尸（义，，） = 0．因而 『们）山一1i)J (31 ) = 0 ,.( l 即矩形面积 吓／（1(）） 等于仙边梯形而积『 I(.1)d1. " (2) 设 沪） ＝ J>-(1)dl - 习（」） ，则 当．r E (O,l) 时有 cp'(.1.) =- f(.t) - J (」) - .1f'(.l) < 0 所以 cp釭）在区间(0, 1) 上单悯减少 ．故此时( 1 ) 中的 m 是唯一的． ( （ 方法二） （l) 设在区间(a. l) a ?': 主）内取 r1 . 若在区间[.11 ,l] 上 f(x) == 0,则(.1.I • 1) 内任一点都可作为 t, ．否则可设 f(立) >0 为连续函数 f釭）在区间［庄 ， 1］ 上的最大fi'1 ..1．2 E [.1 1]. ] , 在区间[O,.-r,] 上 ，作辅助函数 p丘） = j·1 f.(t)dt 一订(t) ，则 叭1) 连续 ，且 cp(O) > O, 义 卢）＝『知）dt - 可(32 ) < （I — 年） /.(1:2) < 0 气 囚而， 山 闭区间上的连续函数的介伯定即 存有权 ro E (0,.T1) C (0.1) ，使 队？（， ） = 0, 即 .[, ,I J. (I) d t = `7,) J (1,) (2) 证法同」二． 应1(2？000.八题 ．6 分）设函数f．(x) 在[O．六］ 上连续且j j、(.1_）d.1_· = 0.I 六 J (i)co、 .1d.1. = 0 , I 0. 试训：在(0顷）内至少存在两个不同的点名 ｀仑 ·f史 f依） = J.伯） = 0. 奸 （方法一） 令 F(.1.－） = I:.j(t)dt.0 冬 l 冬 穴，则有 F(O) = O,F(n:) = 0 义因为 0 = IOf (t) co.., ? (I] = j.,，cos.1．clF（工） = F(x)co、 3 1 : -t-j.“F(.1.）sin 心 。 = J:F(x)sin .nb 。 • 17 l＝六F(:凶n 5· (0 < : ＜ 亢） 邓＼n~ -=/=O．则 F伶） ＝ 0. 由此可得 FCO) = F(~) = F丘） = 0 (0 < ~ < 妢 ｝对 F(义）在[0.eJ．住，叶上用罗尔定理知 ．至少存在 5I E (0.6) 令 E (~.六） ，使 F'年） = F＇年） = 0 且 j佑） ＝ j知） = 0 （方法二） 由积分中值定理知 0 = f:.1.(义-)d`l ＝ 亢／．（名） (0 < (1 < 妢 = 则 f($1) 0. 若在(0．的内 J釭）＝ 0仅有一个实根 1.· = $1 ．则由I-f釭）心 ＝ 0 可知．jG) 在(0.6) 与($, . 六）异 吵．不妨设在(0,8) 内 f(x) > 0．在（＄1 ．六）内 J"C:i-) < O，于是再由jrf(.1.）cos :i·di- = 0 及 cos.1. 。 在[O．六］ 上的单曲性知 0 = 『八r)[cos x - co、 $1 ]cl飞 。 I:, = I:1 f口[cos x - cos 名 ］dx + f位）[COS X - COS 名］d工 由 1：：这坠Iei j (.1、)[COS.1.· - COS ~I]如＞o.[ J(.:r)[cos x-cos 名］釭＞0. 上式左、右两端矛盾， 。 勺 从而可知，存(0，六）内除名外，J．（.1.） = 0 至少还有另一实根仑． 故知存在 $1 名 E (0，六） ．且$1 =I= 令，仗 f(6) = J.（名） = 0. 田(2001 ．十题 ，8 分）设 J(工）在区间[-u ,u](u>O) 上具有二阶连续导数 ． ．／（0) = o, (1) 写出 j.（心的带拉格朗日余项的一阶友克劳林公式 ； (2) 证明右[-u .a] 上至少存存一点 TJ．使 矿J飞） = 3］/「 CT)cl工 /: 斜 ( I ) 对任意工 E [-a.a] . .J. 卢）＝ f(O) + /(Oh 十 I1,.J. 2 =.['(0):r + 2 其中:在 0 与立 之间 I (2) J.(r ) d T = I 厂(O归d t + ]“ f'代）立'2d立 2 ! -o -u = J__『, j“(E)J2 心 2 .“ 因为广（心在[-a ,a] 上连续 ，故对任意z-E [-a ,a].111::::;:;/'Cx):::;:;M，其中 M.m 分别为广釭） 在［一 c心］ 上的最大值和最小值． 所以 叶：T？dx < ＋』”".12j飞）d工< MI:1, d1 -I 即 m < J (．t)cl又 :::;;M " 一u 囚而巾／飞）的连续性知 ，至少存在一点 77 E [- u.a]．使 厂） ＝ 气．f釭）d工 “ ?．广(T/) = 3『, J (．2气）也 即 (l ., " 172 •, _ 反常积分的概念与计算 丿、、 区'(1991 .一(3) 趣3 分）［ 皿心 ＝ . .. I .1 l 冬孚 L· f· 1 宁d.1.: In .1气＝－宁／士 ＋』 斜祈 = - -了dx X- ＝－ 气 = 1 11 立· 四(1992，一（4）题，3 分）［ ~+ = . x(.1..2 ]) 1 2 癹，导、 _ I 2 n f. __ [ ] 纤祈 原式 （l工言言．，归＝ In x 一占ln(l + 工?) 1 1 = 1n .1 ' !- = 1n 1 - In —1 = -1 In 2 v11+711 投－ 2 应】（1993， 三（4）超5 分） 求『 3` d工． (1 +.1-)-' () I I. ( 纤 原式＝ .. ： 言勹Tcl.:r =厂［（l +l -r)2 —(l ; x)3 ch 。 l - 1 + ' J I。 2_ 1 + .1呻 2(1 + .1、)2 应量1997．一（4) 题，3 分）l．1. d.1' = ., 0 3、2 +4.1·+8 王 恣孚 8， 斜析 原工飞 __． 心 TU d1 =』｀ ; d(.1_·+ 2) =— 1 arctan 工'+2' . 4+Cr+2)2 Jo 1 + (上· + 2)2 2 2 l o =½（孚 － ¾) = 骨 曰(1998，六题 ．6 分）计符积分］兰 山 主 ✓I.l· -.l.2 | · 斜 T = ] 为被积函数无穷间断点，则 I 4 I . 原式 ＝ d1- 心 ...L 缸 ] Il I1 专 4二］二l d.1 = J + - cl.1 = arcsin(2:i· - 1) =卫 十二 + － 告）＇ 了 2 (.,I l I主 ］二 ~ 』 = 今 clr = In「 (-r- ½)+f(.r—十）飞］ I ~ = ln(2＋瓦） l ｀勹） -4 • 173 ·因此厂 d工六= ln(2 ＋戎）． 1 2 ✓ 1 .1 一义、2 arc m(l999， 四超6 分）计箕 tan 又． d工． • 2 'I .l @原 （ 工 飞 II ` , l-X . .I , cl , o 则求面积最小值为 I: s （言）－ （一 .1..2 于 I)d.1· = 点（2 瓦－ 3) 四0988．二（4）题 ，4 分）「h 曲线 y = sin今辽0:;;;;.1_< 六)与丑轴围成的平面图形纪轴 旋转而成的旋转体体积为 4_3 c (A) — 4 . ( B) 六 ( 、丿 2 一 穴 2 . ( D) 2 一 六 3 3 3 B 答点 砫衬 所求体积为 ½ v.r =六Io.)'2山 ＝ 六］． c而过．r = 2寸:sin3xd.r = Zrc • =千 故选(B)． 匹】(1989，三（3) 题，3 分）曲线 y = cos 工（－ f 冬 x 勹）与 x轴所围成的图形 ，名炉轴 旋转一周所成旋转体的体积为 c ( 2 工 (A）互 2· (B)六． 、丿 2 (D)奇． 答 孚 C. 二 二 研 析 所求体积为 ½· f V = 亢厂＿cos五cl.x 2寸:cos五dx 2六 ． 差 = = = 故选(C). 四(l989，八题 ，10 分）设抛物线 y = a义2 十缸＋c 过原点 ， 当 0 ~ 又桑 1 时 y >O，又巳 1 知该抛物线与 工 轴及直线．1、 ＝ 1 所围图形的仙积为一． 试确定 a ,h,c 的值．使此图形绕 ．2 轴旋 3 转一周而成的旋转体的体积 V 最小． 斜 由抛物线} （． 过原点可知，C = 0. （u工；二：d二． '奇＋ = 十得 I丿 ＝ 长 － 砂 j: § \ S = V ＝ 亢I:如？十如）？d.1. ＝ 六（扣＇＋ 譬 ＋ 产） ` l 1 4 ＝ 六［了“: ＋ 了"(] -a) 十万(1-a)2 ] = 71:（占＂2 _ 护 ＋卢） V,，＝ 六（古 飞） ＝ 0 5 3 得 u =-—4 ,.(..) = —2. V'（三－）＝旦＞ 0 4 1 3 5 176:i '3 所以， 当 u =- —.I) =_:_ 时 ． 体积 V 品小． ,l 2 匹｀1990泗趣9 分）在椭圆兰＋立＝ l) l 的第 象限部分上水一｝，li P．使该点处的切线 ． u -' > 椭圆及两坐标轴所II」图形的面积为最小（其中 a > 0.h 0). 斜 设 P(.111 •.Y,，) 为所求},'.~，则此，欢处椭圆的切线方程为 丑~ -竺 _;_; I b- (1 - l) : 令 r = 0 得该切线在 y 轴上攸距为一． 令 y=O 得i亥切线在？ 轴」＿攸距为巴 y， 工。 所围图形而积为 S = 1 - a - · • — I/ - -1 穴ab •Xo E (a,h). 2 义， y,, 4 ', 设 51 =.l心 = ah 立 — ·L, . ¥ 《 u/）（五－ 2 勹 ＝吆 (1 b 2 矿 Ir 2 七式等号成立 即 S1 达到显大值当且仅当~=~．又竺—义＝ l ．则丑 ＝ 亚＝ —l o l) ( r b2 矿 矿 2 ． 由此 I) a 飞，l =—, y,I = 迈 迈 此时．s, 最大 ．S 鼓小 m(1990上题 ，9 分）过，仅 JJ(1 .O) 作抛物线 y = ✓了＝了 的切线 ． 该切线与上述抛物线 及．r 轴削成一平面图形 ·求此图形绕｛轴旋转一周所成旋转体的体积． 斜 设过点 P(1 ,0) 作抛物线 y = 石一万 的切线的切点为（五 ， J5二了） ，由 y'= 1 得·切线方程为 y — '一二了＝ l （l 一义，））． 2 勹 2 J.二 此切线过点(l .0) 畸 即 I 0- ✓言勹＝ （1 - 工，，） 2 ✓二 礼i.r, = 3. 则切点为（3. I ) . 切线方程为 y = -1 (`r —1) . f足 2 = 六f, 十（l － l)勹d.2， 一 」2 (石）2山·= f V, 皿(1991 · 一(l ) 题 ．3 分）丿见队以 /sin 12 米 ／秒做白线运动 ·则从时刻 l1 = ✓三秒到12 = 2 石 秒内质点所经过的路程芍丁 米． 1 答孚 一2 ． 斜析 由题，心知所求路程为 I~闪n =— 宁co~ I~ ＝－ 主(-1 -0)= ½ = t dt t~ 皿(]991 ．二（5) 超3 分）如右图 ．｀I 轴」一的 线密／艾为常数µ • I:: — l | a-1 > o m 长度为 I 的细才1 .41一质显为 m 的顶，I,I,I，到杆右端的距1,勾为Cl' 已知引力 系数为 K．则屈点和细杆之间引力的大小为 • 177 •（A)『。 三 (B)『二鸟 一(U - ~t) o (a -.1、)2 I (C)『三 (D)2『三 －专 (u +义·):· ＇， 位十工）2 答点 A. 尸 1 ---+-（1- I I I I • x ~/ xx+dr O m 奸析 如右图建立坐标系 ，则区间［义心＋心］对应的细棒对质 点的引力近似吟千 dF = 也坚也＿ r (a -工）2 则所求引力为 F = tf坚归 I I (a -.2·f· 皿(1991 ． 六题，9 分） 曲线 y = (.1·-l)(x-2) 和（轴削成一平面图形，求此平面图形绕 y 轴旋转一周所成的旋转体的体积 斜 曲线 y = (x - 1)(.r - 2) 如右图，所求体积为 V y=(x-1)(x-2) 2 V=2六』i- I c.1· - 1) c x - 2) I d.1 x ·, 勹 ～＇ = 2亢j `t·(3 - l) (2 - 3 d.i. = 王 2 1 颐(1992 一 （5) 题，3 分）由曲线 y =.re`' 与直线 y = e立所 11月成图形的面积 s = e_2 l 答哀 奸析 女II右图，巾霆＝ c工得两仙线交点为(0.0) , (1 ,e). y JF=XC' 则所围图形的面积为 y=C.X S= 『（e.T 一 .1·c' )dx 。 （尸 － .re'- I: ＝ 享－ = c' ) ] x 。 口卫1992， 六越9 分）计算曲线 y = ln(l - x2 ) 士相应于 0~ 义 < 上的一段弧的长度． 2 利用弧长计符公式 ．，＝『汃言勹万血，这里 斜 ·'" y = — 2工 ., 1 -.t + ,, + 4正 (1+ : 工2 )2 l y·'= l ~ = （］ 一 ．1·2)2 (1 _正）2 I j_ ＼贯三了也 ＝ j. 三山＝ 2 —1勹'l)归 则 \ = = 2f--\- d立～ － 』 ＝ ln2 厂－上＝ ln 3 － 上 0 1 -．产 2 ... 1 —义 r 2 2 晖(1992，七题，9 分）求曲线 y ＝石的一条切线l ，使该曲线与切线 L及直线工. = 0心＝ 2 所削成平面图形面积最小． · 178 •斜 如布图 ，设切，从为(I .，) ．则 }. y＝吓 l y = 2 石 曲线 y= 石－在点(I,') 处的切线力程为 2, y -.[t ＝ 上G· 一 {) 。 2 X 1 ' .—[t 即 y=~ 2, 1 [(" · + . 2 曲线 y = J; 与切线 l 及 r = o.. i · = 2 所围成平面图形面积为 S(I) ＝ 『 ［上1 一 五 ＿ 石l ＝上 ＋打— 玉 "l d.1 2扩 2, 3 ..)、I(I) ＝－ 上t + ＋上－令 2 - '2 令 S1(I) = 0，得 I = l. 囚为 S11( 1 ) > O．故 1 = 1 时．S（l) 取最小伯．此时． 切线 I 的方程为 y= 土2 ＋. －2. -] 11 屈 l :4_疫 也可山 沁） ＝ ＋石－ 一 ~ 2 了 ． ＼斤＿ ＼斤 3, 3 可知 ．t = l II寸，S（I) 最Il 【评注】 由于抛物线 y =,/;；与 3 轴及工＝ 2 围成图形面积是定值，本题只要切线 l 与 两坐标轴及．r =2 所围梯形面积最小即可 皿(1993．五题 ．9 分）设平而图形 A 巾 伞12 十§ < 2i· 与 y 娑 t 所确定 ．求图形 A 绕且线 x=2 旋转一周所得旋转体的体积 斜 （方法一） A 的图形如右图所示·取 y 为积分变队 ．它的变化 )' 范围为[O. l]．两条边界曲线方程分别为 .r = 1 一 二,.l'= y y+d)＇|-金 y - 于是相应十[O, I] Ix间上打一小区间[y.ydy] 的池片的体积微兀 x 为 。 dV －忨［2 - (1 -看二了）］2 _ 亢(2 -yf }dy = 2六［二－ （y- ])"]cly 千是所求体积为 V = 2寸 ［汀了－ （y - ] ）勹dy , l |r1] = 2六［了六 一 了］ (y-1)j = 2亢尸 － 勹＝豆二 ~ 3 J 2 3 （方法二） 如右 1冬I ，取 ．1 为积分变拈 ． 它的变化范闱为[O . 1 ] .A 的两条边界仙线方程 分别为 • 179 •. y= ✓2.r - ~1 2. y =工 \' 于是相应于[0,1] 区间上小区间[.1立山］ 簿圆简的体积微元为 clV = 2rc(2 - .TH ✓红－ 7-x)d.1 V =2』:(2-.:i:)( 亭－ ·1) d工 0 I xx＋也 2 X l. I =2六[I0 平二如＋计。(2 - 2x) 平二飞－I(2x - .1·2)d又］ f) =2打＋ +( 2x －产）+I 。 — (义.2 _ 11 l ] t =2飞叶 － 亢－ 2六 2 3 B y 回(1994 ，三（5）题，5 分）如右图 ，设曲线方程为 y=.x2 + 上，梯形 2 OABC 的面积为 D ，曲线梯形 OABC 的而积为 D1 ，点 A 的坐标为(a,0) , D 3 a >O｀证明 ：D—1＜ -­ 2 . 。 A(a,0) x 吐 趴＝ j飞。 (.1.＇＋ 告）釭 ＝气 ＋ 孕＝ a(2a?6 + 3) 沪－ （主 ＋a2 ) a(l +示） D = a = 2 2 D 3 矿＋ 1 3 则 <— D1 2 +—3 2 u2 2 口岱1994，八题，9 分）求曲线 y = 3 - I.T2 - 1 I 与 x 轴围成封闭图形绕直线y = 3 旋转 一周所得旋转体体积 ___ --~-___tr __ ~----__ _ 斜 如右图 ．AB 的方程为 :y =.~.:于 2 (- 1 ~ X 冬 l ) .BC 的方 程为 y = 4 - ．1.2(l< 工冬 2). 设旋转休在区间[0.1] 上的体积为 V1 ，在区间[1,2] 上的体积为 c V, .则它们的体积元分别为 clV1 = 刓32 - [3 - (.r2 + 2)］勹d立今 -2 -1 2.\. clV2 =刓32 - [3 - (,t - :产)千｝d立 V = 2(V1 + V2) = 2亢L{32- [3- 旬＋ 2)]2 }clx + 211:f (32 - [3 - (,J —.22)]i }d t =2六J:(8+2.J._2 _ .1I)d.1 ＝詈六 皿(199;;，二（2) 题 ．3 分） 仙线 y = :i.·(.r - 1) (2- 上·) 与｀r 轴所闱图形面积可表示为 J:-1釭. (2 —立d.i. (J\) - - 1) (B) [玉-1)(2 -工）d 1 - I:J釭 － ]) (2 -x)d义． • 180 ·(C) - 『I .r C.r - 1)(2 - T) dx + I .1. C.T - 1) (2 - x) d.r. 叫： ; （2 - 1)dx 』 t 11 -l) c 虹 ＼三三＼ ＇ 吓 曲线 y = x(.1· - l)（心r - 2) 与｀T 轴所围成图形如右图， 则S =-L.r釭— l)釭 － 2)d几～十I/~t— 1)(工· 2)d工 - — 血(1995．三（5) 超5 分） 求摆线 {.1.= 1 cos I, －拱(0 冬 1 冬 纭）的弧长． y = t - sin I 社 d T. d y 7) 7cit = .s.i..n. l-,. 一cit ＝ 1 - cos t，所以 ， I+ 小 ＝ ✓叩'in2 (f=c:os t)气l/ — = ✓~dt = 2sin I ell (0 ,,,;;: I 冬 纭） 2 从而弧长 1 = 『'2sin_! 2 _ dt = 8. I) -····· 1 肛日1996．一（5）超3 分）由曲线y = .1..+-,.1. = 2及 y=Z所围图形的面积S= . 1:· 1 釭 In 2- 一． y 2 二 吓l /= 1 --..: 1 , .贝ll 2 立．｀． ' ' ' ' 当 1,E (0可 ］） 时，y' < O,y 单洞递减， ': ': 当 XE (1 ， 十=)时，．y／ > 0,y 单调递增 ', ', y(l) = 2 。 l 2 x 则所求面积为 r (x + 上 — 2)如＝ ln 2 －卓 S= 1\.r < < 肛（］的（i ,二(5）题，3 分）设f(x) ,g(x) 在区间[u,b] 上连级 ，J3. g(x) /C.1) 111(111 为 常数） ， 由 叩线 y=g位） ，y = I位） ，.r = a 及立· = f) 所围平面图形绕直线y = 111 旋转而成的旋 转体体积为 气式2111-f红） + g(立］［f(x) - g(x)］也． 气式2111 -f妇·) - g(1)]［贮） - g釭）］d.,, (C)I:T[m - fm+ g(~1)][f( t) —gC.r) ]d工 y ~ l!1 叫言，II - _f位） — 心）］［J釭） - g位）］归 " ｀丿 萎豆 B. （砫折 如右图 ， 区间[.r,x + dx] 」对应的体积微元为 ; : : y=g(x) : 。 a x x+clr b dV = 六[111 - g(x)]2d义. - n:[m - ./一（．T)了d工 ＝穴[2m - f(x) - gC.d][J(x) - g(.d]d工 • 181 •V = 『rr[2m - /C.r) - gC.T)][IC.r) - g(.d]d.l 故应选(B). 肛因1996.三（6) 题，5 分）设有一正椭圆杜体 ｀ 其底而的长 、 短轴分别为 2a、2b，用过此柱体底面的短轴且底面成 a 角 (0 < a < 王）的平面截此柱体 爪得一樑形体（如右图） ．求此揆形体的体积 V. 2 斜 朊而椭圆方程为兰＋兰＝ l ｀ 以垂直于y轴的平面攸此樑 ll - I]2 形体所得截面为直角三角形 ．其一 自角边的长为 aJ厂二：，另一直角边为 (i b- 截面面积为 沁）＝差（l- 们tan a 樑形体体积为 zf: 言 —沪tan =气tan V = ocly o 旺(1997． 六题，8 分）设函数 /'Cr) 在闭IR间[O.l] 上连续，在开区间（0.1) 内大千零，并满 足矿C.r) = J(x) +袒-i·'(a 为讯数） ．义曲线 y = f口） 与．r = l.y = 0 所1-I,l的图形 S 的面积 2 值为 2．求函数 y = J釭） ，并问 u 为何仙时 ，图形 S 绕．r 轴旋转一周所得的旋转体的体积最小． 斜 由题设知 ． 当 X -:j:- 0 时 ． l j'(1`) / .(1) 3C I尸 2 .1:2 cl f( t) 3 即 .1`．]= 尸 d立一 = 据此并由 f(.r）在＿:r 0 处的连续性 ．得 3 f(:i·) = —四2 + CT,.:i·E [O, l] 2 又由已知条件得 I: 2 = `CI工2 -Cr ）小＝ 卢 ＋ 产 即 C = 4- a. 因此 /(.1·) ＝立u.1·', (4 - a)、l. 2 旋转体的体积为 r [ V(a) ＝ 六』：/ （～1)心 ＝ 1』： t釭＇ ..L (11 -a)x cl义 I 1 16 （丽矿了十 "-叶 = 巾 v'(a) = （旮 ＋十）冗 ＝ 0 1'} u =— 5．又 V飞） ＝言 ＞ o 故 a =— 5 时 ．旋转体体积酘小． 182 •肛(1998．一（2) 题 ．3 分）曲线 y =- .11 + .r'+ 2工与 l 句11所酣成的图形的面积 J\ = 37 答哀 —. - 1 2 斜析 y =-x3 +、12 + 2`1~ ＝-、I红十 1)（生l - 2) 一：三＼ 则其图形如右图 ． X 则所求 面积为 ·o s = I (- y)d.T f,'.ydT -1 =『` — -r? - 2:i.·)d.1' + 『（一 .r3 +已r2 + 2.1.·)d:i. -1 . IO 5. 8 37 ＝ 万＋了 ＝ 百 口[dcl998．九题 ，8 分）设有曲线 y= ／；二丁．过原点作其切线 ，求由此曲线、切线及．1 轴 闱成的平面图形绕．r 轴旋转一周所得到的旋转体的表面积 斜 设切点为（知 ． 57＝丁） ，则过原点的切线方程为 y = ~.r. 2~ 再将点（义。 ' /言＝了）代入上式 ．韶得工。 ＝ 2,yll = JZ二丁 ＝ 1. , (2.1) 则上述切线方程为 y = -b- 2 .1', 如右图曲线 y = ✓厂了了(1 冬 J',s;;; 2) 绕 J、 轴旋转一周所得旋转 。 2.`· 而的面积 S1 = I勹“二d:1· = 亢j一：兀二h = f(5忑－ l ) 1 由直线段 y= —`t(O 冬工冬 2) 绕 1 轴旋轧一周所得到的肮转面的而积 2 S2 = J:'. 2rr · 主:i.· . 享归＝亭 (I 囚此，所求旋轧体的表面积为 S = 51 + S2 = {01 岳— 1) 肛且1999 ．六题 ，7 分）为清除井J底的污泥， j|－」缆绳将抓斗放人井底 X 30 抓起污泥后提出井口（见图）．巳知井深 30m． 抓斗自正 400\J． 缆绳每米正 50N，抓斗抓起的污泥重 2000N， 提升速度为 3m/s． 在提升过程中 ． 污泥以 20N八 的速率从抓斗缝隙中凋掉，现将抓起污泥的抓斗提升至井口 ，问克 x+dx 服重力而做多少焦耳的功？ （说明 ：Q)lN Xlm = lJ: 其中 m.N心］分别表示米 ． 牛顿 ， 秒． 焦耳． ＠抓 斗的高一度及位于井 口上方的缆绳长度忽略不 计． ） ~ ·O 研 （方法—) 作 、．r 轴如图所示 ，将抓起污泥的抓斗提升到井口所仵功 W = W1 + W2 + W3 具中网是克服抓斗自正作的功 ；W: 是克服缆绳币力所做的功 ，昭是提出 污泥所作的功 · 由题 意知 W1 = 400 X 30 = 12000 • 183 •dW~ = 50(30 — 1) cl.1 从而 昭 ＝厂50(30 一．r)d.r = 22500 在时间间隔[1,I + dt] 内提升朽泥所做的功为 dWi = :1(2000 - 201)dt. 昭 ＝『03c2000-20,)c11 = 57000 则共需作功 W = W, + W2 + W, = 12000+22500+57000 = 91500(]) （方法二） 以时间 t 为积分变柏 ，在时间间隔[t.1 + dt] 内克服重力所做的功为 rd W[ = [400+C30-31)50+(2000-20L)]3d1 W = l () 400 + C3 0 - 31) 50 + C2 000 - 201)] 3dt = !Jl 500 (.I) 。 肛(2000．十超8 分）设仙线 y= 矿（（／ ＞ o．、1. 多 0) 与 y = ] - .1 交于点 A．过坐标丿京 点 0 和点A 的直线与曲线y = m2 围成一平血图形间 u 为何值时． 该图形绕 r 轴旋转一周所 得的旋轧体体积最大？品大体积是多少？ ., 奸 当 x 多 O l-I寸 'rh {y y = = a 1 . r - - .,· 一 ' ， ' 解~ '" ,.得, , L ., , - t - = /f+ 1 7i.., y = 1 +a Cl ．故心线 OA 的方程为 y = Cl立． 二 旋转体体积 V = 亢I产（言，＂— u 1 )山 t ＝ 穴[3( l + ＿子］ CI u)J.3 U- 2六 (12 = -• 15 今 (l + a) ' +., —5 ,.. 3 2a(] + ll)' — o' • (l + a) ' dV 2亢 2 —= ---::- • . da l (1 L (I)·' ., = -亢-(-4-a- - ---a-一）, (a > 0) + 宁 ] 5(1 Cl) 一 dV 令— = 0，并巾 a >O 得唯一驻点 a = 4. du 巾题意知 ，此旋转体在 a = 4 时取最大值．最大值为 V = 红 ． 压 ＝ 32岳rr 15 卢． ］875 ,) 江~(2001 ．五超7 分）设P = ，0釭）是抛物线 y ＝石上任一点 M(.1..y)(.1.· ~ l ) 处的曲率 半径，1 = 心）是该抛物线上介于点 A(l . l) 与 M之间的弧长，计符 3P 靡－ （岊）； 的值 )-l ［ 在直角坐打系下曲率公式为K = (] + y - . l @ 由 y=~：知 ，y1 = y'' =— n · 2 石了 丛1 • l 8-1 •该抛物线在点 M(．l.,y) 处的曲率牛径为 - P = P(工) = — K l = - (1 + I y y " I, ' , ' 2 I ) 1 " =- — 1 2 ( / 4 " .1 . .. . +I 11 )\ ½ 匕 , 抛物线上1\M 的弧长 I f R,d, I口） :汀勹于d, ·\ = = = dP I 3 + 斗 一 — · 一(4x 1)' • 4 dP dJ.· 2 2R = = =6 ＼厅 ~ ds 凸 d、2 ＝ 旦 d上 翌 ） ． 赍 二上 2 5 ． /勹 l ： = 芦6言 ,, I.J n \ 2 因此，3P 归 － 匡） ＝ 3 . _!_（心 十 I)上 . 6 - 36x = 9. ds2 \ cl.I 2 ✓釭＋ l 肛002，一（2）题，3 分）位于仙线 y=.1.e'(0 冬 x<+～) 下方，？ 轴上方的无界图形 的面积是 答孚 1. 斜祈 所求面积为 J,:· s = Ie.rd工: =-[, .]_·de r ·-· + J ' .. 亡d.1. =-.re IO-· 1 0 J I) =O+(-e-,) 1~· 。 = 1 颐(2002，七题，7 分）某闸门的形状与大小如图所示 ，其中直线 l 为对称轴，闸门的 I＿一部 为矩形 ABCD ．下部巾二次抛物线与线段 AB 所围成． 当水而与 闸 门 的上端相平时，欲使闸 门 矩形部分承受的水压力与闸门下部承受的水压力之比为 5 : 4， 闸门矩形部分的高 h 应为多少 m（米）？ y c 斜 坐标系建立如右图 ，则闸门下部抛物线的方程为 D y= 产． （－ l 冬 ．1 冬 1) 由水侧斥力公式知，闸门矩形部分所承受的水压力为 A F1 =『: t I 2Pg [ (/1 + 1) - y J dy 一一一一 I t--－－1 B ½ —2Pg [ C/1 + 1) y - l y2 ] [ J,c I l = Pg/产 。 _1- 同理，闸门下部所承受的压力为 凡 ＝ I2Pg[ (h - ]) - y] /ydy 。 + 1)y¥ —三］ I~ = 2P[(h • 185 •` 4Pg （扣＋ = 由于凸＝主 ，则 Pg矿 = -5 ,RI1 3 I12 -5h - 2 = 0. F2 4 1 . . 2 4 ｀寸勹） ] 解得 h = 2,h =－ 一（舍去）． 因此，闸门矩形部分高为 2 m. 3 (2003，一（4）题，4 分）设曲线的极坐标方程为P =e心Ca >O) ，则该曲线上相应于0从 0 变到纭的一段弧与极轴所即成的图形的面积为 1 答导、 一(e·1穴”- 1). 4a 斜 析 所围面积为 A = ½厂（e吓dO =上(e4""- 1) 2 。 4a 巨(2004, 18 题，12 分） 曲线 y=~一．r 与直线 X = 0,X = t(l > 0) 及 y = O 围成一 2 曲边梯形．该曲边梯形绕 x轴旋转一周得一旋转体，其体积为 V(t) ，侧面积为 S(l) ，在 X = t 处 的底面积为 F 0 时 ·B 1) 将 r =- 1,y = 0 代入上式 ，得 - y, ＝ 厂三－ 中－ l － 工。） - 4 二＋ (Xo - l) = - ~ 2 十 二 (Xo + 1) 二 = = 整理得（工。 － I) +/;-;＝丁— 2 0，即（ J五二丁＋ 2)( ✓云亡丁－ 1) 0，韶得 工。＝ 2，并得 Yo = 3． 因此切线方程为 y = x + l. ( |lI ) 在 y = '1 ✓了＝T—(义— I）中令 y = O，得 L 与 x 轴的交点为(],0) 和(17,0) ，故所 求平而图形的而积为 S = 『I (x + 1)山 －J'.[4 左－ (x- l)]dx ＝阜—［责釭— ] 广 — 十釭— 1)2 ] 1 : ＝ 上 ＿旦＝ ］ 2 6 3 【评注】 本题主要考查的是参数方程确定的函数的 导数， 参数方程所表示的曲线的切 线及所围的面积． 由于曲线是用 参数方程表示的，因此，在解笫（ Il ）（皿）两 问 时应用参数方 程比较方便，即方法一较方便，而把参数方程化为直角坐标方程（即方法二） 稍繁一些． 考生的问题主要是 (1) 部分考生将参数方程二阶导数求错； (2) 不少考生搞不清参数方程所表示的曲线 L 的基本形状 ，当然面积也就求错了 ． 188 •(2007.18 越 11 分）设 D 是位于仙线y = J;.a-t, (a > 1 .0 冬立 <+=)下方 ．工一 轴上 方的无界区域 （ I) 水区域 D 绕又 轴旋转一周所成旋转体的体积 V(a) ; ( [[ ）当＂为何值时．v位）最小？并求此品小伯． 斜 （ I ）所求旋转体的体积为 TIIl V(a) = y2位）d.1· = 穴IIl J..{1 了山 ·-= ＝－气 xd(a ;;- ) In aJ, ＝飞于义，a＿土 ） ＋ 卢j Cl-` { ＝叶亡）2. a(In a·_ 1) ( [[ )V'Ca) = 2亢 ln3a · 令 V飞a) = 0，得 In a= 1 ，从而 a= e. 当 lc 时，V＇(a)>O,V(a) 单涸增加 ，所以 ．a= e 时 ，V(a) 最小，最小体积为 V(e) ＝ 六（上）＇＝ 玉 读书总不多 ， 思义、，也不叫 i 总足乙乐学 ， 乱学总不行。 韩愈 • 189 •第四祁 多兀函数微分学 L-～巴进｝ 本章主要研究二元函数的偏导数 ，全微分等概念 ，要掌握计算它们 的各种方法以及它们的 应用 ． 一元函数中的许多结论可以推广到二元函数中来，但有些结论是不成工的．二 元函数微 分学要比一元函数的微分学要复杂得多，我们要辈握它们的共同规律，踏踏实实地做一些题 目 ． 一定会收到预期的效果． 仁竺呾沪｝ 旬年试题一般是一个大题、一个小题，分数约占试卷的 8% ， 主要考查复合函数求偏导数 及多元函数的极值，难度不是很大． 一定要熟练掌握复合函数求偏导数的公式，特别要注意抽 象函数求高阶偏导数的题目，以及复合函数求偏导数的方法在隐函数求偏导中的应用． 同时， 多元函数微分学在几何中的应用和求函数的极值 、最值也是考研数学的一个正点． [_歹巴庄} 基本概念及性质 厦眉2007.7 越4 分） 二元函数）（,·,y) 在点(0,0) 处可微的一个充分条件是 — (A) (J,l)吨。）[f(x,y) f(O,O)]=O. (B) lim . j （几，0) — ((0,0) =_ " o ,且 1=1 1 I :i m __ f ~ (O,y) - /(0,0) = o. 工一．u 1· 、. .I) y CC) lim f（父，y) - + f (O,O) = 0. (r`yJ-.(O,0) ✓工2 y L CD) lim［仁（立、，0) - f~(O,O)] = O, 七l.lim[j'、（O,y)-f'、．(0,0)] = 0. 」一0 '．一0 答泉 C. J.（工.y) - J(O,O) 斜析 事实上 ， 由 lim + =0 可得 , (,,_I')一(O.o) ✓又': y2 — - l i rn ~ / (.1 , 0) J (0. o) = I i rn J (7, 0) + J (0, 0) . ...::!....::::_ = 0 工~o .r ．r 俨0 ✓:r2 02 -r 即 /',(0,0) = 0. 同理有 j1,.(0,0) = 0 从而 ［J（江心y) - f(O.O)] - (f', (0,0)6.x + f'v ( 0,0)6.y) lim r·o p = lim .／（幻，~= lim 八A.:l，Ay) — I(0.o) = 0 + 斤．0 p p •O ✓（心ii.): （公y)2 • 190 •根据可微的判定条件可知函数 f位，y) 在点(0,0) 处可微，故应选CC). 【评注】 1． 二元函数连续或偏导数存在均不能推出可微，只有当一阶偏导数连续时，才可微． 2． 本题也可用排除法，（A）是函数在(0,0) 连续的定义；（B) 是函数在(0,0) 处偏导数存在的 条件；（D) 说明一阶偏导数 f.r（0,0) ，几(0,0) 存在，但不能推导出两个一阶偏导函数 f.c（x,y), /,.(x,y) 在点(0,0) 处连续，所以(A)(B)(D) 均不能保证 f位，y) 在点．（0,0) 处可微． 故应选CC). 二、求多元函数的偏导数及全微分 暨戛2004,4题，4 分）设函数之＝z(x,y) 由方程z=e2r-3之＋2y确定，则 3生十生＝ 社心 答孚 2. 奸析此题可利用复合函数求偏导法、公式法或全微分公式求解． + （方法—) 在 z = e丘3, 2y 的两边分别对工，y 求偏导，之为工，y 的函数． (2 - 3~ ) ~ = C丘3, 飞＝ e丘3 (— 3 克）＋ 2 从而 心 2e丘3' Jz 2 = + = + 杠 1 3c丘．正 'Jy - l 3e2'玉 + , —3z —心. 1 3e2'一3, 所以 3 归 ~ + Jy = - Z • ~ 1 + 3e如一3, = 2. （万法二） 令 F丘y,z) = e丘3二 ＋ 2y-z = O, 吁＝ e2,-心 , 2' 飞＝ 2， 望＝ e心一：I, (- 3) - 1, 吐 az 3x e丘3' • 2 2e丘3, 所以 吐彗－（1 + 3e2rJ') - 1 + 3e丘3, , 3z 吐 心 = - ~Jy = _ - - + 2 = _ + 2 幻吐 － （1 3e丘3z) - 1 3 e2;:----3, , az 从而 3 生 生＝ 2（ + 3e 3 红 e 一 丘 3二 3二 十 l + 3 1 e 正h) 3y l = 2. 3.1.令 （方法三） 利用全微分公式，得 — + + 中＝ e丘3=(2d.1.- 3dz) 2dy = 2e丘3'dx 2dy - 3e红一气K + (1 3e2,--3二）dz= 2e妇一气坛 ＋ 2cly 2e2.,....扛 2 所以 dz = 1 + 3e丘J: dx·十 l + 3e2r-3, dy 沪 2e2.,....“ az 2 即 归 ＿二＝＝ 1 + 3e2．广扣 'iJy = - 1 + 3e丘3, 从而 3 卢 ＋ 皂 ＝ 2. • 191 ·【评注】 此题屈于典型的 隐函数求偏导． 扣近 3三 (2004 .21题．］0分）设：：：：= j.（工2 _.y2 ．产） ．具中［具有连续二阶偏导数，求一，一·一— 扣 iJy a或y. 分析 利用复合函数求偏导和浪合偏导的方法直接计符． az 斜 = 2.1.八+ ye巧'f~ a工 a —::: =－ 2yj、I1+.1..er.,,f'? ay 护之 = 2 1 [j1 1 • (—2y) + / '.2 . .1 C心'] + e“J:+.1、ye·'YI ~+ ye心，［几 · (— 2y) ＋凡 · .1.，矿］ 心·Jy ＝一 生ryf飞＋ 2 （工2 - y2) e”,f'；2++.1.ye2'-"f'合＋ c“ (l +.1. ~ y).I.I2 【评注】 此题属求抽象复合函数高阶偏导数的常规题型． (200J, 11 题 ．,1 分）设函数 u(_1·,y) ＝卢＋ y) ＋中釭— y) ＋厂. 具布二阶导数 ，心 具有一阶导数气则必有 护l/ J2 l/ 沪LI a2tI (A) — = ——— (B) — = a— 归2 3yi' 归2 Y2 • 护l/ 32 l/ a2 u a2从 (C) (D) 杠oy a.),2. 0或y 心，今2· 答阜 B. 加 矫 祈 囚为— = 中1（ 立十 y) ＋ 正 － y) ＋妇＋y) - 贮 － y)' 归 罔 ＝ 仁 ＋沁 — 卢－ y) + 少(.2· + y) ＋ 贮 － y) ' 于是 臼＝ 矿C1· y) ＋ 矿(.1 -y) ＋厂＋ y) －卢－ y) + ` 琴＝矿(x+ Y) 气＇釭 — y) 十 祈(.1 ＋ 砑釭 — y) . +y) 护l/ = 中"(:r+ y) ＋忍＇釭— y)+ 少,（x +y) —沉(.1- - y)' 心 护l( a飞 可见有—- = —方，应选(B)． 3产 ay 【评注］ 本题综合考查了 复合函数求偏导和隐函数求偏导以及高阶偏导的计算． 作为 a2 u a2 u 做题技巧，也可取 从n'ri 6. = B2—!\C = ,1 o．所以点(O.O) 不是极值点，从而也非最值点． 再考比其在边界曲线 匕产 十~ = I 上的怕形 ·令拉格朗 1:l 函数为 + -y; F(.r, y，入） = J.（．飞，y) 十入(.12 - l) 4 • 193 •旯＝昙＋ 2杠 ＝ 2(] 十入）.:i· = 0 J.f 入y -- .., l 解 F',.= —+— =－ 2y - —入y = 0 吓 22 2 贮＝工2 + ~-1 = 0 4 得可能极值点 工＝ O,y = 2，入＝ 4;x = O,y =-2从 ＝ 4;.1.. = l,y = O,;, = - l ;x = - 1.,y = 归＝－ 1. 代入 J位，y) 得 J(O, 士 2)=-2,J(土 1,0) = 3. 可见 之 ＝ f(x,y) 在区域 D = ｛ Cr, I x2 十:冬＼内的最大值为 3，蚊小值为 一 2. y) 【评注】 本题综合考查 了 多元函数微分学的知识，涉及多个重要基础概念， 特别是通 过偏导数反求函数关系，要求考生具正理解并掌握了相关知识． 1Dc2006,12 题，4 分）设J丘y) 与叭.1.·,y) 均为可徵函数．且饥（x.y) ＃ 0. 已知（又、o ,Yo) 是 f(x,y) 在约束条件 叭立，y) = 0 下的一个极值点，下列选项正确的是 （A) 若 f,.(.To,yo) = 0，则 jJy(1。 、Yo) = 0. CB) 若 f',.(xo ,Yo) = 0,则 I:釭。 心o) =I= 0. （C) 若仁（立。 ，Yo) =F 0，则 jJy(a。 ,Yu) = 0. CD) 若乃位。 ，Yo) =F 0，则八（义。 心o) =I= 0. 笭孚 D. 斜析 作拉格朗日函数 F（工y，入） = f位，y）+入 趴 ＝ {(X'y) I.T2 + y2 1'(X'y) E D}, 千是 『 D 1.1.2 + y2—l | d6 =-』口 ＋ y2 - l)d呴 ＋』口＋ y2 — l)d.:rdy =—I)上d0［尸 － l)rdr+』正 ＋ y2 l)dxcly -』(x2 _ ])也dy - + yz ＝ 百＋『d.1.『 口＋y2 — - l)dy - [ d0I (r 1)rclr 0 J 0 ＝ 王 ＿ 上 4 3 . 【详 注】 形如和分III f (X'y) I d(j 』max订（工，y) ,g(x,y)｝如，』而n{f(.1.·,y),g(x, y) ｝dm』.[J(x,y)］如，JJsgn{f(x,y) — g(x,y)｝如 等的被积函数均应 当作分区域函数看待， D 利 用 积分的 可加性分区域积分． .t.2 , I.r l+I y I< 1 (2007,22 题 ，11 分）设二元闲数 f(x,y) ~ {~ 1 寸11.T12dy (［叫： 5：了dy +［气石气了dy) = + r l = － ＋疫In(1 ＋迈）． 12 』.J丘y)da =上 +4我In(I ＋疫） 所以 r) 3 【评注】 被积函数包含✓X2+y2 时，可考虑用极坐标，解答如下 ~ dr:1 d6r::: 』 f(x,y)如＝ 夺l ．』v.;;;z 1 如 ＝ II:: d0J:让沁0 dr = 1,,;;;户沪,;2 工＞O.y>O 了＞O.y>O ＝疫ln(l ＋疫）． (2008,18 超11 分） 计算』'max严l)d又．cly，其中 D= ｛（父，y> I o,s;;;.r,s;;; 2. o,s;;; y 冬 2} D y 分 析 被积函数 j位，y) = max(．巧 ，1) 是分区域函数 ，要利用积分的 可加性分区域积分 max釭y ,]) = {7.' 巧 多 l , 奸 1. 1-y < ] . 记01 = {(x,y) 巨y ~ l.C.r,y) E Dl,02 = {(.r,y) 11Y < l,(x,y) E D}．则 』max釭y,I)釭dy = j.f工ycl.rdy ..1-~［小cly 0 2 X v, J: cl．寸＿1·ydy + d.x、J:c1y +［叫，: = f~ cly 1 5 ] 9 = ~4 - In 2- +. 1- ,+- Z-i-n -2 = :..::.. + ln 2. ~ 四、交换积分次序及坐标系 l1 题 ，4 分）设 f（义，y) 为连续函数，贝；l厂叫·1lJ(rcos O,／飞ln O)rdr 等千 (2006, (A)I：山［尸．／ (B)l。 叫尸／ (.:r,y)dy. (r,y)cly. c dyf尸{(x,y)d．兀． (D)f:c1yf厂f(x,y)dx. (C) f: y- 答泉 C. y__xx 互 久 _ 斜祈 由题设可知积分区域 D 如图所示 ． 屈然是 Y 型域，则 2 2 + y, = 们 廷 J 原式 ＝ rdyr/1-y-f(_r.y)d_r x 。 故选 C. 200 •【评注】 本题为基本题型 ． 关键是首先画 出 积分区域的图形． r . l 匹(2007.8 题．4 分） 设函数 J.(x.y) 连续则二次积分］小］ 八r.y)d}， 等十 -、：nr (A)I叫:1"""",/ (. c. y) cb (B)Il dyI- J (l . y) d 1. " J ~ "'""'' I1l (C) rdy厂r«m-'/ (.1'• Y) cl.? (D) dy]/ 1rc、"' 、/Cr.y) cl., 亏 答泉 B. 斜析巾题设可知'卫2 <\ ·/1 、 六.sin 金r ~ y~I ，则 O ~ y ~ I 顷 － arc、in y ~ .i- ~ 记 故应选(B)． 并、扣吐结在一个l,f＄员的农底， J:_"'1j奇牡、下有弟林， 抖行名三。因为农里柱子多，父杀收入役困，东庄生沽非，和佥 抵．因此，并、扣正少华 ｛更似乎成为父母的果贷 ， 一个自从为 是不索欢迎的人。上学佑，由才A,J、体的 ， 常受人拻 负。 达籵 特殊的结沽吃礼，把他习 迷式了 一个极为内向 、 不上言快的人， 如上对技学的§戈 ， 更仗衪未成了独扣琅、性自闭门，包旁的 月 饿，因此克拔别人从为义一个 “4令人”. 抹扣砰业佑起择研兄技学达年异常氓辛的人生过硌，与沈九拔牧有关。在衪llf 里， 歼、导ili1 名 一次扣过了奇栳巴林壮想，也众心）、印里，片、导间名 一令l起，他寸心立，志去 归又llf牧技学岔压上的和从 1953年 ， 他毕业于Il11 大学 ， 翎杖，在 1.fj 书馆上作，但 始佟设有忘妃奇栳已林村想，衪杞技孚伦久寄给华罗戾敖投，华罗戾心佑非帝赏抚 他的才华，把他词和1 中 1月科学比技学 4兄所者 负 月廿究员，从此｛更有牛，在华罗庆的 林导下 ， 向奇栳巴林猜想过军． 1966年5 月 ， 一1贞戏艰的耘曷闪蚌才令妹技学界的上空一片、导润宣布证明 了奇 恁巴林村想中的“心'; /97立+2 月， 他化成了对“I记＇征成的外玫。 令人难以工付的义， 外司技学家，在证明”/-t3'，时 1利 了大 生岛 述竹 1扣， 乔昧景闾抑化令靠纸 ｀ 比扣头烦． 如果达令人责材的枯 ， 即么他单为 ti)化”l+2'，赵一证咐扛／利去的6麻袋舫纸， 则足以礼 明问赽 3 . /973年 ， 他发表的为 名的＂；，牛、氏定培，拔手为 作法的克样痰支． 对于忤景间的戎叔， 一4立为名的外1月技学农管舷侬扣态乱从手 衪扑劫了科山' • 201 •第六农 常微分打程 本章导读 本竟内容是考试的重要组成部分．特别在数学二所占份额更大 ． 主要侧重于一 阶微分方程 、 可降阶的二 阶做分万程及二阶常系数线性微分方程的求解，微分方程的应用多涉及几何方面． 试题特点 旬年试题一般是一个大题、一个小题， 分数约占试卷的 10% ，对I度不是很大． 除了各种微 分力和的求韶 ．对常系数线性微分方程解的结构及性质的考查也是测试的一个重要方而． 特别 是近儿年涉及儿何应川的题目较多． 考题详析 ~ _ 一阶微分方程的求解 、 0(1987．八（］ ）题，5 分）求微分方程工 业 ＝ x-- y 满足条件Y l,,f[=O 的特解 d工 J 花 分析 此题为一阶线性方程｀可利用公式法求出方程的通附，再求满足初始条什的特解． 斜 原方程变形为虹 ＋－ 1 v = l 由- 伽八线性方程通解公式得 d.l'.l- y=e 」+d (IJ扣，归＋ c) ＝十（卢 ＋ c) 山 Y I 'E = 0 得（, =- 1 . 所求的韶为 y= 上1 一 上． , .E 2 工 回归8，三（3）题，5 分）求微分方程 y' ＋丛＝ 1 的通韶（一般解）． 又． x(x2 + ]) 分析 此题为一阶线性微分方秤．可利用公式法求出方程的通解． 奸 由一阶线性方程通解公式街 (j, l c) + 1)eJ钰心＋ C) ＝主(I 三产1 y=(.4 ;d., r(t2 + l = _:...(arctan .1·+C) 1. ( 1989． 四题，6 分） 求微分方程 .1.y' － (l —r)y = e气O < .1..<+＝)满足 y(1) = 0 的 特韶 分析 此题为一阶线性方程 ， 可利用公式法求出方程满足初始条件的特f禅 • 202 •斜 原方程变形为 y' + (+ - l)y =上芒 ． . 1. 由一阶线性方程通解公式街 (I y = c.[ (.!. !) L (j一 气'e[（.!. 1),l'釭十 C) = e i，产｀r :亡el"一户 dx c) 、1. , = ~C (e'+ C) .1a e·, 由 yCI) = 0 得 , =-e. 所求的特韶为 y='=-(cr-c). .1· 0(1990．三（5) 题，5 分）求微分方程中 心＋（y－h口）d蠡x=O满足条件YIM =l 的特解 .,-, 分析 此题为一阶线性方程可利用公式法求出方程满足初始条件的特俯． d I 斜 原方程变形为立 ＋ y= 上，由 阶线性方程通解公式得 dx ' .rln .r.,.1· (f Y = e-J~ ,L, ~e.l产1'扣十 c) = 士（宁 ln3、 +c) =+In.r ＋卢 由 y | =1 得 C = － 1 ， . 所 -~ 求 -"- 的 ,_,. 特 .,.,, 帷 ,... 为 ., y= — 1 ln x+ l 2 2 2 l n .1. · (1991 ． 三（5) 题 ．5 分）求微分方和,".),'- y =.re了满足 _v(l) = 1 的特解． 分析 此题为一阶线性方程可利用公式法求出方程满足初始条件的特f辟 —cly l 斜 原方程变形为 十I -y = e勹 由一阶线性方程迪解公式衍 d工 J' y = e沪 （［五气l.r + c) =上釭e·'- C.r +C) ~1. 由 y(1) =］得 C = 1, 所求的特韶为 y= 』 (.:i·c'- e'．十 ］）． .T (1992，三（5) 题，5 分）求微分方程(y- 工3)心－ 2xdy = 0 的通解． 分析 此题为一阶线性方程，可利用公式法求出方程的通解． - cly - — I.. = _ -— 1 __ ? .-1. 斜 原方程变形为 dx 2.T°v. 2 .r? . 巾一阶线性方程通解公式得 I +.r ( y= 上d. — L .［一1，归 ＋ （） ＝ 五(-』.1令也 ＋ c)= C石－ 扣3 1 ( 1993．一（5) 题 ．3 分）已知仙线 y=f釭）过点 (0' 一言 ·且其上任一点（工，y) 处的 切线斜率为 1In(l ＋ 产） ，则 /C.r) = . __• l 1 , 1 答阜 一2 (1 -.I.3) ln (l +．产） 一 一2． ,.i — 一2 . 矫祈 由导数的儿何意义建立微分方和 ，解方程求出 r位）． 由已知街 y' = .rln(l +-产） J 于是 y = J.r1n(1 卢d.r = + l lnCl +.c2)d(l +产） l l = ~(] +．产）lnCl -.r~)- —.r'+ C 2 2 • 203常入条件 y(O) ＝－ 卓 ．得 C =— 卢所以 J(．1今） ＝ 卢(1+义-）ln(l +.r ) －卢2 _½ m(l993｀ 三（5) 超5 分）求微分方程(x~ - l)cly + (2父y - cos 心心＝ 0 满足初始条件 y(O) = l 的特觯 分析此题为一阶线性方程的初值问题． 可利用公式法求出力程的通韶，再利用初俏条 件圳定通解中的任贲常数而得特解． cly 2.:i: COS.I今 纤 原方程变形为— 心． + ,.2 - l y = . ? r - 1 ，山一阶线性方程通韶公式得 ~ y =e－阮Ir「I1:“1尸lr归 ＋ C]＝卢了(sin .l．十 C) 初始条件 y(O) = 1 ，得 C =- l. 1 从而所求的解. 为 y = . - (sin 又·-1). 又－－ 1 配量1994 ，一（5) 题3 分）微分方程 yd又＋（.r2 - 杠）dy = o 的通韶为 答哀 y·I (4 — x) = C.i- ,C 为杆烈常数 斜祈 分离变压 ，原方程变为 —] 1 y dy = .t (4 －立－）山 I .r l 两边积分 ln y = ln — + —In C． 即原方程通韶为/(4 - .,·) = C又· .C 为任总常数 4 4 - 1- 4 肛(1995，五题 ，8 分）设 y =c.r 是微分方程 :i.·y' + /}(.r）y = .'l. 的一个f附，求此微分方程 满足条件 YI ., Q 的特韶 ln2 = .r In 2 = 分析 将 y e·' 代入微分方程求出 /J(.]_)，然后再求一阶线忖微分方程的特解． 斜 把 y = c.r 代入微分力程xy' + p(.r）y= 义． 中 ，得 p(.1.） = 1·e-x -., 原方程变为 y' + (c 1)y = l 韶此一阶线性微分方程 J - y = e+ • ·' ll,lr(C+ Jef尸 l)心d.1-') = e''I, (C -f-JC c.r.r心） =e尸卜r(C - IC六 ' de-x) = e"'1,CC+e-,·' )=Ce"' ·., + e' 利用 y| = 0 得 （、 =-e 了 ，于是所求牡解为 y =- e方e'' · '' + e气 .r=In 2 (1996，八超8 分）设 f(.:z) 为连续函数， y' + ay = /(.1·) （］）求初值问题｛ I, .. 的侃(y(l) ．其中 u 足正常数 ： = y 0 r ,) (2) 若 I J(1) |< k(K 为常数） ．证明当又 ;,: 0 时 ．有 1.)心） 1~ }!__(1-e 心 ） a 娟 (1) 根据一阶非齐次线性微分方程的通韶公式 ，得 归） = c-fadr『Jf (.r) eJ"tl.r dx + C ] ] = c心 []J (1) c斗，归 ＋ C] ] = c一心 [FC.rl + CJ 具中 C 为任意常数 ，FQ) 为 IG)产的忏－原函数． • 20,1. •囚为 y(O) = 0．得 C ＝— F(O)， 于是 ． - yG) = e ”r [F(1) F (0) ] = e飞 ./ (I) c“dl I) (2) 由 (1 ) 的结果 ，易知 | yQ) 1 冬 c 山 j.0r | j (I) | c“d1 冬 kc `” 』:e'·'dt = ~(1 - e一山 ） 肛召（1997，三（4) 超5 分） 永微分方程(3正＋ 2.Ty —y2)如＋ （丑2 - 2:.i-y)cly = 0 的通韶 分析 该方程是齐次微分方程 ，按固定方法求俯． 斜 原方程变为 2 3+ 2f-(;'-) dy 312 + 2父y - y2 = = + 山－ ．1·2 Zxy - 1 +2 立 .1· du 3 + 2u - u"', 1 - 2u , 3 令 u = ..1_ ，有 u ＋上 一 ＝ ，即 2 du = － —d工 .1 d工 － I + 2u '-, 1 + u - u .1. cl 两边积分 ln l 1 + ,., - 矿| =- 31n I x I+ In C1 ，即 l + u - 忙＝土飞· 父： C 代入 u = 立 ，原方程的通解为 ．？2 +立·y·· -- y.. 2 ＝_ —(C ＝土 Cl )． 几勹 工 匡】(1998，二（3) 题，3 分）已知函数 y=y位）在任意点 心t 处的增屈 6.y = If气 ＋a,目 l ＋工 当 A.1． 0 时 ．a是 A.L 的商阶无穷小，y(O) = 穴，则 y(l) 等于 (A)2兀 (B)六． (C）忒． (D)亢矿． 笭：孚、 D. 斜析 由题设可知函数 y = y(.r） 在点 义 处可微，根据微分与导数的关系 ，可得 y'= dy _ d七T y 2 ，俯此可分离变扯方程． 分离变挝得— = 乙 ，两边积分得 In y = arctan 工十 In C, 即 l +凡＇ y ] + x y = Cc"m"".,. 代入 y(O) ＝ 穴，得 C` = 7[ ·千是 Y = Tie寸ctanJ .y(l) =亢社 ．故选 (D), 由 6.y = 立A王 【评注】 +a，根据导数定义得 1 +x2 y' ＝ 归 启＝忱忙尸 ＋ 点］＝卢 另外，从本题可知 ， 由 函数在任意点 x 处的微分或导数定义，可构造微分方程，这样可将 微分或导数的定义与 微分方程结合起来，构造较综合的题目 ． - > m(l999 ，五超7 分） 求初值问题1(y| + 归＋ y2)d.1. .1.dy = O(x 0) 的解． YI = 0 r= l 分析 按齐次微分方程求韶即可． cly 十二2，令 ／i ＝.- ，有可分离变虽微分方程 令干 原方程变为— = 斗 y 扣．l. .1· 义． • 205 •du = l _:'._d工 二 I 曲边积分 ln(u+ ✓厂二了） = In .l..LIn C. 即 u+ j了二了＝ C.:i: ．亦是y+ ✓.?'+?=C矿 ， 1 代入初值条件 y| = 0，得 C = l ．所求特解为 y+ ✓了平了＝亡化简为 y= 上工2 -— x-1 2 2' 1 匡'(2001 .一（4) 越3 分） 过点（了，o)且满足关系式 y'arcsin 立:+~= l 的曲线方 J 程为 - —1 答阜 yarcsin.x = ..r 2 · 斜析 本题是求满足初值条件 YI I = 0 的一阶线性微分方程的特解． 了 原方程变形为 y I +I Y = _ . ] a rcsi n 艾 J丁二了－ arcs1n 工 方程的通觥为 y=e士，C叩坛千' (C e["＇＂＇“'1左于飞r) + I arc:tn ~1 = 1. (C +义·) arcstn.T I 巾 y| = 0 有 C =－上 ，所求曲线方程为 yarcsin x = x - —. =+ 2 2 .r 肛讥2002， 六题，7 分） 求微分方程 xdy+ <.1—2y)d.r ＝ 0 的一个解 y = y(:i) ，使得由曲 线 y = y(x) 与直线 x = l ，立＝ 2 以及 x 轴所用成的平面图形绕又 轴旋转一周的旋转体体积 最小． 分析 先求微分方程的通解 ，根据条件再求 Y = y(x). dy 2 斜 原方程变为－－— =－ l ，则 d工义y +.) ef.::.lr (c-Jcl 二） ＝ .c" =义． 十 L丑？ Y = (C + 旋转体的体积为 = ［：六 (.1 于 立）＇扣＝ 六（启 I- 卢＋ f) V(C) 令 V'(C) ＝ 亢（竺c＋ 旦）＝ 0，得 C=－互，而V!（C) ＝ 竺立＞ O,C=—竺－ 为显小值戊 3 2 1 24 3 1 24 75 所求为 y =.:l.、_ ＿义气 124 【评注】 在解微分方程时，也可看作齐次微分方程． 田(2003，二（3） 题 ，4 分）已知 y ＝ 忙了是微分方程y' ＝：十中匠）的韶 ，则中停）的 表达式为 2 ? t 2 工2 (A) -斗 (B） 斗． (C) - ~ （D) 亏· 工一 工一 y y 答哀 A. 206 •斜析 将 y =~ 代入微分方程 ．再令中的中间变队为 u ．求出 cp(l{) 的表达式 ．进曲可 i1 In.1、 贷出 叶f,). 将 y = ,=义．-- 代入微分方程 y'= 立 ＋cp仁r ），得 In x .T. \ y In x - l = —1 + =-—]— 0. 分析本题是求解二阶诮系数仆齐次微分方捍的通fII(（ ．逌韶的形式与 d 的取们有关 斜对应齐次方程的牡征力和为 入2 千 矿 ＝ 0 得入！2 ＝土 ai，则对应齐次方程的通韶为 y = c, cos (I、I — C2sm u.t .c1 ,('； 为任总常数． 111 a -:/= l 时， 可设非齐次方秤的特韶为 y = ．!\cos .1 丁 ／j、in.1｀代人原方程待定系数衔 l l A = 0 ` l3 = d ,, - l ．微分力程的迪侃 u i为 .v = c, cos (U I c~s in l/./' + -,, - l 、in.l． 当 a= 1 叫 ，可设非齐次方程的特解为 y· = x(/\ItO、 T l ／伈in.1) ．代入脓力程待定系数 1 l 得A1 = 了_ ．队 ＝ o.微分方程的迪韶为．＼'= LC.、1C OS ..l - - C2 S I I.1.r - —2 .rcos 义｀． 曰( 1995． 一（2) 题 ．＄分）微分力程 '\1“+ ．y ＝－ 趴的迪侃（为 . 答哀 y = C1c os_飞 一 C,,;i n .r - 2 x . C 1. C, 为任总．常数 矫析 本题是求你（二阶捎系数 II齐次微分方程的逋韶，利川二阶邯系数非齐次微分力程 韶的结构求韶 对应齐次力和的特t仆力程为 矿 I I = 0 得入\,2 == i厕对应齐次方程的通韶为 y = C1c os.1· - C~叩In l .(`I. c、2 为什疤常数． 可设作齐次力程的牡韶为 y· = Ar - B．代入｝京方程待瓦系数得 A = —2,B = 0 微分方程 y11 + y = - 2.r 的汕ifl(（为 y = c·, cos 立 － Cisin.r - 2.r,(、I •乙为任总常数 回(1996 ． 一（3） 题 ．3 分）微分力程 v" - 2y' - 5_v = 0 的迪解为 笭哀 y = C, (Ci CO、 2.1' + （..，心in 2.i-) .Ci ,C1 为杠总＇，常数． 斜析 对应齐次方程的特征力和为 • 213 •炉 ＋ 2入 十 5 = 0 得入1.2 =- 1 土2i，则对应齐次方程的通解为 Y = e-.rCC1c os Zx + C2、in 2.:i·) .(.,\ ，G 为任意 常数． (1996．三（5) 题，5 分）求微分方程 y" +y' = .产 的通解． 分析 本题求解二阶常系数非齐次微分方程的通陷 ，利用二阶常系数非齐次微分方程俯 的结构求解 ， 即先求出对应齐次方程的通俯（ y，然后求出非齐次微分方程的一个特斛 y. ，则其 通韶为 矫 对应齐次方程的特征方程为入2 十入 ＝ 0．得入＝ 0，入2 =— 1. 则对应齐次方程的通韶为 y =Ci + C2c 工． 口I设原方程的特解为 y· = .1·(Az-2 + B立· + C) ，代人原方程得 A = —,B=- 1,C = Z, 3 + 2). 所以原方程的特俯为 y ·· =.1·尸 － ．T 故原方程的通韶为 y = C1 + C2e-,. +.r..（扣2 ＿义＋ 2），其中 C1 心为任意常数 【评注】 本题除了看作典型的二阶常系数线性微分方程外，还可考虑如下两种解法 ： (1) 看作可降阶的缺"y" 的二阶微分方程，方法 ：今 p = y'; (2) 原方程变形为(y'+y)' = x2 ，有 y' +y =上立 +C1 ，然后再解此一阶线性微分方程． 3 (1997.三（5) 题．5 分）已知 y1 = xc·'+ e2' ,y2 = xe'+ e-,.,.) ?? = .:i·e'+ c2" - e-.r 是某 二阶线性非齐次微分方程的三个解 ，求此微分方程． 分析 利用线性微分方程解的性质和结构，先得到常系数线性齐次微分方程 ，再求 自 由 项，得到所求的微分方程． 斜 设所求的微分方程为 y”+ /}y'+ (f.)I = J（又）． 由线性微分方程岍的性质 .)11 - Y.l = C一J ..)，3 -y: + 2(y1 - y3) = e2.' 是线性齐次微分方程 的两个线性无关的解 ，则 i\1 =— 1 ，心＝ 2 是特征方程炉十 pi\ 十 q = 0 的根 ，有 /J = - l ,q = -2, 将 Yi= 工c.r +泸 代人方程 y''+ /J.)'' + qy = j(.1.) ．得 JC.r) = (1 — 2立eI . 所求的微分方程为 y" - y'- 2y = Cl - 2立:)e' . •、 (1998｀五题 ｀5 分） 利用代换 y = __!!_ 将方程 /'cos x - 2y'叩in 1·+3.),cos 义· = er 化 COS X 简 ，并求出原方程的通觯 矫 ＇万志一 ＇ 「hy=___!_! 有 u = ycos 又．两边对父求导，得 cos.r l1 = .V COS .1 -．y邓in.r.u"”= “y11 cos.1.-- 2/ sin.r - ycos.1.. 7e·' . 千是原方程化为 u" + 4u = ex ，易求具通解为 u = C1c os 2x + C2sin 2x + 5 从而原方程的通储为 y = CI CO5 2.1.- + C: sm 2工十 e' COS X , - ° COS -<. 5cOS X 万去二｝ 由 y= l/ ．有 y = llSCC.l',对义，求导 ，得 COS 立·· y'= u..,ec x + usec 立tan.r,y"II = uII 、ec.x、＋ 2l/ 、ec ．工tan 立十 usec.T tan五十 u sec飞 · 214 •代入原方程化为 u" + 4u = c.r. 以下同（方法一）． (1999. 一（5) 题'3 分）y" -,Jy =产 的通解为 . .. I 尽序 y = (.＼泸 ＋ C｀2c 妇 十一订c2.r. 4 斜析 利川线性微分方程的通韶的结构求韶． 先求齐次微分方程 y” — 1Jy = 0 的通解 y. 特简方程为 ).2 - 4 = 0．得 入I = 2．入？ = - 2． 所以 ． 齐次微分方程的通附为 y = C1泸＋ c2 e丑J. 冉求非齐次微分方程 y"-4y = c2·' 的一个特韶y · ． 入1 =2 是牡何方程入2 -4=0 的单根 ， = 则设特韶的形式为 y· A.re气 l 1 将 y· 代入到原微分方程．得 A= —1I ··原···微··--分--方,. 程·- 的···通·-·解·-为-· y = C1e妇千 Cze-2·'+ ~4x c气 ✓ - , -. -- - . (2000，二（5) 题 ，3 分）具有特解 Yi = e ' ,yz = 2..-e-r ,y, = 3e·' 的 3 阶常系数齐次线 性微分方程是 (A) y'" - y11 - y'+ y = 0. (IJ)yHI + YI/ _ y' _ y = 0, — (C)y'" - 6y11 + 11/ - 6y = 0. (D)yIII 2y11 - y' + 2y = 0. 答卒 B 斜析 先巾齐次线性微分方程的韶得到对应的特征根 ．进而确定特钏方程，蚁后写出齐 次微分方程． 由已知，特征方程的根为 ，l, = 入~ =- 1 .入3 = l. 千足 ，特征方程为（入 十 l )气入 － J) = 0， 即 N +入? ＿入一 1 = 0. 故所求的常系数齐次线性微分方程是 y'" + y" - y' - y = 0. (2001 . 七题 ．7 分）设 f (..l') .g位）满足 f'(1) = g(l.) ，g'釭） = 2e - J 釭） ． 且 / CO) = O,g(O) = 2. 求 I = J:[贮 + ） —－ f(t) • lcl.1· 。 1 r (l ＋又）～ 分析 由胞中条件得一微分方程．求出 I C.T)'g (J.') ．再计贷定积分， 斜巾条件 j'（J.) = g(．1) ．得．广(1)=g'釭） = 2c- f(.1) ． 即求解微分方程 ｛广(.1) + J (`r) = 2e.r J (0) = 0. J'(O) = g (()) = 2 齐次微分方程的特征方程为入2+ 1=0入 ＝土 l，通韶为 y = Ci cos x + C2stn x. 因为 1 不是特征方程的I，附故设非齐次微分方程特侃(, y· = AcJ ，则得 A = l. 千是 ，通韶为 J(x) = C1cos 金T·十 C,s日1.r + e'· 将条件 f(O) = 0./ (0) = g(O) = 2 代入到通韶中 ．得特韶 j (.r）一汕in 工－ cos .r+ e·' , 其中 C =- l,C: = 1， 从曲 I, m) I = 『（] +..l·)正） - f (T) d1 = (] + 1）厂（；1） - d.1 + + 勹 (l ` r)? (1 -L·)` j ［亡勹］＝ 卢~ I: = o d + 1 c" = 1 + 亢 · · 215 •巴沮(2002，二（3) 题3 分）设 y = y(.1) 是二阶邯系数微分方程 y"+ /_)y' +A =- 2 所以原方程的特解为 y =— 2c2' ，故原方程的通韶为 y = (,~1c J I- C泸 － 2e妇 ，其中 C1 心为任意常数 曰习（2008,3 题，4 分）在下列微分方程中 ． 以 y = Cie'+C2cos 2.r + CJsin 纭 0)．试建立 y 与 v所满足的微分 方程，并求出函数关系式y=y(v). 畴由牛顿第二定律列方程，并求解． 苞）设沉放点为原点 O,Oy 轴正向垂直向下，则由牛顿第二定律得 d为 m — =mg —印－如 dt2 其中 v ＝竖，进而归＝器鉴＝ v 悲 dv = 千是所列微分方程化为 mv — mg －印－ kv. dy 分离变蓝 dy=___!!!:!!__dv，两边积分 mg —印－ kv • 219 •y =- 严 － m（mgI?厂 即） lnC111g — J3p － 妇） + C 代人初值条件 'UI,,, = o得 C = m(mgI，,： 即）ln (mg - B0). 所求的函数关系式为 y =－ 严 － m（m且I<厂 坪） ln [~—g 尸B-0k'U］ 【评注】 本题是一个难度不算太大的物理应用题，但由于题中涉及较多的抽象字母， 运算秸显烦琐，应注意计算能力的训练． 臣召(1998． 十题 ．8 分） 设 y =.)心）是一条向上凸的连续曲线 ｀其上任意一点(x,y) 处的 曲率为 ，目此曲线上点(O,l) 处的切线方程为 y= 贮r+ l ，求该rt|1线的方程，并求函数 ] ✓1 +y位 y = y(｀T) 的极侦 归 巾题中条件建立一个二阶微分方程 ，此曲线上点(0,1) 处的切线方程为 y = 又+1' 有初值条件 y(O) = 1,y'(O) = 1 ＠） 曲线向上凸有 y" O,y(O) = l. 过仙线 y= v (`l·） 上一任汜如一｝二l一'、 PCr.y) 作该曲线的切线及工 轴的垂线 ．上述两直线与 工 轴所围成的三角形 的而积记为 S1 ． 区间[O心］ 上以 y = yCr) 为曲边的曲边梯形面积记为 S2. 并设 2S1 - S2 恒为 1 ，求此1tt1线 y = yC1.) 的方程 归 由儿何意义 ．求出 S1 .S? ．利用 2S, - S2 = 1 得到关于y(x) 的积分方程 ，解此方程， 求出 y = y (.,:-). • 220 •枉设过点 P(1·y）的切线方程为 Y - y = y'(.d (X -.r) ，与工轴的交点为 (.J. — },o). > 且由题设，知 y(.1.:) 0. 因为 S1 ＝于1j — (.1.·-}) i ＝ 六7 且 S2 = I> (t)dl 由条什 2S1 - S2 = 1 ．亡 －Ixy(I)dl = ］ ，两边对工求导 ·整理得 yy'' = }尸 ． y J 0 且满足初值条件 y(O) = l ,y'(O) = 1 令 y' ＝ 岂 ＝ p，则 y" ＝ 卢＝黛 · 昙 ＝ j） 贤于是 ，y正＝矿， 即 yp' = j), = 销此徵分方程 ．得通解为 y e(l (＂' ．其中 CJ .(、： 为任总常数． 于是、代入条件 y(O) = 1./(0) = l ，满足特定条件的特韶为 Y = c' 【评注】 注意积分方程隐含的条件/(0) = 1. 区】(2000，七题，7 分） 某湖泊的水柲为 V，每年排入湖泊内含污染物 A 的污水扯为又 ．流入 6 V V 湖泊内不含 A 的水扯为—，流出湖泊的水扯为一 已知 1999 年什底湖中 A 的含蚁为 5mo ．超过国 6 3 家规定指标．为了治理污染，从 2000年作初起，限定排入湖泊中含 A 污水的浓度不超过坐． 问至 V 多需经过多少年，湖泊中污染物 A 的含扯降至叩以内？（注：设湖水中 A 的浓度是均匀的． ） 霆由题中条件利用微元法列出微分方程求解 的设从 2000 年年初开始(t = 0) ，第 l 年湖泊中污染物 A 的含址为 Ill(I.），浓度为v· 在时问 间隔[t,［ 十dt] 上，排入湖泊中 A 的扯近似为庤 · [clt ＝罕dt，排出的屈近似为芍 · 差d1 ＝詈也 在时间间隔[t,t+clt] 上 m(l) 的改变拟为 dm =（詈 － 牙）也韶此变虽可分离微分方程得 m(1) = ~m。 - Cc分 2 由初始条件 m(O) = 5m,) 求得 C =－ 亨lllo, 于足 m(L) ＝罕．（1 + 9e 令 ）． 令 Ill(/) = lllo 得 I= 6ln 3． 即至多盂经过 61n 3 年 ，湖泊中污染物 A 的含址降至m。 以内 困(2001 ，八题，9 分）设 L 是一条平面1川线 ．其上任疤－勹IRP(义,y)（义＞ 0) 到坐标原点 I 的距离，恒等于该点处的切线在 y 轴上的截距·且 L 经过点（了．0). （］）试求曲线 L 的方程： (2) 求 L 位千第一象限部分的一条切线，使该切线与 L 以及两坐标轴所围图形的面积最小． 辽 (l) 列出 微分方程求麟（2) 利用面积最小．求出切线的切点． @ （1 ) 设曲线 L 过点 P(.r,y) 的切线方程为 Y- y = y'CX -x) 令 X = 0 得 y 轴上的截距为 y-.1y' 由题设 ✓.1? +f = y-xy' ．令 ll =斗．得 立、 du =- —d义' 二 .l' • 221 •俯（之得．y+石亡了＝ C, 由心）= 0．知 C ＝十故有 y+ ✓了了了＝十，即所永曲 + 线 L 的方程 y = - l三 -l (2) 设第一象限内 仙线 y = －正 在点 P(x.y) 处的切线方程为 4 (+ Y - -.r: ) =- 2立一(X - t) ，即 y =- 2这 ＋..r 2 飞 (o < 艾冬 t) f), 0) . (0. 它与 t 轴及 y 轴的交点分别为（卢（；r'+ x1++). (. ++) ..!.. l 1. 所求面积为 S(x) = —2 2.l. - j。 （』 一．1·2 )中． （年—上 4 ） (.1·2 +上4) 灯 令 s'伈） = = 0,得 工 ＝—． 正 6 当 0 <.i· ＜ 享时 ，S'(x) < 0; 当亨 ＜ 工冬； > il1,S'(3 0 戎- 石- -l S位）在 3= ［l寸取到敬小值．此时切线方程为 Y =- X+ 6 3 3 【评注】 这是一个综合题，虽难度不是很大，但要注意的是曲线上任意点 P(my) ，切 线上的点表示为(X,Y). 区卧2001 ．九超7 分）一个半球体状的雪堆，其体积础化的速率与半球面面积 S 成正比， 比例常数K >O. 假设有融化过程中雪堆始终保持半球体状 已知半径为 r。 的盂堆在开始渺 7 化的 3 小时内倩业化了其体积的一，问雪川全部融化伽要多少小时？ 8 牡） 设半球在湖化过程中具平径为 r(r 随时间变化） ． 体积为 V． 表面积为 S 由题设有 dV dV - = － kS ，注意因—< o．故应添加负号． d! cl, 而 V = 亨矿，S = 2六产 ．有贵＝－ K.= r =- K1 + C｀圆l r = - k1 + C. 义 rCO) = ru ,r(3) ＝ 告ro ，得 C=r0 ,I?=½,。 进而 ｝ ＝－ 炉＋ r1 当 r= O 时有 t =6．故开始后 6 小时可融化无 回(2003．八题 ． l2 分）设位于第一象限的仙线 y= f(.1一）过点（享分）、其上任 一点 P(.r,y) 处的法线与 y 轴的交点为 Q .且线段 PQ 被又轴平分． (l) 求仙线 y = ．I\r) 的方程； (2) 巳知仙线 y= 汕in X 在[O．式上的弧长为 l, 试用 i 表吓曲线 y= ［釭）的弧长 s. 辽 ( l) 先求出法线方程与交点坐标 Q．和山题设线段 PQ 被．I 轴平分．可转化为微分 方和，求解此微分方程即可得曲线 y = j.(？·)的方和 (2) 将曲线 y = J.(3) 化为参数方和，再 I, 利用弧长公式｀ ］石亡了了山进行计箕即可． = ® (1) 曲线 y = f釭）在点 P(．1~，y) 处的法线方程为 · 222 •l Y - y =- -(X - 义:) y = 其中(X,Y) 为法线上忏意一，点的坐标， 令 X O，则 Y = y ＋ 乌 y 故 Q 点的坐标为 (o,y+ 乌 ． 巾题设知 宁／y 0. 即 2ydy ?) / y+ = .1·dx = o 积分得 .2·2 + 2y2 = C(C 为任意常数）． 由 Y I ＝ 上知 C = l ，故曲线 y = JC1) 的方程为 , lf 2 ｀飞·'+ 2y2 = ] = (2) 仙线 y sin .1 在[O，六］上的弧长为 I = ［三心 ＝ 2 ］： 三山 曲线 y=f釭） 的参数方程为 厂＝｀。二。 ¾ ' ¾ 于 故＼ ［ ~ell = 上『＇丁石言血令 1 ＝互 ＿ u.则 = 凇 。 2 ＝ 上 『汀二言(- du) ＝上『二du =~ ＝ 吾I 1 匠 手 拉 ，， 2 迈－ 4 【评注】 注意只在第一象限考虑曲线 y = J位）的弧长，所以积分限应从 0 到工，而不 2 是从 0 到 2m 匡卧2003． 九题 ． 10 分） 有一平肤容器，其内侧壁是由 1111线 .;i-= 吼y)(y ~O) 绕 y 轴胧轧而成的股牡仙面（如知，容器的底而圆的半 径为 2m. 根据设计要求，当以 3m'/min 的速率向容器内注入液体时． 液面的面积将以穴而／min 的速率均匀扩大（假设注人液体前．容器内 无液体）． (1) 根据 1 时刻液而的而积．写出 1 与中(y) 之间的关系式 ； (2) 求仙线．£ = cp(y) 的方程 （注 ：m 表示长度单位米．min 表示时间单位分 ） 1纺炕丿 液面的面积将以六旷／min 的速率均匀扩大，因此［ 时刻液而而积应为 ：六沪 十亢l， 而 液面为圆 ．其而积可归妾计符出来 仇此可导出［与 cp(y) 之间的关系式 ：又液体的体积可根据 旋转体的休积公式川庄积分计符 ，已知 1 时刻的液体体积为 31 . 它们之间也可建立积分关系 式，水导后转化为微分力程求解即可． 斜（］ ）设在 t 时刻 ，液面的鼎度为 y，则 由题设知此时液面的面积为砰2 (y) ＝ 丘＋亢/, 从而 [ = |A l=-6. 又 IAl=2•3• 入，所以入＝－ 1. t巠塑因｝ 0 A 1. (1992．数三．3 分）设A 为 m 阶方阵，B 为 n 阶方阵，且 I A I= a, I B I= h,C = [ B O]，则 ICI= . 2. (2000．数四，3 分）已知4 阶矩阵A相似于B,A 的特征值为 2,3,4,5,E 为 4 阶单位矩阵，则 IB-EI= 往习题叁考答窒｝ 1. （答案】 (-1)气ab. （解析】 由拉普拉斯展开式，有 0 A (-1)叩 I IC I= I~ ~I= A 11 BI=<- u=ab. 故应填,(-1)气ab. 2. 【答案】 24. 【解析】 由 A~B 得B 的特征值为 2,3,4,5．进而知 B-E 的特征值为 1,2,3,4．故应填：24. 若用 B~A= 『 5] ，推出 B-E~A-E进而知 IB-E |＝ IA-E| ，亦可求出行列式的值 3 4 r--------------- —一一一一一一一一一一一一一一 一一 一一一一一一 一 ·- 7 各坐也有洈，而扣总儿洈。 -—庄子 」 l • 230 •第二章 矩阵 t丕口 本章 1997 年开始有考题．矩阵是线性代数的核心内容，矩阵的概念、运算及理论贯穿线性代 数的始终．几乎年年都有单纯的矩阵知识的考题，而且其他考题也回避不了矩阵的知识，矩阵的 重要性不官而喻． 二十多年来，矩阵的解答题考得很少，但复习时，对于填空与选择不要大意失荆州． 一、矩阵运算、初等变换 炉点 试题简单、基本，但容易失误．由千矩阵乘法没有交换律，没有消去律，有零因子，这和大家 熟悉的算术运算有很大区别，试题往往就是考查这里的基本功，因此复习时对千矩阵的运算要 正确，熟练，不要眼高手低，犯低级失误． 矩阵的初等行变换是左乘初等矩阵，矩阵的初等列变换是右乘初等矩阵，这里要分清左 乘、右乘，记住初等矩阵的逆矩阵． ~: ~1] .m(3200.3 ，一（5）题，4 分）设a为三维列向配，“T 是a 的转置，若已＝［－ l 则 aT"a= A＝已是秩为1 的矩阵，＂Ta是一个数，这两个符号不要混淆且aT"是矩阵IJllT 的迹． 注意，若 r(A) = 1 ，则有 A= afJ飞其中 “P均为 n 维列向盘，而矿p ＝矿a= 区｝a.. 故本题应填：3. 若不熟悉上述关系式，本题亦可先求出贮 -1 17 rl [- - ＝皿T l - 1] = ll [1, 1, 1] [-: 1 -1 lJ Ll 1 故 a1a - [- =(1, 1,1) lll=3 匮量2004,13 题，4 分）设 A 是 3 阶方阵，将A 的第 1 列与第 2 列交换得 B，再把 B 的第 2 列加到第 3 列得 C，则满足 AQ =C 的可逆矩阵Q 为 ［亡甘］ ［子］ [ [ [ 5 [] [ [] (A) (B) (C) (D) • 231 •虹 D. 归按题意 ，用初等矩阵描述，有 0 1 07 B[ r 0 l 0 0 A [lO Ol = B l ll = C 0 0 lJ LO 0 1 O l O l 0 0 [ 故 A [10 0] 0 l ll = C 0 0 lJ LO 0 1 1010 0 1 07 rl O 0 - [1 0 0] [ 0 从而 Q = O l ll = [ 1 0 0 lJ LO O lJ LO l 所以应选(D)． 匮量2005,14 题，4 分） 设 A 为n(n ~ 2) 阶可逆矩阵，交换 A 的第 1 行与第 2 行得矩阵 B,A. ，B． 分别为 A,B 的伴随矩阵，则 (A) 交换 A 的第 1 列与第 2 列得 B· . （B) 交换 A 的第 1 行与第 2 行得 B· . (C) 交换 A 的第 1 列与第 2 列得—B· . （D) 交换 A 的第 1 行与第 2 行得－ B· . 畔 C. 三为书写简捷，不妨设 A 为三阶矩阵，因为 A 作初等行变换得到 B ，所以用初等矩阵 左乘 A 得到 B ，按巳知有 l [: ⇒ 旷 ＝ A一1: ：]一1 A一1 \ :] A = B. : = [: : : 1 0 从而 ` ` 0 0 I. O ll 0 1 0 又因 I B I ，故 A. : ：l=- B. ，所以应选(Cl. A l~- 1 [; ［评注】 本题考查初等矩阵的两个定理：一个是左乘右乘问题，一个是初等矩阵的逆矩 阵公式，注意求伴随矩阵有两种思路：一是用定义法，一是用可逆矩阵来转换(A" = IAIA一l). 匮量2006，且题，4 分） 设A 为三阶矩阵，将A 的第 2 行加到第 1 行得B，再将 B 的第 1 列的 1 1 0 - ]倍加到第 2 列得 C，记 P [: : ：l ,则 = (A)C = p-1AP. (B)C = PAP-1. (C)C = pTA P. (D)C = PAPT. 釭 B. 臼按已知条件，用初等矩阵描述有 — 1 1 0 l 1 0 l: lA : : B = C = B[O l Ol 0 0 1 • 232 •1 1 07 rl - l O 千是 C = [0 1 主 [O l Ol= PAP-1 ，所以应选(B)_ OO lJLO O 1 【评注】 本题考查初等矩阵的左乘右乘问题及初等矩阵逆矩阵的公式． 仁 l. (2001 .牧三．3 分） 设 a - (112 an UI I -“l i a13 d 12 I' ll A= 』 ZI C122 a” (, 2,I .n = “2.; a,3 “22 a 』 a 31 a32 “33 ”31 (,31 a33 U32 3 l II a立 ”“ (i I I 4itI a” “1 2 a ~, I - 0 0 0 I 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 。 p! = .P, = 0 0 1 0 0 1 0 0 l 0 0 0 0 0 0 I 其 中 A 可逆，则 B一1 等于 (A)r 1P1P2. (B)P1A-1P2. (C)P1几A气 (D)P2A-1P1 2. < 200 I ．攻三 ．1 分 I 设 II 阶矩阵A 与 B 等价，则 必有 — (A) 当 I A l = a 、时向扯组 0 必线性相关 (C) 当 r < s 时 ． 向扯组 l 必线性相关． > (D) 当 r ~ 时， 向员组 ［必线性相关 豆 D. > 五根据定理“若 a1 ,a2 ,···,a., 可由 P1 ，P2 ,…札 线性表出，且 :; t,则 “1,a2 ,… ,a., 必 线性相关＂，即若多数向鼠可以巾少数向址线性表翡则这多数向扯必线性相关，故应选CD). ［评注］ 建议你举几个例子说明 CA),(B),(C) 均不正确． 回(2004 、14 题`4 分）设 A,B 为满足AB = 0 的任意两个非零矩阵 ．则必有 (A)A 的列向扭组线性相关，B 的行向批组线性相关． (B)A 的列向丛组线性相关．B 的列向沁组线性相关 (C)A 的行向从组线性相关．B 的行向扯组线性相关． (D)A 的行向扯组线性相关，B 的列向从组线性相关 釭 A. 立设 A 是 m X n,B 是 n X.1 矩阵且 妞 ＝ 0，那么 r(A) + r(B) ~ n < < < < 由于 A.B 均非零 ．故 0 r(A) 11.0 r(B) 11. 巾 r(A) = A 的列秩 ，知 A 的列向屾组线性相义． 巾 r(B) = B 的行秩，知 B 的行向扒组线性相关． 故应选(A). m(2005,13 题，4 分）设入1 ,Az 是矩阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征同扯分别为 a1,a2 ，则 a1 ,ACa1 + a~) 线性无关的充分必要条件是 (A)入I #- 0. (B)入2 =f: 0. (C)入1 = 0. (D)入2 = 0. 釭 B. ”) 按特征值、特征向队定义 A(“1 十＂2) = 知1 + Aa2 =入Ia I +丛贮 若入2=0厕 at ,A(a1 + a?) 即 g! ．入Ia, 必线性相关． 排除(D)． • 246 •若人 ＝ 0. 则 q.A(a1 + a2) ＝ 入-(1： 必线目九义 ．｛LI 入1=0 只足 a1 .A .CJ = 2 ,工2 = p - 2 ，, -父-.'3 = 1- ,. -义-:1' = p - 2 • 250 •(2) 当 p=2 时，向虽组 a1 ,“2 ,a3 ,g4 线性相关． 此时，向显组的秩等千 3. ai 也，m（或 a) . a, ,ai ) 为其一个极大线性无关组． O u b m<2000， 十三题 ．7 分）巳知向址组 µ 1 与 向拭组 q 1』 a = 1 :71 具有相同的秩且= P1 l 1由I .aµ ”= (112 1线/性J1表 =丁 IOIk b 的值 I :31 (12 = - ] a 社 因 p飞 可由 a1 ,az,a3 线性表示 ，故线性方程组 .1"1ll1 +x2(12 +.1位1 = P 有俯． 对增广矩阵施行初等行变换 ： 1 3 9 b l 3 9 b . 1 3 9 : I) 2/J- 1 2 。 6 1 。 - 6 —12 . l-2b --► 。 l 2 6 -3 1 —7 。 。 10 20 3b 。 . 3b 2b—1 。 。 · 10 6 3b 2/J - J 由非齐次线性方程组有韶的条件知— - = 0，得 h = 5. 10 6 又 ＂ 禾Il a2 线性无关，a3 = 3a1 + 2az ，所以向抖组 a1 ,a2,a3 的秩为 2 0 a 5 由题设知向盐组 凡 ，p2 ,p， 的秩也是 2，从而 l 2 l J =O.fW(之得 a = 15. - 1 l 0 ［评注】 本题亦可由秩相等 r(p ,p2 ,':1) ＝ r(a1 ,a2 ,aa) 及 r(a1,a2 ,a,) = 2 入手知 0 a b I P1,P2, Pa I = I 1 2 1 I = o - 1 1 0 解出 a = 3b. 再用凡可由 a1 ,“”“3 线性表示，从而可用 a1 .a2 线性表示 ，所以 a1 ,a2 ,Pa 线性相关． 于 是据 1 3 b 2 0 11 =0 - 3 1 0 求出 b. 再由 a= 3/J 求出 a. ｛组习工 ; l. (19 9{ I. i -. 3 分） 已知向没组 a1 = (J.2.3./4).a, = (2,3./4 .5),ci, = (3.,t,5.6),r;i., = (4,5.6.7) ，则 该向责组的秩是 2. (1小11 . ;t四 ．，i 分 I 设有向泣组q = (l . —J, 2. /4 J. a, = (O. 3. I , 2), a3 = (3, o, 7. 1,1). a.\ = (1.—2.2, 0), a:, = (2, I. 5, 10) ，则该向岳组的极大线性元关组是 (A)ai. a:.a3. (B)cr, .贮，＂,. CC)a1 ，贮．a；． (D)O ，贮 ．Cl, • Cl.,. 251 •恒习匿参考一窒｝ 1.【答案】 2. 【解析】 经初等变换向址组的秩不变巾 -----] 22 -33344 4 45-55 66-- J7O 2 -O13O0 2 -040 300 0- o . A __ 贮 l- ► 0 1 a l 知 r(“1 ·贮 ．＂3 .a,) = ,·(A) = 2. 2.［答案l B. 【解析】 这是一迫常规题，按一般方法求紨即可 -0 - 3l 2 4-214-0-I 10-- l -2 1 41-2012- -l 2 - - 2 lO4O-2O0- 0 a 301 OO3O3O 3 OO3O0O 0 l a 7/25 f f ” J “-5 沺. z a2a2 12 - 2 - 4 a a .. － l 1 _, 2 0 己能石出秩为 3．极大线性无 0 关 3 组 3 足 0 a, ,a2 ．肛_． 或用_ 1 列 0 向 0 址作 行变换．介 1 -I l 2 I 0 3 l－2 － 2 一 3 －3 － 1 2 1 7 一21 5 1 - 1 ► 3 1 2 1 1 4 _ 0 囚 1 2 4 0 4 10 3 l 1 0 2 f00 0- 0 极I 0 - 10 2 0 ＿ 2 f - 1 0 0 1 32 l 3 2 o - － 1 3 2 . 3 1 0 0 1 0 2 1 0 0 「 一 关 o I1 1 - 一 4 0 筠1 ， 子第1个4仁零数在笫 , .. 21 . , 歹 lJ ． 故 a ．”2， a 、 是 大线性无 组. 此应选 ( B 、丿． l ［ `l平 注] 当 元 选 关 择 组 a， 示 a 2 , a 4 5 作为 ＿ 3 扣； a 人 1 大 ＋ 线 “ 性 ， ＋ 元关 。 么 5 组 时 笫 ， , 5 由 ＿ 笫 2 － a 种 十 方法 a十 立g 0 5 P知 写 即J月极大线性 表 向量组中 ＿ 每个向奇 一 . 那 用 －一 种 ＿ 方法 l 时 你 z 如何 出上述表达式 ?· 扣之者不如好之者，叶之者不如乐之者 ． 孔子 • 252 •第四章 线性方程组 本章导读 本幸从 1997 年开始有考题． 线性方程组是否 有解？若有解 ， 那么一共有多少解？有解时怎 样求出其所有的解？如何求齐次方程组的基础解系？ 当 给出具体的方程组时 ， 如何加减消元化简（ ，主意只用行变换）？如何求 出所有的解（可 能 还涉及对一些参数的讨论）？ 没有具体的方程组时 ． 如仁利用解的结构（注 意对矩阵秩的推断）分析 、推导 出通解？ 面对两个方程组 ， 如何处理公共解或同解问题？ 这一切都是大家在复习 方程组时要认宾对待的．方程组历年来都 是考试 的重点，其比 重 大 ，分值高 ．解答题多 ． 大家一定要好好复习 ， 一、齐次方程组、基础解系 试题特点 考查的主要定理是 ： < (1) 设 A 是 m X 11 矩阵 ．齐次方程组 Ax = 0 有非笭解已秩 r(A) 11; (2) 齐次方程组心 ＝ 0如有非零韶，则必有无穷多f前，而线性无关的韶向记个数为11-r(A). 求基础僻系是瓜点． 11 - r(A) 既表示 心 ＝ 0 线性无关觥向拭的个数．也表示方程组中自由变队的个数 ．如何 确定自由变扯？如何给自由变从赋值并求韶 ，是这一矗基本功． 不论是 Ax = 0，还是 Ax = b 都要涉及求Ax = 0 的基础韶系，这里的计算一定要过关（正 确 、熟练）． 线性无关的证明题另一种出题方法就是证基础韶系． m(2OO1 ．十二超6 分）已知 a1 ,a2 也，“4 是线性方程组 Ax = （） 的一个基础解系，若 ' ) = a1 +1贮 ．/J2 = a1 + ta3./J, = a3 + ta ,. /J4 = a, 十tq ，讨论实数 t 满足什么关系时，凡，化· /J:i '/J,1 也是 心 ＝ 0 的一个基础解系． 斜 I主l a) 如心 ．a. 是 Ax = 0 的韶）所以 P1 •P2 ,p3 ,/J4 也是心． ＝ 0 的解． ' - lt0 - 1001 lIOOO 又 ( , ！ , p 2 , 3 , ” 小 “.) ＿ ( " 心 立 2 a ） O f 一 一 0 0 1 l 而 0 1 O O O l l ll __ t l , ＿ l 础 1 O-0 , 0 所 时 P 以 I t , , 2 # , 土 f J 3 l . 廿 , 4 、一＇ 嘈 L, 也 , p i 是 ． f 心 J 2 3 p 3 _ _ , p O I 的 线 ,性 i 个 无关 基 ． 补1 1 7 f “ 作 , 系 IAI X __ 。的基 解系巾 4 个郁 JF向 拓构成 因此 l # 士 . • 253 •: 匮量2004 ,22 题 ，9 分）设有齐次线性方程组 :; 『I +,ii、 + （3 +厂／：：，三： (2+ :2+ 4.2.'1 + 小l'2 + 4.2.·J+ (4 + a).1..,= 0. 试问 u 取何值时，该方程组有非零解？并求出其通韶． 虷 方程组的系数行列式 + l + a 1 1 1 I llO+a lO+a JO + a lQ Cl ? 2 Z+ a 2 2 I I 2 2+ a l 2 I A I = I + 3 3 3+ a 3 1= 3 3 3 a 3 4 4 4 4+ al I 4 4 4 4+a 10 + (l. 0 0 0 2 Cl O 0 = = (a + lO)a 1 ::l O a 0 4 0 0 Cl 当 Cl = 0 或 a =-10 时，方程组有非零解． 当 a= 0 时 ．对系数矩阵 A 作初等行变换 ，有 : 1』---+ [: : : [: : : A - 故方程组的同解方程组为 = 工1 +立2 十又｀3 +.1l 0 其基础储系为 nl =（一 ］ ，1'0'0)T'T/2 = (- 1'0'1'0) T'T/3 = (- 1, 0'0'l) T. 于是所求方程组的通解为 x = k, TJ1 + k,TJz + k叩 ，其中 k, ,k2 ，如为任意常数． 当 a =— 10 时，对 A 作初等行变换 ，有 ] :)』－ 勹9 一;10 -:10 一： A : 9 :8 = [ 4 0 -9 1 l ：1『1— ► I O O ：O 』O : : : [- : [-: 故方程组的同解方程组为 ___2_ 3 . 几勹 工 工·?7 工 Y __ 4 , 7 } 1 1 其基础解系为 1J = (l,2.3,1)°1 . 于是所求方程组的通解为 X = k1J ，其中 k 为任意常数 • 254 •匮量2005,23 题 ，9 分）已知三阶矩阵 A 的第 1 行是(a,b,() ，“ '妇 不全为零，矩阵 1 2 3 [ （K 为饼数） B= 2 4 6] 3 6 k 且 AB = 0，求线性方程组 Ax = 0 的通解． 分析 本题没有完整的矩阵 A，因此求方程组 心 ＝ 0 的解不是用加减消元来实现，而应当 利用解的结构要由秩入手，另外对 AB = O要意识到 B 的每一列都是齐次方程组 Ax = 0 的解． 斜 由 AB = 0知 ，·CA)+ r(B) ~ 3，又 A#- O,B #- 0故 1 ~ r(A) ~ 2, 1 ~ rCB) ~ 2. (1) 如果 Ii =-p 9，必有 r(B) = 2. 此时 r(A) = 1. 由于 11-r(A) = 3 - 1 = 2，又因 AB = 0知 B 的列向址是 心 ＝ 0 的韶． 故 Ax = 0 的通韶为九 (1 ,2,3)「十如 (3,6,k)T ,k1 心为任意常数． (2) 如果 I: = 9，则 r(B) = l. 此时 r(A) = 1 或 2. 若 r(A) = 2，则 11 - r(A) = 1. Ax = 0 的通解为 Hl,2,3)T ,k 为任意常数； 若 r(A) = 1，则心 ＝ 0 与 m ＋纱 ＋CZ = 0 同解 巾 n-r(A)=2. 不妨设 a =-p 0，那么心 ＝ 0 的通解为丸 (-b,a,O)T ＿ 如（一c,O,a)T心心为任意常数 【评注】 本题难度系数0. 245 ，有的考生不知道AB = O时，B 的每一列都是齐次方程组 Ax =O 的解， 多数考生分析、讨论不严谨． ｛三｝ l, （ l 、I.-ft四 ．3 分， 设 II 元齐次线性方程纽Ax = 0 的系数矩阵 A 的秩为 r.贝,1 Ax = 0 有非零解的充分 必要条件是 (A)r= ,1. (B)r~11. (C)r < n. (D)r> n. 2. \ I I. ｀勺， 兮 设 a1 ,a2 ,a3 是齐次线性方程组 Ax = 0 的一个基础解系． 证明 a1 + a,.a2 +aJ,a3 + a！ 也是该方程组的一个基础斛系， . (I I I~. 次三．．，分） 设 A 为 //1 X II 矩阵、齐次线性方程组 Ar = 0 仅有零斛的充分条件是 (A)A 的列向女线性无关． （B)A 的列 向设线性相关， (C)A 的行向没线性无关， （D)A 的行向岳线性相关 恒现肆丐一答窒｝ l. ［答案l c. 【解析】 对矩阵 A 按列分块，有 A = (a,,a,..... a.) ．则 心 ＝ 0 的向卧形式为 m a1 + `ma2 + ··· +.l,,a,, = 0 那么，心 ＝ 0 有非零解Fla, ,a2 ....,a,，线性相关 仁汗(aI 心 ·….“”) < II 仁汀(A) < 11 故应选(C). 注意．n 元方程组只是强调有 I/ 个未知数而方程的个数不一定是1/ ，因此，系数矩阵 A 不—定是n 阶方11,f． 所以我们应当月J r(A) < 11. 而有些同学特别爱用行列式 I A I= o．这里是要小心的． 2. 【证明】 rh A(a，十a，） = Aa1 +I囡 ＝ (1+ 0 = 0，优l a1 +a2 是心 ＝ 0 的韶． 同理知 “2...I..“J .“1 +"1 也都是 心 ＝ 0 的船 若 k,（a，十a2）十炬(a: + a1) + k.1(a3 + a1) = 0．即 （如 十九）a， 十 Ck, + 112)a,+ （如十如）a:,= O 由于 a, 如．＂j 是基础f胖系 ．知 a1 ,“2 ,“3 线性无关． 故知 • 255 •{ kk k_k_0_0 ll I- 3.1 _ 千炬 女+ 0 因为系数行列式 I O I I I 01= 2 ~ 0 0 I I 所以方程组只布零斛丸 ＝ k, = ll3 = 0 从而 a, + a, ,a, I a,. ,a,+ a, 线性无义 山已知．心 ＝ 0 的基础韶系含三个线性无关的解向从．所以 a, 土a2 .a" ..La, ．a, ＋a1 是心 ＝ 0的基础解系． 3.【答案】 .l\. 【解析］ 卉次方程组 心 ＝ 0 只有零陷 台r(1-U = 11. = 由千 r(A) A 的行秩 ＝ A 的列秩．现A 是m X ,／矩阵，r(A) = ？/．即 A 的列向址线性无关． 故应选(Al. 注意．虽 A 的行秩 ＝ A 的列秩．但行向拭组与列向攸组的线性相关性是可以不同的． 二、非齐次方程组的求解 仁屯归心 记住俯的结构 a + k1111 + ／？可2 + ... ..L K广rn,'-r 其中 a 是Ax = b 的特解，n1,n2 , ··· ,n" ，是Ax = U 的基础觥系． 往届考生在加减消元时计算错误较多（一定要多动手做；认真） ，讨论参数时不能丢三落 四，耍严谨． 求 A 的秩、求特解、求基础解系、讨论参数是复习时要注意的知识点． 巨星(1997，四题 ．8 分以取何值时．方程组 : : : 厂．：十二一： ::: 心·1+ 5_1..2— 5.i-3=- l 无解有唯一韶或有无穷多解？并在有无穷多韶时写出方程组的通解． 斜 对增广矩阵作初等行变换 ，有 ]:)ll ［：4 一入3 - ［厂：： ／~5 一~I —\l- ［5A入三入~ -~!』 1 — I 那么 ． 当入＝－ 责时 ．r(A) = 2.，五） = 3，方程组无解 当入 #- +且 入 ＃ ］ 时 ．r(A) = r（元） ＝ 3，方程组有11(「一韶 当入＝ 1 时，r(A) = r（五） = 2，方程组有无穷多解，此时 ．方程组化简为 r:::+.:t·2-,l'1: ~ .1'1 = l 其通韶为(1 . - 1,0)「 + HO.J . 」）T .k 为仔意常数． 【评注】 习 惯上 ，消元时先消 去 工1 再消去 立 ，考虑到本题 中 中 心2 的系数均有参数，为 简单先消去 功· • 256 •(2000，十二题，6 分）设 a a矿 ，B p飞，其中 P1 是 [\ ] = [[] ,p= 7 =[[] ,A = = P 的转仅，求解方程 2B2A2x = A4x+ B·1x+ r. 斜 由 已知得 1 o-oo- -2 [!] [ l 11- -2 1: A ~ 1 0 ]~ 2 1 B = (1 -2 叶 [[] =2 又 A2 = afJTa旷 ＝ a（扩a)fJT = 2A，递推地 A4 = 23A. 代入原方程 ，得 __ 8xx + “ j 1 A A ＋1 即 8 ( 令 A 一 的 x - 2 ＿ E 丿（ 、 x x I t __ x 2 ” ( ， ,其 X l 寸 ) T :I- t E 飞 是 入 1 l 3 上 阶 式 单 6 ， 位 得 x 到 矩 T 七 阵 ， 齐 ) 上 x 次 线 性 石__ 6 0 方 程组 一 X 十 2 工2 - I 幻 - 2 ＿＿ 。 + 1 _X2 - 2 = l X 2 解其对应 齐次方程组 , 导 ,4 通解 l ; = k [[] (k 为任意常数） 显然 ，非齐次线性方程组的一个特解为 ［厂］ n.= 于是所求方程的解为 x = c; +T/· ，即 k 叶［厂］次为任育常数 x = u m(2001 ，一（5）题，3 分）设方程 [1 1a !]［勹＝ ［丿2] 有无穷多个解，则a = 1 1 答床 -2. = 斜 析 线性方程组心 ＝ b 有无穷多解的充分必要条件是r(A) r（元）＜ ／1，为此我们应 当通过对增广矩阵作初笃行变换来确定 u 的取值． • 257 •[: ; : a -32+-2 J,]-► [i ~ : : 2]-► (1: 1 2- 1-a a [[ u - 4 a - < 可见 r(A) = r(A) 3i==>a = - 2. 匾量2002． 十二题，6 分） 已知 4 阶方阵 A = (a1 ，贮 ．＂3 ．“1 ) 心 心 也 ，“I 均为 4 维列 向 屈 ，其中 a”“3 ,q 线性无关，“1 = 2a2 -a3. 如果 P = a1 +a卢aJ +a., ，求线性方程组Ax = P 的通解． 份祈 方程组的系数没有具体给出，应当从解的理论，俏的结构入手来求解． 纤＼ 由 回归q 线性无关及 a1 = 2a2 -aJ 知 ，向址组的秩 r(a1 ,a2 ,a3 ,a,) = 3，即矩阵A 的秩为 3. 因此 Ax = 0 的基础解系中 只包-含一-个向址．那么 由 l -- 2 " (a l ,( a 2 ,l " 3, 0 ) l = al 2 十 “5 = 。 2 一 3 o op 知 个 , AX ＝ 由 人 日2 勺基础韶系是 ' i 2 , 1 _, 0)l - -lll-l - － － －1 再 ＿ ＿ ”1 + _a2 ＋“ 3 ,_' ai _( ” l· ' _ ” 2 - , ” 13 , " 5 4 ) ＿＿ A仗 数 1 1 1 廿• ( l , l , 1 , l 丿、 T 是 Ax __ p 人 ” I 勺 - 特解 故 Ax _ fJ 的 通解是 一 ll-O - -- - - 2 1 k + l , 其中 k 为任意常 l - 【评注】 因为方程组 Ax = /J 的 向童形式为 卫 ＋工2a2 千一如 ＋工IQ = al +a2 十a3 + a1 那么利用 al = 2a2 - a·! 及 贮,a3, a1 线性无关可以得到 + (2.TJ 五2 - 3)az (-.1．1 十五 ＋丘— ] ）”4 = 0 故知 ｛勹工．言言。＝ 0 X1 -1 = 0 于是 Ax = p 与 上述方程组同 解，解此方程组就可得到 Ax = JJ 的通解． 配量2003，十二，题，8 分） 已知平而上三条不同直线的方程分别为 LI : Cl.1· + 2by - 3c = 0 + + l2 :b.1· 2cy 3a = 0 + + 丛 ：L.1·· 2uy 3/J = 0 试证这三条直线交千一点的充分必要条件为 u ~ b + c = 0. 吐3月 必要性 ：若三条直线交于一点 ，则线性方程组 • 258 •厂一：：l勹，二3: (1) 盓＋ 2uy =-3b o. 有唯一解 ．故 r(A) = r（入） ＝ 2. 千是 I A I= u 2/J - 3c I I 1 l - 1 — 由于 I A I = [ b 2c 3a = 6@ + b+() b c - u — C 2a 3b (a - b — = 6(a + b+ c)(a2 +!)； 斗－ c2 - ab al - /x) = 3(a + b...Lc)[(u - b)2 + (b 一 心2 一 (c-u>2J (2) — 由 l1 ,lz, l_. 是三条不同直线，知 a= h = c 不成立，那么(u - b)2 + (b-c)2 + (c u)2 =/:- 0. 故必有 a + b+ c = 0. 充分性 ：若 u-b+( ＝ 0仇 (2) 知 I A I= o．故秩 r(A) < 3. a 2b 由 = 2(＂（ 一 矿） =- 2[u(a + b) + b勹 b 2c =- 21 (a + 扣）， ＋ 宁J2 严 0 （否则 a = b = c = 0. ）知秩 r(A) = 2 于是，·(A) = r（五） = 2. 因此，方程组(l) 有唯一韶 ． 即三条直线 LI .l乙 心交千一点． :/ 0<2006 ,22 题，9 分）荨廿非齐次线性方程组 {4:．I`：十二： 二1 }' a.1I + X,+ 3.:l叶I).1:.,= l 有 3 个线性无关的韶． (I) 证明方程组系数矩阵 A 的秩 r(A)=2, ( 11 ) 求 a ,b 的值及方程组的通韶． 分在 本题名查含参数的非齐次线性方程组的求解问题，那么如何求参数 u 和庐题目给 的追加信息是 Ax = b 有 3 个线性无关的解 ，如何用这信息？其实问题(I )r(A) = 2 就是提示 （的 ( I ）设a1 ,a2 ,＂』 是非齐次方程组的 3 个线性无关的俯，那么a1 - a2,a1 -a, 是Ax = O 线性无关的解，所以 11 - r(A) 多 2，即 r(A) ~ 2. 1 l 显然矩阵 A 中有二阶子式 不为 0．又有 r(A)~2，从而秩 r(A) = 2_ 4 3 ( l| ）对增广矩阵作初等行变换，有 l [ l 1 1 : -1 ll 1 -► . O J I l I I 一 `v' I A = 3 5 - 1 - 1 - 5 ，． (4ll u 4 3 b 1 1) l (/ 3 (/ h - u l 1 I l 1 l : - 1 7 - [ — O l 1 5 - 3] 0 0 4 - 2a b + 4a - 5 : 4 - 2a 由题设和( l ) 知 ，r(A) = r（元） = 2 ，故有 4 - Za = 0,b + 4a - 5 = 0 解出 {l =2.h =-3. • 259 •1 0 2 - 4 2 此时 A 3l. - - [ O l - 1 5 - 0 0 0 0 0 那么 a = (2, - 3,0.0尸是 Ax = b 的韶，且 7J1 = (- 2' l'1. 0) T'112 = (4' - 5'0'1) T 是 心 ＝ 0 的基础解系 ，所以方程组的通解是 a + k I f/1 + k2112 （如，如为任意常数） 【评注】 通过本题要体会如何用两个条件把 r(A) = 2 夹逼出来的方法． 不少考生把题 目 中 的“有 3 个线性无关的解“理解为＂恰有 3 个线性无关的解“，这就改变 了 (I) 证明的难 度和命题的原惹．大家要认真审题，准确理解题意． 本题难度系数 0. 505. 肛日(2008,22 越 12 分）设 n 元线性方程组Ax = b，其中 2a l : 矿 2a 1 ] ＼产－ 矿 2a 1 A = [/ ] b [ 矿 2a 1 矿 2a 1,,x,3 ( I ) 证明行列式 I A l=(11 + l)a"; ( [I ) 当 a 为何值时 ．该方程组有唯一解？并求 功 ； （ 皿 ）当 a 为何值时．该方程组有无穷多解？并求通解． l仇析 本题考查？／阶行列式的计算和方程组的求解．作为“三对角” 行列式可用数学归纳 法或“三角化”；对于唯一斛应利用克拉默法则． 纤 (I ）用数学归纳法．记 n 阶行列式 I A I 的值为 D,, = (11 +l)a", 当 /'I = 1 时 D1 = 2" ，命题 D,, =(n + l)a" 正确 ； 当 II 2 时，D2 I2 a 1 = = = 3a? ，命题正确 矿 2a < 设 n K 时 D,, =(11 +1)矿 ，命题正确 当 n=k 时 ，按第一列展开，则有 2a 1 1 0 忒 2a 1 矿 2a 1 1)2-1 趴 ＝ 2a 忒 2a 矿(- 矿 2u 1 I I. 矿 2a 1 矿 2a 111-1 = 2aD,-1 ~ a2D ,-2 = 2a（如k I) —a气(k - 1)ak2] = (k + ] )矿 命题正确 所以 I A I= (n + l)a". ( [[ ）据(l) 由克拉默法则 - I A l=/=O．一方程组有唯一解 ．故 a =I= 0 时方程组有唯一解，且用 克拉默法则，有 l l 0 2a l 0 a2 2a I _ 。 矿 2a 11a " 1 _ 11 = = 立、1= D,, C11 +l)a" Cn+ l)a 260 •0 l 0 l 』厂l = [： l 由 ,(Al ＝ 五） ？1— I' 方 ( ill ) 当 a= 0 时，方程组为 = 程组有无穷多韶． 按f矶的结构，其通f前为(0,1,o,…,O)T + H l.O,O,·... O)T ，其中 k 为任总＇常数． 【评注】 本题的“三对角”行列式也可用逐行相加的技巧将其上三角化，即把笫一行的 1 2 — —a 倍加至笫二行，再把新笫 2 行的 —一a 倍加至笫三行．．．． 2 3 2a 1 2a 1 3 a2 2a l 。 一2 a 1 I A I= I a 2 2a 1 " 2 2a 1 a 2 2a 1 a 2 2a 1 a 2 2a 1” " 2 2a 2a 1 3 。 —2 u 1 4 。 —3 a 1 a 2 2a 1 a 2 2a 1 a 2 2a In 2a 1 3 。 —2 a 1 . 4 。 —3 a l = = (n+l)a". I 。 1l a 1 11 - 1 n+ l 。 a 11 本题难度系数数一 0.305，数二0. 270，数三 0. 273，是2008 年考题中得分最低的题 目之一． ｛一覂覂｝ I. . 习 ． .) 设A是Ill X 11 矩阵，心 ＝ 0是非齐次线性方程组Ax= b 所对应的齐次线性方程组， 则下列结论正确的是 （A) 若 ．4x = 0 仅有零鲜戌1] Ar = b 有唯一斛． (B) 若 心 ＝ 0 有非零煞，则 心 ＝ b 有无穷多个角牛． （C) 若心． ＝ b 有无穷多个鲜，则心· = O 仅有零斛． • 261(D) 若 心 ＝ b 有无穷多个解．则心． ＝ 0 有非零船 2 (21)1)（），牧三 ． 坟四 ．3 分 设 a, g! .“3 是四元非齐次线性方程组 A.\ = b 的三个解向放、且秩(A)= 3. a1 =(l ,2,3.4)T,a2+a飞 ＝（0、1 ,2`3)，1勹 'c 表示任意常数．则线性方程组 心 ＝ h 的通解．＼ = 于 尸 - 勹 ( A ) 2 一( CT ) 门 C + ” (B) 2 3 ( 产+ ( + 3 勹 l 4 - - } - 2 D) 2 c L 3 1 4 4 } 一 恒习题参考答窒｝ 1. 【答案］ D. 【解析】 心 ＝ 0 仅有零斛已r(A) = ，压心 ＝ b有唯一韶 台r(A) = 1（元） = II. 现在的问题是由 r(A) = n 能否推导出 r（五） ＝砬若 A 是 ，1 阶矩阵，结论肯定正确 ，那么 111 X 11 矩阵呢？ : 考察下面的例子： : {:. : : 1 二；r： { : : .2 : : .r1 - 3.2 = 0 . .1..1 +.1一， ＝ 3 显然 At = 0 只有零韶．而 At = b 无斛．可见(A) 不il::圳． < 心 ＝ b有无穷多解i=ir(A) = r(A) 11．因为 ,·(A) "' ．其中伈是不为 0 的任芍、r常数． 矩阵 B 屈于特们如 ＝ 1 的特征向扒足 九 (l ,1 .0) 1 一丸(- l,O.])T ．其中丸 ．九 是不全为 0 的任意常数． ( || ）由 坎l1 =- 2a1,B{l2 = /J2.B/J'= /13 有 B(a\ ，凡，fl；) = (- 2ai .p2 .pl )．那么 B =(— 2a1,/J, ,{13)